Đại số đều trong giải tích phức

MỤC LỤC
Mục lục ........................................................................................... 1
Lời nói đầu ................................................................................. 2
Chương 1: Cơ sở lý thuyết ...................................................... 4
1.1 Ideal ........................................................................................ 4
1.2 Không gian tôpô ...................................................................... 4
1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach ........................ 6
1.4 Bổ đề Zorn ............................................................................... 8
1.5 Định lý Stone - Weiesstrass ..................................................... 9
1.6 Định lý Hanh - Banach ............................................................ 9
Chương 2: Đại số Banach giao hoán ..................................... 14
2.1 Phổ và giải thức ...................................................................... 14
2.2 Không gian các Ideal cực đại .................................................. 16
2.3 Các ví dụ ................................................................................. 23
2.4 Biên Shilov .............................................................................. 25
2.5 Hai định lý cơ bản ................................................................... 28
2.6 Bao và hạt nhân ...................................................................... 30
2.7 B ∗ - đại số giao hoán ................................................................. 35
Chương 3: Đại số đều................................................................ 38
3.1 Các đại số trên các tập con của mặt phẳng phức .................... 38
3.2 Độ đo biểu diễn ....................................................................... 47
Kết luận ....................................................................................... 52
Tài liệu tham khảo ...................................................................... 53

1


LỜI NÓI ĐẦU
Luận văn bước đầu tìm hiểu về Đại số Banach và Đại số đều trong
giải tích phức, mục đích của luận văn là khẳng định tầm quan trọng của
việc nghiên cứu Đại số Banach giao hoán cùng với Đại số đều, mở rộng

và làm rõ hơn những gì mà chúng ta đã được học và tìm hiểu trong bộ
môn Giải tích hàm.
Nhận thấy tầm quan trọng trong ứng dụng Đại số đều và được
sự định hướng của thầy giáo Th.S Lương Quốc Tuyển, tác giả đã quyết
định chọn nghiên cứu đề tài: "Đại số đều trong giải tích phức."
Với mục đích nghiên cứu như trên, đề tài được chia làm 3 chương với
các nội dung chính như sau:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng ta
trình bày lại một số khái niệm và định nghĩa cơ bản của tôpô đại cương
để phục vụ cho việc chứng minh các định lý, bổ đề, mệnh đề, ... ở các
chương sau.
Chương 2. Đại số Banach giao hoán. Chương này đưa ra
một số khái niệm cơ bản của đại số Banach giao hoán là phổ, giải thức,
không gian các ideal cực đại, các ví dụ về đại số Banach. Các khái niệm
được đưa ra khá tổng quát như định lý cơ bản về phổ (Định lý 1.1) lại
được chứng minh khá đơn giản. Ngoài ra, chương này còn tiếp tục xem
xét một số khái niệm trong đại số Banach gồm biên Shilov, bao của ideal.
Chương 3. Đại số đều. Trọng tâm của chương là nghiên cứu
các đại số đều - một lớp đại số Banach đặc biệt và các hàm xác định trên
đại số compact phẳng (tức là các tập compact trong mặt phẳng phức C).
2


Trong quá trình thực hiện luận văn tác giả đã thu thập, đọc các
tài liệu có liên quan và trình bày các vấn đề lại theo đề tài mà luận văn
đã xác định. Đóng góp khiêm tốn của tác giả là đã viết bản luận văn
một cách hoàn chỉnh như một nhập môn về Đại số Banach và Đại số
đều theo hướng giải tích phức. Đã chứng minh một cách chi tiết phần
lớn các định lý mà được trình bày rất cô động và vắn tắt. Đã xây dựng
một số ví dụ và nên được ý nghĩa của các kết quả trong luận văn.

Để hoàn thành đề tài này tác giả đã được sự giúp đỡ của rất nhiều
thầy cô và bạn bè. Đầu tiên cho phép tác giả được bày tỏ lời cảm ơn
sâu sắc nhất tới thầy Lương Quốc Tuyển, thầy đã hướng dẫn tận tình
trong suốt quá trình làm đề tài. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ
nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán, đã
nhiệt tình giảng dạy. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả
các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 08CTT2 đã động viên giúp đỡ
và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bài viết vẫn không thể tránh khỏi
những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, tác giả rất mong
nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và những góp
ý của bạn đọc, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2012
Tác giả

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1

Ideal

1.1.1

Định nghĩa Ideal

Tập con J của đại số giao hoán A được gọi là ideal nếu:

(a) J là không gian vectơ con của A.
(b) xy ∈ J, ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ J.
+ Nếu ideal J = A thì J được gọi là ideal thực sự.
+ Một ideal thực sự mà không bị chứa trong một ideal thực sự nào lớn
hơn được gọi là ideal cực đại.
1.1.2

Mệnh đề [3]

(a) Không một ideal thực sự nào của đại số A lại chứa phần tử khả
nghịch của đại số này.
(b) Nếu J là một ideal trong đại số Banach A thì J¯ cùng là ideal.

