Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

CHU BÌNH MINH

RÚT GỌN MÔ HÌNH
CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

CHU BÌNH MINH

RÚT GỌN MÔ HÌNH
CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán học
Mã ngành: 9460101

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. HÀ BÌNH MINH
2. TS. PHAN XUÂN THÀNH

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các
thầy là TS. Hà Bình Minh và TS. Phan Xuân Thành. Tất cả các kết quả được trình bày
trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào.
Hà Nội, ngày 01 tháng 10 n˘am 2019
Thay mặt Tập thể hướng dẫn khoa học

TS. Hà Bình Minh

Tác giả

Chu Bình Minh

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hà Bình Minh,
TS. Trần Xuân Tiếp và TS. Phan Xuân Thành, những người thầy mẫu mực đã tận
tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Các thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy đam mê và thú vị. Các thầy
luôn tạo cho tôi những thử thách, giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, và sáng tạo. Đó là những
gì tôi may mắn được tiếp nhận từ những người thầy của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã nhận được
nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các

thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được chân thành bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH. Đinh Nho Hào - chủ trì seminar Phương
trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam,
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh - chủ trì seminar Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy - chủ trì seminar Dáng
điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và các thành viên của các seminar này đã tạo điều kiện cho tôi được báo
cáo và đã nhận được nhiều góp ý quý báu. Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã luôn động viên và giúp
đỡ tôi rất nhiều trong quá trình viết luận án.
Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa
Khoa học cơ bản Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn
khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn.
Tác giả

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DANH SÁCH BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
DANH SÁCH HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

9

1.1

Một số phép phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1

Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2

Hàm truyền của hệ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3

Tính điều khiển được và tính quan sát được của hệ tuyến tính
liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Phương trình ma trận Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.1

Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính liên tục . . . . . .

19

1.5.2

Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . .

21

1.3.4

Chương 2. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH
ĐỐI XỨNG

22

2.1

Phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.1

Biểu diễn cân bằng của hệ tuyến tính liên tục ổn định . . . . .

22

2.1.2

Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định theo phương pháp chặt
cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3

24

Rút gọn hệ tuyến tính rời rạc ổn định theo phương pháp chặt
cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

25

2.2

2.3

So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt modal . . .

28

2.2.1

Biểu diễn modal của hệ tuyến tính liên tục ổn định . . . . . .

28

2.2.2

Rút gọn hệ tuyến tính liên tục theo phương pháp chặt modal .

29

2.2.3

Hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng SISO . . . .

29

2.2.4

So sánh phương pháp chặt cân bằng và phương pháp chặt modal 34

2.2.5

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt cân bằng
từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.1

Phương pháp chặt cân bằng từng phần . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.2

So sánh phương pháp chặt cân bằng và phương pháp chặt cân
bằng từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

35

41

So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt cân bằng
kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1

Ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.2

Phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . .

46

2.4.3

So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt
cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . .

48

2.4.4

Phương pháp GSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4.5

Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Chương 3. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG
ỔN ĐỊNH

60

3.1

Hệ tuyến tính không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1.1

Hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.1.2

Hệ tuyến tính liên tục β -ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Một số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính không ổn định . . . . .

64

3.2.1

Phương pháp phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.2.2

Phương pháp rút gọn Zhou . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2.3

Phương pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính rời rạc không

3.2

ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4
3.3

67

Phương pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính liên tục không
ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Phương pháp BGSP cho hệ tuyến tính không ổn định . . . . . . . . .

72

3.3.1

73

Phương pháp α-BGSP cho hệ tuyến tính rời rạc không ổn định
iv


3.3.2

Phương pháp β -BGSP cho hệ tuyến tính liên tục không ổn định 74

3.3.3

Phép biến đổi phân tuyến tính giữa hệ α-ổn định và hệ β -ổn
định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Sai số của các phương pháp BGSP . . . . . . . . . . . . . . .

81

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.3.4
3.4

Chương 4. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN
CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ

89

4.1

Bài toán rút gọn mô hình tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . . . .

89

4.2

Phương pháp chặt cân bằng tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . .

90

4.2.1

Giá trị kỳ dị Hankel tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . .

91

4.2.2

Phương pháp chặt cân bằng tại lân cận một tần số . . . . . . .

91

4.2.3

Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.2.4

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Rút gọn hệ tuyến tính tại lân cận một vài tần số . . . . . . . . . . . . .

96

4.3.1

Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính tại lân cận một vài tần số

96

4.3.2

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.3

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . 106

v


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

j

Đơn vị ảo, j 2 = −1

Z+

Tập các số nguyên không âm

R

Tập các số thực

C

Tập các số phức

C+

Tập các số phức có phần thực dương

α,d , z, D, h∞

Sử dụng cho trường hợp rời rạc

β,c , s, C, H∞

Sử dụng cho trường hợp liên tục

A, B, C, . . .

