đại số banach và đại số đều trong giải tích phứcc, chương 2

CHUONG 2
BIEN, BAO, HẠCH VÀ Bˆ - ĐẠI SỐ
Trong chương này ta tiếp tục ký hiệu A là đại số đều, Mạ là khơng gian
các ideal cực đại.
§. 2.1. Biên Shiloy

1. Định nghĩa biên Shilov
Tập con E của Mạ gọi là biên của tập A

nếu mọi Ÿ e  có modul đạt

cực đại trên E,

2.1.1. Bổ đề
Nếu f¡... f; e A và giả sử
V là tập con mở cơ sở của Mạ xác

định bởi:

V={w:|f;()J<1;1Khi đó hoặc V giao với mọi biên của A hoặc mọi biên đóng E tập E\V

cũng là biên của A.
Chứng mỉnh

Giả sử tổn tại một biên đóng E của A sao cho E\V khơng là biên cửa A.

Ta cần chứng minh V giao với mọi biên của A.
Lấyf e A sao cho: Pha, =1 và | f |Ìzv <1

Nếu cân thì thay

f bởi f", ta có thể giả sử| Ÿ. Ÿ; |< 1 trên E\V.

Bởi vì |Ÿ. Ÿ;|< 1 trên
V nên | Ÿ. Ê; |< 1 khắp nơi trên E. Vậy |ff¡|khắp nơi trên Mạ,

Từ đó suy ra tập mà trên đó modun Ê đạt cực đại bằng 1 nhất thiết phải
chứa V ( vì chỉ trên V mới có | f; |< 1). Vậy V giao với mọi biên của A.

Bổ dé được chứng minh.

18


2.1.2 Định lý ( Shilov )
Giao tất cả các biên đóng của A là biên của A
Chứng mỉnh
Ký

hiệu

ơ; là giao

cửa

tất cả

© e ơ¿< mọi lân cận U của œ, tìm được

các

biên

đóng

của

A.

Hiển

nhiên

fe A để tập hợp mà modun f đạt cực

đại nằm tron trong U.

Giả sử fkhắp nơi trên Mạ,

Nếu œ e Mạ xảy ra bất đẳng thức | f (@) | > 1 thì tìm được lân cận mở cơ
SỞ @ trong Mạ sao cho nó khơng giao với một biên đóng nào đó của tập A. Giả
sử Vị,... , Vụ là họ các lân cận mở như vậy phử tập compact {| Ê| 2 1}. Theo
k

bổ để 2.1.1 Mạ \(|Jv;) là biên của A. Bởi vì |Ÿ | < 1 trên biên này nên
jal
| ÊJ< 1 khắp nơi trén My
Định lý được chứng minh,
Giao của tất cả các biên đóng của đại số A gọi là biên Shilov của A, ký

hiệu là ô¿. Biên Shilov là biên đóng nhỏ nhất cửa A.
2. Liên hệ giữa biền Shilov va biên tôpô
Do nguyên lý cực đại đường tròn bA là biên của đại số P(A). Nếu ÀebA
thi ham 1 + Az dat modun cực đại tại điểm z =^.

Vì vậy tập bA được chứa

trong biên bất kỳ của P(A). Như vậy biên Shilov của đại số P(A) trùng với biên

tôpô của đĩa A,

2.1.3. Định lý
Nếu f e A thì Ÿ (O, ) trùng với biên tôpô của tập f (Ma)

19


Chifng minh

Giả sử tén tai p € Ma sao cho f (@) € bf (Ma) nhưng Ê(@) có khoảng
cách đến f (4) 1A s6 dudng 8. Chon s6 phitc 1. sao cho X¢ f (Ma) nhung

|^A - Ÿ (@) |< ö/2. Do định lý 1.2.7 : phần tử ^. - f khả nghịch
Đặtatg g=(À-f}!,
=(
) Khi đó g

1

7 ê=——. Bởi vì aw] s

véi moi w € Aa, ta

cé |g leg < =. Tuy nhién| go> R mâu thuẩn vì ơ„ là biên.
Định lý được chứng minh.
§. 2.2. Hai định lý cơ bản

1. Hàm giải tích va phân tử của đại số Banach
Định lý sau đây tiếp cận sự ứng dụng của một hàm giải tích nào đó với

một phần tử của đại số Banach

2.2.1. Định lý
Cho

f A

và h là một hàm

giải tích trong một lân

cận

của

tập

Ÿ (Mạ)=ơ(. Khi đó tổn tại phần tử g e A sao cho § = họÊ
Chứng minh
Theo céng thức tích phân Cauchy

h(z¿)==-

2)

Zo € O(f)

2đl ï.Z—Zụ

đối với mọi chu tuyến Ï'
2=_

1

_
J h(z)(z-f)

vây quanh o(f). Dat
dz

Tích phân này tổn tại như tích phân Riemann thơng thường, Xấp xĩ tích phân bởi

tổng Riemann hữu hạn chúng ta thấy
20


@(8)=~—2 [b(2)(z~@())dz
=h(@(f)), ọeMạ
r
Vivay 8() = hof (@) v6i mọi peMy hay ơ = hof

Định lý được chứng minh.

