GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG
ThS. Nguyễn Hữu Học
Phòng Khoa Học - Đại Học Đơng Á

TĨM TẮT

ABSTRACT

Trong bài báo này tơi sẽ trình bày phương

In this paper, I’ll present the detailed method to

pháp chi tiết để giải một hệ phương trình vi

solve a system of linear differential equations

phân tuyến tính bằng phương pháp sử dụng

by the method of using characteristic equation.

phương trình đặc trưng. Phương pháp này

For this method, beyond the basic knowledge

ngồi những kiến thức cơ bản của phương

of differential equation, we need only the

trình vi phân chỉ cần các kiến thức cơ bản của

basic knowledge of linear algebra about

Đại số tuyến tính về ma trận và hệ phương

matrix and the system of linear  equations

trình tuyến tính cùng những kiến thức đơn giản

together with simple knowledge of analysis

về Giải tích như khai triển MacLaurin. Trong

such as MacLaurin expansion. In the case,

trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm

the characteristic equation having a multiple

bội tơi sử dụng một chút kiến thức về giải tích

root, I use a little of knowledge about matrix

ma trận để giải.

analysis to solve.

Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính,

Keyword: system of linear differential

hệ phương trình vi phân thuần nhất, giải tích

equations, characteristic equation, matrix

ma trận.

analysis.

I. Hệ phương trình thuần nhất.

Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:
 x1'= a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn + f1 ( t )
 '
 x2= a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn + f 2 ( t )







 x '= a x + a x +  + a x + f ( t )
n1 1
n2 2
nn n
n
 n

Hay viết dưới dạng ma trận:

=
X ' AX + F



(1)

ĐẠI HỌC ĐÔNG Á
Số 06-2012

59


trong ú:
x1 (t )
x (t )
2
, A
=
X =



xn (t )

a11
a
21

an1

a12
a22

an 2

a1n
a2 n
=
, F


ann








f1 (t )
f 2 (t )


f n (t )

B n hm s kh vi tha món phng trỡnh (1) c gi l nghim ca phng

trỡnh. Khi F=0 phng trỡnh tr thnh:
X' = AX

(2)

Phng trỡnh (2) c gi l phng trỡnh thun nht. Rừ rng X 0 l nghim v
gi l nghim tm thng ca phng trỡnh (2), Ta i tỡm nghim khụng tm thng ca
phng trỡnh thun nht (2).
Ta ó bit phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh thun nht bc 1 y=my cú nghim l
y = cemt. T ú a n vic xột l 1 nghim ca phng trỡnh (2). Thay X = Celt vo
phng trỡnh (2) ta thu c:
lCet = ACet

Do et 0 t AC - C = 0 hay
(A - I)C = 0

(3)

õy, I l ma trn n v cp n.
T õy tỡm nghim ca phng trỡnh (2) ta ch cn tỡm vector C 0 t phng
trỡnh (3). Giỏ tr tha món phng trỡnh (3) c gi l gớỏ tr riờng ca ma trn A.
Vector C 0 tỡm c gi l vector riờng ng vi .
Ta cú li cỏc kt qu ó bit i s tuyn tớnh:
i. iu kin cn v phng trỡnh (A - I)C = 0 cú nghim khụng tm thng
l det(A - I) = 0.
ii. det(A - I) l mt a thc bc n v phng trỡnh det(A - I) = 0 c gi l
phng trỡnh c trng ca ma trn A.
Gii phng trỡnh c trng ca ma trn A ta tỡm c cỏc giỏ tr riờng , thay vo
phng trỡnh (3) ta tỡm c cỏc vector riờng tng ng.

