phuong trinh bac nhat doi voi sinx va cosx

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Nghiệm của phương trình: cos x – sin x  0 là:




A. x   k .
B. x    k .
C. x   k 2 .
D. x    k 2 .
4
4
4
4
Câu 2. Phương trình 3 cos 2 x  sin 2 x  1 tương đương với phương trình nào sau đây?












A. sin  2 x    sin . B. sin  2x    sin . C. cos  2 x    cos . D. cos  2 x    cos .
3
6
3

3
6
3
3
3




Câu 3. Phương trình: 3.sin 3 x  cos 3 x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:

1


 1

1




A. sin  3x     . B. sin  3 x     . C. sin  3x    . D. sin  3x     .
6
2
6
6
6 2
6
2





Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
A. x    k 2 , x 
 k 2 , k  .
B. x    k 2 , x 
 k 2 , k  .
4
4
12
12

2

5
C. x   k 2 , x 
 k 2 , k  .
D. x    k 2 , x  
 k 2 , k  .
3
3
4
4
Câu 5. Phương trình 3  1 sin x  3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là
Câu 1.

















 x   6  k 2
 x   4  k 2
 x   2  k 2
 x   8  k 2
A. 
, k  . C. 
, k  . D. 
,k  .
, k  . B. 
 x    k 2
 x    k 2
 x    k 2
 x    k 2





6
3
9
12
Câu 6. Giải phương trình: 2 sin 2x  2 cos 2x  2 .
5


5
A. x 
 k  , x   k , k  .
B. x   k , x 
 k , k  .
6
6
12
12
5
13
5
13
C. x 
 k , x 
 k , k  .
D. x 
 k 2 , x 

 k 2 , k  .
24
24
12
12
Câu 7. Giải phương trình: sin x  cosx  1 .


A. x  k , x   k 2 , k 
B. x    k 2 , x    k 2 , k 
2
2

C. x   k 2 , k 
D. x  k 2 , k 
2
Câu 8. Nghiệm của phương trình 3 cos x  sin x  1 là:
 x  k 2
A. 
,k 

 x    k 2
6


Câu 9.



 x  6  k 2

,k 
B. 
 x     k 2

2

C. x  


 k 2 , k 
6

D. x  


 k 2 , k 
3

Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là




x  6  k2 3


5

A. x   k 2 , k  . B. 
(k  Z ) . C. x 

 k 2 , k  . D. Đáp án khác
6
3
66
11
 x  5  k 2 

66
11

2 
Câu 10. Phương trình 2  tan x 
 3  0 có tập nghiệm là:
cos x 







A.   k , k   .
B.   k 2 , k   . C. 
D.   k 2 , k   .
6

3

3


Câu 11. Phương trình cot x.sin x  cos x.tan x  2.sin 2 x có tập nghiệm là:
 k 2



  k



A.  
, k   . B.   k , k   . C.  
, k   . D.   k 2 , k   .
3
4

4

4 3

4

Trang 1 - Mã đề thi 303


Câu 12. Cho

phương

trình




2 tan x.cos 2 x  3 cos 2 x  2 ,  x   k  .
2



Thực

hiện

biến

đổi

s inx
thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
cos x
A. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
B. 2 sin 2 x  3 cos 2 x  2.
1
C. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
D. 2 sin x  3 cos 2 x  2.
2
1
3


Câu 13. Cho phương trình


 2  cot x  tan x  ,  x  k  . Quy đồng mẫu số ở hai vế, phương
sin x cos x
2

trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. cos x  3 sin x  2 cos 2 x
B. 2 sin 2 x  3 cos 2 x  2.
1
C. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
D. 2 sin x  3 cos 2 x  2.
2


Câu 14. Phương
trình
cos  2 x    3 cos   2 x   1
có
hai
họ
nghiệm
dạng
2



x    k ; x    k (   ,   ) . Khi đó  . là:
2
2
2


2
2
11 2
A.  .
B.  .
C.  .
D. 
.
12
16
48
48




Câu 15. Giải phương trình 3 cos  x    sin  x    2 sin 2 x
2
2



2


2

2





 x   18  k 3
 x   6  k 2
 x   18  k 3
 x   18  k 3
A. 
.
B. 
.
C. 
. D. 
.
 x  7  k 2
 x  7  k 2
 x   7  k 2
 x    k 2




6
6
6
6
3
Câu 16. Tập nghiệm của phương trình 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3x.
7
2 7

2 



A.   k 2 ;
 k 2  .
B.   k
;
k
.
54
9
54
9 
18

18
2 7
2 
2 7
2 

 
C.   k
;
k
D. 
k
;
k

.
.
9 54
9 
9 54
9 
18
 18
Câu 17. Giải phương trình 3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0
tan x 











 x  18  k 3
 x  18  k 2
 x   18  k 3
 x   18  k 2
A. 
(k  Z) . B. 
(k  Z) . C. 
(k  Z) . D. 
(k  Z) .

x     k 
 x     k 2
x    k 
 x    k 2




6
2
6
6
2
6
Câu 18. Phương trình 3cos x  2 sin x  2 có nghiệm là


A. x   k , k  . B. x   k , k  .
8
6
2

cos  



x   k


13

C. x   k , k  . D. 
, k  với 
.
2

4
3
sin  
 x    2  k 2

13
Câu 19. Số nghiệm của phương trình 3 sin x  cos x  2 trên đoạn 
 2 ; 2  là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.

Câu 20. Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình 5 cosx  s inx  3  2 sin(2 x  ).
4




2
A. .
B. và .
C. .
D.
.

3
3
6
4
3
Trang 2 - Mã đề thi 303






Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2sin  x    3cos  x    0 trên khoảng  20;20  là:
4
4


A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. 21.
x
x
Câu 22. Số nghiệm của phương trình (sin  cos )2  3 cos x  2 trên [0;  ] là:
2
2
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .

2
4
Câu 23. Cho phương trình:
3  2 cos x  sin 2 x  cos 2 x tan x   3 cos x  sin 4 x . Số nghiệm của





phương trình thuộc đoạn   ;   là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
 2 6 
Câu 24. Số nghiệm thuộc khoảng 
;
 của phương trình cos7 x  3 sin 7 x   2 là:
 5 7 
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
(1  2sin x ) cos x

 3 . Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [- ;  ] là:
Câu 25. Cho phương trình
(1  2sin x )(1  sin x)
2
11


5

A.
.
B.  .
C.
.
D.  .
18
18
9
6
cos x  3 sin x
Câu 26. Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác:
 0 trên đoạn 
 2 ; 2  là:
1
sin x 
2


5
A. .
B. .
C.
.
D. 0.
3
6

6
 2 6 
Câu 27. Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác: cos7x- 3 sin 7 x   2 thuộc khoảng 
;
 là:
 5 7 
7
47
7
22
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
4
42
4
21
Câu 28. Tổng các nghiệmcủaphương trình 2 3 cos 2 x  6sin x cos x  3  3 trong  0;  là

2

A.  .
B. .
C.
.
D. .

3
3
2
Câu 29. Số
điểm
biểu
diễn
của
các
họ
nghiệm
của
phương
trình 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1 trên đường tròn lượng giác là





A. 2.
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 30. Tổng các nghiệm thuộc đoạn 
 2020 ; 2020  của phương trình 2 cos 3 x  3 sin x  cos x  0 là:
A. 0.

