GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ VŨ VĂN DIÊN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (786.65 KB, 113 trang )
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC .......................................................... 4
1.1 Mở đầu .............................................................................................................................. 4
1.1.1 Phân loại tín hiệu........................................................................................................ 4
1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) ................................................... 7
1.2 Tín hiệu rời rạc.................................................................................................................. 7
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc............................................................................................ 7
1.2.2 Các tín hiệu rời rạc..................................................................................................... 9
1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc ............................................................................ 13
1.3 Hê thống tuyến tính bất biến ........................................................................................... 18
1.3.1 Hệ thống tuyến tính.................................................................................................. 19
1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến .................................................................................... 21
1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả................................................................ 26
1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định ....................................................... 29
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .................................................................. 31
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính ............................................................................. 31
1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng ........................................................... 32
1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra).......................................................... 35
1.4.4 Hệ thống số không đệ quy........................................................................................ 35
1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến.................................................................. 36
1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu................................................................................... 38
1.5.1 Tương quan chéo...................................................................................................... 38
1.5.2 Hàm tự tương quan .................................................................................................. 39
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC.................................... 40
TRONG MIỀN Z..................................................................................................................... 42
2.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 42
2.2 Biến đổi Z (ZT) ............................................................................................................... 42
2.2.1 Định nghĩa................................................................................................................ 42
2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z........................................................................................... 43
2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng................................................................................. 48
2.3 Biến đổi Z ngược............................................................................................................. 48
2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư ..................................................... 48
2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa .......................................................... 50
2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản................................ 51
1
2.4 Các tính chất của biến đổi Z............................................................................................ 53
2.4.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................................. 54
2.4.2 Tính chất trễ ............................................................................................................. 54
2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an ................................................................................. 55
2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) ) ............................................... 56
2.4.5 Tích chập của hai dãy............................................................................................... 56
2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu..................................................................................... 58
2.4.7 Dãy liên hợp phức .................................................................................................... 59
2.4.8 Định lý giá trị ban đầu.............................................................................................. 59
2.4.9 Tích của hai dãy ....................................................................................................... 60
2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z ......................................................................... 60
2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc ........................................................................ 60
2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương
trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.................................................................................. 60
2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến................................................. 61
2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z.............................................................................. 63
2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z ........................... 64
2.6 Độ ổn định của hệ thống ................................................................................................. 66
2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến..................................................... 66
2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ................................ 66
2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury........................................................................................... 67
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC.................................... 70
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC..................................................................................... 72
3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc ......................................................................... 72
3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform )................................................... 72
3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier................................................................................. 74
3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) .............................................. 75
3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier .................................................................................. 77
3.2.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................................. 77
3.2.2 Tính chất trễ ............................................................................................................. 78
3.2.3 Tính chất trễ tần số................................................................................................... 79
3.2.4 Tích chập của hai dãy............................................................................................... 80
3.2.5 Tính chất đối xứng ................................................................................................... 81
3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu ................................................................................... 81
2
3.2.7 Quan hệ Parseval...................................................................................................... 81
3.2.8 Tích của hai dãy ....................................................................................................... 82
3.2.9 Vi phân trong miền tần số ........................................................................................ 83
3.2.10 Tính chất đảo biến số ............................................................................................. 83
3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................................... 84
3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................... 84
3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z ............................................................. 85
3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ..................................................... 86
3.4.1 Đáp ứng tần số ......................................................................................................... 86
3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng.............................................................................................. 87
3.5 Lấy mẫu tín hiệu.............................................................................................................. 91
3.5.1 Định lý lấy mẫu........................................................................................................ 91
3.5.2 Tần số Nyquist ......................................................................................................... 93
CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC.................................... 94
TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC....................................................................................... 95
4.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 95
4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N .............................. 95
4.2.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 95
4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn...................... 97
có chu kỳ N ....................................................................................................................... 97
4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài.......................... 99
hữu hạn.................................................................................................................................. 99
4.3.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 99
4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều ...................... 100
dài hữu hạn...................................................................................................................... 100
4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT ................................................. 102
4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT)............................................................................ 103
4.4.1 Mở đầu ................................................................................................................... 103
4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian................................................... 106
4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ....................................................... 110
4.4.4 Tình FFT ngược ..................................................................................................... 111
3
CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1 Mở đầu
1.1.1 Phân loại tín hiệu
1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu
Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin hay là một biểu hiện của tin tức.