4


1.2

Không gian tôpô

1.2.1

Định nghĩa

Cho X là một tập hợp và τ là họ các tập con nào đó của X. Khi đó
ta nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) ∅, X ∈ τ.
2) Hợp tùy ý các phần tử của τ là một phần tử của τ , nghĩa là: nếu
như {Fα }α∈Λ ⊂ τ thì

Fα ∈ τ.
α∈Λ

3) Nếu A và B ⊂ τ thì A ∩ B ⊂ τ.
Khi đó, ta nói cặp (X, τ ) là một không gian tôpô. Hơn nữa, mỗi phần tử
của τ được gọi là một tập mở.
1.2.2

Lân cận

Cho A là một tập con của không gian tôpô X. Khi đó, tập U ⊂ X
được gọi là lân cận của A nếu tồn tại tập mở V (V ∈ τ ) sao cho:
A ⊂ V ⊂ U.
Đặc biệt, nếu U là tập mở thì ta nói U là lân cận mở của A.
1.2.3

Cơ sở

Giả sử τ là một tôpô trên X, B ⊂ τ . Ta nói B là cơ sở của τ (hoặc
của X) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B, nghĩa
là: nếu U ∈ τ thì U =

Bα , trong đó: Bα ∈ B, ∀ α ∈ Λ.
α∈Λ

1.2.4

Cơ sở lân cận

Giả sử x thuộc X và U(x) là họ tất cả các lân cận tại x. Ta nói

B(x) ⊂ U(x) là cơ sở lân cận tại điểm x nếu với mọi U ∈ U(x), tồn tại
B ∈ B(x) sao cho x ∈ B ⊂ U.
5


1.2.5

Các tiên đề tách

T1 - không gian

X được gọi là T1 - không gian nếu với x, y ∈ X và x = y thì tồn tại
lân cận U của x sao cho y ∈
/ U.
T2 - không gian (không gian Hausdorff)

X được gọi là T2 - không gian (hay là không gian Hausdorff ) nếu với
mọi x, y ∈ X, x = y, tồn tại các lân cận (mở) U của x, V của y sao cho:
U ∩ V = ∅.
Không gian chính quy

X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi x ∈ X, mọi tập đóng
F ⊂ X sao cho x ∈
/ F, luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của F
sao cho: U ∩ V = ∅.

1.3

Không gian định chuẩn và không gian Banach

1.3.1

Chuẩn

Cho E là không gian vectơ trên trường K (K = C hoặc K = R). Một
chuẩn trên E là hàm x → x từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau
với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈ K :
1) x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = 0;
2) λx = |λ| . x ;
3) x + y ≤ x + y .
1.3.2

Định nghĩa

i) Không gian vectơ E được gọi là không gian định chuẩn nếu trên E
có chuẩn · . Khi đó ta kí hiệu (E, · ).
6


ii) Không gian định chuẩn (E, · ) là không gian Banach nếu E cùng
với mêtric sinh bởi chuẩn là không gian mêtric đầy đủ.
1.3.3

Tập lồi, tập bị chặn

Giả sử A là tập con của không gian định chuẩn E.
(1) A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A, ∀ λ ∈ [0, 1].
Ta có: λx + (1 − λ)y ∈ A.
Kí hiệu:
{λx + (1 − λ)y : λ ∈ (0, 1)} được gọi là khoảng nối giữa 2 điểm x, y.

{λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} được gọi là đoạn nối giữa 2 điểm x, y.
(2) A được gọi là tập bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0 trong E, tồn
tại r > 0 sao cho: A ⊂ rU = {rx : x ∈ U }.
1.3.4

Định lý tách tập lồi

Cho f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E. Khi
đó với mọi α ∈ R ta gọi : H = {x : f (x) = α} là siêu phẳng thực trong
E. Xét bốn tập lồi:
Fα = {x : f (x) ≤ α};

F α = {x : f (x) ≥ α}.

Gα = {x : f (x) < α};

Gα = {x : f (x) > α}.

Nếu f liên tục (hay một cách tương ứng H đóng) thì Fα , F α là các tập
đóng; Gα , Gα là các tập mở.
Hai tập A, B gọi là được tách (tách thực sự) nếu tồn tại siêu phẳng H
sao cho A ⊂ Fα , B ⊂ F α (A ⊂ Gα , B ⊂ Gα ).
Định lý tách tập lồi thứ nhất. A là tập lồi trong không gian định
chuẩn E sao cho int(A) = ∅ và B là một tập lồi khác rỗng trong E không
giao với int(A). Khi đó tồn tại một siêu phẳng thực đóng H tách A và
B. Nếu cả A và B đều mở thì nó tách thực sự.
Định lý tách tập lồi thứ hai. Nếu A và B là các tập lồi khác rỗng
7

không giao nhau, A đóng, B compact. Khi đó tồn tại một siêu phẳng
đóng H tách thực sự A và B.
1.3.5

Định lí [1]

Nếu F là không gian vectơ con đóng và G là không gian con hữu hạn
chiều của không gian định chuẩn E thì F + G là không gian con đóng
của E.
Chứng minh. Bằng qui nạp ta chỉ cần chứng minh trường hợp G một
chiều, tức là G = Ka. Nếu a ∈ F thì F + Ka = F là đóng trong E. Nếu
a∈
/ F thì mọi x ∈ F + Ka đều được viết một cách duy nhất dưới dạng
x = f (x)a + y. Vì f là phiếm hàm tuyến tính và f −1 (0) = F là đóng
nên f là phiếm hàm liên tục trên F + Ka.
Giả sử {xn } là một dãy trong F + Ka, xn → x. Ta chỉ cần chứng tỏ
x ∈ F + Ka. Ta viết xn = f (xn )a + yn . Vì f liên tục nên:
|f (xm ) − f (xn )| = |f (xm − xn )| ≤ f . xm − xn
Theo bất đẳng thức này, vì dãy {xn } hội tụ nên dãy {f (xn )} là Cauchy
trong K. Từ đó f (xn ) → λ ∈ K và do đó:
yn = xn − f (xn )a → x − λa.
Bởi vì f đóng nên x − λa ∈ F và x ∈ F + Ka.
Vậy F + G là không gian con đóng của E.

