TUYỂN TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 THPT QG

DI N ÀN TOÁN H C VI T NAM
www.maths.vn
----OOO----

Tuy n t p

B t đ ng th c

Volume 1

Biên t p: Võ Qu c Bá C n
Tác gi các bài toán: Tr n Qu c Lu t
Thành viên tham gia gi i bài:
1. Võ Qu c Bá C n (nothing)
2. Ngô

c L c (Honey_suck)

3. Tr n Qu c Anh (nhocnhoc)
4. Seasky
5. Materazzi


Τραν Θυοχ Λυατ∋σ Ινεθυαλιτιεσ
ςο Θυοχ Βα Χαν − Πηαm Τηι Ηανγ
Φεβρυαρψ 25, 2009


ιι

Χοπψριγητ χ 2008 βψ ςο Θυοχ Βα Χαν

Πρεφαχε
∀Λιφε ισ γοοδ φορ ονλψ τωο τηινγσ, δισχοϖερινγ mατηεmατιχσ ανδ τεαχηινγ mατηεmατιχσ.∀
Σ. Ποισσον

Βατ δανγ τηυχ λα mοτ τρονγ λινη ϖυχ ηαψ ϖα κηο. Ηιεν ναψ, χο κηα νηιευ νγυοι θυαν ταm δεν νο βοι νο τηυχ
συ ρατ δον γιαν, θυψεν ρυ ϖα βαν κηονγ χαν πηαι ∀ηοχ ϖετ∀ νηιευ δινη λψ δε χο τηε γιαι δυοχ χηυνγ. Κηι ηοχ
βατ δανγ τηυχ, ηαι διευ χυον ηυτ χηυνγ τα νηατ χηινη λα σανγ ταο ϖα γιαι βατ δανγ τηυχ. Νηαm mυχ διχη κιχη
τηιχη συ σανγ ταο χυα ηοχ σινη σινη ϖιεν νυοχ νηα, διεν δαν mατησϖν δα χο mοτ σο τοπιχ σανγ ταο βατ δανγ
τηυχ δανη ριενγ χηο χαχ χα νηαν τρεν διεν δαν. Τυψ νηιεν, χαχ τοπιχ δο χον ροι ραχ νεν τα χαν mοτ συ τονγ
ηοπ λαι τηονγ νηατ ηον δε χηο βαν δοχ τιεν τηεο δοι, δο λα λι δο ρα δοι χυα θυψεν σαχη ναψ. Θυψεν σαχη δυοχ
τρινη βαψ τρονγ πηαν χηινη βανγ τιενγ Ανη ϖοι mυχ διχη γιυπ χηυνγ τα ρεν λυψεν τηεm νγοαι νγυ ϖα χο τηε
γιοι τηιευ νο δεν χαχ βαν τρονγ ϖα νγοαι νυοχ. Μαχ δυ δα χο γανγ βιεν σοαν νηυνγ σαι σοτ λα διευ κηονγ τηε
τρανη κηοι, ρατ mονγ νηαν δυοχ συ γοπ ψ χυα βαν δοχ γαν ξα. Μοι συ δονγ γοπ ψ κιεν ξιν δυοχ γυι ϖε ταχ
για τηεο: βαβψλεαρνmατη≅ψαηοο.χοm. Ξιν χηαν τηαν χαm ον!
Θυψεν σαχη ναψ δυοχ τηυχ ηιεν ϖι mυχη διχη γιαο δυχ, mοι ϖιεχ mυα βαν τραο δοι τηυονγ mαι τρεν θυψεν
σαχη ναψ δευ βι χαm νευ νηυ κηονγ χο συ χηο πηεπ χυα ταχ για.
ςο Θυοχ Βα Χαν

ιιι


ιϖ

Πρεφαχε


Χηαπτερ 1

Προβλεmσ
∀Εαχη προβλεm τηατ Ι σολϖεδ βεχαmε α ρυλε, ωηιχη σερϖεδ αφτερωαρδσ το σολϖε οτηερ προβλεmσ.∀
Ρ. Dεσχαρτεσ

1. Γιϖεν α τριανγλε ΑΒΧ ωιτη τηε περιmετερ ισ 2π: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ
σ
σ
ρ
β
χ
α
β+χ
χ+α
α+β
+
+
+
+
:
π α π β π χ
π α
π β
π χ
2. Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 + β2 + χ2 + αβχ = 4: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ
ινεθυαλιτψ ηολδσ
α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 :
3. Σηοω τηατ φορ ανψ ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ; ωε ηαϖε
π
3
α3 + β3 + χ3 + 6αβχ

αβχ(α + β + χ)2 :
4. Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm ϖαλυεσ οφ
Π(α; β; χ) = (1 + αβ)2 + (1 + βχ)2 + (1 + χα)2 :
5. Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm ϖαλυεσ οφ
Π(α; β; χ) = (1

4αβ)2 + (1

4βχ)2 + (1

4χα)2 :

6. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
β+χ χ+α α+β
+
+
α
β
χ

2

4(αβ + βχ + χα)

1

1
1
1
+ +

α2 β2 χ2

:


2

Προβλεmσ
7. Λετ α; β; χ βε τηε σιδε οφ α τριανγλε. Σηοω τηατ
π
π
∑(α + β)(α + χ) β + χ α 4(α + β + χ) (β + χ

α)(χ + α

β)(α + β

χ):

χψχ

8. Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ
β+χ
χ+α
α+β
π
+π
+π
α+β χ
β+χ α

χ+α β

6:

9. Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ
α
π
β+χ

α

β
+π
χ+α

β

χ
+π
α+β

χ

3:

10. Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν
α
β
χ
+

+
α+β β+χ χ+α

1+

σ

2αβχ
:
(α + β)(β + χ)(χ + α)

11. Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν
α
α+β

2

+

β
β+χ

2

+

χ
χ+α

2

3 α2 β + β2 χ + χ2 α 3αβχ
+
:
4
(α + β)(β + χ)(χ + α)

12. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
α2 + β2 + χ2
αβ + βχ + χα

(α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 )
8α2 β2 χ2

2

:

13. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηε ινεθυαλιτψ
(β + χ)2
(χ + α)2
(α + β)2
+
+
α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ)