Các ma trận hệ số

I

Ma trận đơn vị

AT

Ma trận chuyển vị của A

A∗

Ma trận chuyển vị liên hợp phức của A

A>0

A là ma trận đối xứng xác định dương
∞

At

At

Ma trận mũ xác định bởi e

e

=
k=0

(At)k
k!

λ(A)

Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

σ(A)

Tập hợp các giá trị kỳ dị của ma trận A

σmax (A)

Giá trị kỳ dị lớn nhất của ma trận A

T race(A)

Vết của ma trận A

diag(a1 , . . . , an )

Ma trận đường chéo cỡ n với a1 , . . . , an là các phần tử
trên đường chéo chính

A = A
A

2

F

Chuẩn Euclidean của ma trận A
Chuẩn Frobenius của ma trận A

x, y, b, c, . . .

Các vectơ

x≺w y

Vectơ x yếu hơn vectơ y

x≺y

Vectơ x yếu hơn hẳn vectơ y

vi

L2 [0, ∞)

Không gian Lebesgue bình phương khả tích trên [0, ∞)

H2

Không gian các hàm giải tích trên C+ và bình phương
khả tích trên trục ảo

L∞ (j R)

Không gian các hàm phức bị chặn trên trục ảo

H∞

Các hàm L∞ (j R) giải tích trong miền Re(s) > 0

Dα

Tập các hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định

D

Tập các hệ tuyến tính rời rạc ổn định

Cβ

Tập các hệ tuyến tính liên tục β -ổn định

C

Tập các hệ tuyến tính liên tục ổn định

Gd (z) ∼ (Ad , Bd , Cd , Dd )

Biểu diễn (Ad , Bd , Cd , Dd ) của hệ rời rạc Gd (z)

Gc (s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc )

Biểu diễn (Ac , Bc , Cc , Dc ) của hệ liên tục Gc (s)

G(s) ∼ (Ab , Bb , Cb , Db )

Biểu diễn cân bằng của hệ G(s)

Gα (z)

Hàm truyền của hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định

Gβ (s)

Hàm truyền của hệ tuyến tính liên tục β -ổn định

Gd

h∞

Chuẩn h∞ của Gd (z) ∈ D

Gd

h∞,α

Chuẩn h∞,α của Gd (z) ∈ Dα

Gc

H∞

Chuẩn H∞ của Gc (s) ∈ C

Gc

H∞,β



Chuẩn H∞,β của Gc (s) ∈ Cβ


A B



C D



Ký hiệu cho biểu thức C(sI − A)−1 B + D

SISO

Hệ tuyến tính một đầu vào, một đầu ra

MIMO

Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu ra

GSP

Nhiễu kỳ dị suy rộng

BGSP

Nhiễu kỳ dị suy rộng cân bằng

vii


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 1

Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng

phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2 . . . . . . .

Bảng 2

Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng

phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2. . . .

Bảng 2.1

Bảng các giá trị Ri , σi của hệ đối xứng bậc 10. . . . . . . . . . . . .

Bảng 2.2

Bảng so sánh sai số của Thuật toán 2 và Thuật toán 7 cho hệ Truyền

nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 2.3

36
56
57

Bảng các ma trận hệ số của hệ tuyến tính bậc 50 với Ac = diag(λ1 , . . . , λ50 ), Bc

và Cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 3.2

4

Bảng so sánh sai số của Thuật toán 2 và Thuật toán 7 cho hệ Orr-

Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 3.1

2

84

Bảng chuẩn H∞,β của các hệ sai số của các phương pháp trong Thuật

toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 và Thuật toán 14. . . . . . . . . . . .

viii

86


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1

Minh họa hệ động lực tuyến tính được biểu diễn bởi các biến trạng thái. 11

Hình 2.1

Đồ thị Bode của hệ gốc (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 4 thu được theo

phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 4 thu được
theo phương pháp chặt modal (màu xanh lá cây). . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2

37

Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng

(màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt modal (màu
xanh lá cây). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.3

Minh họa hệ tuyến tính được xây dựng từ hai hệ ghép song song. . . .