B.

8081

.
6

Câu 31. Cho phương trình: tan x  sin 2 x  cos 2 x 
trình thuộc khoảng  0; 2  là:
A. 4

B. 5

C. 8081 .

D. 

2026
.
3

2
 4 cos x. Tổng tất cả các nghiệm của phương
cos x

C.

21
4

D.

25
4

x  
 x
Câu 32. Cho phương trình: 4 sin    sin     3 sin x  cos 2 x  cos x  1  cot 2 x .Biết nghiệm
2 6
6 2
m
m
dương nhỏ nhất của phương trình là  . ( là phân số tối giản). Tính m2  n2 .
n
n
A. 17 .
B. 10 .
C. 20 .
D. 26 .
Câu 33. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x  2 sin 2 x  0
3


A. x 
.
B. x  .
C. x  .
D. x   .
4
4
3
Câu 34. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình s inx  3cosx=1 trên đường tròn lượng giác là
A. 1.
B. 2.

C. 3.
D. 4.





Trang 3 - Mã đề thi 303


Câu 35. Số điểm biểu diễn nghiệm của trình 2 sin 2 x  2 cos 2 x  2 trên đường tròn lượng giác là
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. Vô số.
Câu 36. Biểu diễn nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  2sin x trên đường tròn lượng giác. Số điểm
biểu diễn là:
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
3
2 3 sin 3x
Câu 37. Khi biểu diễn nghiệm của phương trình 4sin x 
trên đường tròn lượng giác, ta

cos x
sin 2 x
được số điểm ngọn là:
A. 6.

B. 4.
C. 2.
D. 5.
Câu 38. Biểu diễn nghiệm của phương trình cos 2 x
Số điểm biểu diễn là:
A. 2 .

B. 4 .





3  tan x  2  tan x trên đường tròn lượng giác.
C. 3 .



4

4



Câu 39. Biểu diễn nghiệm của phương trình: 4 sin x  cos x  sin 4 x
trên đường tròn lượng giác. Số điểm biểu diễn là:
A. 6 .
B. 8 .
C. 10 .
Câu 40. Điều kiện có nghiệm của phương trình a s in x  b cos x=c là:

D. 5 .





3  1  tan 2 x tan x  3
D. 12 .

A. a 2  b 2  c 2 .
B. a 2  b 2  c 2 .
C. a 2  b 2  c 2 .
D. a 2  b 2  c 2 .
Câu 41. Cho phương trình 3sin x  3 cos x  3 3 (1). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) có 2 họ nghiệm.
B. Phương trình (1) vô nghiệm.
C. Phương trình (1) có vô số nghiệm.
D. Phương trình (1) có 1 họ nghiệm.
Câu 42. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2. B. 3sin x  4 cos x  5. C. sin x  cos . D. 3 sin x  cos x  3.
4
Câu 43. Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.
A. m  12
B. m  6
C. m  24
D. m  3
Câu 44. Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
 m  4

A. 
.
B. m  4 .
C. m  4 .
D. 4  m  4
m  4
m
Câu 45. Tìm m để phương trình sin 2 x  cos 2 x 
có nghiệm là
2
A. 1  3  m  1  3 . B. 1  2  m  1  2 . C. 1  5  m  1  5 .
D. 0  m  2 .
2
2
Câu 46. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình:  m  2  sin x  2m sin 2 x  1  0 có nghiệm.
1
1
1
1
B.   m  .
C.   m  .
D. | m | 1 .
2
2
4
4
Câu 47. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin 2 x  2  m  1 sin x cos x   m  1 cos2 x  m có nghiệm?
A. 0  m  1 .
B. m  1 .
C. 0  m  1 .

D. m  0 .
 
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 sin x  m cos x  1  m có nghiệm x  [- ; ] ?
2 2
3
A. 1  m  3.
B. 1  m  3.
C. 1  m  3.
D. m   .
2
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình (m+1) cos x  m sin x  1  0 có hai nghiệm

x1 , x2  [0;2 ] và hai nghiệm này cách nhau .
2
1  3
1  3
1  3
1  3
A. m 
.
B. m 
.
C. m 
.
D. m 
.
2
2
2
2

Câu 50. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  3 cos x  2 .
Tính P  m  3n
A. P  2.
B. P  5.
C. P  4.
D. P  7.
-----Hết-----

A. 1  m  1 .

Trang 4 - Mã đề thi 303


sin 2 x  2 cos 2 x  3
.
2 sin 2 x  cos 2 x  4
2
2
2
2
A. M  2; m   .
B. M  4; m  .
C. M  3; m  .
D. M  2; m  .
11
11
11
11
sin x  2 cos x  1
Câu 52. TÌm số giá trị của x thuộc [  2 ; 2 ] mà tại đó hàm số y 

đạt giá trị lớn nhất:
sin x  cos x  2
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1 .
m sin x  1
Câu 53. Cho hàm số y 
. Tìm m để Min y  1.
cosx  2
A. | m | 2 2.
B. | m | 2 2.
C. | m | 2 2.
D. m  2 2.
sin x  2 cos x  1
Câu 54. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 
. Giá trị của
sin x  cos x  2
M 2  m 2 là:
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 10.
m cos x  m  1
Câu 55. Số giá trị nguyên dương của m để tập giá trị của hàm số y 
nằm trong  ;1 là:
3  sin x  cos x
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .

D. 3 .

Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 

B. ĐÁP ÁN
1
A
21
C
41
B

2
C
22
D
42
D

3
D
23
D
43
A

4
B
24
D

44
D

5
B
25
C
45
C

6
C
26
A
46
D

7
B
27
C
47
A

8
B
28
B
48
A

9
B
29
B
49
A

10
C
30
A
50
C

11
A
31
A
51
D

12
A
32
B
52
A

13

A
33
A
53
A

14
C
34
B
54
C

15
A
35
C
55
C

16
C
36
A

17
A
37
B

18
D
38
B

19
C
39
B

20
A
40
A

Câu 1: Nghiệm của phương trình: cos x – sin x  0 là: Tanx =1


A. x   k .
B. x    k .
4
4


C. x   k 2 .
D. x    k 2 .
4
4
Lời giải
Chọn A.



 x  2  x  k 2



cos x – sin x  0  cos x  sin x  cos x  cos   x   
 x   k

4
2

 x    x  k 2

2

 x   k k  
4

Câu 2: Phương trình 3 cos 2 x  sin 2 x  1
tương đương với phương trình nào sau đây?