3:

14. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηε ινεθυαλιτψ
(χ + α)2

(α + β)2
(β + χ)2
+
+
α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ)

2

β+χ
χ+α
α+β
+
+
:
β + χ + 2α χ + α + 2β α + β + 2χ

15. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
(β + χ)2
(χ + α)2
(α + β)2
+
+
α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ)

2

α
β
χ
+

+
:
β+χ χ+α α+β

16. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
α3 β3 + β3 χ3 + χ3 α3

(β + χ

α)(χ + α

β)(α + β

χ)(α3 + β3 + χ3 ):


3
17. Ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ αβχ = 1; σηοω τηατ ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ
α3 + β3 + χ3

α
β
χ
3
+
+
+ :
β+χ χ+α α+β 2

18. Γιϖεν νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ συχη τηατ αβ + βχ + χα + αβχ = 4: Προϖε τηατ

α2 + β2 + χ2 + 2(α + β + χ) + 3αβχ
19. Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ ωιτη mιν φα; β; χγ

3
4

4(αβ + βχ + χα):

ανδ αβ + βχ + χα = 3: Προϖε τηατ

α3 + β3 + χ3 + 9αβχ

12:

20. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 = 1: Προϖε τηατ
θ
(α2 + β2 + χ2 )2 + αβχ (α2 + β2 + χ2 )3 4:
21. Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ
(α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 + (αβ + βχ + χα)3

4αβχ(α + β + χ)3 :

22. Λετ α; β; χ βε ρεαλ νυmβερσ φροm τηε ιντερϖαλ [3; 4] : Προϖε τηατ
(α + β + χ)

αβ βχ χα
+ +
χ
α
β

3(α2 + β2 + χ2 ):

23. Γιϖεν ΑΒΧ ισ α τριανγλε. Προϖε τηατ
8 χοσ2 Α χοσ2 Β χοσ2 Χ + χοσ 2Α χοσ 2Β χοσ 2Χ

0:

24. Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α + β + χ = 3 ανδ αβ + βχ + χα
τηατ
α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 :

2 mαξ φαβ; βχ; χαγ : Προϖε


4

Προβλεmσ


Χηαπτερ 2

Σολυτιονσ
∀Dον∋τ ϕυστ ρεαδ ιτ; γητ ιτ! Ασκ ψουρ οων θυεστιονσ, λοοκ φορ ψουρ οων εξαmπλεσ, δισχοϖερ ψουρ
οων προοφσ. Ισ τηε ηψποτηεσισ νεχεσσαρψ? Ισ τηε χονϖερσε τρυε? Wηατ ηαππενσ ιν τηε χλασσιχαλ
σπεχιαλ χασε? Wηατ αβουτ τηε δεγενερατε χασεσ? Wηερε δοεσ τηε προοφ υσε τηε ηψποτηεσισ?∀
Π. Ηαλmοσ, Ι Wαντ το βε α Ματηεmατιχιαν

Προβλεm 2.1 Γιϖεν α τριανγλε ΑΒΧ ωιτη τηε περιmετερ ισ 2π: Προϖε τηατ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ
σ

σ
ρ
α
β+χ
χ+α
α+β
β
χ
+
+
+
+
:
π α π β π χ
π α
π β
π χ
Σολυτιον. Σεττινγ ξ = π
ινεθυαλιτψ βεχοmεσ

α; ψ = π

β ανδ ζ = π

ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ
+
+
ξ
ψ
ζ

χ; τηεν α = ψ + ζ; β = ζ + ξ ανδ χ = ξ + ψ: Τηε οριγιναλ

ρ

ψ+ζ
2+
+
ξ

ρ
ρ
ζ+ξ
ξ+ψ
2+
+ 2+
:
ψ
ζ

Βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
ρ

4 2+

ψ+ζ
ξ

2+

ψ+ζ
ψ+ζ
+4 =
+ 6:
ξ
ξ

Ιτ φολλοωσ τηατ
4

ρ

ψ+ζ
2+
+
ξ

!
ρ
ρ
ζ+ξ
ξ+ψ
2+
+ 2+
ψ
ζ

ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ
+
+

+ 18:
ξ
ψ
ζ

Wε ηαϖε το προϖε
4

ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ
+
+
ξ
ψ
ζ

ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ
+
+
+ 18;
ξ
ψ
ζ
5


6

Σολυτιονσ

ορ εθυιϖαλεντλψ,

ψ+ζ ζ+ξ ξ+ψ
+
+
ξ
ψ
ζ

6;

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ.
Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ:
Προβλεm 2.2 Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α2 + β2 + χ2 + αβχ = 4: Προϖε τηατ τηε φολ−
λοωινγ ινεθυαλιτψ ηολδσ
α2 + β2 + χ2 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 :
Σολυτιον. Φροm τηε γιϖεν χονδιτιον, ωε σεε τηατ τηερε εξιστ ξ; ψ; ζ

0 συχη τηατ

2ψ
β= π
;
(ψ + ζ)(ψ + ξ)

2ξ
;
α= π
(ξ + ψ)(ξ + ζ)

Υσινγ τηισ συβστιτυτιον, ωε mαψ ωριτε ουρ ινεθυαλιτψ ασ

ξ2

2ζ
χ= π
:
(ζ + ξ)(ζ + ψ)

4ψ2 ζ2

∑ (ξ + ψ)(ξ + ζ) ∑ (ψ + ζ)2 (ξ + ψ)(ξ + ζ) ;
χψχ

χψχ

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βεχαυσε
ψζ(ψ + ζ)2

4ψ2 ζ2

ψζ

∑ (ψ + ζ)2 (ξ + ψ)(ξ + ζ) ∑ (ψ + ζ)2 (ξ + ψ)(ξ + ζ) = ∑ (ξ + ψ)(ξ + ζ) ;
χψχ

χψχ

ανδ

χψχ

ξ2

ψζ

∑ (ξ + ψ)(ξ + ζ) = ∑ (ξ + ψ)(ξ + ζ) :
χψχ

χψχ

Ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = 1 ορ α = β =
περmυτατιονσ.

