Phương pháp sáng tác một số bài toán phép biến hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Mã số:…………………………………..
1. Tên sáng kiến:

“Phương pháp sáng tác một số bài toán phép biến hình trong
tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học toán ở trường THPT
3. Mô tả bản chất sáng kiến:
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
- Từ năm 2017, theo phương án của Bộ GD – ĐT, đề thi THPT QG môn toán
tiến hành theo hình thức trắc nghiệm khách quan, nội dung thi nằm trong chương
trình lớp 12 cấp THPT. Năm học này (2017-2018), nội dung thi nằm trong chương
trình lớp 11 và lớp 12. Từ năm học 2018-2019, nội dung thi nằm trong chương trình
cấp THPT. Hơn nữa, đề thi bao gồm các câu hỏi ở cấp độ cơ bản, phục vụ mục đích
xét công nhận tốt nghiệp THPT và các câu hỏi phân loại phục vụ mục đích xét tuyển
ĐH-CĐ.
- Trong bài Dạy và học thế nào để thi trắc nghiệm Toán (đăng trên Báo
Người Lao Động – Tháng 10/ 2016), TS Trần Nam Dũng (ĐH Khoa học Tự nhiên –
ĐH Quốc gia TP. HCM) có viết: “Sẽ là sai lầm nếu nói rằng cách thi không ảnh
hưởng cách học...” . Theo đó, để làm tốt đề thi trắc nghiệm Toán, thí sinh cần phải
chú ý nắm chắc kiến thức lí thuyết, các công thức, phải học đều hơn toàn bộ chương
trình và rèn kĩ năng đáp ứng tốt các hình thức kiểm tra (trắc nghiệm, tự luận và vấn
đáp). Về phía Thầy Cô, trong quá trình hình thành kiến thức cho học sinh, cần phải có
những bài giảng lí thuyết kĩ càng giúp cho học sinh ghi nhớ cốt lõi của vấn đề. Bên
cạnh đó, việc xây dựng ngân hàng đề trắc nghiệm có chất lượng chuẩn bị cho lộ
trình dạy và học lâu dài là điều thiết yếu và cực kì quan trọng. Tuy nhiên, việc xây
dựng một đề thi trắc nghiệm có chất lượng thực sự không đơn giản, phải tránh sa đà
vào những định hướng mang tính chủ quan của người ra đề, gây bất lợi cho học sinh.

Việc ra đề kiểm tra bằng những hình thức khác nhau cũng giúp cho người Thầy đánh
giá được học sinh có hiểu được bản chất vấn đề hay không. Đồng thời phải lưu ý cho
học sinh việc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) một cách thông minh và tỉnh táo
nhưng không lạm dụng và tuyệt đối hóa năng lực của nó, bởi lẽ MTCT khó làm việc
với tham số và sẽ không hỗ trợ nhiều cho những bài toán định tính. Nếu học sinh
không nắm chắc bản chất vấn đề mà chỉ lệ thuộc vào MTCT thì đôi khi việc giải
quyết bài toán trở nên nặng nề, phức tạp và cũng không phù hợp thời gian cho phép.
1


- Với những lí do trên, bộ môn toán nói chung và phân môn hình học nói
riêng phải có lộ trình chuẩn bị chu đáo và cẩn thận. Riêng nội dung Phép biến
hình trong mặt phẳng, học sinh THPT được học ở đầu chương trình Hình học lớp
11, trên nền tảng đã học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương trình Hình
học lớp 10. Vì thế, nếu không hướng dẫn học sinh nắm chắc kiến thức căn bản từ khi
mới tiếp cận thì các em không thể nào đủ sức giải thành công những câu ở mức độ
vận dụng cao trong thời gian tương đối ngắn (trung bình 1,8 phút/ câu). Do vậy, việc
ra đề trắc nghiệm liên quan đến Phép biến hình trong tọa độ phẳng cho các em học
sinh ôn thi THPT QG là một việc làm tất yếu và thường xuyên. Có như thế, người
Thầy mới tích lũy được hệ thống câu hỏi ở mức độ vận dụng cao nhằm mục đích vừa
kiểm tra được kĩ năng tư duy hình học của học sinh vừa đáp ứng yêu cầu thời gian
làm bài trắc nghiệm cùng với sự hỗ trợ hợp lí của MTCT.
3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
* Mục đích của giải pháp:
Việc định hướng xây dựng một đề thi trắc nghiệm có liên quan phép biến
hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao cần phải có sự đầu
tư đúng mức về nội dung và sự gia công tương xứng về hình thức (các câu hỏi cần
phải kiểm tra được một định nghĩa hoặc một tính chất hình học đặc trưng của phép
biến hình nào đó ứng một hình ảnh thực sự gây ấn tượng cho học sinh trong quá trình
tích lũy kiến thức). Vì thế, SKKN này giúp cho giáo viên dạy toán không ngừng