Ví dụ:
- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt chúng ta.
- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông
tin tới tai chúng ta.
1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu
Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số
độc lập.
Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1
Sa(t)
t
0
n
Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu microphone Sa(t)
Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t. Vì là hàm
của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.
4
1.1.1.3 Phân loại tín hiệu
Chúng ta chia tín hiệu ra làm hai nhóm lớn: Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc.
1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục
Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín
hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục.
Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên
tục theo biến số.
Nếu dựa vào hàm số, chúng ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:
-
Tín hiệu tương tự
-
Tín hiệu lượng tử hóa.
*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm của tín hiệu liên tục là liên tục.
*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm của tín hiệu liên tục là rời
rạc.
Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8 bit, kết hợp 8 bit có 256 mức
hay giá trị. Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương cho mẫu.
Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dưới của dãy,
bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dưới và cứ thế.
Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa.
xa(t)
xa(t)
69
59
49
39
29
19
9
t
t
(a)
(b)
Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hóa
5
1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc
Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được
gọi là tín hiệu rời rạc.
Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số.
Nếu dựa vào biên độ, chúng ta cũng có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai
loại :
-
Tín hiệu lấy mẫu
-
Tín hiệu số
Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục
(không được lượng tử hóa)
Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc. Như vậy
tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và biên độ. Còn tín hiệu
tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ.
Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts. Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu
và (b) là tín hiệu số.
xd(n.Ts)
xs(n.Ts)
n.Ts
n.Ts
(a)
(b)
Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số
6
1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)
Ta có sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):
Xa(t)
Đưa qua
LPF
S&H
ADC
Xd(t)
Yd(t)
LPF
Ya(t)
DAC
DSP
Hình 1.4 Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu
Trong đó:
-
LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp).
-
S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)
-
ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)
-
DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu sô – tương tự)
* Nhận xét:
- Tín hiệu tương tự ở đầu vào được chuyển sang dạng số nhờ một hệ biến đổi tương
tự - số ADC.
- Tín hiệu tương tự ở đầu ra được thiết lập lại nhờ hệ biến đổi số - tương tự DAC.
Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số Xd(n), đó là tín hiệu của hệ
thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) và đưa ra tín
hiệu số Yd(n).
1.2 Tín hiệu rời rạc
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc
Tín hiệu rời rạc có hai loại :
- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)
- Tín hiệu số, ký hiệu là xs(nTs)
Ký hiệu chung : x(nTs)
x(n)
x(n)
7
Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :
- Biểu diễn bằng biểu thức toán học
- Biểu diễn bằng đồ thị
- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử.
1.2.1.1 Biểu diễn toán học
Biểu diễn toán học
với N1 ≤ n ≤ N2
0
với n < 0
x(n) =
Với: n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên, ta không xét)
Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.
1
với 0 ≤ n ≤ 3
x(n) =
0
với n còn lại
Ở đây N1 = 0, N2 = 3
Biểu thức toán học ở đây là 1
1.2.1.2 Biểu diễn bằng đồ thị
Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trường hợp chúng ta dùng đồ
thị để biểu diễn tín hiệu.
Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc trong ví dụ trên
1
với 0 ≤ n ≤ 3
x(n) =
x(n)
1
0
với n còn lại
n
-1 0
1
2
3
4
Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị
8
1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số
Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như
sau :
x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n-1), …}
n
Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bởi vì khi dùng
biểu diễn này ta không biết đâu là x(n).
Ví dụ: Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử
1
với 0 ≤ n ≤ 3
0
với n còn lại
x(n) =
Giải :
x(n) = {…, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0,…}
0
0 : ngụ ý rằng x0 = 1
1.2.2 Các tín hiệu rời rạc
1.2.2.1 Dãy xung đơn vị
Kí hiệu: δ(n) (n là số nguyên )
Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau :
1
δ (n) =
0
Khi n = 0
Khi n ≠ 0
Ví dụ : Biểu diễn δ(n) δ(n-5) bằng đồ thị
Giải :
- Với δ(n):
1
- Với δ(n-5):
n
-2 -1 0
1
2
9
Hình 1.6 Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị
Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số nguyên dương hoặc âm :
1
Khi n = k
0
Khi n ≠ k
δ (n − k ) =
Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)
1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị
Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n :
1
u (n) =
0
Khi n ≥ 0
Khi n < 0
Đồ thị của dãy u(n) có dạng như hình vẽ sau :
u(n)
1
....
n
-1 0
1
2
3
....
