Chuyên đề đại số 10 BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Chuyên đề Đại số 10
Chuyên đề: Mệnh đề - Tập hợp
Tổng hợp lý thuyết chương Mệnh đề - Tập hợp
Chuyên đề: Mệnh đề
Lý thuyết: Mệnh đề
Dạng 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề
Dạng 2: Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ
Dạng 3: Phủ định mệnh đề
Bài tập tổng hợp về mệnh đề (có đáp án)
Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Lý thuyết: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Dạng 1: Cách xác định tập hợp
Dạng 2: Các phép toán trên tập hợp
Dạng 3: Giải toán bằng biểu đồ Ven
Bài tập Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (có đáp án)
Chuyên đề: Số gần đúng và sai số
Lý thuyết: Số gần đúng và sai số
Bài tập Số gần đúng và sai số (có đáp án)
Bài tập tổng hợp Chương Mệnh đề, Tập hợp (có đáp án)


Bài tập chương Mệnh đề, Tập hợp (Tự luận)
Bài tập chương Mệnh đề, Tập hợp (Trắc nghiệm - phần 1)
Bài tập chương Mệnh đề, Tập hợp (Trắc nghiệm - phần 2)
Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai
Tổng hợp lý thuyết chương Hàm số bậc nhất và bậc hai
Chủ đề: Đại cương về hàm số
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Dạng 3: Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
Dạng 4: Bài tập về đồ thị hàm số

Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số
Chủ đề: Hàm số bậc nhất
Dạng 1: Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số
Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị
nhỏ nhất, lớn nhất
Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số bậc nhất
Chủ đề: Hàm số bậc hai
Dạng 1: Xác định Hàm số bậc hai


Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức
Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị
nhỏ nhất, lớn nhất
Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số bậc hai
Bài tập tổng hợp chương
Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập tự luận)
Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 1)
Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 2)
Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 3)
Chuyên đề: Phương trình. Hệ phương trình
Tổng hợp lý thuyết chương Phương trình, Hệ phương trình
Các dạng bài tập chương Phương trình, Hệ phương trình
Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình
Bài tập tìm tập xác định của phương trình
Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương
Bài tập giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất

Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai
Bài tập giải và biện luận phương trình bậc hai


Dạng 5: Nghiệm của phương trình bậc hai
Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 6: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 7: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu
Dạng 8: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Dạng 9: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai
Dạng 10: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
Bài tập giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
Dạng 11: Các dạng hệ phương trình đặc biệt
Bài tập các dạng hệ phương trình đặc biệt
Chuyên đề: Mệnh đề
Xác định tính đúng sai của mệnh đề
Phương pháp giải
+ Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.
+ Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).
Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề?
Nếu là mệnh đề, hãy xác định tính đúng sai.
a) x2 + x + 3 > 0

b) x2 + 2 y > 0
c) xy và x + y
Hướng dẫn:
a) Đây là mệnh đề đúng.
b) Đây là câu khẳng định nhưng chưa phải là mệnh đề vì ta chưa xác định được tính
đúng sai của nó (mệnh đề chứa biến).
c) Đây không là câu khẳng định nên nó không phải là mệnh đề.
Ví dụ 2: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
1) 21 là số nguyên tố
2) Phương trình x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt
3) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2
4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song và không bằng nhau thì nó không phải là
hình bình hành.
Hướng dẫn:
1) Mệnh đề sai vì 21 là hợp số.
2) Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm nên mệnh đề trên sai
3) Mệnh đề đúng.
4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song hoặc không bằng nhau thì nó không phải là
hình bình hành nên mệnh đề sai.
Ví dụ 3: Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề.
Nếu là mệnh đề thì nó thuộc loại mệnh đề gì và xác định tính đúng sai của nó:


a) Nếu a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2.
b) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC có AB = BC = CA.
c) 36 chia hết cho 24 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 4 và 36 chia hết cho 6.
Hướng dẫn:
a) Là mệnh đề kéo theo (P ⇒ Q) và là mệnh đề đúng, trong đó:
P: "a chia hết cho 6" và Q: "a chia hết cho 2".
b) Là mệnh đề kéo theo (P ⇒ Q) và là mệnh đề đúng, trong đó:

P: "Tam giác ABC đều" và Q: "Tam giác ABC có AB = BC = CA"
c) Là mệnh đề tương đương (P⇔Q) và là mệnh đề sai, trong đó:
P: "36 chia hết cho 24" là mệnh đề sai
Q: "36 chia hết cho 4 và 36 chia hết cho 6" là mệnh đề đúng.
Ví dụ 4: Tìm x ∈ D để được mệnh đề đúng:
a) x2 - 3x + 2 = 0
b) 2x + 6 > 0
c) x2 + 4x + 5 = 0
Hướng dẫn:
a) x2 - 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm x = 1 và x = 3.
⇒ D = {1; 3}
b) 2x + 6 > 0 ⇔ x > -3
⇒ D = {-3; +∞)┤
c) x2 + 4x + 5 = 0 ⇔ (x + 2)2 + 1 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Vậy D= ∅


Chuyên đề: Mệnh đề
Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ
Phương pháp giải
Mệnh đề: P ⇒ Q
Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận
Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Xét mệnh đề: "Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau"
Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
Hướng dẫn:
1) Điều kiện cần: Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác
bằng nhau.

2) Điều kiện đủ: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích
bằng nhau.
3) Điều kiện cần và đủ: Không có
Vì A⇒B: đúng nhưng B⇒A sai, vì " Hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng chưa
chắc đã bằng nhau".
Ví dụ 2:
Xét mệnh đề: "Phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 có nghiệm thì
Δ=b 2 - 4ac ≥ 0". Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ.
Hướng dẫn:


1) Điều kiện cần: Δ=b2- 4ac ≥ 0 là điều kiện cần để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0
có nghiệm.
2) Điều kiện đủ: Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm là điều kiện đủ để
Δ=b2- 4ac ≥ 0.
3) Điều kiện cần và đủ:
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là điều kiện cần và đủ để
Δ = b 2 - 4ac ≥ 0.
Chuyên đề: Mệnh đề
Phủ định mệnh đề
Phương pháp giải
Mệnh đề phủ định của P là "Không phải P". Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ X,P(x)" là:
"∃x ∈ X,P(x)−−−−−− "
Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ X,P(x)" là "∀x ∈ X,P(x)−−−−−−"
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phát biểu các mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
A: n chia hết cho 2 và cho 3 thì nó chia hết cho 6.
B: √2 là số thực
C: 17 là một số nguyên tố.
Hướng dẫn:

A−: n không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 thì nó không chia hết cho 6.
B− : √2 không là số thực.
C−: 17 không là số nguyên tố.


Ví dụ 2: Phủ định các mệnh đề sau và cho biết tính (Đ), (S)
A: ∀x ∈ R: 2x + 3 ≥ 0
B: ∃x ∈ R: x2 + 1 = 0
Hướng dẫn:
A−:∃x ∈ R: 2x + 3 < 0 (Đ)
B− :∀x ∈ R: x2 + 1 ≠ 0 (Đ)
Ví dụ 3: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định
đó đúng hay sai:
a) Phương trình x2 - 3x + 2 = 0 có nghiệm.
b) 210 - 1 chia hết cho 11.
c) Có vô số số nguyên tố.
Hướng dẫn:
a) Phương trình x2 - 3x + 2 = 0 vô nghiệm. Mệnh đề phủ định sai vì phương trình có 2
nghiệm x = 1; x = 2.
b) 210 - 1 không chia hết cho 11. Mệnh đề phủ định sai.
c) Có hữu hạn số nguyên tố, mệnh đề phủ định sai.
Chuyên đề: Mệnh đề
Bài tập về mệnh đề
Bài 1: Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề. Nếu
là mệnh đề thì hãy xét xem nó đúng hay sai:
a) x2 + x + 1 > 0
b) 26 chia hết cho 2 và cho 13


c) x2 + y2 > 9

d) x – 2y và 2 xy
Bài 2:
Các mệnh đề dưới đây thuộc mệnh đề gì và hãy nói nó đúng hay sai:
a) Nếu số a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.
b) Nếu Δ ABC cân tại A thìΔABC có AB = AC.
c) Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật và có AC vuông
góc với BD.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, xét hai mệnh đề:
P: " ABCD có tổng hai góc đối bằng 180°"
Q: " ABCD là tứ giác nội tiếp."
Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết tính đúng, sai của mệnh đề.
Bài 4: Cho ΔABC, xét hai mệnh đề:
P: "ΔABC vuông cân tại A"
Q: "ΔABC là tam giác vuông có AB =AC"
Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
Bài 5: Cho mệnh đề chứa biến P(n): "n(n+1) là số lẻ" với n là số nguyên. Hãy phát biểu
các mệnh đề:
a) "∀n ∈ Z ,P(n)" và mệnh đề phủ định của nó.
b) "∃n ∈ Z ,P(n)" và mệnh đề phủ định của nó.
Bài 6: Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi
mệnh đề đó:
a)∀n ∈ N* , n (n2 - 1 ) là bội số của 3.


b)∀x ∈ R, x2 - 6x + 15 > 0
c) ∃x ∈ R: x2 - 6x + 5 = 0
d)∀x ∈ R ,∃y ∈ R:y = x + 3

e)∀x ∈ R ;∀y ∈ R:
f) ∃n ∈ N ,2n - 1 là số nguyên tố.