60

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012


Nh vy vn phc tp ca h phng trỡnh vi phõn ó c a v vn n
gin ca i s tuyn tớnh.
Ta nhc li l tp nghim ca phng trỡnh (2) l mt khụng gian vector n chiu.
Do ú tỡm nghim tng quỏt ca phng trỡnh (2) ta ch cn tỡm n nghim riờng c
lp tuyn tớnh. n nghim riờng c lp tuyn tớnh ú c gi l tp nghim c bn ca
phng trỡnh (2) v nghim tng quỏt ca phng trỡnh (2) chớnh l t hp tuyn tớnh
ca n nghim ú.
Vn bõy gi l phng trỡnh c trng cú th cú cỏc nghim thc phõn bit, cng
cú th cú nghim bi hoc khụng cú nghim thc (cú nghim phc). Ta s gii quyt
tng trng hp c th.
1. Phng trỡnh c trng cú cỏc nghim thc phõn bit

Gi s ma trn A cú n giỏ tr riờng phõn bit, khi ú ta cú kt qu sau õy:
Nu ma trn A ca h phng trỡnh vi phõn thun nht X=AX cú n vector riờng
C1, C2, ..., Cn ng vi n giỏ tr riờng khỏc nhau 1, 2, ..., n thỡ nghim tng quỏt ca
phng trỡnh (2) l:
n

X ( t ) = Ci Xi (t )
i =1

Trong ú Xi(t)=Ciet , (i=1,2,...) l nghim ca phng trỡnh X=AX v c lp
tuyn tớnh.
Vớ d 1:

Gii phng trỡnh:
1 1 1
=
X 1 1 1 X
2 1 0


'

Gii:
Ta cú:
1 1
det ( A I ) = 1
1
2
1

0
1 = ( + 1)( 1)( 2 )

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

61


Từ đó ta có các giá trị riêng là λ = 2,1, -1.
Với λ = 2 ta có
 −1 −1 1   c1 
( A − λ I ) C=  1 −1 −1  c2 = 0

 2 −1 2  c 

 3 
 −1
Sử dụng phương pháp khử Gauss ta tìm được nghiệm khơng tầm thường C =  0  .
1
 
 −1
Từ đó X 1 =  0  e 2t là một nghiệm của phương trình. Hồn tồn tương tự:
1
 
 1
 1


Với λ = 1 ta tìm được C = 1 từ đó X 2 = 1 et
 1
 1
 
 
 −1
 −1


Với λ = -1 ta tìm được C =  3  từ đó X 3 =  3  e − t
5
5
 
 

Vì X1, X2, X3 độc lập tuyến tính nên
 −1
 1
 −1




2t
t
X = c1 X 1 + c2 X 2 + c3 X 3 = c1  0  e + c2 1 e + c3  3  e − t
1
 1
5
 
 
 

là nghiệm tổng qt của hệ.
2. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức

Trong phần 1 ta đã xét trường hợp đơn giản khi phương trình đặc trưng có các nghiệm
thực phân biệt. Bây giờ ta sẽ xét trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức. Nếu
số phức a+bi là nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình vi phân X’=AX thì
nghiệm của phương trình X’=AX sẽ có dạng cQe(a + bi)t. Ở đây Q là vector riêng phức, c
là số phức cố định tùy ý.

62

ĐẠI HỌC ĐÔNG Á

Số 06-2012


Khi ma trn A ca phng trỡnh X=AX l ma trn thc v nht l khi iu kin ban
u l s thc thỡ vic biu din nghim theo s thc hay hm thc l cn thit. Tng
t nh trng hp phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp cao ta cú th tỡm cỏc nghim thc
bng cỏch tỏch phn thc v phn o ca nghim phc tng ng.
Gi s A l ma trn thc, = a + bi l giỏ tr riờng phc C = C1 + iC2 (C1, C2 l cỏc
vector thc) l vector riờng ng vi , tha món phng trỡnh riờng:
(A - I)C = 0

