Đại số đều trong giải tích phức

MÖC LÖC
Möc löc.............................................................................................................................................. 1
Líi nâi

ƒu............................................................................................................................. 2

Ch÷ìng 1: Cì sð lþ thuy‚t................................................................................................ 4
1.1 Ideal..................................................................................................................................... 4
1.2 Khæng gian tæpæ..................................................................................................... 4
1.3 Khæng gian ành chu'n v khæng gian Banach................................... 6
1.4 BŒ • Zorn.......................................................................................................................... 8
1.5 ành lþ Stone - Weiesstrass............................................................................. 9
1.6 ành lþ Hanh - Banach........................................................................................... 9
Ch֓ng 2:

⁄i sŁ Banach giao ho¡n.................................................................. 14

2.1 PhŒ v gi£i thøc......................................................................................................... 14
2.2 Khæng gian c¡c Ideal cüc⁄i................................................................................ 16
2.3 C¡c v‰ dö........................................................................................................................ 23
2.4 Bi¶n Shilov...................................................................................................................... 25
2.5 Hai ành lþ cì b£n....................................................................................................... 28
2.6 Bao v h⁄t nh¥n............................................................................................................. 30
2.7 B - ⁄i sŁ giao ho¡n...................................................................................................... 35
Ch֓ng 3:

⁄i sŁ

•u.................................................................................................. 38

3.1 C¡c ⁄i sŁ tr¶n c¡c t“p con cıa m°t phflng phøc.................................... 38

3.2 º

o bi”u di„n............................................................................................................... 47

K‚t lu“n........................................................................................................................................... 52
T i li»u tham kh£o................................................................................................................ 53

1


LI NI

U

Lun vôn bữợc u tm hiu v i s Banach v i s u trong giÊi t
ch phức, mửc ch ca lun vôn l khflng nh tm quan trồng ca
viằc nghiản cứu i s Banach giao hoĂn cũng vợi i s u, m rng
l m rê hỡn nhng g m chúng ta  ữổc hồc v tm hiu trong b
mổn GiÊi tch h m.
v

Nhn thĐy tm quan trồng trong ứng dửng i s u v ữổc sỹ
nh hữợng ca thy giĂo Th.S Lữỡng Quc Tuyn, tĂc giÊ Â quyt nh
chồn nghiản cứu t i: " i s u trong giÊi tch phức."
Vợi mửc ch nghiản cứu nhữ trản, t i ữổc chia l m 3 chữỡng vợi
cĂc ni dung chnh nhữ sau:
Chữỡng 1. Cỡ s lỵ thuyt. Trong chữỡng n y, chúng ta trnh
b y li mt s khĂi niằm v nh nghắa cỡ bÊn ca tổpổ i cữỡng phửc
vử cho viằc chứng minh cĂc nh lỵ, b , mằnh , ... cĂc chữỡng
sau.

Chữỡng 2. i s Banach giao hoĂn. Chữỡng n y ữa ra mt s
khĂi niằm cỡ bÊn ca i s Banach giao hoĂn l ph, giÊi thức, khổng
gian cĂc ideal cỹc i, cĂc v dử v i s Banach. CĂc khĂi niằm ữổc ữa
ra khĂ tng quĂt nhữ nh lỵ cỡ bÊn v ph ( nh lỵ 1.1) li ữổc
chứng minh khĂ ỡn giÊn. Ngo i ra, chữỡng n y cặn tip tửc xem xt
mt s khĂi niằm trong i s Banach gỗm biản Shilov, bao ca ideal.
Chữỡng 3. i s u. Trồng tƠm ca chữỡng l nghiản cứu cĂc i
s u - mt lợp i s Banach c biằt v cĂc h m xĂc nh trản i s
compact phflng (tức l cĂc tp compact trong mt phflng phức C).
2


Trong quĂ trnh thỹc hiằn lun vôn tĂc giÊ Â thu thp, ồc cĂc t i
liằu cõ liản quan v trnh b y cĂc vĐn li theo t i m lun vôn  xĂc
nh. õng gõp khiảm tn ca tĂc giÊ l  vit bÊn lun vôn mt cĂch ho n
chnh nhữ mt nhp mổn v i s Banach v i s u theo hữợng giÊi t
ch phức. Â chứng minh mt cĂch chi tit phn lợn cĂc nh lỵ m ữổc
trnh b y rĐt cổ ng v vn tt. Â xƠy dỹng mt s v dử v nản ữổc ỵ
nghắa ca cĂc kt quÊ trong lun vôn.
ho n th nh t i n y tĂc giÊ Â ữổc sỹ giúp ù ca rĐt nhiu thy
cổ v bn b. u tiản cho php tĂc giÊ ữổc b y tọ lới cÊm ỡn sƠu sc
nhĐt tợi thy Lữỡng Quc Tuyn, thy  hữợng dÔn tn tnh trong sut
quĂ trnh l m t i. TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban ch nhiằm khoa
ToĂn, cĂc thy cổ giĂo trong T GiÊi tch, Khoa ToĂn, Â nhiằt tnh
giÊng dy. Cui cũng tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tĐt cÊ cĂc bn b,
c biằt l cĂc bn trong lợp 08CTT2 Â ng viản giúp ù
v