Bài 7: Phát biểu dưới dạng "điều kiện cần" đối với các mệnh đề sau:
a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
b) Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau kèm giữa một cặp góc bằng nhau thì bằng
nhau.
c) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì bằng nhau.
d) Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3.
Bài 8: Cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau. Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a) ΔABC đều ⇔ Tam giác có ít nhất một góc bằng 600 .

b)

có nghiệm kép

⇔Δ=b2-4ac=0.
c) ΔABC cân tại A ⇔ Hai đường cao BE và CF bằng nhau.


d) ∀a,b,c ∈ R:

e) ∀a,b ∈ R:

.

Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Đây là mệnh đề và là mệnh đề đúng.
b) Đây là mệnh đề và là mệnh đề đúng.
c) Đây chưa phải là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng sai (mệnh đề chưa
biến).
d) Đây không phải là mệnh đề.

Bài 2:
a) Đây là mệnh đề kéo theo và là mệnh đề sai. Một số chia hết cho 3 thì không chắc đã
chia hết cho 6.
b) Đây là mệnh đề kéo theo và là mệnh đề đúng.
c) Đây là mệnh đề tương đương và là mệnh đề đúng.
Bài 3:
P: "ABCD có tổng hai góc đối bằng 180°"
Q: "ABCD là tứ giác nội tiếp."
P ⇒ Q: Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180° thì ABCD là tứ giác nội tiếp.
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.


Bài 4: Cho ΔABC, xét hai mệnh đề:
P: "ΔABC vuông cân tại A"
Q: "ΔABC là tam giác vuông có AB = AC"
P ⇔ Q: ΔABC vuông cân tại A khi và chỉ khi ΔABC là tam giác vuông có
AB = AC.
P ⇔ Q: ΔABC vuông cân tại A là điều kiện cần và đủ để ΔABC là tam giác vuông có AB
= AC.
Mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.
Bài 5: P(n): "n (n + 1) là số lẻ" với n là số nguyên
a) "∀n ∈ Z ,P(n)": Với mọi n thuộc tập số nguyên Z thì n ( n+ 1 ) là số lẻ.
Mệnh đề phủ định: "∃n ∈ Z,P−(n)" : Tồn tại n thuộc tập số nguyên Z sao cho n(n+1) là
số chẵn.
b) "∃n ∈ Z ,P(n)": Tồn tại n thuộc tập số nguyên Z để n ( n + 1 ) là số lẻ.
Mệnh đề phủ định: "∀n ∈ Z,P−(n)" : Với mọi n thuộc tập số nguyên Z thì n ( n + 1) là
số chẵn.
Bài 6:
a) ∀n ∈ N2 , n (n2 - 1 ) là bội số của 3: Mệnh đề đúng
Vì: n ( n2 -1) = ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ⋮3

Mệnh đề phủ định: ∃ n ∈ N2 ,n (n2 - 1 ) không là bội số của 3.
b) ∀x ∈ R,x2 - 6x + 15 > 0: Mệnh đề đúng
Vì x2 - 6x + 15 = (x-3) 2 + 6 > 0
Mệnh đề phủ định: ∃x ∈ R, x2 - 6x + 15 ≤ 0.
c) ∃x ∈ R,x2 - 6x +5 = 0 : Mệnh đề đúng


Vì x2 - 6x + 5 = 0 ⇔ x = 5 ;x = 1.
Mệnh đề phủ định: ∀ x ∈ R, x2 - 6x + 5 ≠ 0
d) ∀x ∈ R,∃y ∈ R: y = x + 3 : Mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định: ∃x ∈ R ,∀y ∈ R : y ≠ x + 3

e) ∀x ∈ R , ∀y ∈ R:

:Mệnh đề sai

Vì với x = - 2 ;y = - 2:

Mệnh đề phủ định: ∃x ∈ R , ∃y ∈ R :