A. sin  2x    sin .
B. sin  2x    sin .
3

6
3
3








C. cos  2 x    cos .
D. cos  2 x    cos .
6
3
3
3


Lời giải
Chọn C.

Trang 5 - Mã đề thi 303


3
1
1
cos 2 x  sin 2 x 
2

2
2

 1



 cos 2 x.cos  sin 2 x.sin   cos  2x    c os
6
6 2
6
3

Câu 3: Phương trình : 3.sin 3x  cos3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây :

1




A. sin  3x     .
B. sin  3 x     .
6
2
6
6


 1


1


C. sin  3x    .
D. sin  3x     .
6 2
6
2


Lời giải
Chọn D.
Ta có
3 cos 2 x  sin 2 x  1 

3
1
1
.sin 3 x  cos 3x  
2
2
2



1

 cos .sin 3x  sin .cos 3x  sin  3 x    
6
6

6
2

3.sin 3x  cos 3x  1 

Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
A. x    k 2 , x 
 k 2 , k  . B. x    k 2 , x 
 k 2 , k  .
4
4
12
12

2

5
C. x   k 2 , x 
D. x    k 2 , x  
 k 2 , k  .
 k 2 , k  .
3
3
4
4
Lời giải

Chọn B.


1
3
2

Chia hai vế PT cho 2 ta được sin x 
 sin  x    sin
cos x 
2
2
2
3
4


  

 x  3  4  k 2
 x   12  k 2


(k  )
 x        k 2
 x  5  k 2


3
4

12
Câu 5: Phương trình





3  1 sin x 





 x   4  k 2
A. 
,k  .
 x    k 2

6


x


 k 2

6
C. 
,k  .
 x    k 2


9



3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là



 x   2  k 2
B. 
,k  .
 x    k 2

3


x


 k 2

8
D. 
,k  .
 x    k 2

12
Lời giải

Chọn B.

5
3 1

. Chia hai vế PT cho 3 1 được
12
3 1
5
5
5
5
PT: sin x  tan
.cos x  1  0  sin x.cos
 cos x.sin
 cos
0
Ta có tan

12
12
5 
5
5 


  
 sin  x 
 sin  x 
   cos

  sin   

12 
12

12 
 12 

12

12

Trang 6 - Mã đề thi 303





 5


x




k
2

x



k
2

x

 k 2
 12


12
3
3
 


(k  )
 x  5      k 2
 x  3  k 2
 x     k 2
 12


12
2
2
Câu 6: Giải phương trình: 2 sin 2x  2 cos 2x  2 .
5



5
A. x 
B. x   k  , x 
 k  , x   k , k  .
 k , k  .
6
6
12
12
5
13
5
13
C. x 
D. x 
 k , x 
 k , k  .
 k 2 , x 
 k 2 , k 
24
24
12
12
Lời giải
Chọn C.

.

2

2

2
 1


 2 sin  2 x   
 sin  2 x   
4 2
4 2


 

2
x

  k 2




4 6
 sin  2 x    sin  
4
6

 2 x        k 2

4

6
5

 x  24  k

k  
 x  13  k

24
2sin 2 x  2cos 2 x  2  sin 2 x  cos 2 x 

Câu 7: Giải phương trình : sin x  cosx  1 .
A. x  k , x 
C. x 


 k 2 , k 
2

B. x  


 k 2 , k 
2


 k 2 , x    k 2 , k 
2

D. x  k 2 , k 

Lời giải:

Chọn B


1

Ta có: sin x  cosx  1  sin  x    
4
2


 


 x  4   4  k 2
x


 k 2


(k  )
2

 x    5  k 2
 x    k 2

4
4

Câu 8: Nghiệm của phương trình 3 cos x  sin x  1 là:
 x  k 2
A. 
,k 

 x    k 2
6


C. x  


 k 2 , k 
6



 x  6  k 2
,k 
B. 
 x     k 2

2

D. x    k 2 , k 
3

Lời giải
Đáp án B

3 cos x  sin x  1 

3
1
1


1
cos x  sin x   cos cosx-sin sinx =
2
2
2
6
6
2

Trang 7 - Mã đề thi 303



  

 x  6  3  k 2
 x  6  k 2


cos( x  )  cos  
(k  )  
(k  )
6

3
 x       k 2
 x     k 2


6
3
2
Câu 9: Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là

A. x 



 k2 ,k  .
6
3




x  6  k2 3
B. 
(k  Z ) .
 x  5  k 2 

66
11

C. x 

5

 k2 ,k  .
66
11

D. Đáp án khác
Lời giải

Chọn B
sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0  sin 4 x  3 cos 4 x  3 sin 7 x  cos 7 x

1
3
3
1




sin 4 x 
cos 4 x 
sin 7 x  cos 7 x  sin  4 x    sin  7 x  
2
2
2
2
3
6






 k 2



 4 x  3  7 x  6  k 2
x  6  3
 3x   2  k 2



(k  )
 4 x       7 x     k 2
11x  5  k 2
 x  5  k 2




3
6
6
66 11




2 
 3  0 có tập nghiệm là:
Câu 10: Phương trình 2  tan x 
cos x 





A.   k , k   .
6

C. 


B.   k 2 , k 
3

D.   k 2 , k 
3
Lời giải


.


.


Chọn C

ĐK: cos x  0 .

2 
2
2
2
2  tan x 
  3  0  2 s inx  3cosx=4 . Vì 2  3  4 nên phương trình vô nghiệm.
cos
x


Câu 11: Phương trình cot x.sin x  cos x.tan x  2.sin 2 x có tập nghiệm là:
  k 2



, k  .
A.  
B.   k , k   .
3
4

4

  k



, k  .