nghiên cứu sâu về chuyên môn và phương pháp giảng dạy, làm cho công việc soạn
giảng trở nên nhẹ nhàng và thú vị qua từng năm học, nhằm góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học toán cấp THPT. Cụ thể:
- Chứng tỏ sự đam mê nghiên cứu chuyên môn của người thầy, đồng thời giúp
cho học sinh thêm yêu thích bộ môn mình giảng dạy.
- Học sinh được trang bị kiến thức nền vững vàng, được rèn kĩ năng làm bài
với nhiều hình thức kiểm tra và dễ dàng giải quyết thành công các bài toán nâng cao.
- Quá trình dạy học là bao gồm quá trình tự học và quá trình tương tác tích cực
với người học. Dạy và học đều phải không ngừng tích lũy kinh nghiệm, khám phá
kiến thức và phương pháp mới, đặc biệt đối với bộ môn toán.
- Nhiệm vụ của người Thầy không chỉ là sưu tầm những bài toán có sẵn cho
học sinh tham khảo mà còn phải không ngừng nghiên cứu sáng tác các bài toán mới
vừa phát triển năng lực đọc hiểu, năng lực tư duy vừa phát huy năng lực sử dụng
MTCT cho học sinh. Như thế mới góp phần cho việc dạy và học thật sự hiệu quả.
- SKKN này không chỉ vận dụng những định nghĩa, tính chất hình học thuần
túy mà học sinh được học ở bậc THPT mà còn chú ý khai thác những tính chất hình
học đặc trưng mà các em được lĩnh hội từ cấp THCS.
* Tính mới của giải pháp:
- SKKN này giới thiệu một số câu hỏi phép biến hình trong tọa độ phẳng
hình thức trắc nghiệm khách quan mức độ vận dụng cao qua việc ứng dụng một
2


số định nghĩa, tính chất của phép biến hình, đồng thời kết hợp một số tính chất hình
học phẳng thuần túy đặc trưng mà học sinh được học từ cấp THCS đến bậc THPT.
Cụ thể là:
+ Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình: Phép tịnh tiến; Phép đối
xứng trục; Phép đối xứng tâm; Phép quay, Phép vị tự…
+ Phối hợp các phép biến hình (Tích các phép biến hình)
+ Biểu thức tọa độ của các phép biến hình