π
2; χ = 0 ανδ ιτσ χψχλιχ

Προβλεm 2.3 Σηοω τηατ φορ ανψ ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ α; β; χ; ωε ηαϖε
π
3
α3 + β3 + χ3 + 6αβχ
αβχ(α + β + χ)2 :
Σολυτιον 1. Αχχορδινγ το τηε ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ εστιmατιον
π
π
3
3
6 αβχ(α + β + χ)2 (α + β + χ)3 + 9 α2 β2 χ2 (α + β + χ);
ωηιχη λεαδσ υσ το προϖε τηε σηαρπερ ινεθυαλιτψ
6(α3 + β3 + χ3 + 6αβχ)
ορ
5(α3 + β3 + χ3 )

π
3
(α + β + χ)3 + 9 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

3∑αβ(α + β) + 30αβχ

π
3
9 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

χψχ

Φροm Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε, ωε ηαϖε
3(α3 + β3 + χ3 )

3∑αβ(α + β) + 9αβχ
χψχ

0;


7
ανδ ωε δεδυχε ουρ ινεθυαλιτψ το
π
3
9 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

2(α3 + β3 + χ3 ) + 21αβχ

Αγαιν, τηε Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε σηοωσ τηατ
4(α3 + β3 + χ3 ) + 15αβχ

(α + β + χ)3 ;

ανδ ωιτη τηισ ινεθυαλιτψ, ωε ναλλψ χοmε υπ ωιτη
(α + β + χ)3

15αβχ + 42αβχ

π
3
18 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

π
3
18 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

(α + β + χ)3 + 27αβχ
Βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε τηατ

2(α + β + χ)3 + 54αβχ = (α + β + χ)3 + (α + β + χ)3 + 27αβχ + 27αβχ
π
3
(α + β + χ)3 + 27 α2 β2 χ2 (α + β + χ)
π
π
3
3
9 α2 β2 χ2 (α + β + χ) + 27 α2 β2 χ2 (α + β + χ)

π
3
= 36 α2 β2 χ2 (α + β + χ):
Ιτ σηοωσ τηατ

π
3
18 α2 β2 χ2 (α + β + χ);

(α + β + χ)3 + 27αβχ

ωηιχη χοmπλετεσ ουρ προοφ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ:
Σολυτιον 2 (βψ Σεασκψ). Σινχε τηε ινεθυαλιτψ βεινγ ηοmογενεουσ, ωε χαν συπποσε ωιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ
τηατ αβχ = 1: Ιν τηισ χασε, τηε ινεθυαλιτψ χαν βε ρεωιττεν ιν τηε φορm
Π(α; β; χ) = α3 + β3 + χ3 + 6

(α + β + χ)2

0:

Wε ωιλλ νοω υσε mιξινγ ϖαριαβλεσ mετηοδ το σολϖε τηισ ινεθυαλιτψ. Ασσυmινγ α
Π(α; β; χ)

β

χ; ωε χλαιm τηατ

Π(τ;τ; χ);

π

ωηερε τ = αβ 1:
Ινδεεδ, ωε ηαϖε
Π(τ;τ; χ) =
π
2αβ αβ
(α2 + β2

Π(α; β; χ)
=

3

α +β

β)2 (α + β) + αβ

= (α
=
βεχαυσε

π

3

α

π
β

π

π
α+ β

2

2

π
α

π
π
α+ β

(α + β

1) + αβ

π
β
2

2αβ)
2

2χ

β)2

2χ

1) + αβ

2χ

(α

(α + β

2χ α + β

4(2

1) + 1

π
2 αβ
π
α

π
β

0;

2 = 3 > 0:

2

8

Σολυτιονσ

Σο, τηε αβοϖε στατεmεντ ηολδσ ανδ αλλ ωε ηαϖε το δο ισ το προϖε τηατ Π(τ;τ; χ)
οφ τηε φολλοωινγ ινεθυαλιτιεσ
2τ 3 + χ3 + 6 (2τ + χ)2 ;
2τ 3 +

2

1
τ2

;

τ 2 (2τ 3 + 1)2 ;

2τ 9 + 6τ 6 + 1

4τ 8 + 4τ 5 + τ 2 ;

1)2 2τ 7

ωηιχη ισ οβιϖουσλψ τρυε βεχαυσε τ

2τ +

2τ 9 + 6τ 6 + 1
2τ 9

(τ

1
+6
τ6

4τ 8 + 6τ 6

4τ 5

0; ωηιχη ισ εθυιϖαλεντ το εαχη

τ2 + 1

0;

2τ 5 + 2τ 4 + 2τ 3 + 2τ 2 + 2τ + 1

0;

1:

Προβλεm 2.4 Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm
ϖαλυεσ οφ
Π(α; β; χ) = (1 + αβ)2 + (1 + βχ)2 + (1 + χα)2 :
Σολυτιον. Ιτ ισ χλεαρ τηατ mιν Π = 3 ωιτη εθυαλιτψ ατταινσ ωηεν α = 1; β = χ = 0 ανδ ιτσ χψχλιχ περmυτιονσ.
1
Νοω, λετ υσ νδ mαξ Π: Wε χλαιm τηατ mαξ Π = 100
27 ατταινσ ωηεν α = β = χ = 3 ; ορ
100

;
27

(1 + αβ)2 + (1 + βχ)2 + (1 + χα)2

19
;
27
19
;
(αβ + βχ + χα)2 + 2(αβ + βχ + χα) 2αβχ
27
46
(αβ + βχ + χα + 1)2 2αβχ
:
27
Αχχορδινγ το ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 + 2(αβ + βχ + χα)

(αβ + βχ + χα + 1)2

4
(αβ + βχ + χα + 1):
3

Ανδ ωε δεδυχε τηε ινεθυαλιτψ το
4
(αβ + βχ + χα + 1)
3
4(αβ + βχ + χα)

2αβχ
6αβχ

46
;
27
10
;
9

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε,
4(αβ + βχ + χα)

6αβχ

(1 + 9αβχ)

6αβχ = 1 + 3αβχ

1+3

1
10
= :
27
9

Wιτη τηε αβοϖε σολυτιον, ωε ηαϖε τηε χονχλυσιον φορ τηε ρεθυιρεmεντ ισ mιν Π = 3 ανδ mαξ Π =