1.4

Bổ đề Zorn

Giả sử X là một tập hợp và ≤ là một thứ tự (bộ phận) trên X, tức
là với mọi x, y, z ∈ X ta có x ≤ x; nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y và nếu

x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z (phản xạ, đối xứng, bắc cầu).
Một tập con A thuộc X được gọi là sắp tuyến tính nếu mọi x, y ∈ A
thì x ≤ y hoặc y ≤ x. Phần tử a ∈ X được gọi là một biên (cận) trên
8


của A nếu: x ≤ a với mọi x ∈ A. Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực
đại nếu mọi x ∈ X mà a ≤ x thì a = x.
Phát biểu bổ đề Zorn. Cho tập X = ∅ và ≤ là một thứ tự trên X.
Nếu mọi tập con được sắp tuyến tính của X đều có cận trên thì trong X
có phần tử cực đại.

1.5

Định lý Stone - Weiesstrass

Giả sử A là mệt tập các hàm xác định trên E. Khi đó ta nói:
+ A phân biệt các điểm của E nếu mọi x1 , x2 ∈ E; x1 = x2 đều tồn tại
f ∈ A để f (x2 ) = f (x2 ).
+ A chứa các hằng số nếu các hàm hằng đều thuộc A.
Giả sử E là không gian mêtric compact và CR (E) (hay CC (E)) là không
gian Banach các hàm thực (phức) liên tục trên E với chuẩn sup.
Phát biểu định lý Stone - Weiesstrass
Nếu đại số con A ⊂ CR (E) phân biệt các điểm của E và chứa các hằng
số thì A trù mật trong CR (E).
Nếu đại số con A ⊂ CC (E) phân biệt các điểm của E, chứa các hằng số
và f ∈ A kéo theo f¯ ∈ A thì A trù mật trong CC (E).

1.6

Định lí Hahn - Banach

Cho E là một không gian vectơ và p : E → R là một hàm thực. Khi
đó:
+ p được gọi là một sơ chuẩn nếu p(αx) = αp(x) với mọi α > 0, x ∈ E
và p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.
+ p được gọi là một sơ chuẩn nếu p(x) ≥ 0, với mọi x ∈ E; p(αx) =
|α| p(x) với mọi vô hướng α (R hoặc C), x ∈ E; p(x + y) ≤ p(x) +
p(y) với mọi x, y ∈ E.
9


Như vậy chuẩn là nửa chuẩn và nửa chuẩn là sơ chuẩn.
1.6.1

Định lí Hahn - Banach cho không gian vectơ thực

Giả sử E là một không gian vectơ thực, F là không gian con của E
và p : E → R là một sơ chuẩn xác định trên E. Khi đó, nếu f : F → R
là một phiếm hàm tuyến tính xác định F thỏa mãn f (x) ≤ p(x) với mọi
x ∈ F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E → R xác định trên E sao
cho:

1.6.2


f |F = f.
f (x) ≤ p(x),

∀ x ∈ E.

Bổ đề

Hàm f : E → C là phiếm hàm tuyến tính trên E nếu và chỉ nếu tồn
tại một phiếm hàm tuyến tính thực f1 trên E sao cho:
f (x) = f1 (x) − if1 (ix), ∀ x ∈ E.

1.6.3

Định lí Hahn - Banach cho không gian vectơ phức

Giả sử E là một không gian vectơ phức, F là không gian con của E
và p là nửa chuẩn trên E. Khi đó, nếu f : F → K là một phiếm hàm
tuyến tính thỏa mãn: |f (x)| ≤ p(x), với mọi x ∈ F, thì tồn tại phiếm
hàm tuyến tính f : E → K thỏa mãn:


f = f
F

 f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ E.

10


1.6.4

Hệ quả

Giả sử F là một không gian vectơ con của không gian định chuẩn E

và vectơ v ∈ E\F sao cho d(v, F ) = δ > 0. Khi đó tồn tại phiếm hàm
tuyến tính liên tục f trên E sao cho f = 1, f|F = 0 và f (v) = δ.
Đặc biệt nếu F = {0} thì f = 1 và f (v) = v .

1.7
1.7.1

Định lí ánh xạ mở
Bổ đề [1]

Giả sử f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian
Banach E lên không gian Banach F . Đặt:
B E = BF (0, 1) = {x ∈ E : x < 1}
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho: B F (0, δ) = {y ∈ F : y < δ} ⊂ f (B E ).
1.7.2

Phát biểu định lí ánh xạ mở [1]

Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ một không gian Banach E lên
một không gian Banach F là mở, tức là với mọi tập mở U ⊂ E, f (U )
là tập mở trong F.
1.7.3

Hệ quả của định lí ánh xạ mở

Nếu f là song ánh tuyến tính từ không gian Banach E lên không gian
Banach F và f liên tục thì f là phép đồng phôi.