+ Các tính chất của hình học phẳng thuần túy: song song, vuông góc, đối
xứng…
+ Phương trình của các đường trong tọa độ phẳng: Đường thẳng; Đường
tròn; Các đường Conic (phương trình chính tắc).
- SKKN này giúp người dạy và người học có cái nhìn bao quát và hệ thống các
kiến thức chuyên sâu của phép biến hình trong tọa độ phẳng, giúp cho học sinh
cảm nhận thêm vẻ đẹp của hình học trong toán học. Từ đó khơi dậy lòng đam mê học
tập của học sinh đối với bộ môn toán.
- SKKN này đã trình bày đầy đủ và chặt chẽ các lời giải chi tiết tương ứng
cho từng câu trắc nghiệm mà không nặng nề về tính toán. Hơn nữa, SKKN còn
giới thiệu một số cách giải đặc biệt qua việc vận dụng các kĩ thuật, tính chất của hình
học thuần túy, giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhẹ nhàng và thú vị.
- SKKN này còn hướng đẫn học sinh sử dụng máy tính CASIO một cách hợp
lí ở một vài công đoạn, chứ không hoàn toàn lệ thuộc vào MTCT, không lạm dụng
và tuyệt đối hóa năng lực của MTCT. Điều này giúp cho người dạy và người học vừa
phát huy tư duy hình học vừa ứng dụng MTCT một cách thông minh và khéo léo.
- SKKN này có sự ứng dụng các phần mềm toán GeoGebra và Geometer’s
Sketchpad minh họa các hình vẽ tương đối chính xác nhằm hỗ trợ giải quyết một
cách khoa học các vấn đề trọng tâm được đặt ra, qua việc trình bày lời giải trực quan
và gây được ấn tượng sâu sắc cho học sinh. Từ đó học sinh dễ dàng ghi nhớ và tái
hiện lại kiến thức khi cần thiết.
- SKKN này có sự ứng dụng phần mềm SnagIt hỗ trợ cho công việc soạn giảng
được nhẹ nhàng và bài soạn mang tính thẩm mỹ cao.
- Thực tế, SKKN này đã áp dụng tính năng mạnh mẽ của phần mềm Maple 2017
minh họa việc sáng tác một số dạng câu trắc nghiệm phép biến hình trong tọa độ
phẳng mức độ vận dụng cao, đặc biệt với các bài trong chương trình toán THPT hiện
hành (THPT và THPT Chuyên). Từ đó người dạy có thể ra hàng loạt đề bài với
mức độ tương đồng hoặc nâng cao nhằm kiểm tra toàn diện năng lực học toán của
học sinh THPT.
Vì khuôn khổ bài viết nên chúng tôi mạn phép giới thiệu hai nội dung cụ thể của

SKKN này như sau:
3


Phần 1: Giới thiệu một số câu phép biến hình trong tọa độ phẳng
hình thức trắc nghiệm vận dụng cao
Câu 1. Biết rằng phép tịnh tiến Tu biến đường tròn (C ) : ( x  m)2  ( y  2)2  5 thành đường

tròn C ' : x 2  y 2  6 x  2(m  2)y  m 2  12  0. Xác định u.




A. u   2; 1
B. u   2; 1
C. u   2;1
D. u   2;1
GỢI Ý GIẢI
 (C ) có tâm I (m;2) , bán kính R  5 ; (C ') có tâm I '(3; m  2) , bán kính R '  1  4m ,

 

 

 Do C '  Tu C nên R '  R  5  1  4m  m  1 (thỏa m 


1
). Vậy u   2;1 .
4

Câu 2. Cho parabol ( P ) : y  x 2  3 x  5. Tịnh tiến (P ) qua phải hai đơn vị rồi tịnh tiến
xuống dưới một đơn vị được ảnh là (P ') . Tìm phương trình của (P ') .
A. y  x 2  x  8

B. y  x 2  7 x  14

C. y  x 2  7 x  14

D. y  x 2  7 x  13

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA







 Ta có vectơ tịnh tiến là u  2; 1 .

x '  x  2

 x  x ' 2

. Thay vào pt (P ) ta được
y '  y  1
 y  y ' 1

y '  x '2  7 x ' 14. Vậy  P ' : y  x 2  7 x  14.

 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là 

4


CÁCH KHÁC:
Áp dụng Định lí trang 43, sách GK Đại số 10 nâng cao, ta có pt (P ') cần tìm là:
y  ( x  2)2  3( x  2)  5  1  y  x 2  7 x  14.
Nhận xét:
Bài toán trên thực chất là: Tìm ảnh của một parabol qua hợp của hai phép
tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ. Cách giải thứ hai ưu thế hơn.