Hình 2.4

Đồ thị Bode của hệ gốc (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 2 thu được theo

37
38

phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 2 thu được
theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh
lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.5

55

Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng

(màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết
hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.6

55

Đồ thị Bode của hệ Truyền nhiệt (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 20 thu được

theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 20 thu
được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu
xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.7

57

Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng

(màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết
hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.8

57

Đồ thị Bode của hệ Orr-Sommerfeld (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 10 thu

được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 10
thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính
(màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.9

58

Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng

(màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết
hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . .

ix

58


Hình 3.1

Mối liên hệ giữa các phương pháp BGSP với phép biến đổi phân tuyến

tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.2

80

Các cực của hệ SISO bậc 50. Các cực ổn định mầu xanh lam, các cực

không ổn định màu đỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.3

Các giá trị kỳ dị Zhou’s/β -Hankel của hệ SISO bậc 50. . . . . . . . .

Hình 3.4

Đồ thị Bode của hệ gốc (mầu đỏ), hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp

85
85

Zhou (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp β -chặt cân bằng
(mầu xanh lá cây) và hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp β -BGSP (mầu
xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.5

87

Đồ thị Bode của hệ sai số của phương pháp Zhou (màu xanh lam), hệ

sai số của phương pháp β -chặt cân bằng (mầu xanh lá cây) và hệ sai số của
phương pháp β -BGSP (mầu xanh lơ - cyan).

Hình 3.6

. . . . . . . . . . . . . . . .

Đồ thị Bode của hệ gốc đã đưa về ổn định, và các hệ rút gọn đã đưa

về ổn định với r = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 3.7

87
87

Đồ thị Bode của hệ gốc đã đưa về ổn định, và các hệ sai số đã đưa về

ổn định với r = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.1

7 cực của hệ FOM-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.2

Các giá trị kỳ dị Hankel tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (đỏ) và các giá

87
95

trị Hankel của phương pháp Gawronski-Juang trong [1] (xanh) khi áp dụng
cho hệ FOM-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.3

95

Đồ thị Bode trên đoạn [10−1 , 2] của hệ gốc (xanh lam) và các hệ rút

gọn bậc 3 thu được bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh

lá cây), bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp
Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.4

95

Đồ thị Bode trên đoạn [10−1 , 2] của các hệ sai số thu được bằng bằng

Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh lá cây), bằng phương pháp
chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh
lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.5

95

Đồ thị Bode của hệ CD player (xanh lam) và các hệ rút gọn bậc 6

thu được bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh lá cây),
bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp GawronskiJuang (màu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

96


Hình 4.6

Đồ thị Bode trên đoạn [ω1 , ω2 ] của các hệ sai số thu được bằng Thuật

toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh lá cây), bằng phương pháp chặt
cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ cyan) khi áp dụng cho hệ CD player.

Hình 4.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đồ thị Bode của hệ CD player G(s) với bậc 120 (màu xanh lam) và hệ

sai số G(s) − G1 (s) bậc 128 thu được Thuật toán 17 sau bước lặp thứ nhất. .

Hình 4.8

96
98

Đồ thị Bode của hệ CD player bậc 120 (mà xanh lam), của hệ rút gọn

bậc 14 thu được bằng phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lá cây) và hệ
rút gọn bậc 14 thu được bằng Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = 2 × 105 } và

{r1 = 8, r2 = 6} (màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 4.9

99

Đồ thị Bode của hệ sai số bậc 134 thu được bằng phương pháp chặt

cân bằng (màu xanh lá cây) và hệ sai số bậc 134 thu được bằng Thuật toán
17 với {ω1 = 0, ω2 = 2 × 105 } và {r1 = 8, r2 = 6} sau lần lặp thứ hai. . .

xi

99


MỞ ĐẦU

1. Một ví dụ về bài toán rút gọn mô hình
Xét hệ động lực tuyến tính liên tục được cho bởi phương trình sau




  
x˙ 1 (t)



x˙ 2 (t)

 = 

−1
0

0

x1 (t)



−2

x2 (t)


y(t) =

1 1

1
1

 u(t),

(1)


x1 (t)



+

x2 (t)

(2)

,

trong đó t ∈ [0, ∞) và u(t) ∈ R là tín hiệu đầu vào (tín hiệu điều khiển), y(t) ∈ R là
tín hiệu đầu ra, x(t) = [x1 (t)

x2 (t)]T ∈ R2 là biến trạng thái. Hệ (1)-(2) là hệ bậc 2

do biến trạng thái x(t) ∈ R2 .
Bài toán rút gọn mô hình cho hệ (1)-(2) được phát biểu như sau: Tìm các hệ số
a
ˆ, ˆb và cˆ của hệ động lực tuyến tính bậc 1 cho bởi hệ phương trình sau
xˆ˙ (t) = a
ˆxˆ(t) + ˆbu(t),

(3)

yˆ(t) = cˆxˆ(t),

(4)

sao cho với cùng một tín hiệu đầu vào u ∈ L2 [0, ∞), ta thu được tín hiệu đầu ra y của
hệ gốc (1)-(2) và tín hiệu yˆ của hệ rút gọn (3)-(4) thỏa mãn:
∞

y − yˆ

L2 [0,∞)

|y(t) − yˆ(t)|2 dt

=

tương đối nhỏ.