100
27 :


9
Προβλεm 2.5 Λετ α; β; χ βε νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ ωιτη συm 1: Dετερmινε τηε mαξιmυm ανδ mινιmυm
ϖαλυεσ οφ
Π(α; β; χ) = (1 4αβ)2 + (1 4βχ)2 + (1 4χα)2 :
Σολυτιον (βψ Ηονεψ_συχκ). Νοτιχε τηατ
1

1

4αβ

(α + β)2

1

1

(α + β + χ)2 = 0:

Ηενχε
(1

4αβ)2

1;

ανδ ιτ φολλοωσ τηατ
1 + 1 + 1 = 3;

Π(α; β; χ)

ωηιχη εθυαλιτψ ηολδσ ωηεν α = 1; β = χ = 0 ανδ ιτσ χψχλιχ περmυτιονσ. Ανδ ωε χονχλυδε τηατ mαξ Π = 3:
Μορεοϖερ,αππλψινγ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ ανδ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
(1

4αβ)2 + (1

4βχ)2 + (1

4χα)2
=

1
(1 4αβ + 1 4βχ + 1
3
1
[3 4(αβ + βχ + χα)]2
3
1 2 25
1
= ;
3 4
3
3
27

ωιτη εθυαλιτψ ηολδσ ωηεν α = β = χ = 31 : Ανδ ωε χονχλυδε τηατ mιν Π =
Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ.

4χα)2

25
27 :

Προβλεm 2.6 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
β+χ χ+α α+β
+
+
α
β
χ
Σολυτιον 1. Wε χαν ρεωιτε τηε ινεθυαλιτψ ασ
∀
#2

∑αβ(α + β)

2

4(αβ + βχ + χα)

1
1
1
+ +
α2 β2 χ2

:

4(αβ + βχ + χα)(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ):

χψχ

Ασσυmινγ τηατ α

β

χ; τηεν υσινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε τηατ
4(αβ + βχ + χα)(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) =
=

16(α + β)2 (αβ + βχ + χα)(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 )
4(α + β)2
2

(α + β)2 (αβ + βχ + χα) + 4(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 )
:
4(α + β)2
Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ
2αβ(α + β) + 2βχ(β + χ) + 2χα(χ + α)

(α + β)2 (αβ + βχ + χα) + 4(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 )
;
α+β

10

Σολυτιονσ

2αβ(α + β) + 2χ2 (α + β) + 2χ(α2 + β2 )

(α + β)(αβ + βχ + χα) +

αβ(α + β) + 2χ2 (α + β) + χ(α
4αβ
+ χ(α
α+β

αβ α + β

4α2 β2 4χ2 (α2 + β2 )
+
;
α+β
α+β

β)2

β)2

αβ(α β)2
+ χ(α
α+β

4(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 )

;
α+β

2(α2 + β2 )
α+β

2χ2

β)2

α

β ;

2χ2 (α β)2
;
α+β

2χ2
;
α+β

αβ
+χ
α+β
ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βεχαυσε

2χ2
αβ
2χ2

= χ χ+
:
α+β χ+χ
α+β
Τηε προοφ ισ χοmπλετεδ ανδ ωε ηαϖε εθυαλιτψ ιφφ α = β = χ:
Σολυτιον 2. Σιmιλαρ το σολυτιον 1, ωε νεεδ το προϖε
∀
#2

∑αβ(α + β)

4(αβ + βχ + χα)(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ):

χψχ

Φορ αλλ ρεαλ νυmβερσ m; ν; π; ξ; ψ; ζ; ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ ιντερεσινγ ιδεντιτψ οφ Λαγρανγε
(ξ2 + ψ2 + ζ2 )(m2 + ν2 + π2 )

(mξ + νψ + πζ)2 = (mψ νξ)2 + (νζ πψ)2 + (πξ mζ)2 :
π
π
π
π
π
Νοω, αππλψινγ
τηισ ιδεντιτψ ωιτη ξ = αβ; ψ = βχ; ζ = χα; m = (α + β) αβ; ν = (β + χ) βχ; ανδ π =
π
(χ + α) χα; ωε οβταιν
(αβ + βχ + χα)
Μορεοϖερ,

∀

∑αβ(α + β)

2

χψχ

#

∀

#2

∑αβ(α + β)
χψχ

= αβχ∑χ(α
χψχ

4(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) = ∑αβ(α

∑αβ(α + β)2

β)2 :

β)2 ;

χψχ

χψχ

Σο, ωε mαψ ρεωριτε ουρ ινεθυαλιτψ ασ
(αβ + βχ + χα)

∀

4∑α β

∑αβ(α + β)

2 2

2

χψχ

χψχ

(αβ + βχ + χα)

∀

(αβ + βχ + χα)∑αβ(α

∑αβ(α + β)

2

χψχ

β)2

χψχ

∑α β (α
2 2

χψχ

β) + αβχ∑(α + β
2

χψχ

#
#

∀

αβχ∑χ(α

#2

∑αβ(α + β)
χψχ

β)2 ;

χψχ

χ)(α

β)2

0;

;


11
β)2 + 2αβχ∑α(α

∑α2 β2 (α

β)(α

χ)

0;

χψχ

χψχ

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ τηιρδ δεγρεε.
Προβλεm 2.7 Λετ α; β; χ βε τηε σιδε οφ α τριανγλε. Σηοω τηατ
π
π

∑(α + β)(α + χ) β + χ α 4(α + β + χ) (β + χ

α)(χ + α

β)(α + β

χ):

χψχ

Σολυτιον. Τηε ινεθυαλιτψ χαν βε ρεωριττεν ιν τηε φορm

χψχ

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βεχαυσε

(α + β)(α + χ)
β)(α + β

∑ π(χ + α

(α + β)(α + χ)
β)(α + β

∑ π(χ + α
χψχ

χ)

=

χ)

4(α + β + χ);

(α + β)(α + χ)