1.8

Nguyên lí bị chặn đều

Giả sử E là không gian Banach, F là không gian định chẩn và {fα }α∈Λ
là một họ các ánh xạ liên tục từ E vào F . Khi đó, nếu ∀ x ∈ E mà
sup fα (x) < ∞ thì sup fα < ∞.
α∈Λ

α∈Λ

11


Thật vậy, với mỗi α ∈ Λ ta đặt pα (x) = fα (x) . Khi đó dễ dàng kiểm
tra được pα là một nửa chuẩn liên tục trên E, ∀ α ∈ Λ.
Vì vậy ta có: {pα }α∈Λ là họ các nửa chuẩn liên tục trên E, sup pα (x) < ∞,
α∈Λ

với mọi x ∈ E ⇒ ∃ sup pα < ∞. Hơn nữa, p(x) = sup pα (x) là hàm liên
α∈Λ

α∈Λ

tục trên E. Do đó p(x) ≤ p . x , ∀ x ∈ E, nên:
fα (x) = pα (x) ≤ sup pα (x) = p(x) ≤ p . x .
α∈Λ

Suy ra fα ≤ p , ∀ α ∈ Λ.
Vì vậy, ta có: sup fα ≤ p < ∞ (điều phải chứng minh).
α∈Λ

1.9

Định lý Alaoglu

Cho E là một không gian vectơ. Không gian vectơ E ∗ gồm tách cả
các phiếm hàm tuyến tính trên E gọi là không gian liên hợp của E.
E ∗∗ = (E ∗ )∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của E.
Tôpô yếu nhất trên E để mọi f ∈ E ∗ liên tục gọi là tôpô yếu trên E.
Nếu E là một không gian định chuẩn, ánh xạ ϕ : E → E ∗∗ xác định bởi
ϕ(x)(f ) = f (x), ∀ x ∈ E, f ∈ E ∗ là một phép nhúng.
Do vậy, ta có thể coi E ⊂ E ∗ .
Tức là mỗi x ∈ E được đồng nhất với một phiếm hàm trên E ∗ . Tôpô
yếu nhất trên E ∗ để các phiếm hàm x ∈ E ≡ ϕ(E) ⊂ E ∗∗ liên tục gọi là
tôpô∗ yếu trên E ∗ .
Phát biểu định lý Alaoglu Nếu E là một không gian định chuẩn thì
hình cầu đơn vị đóng:
B ∗ = {g ∈ E : g ≤ 1}
là tách Hausdorff và compact∗ yếu.

12


1.10

Định lý Fejer

Cho f là một hàm thực liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Đặt:
1 π
f (x)e−imx dx gọi là hệ số Fourier thứ m của hàm f .
Cm =

2π −π
+∞

Chuỗi: f (x) =

Cn einx được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và

n=−∞
n

sn (x) =

Ck eikx gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier.

k=−n

s0 (x) + s1 (x) + · · · + sn (x)
. Khi đó, σn (x) được gọi là trung
n+1
bình cộng của n + 1 tổng riêng đầu tiên.
Đặt: σn (x) =

Phát biểu định lý Fejer. Nếu f liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π thì
ta có lim σn (x) = f (x) đều trên toàn trục số.
n→∞

1.11

Định lý Liouville

Hàm phức f xác định trên một tập chứa điểm z0 của mặt phẳng phức
được gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại z0 nếu có một lân cận của điểm
z0 để f xác định và có đạo hàm phức f (z) tại mọi z thuộc lân cận này.
Một cách tương đương, có một lân cận của điểm z0 để mọi z trong lân
cận này hàm f khai triển được thành chuỗi lũy thừa:
f (η) = a0 + a1 (η − z) + a2 (η − z)2 + · · · + an (η − z)n + · · ·
với bán kính hội tụ dương.
Phát biểu định lý Liouville. Nếu f là một hàm chỉnh hình trên toàn
mặt phẳng phức và bị chặn (tức là tồn tại M < ∞ sao cho |f (z)| ≤ M
với mọi z ∈ C) thì f =const.

13


Chương 2
ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN
Trong chương này, chúng ta sẽ phát triển những kiến thức cơ bản
nhất của lý thuyết Gelfand về đại số Banach giao hoán.
+ Đại số Banach A là một tổ hợp không gian Banach A. A là đại số
Banach khi:
f.g ≤ f . g , ∀ f, g ∈ A.
+ Đại số Banach A được gọi là giao hoán nếu:
f.g = g.f, ∀ f, g ∈ A.
+ Đại số Banach A được gọi là có đơn vị, mà ta kí hiệu là 1 hoặc e
nếu:
1.f = f.1, ∀ f ∈ A, 1 = 1 hay e.f = f.e, ∀ f ∈ A, e = 1.
Trong phần này chúng ta chỉ nghiên cứu đại số Banach giao hoán có đơn
vị, ta quy ước đơn vị của nó là 1.