0

Nghĩa là, ta sẽ đi tìm hệ động lực tuyến tính bậc 1 có dạng (3)-(4) sao cho: với
cùng một tín hiệu đầu vào u ∈ L2 [0, ∞) tác động vào hai hệ, hệ gốc và hệ rút gọn, ta
sẽ thu được hai tín hiệu đầu ra y và yˆ tương ứng không khác nhau nhiều.
Có rất nhiều phương pháp được sử dụng để giải bài toán rút gọn mô hình. Sau đây
là một số phương pháp cơ bản.
Phương pháp chặt để giải bài toán rút gọn mô hình cho hệ (1)-(2): Với hệ động
lực tuyến tính đã cho, ta sẽ thu được hệ động lực tuyến tính rút gọn bậc 1 bằng cách
bỏ đi một số trạng thái của hệ gốc. Chẳng hạn, với hệ (1)-(2), nếu ta có thể bỏ đi trạng

1


thái x2 thì ta thu được hệ rút gọn sau:
x˙ 1 (t) = (−1)x1 (t) + u(t),

(5)

y1 (t) = x1 (t).

(6)

Tương tự, nếu ta bỏ đi trạng thái x1 thì ta thu được hệ rút gọn sau:
x˙ 2 (t) = (−2)x2 (t) + u(t),

(7)

y2 (t) = x2 (t).

(8)

Để đánh giá trong hai hệ rút gọn thu được ở trên, hệ nào cho lời giải tốt hơn, ta sử
dụng cùng một tín hiệu đầu vào u(t) tác động vào cả ba hệ: hệ gốc (1)-(2), hệ rút
gọn (5)-(6), và hệ rút gọn (7)-(8). Tín hiệu đầu vào u(t) lần lượt là các tín hiệu xung
vuông, tín hiệu tam giác, tín hiệu parabol. Ta sẽ vẽ các tín hiệu đầu ra y(t), y1 (t), và
y2 (t) của cả ba hệ trên cùng một trục tọa độ, được thể hiện trong Bảng 1.

Tín hiệu đầu vào u(t)

So sánh tín hiệu đầu ra y1 (t), y2 (t) với y(t)

Bảng 1: Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp
chặt trực tiếp với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2 .

Từ Bảng 1 ta thấy tín hiệu đầu ra của hệ (5)-(6) gần với tín hiệu đầu ra của hệ gốc
2


hơn so với tín hiệu đầu ra của hệ (7)-(8). Hệ (5)-(6) cho kết quả khá tốt theo như thể
hiện trong Bảng 1. Tuy nhiên, ta vẫn có thể làm tốt hơn nhờ sử dụng phương pháp kết
hợp sau đây.
Phương pháp chặt kết hợp với đổi biến: Nếu ta thực hiện phép đổi biến z(t) =
Sx(t) cho hệ (1)-(2), với S là ma trận không suy biến thì ta được một hệ tương đương,

nghĩa là với cùng tín hiệu vào u(t) thì tín hiệu đầu ra y(t) không thay đổi. Do đó, ta
có thể tìm các hệ động lực tuyến tính rút gọn khác bằng cách sau: Đầu tiên ta đổi
biến trạng thái bằng phép biến đổi không suy biến, sau đó ta bỏ những trạng thái
của hệ tương đương để thu được hệ rút gọn bậc 1. Nếu ta thực hiện phép đổi biến
z(t) = Sx(t), với


S=

−0.8219 −0.5696
−0.8219

0.5696


,

ta sẽ thu được hệ tương đương với hệ (1)-(2) như sau:





z˙1 (t)



z˙2 (t)

 = 

−1.3245 −0.4682

−0.4682 −1.6755

z1 (t)



z2 (t)


y(t) =

−1.3916 −0.2523

+

−1.3916
−0.2523


 u(t),

(9)


z1 (t)





z2 (t)

,

t ∈ [0, ∞).

(10)

Nếu ta bỏ đi trạng thái z2 trong hệ trên, ta sẽ thu được hệ rút gọn bậc 1 sau:
z˙1 (t) = (−1.3245)z1 (t) + (−1.3916)u(t),

(11)

y3 (t) = (−1.3916)z1 (t).

(12)

Tương tự, nếu ta bỏ đi trạng thái z1 thì ta thu được hệ rút gọn sau:
z˙2 (t) = (−1.6755)z2 (t) + (−0.2523)u(t),

(13)

y4 (t) = (−0.2523)z2 (t).