∑ πα2
χψχ

χ)2

(β

(α + β)(α + χ)
α
χψχ

∑

= 3(α + β + χ) +

βχ χα αβ
+ +
α
β
χ

4(α + β + χ);
ωηερε τηε λαστ ινεθυαλιτψ ισ ϖαλιδ βεχαυσε

βχ χα αβ
+ +
α
β
χ

χ
χ
α
β
β
α
+β
+
+
+
+χ
2χ 2β
2α 2χ
2β 2α
α + β + χ:

= α

Εθυαλιτψ ηολδσ ιφφ α = β = χ:
Προβλεm 2.8 Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ
α+β
β+χ
χ+α
π

+π
+π
α+β χ
β+χ α
χ+α β

6:

Σολυτιον. Φιρστλψ, το προϖε τηε οριγιναλ ινεθυαλιτψ, ωε ωιλλ σηοω τηατ1
αβ + βχ + χα

∑
χψχ

α2

4α3 (β + χ α) 4β3 (χ + α β) 4χ3 (α + β χ)
+
+
;
(β + χ)2
(χ + α)2
(α + β)2
4α3 (β + χ α)
(β + χ)2

α2 + β2 + χ2

αβ

βχ

χα;

1 Wε mαψ προϖε τηισ στατεmεντ εασιλψ βψ υσινγ τανγεντ λινε τεχηνιθυε, τηε ρεαδερσ χαν τρψ ιτ! Ιν ηερε, ωε πρεσεντ α νονστανδαρδ προοφ
φορ ιτ, τηισ προοφ σεεmσ το βε χοmπλιχατεδ βυτ ιτ ισ νιχε αβουτ ιτσ ιδεα.


12

Σολυτιονσ
α2 (2α β χ)2 β2 (2β χ α)2 χ2 (2χ α β)2
+
+
(β + χ)2
(χ + α)2
(α + β)2

Wιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ, ωε mαψ ασσυmε τηατ α
β2
(χ + α)2

α2
(β + χ)2

β

α2 + β2 + χ2

αβ

βχ

χα;

χ; τηεν

ανδ (2α

χ)2

β

(2β

α)2 :

χ

Τηυσ, υσινγ Χηεβψσηεϖ∋σ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
α2 (2α β χ)2 β2 (2β χ α)2
+
(β + χ)2
(χ + α)2

1
β2
α2
+
2

2 (β + χ)
(χ + α)2

(2α

χ)2 + (2β

β

χ

α)2 :

(1)

Νοτιχε τηατ
1
(2α
4

β

χ)2 + (2β

Ανδ

χ

α)2

(α2

1
(α + β
8

αβ + β2 )

β2
α2
+
2
(β + χ)
(χ + α)2

2(α + β)2
(α + β + 2χ)2

1
(α + β)2 ;
4

2χ)2

(2)

1
;
2

ωηιχη ψιεδσ τηατ
1
β2
α2
+
2 (β + χ)2 (χ + α)2

1
2

2(α + β)2
1
2 (α + β + 2χ)2

1
2

2(α + β)2
1
4 (α + β + 2χ)2

1
(α + β
2

(2α

(2α
β

χ)2 + (2β

β

χ)2 + (2β

χ

χ

α)2

α)2

2χ)2 :

(3)

Φροm (1); (2) ανδ (3); ωε οβταιν
α2 (2α β χ)2 β2 (2β χ α)2
+
(β + χ)2
(χ + α)2

(α2

αβ + β2 )

(α + β)2 (α + β 2χ)2
2(α + β + 2χ)2

1
(α + β)2 :
4

Υσινγ τηισ ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε το προϖε
(α + β)2 (α + β 2χ)2
2(α + β + 2χ)2

1
χ2 (α + β 2χ)2
(α + β)2 +
4
(α + β)2

(α + β)2 (α + β 2χ)2 χ2 (α + β 2χ)2
+
2(α + β + 2χ)2
(α + β)2
χ2
(α + β)2
+
2(α + β + 2χ)2 (α + β)2

χ2

1
(α + β
4

χ(α + β);
2χ)2 ;

1
;
4

ωηιχη χαν βε εασιλψ χηεχκεδ. Τηυσ, τηε αβοϖε στατεmεντ ισ προϖεδ.
Νοω, τυρνινγ βαχκ το ουρ προβλεm, υσινγ Ηολδερ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
!2 ∀
#
β+χ
α3 (β + χ α)
∑ πβ + χ α ∑ (β + χ)2
χψχ
χψχ

!3

∑α
χψχ

:


13
Ιτ φολλοωσ τηατ

3

3

β+χ

∑ πβ + χ

α

χψχ

!2

∑α

4 ∑α

α3 (β+χ α)
∑
2
χψχ (β+χ)

χψχ

χψχ

χψχ

Μορεοϖερ, βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
ϖ
!

υ
υ1
τ
αβ
∑αβ =
3 ∑
χψχ
χψχ

∑αβ
χψχ

!

∑α2
χψχ

!

ϖ
υ 0
13
υ
∑ αβ + ∑ αβ + ∑ α2
υ 1 χψχ
χψχ
χψχ
τ ≅
Α =
3

3

Ηενχε

:

∑ αβ

3

∑α

χψχ

9

:

3

β+χ

∑ πβ + χ

α

χψχ

4 ∑α

!2

χψχ

36:

∑ αβ

χψχ

Ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = 1:
Προβλεm 2.9 Γιϖεν α τριανγλε ωιτη σιδεσ α; β; χ σατισφψινγ α2 + β2 + χ2 = 3: Σηοω τηατ
α
π
β+χ

α

β
+π
χ+α

β

χ
+π
α+β

3:

χ

Σολυτιον (βψ Ματεραζζι). Αππλψινγ Ηολδερ Ινεθυαλιτψ, ωε οβταιν
α
∑ πβ + χ
χψχ

α

!2 ∀

∑α(β + χ

#

(α + β + χ)3 :

α)

χψχ

Ανδ ωε δεδυχε ουρ ινεθυαλιτψ το σηοω τηατ
(α + β + χ)3

9∑α(β + χ

α);

χψχ

(α + β + χ)3
Σεττινγ π = α + β + χ; τηεν ιτ
ινεθυαλιτψ ασ

π

3

π

9 [2(αβ + βχ + χα)

3 ανδ 2(αβ + βχ + χα) = π2
π3
π
(3

3

9(π2
2

9π + 54

π)(18 + 6π

6);
0;
π2 )