Câu 3. Cho hai đường thẳng (d ) : 2 x  3y  3  0,(d ') : 2 x  3y  5  0 . Tìm tọa độ của u có
giá vuông góc với đường thẳng (d ) để (d ') là ảnh của (d ) qua Tu .
  16 24 
  16 24 
  16 24 
  16 24 
A. u  ;  
B. u   ; 
C. u  ; 
D. u   ;  
 13 13 
 13 13 
 13 13 
 13 13 

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA



 



 

 Gọi u  a; b ; u ( d )  3;2 là vectơ chỉ phương của (d ).

 


 Vì u có giá vuông góc với đường thẳng (d ) nên u  u( d )  u.u( d )  0  3a  2 b  0 (1)

 

 

 

x '  x  a

, M  x; y  , M '( x '; y ')
y '  y  b
2 x  3y  3
 M  (d )  2 x  3 y  3  0



. Suy ra 2a  3b  8 (2)
 M '  (d ')  2 x ' 3y ' 5  0
2  x  a   3( y  b)  5  0

16
  16 24 
 a  13
 Giải hệ gồm (1) và (2) được 
. Vậy u  ;   .
 13 13 
 b   24

13
 Ta có d '  Tu d . Gọi M '  Tu M  

5



Câu 4. Cho hai đường thẳng (d ) : 3 x  5y  3  0,(d ') : 3 x  5y  24  0 . Tìm tọa độ của u

biết u  13 và Tu (d )  (d ').

   29 54 
u   ; 
A. 
 17 17 


u  2;3
 


   29 54 
u    ; 
B. 
 17 17 

u  2;3
 


   29 54 
u    ; 
C. 
 17 17 

u  2;3
 


GỢI Ý GIẢI


 Gọi u   a; b  . Theo đề u  13  a 2  b 2  13

   29 54 
u   ; 
D. 

 17 17 

u  2;3
 


(1)

 M ( x; y )  (d )  3 x  5y  3  0  3 x  5y  3 (*) ;

x '  x  a
M '( x '; y ')  Tu ( M )  
.
y '  y  b
 M '  (d ')  3x ' 5y ' 24  0  3( x  a)  5( y  b)  24  0 (2)
5b  21
 Thay (*) vào (2) ta được a 
(3)
2

54
29
b
a

 Giải hệ (1), (3), được
17
17 .

 b  3  a  2

Chú ý: Dùng máy tính CASIO hỗ trợ giải hệ phương trình trên.
Nhận xét:
Lời giải trên kết hợp khéo léo giữa biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và độ
dài của vectơ tịnh tiến.
Câu 5. Cho hai đường thẳng (d ) : x  2 y  2  0,(d ') : x  2 y  8  0. Phép đối xứng tâm I
biến  d  thành  d ' và biến trục Ox thành chính nó. Tìm I.
A. I (3; 0)

B. I (3;0)

C. I (0;3)

D. I (0; 3)

GỢI Ý GIẢI
 x '  2a  x

 

 Gọi I a; b . M ( x; y )  (d )  x  2 y  2 (1) ; M '( x '; y ')  DI ( M )  

 y '  2b  y

;

 M '  (d ')  x ' 2 y ' 8  0  ( x  2 y )  2a  4 b  8  0 (2). Từ (1), (2) được: a  2 b  3
 Để trục Ox biến thành chính nó thì tâm đối xứng phải thuộc trục Ox, suy ra b  0

 a  2b  3

 Từ đó có hệ 

b  0

a  3

. Vậy I (3; 0) .
b  0

Nhận xét:
Lời giải trên kết hợp giữa biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm và chú ý
tâm đối xứng cần tìm phải thuộc trục Ox.

6


Câu 6. Cho hai đường thẳng (d ) : 2 x  y  1  0, (l) : 3 x  y  9  0 và hai điểm A(2; 4),
B(1;1) . Biết rằng M  (d ), N  (l) thỏa tứ giác ABMN là hình bình hành. Tìm tọa độ M .
A. M (1;3)
B. M (1; 1)
C. M (2;5)
D. M (3; 7)
GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 

   

 d ; d ' : 2 x  y  6  0.
 Ta có d '  T
BA





 

 M . Do đó N là giao điểm của
 ABMN là hình bình hành  BA  MN . Suy ra N  T
BA

 l  và  d ' .
3 x  9 y  9
x  3
. Suy ra N (3;0) , M (2;5).