2. Bán kính phổ
Bán kính phổ của phần tử f e A là số: sup { |^.|:

€ o(f)}

Do định lý 1.2.7, bán kính phổ cổa f trùng với | Ê lJ,...
Định lý sau đây cho cơng thức tính bán kính phổ,
2.2.2. Định lý
Bán kính phổ của phần tử f e A được tính theo công thức

IŸll, = n—>o
lim|f
A

‹

n l/n

Chứng mỉnh
Với mọi số nguyên dương n ta có

lỀ (|=| Ê"(@J'" < li "I”
Do đó

Hfllụ,

Jim inf | f° ||”

Cho L là một phiếm hàm tuyén tinh lién tuc trén A. D6i v6i A ¢o(f) dat
h(A) = L(A - f)?). Khi đó h là hàm giải tich ngoai o(f) va vi | A | đủ lớn

h(A) =

co

=0

Lf")

Anti

Vì hàm h là giải tích với | A | > || Ÿ lu, nên chuỗi lũy thừa hội tụ với mọi ^. như
vậy.

21


Từ đó
Sup | L(£") |/ JA |"! <0

néu|Al>if ly,
Cố định 2. với | ^. | > | f | M, - Như đã chỉ ra biên trên cửa họ trên là bị
chặn với mọi L,n do đó theo nguyên lý bị chặn đều suy ra

Sup |J|f"|J/|Ax|“=M<œ
( f/A""' là phiến hàm liên tục trên A ”)

Vì vậy

:

lim sup|f°[_

I/o

n—>o

:

Lư

< lim supM'^|A[»
2-0

Bởi vì điểu này đúng với mọi A. thỏa mãn

HÀ

=|^\|

|A^\ > ||Ÿ IM,

nén

lim sup|f [“^ < [f lu,
Vậy chúng ta đã chứng minh được

||, Im, == lim
ñmlr° [

Định lý đã được chứng minh

2.2.3. Hệ quả
Biến đổi Gelfand f — Ê đẳng cự < ||f? | = | f lỄ với mọi f e A
Chứng mình

Nếu f —› Ý là đẳng cấu thì | Ể | = |IÈ”llu, =lÊlu, =l#IÍ
Ngược
lại nếu || f? || = || f |Ÿ đối với mọi f e A thì |f?
1

n

||/=||f|?

n

véimoin21.

Vì vậy |fIElf ll?” > lif llyq, theo định lý 2.2.2 tic f—> f là đẳng cự.
Định lý đã được chứng minh

22


§.2.3. Bao va hach

1. Bao của ideal
Cho J 14 một ideal của đại số A. ta gọi tập tất cả các ideal cực đại cia A
chứa J là bao ideal của J. Nói cách khác bao ideal của J là tập tất cả các đồng

cấu @ e Mạ sao cho @(f) =0

với mọi feJ. Vì bao ideal của J là tập ()kerf nén
fe]

1a tap déng ctia Ma.
2.3.1.Dinh ly

Cho J là ideal đóng của đại số A và B là bao tuyến tính của J và phân tử
đơn vị. Khi đó B là đại số con đóng của đại số A và không gian Mạ các ideal

cực đại của đại số B nhận được từ Mạ bằng cách đồng nhất các điểm nằm trong
bao ideal của J.

Chứng mỉnh

Ta có thể giả thiết J là ideal chân chính. Bởi vì tổng của một đại số con
đóng và một đại số con hữu hạn chiều là một đại số con đóng nên B là đại số
con đóng của đại số A. khi đó J là ideal cực đại của đại số B,
Với mọi eMA,

qua +(@) ta ký hiệu thu hẹp của @ trên B, Khi đó + là

ánh xạ tuyến tính liên tục không gian Mạ vào không gian Mạ. Hiển nhiên ideal
cực đại rt(@) trùng với ideal cực đại J trong B © @ thuộc bao ideal J. Do đó + là

1 — 1 ởngoài bao ideal của J,
Giả sử

e Mạ và w khơng trùng với ideal cực đại J. Khi đó ta tìm được

f e Jsao cho w( = 1. Với mọi g e A đặt @(g) = w(gf) khi d6 œ là tuyến tính và
œ@(1) = 1. Nếu ø, g; e A thì

@(gi.8:) = W(¡.g:f) =(gi,g2f) = w(gifp(gaf) = @(g1).@().
Do đó

e M„ và r(@) =t\nên

+ là ánh xạ MA lên Mp

Như vậy nếu đồng nhất các điểm của Mạ thuộc bao ideal cla J thi t xác
định một ánh xạ 1 — Í từ khơng gian nhận được lên Mạ. Ánh xạ như vậy là đồng
phôi.