to mồi iu kiằn thun lổi cho tĂc giÊ trong sut quĂ trnh hồc tp

v

nghiản cứu.
Mc dũ Â cõ nhiu c gng những b i vit vÔn khổng th trĂnh khọi

nhng thiu sõt cÊ v ni dung lÔn hnh thức. V vy, tĂc giÊ rĐt mong
nhn ữổc nhng lới ch bÊo quỵ bĂu ca cĂc thy cổ giĂo v nhng gõp
ỵ

ca bn ồc, tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn!
Nfing, ng y 20 thĂng 5 nôm
2012 TĂc giÊ

3


Ch֓ng 1
CÌ S— LÞ THUY T
1.1

Ideal

1.1.1

ành ngh¾a Ideal

T“p con J cıa

⁄i sŁ giao ho¡n A

(a)

J l khæng gian vectì con cıa A:

(b)

xy 2 J; 8 x 2 A; 8 y 2 J:

÷æc gåi l ideal n‚u:

+ N‚u ideal J 6= A th… J ÷æc gåi l ideal thüc sü.
Mºt ideal thüc sü m khæng bà chøa trong mºt ideal thüc sü n o lîn
hìn ÷æc gåi l ideal cüc ⁄i.
+

1.1.2
(a)

M»nh

• [3]

Khæng mºt ideal thüc sü n o cıa ⁄i sŁ A l⁄i chøa phƒn tß kh£
nghàch cıa ⁄i sŁ n y.

(b) N‚u J l mºt ideal trong ⁄i sŁ Banach A th… J còng l ideal.

4

1.2

Khổng gian tổpổ

1.2.1

nh nghắa

Cho X l mt tp hổp v l hồ cĂc tp con n o õ ca X: Khi õ ta nõi l
mt tổpổ trản X nu nõ thọa mÂn 3 iu kiằn sau:
1)

;;X2 :

2)

Hổp tũy ỵ cĂc phn tò ca l mt phn tò ca , nghắa l : nu
S

nhữ fF g 2

3) Nu A v B

th

F 2:

2

th A \ B

:

Khi õ, ta nõi cp (X; ) l mt khổng gian tổpổ. Hỡn na, mỉi phn tò
ca ữổc gồi l mt tp m.
1.2.2

LƠn cn

Cho A l mt tp con ca khổng gian tổpổ X. Khi õ, tp U X ữổc
gồi l lƠn cn ca A nu tỗn ti tp m V (V 2 ) sao cho: AVU:
c biằt, nu U l tp m th ta nõi U l lƠn cn m ca A:
1.2.3

Cỡ s

GiÊ sò l mt tổpổ trản X, B . Ta nõi B l cỡ s ca (hoc ca X) nu
mỉi phn tò ca l hổp n o õ cĂc phn tò ca B, nghắa
S

l : nu U 2
1.2.4

th U =

2

B ; trong

õ: B 2 B; 8

2 :

Cỡ s lƠn cn

GiÊ sò x thuc X v U(x) l hồ tĐt cÊ cĂc lƠn cn ti x: Ta nõi B(x) U(x)
l cỡ s lƠn cn ti im x nu vợi mồi U 2 U(x); tỗn ti
B

2 B(x) sao cho x 2 B U:
5


1.2.5

CĂc tiản

tĂch

T1 - khổng gian

X ữổc gồi l T1 - khổng gian nu vợi x; y 2 X v x 6= y th tỗn ti lƠn
cn U ca x sao cho y 2= U:
T2 - khổng gian (khổng gian Hausdorff)

X ữổc gồi l T2 - khổng gian (hay l khổng gian Hausdorff ) nu vợi
mồi x; y 2 X; x 6= y; tỗn ti cĂc lƠn cn (m) U ca x, V ca y sao cho:
U\V =;:
Khổng gian chnh quy

X ữổc gồi l khổng gian chnh quy nu vợi mồi x 2 X, mồi tp õng
F X sao cho x 2= F; luổn tỗn ti cĂc lƠn cn m U ca x v V ca F sao
cho: U \ V = ;:

1.3

Khổng gian nh chu'n v k

1.3.1

Chu'n

Cho E l khổng gian vectỡ trản trữớng K (K = C hoc K = R). Mt
chu'n trản E l h m x 7! xkk t E v o R thọa mÂn cĂc iu kiằn sau vợi
mồi x; y 2 E, mồi 2 K :
1)

kxk 0; kxk = 0 , x = 0;

2)

k xk = j j : kxk ;

3)

kx + yk kxk + kyk :