2 x  y  6
y  0

 Tọa độ N là nghiệm của hệ: 

Chú ý: Dùng máy tính CASIO hỗ trợ giải hệ phương trình trên.
Nhận xét:
Trong lời giải trên đã sử dụng một dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Một
cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau) thông qua ngôn ngữ vectơ.
Câu 7. Tìm phương trình đường thẳng (d ') là ảnh của đường thẳng (d ) : 2 x  y  3  0 qua


việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo u  (1;2) và phép đối xứng tâm I (2;1).
A. 2 x  y  5  0
B. 2 x  y  5  0
C. 2 x  y  5  0
D. 2 x  y  3  0

7


GỢI Ý GIẢI

 

  

 

 Gọi d1  Tu d ; d '  DI d1 , M ( x; y )  (d ), M1 ( x1; y1 )  (d1 ), M '( x '; y ')  ( d ')

 x1  x  1
 x '  4  x1
(1) ; 
(2) . Từ (1) và (2) có
 y1  y  2
 y '  2  y1

 Ta có 

x  3  x '
.


 y  4  y '

 Thay vào pt (d ) ta được 2 x ' y ' 5  0. Vậy (d ') : 2 x  y  5  0.

Nhận xét:
Bài toán trên thực chất là: Tìm ảnh của một đường thẳng qua hợp của hai
phép biến hình bằng phương pháp tọa độ.
Câu 8. Cho hai parabol  P  : y  ax 2 ,  P ' : y  bx 2 , a  b. Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến  P 
thành  P ' . Tìm k.
A. k  

a
b

B. k  

b
a

C. k 

b
a

D. k 

a
b

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 

 

 Gọi P '  V(O ,k ) P ; M ( x; y )  ( P ), M '( x '; y ')  ( P ') .

 x '  kx

2
a
. Suy ra b  kx   kax 2  k  .
b
 y '  ky

 Ta có 

Nhận xét:
Bài toán trên thực chất là: Tìm tỉ số vị tự của hai dạng parabol cho trước dựa
vào công thức tọa độ của phép vị tự.

8


Câu 9. Phép biến hình F biến M ( x; y ) thành M '( x '; y ') xác định bởi biểu thức tọa độ sau:

 x '  3x  4

. Hỏi F là phép biến hình nào sau đây?

 y '  3y  2
A. Phép tịnh tiến
B. Phép quay
C. Phép vị tự

D.Phép đối xứng tâm

GỢI Ý GIẢI

 

x '  x

3 x  4  x
x  2
.


y '  y
3y  2  y
y  1

 

 Gọi J  F J ; M ( x; y )  M '( x '; y ') . Ta có 

 Vậy J (2;1) là tâm vị tự.















 Ta có JM ( x  2; y  1), JM '( x ' 2; y ' 1) hay JM ' 3 x  6;3y  3 . Suy ra JM '  3JM .
 Vậy F là phép vị tự tâm J tỉ số k  3.

Nhận xét:
Bài toán trên thực chất là: Nhận dạng phép biến hình theo công thức tọa độ.
2

2

Câu 10. Cho đường tròn C '  :  x  4    y  1  9 . Tìm phương trình đường tròn C 
sao cho  C ' là ảnh của C  qua phép biến hình ở Câu 9.
2

2

A. x 2   y  1  9

2

B. x 2   y  1  9

C. x 2   y  1  1

2

D. x 2   y  1  1

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 

 Ta có C ' : x ' 4

2

   y ' 1

2

2

2

 x '  3x  4

 9 . Thay 
vào phương trình C ' ta được:
 y '  3y  2

3x  4  4   3y  2  1  9  x   y  1
 Vậy (C ) : x   y  1  1 .
2

2

2

2

9

 1.