∞
Hình 1.7 biểu diễn u(n) bằng đồ thị
Tổng quát, ta có:
1
u (n − k ) =
0
Khi n ≥ k
Khi n < k
1
u (n + k ) =
0
Khi n ≥ − k
Khi n < k
10
Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị
1
1
....
....
n
-1 0 1 2 3 4 5 . . . .
n
-3 -2 -1 0 1 . . . .
∞
∞
Hình 1.8 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị
1.2.2.3 Dãy chữ nhật
Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau:
1
rectN (n) =
0
0 ≤ n ≤ N −1
1
n≠
....
n
Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :
-1 0 1 2 . . . .
(N-1)
Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm.
1
rectN (n − k ) =
0
k ≤ n ≤ N + k −1
n≠
1
rectN (n + k ) =
0
− k ≤ n ≤ N − k −1
n≠
Ví dụ : Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị
1
-1 0 1 2 3 4 5 6
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Hình 1.9 Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị.
11
1.2.2.4 Dãy mũ thực
Dãy hàm mũ thực được định nghĩa như sau trong miền n :
an
với n ≥ 0
0
vớ i n < 0
e(n) =
Dãy này tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1 như trên
hình 1.10 (a) và (b) trong ví dụ dưới đây :
e(n)
e(n)
1
1
n
0
n
(a)
a>1 (b)
Hình 1.10 Dãy mũ thực.
Ta thấy, với a > 1 thì hàm e(n) đồng biến, còn với 0 biến. Nếu a <0 thì hàm e(n) là không đồng biến và cũng không nghịch biến.
1.2.2.5 Dãy hình sin
Dãy hàm sin có dạng như sau :
2π
x(n) = sin n = sin (ω 0 n)
N
vớ i ω 0 =
2π
N
Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn
với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.11 dưới đây :
0,95
0,59
-10
-5
1
2
3
4
5
-0,59
-0,95
Hình 1.11 Đồ thị dãy sin(w0n) với N=10
12
10
1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc
1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)
Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :
x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn.
Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)
Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4
Giải :
Dãy xp(n) cho trên hình 1.11
xp(n)
n
0
Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.
1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn
Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài
hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)
Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)
- L[δ(n)] = 1
- L[u(n)] = [0,+ ∞] = ∞
- L[rectN(n)] = [0,N-1] = N
- L[x(n)] = [-∞,+∞] = ∞
- L[e(n)] = ∞
13
1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy
1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
N −1
Ex =
∑
2
x (n )
n=0
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
N
∑
Ex =
x(n )
2
n=− N
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∞
Ex =
∑
2
x(n)
n=0
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∞
∑
Ex =
x(n)
2
n = −∞
Ví dụ 1: Tính năng lượng của các dãy sau:
a.x1(n) = rect3(n)
b.
n
1
x 2 ( n ) = 2 u ( n )
Giải: a. Ta có:
∞
E
x1
∑
=
x1 ( n )
2
∞
=
n = −∞
∑ rect
2
(n )
3
2
=
∑1
2
=1+1+1= 3
n=0
n = −∞
b. Ta có:
∞
E x2
∑
=
x2 (n)
n = −∞
∞
vì : ∑
n=0
a
n
2
∞
=
∑
n = −∞
=
n
1
u (n)
2
2
1
= ∑
2
∞
n=0
1
( a < 1)
1− a
14
n
2
1
= ∑
4
n
∞
n=0
=
1
1−
1
4
=
4
3
1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy
Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Ex
Px =
1
=
N
N
N −1
∑
x (n)
2
= x 2 (n)
n=0
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
Px =
Ex
(2 N + 1)
=
N
1
∑ x(n)
(2 N + 1)
2
= x 2 (n)
n=− N
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Ex
1 N−1
2
Px = Lim
= Lim
x(n) = x2 (n)
N→∞ N
N→∞ N n=0
∑
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
Px = Lim
N →∞
Ex
(2N + 1)
= Lim
N →∞
N
1
∑ x(n)
(2N + 1)
2
= x 2 (n)
n=− N
Ví dụ: Tính năng lượng và công suất trung bình của các dãy tín hiệu sau:
x ( n ) = 2 u ( n − 1)
b. x ( n ) = u ( n − 3) − u ( n + 3) + rect
a.