1.3.2
i)

nh nghắa

Khổng gian vectỡ E ữổc gồi l khổng gian nh chu'n nu trản E
cõ chu'n k k. Khi õ ta k hiằu (E; k k):
6


ii) Khổng gian nh chu'n (E; k k) l khổng gian Banach nu E cũng
vợi mảtric sinh bi chu'n l khổng gian mảtric y .
1.3.3

Tp lỗi, tp b chn

GiÊ sò A l tp con ca khổng gian nh chu'n E:
(1) A ữổc gồi l lỗi nu vợi mồi x; y 2 A; 8
Ta cõ: x + (1
)y 2 A:
K hiằu:
f x + (1
f x + (1
(2)

2 [0; 1]:

)y : 2 (0; 1)g ữổc gồi l khoÊng ni gia 2 im x; y:
)y : 2 [0; 1]g ữổc gồi l on ni gia 2 im x; y:

A ữổc gồi l tp b chn nu vợi mồi lƠn cn U ca 0 trong E, tỗn ti
r > 0 sao cho: A rU = frx : x 2 Ug:

1.3.4

nh lỵ tĂch tp lỗi

Cho f l phim h m tuyn tnh trản khổng gian nh chu'n E. Khi õ
vợi mồi 2 R ta gồi : H = fx : f(x) = g l siảu phflng thỹc trong E. Xt bn
tp lỗi:
F = fx : f(x)

g;

F = fx : f(x)

g;

G = fx : f(x) >

G = fx : f(x) <

g:
g:

Nu f liản tửc (hay mt cĂch tữỡng ứng H õng) th F ; F l cĂc tp õng;
G ; G l cĂc tp m.
Hai tp A; B gồi l ữổc tĂch (tĂch thỹc sỹ) nu tỗn ti siảu phflng H sao
cho A F ; B F (A G ; B G ).
nh lỵ tĂch tp lỗi thứ nhĐt. A l tp lỗi trong khổng gian nh chu'n
E sao cho int(A) 6= ; v B l mt tp lỗi khĂc rỉng trong E khổng giao
vợi int(A). Khi õ tỗn ti mt siảu phflng thỹc õng H tĂch A v B. Nu cÊ A
v B u m th nõ tĂch thỹc sỹ.

nh lỵ tĂch tp lỗi thứ hai. Nu A v B l cĂc tp lỗi khĂc rỉng
7


khổng giao nhau, A õng, B compact. Khi õ tỗn ti mt siảu phflng õng
H tĂch thỹc sỹ A v B.
1.3.5

nh l [1]

Nu F l khổng gian vectỡ con õng v G l khổng gian con hu hn
chiu ca khổng gian nh chu'n E th F + G l khổng gian con õng
ca E:
Chứng minh. Bng qui np ta ch cn chứng minh trữớng hổp G mt
chiu, tức l G = Ka: Nu a 2 F th F + Ka = F l õng trong E: Nu a 2=
F th mồi x 2 F + Ka u ữổc vit mt cĂch duy nhĐt dữợi dng x = f(x)a
1

+ y: V f l phim h m tuyn tnh v f (0) = F l õng nản f l phim h m
liản tửc trản F + Ka:
GiÊ sò fxng l

mt dÂy trong F + Ka; xn ! x: Ta ch cn chứng tọ

x 2 F + Ka: Ta vit xn = f(xn)a + yn: V f liản tửc nản:
jf(xm)

f(xn)j = jf(xm

xn)j

kfk : kxm

x nk

Theo bĐt flng thức n y, v dÂy fx ng hi tử nản dÂy ff(xn)g l Cauchy
trong K: T õ f(xn) ! 2 K v do õ:
yn = xn

f(xn)a ! x

a:

Bi v f õng nản x
a 2 F v x 2 F + Ka:
Vy F + G l khổng gian con õng ca E:

1.4

B Zorn

GiÊ sò X l mt tp hổp v l mt thứ tỹ (b phn) trản X, tức l vợi mồi
x; y; z 2 X ta cõ x x; nu x y v y x th x = y v nu x y; y z th x z
(phÊn x, i xứng, bc cu).
Mt tp con A thuc X ữổc gồi l sp tuyn tnh nu mồi x; y 2 A
th x y hoc y x. Phn tò a 2 X ữổc gồi l mt biản (cn) trản
8


ca A nu: x a vợi mồi x 2 A. Phn tò a 2 X ữổc gồi l phn tò cỹc i nu

mồi x 2 X m a x th a = x.
PhĂt biu b Zorn. Cho tp X 6= ; v l mt thứ tỹ trản X: Nu mồi
tp con ữổc sp tuyn tnh ca X u cõ cn trản th trong X cõ phn
tò cỹc i.