(14)

Ta lần lượt cho tín hiệu vào u(t) là các tín hiệu xung vuông, tín hiệu tam giác và tín

hiệu parabol và so sánh các tín hiệu đầu ra y3 (t), y4 (t) với y(t). Kết quả được thể hiện
trong Bảng 2.
Kết quả trong Bảng 2 cho thấy: trong cả ba trường hợp ứng với tín hiệu đầu vào
u(t) khác nhau, tín hiệu đầu ra y3 (t) gần như trùng khít với tín hiệu y(t) của hệ gốc,

trong khi tín hiệu đầu ra y4 (t) của hệ còn lại thì rất bé, gần như bằng không.
3


Tín hiệu vào u(t)

So sánh tín hiệu ra y3 (t), y4 (t) với y(t)

Bảng 2: Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp
chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2.

Ta tiếp tục so sánh kết quả trong Bảng 1 và Bảng 2, ta thấy y3 (t) là tín hiệu đầu ra
xấp xỉ tín hiệu y(t) tốt nhất trong bốn tín hiệu ra y1 (t), y2 (t), y3 (t), y4 (t) của bốn hệ rút
gọn tương ứng. Như vậy, ta có thể tạm kết luận rằng, hệ (11)-(12) là hệ rút gọn bậc 1
xấp xỉ khá tốt hệ gốc (1)-(2).
Từ ví dụ trên ta thấy rằng có nhiều phương pháp tìm hệ rút gọn cho hệ động lực
tuyến tính cho trước và việc lựa chọn phương pháp thích hợp sẽ cho ta một hệ rút gọn
xấp xỉ tốt cho hệ động lực tuyến tính gốc. Trong những phần sau của luận án, chúng
tôi sẽ phát biểu bài toán rút gọn mô hình dưới dạng tổng quát, bài toán rút gọn mô
hình cho những hệ động lực có tính chất đặc biệt, như hệ có tính đối xứng, hệ không
ổn định, cùng với các thuật toán rút gọn tương ứng.

2. Lý do chọn đề tài
Công việc thiết kế các bộ điều khiển cho một hệ thống kỹ thuật luôn đòi hỏi
những hiểu biết về hệ thống đó. Một trong những phương pháp thường dùng là sử

dụng những mô hình toán học để mô tả hệ thống. Những hệ thống phức tạp như máy
4


móc, ô tô, máy bay, robot, thường được mô tả bởi những mô hình toán học phức tạp
và có bậc cao. Việc thiết kế hệ thống điều khiển cho những mô hình phức tạp này đòi
hỏi một khối lượng lớn tính toán và đôi khi không khả thi. Bài toán rút gọn mô hình
đã ra đời từ thập kỷ 70-80 của thế kỷ trước nhằm giải quyết vấn đề này. Cụ thể, các mô
hình phức tạp, bậc cao, sẽ được xấp xỉ và thay thế bởi các mô hình đơn giản, có bậc
thấp hơn, mà không làm mất đi những đặc điểm vật lý quan trọng của hệ thống, như
tính ổn định, tính quan sát được, tính điều khiển được, v.v. . . . Ngày nay các phương
pháp cho bài toán rút gọn mô hình trở nên hữu hiệu và thông dụng, được sử dụng
rộng rãi trong việc mô hình hóa, thiết kế, chế tạo. Nhiều phương pháp đã được chuẩn
hóa và được nhúng trong các phần mềm chuyên dụng, như phần mềm MATLAB,
MATHEMATICA.
Những hệ thống kỹ thuật hiện tại trở nên ngày càng phức tạp, do đó đòi hỏi những
thuật toán rút gọn mô hình mới hiệu quả hơn, nhanh chóng hơn. Bên cạnh đó, đối với
những hệ thống có tính chất đặc biệt thì cũng cần phải phát triển những thuật toán rút
gọn mô hình chuyên biệt dành cho những hệ đó. Từ đó, những nghiên cứu mới về bài
toán rút gọn mô hình vẫn còn đang, và sẽ là vấn đề thời sự. Chính vì những lý do trên
mà chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là "Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển
tuyến tính".

