GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương một TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ
Chương một trình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử
lý số nói riêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian.

1.1

Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu

Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số, trước hết
cần nắm được các khái niệm và thuật ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu.
1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu
1.1.1a Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được
biến đổi theo quy luật của tin tức.

Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện
từ, tín hiệu điện ...vv... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định. Trong các
lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại
lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều
có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản
chất vật chất của tín hiệu
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay
X().

Bekhoe_Bedep


1.1.1b Phân loại tín hiệu

Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu như sau :
1.

Tín hiệu liên tục x(t) là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.

Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thể biến thiên liên
tục hoặc được lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một hoặc loại hai.
Trên hình 1.1a là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị liên tục. Trên hình 1.1b là đồ thị của tín
hiệu liên tục có giá trị lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.1c là đồ thị của tín
hiệu liên tục có giá trị gián đoạn loại một.
x1(t)

x(t)

x (n )

4
2

a.

Giá trị liên tục.

Hình 1.1
2.

n

t

t

0

b.

Giá trị lượng tử.

c.

Giá trị gián đoạn.

: Đồ thị các tín hiệu liên tục.

Tín hiệu rời rạc x(nT) là tín hiệu có biến thời gian gián đoạn t = nT.

Bekhoe_Bedep


Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở những thời điểm gián đoạn t = nT, không xác định trong các
khoảng thời gian ở giữa hai điểm gián đoạn.
Có thể biến đổi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT), quá trình đó được gọi là rời
rạc hóa tín hiệu liên tục. Định lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà
không làm thay đổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục còn được
gọi là quá trình lấy mẫu.
Trên hình 1.2a là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục (có thể nhận giá trị bất kỳ tại
mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc có giá trị được lượng tử hóa từ tín hiệu
trên hình 1.2a
x(nT)

x(nT)

nT

nT

a.

Giá trị liên tục.

Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc.

Bekhoe_Bedep

b.

Giá trị được lượng tử hóa.


3. Tín hiệu lượng tử là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần một giá
trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.

Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử được
gọi là quá trình lượng tử hóa.
Trên hình 1.1b là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.2b
là tín hiệu rời rạc được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a..
4.

Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử.

Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu
Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu tương tự.

5.

Tín hiệu xung là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.

Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1c là tín hiệu xung liên tục
một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc.
6. Tín hiệu số là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại các
thời điểm rời rạc cách đều nhau.

Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có hai mức điện áp, mức thấp là
giá trị logic “0” , mức cao là giá trị logic “1”.

Bekhoe_Bedep


Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu số có 8 bít được gọi là một
byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo tiếng Anh là
word).
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu số theo tiếng Anh là tín hiệu Digital. Tín hiệu số thường được mã
hóa theo mã nhị phân (Binary Code), mã cơ số tám (Octal Code), mã cơ số mười sáu
(Hexadecimal Code), mã nhị thập phân (Binary Coded Decimal), mã ASCII (American
Standard Code for Information Interchange) ....
Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính là thông tin chứa đựng trong tín hiệu.
Vậy số liệu là ánh xạ của tín hiệu số, do đó các tác động lên số liệu cũng chính là tác động lên tín
hiệu.
Trên hình 1.3 là đồ thị của tín hiệu số 4 bít có giá trị mã nhị phân tại thời điểm 0T là 0110 , tại 1T là
0011 , tại 2T là 1011 , ....
Bít 3
0

0

NT

1

0

NT

1

1

NT

Bít 2
Bít 1
Bít 0
0
0T

Bekhoe_Bedep

NT

1
1T

2T

3T

4T

5T

6T


Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó.

Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và được mã hóa. Do đó có thể
biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu số, quá trình đó được gọi là số hóa tín hiệu liên tục.
Quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là :
- Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu.
- Lượng tử hóa giá trị các mẫu.

x(t)

x(t)

- Mã
hóa giá trị lượng tử của các mẫu.
4
4

2

2 các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít.

Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa
t 1.4a), nhưng khi số hóa tín hiệu xung
0 hóa tín hiệu tương tự sẽt gây ra0 sai số lượng tử (xem hình
Khi số
x(nTngoài
)
T) về pha (xem hình 1.4b).
thì
sai số lượng tử còn có saix(n
số
4

4

2

n

0

x(nT)

2

nT

0

x(nT)
4

4

2

nT

0

Bít 3
0

nT

1

nT

0

nT

1

nT

Bít 2
Bít 1

2

nT

0

Bekhoe_Bedep
Bít 0

Bít 3

0

nT

1

nT

Bít 2
Bít 1
Bít 0

0
1

nT
nT


a.

Số hóa tín hiệu tương tự.

Hình 1.4

b.

Số hóa tín hiệu xung.

: Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.

Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện trên bộ biến đổi tương tự số, viết
tắt là ADC (Analog Digital Converter).
Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ biến đổi số tương tự, viết tắt là DAC
(Digital Analog Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có giá trị lượng tử như trên hình 1.1b .

1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu
1.1.2a Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu

Bekhoe_Bedep


1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như khuyếch đại, suy giảm, chọn
lọc, biến đổi, khôi phục .... giá trị và dạng của tín hiệu.
2.

Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ thống dùng để xử lý tín hiệu.

Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ xử lý tín hiệu thực hiện các
tác động lên tín hiệu theo một quy luật nhất định.

Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đơn giản, cũng có thể là những thiết bị hoặc
hệ thống phức tạp.
Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có những đặc thù riêng phụ
thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử lý tín hiệu
khác nhau. Vì thế, việc phân tích và tổng hợp các hệ xử lý tín hiệu luôn gắn liền với việc
nghiên cứu và phân tích loại tín hiệu mà nó xử lý.
1.1.2b Phân loại các hệ xử lý tín hiệu

Các hệ xử lý tín hiệu được phân loại theo nhiều cách khác nhau, ở đây trình bầy cách phân loại
theo tín hiệu mà nó xử lý.
1.

Hệ tương tự : (Analog System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu
tương tự.
Nhiều tài liệu gọi hệ tương tự theo tiếng Anh là hệ Analog.
2.

Hệ xung : (Impulse System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu xung.

Bekhoe_Bedep


Hệ xung còn có thể được gọi là hệ gián đoạn theo thời gian (Discrete-Time System).
3.

Hệ số : (Digital System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu số.

Các hệ số không có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý, chỉ thực hiện xử lý tín hiệu số bằng
mạch phần cứng, thường được gọi là các mạch logic hoặc mạch số.
Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý. Về

thực chất, việc xử lý tín hiệu số bằng phần mềm là xử lý các dãy số liệu, tức là xử lý số. Vì thế, có thể
coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử lý số liệu.

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý tín hiệu số
“ (Digital Signal Processing System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital Processing
System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ xử lý số liệu, trong sách này
sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “.
4.

Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal) Hệ xử lý số tín hiệu là các
mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng phương pháp số.
Như vậy, hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số.

Phần
tương tự
1

ADC

Bekhoe_Bedep

Phần
xử lý số

DAC

Phần
tương tự 2

Hình 1.5

: Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu.

Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó phần tương tự 1 để xử lý tín hiệu
tương tự. Tín hiệu tương tự sau khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu số, và sẽ được xử lý
bởi phần xử lý số.
DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và nó được xử lý tiếp bằng phần
tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC là các phần tử nối ghép giữa phần tương tự và phần số của
các hệ xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu tương tự sau khi đã được xử lý số
không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ xử lý số tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi
DAC và phần tương tự 2.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số, cũng như
tín hiệu số và các dãy số liệu.