C.  
D.   k 2 , k   .
4 3

4

Lời giải
Chọn A
ĐK: cos x  0, sinx  0 .

cot x.sin x  cos x.tan x  2.sin 2 x  cosx+sinx  2.sin 2 x
 


 x  4  2x  k 2
 x  4  k 2


 2.sin  x    2.sin 2 x  


4

 x     2x  k 2
 x    k 2


4
4
3

 k 2
x 
( k  )(t / m)
4
3

Trang 8 - Mã đề thi 303





s inx
Câu 12: Cho phương trình 2 tan x.cos2 x  3 cos 2 x  2 ,  x   k  . Thực hiện biến đổi tan x 
2
cos x


thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
B. 2 sin 2 x  3 cos 2 x  2.
1
C. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
D. 2 sin x  3 cos 2 x  2.
2
Lời giải
Chọn A




2 tan x.cos 2 x  3 cos 2 x  2 ,  x   k 
2


 2 s inx.cosx  3 cos 2 x  2
 sin 2x  3 cos 2 x  2
1
3


Câu 13: Cho phương trình

 2  cot x  tan x  ,  x  k  . Quy đồng mẫu số ở hai vế, phương
sin x cos x
2

trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. cos x  3 sin x  2 cos 2 x
B. 2 sin 2 x  3 cos 2 x  2.
1
C. sin 2 x  3 cos 2 x  2.
D. 2 sin x  3 cos 2 x  2.
2
Lời giải
Chọn A
1
3




 2  cot x  tan x  ,  x  k 
sin x cos x
2

 cosx- 3 s inx  2( cos 2 x  sin 2 x)
 cosx- 3 s inx  cos2x


Câu 14: Phương trình cos  2 x    3 cos   2 x   1 có hai họ nghiệm dạng
2



x    k ; x    k (   ,   ) . Khi đó  . là:
2
2
2
2
2



11 2
A.  . B.  .
C.  .
D. 
.
12
16
48

48
Lời Giải:
Chọn C.

 PT   sin(2 x) 

3 cos 2 x  1   sin 2 x  3 cos 2 x  1

1
3
1


  sin 2 x 
cos 2 x   cos(2 x  )  cos
2
2
2
6
3
 



 2 x  6  3  k 2
 x  12  k
2

(k  Z)  
(k  Z) . Từ đó suy ra  .   .

48
 2 x       k 2
 x     k

6
3
4





Câu 15: Giải phương trình 3 cos  x    sin  x    2 sin 2 x
2
2



2


2

2




 x   18  k 3
 x   6  k 2

 x   18  k 3
 x   18  k 3
A. 
.
B. 
.
C. 
. D. 
.
 x  7  k 2
 x  7  k 2
 x   7  k 2
 x    k 2




6
6
6
6
Lời giải:
Chọn A

Trang 9 - Mã đề thi 303


3
 1




cos( x  )  sin( x  )  sin 2 x  sin(  x  )  sin 2 x
2
2 2
2
3
2


2


  x  6  2 x  k 2
 x   18  k 3

(k  Z)  
(k  Z)
  x      2 x  k 2
 x  7  k 2
6
6


Câu 16: Tập nghiệm của phương trình 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x.
7
2 7
2 




A.   k 2 ;
 k 2  .
B.   k
;
k
.
54
9
54
9 
18

18
2 7
2 
2 7
2 

 
C.   k
;
k
D. 
k
;
k
.
.
9 54

9 
9 54
9 
18
 18
Lời giải:
Chọn A
 Giải tự luận:
3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x  3sin 3 x  4sin 3 3 x  3 cos 9 x  1  sin 9 x  3 cos9 x  1

 PT  



9x  

1
3
1
 1

3
 sin 9 x 
cos 9 x   sin  9 x     
2
2
2
3 2

9 x   


3
 Giải trắc nghiệm:(Hướng dẫn sử dụng MTCT nếu được)
+/ Chuyển máy tính sang chế độ đơn vị Rad.
+/ Nhập biểu thức 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x.
+/ Thử các phương án:
Câu 17: Giải phương trình 3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0





 x  18  k 3
 x  18  k 2
A. 
(k  Z) .
B. 
(k  Z) .
x     k 
 x     k 2


6
2
6






 x   18  k 3
 x   18  k 2
C. 
(k  Z) .
D. 
(k  Z) .
x    k 
 x    k 2


6
2
6
Lời giải:
Chọn A.
 Tự luận:

 PT  


 k 2
6

5
 k 2
6


2


 x  18  k 9

 x  7   k 2

54
9

3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0  3 cos 5 x  (sin x  sin 5 x )  sin x  0

3
1

cos 5 x  sin 5 x  sin x  sin(  5 x)  sin x
2
2
3





5
x

x

k
2

x



k
3

18
3

(k  Z)  
(k  Z)
   5 x    x  k 2
x     k 
 3

6 ở từng
2 phương án vào phương trình ta được đáp án.
 Trắc
nghiệm: Thay lần lượt các họ
nghiệm


Câu 18: Phương trình 3cos x  2 sin x  2 có nghiệm là

A. x   k , k  .
8

B. x   k , k  .
6

Trang 10 - Mã đề thi 303


 k , k  .
4


 x  2  k
D. 
, k .
 x    2  k 2

2
C. x 

Lời giải
Chọn D.
Với sin x  0 ta có phương trình
3
2
2
3cos x  2sin x  2 
cos x 
sin x 
 sin  cos x  cos  sin x  cos 
13
13
13





x       k 2
x   k 2




2
2
 sin  x     sin      

 tm 


2

 x       k 2
 x   2  k 2


2
2

Với sin x  0 ta có phương trình
3
2
2
3cos x  2sin x  2 
cos x 

sin x 
 sin  cos x  cos  sin x  cos 
13
13
13




x        k 2
x    k 2 TM 


 

2
2
 sin  x     sin       

 2

 x    3    k 2
 x  3  2  k 2  L 

2

2


 x  2  k


Kết hợp ta có nghiệm 
.
 x    2  k 2

2
Câu 19: Số nghiệm của phương trình 3 sin x  cos x  2 trên đoạn 
 2 ; 2  là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời Giải.
Chọn C.
 Giải tự luận : 3 sin x  cos x  2 (1).


Ta có a  3, b  1, c  2 ; a 2  b2  4  c 2  4 .
Chia cả hai vế cho

a2  b2  2 , ta được:

3
1
sin x  cos x  1  sin x. cos   cos x. sin   1
2
2
6
6



 


5

 2  ;2  
 sin  x    1  x    k 2  x   k 2 , k   
x  ;x  
6
6 2
3
3
3

Vậy phương trình cho có 2 nghiệm thỏa mãn.


 Trắc nghiệm: Áp dụng  3  ta có 3 sin x  cos x  2 sin  x  
6




5
2  ;2  
x  ;x  
1   sin  x  6   1  x  6  2  k 2  x  3  k 2 , k   
3
3




Câu 20: Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình 5 cosx  s inx  3  2 sin(2 x  ).
4


A. .
3



B. và .
3
6


C. .
4
Lời Giải.

2
D. .
3

Trang 11 - Mã đề thi 303


Chọn A.
 Giải tự luận :


5 cosx  s inx  3  2 sin(2 x  )  5cosx  s inx  3  sin 2x  cos2x
4
 5 cosx  s inx  3  2 s inx.cosx+2cos 2 x  1
 s inx  2cosx-1  2cos 2 x  5cosx  2  0
  2cosx-1 s inx  cosx-2   0
1

cosx 


2

s inx  cosx=2(VN)

Mà x   0;    x  .
3
 Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng phím CALC thử các đáp án.