2.1

Phổ và giải thức

+ Với mọi f ∈ A, f được gọi là khả nghịch nếu tồn tại f −1 ∈ A : sao
cho f.f −1 = 1.
+ Số phức λ được gọi là thuộc vào giải thức của f nếu: λ − f khả
nghịch.
Ta kí hiệu: A−1 = {f ∈ A : ∃ f −1 }.
14


Kí hiệu: σ(f ) = {λ ∈ C : λ − f ∈
/ A−1 }. Khi đó, σ(f ) là được gọi là phổ
của f.
2.1.1

Định lý 1.1

Với mọi f thuộc A ta có phổ σ(f ) của f không rỗng và compact.
Ánh xạ g: λ → (λ − f )−1 là ánh xạ chỉnh hình (giải tích) trên C/σ(f ),
g(ε) − g(λ)
, ∀ λ ∈ σ(f ).
nghĩa là tồn tại lim
ε→λ
ε−λ
∞

fn
hội tụ tới một hàm g(λ), với
n+1

n=0 λ
g(λ) giải tích tại ∞. Ta biễu diễn g(λ)(λ−f ) = 1 suy ra g(λ) = (λ−f )−1 .
Chứng minh. Nếu |λ| > f , chuỗi

Do đó σ(f ) được chứa trong hình cầu đóng có bán kính là f .
∞

Giả sử rằng λ0 thuộc giải thức của f . Chuỗi

(λ0 − λ)n (λ0 − f )−(n+1)

n=0

hội tụ tới hàm h(λ), với h(λ) là hàm có giải tích (chỉnh hình) trong hình
cầu có dang:

|λ − λ0 | < 1/ (λ0 − f )−1

. Theo phần chứng minh trên

ta biểu diễn được h(λ) = (λ − f )−1 là giải tích trong giải thức của f .
Giả sử có hàm L ⊂ A, L((λ − f )−1 ) là một hàm chỉnh hình của λ
trong giải thức của f , nó sẽ triệt tiêu tại ∞. Theo Định lý Liouville,
nếu σ(f ) = ∅ thì L((λ − f )−1 ) sẽ đồng nhất 0. Dựa vào Định lý Hahn Banach, (λ − f )−1 cũng sẽ đồng nhất với 0, điều này là vô lý.
Vì vậy σ(f ) = ∅ và compact (điều phải chứng minh).
Từ chứng minh Định lý 1.1, ta suy ra:
2.1.2

Định lý 1.2

Nếu λ thuộc vào phổ σ(f ) của f thì |λ| ≤ f .

15


2.1.3

Định lý 1.3

Nếu λ thuộc giải thức của f và d(λ, σ(f )) là khoảng cách từ λ đến
σ(f ), khi đó:
d(λ, σ(f )) ≥

2.1.4

1
(λ − f )−1

Định lý (Gelfand - Mazund)

Nếu đại số Banach giao hoán có đơn vị A là một trường thì A đẳng
cấu đẳng cự với C.
Chứng minh.
+ Ta có nhận xét mọi đại số Banach có đơn vị nàm trong đại số con
đẳng cự với C.
+ Ta có: C = {λ.1 : λ ∈ C}.
Giả sử f ∈ A theo Định lý 1.1, ta có σ(f ) = ∅ ⇒ ∃ λ ∈ σ(f ).
Suy ra λ − f ∈
/ A−1 . Vì A là trường nên λ − f = 0 do đó f = λ.
Do đó A ⊆ {λ.1 : λ ∈ C}.

Vì vậy A đẳng cấu đẳng cự với C.

2.2

Không gian các Ideal cực đại

Giả sử J là các ideal của đại số A. J được gọi là ideal cực đại nếu: J
khác A và mọi ideal thực sự J của A mà J ⊃ J thì J = J.
Kí hiệu: MA = {ideal cực đại của A}. Khi đó MA là không gian các ideal
cực đại.
2.2.1

Bổ đề

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị, khi đó:
i) Mọi ideal thực sự của A đều tồn tại một ideal cực đại chứa nó.
16


ii) I là ideal cực đại của A ⇔ A/I là một trường (hay A/I ∼
= C).
Chứng minh.
i) Giả sử J là ideal thực sự của A. Kí hiệu P là họ tất cả các ideal thực
sự của A chứa J. Trên P ta xét quan hệ thứ tự: M ≤ N ⇔ M ⊂ N.
Giả sử Q là tập con sắp thứ tự tuyến tính của P theo quan hệ trên.
Kí hiệu: P =

I.
I∈Q

Vì Q sắp thứ tự tuyến tính nên P là ideal chứa J.
Giả sử P = A dẫn đến 1 ∈ P suy ra ∂I ∈ Q sao cho: 1 ∈ I.
Suy ra I = A dẫn đến mâu thuẫn nên P ⊂ A.
Vậy P là ideal thực sự của A và I ≤ P, ∀ I ∈ Q.
Theo Bổ đề Zorn, trong P tồn tại phần tử cực đại M . M chính là ideal
cực đại của A chứa J (điều phải chứng minh).
ii) +) Điều kiện cần: Giả sử A là một đại số Banach giao hoán, I là ideal
cực đại của A. Suy ra I là một ideal đóng (ta sẽ chứng minh ở Định lý
2.2.2 sau) nên A/I là một không gian Banach với chuẩn:
x + I = inf x − y
y∈I

Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại a, b ∈ I sao cho:
x−a ≤ x+I +ε
y−b ≤ y+I +ε
Suy ra (x − a)(y − b) ≤ x − a . y − b ≤ ( x + I +ε).( y + I +ε).
Do (x−a)(y−b) = xy−(ay+bx−ab) và ay, bx, ab ∈ I ⇒ ay+bx−ab ∈ I,
nên ta có:
(x − a)(y − b) ≥ xy − I
⇒ xy − I ≤ x + I . y + I .
Lấy x + I ∈ A/I ; x ∈
/ I. Đặt J = {ax + b | a ∈ A, b ∈ I}.
Khi đó, J là một ideal của A; J

I suy ra J = A, ta có tồn tại a ∈ A

vá b ∈ I: ax + b = e suy ra (a + I)(x + I) = e + I.
17

Vì vậy mọi phần tử khác 0 của A/I đều khả nghịch.
Theo Định lí Gelfand - Mazund ta có: A/I ∼
= C.
+) Điều kiện đủ: Cho A/I là một trường.
Giả sử ngược lại, I không phải là ideal cực đại của A. Khi đó tồn tại
một ideal cực đại J của A sao cho J I.
Lấy a ∈ J\I ⇒ a + I = 0. Vì A/I là một trường nên tồn tại b ∈ A:
(a + I)(b + I) = e + I ⇒ ab + I = e + I ⇒ e ∈ ab + I.
Vì a ∈ J; J là ideal, vì vậy ab ∈ J. Mặt khác, vì I ∈ J nên: ab + I ∈
J ⇒ 1 ∈ J.
Suy ra J = A. Điều này là mâu thuẫn vì J là một ideal cực đại của đại
số A. Vì vậy I là một ideal cực đại của A.
2.2.2

Định lý 2.2

(+) Nếu J là ideal cực đại ⇒ J đóng.
(+) J cực đại ⇒ A/J đẳng cấu, đẳng cự với C.
Chứng minh.
(+) Nếu f ∈ A : 1 − f < 1 thì f ∈ A−1 .
Thật vậy 1 − f < 1 ⇒ 1 ∈
/ σ(1 − f ) ⇒ 1 − (1 − f ) ∈ A−1 hay f ∈ A−1 .
Giả sử I là ideal thực sự của A, ∀ f ∈ I, f ∈
/ A−1 ⇒ 1 − f ≥ 1, ∀f ∈ I.
Vì A−1 mở nên I¯ ∩ A−1 = ∅.
Vậy ta có ∀ f ∈ I¯ cũng không khả nghịch nên I¯ = A.
I là ideal thực sự thì I¯ cũng là ideal, I¯ = A (1 ∈
/ I¯ - khả nghịch).
Do đó I là ideal thực sự thì I¯ cũng vậy.
Giả sử J là ideal cực đại của A, theo chứng minh trên J¯ là ideal thực sự

¯
của A và J ⊂ J.
Bây giờ ta chứng minh J¯ = A.
Muốn vậy, ta chứng minh J¯ không chứa phần tử khả nghịch nào của A.
Giả sử ngược lại J¯ chứa phần tử khả nghịch của A.
Vì x ∈ G(A), với G(A) mở nên tồn tại hình cầu mở x ∈ U ⊂ G(A).
18


¯ x ∈ U nên U ∩ J = ∅.
Vì x ∈ J,
Mà U ⊂ G(A) nên J chứa phần tử khả nghịch của A. Điều này là mâu
thuẫn với J là ideal thực sự.
¯ Vậy J đóng.
Vì J cực đại nên J = J.
Vì vậy, nếu J là ideal cực đại thì J đóng.
(+) J là ideal cực đại của A nên J đóng (theo chứng minh trên). Suy ra
A/ là không gian Banach với chuẩn:
J
f + J = inf{ f + g : g ∈ J}
Dễ dàng thấy rằng:
f g + J ≤ f + J . g + J , ∀ f, g ∈ A.
Vì vậy A/J là đại số Banach giao hoán.
Với mọi f ∈ J, do J là ideal cực đại nên f không khả nghịch.
Vì vậy 1 + f > 1.
Ta có: 1 + f = inf 1 + f ≥ 0.
0 ∈ J nên 1 + J ≤ 1 = 1.
Do đó 1 + J = 1.
Vậy A/J là đại số Banach giao hoán.
Với mọi f ∈ J có phần tử đơn vị là 1 + J.