1.5

nh lỵ Stone - Weiesstrass

GiÊ sò A l mằt tp cĂc h m xĂc
+

nh trản E: Khi õ ta nõi:

A phƠn biằt cĂc im ca E nu mồi x1; x2 2 E; x1 6= x2 u tỗn ti f 2 A
f(x2) 6= f(x2):

+

A chứa cĂc hng s nu cĂc h m hng u thuc A:

GiÊ sò E l khổng gian mảtric compact v CR(E) (hay CC(E)) l khổng
gian Banach cĂc h m thỹc (phức) liản tửc trản E vợi chu'n sup. PhĂt
biu nh lỵ Stone - Weiesstrass
Nu i s con A CR(E) phƠn biằt cĂc im ca E v chứa cĂc hng s th
A trũ mt trong CR(E).
Nu i s con A CC(E) phƠn biằt cĂc im ca E, chứa cĂc hng s v f 2
A ko theo f 2 A th A trũ mt trong CC(E).

1.6

nh l Hahn - Banach

Cho E l mt khổng gian vectỡ v p : E ! R l mt h m thỹc. Khi õ:

+

p ữổc gồi l mt sỡ chu'n nu p( x) = p(x) vợi mồi > 0; x 2 E v p(x +
y) p(x) + p(y) vợi mồi x; y 2 E.

+

p ữổc gồi l mt sỡ chu'n nu p(x) 0; vợi mồi x 2 E; p( x) = j j p(x) vợi
mồi vổ hữợng (R hoc C); x 2 E; p(x + y) p(x) + p(y) vợi mồi x; y
2 E.
9

Nhữ vy chu'n l nòa chu'n v nòa chu'n l sỡ chu'n.


1.6.1 nh l Hahn - Banach cho khổng gian vectỡ thỹc

GiÊ sò E l mt khổng gian vectỡ thỹc, F l khổng gian con ca E
v

p : E ! R l mt sỡ chu'n xĂc nh trản E: Khi õ, nu f : F ! R

l

mt phim h m tuyn tnh xĂc nh F thọa mÂn f(x) p(x) vợi mồi

x 2 F th tỗn ti phim h m tuyn tnh f : E ! R xĂc nh trản E sao

cho:

1.6.2

B

H m f : E ! C l phim h m tuyn tnh trản E nu v ch nu tỗn ti mt
phim h m tuyn tnh thỹc f1 trản E sao cho:
f(x) = f1(x)

1.6.3

if1(ix); 8 x 2 E:

nh l Hahn - Banach cho khổng gian vectỡ phức

GiÊ sò E l mt khổng gian vectỡ phức, F l khổng gian con ca E
v

p l nòa chu'n trản E: Khi õ, nu f : F ! K l mt phim h m tuyn tnh

thọa mÂn: jf(x)j p(x); vợi mồi x 2 F; th tỗn ti phim h m tuyn tnh
fe: E ! K thọa mÂn:
8

>f
<

e

=f

F

> fe(x)
:

p(x); 8 x 2 E:

10


1.6.4

H» qu£

Gi£ sß F l mºt khæng gian vectì con cıa khæng gian ành chu'n E
v vectì v 2 EnF sao cho d(v; F ) = > 0. Khi â tçn t⁄i phi‚m h m tuy‚n t
‰nh li¶n töc f tr¶n E sao cho kfk = 1; fjF = 0 v f(v) = .
°c bi»t n‚u F = f0g th… kfk = 1 v f(v) = kvk.

1.7
1.7.1

ành l‰ ¡nh x⁄ mð
BŒ • [1]

Gi£ sß f : E ! F l
mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tł khæng gian
Banach E l¶n khæng gian Banach F . °t:
E

B = BF (0; 1) = fx 2 E : kxk < 1g
Khi â, tçn t⁄i
1.7.2

F

> 0 sao cho: B (0; ) = fy 2 F : kyk < g

Ph¡t bi”u

E

f(B ):

ành l‰ ¡nh x⁄ mð [1]

Mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc f tł mºt khæng gian Banach E l¶n
mºt khæng gian Banach F l mð, tøc l vîi måi t“p mð U E; f(U) l t“p mð
trong F:
1.7.3

H» qu£ cıa

ành l‰ ¡nh x⁄ mð

N‚u f l song ¡nh tuy‚n t‰nh tł khæng gian Banach E l¶n khæng
gian Banach F v f li¶n töc th… f l ph†p çng phæi.