Ly liờn hp ta c
( A I )C= ( A I )C= 0

iu ny chng t cng l giỏ tr riờng v ta thu c vector riờng C tng
ng.
Nh vy, X1 = Cet, X2 = Cet u l nghim ca phng trỡnh X= AX v hin
nhiờn, t hp tuyn tớnh ca cng l nghim. Do ú:
t
ReCe
=
ReX
=
1

X1 + X 2
= C1e at cos bt C2 e at sin bt
2

t

ImCe
=
ImX
=
1

X1 X 2
= C1e at sin bt C2 e at cos bt
2

l cỏc nghim thc c lp tuyn tớnh. õy, ReCet, ImCet ln lt l phn thc v
phn o ca s phc Cet.
Vớ d 2:
Gii phng trỡnh:
2 1 1
=
X 2 1 1 X
0 1 1


'

Gii:
Ta cú:
2 1
1
det ( A I )=
2
1 1 = (2 )( 2 2 + 2)
0

1 1
ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

63


T ú ta thu c cỏc giỏ tr riờng = 2, 1 i.
0
0
0




e 2t
2t
Vi = 2 ta tớnh c C = 1 t ú cú nghim riờng X 1 =
1 e =

1
1
e 2t




1
Vi = 1+i ta tớnh c C = i . Ta tỡm phn thc v phn o ca Cet.
1

et cos t et sin t
1
1



1+i t
Cet = i e( ) = i et ( cos t + i sin t ) = et sin t + i et cos t
1
1
et cos t et sin t





T ú nghim tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l:
et cos t
et sin t
0






X = c1 e 2t + c2 et sin t + c3 et cos t
e 2t

et cos t
et sin t






3. Phng trỡnh c trng cú nghim bi

Gi s phng trỡnh c trng cú nghim bi m. Cỏc nghim khỏc (nu cú) l thc
hoc phc ó xột phn trờn. Bõy gi ta cn tỡm ra m nghim riờng sao cho cựng vi cỏc
nghim riờng thu c t cỏc nghim n hoc phc to thnh mt tp nghim c bn.
Tng t vi trng hp y = ceat l nghim ca phng trỡnh y=ay, ta xột X = eAtC
vi t cỏch l nghim ca phng trỡnh X=AX, vi A l ma trn vuụng cp n v C l
vector c nh. Trc ht ta nh ngha eAt.
Ta ó bit khai trin MacLaurin ca eat:
e at = 1 + at +

(at )2 (at )3
+
+
2!
3!

T ú, ta nh ngha:
e At = I + tA +

64

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

t2 2 t3 3
A + A +
2!
3!


vi gi thit chui v phi hi t vi t. Ta gi khai trin ny l hm m ma trn ca
A. Ta cú:
d At
t2
e = A + tA2 + A3 + = Ae At
2!
dt

nh ngha nh vy ta cú th núi X = eAtC l nghim ca phng trỡnh X=AX. Vn
t ra õy l ta s tớnh toỏn eAtC nh th no? Ta cú th s dng nh ngha cựng vi
tớnh toỏn chui vụ hn, tuy nhiờn ta cú th li dng khai trin:
Ce(

A I ) t

= C + t ( A I ) C +

3
k
t2
t3

tk
( A I )2 C + ( A I ) C + + ( A I ) C +
2!
3!
k!

õy, nu cú k (A - I)kC = 0 thỡ tt c cỏc s hng phớa sau u bng 0 v
khi ú ta ch cn tớnh toỏn vi chui hu hn.
T ú vi l giỏ tr riờng ng vi nghim bi m ta tỡm C t h phng trỡnh:
( A I ) k C = 0


k 1
( A I ) C 0

(2 k < m)

Vi C tỡm c ta tỡm c nghim riờng eAtC = ete(A - t)C t khai trin trờn.
Vớ d 3:
Gii h phng trỡnh:
x '1 = 4 x1 x2 + 2 x3