Câu 21: Số nghiệm của phương trình 2sin  x    3cos  x    0 trên khoảng  20;20  là:
4
4


A. 9.
B. 10.

C. 11.
D. 21.
Lời giải:
Chọn C
 Giải tự luận:


 3



+/ 2sin  x    3cos  x    0  tan  x   
4
4
4 2





3
3
 x   arctan    k  x    arctan    k  .
4
4
2
2
+ Với x   20; 20 ta



1

1

3
 3 
 3 
 arctan    k  20   20   arctan     k   20   arctan   
4

4

4
2
 2 
 2 
 6,6  k  6,4  k 6; 5; 4;...;5;6.
Ứng với mỗi giá trị của k ta có một nghiệm của phương trình. Vậy số nghiệm của phương trình trên
khoảng  20;20  là 11.
có: 20  

x
x
 cos ) 2  3 cos x  2 trên [0;  ] là:
2
2
C. 3 .
D.1 .
Lời giải:

Câu 22: Số nghiệm của phương trình (sin
A. 4 .

B. 2 .
Chọn D.
 Tự luận:

1
3
1
3 cos x  2  sin x 
cos x 
2
2
2

  

x    k 2
x    k 2




3 6
6
 sin(x  )  sin  

3
6

 x    5  k 2
 x    k 2


3 6
2

Với x  [0;  ] ta chỉ có giá trị x= thỏa mãn vậy chọn D.
2
X
X
 Trắc nghiệm:Lập bảng cho biểu thức F(X)  (sin  cos ) 2  3 cosX  2 , X  [0;  ].
2
2
Với: Start 0 ; End  ; Step:  : 25 .
Quan sát bảng thấy F(X) đổi dấu 1 lần. Tức phương trình có 1 nghiệm thuộc [0;  ]. .
Câu 23: Cho phương trình: 3  2 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x tan x   3  cos 4 x  sin 4 x  .

 PT   1  sin x 

Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn   ;   là :
Trang 12 - Mã đề thi 303


A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .
Lời giải.

Chọn D.
ĐK: cos x  0

 PT  





3  2 cos2 x  sin 2 x  cos 2 x tan x   3 cos4 x  sin 4 x .

 sin 2 x cos x  cos 2 x sin x 
 3  2 cos2 x 
  3 cos 2 x
cos x


 3  sin 2 x  3 cos 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x  3
 x  k


3
 sin  2x   

k 
 x    k
3

2



6
Các nghiệm thỏa mãn điều kiện, suy ra số nghiệm thuộc đoạn   ;   là 5 .
 2 6 
;  của phương trình cos7 x  3 sin 7 x   2 là:
Câu 24: Số nghiệm thuộc khoảng 
 5 7 
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải:
Chọn D.
 Giải tự luận: cos7 x  3 sin 7 x   2 (1).
(1) 

1
3
2


 
cos 7 x 
sin 7 x  
 sin   7 x   sin   
2
2

2
6

 4




5
2
 6  7 x   4  k 2
 x1  84  k 7


.
   7 x  5  k 2
 x   13  k 2
 6
 2
4
84
7
2
6
2 5
2 6
2 5
2 6
2 5
2 6 5

- Vì
 x1 


k

 
k   
k  
5
7
5
84
7
7
5 84
7 7
5 84
7 7 84
143
2 67
143
67
.

 k. 

k
420
7 84

120
24
5
2 53
Mà k   nên k  2 suy ra x1 
 2.

.
84
7
84
2
6
2
13
2 6
2
13
2 6
- Vì
 x2 


k

 
k 
5
7
5

84
7
7
5
84
7 7
2 13
2 6 13
233
85
.
 
 k.  

k
5 84
7 7 84
120
24
 5 59 
Mà k   nên k  2; 3 suy ra: x2    ;   .
 12 84 
 2 6 
;  . Chọn D.
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm thuộc 
 5 7 
 2 6
;
 Giải trắc nghiệm: Lập bảng cho biểu thức F(X)  cos7 X  3 sin7 X  2 , X  
 5 7

Với: Start


.


 6 2 
2
6

: 25 .
; End
; Step: 
5
5 
7
 7

 2 6 
; .
Quan sát bảng thấy F(X) đổi dấu 3 lần. Tức phương trình có 3 nghiệm thuộc 
 5 7 
(1  2sin x ) cos x

 3 . Tổng tất cả các nhiệm thuộc đoạn [- ;  ] là:
Câu 25: Cho phương trình
(1  2sin x )(1  sin x)
2
Trang 13 - Mã đề thi 303

A.

11
.
18

B. 


.
18

C.

5
.
9

D. 


.
6

Lời giải:
Chọn C.
1
ĐK: sin x  1 và sin x   (*) khi đó
2

1
3
1
3
3 sin x  sin 2 x  3 cos 2 x  cos x 
sin x  sin 2 x 
cos 2 x
2
2
2
2


2


 x  2 x   k 2
x   k




6
3
18
3
 sin(  x)  sin(2 x  )  

6

3
   x    2 x    k 2
 x    k 2
 6

3
2

x   k 2 không thỏa mãn (*) nên loại
2

2

2
x  k
thỏa mãn đk (*) nên x    k
là họ nghiệm của phương trình
18
3
18
3


11
5
Trên đoạn [- ;  ] có 2 giá trị của x thỏa mãn là 
và
vậy tổng là
2
18

18
9
cos x  3 sin x
Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác :
 0 trên đoạn 
 2 ; 2  là :
1
sin x 
2


5
A. .
B. .
C.
.
D. 0.
3
6
6
Lời giải:
Chọn A


x   k 2

1

6
Điều kiện: s inx   

2
 x  5  k 2 , k  .

6
cos x  3 sin x


5
7
 2 ;2 , đk
 0  sin(  x )  0  x   k , k  
x   ;x 
1
6
6
6
6
sin x 
2

 tổng các nghiệm là .
3
 2 6 
Câu 27: Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác : cos7x- 3 sin 7 x   2 thuộc khoảng 
;
 là:
 5 7 
7
47
7

22
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
4
42
4
21
Lời giải:
Chọn C
13 2k

x



3
84
7
cos7x- 3 sin 7 x   2  cos(7x+ )  cos

3
4
 x  5  2k , k  .