3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là đề xuất các thuật toán rút gọn mới nhằm xấp xỉ hệ động
lực tuyến tính cho trước. Đối tượng nghiên cứu là các hệ động lực tuyến tính liên tục
hoặc rời rạc, có tính ổn định, hoặc không ổn định. Phạm vi nghiên cứu là các thuật
toán rút gọn nhằm xấp xỉ một hệ cho trước trên toàn bộ dải tần số hoặc tại lân cận
của một số tần số cho trước. Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng những công cụ mới cho
mục đích nghiên cứu, như chuẩn H∞,β /h∞,α mới áp dụng cho các hệ có tính không

ổn định, cũng như đưa ra công thức đánh giá cận trên của sai số theo các chuẩn đó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu trong luận án là sử dụng các tính toán, lập luận, chứng
minh toán học. Cơ sở toán học cho luận án đến từ những lĩnh vực khác nhau như Đại
số tuyến tính, Giải tích hàm, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển. Các kết quả
lý thuyết trong luận án đều được kiểm tra và chứng thực bằng những ví dụ số cụ thể.
5


5. Cấu trúc của luận án
Luận án được chia làm 4 chương:
- Chương 1 dành cho việc giới thiệu một số không gian hàm dùng trong luận án
và các khái niệm cơ bản liên quan đến hệ động lực tuyến tính liên tục và hệ động lực
tuyến tính rời rạc.
- Chương 2 nghiên cứu các phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn
định đối xứng, tức là A = AT , BT = C. Do các phương pháp chặt cân bằng, phương
pháp chặt modal và phương pháp chặt cân bằng từng phần khi áp dụng rút gọn cho hệ
động lực tuyến tính ổn định đối xứng có công thức tính chính xác sai số theo chuẩn
H∞ nên chúng tôi tìm mối liên hệ giữa các công thức tính sai số và so sánh các sai

số của các phương pháp này. Bên cạnh đó, dựa vào tính chất của ánh xạ phân tuyến
tính, chúng tôi xây dựng sai số cho phương pháp chặt cân bằng kết hợp với ánh xạ
phân tuyến tính (là trường hợp mở rộng của phương pháp Nhiễu kỳ dị) và chứng minh
phương pháp này cho kết quả tốt hơn phương pháp chặt cân bằng khi rút gọn cho các
hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng.
- Chương 3 tập trung nghiên cứu các phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến
tính không ổn định. Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số phương pháp rút gọn cho
hệ động lực tuyến tính không ổn định phổ biến là phương pháp phân rã trong [2],
phương pháp được Zhou giới thiệu trong [3] và các phương pháp chuyển về miền ổn

định trong [4, 5]. Dựa vào các tính chất của các phương pháp này và dựa vào tính chất
của phương chặt cân bằng cho hệ không ổn định trong [4, 5] và phương pháp GSP
(Nhiễu kỳ dị suy rộng) cho hệ ổn định trong [6, 7], chúng tôi xây dựng phương pháp
mới rút gọn cho hệ tuyến tính không ổn định gọi là phương pháp BGSP (Nhiễu kỳ dị
suy rộng cân bằng) là trường hợp tổng quát của các phương pháp [4, 5]. Để đánh giá
cận trên sai số cho phương pháp mới chúng tôi xây dựng khái niệm chuẩn H∞,β /h∞,α
và sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính giữa các hệ động lực tuyến tính liên tục
không ổn định với hệ động lực tuyến tính rời rạc không ổn định. Để minh họa, chúng
tôi áp dụng phương pháp mới này và các phương pháp trong [2, 3, 4, 5] cho hệ tuyến
tính không ổn định bậc 50.
- Chương 4 đề xuất một số phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính liên
tục ổn định tại lân cận một tần số hoặc một vài tần số. Trong nhiều trường hợp, việc
xấp xỉ hệ động lực tuyến tính trên toàn bộ tần số là không cần thiết. Bài toán đặt ra
là tìm một hệ động lực tuyến tính rút gọn xấp xỉ hệ động lực tuyến tính gốc tại một
tần số hoặc lân cận một vài tần số cho trước như trong [8, 9, 10]. Ý tưởng của phương
6


pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính ổn định được mở rộng để giải quyết bài toán này
gọi là các phương pháp chặt cân bằng trên lân cận một tần số như trong [8, 11, 1, 12].
Dựa vào việc nghiên cứu tính chất của phương pháp của Zhou trong [3] để rút gọn hệ
động lực tuyến tính không ổn định, chúng tôi đề xuất phương pháp mới rút gọn cho hệ
động lực tuyến tính ổn định tại lân cận một tần số bằng cách chuyển hệ này về miền
không ổn định tương ứng với tần số cần xấp xỉ. Sau đó áp dụng phương pháp trong
[3] cho hệ không ổn định này để được hệ rút gọn không ổn định. Cuối cùng, ta chuyển
hệ rút gọn không ổn định về miền ổn đinh ta được hệ động lực tuyến tính rút gọn cần
tìm. Phương pháp này cũng được mở rộng để rút gọn hệ động lực tuyến tính ổn định
tại lân cận một vài tần số cho trước.