1.2
Dãy số
Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần
nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số,
dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.
Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng
hàm số :
x (n )
1

Bekhoe_Bedep

n
-1 0

1

2

3

4


 1
x( n) 
 0

Khi n   0 , 3 
Khi n   0 , 3 

- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số
liệu ở bảng 1.1.
Bảng 1.1
...
-3
-2
-1
0
1
-
n

0
0
0
0
1
1
x(n) 0

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)

2
1

3
1

4
0

5
0

...
0


0

- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,


Hoặc:

x ( n) 

  (k ).x(n  k )   (n) * x(n)

[1.2-25]

k 

Chứng minh: Luôn có x(k )  x(k ). (n  k ) với mọi k  (-  , ). Vì thế, khi lấy tổng các mẫu x(k) với k (-  , ),
nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập, từ [1.2-24] nhận được [1.2-25].
1.3

tín hiệu số

1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số

Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên, còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho
việc xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử dụng biến
n = (nT/T). Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số x(n), do đó có thể sử dụng các biểu diễn của dãy số để
biểu diễn tín hiệu số, cũng như sử dụng các phép toán của dãy số để thực hiện tính toán và xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu
số.

Bekhoe_Bedep


Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị và dãy số

liệu. Người ta thường sử dụng biểu diễn tín hiệu số dưới dạng dãy số liệu có độ dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng
các chương trình phần mềm.
Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là cộng, nhân, nhân với hằng số, và phép trễ. Phép
dịch sớm có thể được sử dụng ở các hệ xử lý số bằng phần mềm trong thời gian không thực.
1.3.1b Phân loại tín hiệu số

Có thể phân loại tín hiệu số theo dạng của dãy x(n), như đã được
trình bầy ở 1.2. Một số loại tín hiệu số thường gặp là:
- Tín hiệu số xác định và ngẫu nhiên.
- Tín hiệu số tuần hoàn và không tuần hoàn.
- Tín hiệu số hữu hạn và vô hạn.
- Tín hiệu số là dãy một phía.
- Tín hiệu số là dãy số thực.
- Tín hiệu số là dãy chẵn, và dãy lẻ.
- Tín hiệu số là dãy đối xứng, và dãy phản đối xứng.
Ngoài ra, theo giá trị năng lượng và công suất của tín hiệu số, người ta còn phân biệt hai loại tín hiệu số sau:
- Tín hiệu số năng lượng là tín hiệu số có năng lượng hữu hạn.
- Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn.

1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số
1.3.2a Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu tính bằng số mẫu.
Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ xử lý số phải xử lý tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài
hữu hạn hoặc vô hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn hoặc dãy vô hạn tương ứng. Độ dài hữu hạn của tín hiệu số
thường được ký hiệu là N (hoặc một chữ cái khác).
Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định với đối số n  [0 , (N - 1)] , và thường được ký
hiệu là x(n)N .
Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác định với đối số n  [-N , N].

Bekhoe_Bedep

Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)N mà không làm thay đổi nó, bằng cách thêm vào x(n) các mẫu
có giá trị bằng 0 khi n  N.
1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình x(n) của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
x ( n) 

1
N

N1

 x (n)

[1.3-1]

n 0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
N

1



x ( n) 
x ( n)
(2 N  1) n  N

[1.3-2]

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
x( n) Lim
N 

1
N

N1

 x ( n)

[1.3-3]

n 0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
x( n) Lim

1

N



x ( n)
[1.3-4]
( 2 N  1) n  N
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín

hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
N 

1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá
Năng lượng Ex của tín hiệu số x(n) được tính như sau:

trị tất cả các mẫu của tín hiệu.
N1

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:



Ex 

n 0

[1.3-5]

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

Bekhoe_Bedep

x( n)

2


N



Ex 

x( n)

2

[1.3-6]

n  N

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:




Ex 

x( n)

2

[1.3-7]

n 0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:


Ex 



x (n)

2

[1.3-8]

n 

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu hạn và chúng là các tín hiệu năng
lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình
bình phương của tín hiệu).
Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Px 

Ex
N



1
N

N1



x ( n)

2

 x 2 (n)

[1.3-9]

n 0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
Px 

Ex

( 2 N  1)