84

7
53
5
59 
 2 6 
Xét x  
;
,x
,x
.
 tìm được 3 nghiệm thỏa mãn là x 
84
12
84
 5 7 
Câu 28: Tổng các nghiệmcủaphương trình 2 3 cos 2 x  6sin x cos x  3  3 trong  0;  là

2

A.  .
B. .
C.
.
D. .
3
3
2
Lời giải.

 PT   cos x 

Trang 14 - Mã đề thi 303


Chọn B.
Ta có
2 3 cos2 x  6sin x cos x  3  3  3 1  cos 2 x   3sin 2 x  3  3
1
3
3
cos 2 x 
sin 2 x 
2
2
2
 



2 x    k 2
x   k



3

3 6
4
 cos  2 x   



3 2

 2 x       k 2
 x    k


3
6
12
 
Do đó các nghiệm trong  0;  là ; .
4 12
Câu 29: Số điểm biểu diễn của các họ nghiệm của phương
trình 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1 trên đường tròn lượng giác là
 3 cos 2 x  3sin 2 x  3 





B. 3 .

A. 2.

C. 4 .
Lời giải.

D. 6 .

Chọn B.
Tựluận:
Ta có





2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1





 2 cos 2 x  1  2 3 sin x.cos x  cos x  3 sin x




 cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x  cos  2 x    cos  x  
3
3


2

 x  3  k 2
k 2

x

k  
3
 x  k 2

3
Trắc
nghiệm:
Dùng chức năng table, khảo sát trong  00 ;360 0  , số lần đổi dấu là số nghiệm của phương trình.
Câu 30: Tổng các nghiệm thuộc đoạn 
 2020 ; 2020  của phương trình 2 cos 3 x  3 sin x  cos x  0 là:
A. 0.

B.

8081
.
6

C. 8081 .

2026
.
3
Lời Giải:

D. 

Chọn A.

1

3
2cos3x  3 sin x  cos x  0  cos x 
sin x  cos3x
2
2




 cos cos x  sin sin x  cos3x  cos  x    cos 3x.
3
3
3

 


 x  3  3x  k 2
 x  6  k


 x    3x  k 2
 x     k

3

12 2


2020  x  2020  2020 

suy ra k  2020;  ; 2019



1
1
 k  2020  2020   k  2020 
6
6
6

2020  x  2020  2020  

suy ra k  4039;  ; 4040

 k
1
1

 2020  4040   k  4040 
12 2
6
6

Trang 15 - Mã đề thi 303





Hai tập nghiệm này không có nghiệm nào trùng nhau.
Tổng các nghiệm:

 
S  4040.    2020  ( 2019)    2018  2019   8080.   4039  ( 4038)    4039  4040   0
6
12 2
Câu 31: Cho phương trình: tan x  sin 2 x  cos 2 x 

2
 4 cos x. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
cos x

thuộc khoảng  0; 2  là:
A. 4

B. 5

C.

21
4

D.
Lời giải.

25
4

Chọn A.
ĐK: cos x  0

2

 PT   tan x  sin 2 x  cos 2x  cos x  4 cos x   sin x  sin 2 x.cos x   cos x.cos 2x  2  4 cos
 sin x  1  2 cos x   cos x.cos 2 x  2 cos 2 x  cos 2 x   sin x  cos x  2   0

2

x

2

 cos 2 x  0  x 

 k

4 2

(Vì  sin x  cos x  2  0 vô nghiệm)
Dễ thấy nghiệm thỏa mãn điều kiện. Các nghiệm trong khoảng  0; 2  là:

 3 5 7
;
;
;
4 4 4 4

Suy ra tổng các nghiệm là 4

Câu 32: Cho phương trình:
 x    x
4sin    sin     3 sin x  cos 2 x  cos x  1  cot 2 x
2 6   6 2
m
m
Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là  . ( là phân số tối giản).
n
n
2
2
Tính m  n .
A. 17 .
B. 10 .
C. 20 .
D. 26 .
Lời giải.
Chọn B.
 Tự luận: ĐK: sin x  0



 PT   4 sin  x2  6  sin  6  2x  



3 sin x  cos 2 x  cos x  1  cot 2 x











1
1
 2  cos x    3 sin x  cos 2 x  cos x 
 sin 2 x  sin x  3  cos 2 x  cos x 
2
sin 2 x



2
x
 k 2





3
 sin  2 x    sin  x    
k 
3
3



 x    k 2

3
3

Kết hợp với điều kiện thì k  3 m  1 và nghiệm dương nhỏ nhất là .
3
Câu 33: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x  2 sin 2 x  0
3


A. x 
.
B. x  .
C. x  .
4
4
3
Lời giải
Chọn A.
Ta có: 2sin x  sin 2 x  0  2sin x 1  2 cos x  0



D. x   .



Trang 16 - Mã đề thi 303


 sin x  0
x  k





k 
cos x   1
 x   3  k 2

2

4

.

3
4
Câu 34 : Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình s inx  3cosx=1
trên đường tròn lượng giác là:
A . 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Chọn B



x
 k 2



6
s inx  3cosx=1  sin(x+ )  sin  
3
6
 x    k 2 , k  .

2

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: x 

Câu 35: Khi biểu diễn nghiệm của trình 2 sin 2 x  2 cos 2 x  2 trên đường tròn lượng giác, ta được số điểm
ngọn là:
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. Vô số.
Lời Giải:
Chọn C.
y
2




2sin 2 x  2cos 2 x  2  sin 2 x  cos 2 x 
 sin  2 x    sin
B1
2
4
4

M


 


x
 2 x  4  4  k 2
 x  4  k


, k  .



 2 x      k 2
 x   k
N


4
4
2

B2

Họ nghiệm x   k có hai điểm ngọn M , N trên đường tròn lượng
4
giác.

Họ nghiệm x   k có hai điểm ngọn B1 , B2 trên đường tròn lượng
2
giác.
Câu 36: Biểu diễn nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  2sin x trên đường tròn lượng giác. Số điểm
biểu diễn là:
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
Lời Giải:
Chọn A
 Tự luận:

1
3

sin 2 x 
cos 2 x  sin x  sin(2 x  )  sinx
2
2
3





 2 x  3  x  k 2
 x   3  k 2

(k  Z)  
(k  Z)
 2 x      x  k 2
 x  2  k 2
3
9 nhau.
3 Suy ra số điểm biểu diễn là 4.
 trùng
Haihọ nghiệm
không có điểm biểu diễn
 Trắc nghiệm: SHIFP MODE 3.
Lập bảng cho biểu thức F(X)  sin 2 X  3 cos 2 X  2sinX , X  [0; 360].
Với: Start 0 ; End 360 ; Step: 15 .
Quan sát bảng thấy F(X) đổi dấu 4 lần. Tức phương trình có 4 nghiệm thuộc [0; 360].

 PT  

Trang 17 - Mã đề thi 303


Câu 37: Khi biểu diễn nghiệm của phương trình 4sin x 
được số điểm ngọn là:
A. 6.