23


Định lý được chứng minh,
2.3.2. Định lý
Cho J là ideal đóng của đại số A. Khi đó khơng gian các ideal cực đại của

đại số A/1 trùng với bao ideal của J,
Chứng mỉnh
Anh xạ ơ liên hợp với ánh xạ tự nhiên A —> A/J xác định bởi hệ thức

cQqy)()= (f+J),fe A,

e Mạu

Dé dàng kiểm tra ơ là phép đồng phơi muốn tìm.
2. Hạch

Cho E là một tập con của Mạ. Ta gọi hạch của tập E là giao của tất cả
các ideal cực đại xác định từ các điểm của E. Hạch của E ký hiệu là ker Œ ).
Như vậy

Ker(B)={fe A: fp=0}=

() {£eA: pf) =0}.
pee

Vi vay ker (E ) là tập đóng.
Tập con E trong Mẹ gọi là một bao nếu E là bao của một ideal nào đó

của A. Nếu E là một bao thì E là bao của ideal ker(E).
Dễ dàng thấy hợp của hữu hạn các bao là bao, giao của tùy ý các bao là
bao. Vì vậy tập tất cả các bao có thể xét như họ các tập con đóng của một tơpơ
nào đó

trên Mạ, Tơpơ này gọi là tơpơ bao — hạch. Bao đóng của một tập con

F cM, theo tơpơ bao - hạch là bao của ideal ker(F). Khi đó :

e Mạ khơng

thuộc bao đóng theo tơpơ bao - hạch của F © 3 f e A sao cho fip =0

,o(f)#0.

Tơpơ bao hach 1a T, — t6p6 ( tap 1 diém là tập đóng ), nhưng nói chung

tơpơ này yếu hơn tôpô cảm sinh bởi tôpô yếu đã xét ở trên (gọi là tơpơ
Gelfand). Tơpơ bao - hạch là Hausdorff <© nó trùng với tơpơ Gelfand,


§.2.4. B” Đại số giao hoán
1.Bˆ Đại số và định lý Gelfand-Naimark
Chúng ta có một vài tiên để mơ tả đại số C(X) các hàm

không gian Hausdorff X. Trước hết là khái niệm

liên tục trên

xuất phát từ phép đặt một

hàm f với liên hợp phức f cửa nó,
Ta gọi tốn tử f —> f từ đại số A vào chính
nó thỏa mãn các điều kiện sau : với mọi f,g
(i)

f

nó là một phép đối hợp nếu

e A,À e ©

=f

(ii)

(f+g) =f+g`

(iii)

(Af) = XỶ

(iv)

(£g)*=f.g°

Ta gọi một đại số Banach giao hoán là một BỶ - đại số giao hốn nếu

trên nó có một phép đối hợp thỏa mãn điều kiện | f † ||= | f J|?,f e A
Chúng ta có định lý sau
2.4.1.Định lý ( Gelfand - Naimark )

Cho A là một BỈ - đại số giao hốn. Khi đó phép biến đổi Gelfand là
một đẳng cấu giữa A và C(Mạ), hơn nữa

f* =f

(fed.

Định lý Gelfand — Naimark

cho ta mối liên hệ giữa biến đổi Gelfand,

đối hợp và liên hợp phức, Để chứng minh định lý 2.4.1 cần một số bổ để.
2.4.2.Bổ đề

1 =1
Chứng

mỉnh

1° =1,1"=(1'1)'-(’) =17 =1

25


2.4.3. BS dé
Nếu
A là BỶ- đại số giao hoán và f e A thì || Ể |[=||f
J|? và | Ý IỊ = ||f||
Chứng mỉnh

WP =P

II= CĐđŒ 9 |= ff? = If | ta có đẳng thức thứ nhất.