N

1



( 2 N  1) n  N

x( n)

2

 x 2 (n)

[1.3-10]

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Px  Lim

N 

Ex
N

 Lim
N 

1
N

N1


n 0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

Bekhoe_Bedep

x ( n)

2

 x 2 (n)

[1.3-11]


Px  Lim

Ex

N   ( 2 N  1)

N

1

 Lim



x( n)

N   ( 2 N  1) n  N

2

 x 2 (n)

[1.3-12]

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công suất trung bình hữu hạn và chúng là các tín hiệu
công suất. Công suất trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng và công suất hữu hạn, chúng là tín hiệu năng
lượng và tín hiệu công suất.
Ví dụ 1.9: Hãy xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:




a. (n) ; b. u(n) ; c. rectN(n) ; d. x(n)  cos 2 n  với n  [-4 , 4]




Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị (n):
- Tín hiệu số (n) có độ dài hữu hạn N = 1 .
 ( n) 1
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:
0

- Năng lượng theo [1.3-5]:

E 

 1 1
n 0

- Công suất trung bình theo [1.3-9]: P 

E



N

1
1

1

b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n):
- Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn
- Giá trị trung bình theo [1.3-3]: u (n) Lim

N 


- Năng lượng theo [1.3-7]:

n 0

Bekhoe_Bedep

N1

N

 u (n)  Lim
N

N 

n 0

 u ( n)

Eu 

- Công suất trung bình theo [1.3-11]:

1

2






n 0

1

2

N

1




Pu

1

Lim
N 

N1


N

2

u (n)  Lim
N 

n 0

1

N1



N

1

2

 Lim
N 

n 0

N
N

1

Vậy u(n) là tín hiệu công suất, không phải tín hiệu năng lượng.
c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rectN(n):
- Tín hiệu số rectN(n) có độ dài hữu hạn N
rect N (n) 

- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:

1

N1

 rect
N

N

( n) 

n 0

N1

- Năng lượng theo [1.3-5]:

Ex

N

N1

2

 rect N (n)  
n 0

1

N

1

2

N

n 0

E
N
- Công suất trung bình theo [1.3-9]: Px  x  1
N

N





d. Các tham số cơ bản của tín hiệu số x(n)  cos 2 n  với n  [-4 , 4]:




- Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn N = 2.4 + 1 = 9
- Giá trị trung bình theo [1.3-2]:
x ( n) 

1
9

4

 

n  4

 
 

cos    cos(0)  cos   cos
 2
2
2
x ( n) 

1
9

1  0  1  0  1  0  1  0  1  1

- Năng lượng theo [1.3-6]:

Bekhoe_Bedep

1 

 cos 2 n   9 cos(

9







  
4)  cos  3   cos(  2) 
2
2
 2 


2

2   cos





2

3   cos




4 


4

Ex 

 cos

n  4

2


 n  1  0  1  0  1  0  1  0  1  5
2



- Công suất trung bình theo [1.3-10]: Px 

Ex
2N  1



5
9





- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : x(n)  ... , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , ...
Trong đó ký hiệu  để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.
1.2.2 Phân loại các dãy số
1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên

 Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.
 Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học.
1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

 Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức :
[1.2-1]

x p (n)  x p (n  kN )

Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n)
còn các tham số sau :
1

- Tần số lặp lại :

f 

- Tần số góc :

  2 . f 

[1.2-2]

N
2
N

[1.2-3]

 Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu

thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = .
1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
 Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N <  . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)N.

Bekhoe_Bedep


 Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n  (-  , ) ; n  (0 , ) ;

hoặc n  (-  , 0).
1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía
 Dãy x(n) là dãy một phía nếu

n  (0 , ) hoặc n  (-  , 0).
 Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n  (-  , ).
N1

k
Ví dụ 1.2 : - Dãy x1 (n)  2 là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .
k 0

N

k
- Dãy x 2 (n)   2 là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1.
k  N


k
- Dãy x3 (n)  2 là dãy một phía vô hạn.

k 0


k
- Dãy x 4 (n)   2 là dãy hai phía vô hạn.
k 

1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ
 Dãy x(n) là dãy chẵn

nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối
xứng.
 Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy
phản đối xứng.
1.2.2f Dãy thực và dãy phức
 Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu
 Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)

diễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.

Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên.
Ví dụ 1.3 : - Dãy x(n)  e (    j ) n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn.
- Dãy x(n) = cos(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn.

Bekhoe_Bedep


- Dãy x(n) = sin(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn.
x (n )
1

0 ,6

.....

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7 là
dãy xác định, hai phía, chẵn và đối
xứng, vô hạn, tuần hoàn với chu kỳ N
= 5.
- Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy
xác định, một phía, không tuần hoàn,
có độ dài hữu hạn N = 5.

0 ,6
1

2

.....

n

3 4 5 6 7 8
Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4.

y (n )
1

-2 -1 0

0 ,8

1

0 ,6

2

0 ,4
3

0 ,2
4

n
5

6

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)

1.2.3 Các dãy cơ bản
Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số.
1.2.3a Dãy xung đơn vị  (n)
(n)
Dãy xung đơn vị (n) đối với
hệ xử lý số có vai trò tương đương
1
như hàm xung Dirăc (t) trong hệ

tương tự, nhưng dãy (n) đơn giản
n
hơn. Dãy xung đơn vị (n) có hàm
-2 -1 0 1 2

Bekhoe_Bedep


số như sau :
Hình 1.9 : Đồ thị dãy

Khi n  0
[1.2-4]
Khi n  0

 1
 (n)  
 0

(n)

Đồ thị dãy (n) trên hình 1.9. Dãy (n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng 1, nên (n) là dãy hữu hạn có
độ dài N = 1.
(n - 5)
(n + 5)
1

1

n

-1 0

1

2

3

4

5

n
-5 -4 -3 -2 -1 0

Hình 1.10 : Đồ thị các dãy

1

(n - 5) và (n + 5)

Mở rộng có dãy xung đơn vị (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :
 1
 (n  k )  
 0

Khi n  k
Khi n  k

[1.2-5]

Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị (n - 5) và (n + 5)
1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)

Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như
hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ
u (n )
tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n) có
hàm số như sau :
 0
u ( n)  
 1

Khi n  0
Khi n  0

Bekhoe_Bedep

1

[1.2-6]

....
-1 0

1

2

3

....

n




Dãy u(n) là dãy một phía, vô
hạn, và tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Đồ
thị của dãy bậc thang đơn vị u(n) trên
hình 1.11.

Hình 1.11: Đồ thị dãy

u(n)

Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:
Khi n  k
Khi n  k

 0
u (n  k )  
 1

[1.2-7]

Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2).
u(n - 2)

u(n + 2)

1

1
....

-1 0

1

2

3

4

5

....

....

n



-3 -2 -1 0

1

....

Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị

n


u(n - 2) và u(n + 2)

Vì dãy (n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy tổng của (n - k) với k chạy từ 0 đến
 , sẽ nhận được dãy u(n).
Hơn nữa, trong khoảng (0  n < ) tại mọi k luôn có :
u (k )  u (k ). (n  k ) 1

Bekhoe_Bedep


Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy (n) theo biểu thức :




k 0

k 0

  (n  k )  u(k ). (n  k )

u ( n) 

[1.2-8]

Dãy (n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
 (n)  u (n)  u (n  1)

[1.2-9]

1.2.3c Dãy chữ nhật rectN(n)

Dãy chữ nhật rectN(n) có hàm số như sau :
 1
rect N (n)  
 0

Khi n   0 , ( N  1) 
Khi n   0 , ( N  1) 

Dãy chữ nhật rectN(n) là dãy
một phía, có độ dài hữu hạn N và xác
định trong miền n  [0 , (N-1)], tuần
hoàn với chu kỳ bằng 1. Đồ thị của
dãy chữ nhật rectN(n) trên hình 1.13.
Mở rộng có dãy chữ nhật
rectN(n - k) , với k là hằng số dương
hoặc âm :

[1.2-10]

rectN(n)

1
....
-1 0

1

2

....