Theo Định lý Gelfand - Mazun thì A/J đẳng cấu đẳng cự với C.
Chú ý. Giả sử J cực đại thuộc A và Φ là phép chiếu chính tắc, với:
Φ : A −→ A/J
f −→ f + J
Khi đó, Φ là một đồng cấu.
KerΦ = {f ∈ A : f + J = 0} = {f ∈ A : f ∈ J} = J,A /J ∼
= C.
Do đó, có thể xem Φ : A → C là một đồng cấu phức khác 0.
Vì vậy ta xem mỗi ideal cực đại J của A được xem là hạt nhân của một
đồng cấu phức khác 0, thật vậy:
19


+) Nếu f ∈ A thì định nghĩa: Φ(f ) = λ : λ + J = f + J.
Nên ta có λ − f ∈ J.
+) Ngược lại , giả sử Φ là một đồng cấu phức khác 0 của A và J lag
Ker của Φ thì A/J là một trường, theo Bổ đề 2.1 thì J là Iđêan cực
đại của A.
2.2.3

Định lý 2.3

Kí hiệu: ∆A là tập tất cả các đồng cấu phức khác không của A.
Khi đó ánh xạ:
∆A −→ MA
Φ −→ KerΦ
là song ánh.
Chứng minh. Φ, Φ ∈ ∆A : Ker Φ = Ker Φ .
Suy ra Φ = α.Φ ⇒ Φ(e) = α.Φ (e) ⇒ α = 1 ⇒ Φ = Φ .
2.2.4

Bổ đề

Φ ∈ ∆A ⇒ Φ liên tục, Φ = 1 = Φ(1).
Chứng minh.
Φ là đồng cấu ⇒ (Φ(1))2 = Φ(1.1) = Φ(1).
Φ(1) = 1
=⇒
Φ(1) = 0
Nếu Φ(1) = 0 thì Φ(f ) = Φ(1.f ) = Φ(1).Φ(f ) = 0, ∀ f ∈ A, điều này là
mâu thuẫn vì Φ ∈ ∆A nên Φ = 0 suy ra Φ(1) = 1.
Nếu f ∈ A : f < |λ| ∈ C ⇒ λ − f ∈ A−1 .
Suy ra 1 = Φ(1) = Φ(λ − f ).Φ((λ − f )−1 ) nên Φ(λ − f ) = 0.
Vì vậy λ − Φ(f ) = 0 ⇒ Φ(f ) = λ, ∀ λ ∈ C;
f , ∀ f ∈ A.

20

f < |λ| suy ra |Φ(f )| ≤


Do đó Φ liên tục và Φ ≤ 1.
Mặt khác Φ(1) = 1 nên Φ = 1 (điều phải chứng minh).
2.2.5

Định lý 2.5

Không gian ideal cực đại MA của A là không gian Hausdorff compact
(đối với tôpô yếu*).
Chứng minh.

Ta có nhận xét sau: Giới hạn yếu* của một phép biến đổi tôpô thỏa mãn
Φ(1) = 1 thì nó là một phép biến đổi tôpô khác 0.
Giả sử {Φα } ⊂ MA (dãy suy rộng), Φα → Φ.
Ta có Φ là đồng cấu và Φ(1) = lim Φα (1) = lim 1 = 1.
α

α

Vì vậy Φ = 0.
Theo nhận xét trên thì MA là phép biến đổi tôpô khác 0, vì vậy MA là
đóng yếu* của một hình cầu đơn vị của A∗ .
Theo Định lý Alaoglu, hình cầu đơn vị B[0, 1] là compact trong A∗ đối
với tôpô yếu*.
Do đó MA đóng trong B[0, 1] - compact.
Vì vậy MA là compact.
Vì A∗ là Hausdorff đối với tôpô yếu* nên MA cũng vậy.
Từ đó ta có MA là không gian Hausdorff compact (điều phải chứng
minh).
Định nghĩa. Giả sử f thuộc đại số A. Khi đó
f : MA −→ C
Φ −→ f (Φ) := Φ(f ).
được gọi là phép biến đổi Gelfand của f .
Kí hiệu: A = {f : f ∈ A}.

21


2.2.6

Định lý 2.6

A là một đại số con của C(MA ). Hơn nữa, A chứa các hằng, tách các
điểm của MA . Phép biến đổi:
G : A −→ A
f −→ f
là một đồng cấu không tăng. Chuẩn: f = sup f (Φ) ≤ f , ∀ f ∈ A.
Φ∈MA

Chứng minh.
+ A - đại số ⊂ C(MA ).
+ Lấy {Φα } ⊂ MA : Φα → Φ ⇒ f (Φα ) = Φα (f ) → Φ(f ) = f (Φ).
Vì vậy f liên tục trên MA .
Ta có: f (Φ) = |Φ(f )| ≤ Φ . f , ∀ f ∈ MA .
Mà Φ = 1 ⇒ |f (Φ)| ≤ f , ∀ f ∈ MA suy ra f ≤ f .
+ Lấy 1 ∈ A ⇒ G(1) = 1 - đơn vị của A.
Ta có ∀ λ ∈ C : G(λ) = λ.1 = λ ∈ A. Vì vậy A chứa các hằng.
A chứa các hằng.
+ Lấy Φ1 , Φ2 ∈ MA .
Giả sử với mọi f ∈ A đều có f (Φ1 ) = f (Φ2 ).
Nên ta có Φ1 (f ) = Φ2 (f ) ⇒ Φ1 = Φ2 .
Vì vậy, A tách các điểm của MA .
Định lý đã được chứng minh.
2.2.7

Định lý 2.7

Với mọi f ∈ A ta có σ(f ) = f (MA ).
Chứng minh.
22

+) Với mọi λ ∈ σ(f ) ta có λ − f không khả nghịch.
Do đó, (λ − f )A là ideal thực sự của A (1 ∈
/ (λ − f )A).
Theo Bổ đề 2.1, tồn tại ideal cực đại J chứa λ − f .
Giả sử Φ ∈ MA , J = Ker Φ.
Ta có Φ(λ − f ) = 0 ⇒ λ − Φ(f ) = 0 suy ra f (Φ) = λ ⇒ λ ∈ f (MA ).
Vậy σ(f ) ⊂ f (MA ).