n
1
2
3
(n)
Giải:
a.Năng lượng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x1(n) được tính như sau:
∞
E
x1
=
∑
n = −∞
Px 1 = lim
N→∞
x1 ( n )
2
∞
=
∑
| 2 n u ( n − 1) |2 =
∞
∑
4n = ∞
n =1
n = −∞
N
E x1
1
= lim
x1 ( n )
∑
2 * N + 1 N → ∞ 2 * N + 1 n=− N
2
=
N
1
1
1− 4N
n
= lim
4 = lim
=
∑
N→∞ 2 * N + 1
N→∞ 2 * N + 1 1 − 4
n =1
= lim
N→∞
− 4 N * ln 4
= ∞
−6
15
b. Ta có:
x (n) = u(n − 3) − u(n + 3) + rect (n) = rect (n + 3) + rect (n)
3
2
6
3
Năng lượng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x2(n) là:
∞
E x2 =
∑
x2 (n)
2
∞
∑ | rect
=
n = −∞
2
=
∑
6
( n + 3 ) + rect 3 ( n ) | 2 =
n = −∞
rect 6 ( n + 3 ) + rect 3 ( n )
2
= 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 = 15
n = −3
15
E x2
P
= lim
= lim
=0
x2
N → ∞ 2* N +1 N → ∞ 2* N +1
1.2.3.4 Các phép toán đối với tín hiệu rời
1.2.3.4.1 Phép cộng hai tín hiệu
Tổng của hai dãy thu được là một dãy bằng cách cộng đôi một giá trị mẫu của
các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)
Tìm và vẽ x3(n) = x1(n)+x2(n)
Giải :
- Vẽ x1(n) :
x(n)
1
n
0
1
2
3
- Vẽ x2(n) :
16
x(n)
1
n
0
1
2
3
Vẽ x3(n) :
x3(n)
2
1
n
1
2
3
Hình 1.12 Đồ thị biểu diễn các tín hiệu x1(n), x2(n) và x3(n)
1.2.3.4.2 Phép nhân hai tín hiệu
Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng
các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên
Tính x3(n) = x1(n).x2(n)
Giải : Vẽ x3(n)
x(n)
1
n
1
2
3
Hình 1.13 Đồ thị biểu diễn x3(n)
17
1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số
Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả
các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó.
Ví dụ: cho x1(n) = rect3(n-1), tìm x2(n) = 2.x1(n)
Giải :
1
vớ i 1 ≤ n ≤ 3
0
với n còn lại
x1(n) = rect3(n-1) =
2
với 1 ≤ n ≤ 3
0
với n còn lại
⇒ x2(n) = 2.x1(n) = 2.rect3(n-1) =
1.2.3.4.4 Phép trễ (dịch)
Dãy y(n) được gọi là trễ dịch lặp lại của x(n) nếu y(n) = x(n-n0) với mọi n, n0
nguyên.
Ví dụ :
1-
n
4
với 1 ≤ n ≤ 3
Cho x1(n) =
0
với n còn lại
Tìm y(n) = x(n-2) = ?
Giải :
n−2
1 −
y (n = x(n − 2) =
4
0
3≤ n ≤ 5
n ≠
*)Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy, khi tín hiệu x(n) bị trễ đi 2 mẫu trong miền thời
gian thì đồ thị của hàm y(n) = x(n-2) sẽ dịch chuyển sang phải 2 mẫu. Tổng quát, ta
có khi tín hiệu bị trễ đi n0(n0>0) mẫu trong miền thời gian thì đồ thị của nó bị dịch
sang phải n0 mẫu, nếu n0 < 0 thì đồ thị của nó lại dịch chuyển sang trái đi n0 mẫu.
18
1.3 Hê thống tuyến tính bất biến
1.3.1 Hệ thống tuyến tính
1.3.1.1 Định nghĩa
Ký hiệu hệ thống:
Dãy vào
Dãy ra
Hệ thống
x(n)
y(n)
- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).
- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng.
1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống
Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ
biến đổi dãy vào thành dãy ra.
Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n)
T
y(n)
Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :
x(n)
T
y(n)
1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý
xếp chồng, tức là :
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)
Với mọi a,b là hằng số.