.

f) ∃n ∈ N,2n - 1 là số nguyên tố: Mệnh đề đúng
Vì với n = 2: 22 - 1 =3 là số nguyên tố.
Mệnh đề phủ định: ∀n ∈ N ,2n - 1 không là số nguyên tố.
Bài 7:
a) Hai góc bằng nhau là điều kiện cần để chúng là hai góc đối đỉnh.
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng có hai cặp cạnh bằng nhau kèm
giữa một cặp góc bằng nhau.
c) Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì bằng nhau: Đây không phải là mệnh đề

đúng nên không viết được với điều kiện cần.
d) Một số chia hết cho 3 là điều kiện cẩn để tổng các chữ số chia hết cho 3.


Bài 8:
a) Δ ABC đều ⇔ Tam giác có ít nhất một góc bằng 60°.
Ta có:
Δ ABC đều ⇒ Tam giác có ít nhất một góc bằng 60° (đúng)
Tam giác có ít nhất một góc bằng 60° ⇒ Δ ABC đều (sai)
Vậy mệnh đề trên sai.
Sửa lại: Δ ABC đều ⇒ Tam giác có ít nhất một góc bằng 60° (đúng)

có nghiệm kép ⇔Δ = b2 - 4ac =0.

b)

Đây là mệnh đề đúng do A ⇒ B đúng và B ⇒ A đúng.
c) Δ ABC cân tại A ⇔ Hai đường cao BE và CF bằng nhau.
Đây là mệnh đề đúng do A ⇒ B đúng và B ⇒ A đúng.

d) ∀a,b,c ∈ R:
Ta có:

∀a,b,c ∈ R:

∀a,b,c ∈ R:a > c ⇒

: đúng

: sai

Vậy mệnh đề trên sai.

Sửa lại: ∀a,b,c ∈ R:

e) ∀a,b ∈ R:
Đây là mệnh đề đúng.
Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Lý thuyết: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1. Tập hợp- Phần tử
+ Tập hợp, phần tử là những khái niệm cơ bản của toán học.
Các đối tượng có chung một hay nhiều tính chất quy tụ lại thành một tập hợp; mỗi đối
tượng là một phần tử.
+ Mỗi tập hợp được xác định bởi:
- Liệt kê các phần tử của nó: A={a1; a2; a3;…}

- Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
2. Tập hợp rỗng
Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅ , là tập hợp không chứa phần tử nào.
A ≠ ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A
3. Tập hợp con


Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp
con của B, kí hiệu là A ⊂ B.
A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.
A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.
Tính chất:
1) A ⊂ A với mọi tập A.

2) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.
3) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.
4.Tập hợp bằng nhau.
Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.
A = B ⇔(∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B )
5. Giao của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B.

6. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B.

7. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B.


Khi B ⊂ A thì tất các phần tử thuộc A mà không là phần tử của B (A\B) gọi là phần bù
của B trong A, kí hiệu CA B (phần gạch chéo trong hình).

8. Các tập hợp con thường dùng của R
Khoảng:
(a;b)={x ∈ R|a < x < b}

(a;+∞)={x ∈ R|a < x}

(-∞;b)={x ∈ R|x < b}


Đoạn:
[a;b]={x ∈ R|a ≤ x ≤ b}

Nửa khoảng:
[a;b)={x ∈ R |a ≤ x < b}

(a;b]={x ∈ R |a < x ≤ b}

[a;+∞)={ x ∈ R | a ≤ x}

(-∞;b]={ x ∈ R | x ≤ b}


Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Cách xác định tập hợp
Phương pháp giải
1: Với tập hợp A, ta có 2 cách:
Cách 1: liệt kê các phần tử của A: A={a1; a2; a3;..}
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của A
2:Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp
con của B, kí hiệu là A ⊂ B.
A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.
A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.
Tính chất:
1) A ⊂ A với mọi tập A.
2) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.
3) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
a) A={x ∈ R|(2x - x2 )(2x2 - 3x - 2)=0}.
b) B={n ∈ N|3 < n2 < 30}.

Hướng dẫn:
a) Ta có:

(2x - x2 )(2x2 - 3x - 2) =0 ⇔

⇔

⇒
b) 3 < n2 < 30 ⇒ √3 < |n| < √30
Do n ∈ N nên n ∈ {2;3;4;5}
⇒ B = {2;3;4;5}.
Ví dụ 2: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của
nó:
a) A = {2; 3; 5; 7}
b) B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
c) C = {-5; 0; 5; 10; 15}.
Hướng dẫn:
a) A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10.
b) B là tập hơp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.