(1)

+) Lấy λ ∈ f (MA ). Chọn Φ ∈ MA : f (Φ) = λ.
Ta có: Φ(λ − f ) = 0 suy ra λ − f không khả nghịch.
Vậy f (MA ) ⊂ σ(f ).

(2)

Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh.

2.3
2.3.1

Các ví dụ
Ví dụ 1

Giả sử C(X) = {f : X → C, f liên tục}, trong đó X là T2 - không
gian, compact thì:
f = sup |f (x)| , ∀ f ∈ C(X).
x∈X

Khi đó, C(X) là đại số Banach giao hoán có đơn vị.
Mối quan hệ giữa X với MC(X) : ∀ x ∈ X, xác định ánh xạ:
Φx : C(X) −→ C
f −→ f (x).
Φx là một đồng cấu phức xác định trên đại số C(X). Vì vậy Φx ∈ MC(X) .
Lúc đó, ta nói Φx là đồng cấu định giá trị tại x, xác định bởi:
X

−→ MC(X)
x −→ Φx

23


2.3.2

Ví dụ 2

Giả sử A là một đại số con của C(X), A được gọi là đóng đều nếu
{fn } ⊂ A; fn ⇒ f (theo chuẩn sup) thì f ∈ A, A chứa các hằng số.
Khi đó A cũng là đại số Banach giao hoán có đơn vị với chuẩn sup.
Nếu A tách các điểm của X thì tương ứng:
ϕ : X −→ MA
x −→ Φx
là một phép nhúng của X như là một tập con đóng của MA , với MC(X)
nằm trong MA .
Ta có: ∆ = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, b∆ = {z ∈ C : |z| = 1}.
P (b∆) = {f ∈ C(b∆) : ∃ {fn } - đa thức biến z, Pn ⇒ f trên b∆}.
Khi đó, P (b∆) là đại số con của C(b∆).
Hệ số Fourier thứ k của f ∈ C(b∆) được cho bởi công thức:

2π

1
Ck =
2π

f (eiθ ).e−i.k.θ dθ =
0

f (z)
dz
z k+1
b∆

Theo Định lý Fejer, tồn tại σn ⇒ f , σn =
m

1
(f1 + f2 + . . . + fn ), với:
n+1

m
ikθ

fm =

1
2πi

ck .e

k=−m

Ck .z k ; z = eiθ .

=
k=−m

(+) Nếu Ck = 0, ∀ k < 0, thì:
m

fm =

Ck .z k = C0 + C1 z + C2 z 2 + · · · + Cm z m .

k=−m

Vì vậy fm là đa thức theo biến z nên σn cũng là đa thức. Hơn nữa:
σn ⇒ f trên b∆. Khi đó, theo Nguyên lý môđun cực đại, tồn tại f là mở
rộng liên tục của f lên ∆ sao cho f ∈ H(int ∆).
(+) Ngược lại nếu f ∈ C(b∆) mà mở rộng liên tục được lên ∆ chỉnh hình
trên int∆. Khi đó theo công thức tích phân Cauchy thì Ck = 0, ∀ k < 0.

24


2.4

Biên Shilov

Định nghĩa. A là tập con của E ⊂ MA , E được gọi là biên của A

nếu với mọi f ∈ A, f đạt cực đại trên E.
2.4.1

Bổ đề 4.1 [3]

Giả sử f1 , f2 , . . . , fn ∈ A và V - mở ⊂ MA xác định bởi:
V = Ψ ∈ MA : fj (Ψ) < 1, ∀j = 1, n .
Khi đó V có giao với mọi biên của A hoặc E\V là biên đóng của A nếu
E là biên đóng của A.
Ta có thể mở rộng Bổ đề 4.1 như sau:
Bổ đề 4.1’ Giả sử f1 , f2 , . . . , fn ∈ A và V là một lân cận của Φ ∈ MA ,
xác định bởi:
V = Ψ ∈ MA : fj (Ψ) − fj (Φ) < 1; 1 ≤ j ≤ n
Khi đó hoặc V giao với mọi biên của A hoặc E\V là biên đóng của A,
với E là biên đóng của A.
2.4.2

Định lý 4.2

Giao của tất cả biên đóng của A là một biên đóng của A.
Chứng minh. Đặt ∂A :=

Ei , với Ei là tất cả các biên đóng của A, ta
i

phải chứng minh ∂A đóng.
Ta có nhận xét sau: Φ ∈ ∂A ⇔ Mọi lân cận U của Φ đều tồn tại f ∈ A
sao cho f chỉ đạt cực trong U.
Muốn chứng minh ∂A là biên của A ta chỉ cần chứng minh nếu f < 1
trên ∂A thì f < 1 trên MA .

Thật vậy, giả sử f ∈ A và f < 1 trên ∂A.
Phản chứng tồn tại Φ ∈ MA : f (Φ) ≥ 1 suy ra Φ ∈
/ ∂A.
25