0;

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ = 1:

3] :
3: Τηυσ, ωε χαν ρεωριτε τηε αβοϖε


14

Σολυτιονσ

Προβλεm 2.10 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν
σ
α
β
χ
2αβχ
+
+
1+
:
α+β β+χ χ+α
(α + β)(β + χ)(χ + α)
Σολυτιον. Τηε γιϖεν ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ το
σ

α2
αβ
∑ (α + β)2 + 2∑ (α + β)(β + χ)

χψχ
χψχ

1+2

2αβχ
2αβχ
+
;
(α + β)(β + χ)(χ + α) (α + β)(β + χ)(χ + α)

Υσινγ τηε κνοων ινεθυαλιτψ2
α2

∑ (α + β)2

1

χψχ

2αβχ
;
(α + β)(β + χ)(χ + α)

ωε χαν δεδυχε ιτ το
αβ
∑ (α + β)(β + χ)
χψχ

σ

2αβχ
2αβχ
+
;
(α + β)(β + χ)(χ + α) (α + β)(β + χ)(χ + α)

α2 β + β2 χ + χ2 α + αβχ

π

2αβχ(α + β)(β + χ)(χ + α):

Νοω, ωε ασσυmε τηατ χ = mιν φα; β; χγ ; αππλψινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
α2 β + β2 χ + χ2 α + αβχ = α(αβ + χ2 ) + βχ(α + β)
α(α + χ)(β + χ)
α(α
=
+ βχ(α + β) +
2
α(α + χ)(β + χ)
+ βχ(α + β)
ρ 2
α(α + χ)(β + χ)
βχ(α + β)
2
2
π
=
2αβχ(α + β)(β + χ)(χ + α):

χ)(β
2

Ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ:

Προβλεm 2.11 Σηοω τηατ ιφ α; β; χ αρε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ, τηεν
α
α+β

2

+

Σολυτιον. Wε ηαϖε

ανδ

2 Τηε

β
β+χ

2

+

χ
χ+α

2

α2
α
=
2
(α + β)
α+β

3 α2 β + β2 χ + χ2 α 3αβχ
+
:
4
(α + β)(β + χ)(χ + α)
αβ
;
(α + β)2

α
β
χ
α2 β + β2 χ + χ2 α + αβχ
+
+
= 1+
:
α+β β+χ χ+α
(α + β)(β + χ)(χ + α)
προοφ ωιλλ βε λεφτ το τηε ρεαδερσ

χ)


15
Ηενχε, τηε γιϖεν ινεθυαλιτψ χαν βε ρεωριττεν ασ
βχ
χα
αβ
+
+
;
(α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2

4αβχ
1
+
4 (α + β)(β + χ)(χ + α)
2

α β
α+β

+

2

β χ
β+χ

+

χ α
χ+α

2

16αβχ
:
(α + β)(β + χ)(χ + α)

2

Νοω, νοτιχε τηατ
16αβχ
=
(α + β)(β + χ)(χ + α)
2[(α + β)(β + χ)(χ + α) 8αβχ]
=
(α + β)(β + χ)(χ + α)
2[(β + χ)(α β)(α χ) + (χ + α)(β χ)(β α) + (α + β)(χ
=
(α + β)(β + χ)(χ + α)
(α β)(α χ) (β χ)(β α) (χ α)(χ β)
:
+
+
= 2
(α + β)(α + χ) (β + χ)(β + α) (χ + α)(χ + β)
2

α)(χ

β)]

Τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ το
α β
α+β

2

+

β χ
β+χ

2

+

χ α
χ+α

2

2

(α β)(α χ) (β χ)(β α) (χ α)(χ β)
+
+
;

(α + β)(α + χ) (β + χ)(β + α) (χ + α)(χ + β)

α β β χ χ α
+
+
α+β β+χ χ+α

2

0;

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β ορ β = χ ορ χ = α:
Προβλεm 2.12 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηατ
(α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 )
8α2 β2 χ2

α2 + β2 + χ2
αβ + βχ + χα

Σολυτιον 1. Wιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ, ωε mαψ ασσυmε τηατ α
(α2 + β2 )(α2 + χ2 )

α2 +

(β + χ)2
4

2

=

β2 + χ2

(β

β

2

:

χ; τηεν ωε ηαϖε τηατ

χ)2 (8α2

β2
16

χ2

6βχ)

0;

(β + χ)2
:
2

Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
4α2 + (β + χ)2 (β + χ)

16αβχ

α2 + β2 + χ2
:
αβ + βχ + χα

Τηισ ινεθυαλιτψ ισ ηοmογενεουσ, ωε mαψ ασσυmε τηατ β + χ = 1; πυττινγ ξ = βχ; τηεν α
Τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ βεχοmεσ
4α2 + 1 α2 + 1 2ξ
;
16αξ
α+ξ

1
2;

ανδ

1
4

ξ

0:


16

Σολυτιονσ
(4α2 + 1)(α + ξ)

32αξ
2α(4ξ

2

3

4α + 16α

1)

16α3

16α

1)2 + 2α(8ξ

2

1)2

(2α

2ξ);

1 ξ + α 4α2 + 1

4α2 + 16α

1)2 + (1 + 4α2

2α(4ξ
2α(4ξ

16αξ(α2 + 1

0;

1 ξ + α 4α2 + 1

16α3 )ξ + α(4α2

1)

1)(8α2 + 2α + 1)ξ + α(4α2

0;

0;
1)

0;

ωηιχη ισ τρυε βεχαυσε
4(2α

1)(8α2 + 2α + 1)ξ + 4α(4α2

1)

4α(4α2 1) (2α
= (2α 1)2 0:

1)(8α2 + 2α + 1)

Ουρ προοφ ισ χοmπλετεδ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ α = β = χ:
Σολυτιον 2. Πυτ α = 1ξ ; β = 1ψ ; χ = 1ζ ; τηεν τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ βεχοmεσ
(ξ + ψ + ζ)2 (ξ2 + ψ2 )(ψ2 + ζ2 )(ζ2 + ξ2 )

8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 :