1.8

Nguy¶n l‰ bà ch°n

•u

Gi£ sß E l khæng gian Banach, khæng gian ành ch'n v ff g 2 v
F l l mºt hå c¡c ¡nh x⁄ li¶n töc tł E
o F . Khi â, n‚u 8 x 2 E m
sup kf (x)k < 1 th… sup kf k < 1:
2

2

11


Tht vy, vợi mỉi 2 ta t p (x) = kf (x)k : Khi õ d d ng kim tra ữổc p l
mt nòa chu'n liản tửc trản E; 8 2 :
V vy ta cõ: fp g 2 l hồ cĂc nòa chu'n liản tửc trản E, sup p (x) < 1;
2

vợi mồi x 2 E ) 9 sup p < 1: Hỡn na, p(x) = sup p (x) l h m liản
2

tửc trản E: Do

2

õ kp(x)k

kf (x)k = kp (x)k

kpk : kxk ; 8 x 2 E, nản:

sup p (x) = p(x)

kpk : kxk :

2

Suy ra kf k

kpk ; 8 2 :

V vy, ta cõ: sup kf k kpk < 1 ( iu phÊi chứng minh).
2

1.9

nh lỵ Alaoglu

Cho E l mt khổng gian vectỡ. Khổng gian vectỡ E gỗm tĂch cÊ
cĂc phim h m tuyn tnh trản E gồi l khổng gian liản hổp ca E. E =
(E ) gồi l khổng gian liản hổp thứ hai ca E.
Tổpổ yu nhĐt trản E mồi f 2 E liản tửc gồi l tổpổ yu trản E.
Nu E l mt khổng gian nh chu'n, Ănh x : E ! E xĂc nh bi (x)(f) =

f(x); 8 x 2 E; f 2 E l mt php nhúng.
Do vy, ta cõ th coi E

E:

Tức l mỉi x 2 E ữổc ỗng nhĐt vợi mt phim h m trản E . Tổpổ yu
nhĐt trản E cĂc phim h m x 2 E (E) E liản tửc gồi l tổpổ yu trản
E.
PhĂt biu nh lỵ Alaoglu Nu E l mt khổng gian nh chu'n th h
nh cu ỡn v õng:
B = fg 2 E : kgk

1g

l tĂch Hausdorff v compact yu.

12

1.10

nh lỵ Fejer


Cho f

1

Cm =

2

R

f(x)+1

Chuỉi: f(x) =
n

kP

sn(x) =

t: n(x) =
bnh cng ca n + 1 tng riảng u tiản.
PhĂt biu
nh lỵ Fejer. Nu f liản tửc, tun ho n vợi chu ký 2 th
ta cõ lim n(x) = f(x)
u trản to n trửc s.
n!1

1.11

nh lỵ Liouville

H m phức f xĂc nh trản mt tp chứa im z 0 ca mt phflng phức
ữổc gồi l giÊi tch (hay chnh hnh) ti z 0 nu cõ mt lƠn cn ca
0

im z0 f xĂc nh v cõ o h m phức f (z) ti mồi z thuc lƠn cn n y. Mt
cĂch tữỡng ữỡng, cõ mt lƠn cn ca im z0 mồi z trong lƠn cn n y h

m f khai trin ữổc th nh chuỉi lụy tha:
f( ) = a0 + a1(

2

z) + a2(

z) +

+ a n(

n

z) +

vợi bĂn knh hi tử dữỡng.
PhĂt biu nh lỵ Liouville. Nu f l mt h m chnh hnh trản to n mt
phflng phức v b chn (tức l tỗn ti M < 1 sao cho jf(z)j M vợi mồi z 2
C) th f =const.

13


Chữỡng 2
I Să BANACH GIAO HO N
Trong chữỡng n y, chúng ta s phĂt trin nhng kin thức cỡ bÊn
nhĐt ca lỵ thuyt Gelfand v i s Banach giao hoĂn.
i s Banach A l mt t hổp khổng gian Banach A: A l i s
Banach khi:

+

kf:gk
+

kfk : kgk ; 8 f; g 2 A:

i s Banach A ữổc gồi l giao hoĂn nu:
f:g = g:f; 8 f; g 2 A:

+

i s Banach A ữổc gồi l cõ ỡn v, m ta k hiằu l 1 hoc e nu:
1:f = f:1; 8 f 2 A; k1k = 1 hay e:f = f:e; 8 f 2 A; kek = 1:

Trong phn n y chúng ta ch nghiản cứu i s Banach giao hoĂn cõ
ỡn v, ta quy ữợc ỡn v ca nõ l 1:

2.1

Ph v giÊi thức
1

+ Vợi mồi f 2 A; f

ữổc gồi l khÊ nghch nu tỗn ti f 2 A : sao

1

cho f:f = 1.

+ S phức

ữổc gồi l thuc v o giÊi thức ca f nu:

nghch.
1

1

Ta k hiằu: A = ff 2 A : 9 f g:
14

K hiằu: (f) = { 2 C :

f khÊ


ca f:
2.1.1

nh lỵ 1.1

Vợi mồi f thuc A ta cõ ph (f) ca f khổng rỉng v compact.
nh x g: ! (
nghắa l

tỗn ti

Chứng minh. Nu j j > kfk, chuỉi n=0
g

( ) giÊi tch ti
Do õ (f) ữổc chứa trong hnh cu õng cõ bĂn knh l kfk.
GiÊ sò rng

0

thuc giÊi thức ca f. Chuỉi

hi tử tợi h m

cu cõ dang:
ữổc h( ) = (
ta biu din
GiÊ sò cõ h m L A; L((
trong giÊi thức ca f, nõ s triằt tiảu ti 1. Theo nh lỵ Liouville, nu (f)
1