'2 4 x2 + 2 x3
x=
x ' = 4x
3
3

Gii:
Ta cú

4
1
2
det ( A I =
) 0 4 2 = (4 )3
0
0
4

1
T ú giỏ tr riờng = 4 vector riờng C = 0 v ta tỡm c nghim riờng
0


1
e 4t
0
0


ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

65


A l ma trn vuụng cp 3 nờn tỡm nghim tng quỏt ca phng trỡnh ta cn tỡm 3
nghim riờng c lp tuyn tớnh.
Trc ht, ta tỡm C tha món:
( A I )2 C = 0

( A I ) C 0

Ta cú

0 0 2

=
=
0 Đặt C ( A 4 I ) 2 C =
0
= 0 C
( A 4 I ) 0 0 =


0 0 0

2

Ta li cú
(A-4I) C =

(A-4I) C 0 0

0

Do ú ta cú th chn =0 C 1 t ú nghim riờng th 2 l:
=1

0

1 t
Ce = e C + t ( A 4 I ) C = e 1


0
At

4t

4t

( A 4 I )3 =
0
Tip theo ta tỡm C tha món
2
( A 4 I ) 0 .

0
Gii tng t ta tỡm c C = 0 nghim riờng th 3:
1

e At C= e 4 t e(

A 4 I )t



2

t2
C= e 4 t C + t ( A 4 I ) C + ( A 4 I ) C =
2!



2t t 2
0 0 1 2 0 2 0 0 2 0

t
e 4t t
e 4t 0 + t 0 0 2
2
0 + 2! 0 0 0 0 =










0 0 0 1
1 0 0 0 1
1
66

ẹAẽI HOẽC ẹONG A

Soỏ 06-2012




0


2t t 2
1
1 t

4t
4t
4t
Do e 0 , e 1 , e 2t c lp tuyn tớnh nờn nghim tng quỏt ca h
0
0
1





ó cho l:
1
2t t 2
1 t

X = e 4t c1 0 + c2 1 + c3 2t
0





1
0
II. H phng trỡnh khụng thun nht

Trc khi kho sỏt phng trỡnh khụng thun nht X=AX+F, ta nhc li v phng
trỡnh thun nht X=AX
A l ma trn vuụng cp n, X1, X2, ..., Xn l cỏc nghim c lp tuyn tớnh ca
phng trỡnh X=AX. Khi ú:
= (X1X2 ... Xn)

c gi l ma trn c s (fundamental matrix). cú cỏc tớnh cht sau:
i. det = W(X1, X2, ..., Xn) (W: nh thc Wronski)
ii. ' = A
iii. c1X1 + c2X2 + ... + cnXn =

= C

T ú, nghim ca phng trỡnh thun nht X=AX l C s dng phng phỏp h
s bin thiờn ta cú th vit (t) U(t) nh l nghim ca phng trỡnh X=AX+F. Do o
hm ca ma trn chớnh l o hm ca cỏc thnh phn nờn ta cú:

(U)' = 'U + U'

Thay X = U vo phng trỡnh X=AX+F ta thu c:
'U + U' = AU + F

S dng tớnh cht 2 U' = F. S dng cụng thc Cramer ta cú th tớnh ra U v
t ú tớnh c U. Khi ú, nghim tng quỏt ca phng trỡnh s l:
ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

67


X = C + U

Vớ d 4:
Gii phng trỡnh:
e 2t
3 2
=
X'
X
+
2t

1 2
2e

Gii:
Ta cú det(A - I) = ( - 4)( - 1). T ú, cỏc giỏ tr riờng l: = 4,1 cỏc nghim

riờng ca phng trỡnh thun nht l
2
1
X1 = e 4t , X1 = e t
1
1
2e 4t

Do ú ma trn c s: = 4t
e

et
e t

2e 4t
u
t U = 1 U = F tr thnh 4t
u2
e

e t u1' e2t
=
e t u '2 2e2t

S dng cụng thc Cramer gii phng trỡnh trờn ta thu c:

1 2t

2t
u1 = e

u1 = e

2

t
=

u
3

2
u 2 = e t


Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh ó cho l:
2e 4t
X = C + U = 4t
e

e t c1 2e 4t
+
e t c2 e 4t

1

e t e 2t
2


e t

t
e

2c1e 4t + c2 e t 2e2t
= 4t
1
c1e c2 e t + e2t

2

Mt s phng trỡnh vi phõn cp cao hoc h phng trỡnh vi phõn cp cao ta cú th
a v dng h phng trỡnh vi phõn cp 1 bng cỏch t n ph thớch hp.
Vớ d 5:
68

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012


Gii h phng trỡnh:
0
x1 2x1 3x 2 =

0
x1 + x 2 + 2x 2 =

Gii:
u x=
=
u x1

1
t
thỡ h ó cho cú th vit thnh:

=
v x=
2
v x 2
x1 0
x 0
2 =
u 2
v 1


0
0
3
2

1
0
0
0

0 x 1
1 x 2

0 u
0 v

0
0
Phng trỡnh c trng ca ma trn A =
2
1


0
0
3
2

1
0
0
0

0
1
l l4 - 1 = 0 t ú ta tỡm
0
0

c cỏc giỏ tr riờng l = 1, i . T ú ta tớnh c cỏc vector riờng tng ng (do ma
trn A khỏ ln ta cú th s dng cỏc phn mm tớnh toỏn nh Maple hay Mathematica
tr giỳp):
3 3 i
1 1 i
, ,

3 3 1
1 1 1


T ú cỏc giỏ tr Cet l:
3e t 3e t i (cos t + i sin t )
e t e t i (cos t + i sin t )




3e t 3e t (cos t + i sin t )



cos t + i sin t
et et

V t õy ta cú ma trn c s

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012

69


3e 3e
sin t
t
e t

e
sin t

(t ) =
t
t
cos t
3e 3e
et
t
e
cos t


cos t
cos t

sin t
sin t

V do ú nghim tng quỏt l:
3e 3e
sin t
t

t
e
e
sin t
X =

t
t
cos t
3e 3e
et
t
e
cos t


cos t c1
cos t c 2

sin t c 3

sin t c 3

T õy gii theo x1, x2 ta c:
x 1 = c1 3e t c 2 3e t + c 3 sin t c 4 cos t
x2 =
c1e t + c 2e t c 3 sin t + c 4 cos t

Kt lun
Vi vic s dng phng trỡnh c trng gii h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh
h s hng, ta cú th gii quyt trn vn bi toỏn. Trong trng hp u tiờn khi phng
trỡnh c trng cú n nghim thc phõn bit vic gii quyt khụng khỏc gỡ cỏch gii h
phng trỡnh tuyn tớnh trong i s. Trng hp phng trỡnh vi phõn cú nghim phc,
vi k thut tỏch phn o v phn thc ta cú th gii quyt bi toỏn tng t trng hp
phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh h cp cao h s hng. Trng hp phng trỡnh c
trng cú nghim bi ta vn cú th gii quyt tng t nh i vi phng trỡnh vi phõn

tuyn tớnh cp cao h s hng. Tuy nhiờn õy, vi vic a vo khỏi nim hm m ma
trn chỳng ta cú th thy s t nhiờn trong vic xỏc nh nghim cng nh s tin li
trong vic tớnh toỏn cỏc nghim riờng. T ú xõy dng c cỏc bc tỡm nghim ca
phng trỡnh mt cỏch n gin v minh bch hn

TI LIU THAM KHO
1. Jean-Marie Monier, Giỏo trỡnh toỏn-Tp 4, NXBGD, 2009
2. Jean-Marie Monier, Giỏo trỡnh toỏn-Tp 5, NXBGD, 2009
3. Ishimura Ryuichi, Differential equation, Giỏo trỡnh i hc ChiBa.

70

ẹAẽI HOẽC ẹONG A
Soỏ 06-2012