B. 4.

3
2 3 sin 3x
trên đường tròn lượng giác, ta

cos x
sin 2 x

C. 2.
Lời Giải:

D. 5.

Chọn B
ĐK: sin 2 x  0
3
2 3 sin 3 x
4sin x 

 2sin 2 x.sin x  3 sin x  3 sin 3 x
cos x
sin 2 x
 cos x  cos 3 x  3 sin x  3 cos x  cos x  3 sin x  cos 3 x  3 sin 3 x



3x   x   k 2
 x  k  ( L)

3
3





 cos  3 x    cos  x    

.
 x     k  (2)


3
3






 3x    x 
6
2


  k 2

3
3


Họ nghiệm  2  khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác có số điểm ngọn 4

Chú ý cách biến đổi khác:
3
2 3 sin 3 x
4sin x 

 2 sin 2 x.sin x  3 sin x  3 sin 3 x  2 sin 2 x.sin x  2 3 sin x.cos 2 x
cos x
sin 2 x
 x  k  (1)
sin x  0
sin x  0



.



x



k
(2)
sin
2
x


3

cos
2
x
tan
2
x


3



6
2
Câu 38: Biểu diễn nghiệm của phương trình cos 2x 3  tan x  2  tan x trên đường tròn lượng giác. Số



điểm biểu diễn là:
A. 2 .

B. 4 .



C. 3 .

D. 5 .
Lời giải.

Chọn B.
ĐK: cos x  0

 PT   cos 2x 



3  tan x  2  tan x  tan x  1  cos 2 x   3 cos 2 x  2

 tan x.2 cos 2 x  3 cos 2 x  2  sin 2 x  3 cos 2 x  2


x    k



2
24
 sin  2 x   

k  
3
2

 x  5  k

Các nghiệm thỏa mãn điều kiện và các24điểm biểu diễn không bị trùng nhau nên số điểm biểu diễn là 4.
Câu 39: Biểu diễn nghiệm của phương trình:





4 sin4 x  cos4 x  sin 4 x





3  1  tan 2x tan x  3

trên đường tròn lượng giác. Số điểm biểu diễn là:
A. 6 .
B. 8 .
C. 10 .

D. 12 .
Lời giải.

Chọn B.
ĐK: cos x  0, cos 2 x  0

Trang 18 - Mã đề thi 303


 PT   4  sin

4



x  cos4 x  sin 4 x





3  1  tan 2 x tan x  3


sin 2x.sin x 
 3  cos 4 x  3 sin 4 x  sin 4x  1 
3
 cos 2 x.cos x 
cos x
 cos 4 x  3 sin 4 x  2 sin 2 x.cos 2 x.
0
cos 2 x.cos x


 x   12  k
 3 sin 4 x  cos 4 x  2 sin 2 x  
k  
 x  5  k

3 không có điểm biểu diễn trùng nhau. Suy ra số điểm
Các nghiệm thỏa mãn điều kiện và hai
họ 36
nghiệm
biểu diễn là 8.

Câu 40: Điều kiện có nghiệm của phương trình a s in x  b cos x=c là:
A. a 2  b 2  c 2 .

B. a 2  b 2  c 2 .
C. a 2  b 2  c 2 .
Lời Giải:

D. a 2  b 2  c 2 .

Chọn A

a s in x  b cos x=c  sin  x    


c
2

a b

2

c
a 2  b2

 1  a2  b2  c 2

Câu 41: Cho phương trình 3sin x  3 cos x  3 3 (1). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) có 2 họ nghiệm.
B.Phương trình (1) vô nghiệm.
C. Phương trình (1) có vô số nghiệm.

D. Phương trình (1) có 1 họ nghiệm.
Lời Giải:
Chọn B
Phương pháp: Trước khi bắt tay vào giải phương trình dạng a.sin x  b.cos x  c nên kiểm tra điều
kiện có nghiệm của phương trình là: a2  b 2  c 2 .
 Tự luận:
Ta có: a  3, b  3 , c  3 3 .Do a2  b2  32 
Vậy phương trình cho vô nghiệm.
Câu 42: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2.

C. sin x  cos .
4

 3

2

 

 12  c 2  3 3

2

 27 .

B. 3sin x  4 cos x  5.
D. 3 sin x  cos x  3.

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.

A. m  12
B. m  6
C. m  24
D. m  3
Lời giải
Đáp án A
Phương trình: msinx  5cosx  m  1 là phương trình dạng asinx  bcosx  c với
a  m, b  5, c  m  1
Nên phương trình có nghiệm khi:
a2  b2  c2  m2  52  (m  1)2  m  12
Câu 44: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
 m  4
A. 
.
B. m  4 .
C. m  4 .
D. 4  m  4
m  4
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi 32  m 2  5 2  4  m  4
Trang 19 - Mã đề thi 303


Câu 45: Tìm m để phương trình sin 2 x  cos 2 x 
A. 1  3  m  1  3 .
C. 1  5  m  1  5 .

m
có nghiệm là

2
B. 1  2  m  1  2 .
D. 0  m  2 .
Lời giải

Chọn C.
1  cos 2 x m
 2sin 2 x  cos 2 x  m  1

2
2
2
ĐK PT có nghiệm là 22  12   m  1  m  1  5 1  5  m  1  5
Câu 46 : Cho phương trình:  m 2  2  sin 2 x  2 m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp
của tham số m là
1
1
1
1
A. 1  m  1 .
B.   m  .
C.   m  .
D. | m | 1 .
2
2
4
4
Lời giải
Chọn D.
PT trở thành  m2  2    m2  2 cos 2 x  4m sin 2 x  2  0

 4m sin 2 x   m2  2 cos 2 x  m2  4

Áp dụng CT hạ bậc ta được sin 2 x 

2

2

2
ĐK PT có nghiệm  4m    m 2  2    m 2  4   m 2  1  m  1

Câu 47: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin 2 x  2  m  1 sin x cos x   m  1 cos2 x  m có nghiệm?
A. 0  m  1 .
B. m  1 .
C. 0  m  1 .
D. m  0 .
Lời giải.
Chọn A.
1  cos 2 x
1  cos 2 x
pt 
  m  1 sin 2 x   m  1
 m  2  m  1 sin 2 x  m cos 2 x  2  3m
2
2
2
2
Phương trình có nghiệm  4  m  1  m 2   2  3m   4 m 2  4 m  0  0  m  1
 
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 sin x  m cos x  1  m có nghiệm x  [- ; ] ?