Hình 1.13 : Đồ thị dãy

Khi n   k , ( N  k  1) 
 1
rect N (n  k ) 
Khi n   k , ( N  k  1) 
 0
Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4(n + 2) trên hình 1.14

Bekhoe_Bedep

n
(N -1 )

rectN(n)
[1.2-11]


rect4(n - 2)

rect4(n + 2)

1

-1 0

1

1

2

3

4

5

6

n

-4 -3 -2 -1 0

1

2

n

3

Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2)

Có thể biểu diễn dãy rect (n) qua dãy (n) theo biểu thức :
N

N1

N1

  (n  k )  rect

rect N ( n) 

k 0

N

( k ). ( n  k )

[1.2-12]

k 0

Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
rect N ( n)  u ( n)  u (n  N )
1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin
Dãy hàm sin có dạng như sau :
2

 2 
x( n)  sin 
n   sin  0 n  với  0 
N
 N 

[1.2-13]

[1.2-14]

Dãy sin(0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy
sin(0.n) ở hình 1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
2
 2 
x( n)  cos 
n   cos  0 n  với  0 
N
 N 

[1.2-15]

Dãy cos(0.n) là dãy vô0 hạn,
,9 5 hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N.
sin(0.n)
0 ,5 9
-1 0

-5

Bekhoe_Bedep

1
- 0 ,5 9
- 0 ,9 5

2

3

4

5

10


n

Hình 1.15 : Đồ thị dãy

sin(0.n) với N = 10

1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số
1.2.4a Phép dịch tuyến tính

Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu :
y ( n)  x ( n  k )

[1.2-16]

- Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).
- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc
đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử
dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy x(n)  u (n) , hãy xác định các dãy :
a. y1 (n)  x(n  2)
b. y 2 (n)  x(n  2)
Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy y1 (n)  x(n  2)  u (n  2) là dãy u (n) bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy y1 (n)  u (n  2)
nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy x(n)  u (n) đi 2 mẫu theo trục tung.
b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy y 2 (n)  x(n  2)  u (n  2) là dãy u (n) được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy y 2 (n)  u (n  2) nhận
được bằng cách dịch trái đồ
thị dãy x(n)  u (n) đi 2 mẫu theo trục tung.

Bekhoe_Bedep


Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12.
1.2.4b Tổng đại số của các dãy

Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy xi(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng
của các dãy thành phần.
M

y ( n)   x i ( n)

Kí hiệu :

[1.2-17]

i 1

Ví dụ 1.6 : Cho dãy x1 (n)  rect 4 (n) và dãy x 2 (n)  rect 3 (n  1) , hãy xác định dãy y (n)  x1 (n)  x 2 (n)
rect4(n)
Giải : Có y (n)  rect 4 (n)  rect 3 (n  1)  (n)
Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định
y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
1
1.2.4c Phép nhân các dãy
n
Định nghĩa : Tích của M dãy xi(n) là dãy
-1 0 1 2 3 4
rect3(n - 1)
y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các
mẫu tương ứng của các dãy thành phần.
M

Kí hiệu :

y ( n) 

 x ( n)
i

[1.2-18]

i 1

1

n

Ví dụ 1.7 : Cho dãy x1 (n)  u (n)
và dãy x 2 (n)  rect 5 (n  2) ,
hãy xác định dãy y (n)  x1 (n).x 2 (n) .
Giải : Theo định nghĩa có :

-1 0

y (n)  u (n).rect 5 (n  2)  rect 3 (n)

-1 0

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể
giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây :
Bảng 1.2

Bekhoe_Bedep

1

2

3

4

1

2

3

4

y(n) = (n)

1

n
Hình 1.16 : Đồ thị xác định
rect4(n) - rect3(n-1) = (n)