= ; th L(( f) ) s ỗng nhĐt 0. Dỹa v o nh lỵ Hahn - Banach, ( f)
cụng s ỗng nhĐt vợi 0, iu n y l vổ lỵ.
V vy (f) 6= ; v compact ( iu phÊi chứng minh).
T chứng minh nh lỵ 1.1, ta suy ra:
2.1.2
Nu

nh lỵ 1.2
thuc v o ph (f) ca f th j j

15

kfk :

1


2.1.3 nh lỵ 1.3
Nu thuc giÊi thức ca f v d( ; (f))
(f), khi õ:

1

d( ; (f))

2.1.4

nh lỵ (Gelfand - Mazund)

Nu i s Banach giao hoĂn cõ ỡn v A l mt trữớng th A flng cĐu
flng cỹ vợi C.
Chứng minh.
+

Ta cõ nhn xt mồi i s Banach cõ ỡn v n m trong i s con

flng cỹ vợi C.
+

Ta cõ: C = { :1 : 2 C}.

GiÊ sò f 2 A theo

nh lỵ 1.1, ta cõ (f) 6= ; ) 9
1

Suy ra
f 2= A : V A l trữớng nản
Do õ A f :1 :
2 Cg:
V vy A flng cĐu flng cỹ vợi C.

f = 0 do

2.2

i

Khổng gian cĂc Ideal cỹc

2 (f):
õf= :

GiÊ sò J l cĂc ideal ca i s A. J ữổc gồi l ideal cỹc i nu: J khĂc A
0

0

0

v mồi ideal thỹc sỹ J ca A m J J th J = J:
K hiằu: MA = {ideal cỹc i ca A}. Khi õ MA l khổng gian cĂc ideal

cỹc i.
2.2.1

B

Cho A l mt
i)

i s Banach giao hoĂn cõ ỡn v, khi õ:

Mồi ideal thỹc sỹ ca A u tỗn ti mt ideal cỹc i chứa nõ.
16


ii) I l ideal cỹc i ca A
Chứng minh.
i) GiÊ sò J l ideal thỹc sỹ ca A: K hiằu P l
sỹ ca A chứa J. Trản P ta xt quan hằ thứ tỹ: M
N,M
N:
GiÊ sò Q l tp con sp thứ tỹ tuyn tnh ca P theo quan hằ trản.
K hiằu: P =

S

I.

I2Q

V Q sp thứ tỹ tuyn tnh nản P l

GiÊ sò P = A dÔn n 1 2 P suy ra @I 2 Q sao cho: 1 2 I.
Suy ra I = A dÔn n mƠu thuÔn nản P A.
Vy P l ideal thỹc sỹ ca A v
Theo B Zorn, trong P tỗn ti phn tò cỹc i M. M chnh l
cỹc i ca A chứa J ( iu phÊi chứng minh).
ii) +) iu kiằn cn: GiÊ sò A l
cỹc i ca A. Suy ra I l
2.2.2 sau) nản

A

/I l mt khổng gian Banach vợi chu'n:
k

Do õ, vợi mồi " > 0; tỗn ti a; b 2 I sao cho:
kx

ak

kx + Ik + "

ky bk ky + Ik + "
Suy ra k(x a)(y

b)k

kx

ak : ky bk

(kx + Ik+"):(ky + Ik+"):

Do (x a)(y b) = xy (ay+bx ab) v ay; bx; ab 2 I ) ay+bx ab 2 I, nản ta
cõ:
k(x
) kxy

a)(y b)k
Ik

kxy Ik

kx + Ik : ky + Ik :

A

LĐy x + I 2 /I; x 2= I. t J = fax + b j a 2 A; b 2 Ig:
Khi õ, J l mt ideal ca A; J ) I suy ra J = A, ta cõ tỗn ti a 2 A vĂ b 2 I:
ax + b = e suy ra (a + I)(x + I) = e + I:
17


V vy mồi phn tò khĂc 0 ca

A

/I u khÊ nghch.

A =

Theo nh l Gelfand - Mazund ta cõ: /I

A

C.

+) iu kiằn : Cho /I l mt trữớng.
GiÊ sò ngữổc li, I khổng phÊi l ideal cỹc i ca A. Khi õ tỗn ti mt
ideal cỹc i J ca A sao cho J ) I:

A

LĐy a 2 JnI ) a + I 6= 0: V /I l mt trữớng nản tỗn ti b 2 A:
(a + I)(b + I) = e + I ) ab + I = e + I ) e 2 ab + I:
V a 2 J; J l
J

ideal, v vy ab 2 J: Mt khĂc, v I 2 J nản: ab + I 2

)12J:

Suy ra J = A. iu n y l mƠu thuÔn v J l mt ideal cỹc i ca i s A.
V vy I l mt ideal cỹc i ca A.
2.2.2

nh lỵ 2.2

(

Nu J l ideal cỹc i ) J õng.