Mặt khác | f ||? = |

J|=lf” I = IIflƒ và vậy IIf = ILÝ I

Bổ đề được chứng minh.
244.B6 dé

Cho A là một BẺ đại số giao hoán, Nếu f e A thỏa mãn điểu kiện

f=f! thì | Ê ||= 1. Nếu phần tử g e A thỏa mãn điểu kiện g`= g thì @ là hàm

thực

Chứng minh

Trước hết giả sử f = f. Khi đó (f°” = (f)” =f. Vì vậy 1 = | Ýf | = | f ||? và
tương tự 1 = ||”.
f' IỊ= l|f “II
Từ đó theo định lý 1.1.2 các phổ o(f)va o(f') déu được chứa trong đĩa
đơn vị A. Nếu ^. e ơ(f) thì ^. - f không khả nghịch nên TT h > se

cũng không

khả nghịch do đó xe o(f!), Vì vậy 1 e o(f) thi] Af=1.
Theo dinh ly 1.2.7 ta cé: |] f | = 1 .Nếu h là một phần tử của đại số
20

Banach thì chuỗi yt

a

hội tụ đến một phần tử mà ta ký hiệu là e" thỏa mãn

n=0 !t

điều kiện

ê* =e*

Nn

^^

oo Pn

^

(vied =3 —=e")
hz

n!

e" 1a khả nghịch và nghịch đảo của nó là e”. Theo bổ để 2.3.3 phép đối hợp
f—>f là

Hiên tục, do đó

26


ch = OD"
o=0

FON" _ oe

2

n=0

eA

n

Giả sử g`
= g và giả sử f = eŠ. Ta có
f =e

=e*%=f'.

Theo phân đầu của chứng minh ơ(f) là tập con của đường tròn đơn vị,
Bởi vì

ơ(f) =f{M„) = cĐMu)
nên 8(M,) là số thực.

Bổ để được chứng minh,
Chứng mỉnh định lý 2.4.1
Theo hệ quả của định lý 2.2.3 và bổ để 2.4.3 phép biến đổi Gelfand xác
định một đẳng cấu đại số A lên một đại số con  của đại số C(Mạ ).
V6i moi f € A, dat g=
g=g,h=h’.

Vivayf

f

+f

va

h=ict

2i

. Khi đó f = g + ¡h hơn nữa

=¢ -ih

Sử dụng bổ để 2.4.4 ta nhận được

Công thức này chứng tỏ rằng nếu Ý e  thì Ê liên hợp phức của Ÿ cũng
thuộc Â, Bởi vì Â chứa các hằng số và phân biệt các điểm của compact Mạ nên
theo định lý Stone-Weiefstrass dai số Â trùng với C(Ma ).

2. Compact hóa
Giả sử S là một không gian tôpô. Ký hiệu CB(S) là đại số các hàm phức
liên tục, bị chặn trên S. Đại số CB(S) là B” đại số giao hốn với chuẩn

|rl,=sp|f©)

27


va phép d6i hgp f° = f
Họ#,

các hàm trên S gọi là tự liên hợp nếu f e 5, thì f e Ø,
Họ 5,

gọi là phân biệt các điểm nếu mọi s # t thuộc S đêu có f e Z, để

f(s) # f(t).
Khéng gian t6p6 Hausdorff compact X goi

là compact hóa của

khơng

gian tơpơ S nếu có một đơn ánh liên tục r từ không gian con S lên một không

gian con trù mật +(S) của X, Trong trường

hợp này ta đồng nhất s € S véi

1() eX.
Định lý sau đây là một ứng dụng của định lý Gelfand — Naimark

2.4.5. Định lý 19
Giả sử S là một không gian tơpơ. Khi đó tổn tại một song ánh giữa các

compact hóa X của khơng gian S và các đại số con đóng tự liên hợp, phân biệt

các điểm A của CB(S) chứa các hằng số, Đại số A tương ứng với compact hóa

X lập nên từ các hàm thuộc CB(S) có thể thác triển liên tục được lên X.
Compact hóa X tương ứng với đại số A là không gian các ideal cực đại của đại

số này.
Chứng mỉnh

Mỗi compact hóa X của S đặt tương ứng với đại số con A của đại số

CB(S) 1A thu hep trên S của đại số C(X). Đại số này chứa các hằng số, tự liên
hợp và phân biệt các điểm ( vì X là Hausdorff ),

Ngược lại, nếu A là một đại số con đóng tự liên hợp, phân biệt các điểm
của đại số CB(S) chứa các hằng số, Khi

đó A là BỈ - đại số con của CB(S),

Theo định lý, Gelfand - Naimark đại số A dang cfu, đẳng cự với đại số C(MẠ }
Mỗi s e S sinh ra một đồng cấu tác động theo qui luật
Ÿ(ts))=f) ,f 6A

28


Anh xa t từ S vào Mạ là liên tục do phương pháp cho tơpơ trên Mạ.

Vì

đại số A phân biệt các điểm không gian S nên + là đơn ánh.

Nếu g e C(M,) va phép biến đổi Gelfand của phần tử này đồng nhất
bằng khơng trên S thì g = 0 trên Mạ. Vìvậy r(S) trù mật trong Mạ.

29