Νοτιχε τηατ
(ξ2 + ψ2 )(ψ2 + ζ2 )(ζ2 + ξ2 ) = (ξ2 + ψ2 + ζ2 )(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )

ξ2 ψ2 ζ2 :

Τηυσ, ωε χαν ρεωριτε τηε αβοϖε ινεθυαλιτψ ασ
(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 ) (ξ + ψ + ζ)2 (ξ2 + ψ2 + ζ2 )

8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )

ξ2 ψ2 ζ2 (ξ + ψ + ζ)2 :

Νοω, ωε σεε τηατ
(ξ + ψ + ζ)2 (ξ2 + ψ2 + ζ2 ) 8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )
= ∑ξ4 + 2∑ξψ(ξ2 + ψ2 ) + 2ξψζ∑ξ 6∑ξ2 ψ2
χψχ

χψχ

=

∑ξ (ξ
2

χψχ

χψχ

ψ)(ξ

ζ) + 3∑ξψ(ξ
χψχ

χψχ

ψ) + ξψζ∑ξ
2

χψχ

ξψζ∑ξ:
χψχ

Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
ξψζ(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )(ξ + ψ + ζ)
ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2

ξ2 ψ2 ζ2 (ξ + ψ + ζ)2 ;

ξψζ(ξ + ψ + ζ);

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ.
Σολυτιον 3. Σιmιλαρ το σολυτιον 2, ωε νεεδ το προϖε τηατ
(ξ2 + ψ2 )(ψ2 + ζ2 )(ζ2 + ξ2 ) (ξ + ψ + ζ)2

8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 :

Βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
(ξ + ψ + ζ)2

= ξ2 + ψ2 + ζ2 + 2ξψ + 2ψζ + 2ζξ
ξ2 + ψ2 + ζ2 +

4ξ2 ψ2
4ψ2 ζ2
4ζ2 ξ2
+
+
:
ξ2 + ψ2 ψ2 + ζ2 ζ2 + ξ2


17
Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
(m + ν)(ν + π)(π + m) m + ν + π +

4mν
4νπ
4πm

+
+
m+ν ν+ π π+m

8(mν + νπ + πm)2 ;

ωηερε m = α2 ; ν = β2 ; π = χ2 :
Τηισ ινεθυαλιτψ ισ εθυιϖαλεντ ωιτη
mν(m

ν)2 + νπ(ν

π)2 + πm(π

m)2

0;

ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε.
Σολυτιον 4. 3 Αγαιν, ωε ωιλλ γιϖε τηε σολυτιον το τηε ινεθυαλιτψ
(ξ2 + ψ2 )(ψ2 + ζ2 )(ζ2 + ξ2 ) (ξ + ψ + ζ)2
Ασσυmινγ τηατ ξ

ψ

8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 :

ζ; τηεν βψ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
(ξ2 + ζ2 )(ψ2 + ζ2 )

(ξψ + ζ2 )2 :

Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
(ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )2 (ξ + ψ + ζ)2 8(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 )2 ;
θ
2(ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )(ξ + ψ + ζ) 4(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 );

Wε ηαϖε

θ
2(ξ2 + ψ2 ) = ξ + ψ +

(ξ ψ)2
π
ξ + ψ + 2(ξ2 + ψ2 )
π
2 1 (ξ ψ)2

= ξ+ψ+

ξ+ψ

ξ+ψ+

ξ+ψ+

(ξ ψ)2
π
ξ + ψ + 2(ξ + ψ)

3(ξ ψ)2
:
8(ξ + ψ)

Τηερεφορε
θ

2(ξ2 + ψ2 )(ξψ + ζ2 )(ξ + ψ + ζ)
θ
θ
= ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ζ)(ψ + ζ) 2(ξ2 + ψ2 )
θ
3ζ2 (ξ ψ)2 3(ξ ψ)2 ξψζ
ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ψ)(ξ + ζ)(ψ + ζ) +
+
:
8
8(ξ + ψ)
Ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
θ
3ζ2 (ξ ψ)2 3(ξ ψ)2 ξψζ
ξψ(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + ζ(ξ + ψ)(ξ + ζ)(ψ + ζ) +
+
8
8(ξ + ψ)

θ
ξψ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 )
3 Τηισ

4ξψ + ξψζ ξ + ψ +

3(ξ ψ)2
8(ξ + ψ)

21ξ2

προοφ σεεmσ το βε τηε mοστ χοmπλιχατεδ βυτ τηε ιδεα ισ ϖερψ ιντερεστινγ.

4(ξ2 ψ2 + ψ2 ζ2 + ζ2 ξ2 );

10ξψ + 21ψ2 ζ2
+ ζ3 (ξ + ψ)
8

0:


18

Σολυτιονσ

Wε ηαϖε

θ
ξψ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 )

θ
ξζ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 )

4ξψ

Ηενχε, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ

θ
φ (ζ) = ξ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 )

4ξψ + ξψ ξ + ψ +

21ξ2

3(ξ ψ)2
8(ξ + ψ)

4ξψ :

10ξψ + 21ψ2 ζ
+ ζ2 (ξ + ψ)
8

0:

Αλσο, ωε ηαϖε
φ (ζ)

φ (ψ) =

1
(ψ
8

ζ) 21ξ2 + 13ψ2

18ξψ

8ξζ

8ψζ

0:

Τηερεφορε
θ
φ (ψ) = ξ (ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 )

φ (ζ)
=
σινχε

ψ)2 (ξ2 + ψ2 + 4ξψ)
π
(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ
2ξ(ξ

2ξ(ξ2 + ψ2 + 4ξψ)
π
(ξ + ψ) 2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ

ψ(10ξ + 13ψ)(ξ
8(ξ + ψ)

ψ)2

2ξ(ξ2 + ψ2 + 4ξψ)
2(ξ2 + ψ2 ) + 4ξψ

ψ(10ξ + 13ψ)
8(ξ + ψ)
=

ψ)2

ψ(10ξ + 13ψ)(ξ
8(ξ + ψ)

4ξψ

8ξ3 + 22ξ2 ψ 15ξψ2
8(α + β)2

0;

ψ(10ξ + 13ψ)
8(ξ + ψ)
13ψ3

0:

Τηυσ, ουρ ινεθυαλιτψ ισ προϖεδ.
Σολυτιον 5 (βψ Γαβριελ Dοσπινεσχυ). Wε ρεωριτε τηε ινεθυαλιτψ ιν τηε φορm

(α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 )

2

1 1 1
+ +
α β χ

8(α2 + β2 + χ2 )2 :

Σεττινγ α2 + β2 = 2ξ; β2 + χ2 = 2ψ ανδ χ2 + α2 = 2ζ; τηεν ξ; ψ; ζ αρε τηε σιδε λενγτησ οφ α τριανγλε ανδ ωε mαψ
ρεωριτε τηε ινεθυαλιτψ ασ
1
π
ψ+ζ

1
+π
ξ
ζ+ξ

1
+π
ψ
ξ+ψ

ξ+ψ+ζ
:
π
ξψζ

ζ

Βψ Ηολδερ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
1
∑ πψ + ζ
χψχ

ξ

!2 ∀

∑ξ (ψ + ζ
3

χψχ

Ιτ συφ χεσ το σηοω τηατ
ξψζ(ξ + ψ + ζ)

ξ)

∑ξ3 (ψ + ζ
χψχ

ωηιχη ισ ϕυστ Σχηυρ∋σ Ινεθυαλιτψ φορ φουρτη δεγρεε.
Τηισ χοmπλετεσ τηε προοφ.

#

(ξ + ψ + ζ)3 :

ξ);


19
Προβλεm 2.13 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηε ινεθυαλιτψ
(β + χ)2
(χ + α)2
(α + β)2
+
+
α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ)

3:

Σολυτιον 1. Αφτερ υσινγ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ιτ συφ χεσ το προϖε τηατ
(α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2

αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β):

Νοω, αππλψινγ Χαυχηψ Σχηωαρζ Ινεθυαλιτψ ανδ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε οβταιν
π
(β + χ)2 α + βχ

(β + χ)2 (α + β)(α + χ)

2

α(β + χ)

π
+β+χ
βχ
βχ(2α + β + χ)2 :

2

= βχ

Σιmιλαρλψ, ωε ηαϖε
(α + β)2 (χ + α)(χ + β)
(χ + α)2 (β + χ)(β + α)

αβ(α + β + 2χ)2 ;
χα(χ + α + 2β)2 :

Μυλτιπλψινγ τηεσε ινεθυαλιτιεσ ανδ τακινγ τηε σθυαρε ροοτ, ωε γετ τηε ρεσυλτ. Εθυαλιτψ ηολδσ ιφ ανδ ονλψ ιφ
α = β = χ:
Σολυτιον 2. Wε νεεδ το προϖε τηε ινεθυαλιτψ
(α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2

αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β):

Αχχορδινγ το τηε ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ, ωε ηαϖε
αβχ(α + β + 2χ)(β + χ + 2α)(χ + α + 2β)

64
αβχ(α + β + χ)3
27
64

(α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 :
81

Ανδ ωε δεδυχε τηε προβλεm το
(α + β)2 (β + χ)2 (χ + α)2
9(α + β)(β + χ)(χ + α)

64
(α + β + χ)2 (αβ + βχ + χα)2 ;
81
8(α + β + χ)(αβ + βχ + χα);

αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α)
ωηιχη ισ οβϖιουσλψ τρυε βψ ΑΜ−ΓΜ Ινεθυαλιτψ.

6αβχ;


20

Σολυτιονσ

Σολυτιον 3 (βψ Ματεραζζι). Wε ωιλλ τρψ το ωριτε τηε ινεθυαλιτψ ασ τηε συm οφ σθυαρεσ, ωηιχη σηοωσ τηατ τηε
οριγιναλ ινεθυαλιτψ ισ ϖαλιδ. Ινδεεδ, ωε ηαϖε
(β + χ)2

∑ α(2α + β + χ)

(β + χ)2 α(2α + β + χ)
α(2α + β + χ)

χψχ

∑

3 =

χψχ

β + χ 2α
α(2α
+ β + χ)
χψχ

= (α + β + χ)∑
= (α + β + χ)∑
χψχ

χ α
α(2α + β + χ)

α β
α(2α + β + χ)

= (α + β + χ)∑

α β
β(2β + χ + α)

α β
α(2α + β + χ)

χψχ

(α β)2 (2α + 2β + χ)
;
χψχ αβ(2α + β + χ)(2β + χ + α)

= (α + β + χ)∑
ωηιχη ισ οβϖιουσλψ νοννεγατιϖε.
Σολυτιον 4. Wε ηαϖε τηε φολλοωινγ ιδεντιτψ
27α
4(β + χ)2
+
α(2α + β + χ) α + β + χ

13 =

(7α + 4β + 4χ)(2α β χ)2
α(α + β + χ)(2α + β + χ)

0;

ωηιχη ψιελδσ τηατ
(β + χ)2
α(2α + β + χ)

13
4

27

α
:
4 α+β+χ

Ιτ φολλοωσ τηατ
(β + χ)2

39
4

∑ α(2α + β + χ)
χψχ

27
4

α
β
χ
+
+
α+β+χ α+β+χ α+β+χ

= 3:

Προβλεm 2.14 Λετ α; β; χ βε ποσιτιϖε ρεαλ νυmβερσ. Προϖε τηε ινεθυαλιτψ
(χ + α)2
(α + β)2
(β + χ)2
+

+
α(β + χ + 2α) β(χ + α + 2β) χ(α + β + 2χ)

2

χ+α
α+β
β+χ
:
+
+
β + χ + 2α χ + α + 2β α + β + 2χ

Σολυτιον 1. Wε mαψ ωριτε ουρ ινεθυαλιτψ ασ

∑
χψχ

(β + χ)2
α(β + χ + 2α)

∑(β + χ

2α)

χψχ

Ασσυmινγ ωιτηουτ λοσσ οφ γενεραλιτψ τηατ α
β+χ

β
2α

2(β + χ)
β + χ + 2α

β+χ
α(2α + β + χ)

0;

0:

χ; τηεν ωε χαν εασιλψ χηεχκ τηατ
χ+α

2β

α+β

2χ;