Trong đó: - y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n)
- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n)
Ta xét 2 trường hợp:
+Nếu a = b = 1 thì T[x1(n) + x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)] = y1(n) + y2(n)
=>Hệ thống tuyến tính có tính tổ hợp
+Nếu b = 0 thì T[a.x1(n)] = a.T[x1(n)] = a. y1(n)
=>Hệ thống tuyến tính có tính tỉ lệ.
Vậy hệ thống tuyến tính vừa có tính tổ hợp, vừa có tính tỉ lệ.
19
Ví dụ : Kiểm tra tính chất tuyến tính của các hệ thống sau :
a. T[x(n)] = 2. x(n)
b. T[x(n)] = x2(n)
c. T[x(n)] = n.x(n)
d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3
Giải:
a. T[x(n)] = 2. x(n)
⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2(a.x1(n) +b.x2(n)) = a.2.x1(n) + b.2.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống là tuyến tính
b. T[x(n)] = x2(n)
Ta có: T[a.x(n) + b.x(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2
= a2.x21(n) + b2.x22 (n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)
≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
(không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính.
c. T[x(n)] = n.x(n)
Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.(a.x1(n)+b.x2(n)) = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
(thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính.
d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3
Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 4.(a.x1(n) + b.x2(n)) + 3
= 4.a.x1(n) + 3.a +4.b.x2(n) + 3.b +3 – 3.a – 3.b
= a.( 4.x1(n) + 3) + b.( 4.x2(n) + 3) + 3 - 3.a – 3.b
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] + 3 – 3.a -3.b
≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (với a = 1, b = 1 chẳng hạn)
(Không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống đã cho không phải là hệ thống tuyến tính.
20
1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính
Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :
Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :
∞
y(n) = T[x(n)] = T ∑ x(k ).δ (n − k ) =
k = −∞
=
∞
∑ x(k ).T [δ (n − k )]
∞
∑ T [ x(k ).δ (n − k )]
k = −∞
(vì x(k) độc lập với n)
k = −∞
Đặt h(n-k) = hk(n) = T[ δ (n − k ) ]
∞
∑ x(k ).h(n − k )
Chúng ta có : y(n) =
k = −∞
Đáp ứng hk(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Và hk(n) đặc trưng hoàn
toàn cho một hệ thống tuyến tính.
1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến
1.3.2.1 Định nghĩa :
Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu các tác động vào, ra của nó
không thay đổi theo thời gian.
Một hệ thống là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :
- Hệ thống là tuyến tính.
- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta được lối ra là y(n) thì với lối vào là x(n-k),
ta thu được lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)
Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là tuyến tính,bất biến theo n hay không ?
1.T[x(n)] = 2.x(n)
2. T[x(n)] = n.x(n) (với n ∈ z)
Giải :
1.T[x(n)] = 2.x(n)
- Kiểm tra tính chất tuyến tính:
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)
21
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
⇒ Hệ thống là tuyến tính.
- Kiểm tra tính chất bất biến:
Ta có: y(n) = T[x(n)] = 2.x(n)
⇒ y(n-k) = 2.x(n-k)
Mà T[x(n-k)] = 2.x(n-k)
⇒ y(n-k) = T[x(n-k)]
⇒ Hệ thống đã cho là hệ thống bất biến.
Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến.
2. T[x(n)] = n.x(n)
- Kiểm tra tính chất tuyến tính:
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
⇒ Hệ thống là tuyến tính.
- Kiểm tra tính chất bất biến:
Ta có: y(n) = T[x(n)] = n.x(n)
y(n-k) = (n-k).x(n-k)
mà T[x(n-k)] = n.x(n-k)
⇒ y(n-k) # T[x(n-k)]
⇒ Hệ thống không phải là hệ thống bất biến.
Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính nhưng không bất biến.
1.3.2.2 Công thức tính tích chập
Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ :
T[ δ (n) ] = h(n)
⇒ T[ δ ( n − k ) ] = h(n-k) =hk(n)
⇒ y(n) =
∞
∑ x(k ).h(n − k )
k = −∞
Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng
xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Lúc này, h(n) sẽ không phụ thuộc vào k, tức
là nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống
22
tuyến tính bất biến luôn là h(n). Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ
đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến
x(n)
y(n)
h(n)
Và ta có quan hệ : y(n) =
∞
∑ x(k ).h(n − k ) = x(n)*h(n)
(1)
k = −∞
(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’
* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định
nghĩa chỉ cho hệ thống này.
Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có: x(n) = rect3(n) và
n
1 −
h(n) = 2
0
0≤n≤2
n≠
Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống trên.
Giải :
Ta có: y(n) = x(n)*h(n) =
∞
∑ x(k ).h(n − k )
k = −∞
1
0
0≤k ≤2
x(k) = rect3(k) =
⇒ y(n) =
k≠
2
∑ h(n − k ) = h(n) + h(n-1) + h(n-2)
k =0
n−k
1 −
2
0
Mà: h(n − k ) =
0 ≤ n − k ≤ 2 ⇔ k ≤ n ≤ k + 2 ⇔ 0 ≤ n ≤ 4( 0 ≤ k ≤ 2)
n≠
Với n < 0 hoặc n > 4 thì h(n - k) = 0 (0 ≤ k ≤ 2) ⇒ y(n) = 0
Ta chỉ cần tính y(n) với 0 ≤ n ≤ 4
+ Với n = 0 thì y(0) =
2
∑ h(−k ) = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1
k =0
+ Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2
23
+ Với n = 2 thì y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3/2
+ Với n = 3 thì y(3) = h(3) +h(2) + h(1) =1/2
+Với n = 4 thì y(4) = 0
3
2
3
2
1
2
Vậy y(n) = δ (n) + ( ).δ (n − 1) + ( ).δ (n − 2) + ( ).δ (n − 3)
1.3.2.3 Các tính chất của tích chập
Tích chập có các tính chất như sau:
- Tính chất giao hoán :
y(n) =x(n) * h(n)
x(n)
y(n)
h(n)
h(n)
≡
x(n)
y(n)
Chứng minh:
Ta có : x(n) * h(n) =
∞
∑ x(k ).h(n − k )
k = −∞
Đặt m = n – k ⇔ k = n − m
Với k = - ∞ ⇒ m → +∞
Với k = + ∞ ⇒ m → −∞
∞
∞
m = −∞
m = −∞
∑ x(n − m).h(m) = ∑ h(m).x(n − m) = h(n) * x(n)
⇒ x(n) * h(n) =
Vậy y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)
-Tính chất kết hợp:
y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
y(n)
h1(n)
x(n)
h2(n)
y1
h1(n)*h2(n)
≡
y(n)
x(n)
Chứng minh :
y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] =
∞
∑ x(k ).[h2(n − k ) * h1(n − k )]
k = −∞
24
=
∞
∑
∞
x(k ).[ ∑ h 2(l ).h1(n − k − l )] =
k = −∞
=
l = −∞
∞
∞
∑ [ ∑ x(k ).h1(n − k − l )].h2(l )
l = −∞ k = −∞
∞
∑ [ x(n − l ) * h(n − l )].h2(l )
=
l = −∞
∞
∑ h2.[ x(n − l ) * h1(n − l )]
l = −∞
= h2(n) * [x(n) * h1(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Ngoài ra, theo hình vẽ ta có :
y1 = x(n) * h1(n)
y(n) = y1 * h2(n) =[x(n) * h1(n)] * h2(n)
= x(n) * [h1(n) * h2(n)] = x(n) * h(n)
⇒ h(n) = h1(n) * h2(n) = h2(n) * h1(n)
Từ đó ta có nhận xét: Khi mắc nối tiếp hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và
h2(n) thì ta được một hệ thống tương đương có đáp ứng xung là h(n) = h1(n)*h2(n)
-Tính chất phân phối:
y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n) * h2(n)
h1(n)
x(n)
y(n)
≡
+
y(n)
x(n)
h1(n)+h2(n)
h2(n)
Chứng minh :
Ta có : y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] =
∞
∑ x(k ).[h1(n − k ) + h2(n − k )]
k = −∞
=
∞
∑ [ x(k ).h1(n − k ) + x(k ).h2(n − k )]
k = −∞
=
∞
∞
k = −∞
k = −∞
∑ x(k ).h1(n − k ) + ∑ x(k ).h2(n − k )
= x(n) *h1(n) + x(n) * h2(n)
Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) +h2(n)] = x(n) *h1(n) + x(n) * h(n)
Khi mắc nối song song hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và h2(n) thì ta
được một hệ thống tương đương có đáp ứng xung là h(n)= h1(n)+h2(n)
25