(

J cỹc i )

A

/J flng cĐu, flng cỹ vợi C.

Chứng minh.
(

1

Nu f 2 A : k1 fk < 1 th f 2 A .

Tht vy k1

fk < 1 ) 1 2=

(1 f) ) 1

(1

1

1

f) 2 A hay f 2 A .

GiÊ sò I l
V A

1

Vy ta cõ 8 f 2 I
I l ideal thỹc sỹ th I
Do õ I l ideal thỹc sỹ th I cụng vy.
GiÊ sò J l ideal cỹc i ca A, theo chứng minh trản J l ideal thỹc sỹ


JJA

cıa

v

.
6

B¥y gií ta chøng minh J = A:
MuŁn v“y, ta chøng minh J khæng chøa phƒn tß kh£ nghàch n o cıa A:
Gi£ sß ng÷æc l⁄i J chøa phƒn tß kh£ nghàch cıa A:
V… x 2 G(A), vîi G(A) mð n¶n tçn t⁄i h…nh cƒu mð x 2 U
18

G(A):


V x 2 J; x 2 U nản U \ J =6 ;:

M U G(A) nản J chứa phn tò khÊ nghch ca A: iu n y l mƠu thuÔn
vợi J l ideal thỹc sỹ.
V J cỹc i nản J = J: Vy J

õng.

V vy, nu J l ideal cỹc i th J õng.
(

A

J l ideal cỹc i ca A nản J õng (theo chứng minh trản). Suy ra
/J l khổng gian Banach vợi chu'n:
kf + Jk = inffkf + gk : g 2 Jg

D d ng thĐy rng:
kf g + Jk

kf + Jk : kg + Jk ; 8 f; g 2 A:

A

V vy /J l i s Banach giao hoĂn.
Vợi mồi f 2 J, do J l ideal cỹc
i nản f khổng khÊ nghch.
V vy k1 + fk > 1.
Ta cõ: k1 + fk = inf k1 + fk
0 2 J nản k1 + Jk
Do õ k1 + Jk = 1.

0.

k1k = 1:

A

Vy /J l i s Banach giao hoĂn.
Vợi mồi f 2 J cõ phn tò ỡn v l 1 + J.
Theo nh lỵ Gelfand - Mazun th
C.
Chú ỵ. GiÊ sò J cỹc i thuc A v
: A!

A

A

/J

flng cĐu flng cỹ vợi

l php chiu chnh tc, vợi:

/J f 7! f

+J
Khi õ, l mt ỗng cĐu.
f

Ker =

f

Do õ, cõ th xem : A ! C l
V vy ta xem mỉi ideal cỹc i J ca A ữổc xem l
ỗng cĐu phức khĂc 0; tht vy:
19


+) Nu f 2 A th nh nghắa:(f) =
Nản ta cõ
f 2 J:

:

+ J = f + J:

+) Ngữổc li , giÊ sò l mt ỗng cĐu phức khĂc 0 ca A v J lag Ker ca
th

2.2.3

A

/J l mt trữớng, theo B 2.1 th J l I ảan cỹc i ca A:

nh lỵ 2.3

K hiằu:

Al

tp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu phức khĂc khổng ca A.

Khi õ Ănh x:
A!

MA

7! Ker
l song Ănh.
0

Chứng minh. ;
Suy ra
2.2.4
2

=

0

: )

2 A : Ker = Ker

(e) =

0

: (e) )

0

:

=1)

=

0

.

B
A

) liản tửc, k k = 1 = (1).

Chứng minh.
2

l ỗng cĐu ) ( (1)) = (1:1) = (1).
"

=)
(1)=1
(1)=0
Nu (1) = 0 th (f) = (1:f) = (1): (f) = 0; 8 f 2 A; iu n y l mƠu thuÔn
v 2 A nản 6= 0 suy ra (1) = 1:

1

Nu f 2 A : kfk < j j 2 C )
Suy ra 1 = (1) =

(

f2A :
f): ((

1

f) ) nản

(

f) 6= 0:

V vy (f) 6= 0 ) (f) 6= ; 8 2 C; kfk < j j suy ra j (f)j kfk ; 8 f 2 A:

20


Do õ liản tửc v k k
1:
Mt khĂc (1) = 1 nản k k = 1 ( iu phÊi chứng minh).
2.2.5

nh lỵ 2.5

Khổng gian ideal cỹc i MA ca A l khổng gian Hausdorff compact
( i vợi tổpổ yu*).
Chứng minh.
Ta cõ nhn xt sau: Giợi hn yu* ca mt php bin i tổpổ thọa mÂn
(1) = 1 th nõ l mt php bin i tổpổ khĂc 0.
GiÊ sò f g MA (dÂy suy rng),
Ta cõ l ỗng cĐu v (1) = lim
V vy

! :
(1) = lim 1 = 1.