B={x ∈ Z||x| ≤ 3}.
c) C là tập hợp các số nguyên n chia hết cho 5, không nhỏ hơn -5 và không lớn hơn 15.
C={n ∈ Z|-5 ≤ n ≤ 15; n ⋮ 5}.
Ví dụ 3: Cho tập hợp A có 3 phần tử. Hãy chỉ ra số tập con của tập hợp A.
Hướng dẫn:
Giả sử tập hợp A={a;b;c}. Các tập hợp con của A là:
∅ ,{a},{b},{c},{a;b},{b;c},{c;a},{a;b;c}
Tập A có 8 phần tử

Chú ý: Tổng quát, nếu tập A có n phần tử thì số tập con của tập A là 22 phần tử.
Ví dụ 4: Cho hai tập hợp M={8k + 5 |k ∈ Z}, N={ 4l + 1 | l ∈ Z}. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. M ⊂ N

B. N ⊂ M

C. M=N

D. M= ∅ ,N= ∅

Hướng dẫn:
Rõ ràng ta có: M ≠ ∅ ; N ≠ ∅
Giả sử x là một phần tử bất kì của tập M, ta có x = 8k + 5 (k ∈ Z)
Khi đó, ta có thể viết x = 8k + 5 = 4(2k + 1) + 1 = 4l + 1 với l = 2k + 1 ∈ Z do k ∈ Z.
Suy ra x ∈ N.
Vậy ∀x ∈ M ⇒ x ∈ N hay M ⊂ N.
Mặt khác 1 ∈ N nhưng 1 ∉ M nên N ⊄ M. Từ đó, suy ra M ≠ N
Vậy M ⊂ N.


Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Giải toán bằng biểu đồ Ven
Phương pháp giải
- Vẽ các vòng tròn đại diện các tập hợp (mỗi vòng tròn là một tập hợp) lưu ý 2 vòng tròn
có phần chung nếu của 2 tập hợp khác rỗng.
- Dùng các biến để chỉ số phần tử của từng phần không giao nhau.
- Từ giả thiết bài toán, lập hệ phương trình và giải tìm các biến.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10A có 17 bạn được công nhận học

sinh giỏi văn, 25 bạn học sinh giỏi toán. Tìm số học sinh đạt cả 2 giải văn và toán, biết
lớp 10A có 45 bạn và có 13 bạn không đạt học sinh giỏi.
Hướng dẫn:
Biểu diễn tập hợp các học sinh giỏi văn và các học sinh giỏi toán bằng 2 đường cong kín
và tập hợp các học sinh lớp 10A bằng hình chữ nhật như hình bên dưới.
Gọi x là số học sinh giỏi văn không giỏi toán; y là số học sinh giỏi cả văn và toán; z là
số học sinh chỉ giỏi toán mà không giỏi văn và t là số học sinh không đạt học sinh giỏi.
Theo biểu đồ giả thiết, ta có:


Cộng

(1)

với

(2)

rồi

trừ

được:
(x + y) + (y + z) – (x + y + z + t) = 17 + 25 - 45
⇒ y - t = - 3 ⇒ y = t – 3 = 10
Vậy lớp 10A có 10 học sinh giỏi cả 2 môn văn và toán.
Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Bài tập: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Bài 1: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó
a) A={x ∈ R|(2x2 - 5x + 3)(x2 - 4x + 3)= 0}.

b) B={x ∈ R|(x2 - 10x + 21)(x3 - x)= 0}.
c) C={x ∈ N|x + 3 < 4 + 2x; 5x - 3 < 4x - 1}.
d) D={x ∈ Z||x + 2| ≤ 3}.
e)E={x ∈ R|x2 + x + 3 = 0}.

cho

(3)

ta


Bài 2: Viết các tập sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
a) A = {0; 1; 2; 3; 4}
b) B ={ -3; 9; -27; 81}

e) E = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
f) F = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5.
Bài 3: Cho biết mỗi tập hợp sau có bao nhiêu tập hợp con, tìm tất cả các tập hợp con của
tập hợp sau:
a) A = {1; 2}
b) B = {1; 2; 3}
c) C={x ∈ R|2x2-5x+2=0}
d) D={x ∈ Q|x2-4x+2=0}
Bài 4: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?
a)
A = {1; 2; 3},

B ={x ∈ N|x < 4},