6. Kết quả mới của luận án

Luận án được viết dựa trên hai bài báo [1] và [2] trong Danh mục công trình đã
công bố của Luận án. Các kết quả của Luận án đã được báo cáo một phần hoặc toàn
bộ tại:
- Hội thảo Điện tử viễn thông, Đo lường, Điều khiển, tháng 5-2013 tại Trường
Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên.
- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 8, tháng 8-2013 tại Nha Trang.
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, tháng 4-2014 tại Ba Vì, Hà
Nội.
- Hội thảo Toán học phối hợp giữa Trường Đại học Bách khoa Hà Nội với Trường
Đại học Heidelberg, tháng 3-2015.
- Seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
- Seminar Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà
Nội.
- Seminar Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.
Luận án đã đạt được một số kết quả sau đây:
-Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tôi đưa ra các so sánh cho bốn
phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương
pháp chặt cân bằng từng phần và phương pháp chặt cân bằng kết hợp với ánh xạ phân
tuyến tính.

7


- Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính không ổn định, chúng tôi đưa ra các phương
pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho các phương pháp này theo chuẩn H∞,β /h∞,α .
- Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận của một vài tần số
cho trước, chúng tôi đưa ra phương pháp mới, đồng thời đưa ra đánh giá sai số theo
chuẩn L∞,ω0 .

8


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung của chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức được sử dụng trong
các chương sau của Luận án. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số phép phân tích
ma trận và một số không gian hàm. Sau đó, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản
về hệ động lực tuyến tính và phát biểu bài toán rút gọn mô hình cho các hệ động lực
tuyến tính. Các kiến thức này được chúng tôi viết dựa trên các tài liệu [1, 8, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] trong danh mục Tài liệu tham khảo của Luận án.

1.1

Một số phép phân tích ma trận

Trong mục này, chúng tôi sẽ tóm lược một số phép phân tích ma trận được sử
dụng trong luận án.
Định nghĩa 1.1.1 ([13] Phân tích Cholesky). Cho A ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác
định dương. Phép phân tích Cholesky của ma trận A là cách phân tích ma trận A
thành tích của hai ma trận có dạng A = HHT , trong đó H là ma trận tam giác dưới
với các phần tử trên đường chéo chính của H dương.
Định nghĩa 1.1.2 ([13] Phân rã SVD). Cho ma trận A ∈ Rn×n . Phép phân rã SVD của
ma trận A là cách phân tích ma trận A thành tích của ba ma trận có dạng A = UΣVT ,
trong đó, U ∈ Rn×n và V ∈ Rn×n là các ma trận trực giao, và Σ ∈ Rn×n là ma trận
đường chéo. Các phần tử σi , i = 1, . . . , n nằm trên đường chéo của Σ gọi là các giá trị
kỳ dị của A. Các cột của ma trận U gọi là các vectơ kỳ dị trái của A. Các hàng của
ma trận V gọi là các vectơ kỳ dị phải của A. Tập các giá trị kỳ dị của A ký hiệu là
σ(A). Giá trị kỳ dị lớn nhất của A ký hiệu là σmax (A).

Nhận xét 1.1.3 ([13]).

(i) Ta luôn có thể xếp sao cho các giá trị kỳ dị σ1 , σ2 , . . . , σn

của A theo thứ tự giảm dần, tức là
σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn > 0.

(ii) Các giá trị kỳ dị σ1 , σ2 , . . . , σn chính là c˘an bậc hai các giá trị riêng của ma trận
A T A.

9


(iii) Các vectơ kỳ dị phải chính là các vectơ riêng của ma trận AT A, các vectơ kỳ
dị trái chính là các vectơ riêng của ma trận AAT .

1.2

Một số không gian hàm

Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số không gian hàm được sử dụng rộng
rãi trong Lý thuyết điều khiển (cụ thể, tài liệu [13] giới thiệu khá chi tiết về các không
gian này).
Không gian L2 [0, ∞) được định nghĩa như sau:
∞

L2 [0, ∞) :=

m×n

T race[F∗ (t)F(t)]dt < ∞

F(t) = 0, ∀t < 0 và

F:R→R

0

là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi
∞

T race[F∗ (t)G(t)]dt,

F, G :=

∀F, G ∈ L2 [0, ∞),

0

và chuẩn xác định bởi F

L2 [0,∞)

:=

F, F , ∀F ∈ L2 [0, ∞).