6= 0.

Theo nhn xt trản th MA l php bin i tổpổ khĂc 0, v vy MA l
õng yu* ca mt hnh cu ỡn v ca A .
Theo nh lỵ Alaoglu, hnh cu ỡn v B[0; 1] l compact trong A i vợi
tổpổ yu*.
Do õ MA õng trong B[0; 1] - compact.
V vy MA l compact.
V A l Hausdorff i vợi tổpổ yu* nản MA cụng vy.
T õ ta cõ MA l khổng gian Hausdorff compact ( iu phÊi chứng
minh).
nh nghắa. GiÊ sò f thuc i s A. Khi õ
fb: MA !

C

7! fb( ) := (f):
ữổc gồi l php bin i Gelfand ca f.

K hiằu: Ab = ffb: f 2 A}.

21


2.2.6

nh lỵ 2.6

Ab l mt i s con ca C(MA). Hỡn na, Ab chứa cĂc hng, tĂch cĂc
im ca MA. Php bin i:
G:
mt ỗng cĐu khổng tông. Chu'n:

l

Chứng minh.
+

Ab - i s C(MA).

+

LĐy { g MA : ! ) fb( ) = (f) ! (f) = fb( ).
V vy fb liản tửc trản MA.

+

Ta cõ: fb( ) = j (f)j
k k : kfk ; 8 f 2 MA:

M k k = 1 ) jf( )j kfk ; 8 f 2 MA suy ra fb kfk :
LĐy 1 2 A ) G(1) = b1 - ỡn v ca A:b
Ta cõ 8 2 C : G( ) = :b1 = b 2 A:b V vy A chứa cĂc hng.
Ab chứa cĂc hng.

+

LĐy 1;

2

2 MA.

GiÊ sò vợi mồi f 2 A u cõ fb( 1) = fb( 2).
Nản ta cõ 1(f) = 2(f) ) 1 = 2:
V vy, Ab tĂch cĂc im ca MA.
nh lỵ Â ữổc chứng minh.
2.2.7

nh lỵ 2.7

Vợi mồi f 2 A ta cõ

(f) = fb(MA).

Chứng minh.
22

+) Vợi mồi 2 (f) ta cõ
Do õ, (

Theo B 2.1, tỗn ti ideal cỹc i J chứa


Gi£ sß 2 MA; J = Ker .
Ta câ (
V“y

(

+) L§y

b

Ta câ: (
V“y f(MA)

(f).

b

Tł (1) v

2.3
2.3.1

(2) câ i•u ph£i chøng m

C¡c v‰ dö
V‰ dö 1

Gi£ sß C(X) = ff : X ! C; f li¶n töc}, trong â X l T2 - khæng gian, compact th…:
kfk = sup jf(x)j ; 8 f 2 C(X):
x2X

Khi â, C(X) l

⁄i sŁ Banach giao ho¡n câ ìn và.

MŁi quan h» giœa X vîi MC(X) : 8 x 2 X, x¡c
x

: C(X)!

ành ¡nh x⁄:

C

f 7! f(x):
x

l mºt çng c§u phøc x¡c ành tr¶n ⁄i sŁ C(X). V… v“y

Lóc â, ta nâi

xl

çng c§u ành gi¡ trà t⁄i x, x¡c

X

!M

C(X)

x 7!

x

23

x2

ành bði:

MC(X).


2.3.2

V dử 2

GiÊ sò A l mt i s con ca C(X), A ữổc gồi l õng u nu {fng A; fn f
(theo chu'n sup) th f 2 A, A chứa cĂc hng s. Khi õ A cụng l i s
Banach giao hoĂn cõ ỡn v vợi chu'n sup. Nu A tĂch cĂc im ca X th
tữỡng ứng:
:X!

MA
x 7!

x

l mt php nhúng ca X nhữ l mt tp con õng ca MA, vợi MC(X) nm
trong MA.
Ta cõ: = fz 2 C : jzj
1g, b = fz 2 C : jzj = 1g.
P (b ) = ff 2 C(b ) : 9 ffng a thức bin z, Pn
Khi õ, P (b ) l i s con ca C(b ).
Hằ s Fourier thứ k ca f 2 C(b )

Theo nh lỵ Fejer, tỗn ti

(+)

n

f,

n

f trản b g.

ữổc cho bi cổng thức:

=

Nu C

fm =

m

P
k

= m

V vy fm l
n

f trản b . Khi õ, theo Nguyản lỵ mổ un cỹc i, tỗn ti f l m

rng liản tửc ca f lản sao cho f 2 H(int ).
(+) Ngữổc li nu
trản int . Khi õ theo cổng thức tch phƠn Cauchy th Ck = 0; 8 k < 0.

k

C