2 2
3
A. 1  m  3.
B. 1  m  3.
C. 1  m  3.
D. m   .
2
Lời giải:
Chọn A.
x
x
Khi cos  0 thay vào phương trình được  m  1  m  1  0 không thỏa mãn vậy cos  0 không
2
2
phải là nghiệm của phương trình.
2t
1  t2
x
Đặt tan  t  sin x 
phương trình trở thành t 2  4t  1  2m  0.
;
cos
x

2
1  t2
1  t2
Bài toán trở về tìm m để phương trình t 2  4t  1  2 m có nghiệm t  [-1;1].
Dùng bảng biến thiên cho hàm số y  t 2  4t  1 ta tìm được 1  m  3.
Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình (m+1) cos x  m sin x  1  0 có hai nghiệm


x1 , x2  [0;2 ] và hai nghiệm này cách nhau .
2
1  3
1  3
1  3
1  3
A. m 
. B. m 
.
C. m 
.
D. m 
.
2
2
2
2
Lời giải.
Chọn A
 Tự luận:

Trang 20 - Mã đề thi 303


Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x1   và x2   


khi đó
2

(m+1)cos   m sin   1  0
(m+1) cos   m sin   1  0

:



-(m+1) sin   m cos   1  0
(m+1)cos(  )  m sin(  )  1  0

2
2
m(sin   cos  )  (1  cos  )

m(cos   sin  )  sin   1
1
 (sin   cos  )(sin   1)  (cos   sin  )(1  cos  )  sin  
2


  6
1  3

m
.
2
  5

6

Điều kiện đủ:

1  3

2

giải được x1  ; x2 
 x1  thỏa mãn.
2
6
3
2
1  3
5
4

-Thay m 
giải được x1 
; x2 
 x1  thỏa mãn.
2
6
3
2
1  3
Vậy m 
. chọn A.
2
 Trắc nghiệm:
1  3

1  3
Thay m 
, m  0 vào phương trình giải trực tiếp thấy m 
thỏa mãn, m  0 không
2
2
thỏa mãn.
-Thay m 

Câu 50: Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  3 cos x  2 .
Tính P  m  3n
A. P  2. B. P  5.
C. P  4.
D. P  7.
Lời Giải:
Chọn C.
 Tự luận: TXĐ: D  R
y  sin x  3 cos x  2  y  2  sin x  3 cos x 

y2 1
3
 sin x 
cos x
2
2
2

y2

 sin(x  )

2
3

y2
Vì 1  sin(x  )  1 nên 1 
1 0  y  4
3
2
Vậy m  4; n  0 Suy ra P  4 .
 Trắc nghiệm:SHIFT MODE 3
Lập bảng cho biểu thức y  sin x  3 cos x  2 , X  [0; 360].
Với: Start 0 ; End 360 ; Step: 15.
Quan sát bảng thấy F(X)đạt GTLN bằng 4, GTNN bằng 0 vậy chọn C.
sin 2 x  2 cos 2 x  3
Câu 51: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 
.
2 sin 2 x  cos 2 x  4
2
2
2
2
A. M  2; m   .
B. M  4; m  .
C. M  3; m  .
D. M  2; m  .
11
11
11
11
Lời giải.

Chọn D.
Do phương trình 2sin 2 x  cos 2 x  4  0  2 sin 2 x  cos 2 x  4 có (2)2  ( 1) 2  ( 4) 2 nên vô
nghiệm
2sin 2 x  cos 2 x  4  0 x  . Vậy tập xác định của hàm số là .


Trang 21 - Mã đề thi 303


Miền giá trị của y là tất cả các giá trị của y thỏa mãn phương trình y 
nghiệm  (2 y  1)sin 2 x  ( y  2) cos 2 x  3  4 y có nghiệm x 

sin 2 x  2 cos 2 x  3
có
2 sin 2 x  cos 2 x  4

 (2 y  1)2  [  ( y  2)]2  (3  4 y)2
 11y 2  24 y  4  0 

2
2
 y  2 Vậy M  2; m  .
11
11

Câu 52: Có bao nhiêu giá trị của x thuộc đoạn [  2 ; 2 ] mà tại đó hàm số y 
lớn nhất:
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

sin x  2 cos x  1
đạt giá trị
sin x  cos x  2

D.1 .
Lời giải:

Chọn A.
 Tự luận:Vì phương trình sin x  cos x  2  0 vô nghiệm nên :
TXĐ: D  R
Biến đổi hàm số đã cho về dạng:
(1  y) sin x  (2  y ) cos x  1  2 y  0(*)
PT (*) là phương trình bậc nhất đối với sin và cos, ta có:

(1  2 y)2  (1  y)2  (2  y)2  2y2  2y  4  0  2  y  1
Ta thấy max y  1 khi cos x  1  x  k 2 (k  Z)
Trên đoạn [  2 ; 2 ] có các giá trị 2 ; 0; 2 thỏa mãn nên chọn A.
 Trắc nghiệm:
sinX  2 cosX  1
, X  [-2 ; 2 ].
sinX  cosX  2
Với: Start 2 ; End 2 ; Step: 4 : 25 . Quan sát bảng thấy F(X) có 3 lần đạt giá trị gần bằng 1 (lớn
nhất) vậy chọn A.

Lập bảng cho biểu thức F(x) 

Câu 53: Cho hàm số y 

A.| m | 2 2.

m sin x  1
. Tìm m để Min y  1.
cosx  2
B.| m | 2 2.
C.| m | 2 2.

D. m  2 2.

Lời giải.
Chọn A.
Tập xác định của hàm số là

.

Coi y là tham số thứ 2 của phương trình ẩn x : y 

m sin x  1
 m sin x  ycosx  2 y  1
cosx  2

2  1  3 m2
2  1  3 m2
y
.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  ( y)  (2 y  1) 
3
3
2  1  3m2

2  1  3m2
. Để Min y  1 
 1  |m| 2 2.
Suy ra Min y 
3
3
sin x  2 cos x  1
Câu 54: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 
. Giá trị của
sin x  cos x  2
M 2  m 2 là:
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 10.
Lời giải.
ChọnC.
Tự luận: Ta có sin x  cos x  2  0,   nên:
sin x  2 cos x  1
y
 y  sin x  cos x  2   sin x  2 cos x  1   y  1 sin x   y  2  cos x  1  2 y P
sin x  cos x  2
2
2
2
hương trình có nghiệm khi  y  1   y  2    1  2 y   y 2  y  2  0  2  y  1 .
2

2

2

Vậy M  max y  1; m  min y  2  M 2  m2  5 .
Trắc nghiệm :
Trang 22 - Mã đề thi 303


sin x  2 cos x  1
, start: 0 ; end: 360 ; step: 15 .
sin x  cos x  1
m cos x  m  1
Câu 55 : Số giá trị nguyên dương của m để tập giá trị của hàm số y 
nằm trong  ;1 là:
3  sin x  cos x
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải.
Chọn C.
Ta có 3  sin x  cos x  0,   nên:
mcosx  m  1
y
 y sin x   y  m  cos x  m   3 y  1
3  sin x  cos x
2
2
Phương trình có nghiệm khi y 2   y  m    m  3 y  1  7 y 2  2  2 m  3  y  1  2 m  0
1
1

  2m  3  4m 2  2m  2   y   2m  3  4 m 2  2 m  2  .


7
7
1
Yêu cầu đề bài  max y  1 
2m  3  4 m 2  2 m  2   1


7
10  2m  0
7
 4m 2  2m  2  10  2m   2
2  m
3
4m  2m  2  10  2m 

Dùng chức năng table của máy tính, nhập biểu thức

Trang 23 - Mã đề thi 303