Không gian H2 được định nghĩa như sau:
∞

H2 =

F:C→C

m×n

T race[F∗ (jω)F(jω)]dω < ∞

F(s) giải tích ∀Re(s) > 0 và
−∞

là không gian Hilbert với tích vô hướng được cho bởi
F, G :=

∞

1
2π

và chuẩn xác định bởi F

T race[F∗ (jω)G(jω)]dω,

∀F, G ∈ H2 ,

−∞

H2

:=

F, F , ∀F ∈ H2 .

Không gian L∞ (j R) được định nghĩa như sau:
L∞ (j R) := F : C → Cm×n | ess supω∈R σmax [F(jω)] < ∞

là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi
F

L∞

:= ess supω∈R σmax [F(jω)].

Không gian H∞ được định nghĩa như sau:
H∞ := F ∈ L∞ (j R) | F giải tích trên nửa phải mặt phẳng phức

với chuẩn được tính theo công thức sau
F

H∞

= sup σmax [F(s)] = ess supω∈R σmax [F(jω)].
Re(s)>0

Nhận xét 1.2.1 ([13]).

(i) Nếu G(s) ∈ H∞ , U(s) ∈ H2 thì G(s)U(s) ∈ H2 .

(ii) L2 [0, ∞) và H2 đẳng cấu qua phép biến đổi Laplace.

10


1.3

Hệ động lực tuyến tính liên tục

1.3.1

Hệ động lực tuyến tính liên tục

Hệ động lực tuyến tính liên tục được mô tả bởi các phương trình vi phân tuyến
tính hệ số hằng như sau:
˙
x(t)
= Ax(t) + Bu(t),

x(0) = 0,

y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.1)
(1.2)

trong đó t ∈ [0, ∞) và
x(t) ∈ Rn được gọi là trạng thái của hệ,
u(t) ∈ Rm được gọi là đầu vào của hệ,
y(t) ∈ Rp được gọi là đầu ra của hệ,

các ma trận hệ số (A, B, C, D) ∈ Rn×n × Rn×m × Rp×n × Rp×m , được gọi là

một biểu diễn không gian trạng thái của hệ.
Hệ động lực tuyến tính bậc n với m đầu vào và p đầu ra được minh hoạ bởi Hình 1.1.

Hình 1.1: Minh họa hệ động lực tuyến tính được biểu diễn bởi các biến trạng thái.

Một hệ động lực tuyến tính với một đầu vào (m = 1) và một đầu ra (p = 1) được
ký hiệu là hệ SISO (single-input single-output), ngược lại hệ được ký hiệu là MIMO
(multi-input multi-output). Hệ động lực tuyến tính gọi là đối xứng nếu AT = A, BT =
C.

Hệ động lực tuyến tính (1.1)-(1.2) gọi là ổn định tiệm cận hay ổn định nếu ma
trận A là ma trận Hurwitz, tức là các giá trị riêng của ma trận A nằm bên trái mặt
phẳng phức. Tập hợp các hệ động lực tuyến tính ổn định được ký hiệu là C .
11


Từ đây về sau, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ hệ tuyến tính thay cho hệ động lực
tuyến tính.
Công thức nghiệm của hệ (1.1)-(1.2) (tức là công thức tính toán biến trạng thái
x(t) và biến đầu ra y(t) khi biết biến đầu vào u(t)) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0

được xác định bởi công thức sau khi t ≥ t0 :
t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ,

x(t) = eA(t−t0 ) x0 +
t0

t

y(t) = CeA(t−t0 ) x0 +

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t).
t0

Trong trường hợp điều kiện ban đầu x(0) = 0, dựa vào các công thức trên, x(t) và
y(t) được xác định theo công thức sau khi t ≥ 0:
t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ,

x(t) =
0
t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t).

y(t) =
0

Trong trường hợp hệ (1.1)-(1.2) ổn định, tức là ma trận A có các giá trị riêng
nằm bên trái mặt phẳng phức, theo Định lý 7.6.2 trong [14] ta có: nếu biến đầu vào
u(·) ∈ L2 [0, ∞) thì biến trạng thái và biến đầu ra x(·), y(·) ∈ L2 [0, ∞).

1.3.2

Hàm truyền của hệ tuyến tính liên tục

Xét hệ tuyến tính (1.1)-(1.2) với u(·), y(·) ∈ L2 [0, ∞). Thực hiện phép biến đổi

Laplace cho các phương trình (1.1), (1.2) và gọi X(s), U (s) và Y (s) tương ứng là ảnh
của x(t), u(t) và y(t) qua phép biến đổi Laplace ta có
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU (s),
Y (s) = CX(s) + DU (s).

Do x(0) = 0 nên ta có
X(s) = (sI − A)−1 BU (s),

(1.3)

Y (s) = CX(s) + DU (s).

(1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra
Y (s) = G(s)U (s),

12