Công thức tính thể tích tứ diện dựa vào góc nhị diện

Công thức tính thể tích tứ diện dựa vào góc nhị diện

CHỨNG MINH CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI
TỨ DIỆN DỰA VÀO GÓC NHỊ DIỆN
Tạp chí và tư liệu toán học

T

Tính chất . Gọi S 1 , S 2 là diện tích các mặt ABC và ABD ,  là góc nhị diện cạnh AB  a .
Thì thể tích tứ diện ABCD là V 

2S 1 S 2 sin 
3a
Chứng minh
A
a
K



B

H

D

C

Gọi H là chân đường cao hạ từ C của tứ diện, kẻ HK  AB thì CHK   .
2S sin 
1

Ta có V  CH.S 2 , mà CH  CK sin   1
.
3
a
2S S sin 
Suy ra V  1 2
.
3a

1 | Tạp chí và tư liệu toán học

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

rong bài viết này ta sẽ cùng nhau đi chứng minh công thức tính thể tích khối tứ
diện dựa vào góc nhị diện, công thức này được ứng dụng trong các bài toán tính
góc giữa 2 mặt phẳng và xử lý rất nhanh gọn dạng toán này chỉ bằng cách tính các
yếu tố liên quan và gần như không đã động tới việc dựng thêm hình. Chúng ta cùng bắt
đầu để thấy sự vi diệu của nó nhé!


Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia 2020
Công thức trên gọi là công thức góc nhị diện.
Hệ quả 1. Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy
Cho khối chóp S.A 1A 2 A n , khi đó ta có V 

2S SA1A2  S A1A2

An

 sin   SA 1A 2  ,  A 1A 2 A n  

3A 1A 2

Hệ quả 2. Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AB cắt tứ diện theo thiết diện có
2S 1 S 2

diện tích S 
cos .
S1  S2
2
Chứng minh

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

A

a

B

D
E
C

Gọi E là giao điểm của mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AB , ta có


2S 1 S sin
2S 2 S sin
2S S sin 
2 

2
VABCD  VABEC  VABED  1 2

3a
3a
3a

2S 1 S 2 cos

2
 2S 1 S 2 cos   S 1  S 2  S  S 
S1  S2
2
Ứng dụng trong bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng.
2S S sin 
Phương pháp. Hãy cùng nhìn lại công thức V  1 2
, vậy từ đây để tính góc giữa 2
3a
mặt phẳng ta cần làm các bước sau:
 Bước 1: Đưa 2 mặt phẳng cần tính về 2 mặt phẳng của một tứ diện.
3a.V
 Bước 2: Tính sin  
.
2S 1 S 2
Để tìm hiểu rõ hơn về cách này, các bạn tham khảo tại đây.

Thanks for learning!
Chinh phục olympic toán| 2