Phần 2: Dùng phần mềm Maple 2017 sáng tác một số bài toán phép
biến hình trong tọa độ phẳng
2.1. Giới thiệu một phần giao diện Maple 2017 và chọn chương trình làm việc

10


2.2. Một vài ví dụ minh họa cho việc sáng tác các bài toán phép biến hình
trong tọa độ phẳng bằng hình thức trắc nghiệm khách quan.
Một số chức năng trên thanh công cụ:

Thực hiện lệnh như sau:

Chọn: Expreession 

, nhập biểu thức …, nhấn phím Enter

Một số ví dụ: (Trích 10 câu ở Phần 1)
Câu 1. Biết rằng phép tịnh tiến Tu biến đường tròn (C ) : ( x  m)2  ( y  2)2  5 thành đường

tròn C ' : x 2  y 2  6 x  2(m  2)y  m 2  12  0. Xác định u.




A. u   2; 1
B. u   2; 1
C. u   2;1
D. u   2;1

11


- Chẳng hạn, ta dùng phép thế, khai triển (expand), sắp xếp (sort) như sau có
thể sáng tác vô hạn các bài toán tương đồng Câu 1.

- Ta cũng có thể dùng phép thế tham số m:

- Hoặc dùng phép thế đồng thời tham số m và một hoặc các ẩn x, y:

Minh họa một bước sáng tác đề trên giao diện Maple 2017:

12


Câu 2. Cho parabol ( P ) : y  x 2  3 x  5. Tịnh tiến (P ) qua phải hai đơn vị rồi tịnh tiến
xuống dưới một đơn vị được ảnh là (P ') . Tìm phương trình của (P ') .
A. y  x 2  x  8

B. y  x 2  7 x  14

C. y  x 2  7 x  14

D. y  x 2  7 x  13

- Dùng Maple 2017 nhanh chóng tìm kiểm tra đáp án bài toán:

- Dùng phép thế, khai triển như sau ta có thể sáng tác vô hạn các bài toán
tương đồng Câu 2.


Câu 3. Cho hai đường thẳng (d ) : 2 x  3y  3  0,(d ') : 2 x  3y  5  0 . Tìm tọa độ của u có
giá vuông góc với đường thẳng (d ) để (d ') là ảnh của (d ) qua Tu .
  16 24 
  16 24 
  16 24 
  16 24 
A. u  ;  
B. u   ; 
C. u  ; 
D. u   ;  

 13 13 
 13 13 
 13 13 
 13 13 

- Sáng tác vô hạn các bài toán dạng Câu 3:

13


Câu 5. Cho hai đường thẳng (d ) : x  2 y  2  0,(d ') : x  2 y  8  0. Phép đối xứng tâm I
biến  d  thành  d ' và biến trục Ox thành chính nó. Tìm I.
A. I (3; 0)

B. I (3;0)

C. I (0;3)

D. I (0; 3)

- Sáng tác vô hạn các bài toán dạng Câu 5 và tương tự hóa:
+ Nếu muốn giữ nguyên kết quả tâm đối xứng, thì ta thay đồng thời ở
x  x  

  1
; , . Chẳng hạn với 
, ta được:
y  y  
  2

hai pt (d ),(d ') bởi công thức 

+ Nếu muốn giữ nguyên phương trình (d ) , thay tâm đối xứng I (1;3) thì ta
x  2  x

tìm phương trình (d ') bởi công thức 

y  6  y

2

2

Câu 10. Cho đường tròn C '  :  x  4    y  1  9 . Tìm phương trình đường tròn C 
sao cho  C ' là ảnh của C  qua phép biến hình ở Câu 9.
2

A. x 2   y  1  9

2

B. x 2   y  1  9

2

C. x 2   y  1  1

- Kiểm tra kết quả Câu 10:

14

2

D. x 2   y  1  1


- Sáng tác vô hạn các bài toán dạng Câu 10:

Bằng các câu lệnh và thao tác như ở các ví dụ trên, đối với các bài toán tương
tự ta chỉ cần nhập các dữ liệu vào phần mềm Maple 2017 rồi nhấn Enter sẽ có ngay
kết quả. Từ đó, người dạy dễ dàng sáng tác vô hạn các dạng bài tập tương đồng hoặc
tổng hợp, nâng cao (tự luận hoặc trắc nghiệm) cho học sinh rèn luyện. Đó là một
trong những ưu điểm tuyệt vời của việc ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng
dạy bộ môn mình yêu thích.
2.3. Một số bài tập tự luyện
Các bài tập dưới đây đều có thể thiết kế dưới hình thức trắc nghiệm
khách quan hoặc trắc nghiệm tự luận.
Bài 1. Cho điểm M (3;4) và đường tròn (C) : x2  y2  4x  2 y  4  0 . Từ M kẻ các tiếp
tuyến MA, MB đến (C ) (A, B là các tiếp điểm).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Tìm ảnh (C ') của đường tròn (C ) qua phép đối xứng trục là đường thẳng AB.

HÌNH VẼ MINH HỌA

15


Bài 2. Cho hypebol (H) có tiêu cự bằng 10, một đường tiệm cận là (d ) : 3 x  4 y  0 .
a) Viết phương trình chính tắc của (H).


b) Tìm ảnh ( H ') của ( H ) qua phép tịnh tiến Tv với v  1; 2 .

HÌNH VẼ MINH HỌA

x 2 y2
x 2 y2

 1,  E2  : 
 1.
16 1
9
4
a) Định tâm sai, tiêu điểm, đỉnh, tiêu cự của  E1  và  E2  .

Bài 3. Cho elip

 E1  :

b) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của  E1  và  E2  .
c) Tìm phép biến hình F biến  E2  thành  E1  .

HÌNH VẼ MINH HỌA

Bài 4. Cho parabol ( P ) : y 2  4 x và hai điểm A(0; 4), B(6;4).
a) Tìm điểm C trên (P ) sao cho tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm ảnh (P ') của (P ) qua phép vị tự có tâm là tiêu điểm F của (P ) , tỉ số vị tự
bằng độ dài đoạn AB.

16

HÌNH VẼ MINH HỌA

7 3
Bài 5. Cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  . Điểm M (6;6) thuộc cạnh AB, điểm
 2 2
N (8; 2) thuộc cạnh BC. Phương trình cạnh AB có dạng ax  by  c  0, a 2  b 2  0.
a) Chứng minh rằng: a  0 hoặc 2a  3b  0 .
b) Gọi G là trọng tâm tam giác IMN. Tìm ảnh G ' của G qua phép quay tâm I, góc
quay 90 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN qua phép đối xứng tâm O.

HÌNH VẼ MINH HỌA

Bằn g tư duy tự luận kết hợp với ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy đã
giúp cho công việc soạn giảng của giáo viên trở nên nhẹ nhàng và thú vị. Giáo viên thường
xuyên tích lũy và xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm có chất lượng nhằm phục vụ tốt
hơn cho công tác giảng dạy của mình. Đồng thời, học sinh được trải nghiệm hệ thống câu
hỏi đa dạng nhằm rèn tốt hơn kĩ năng làm bài trắc nghiệm. Có như thế, người dạy và người
học ngày thêm tin yêu và say mê nghiên cứu bộ môn.

17


LỜI KẾT
- SKKN này đã tập hợp và giới thiệu các bài toán trắc nghiệm (được sáng tác
hoặc trích từ các đề thi thử, tạp chí toán học và tuổi trẻ, diễn đàn toán học...) nhằm
minh họa những ý tưởng mà chúng tôi muốn gửi gắm đến quý đồng nghiệp và các em
học sinh về “Phương pháp sáng tác một số bài toán phép biến hình trong tọa độ
phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao”. Đặc biệt, ngoài việc hướng dẫn lời

giải chi tiết, tất cả những câu trắc nghiệm đều chú ý nêu bật được bản chất hình học
của từng vấn đề mà chưa được các tài liệu trước đây khai thác ở mức độ chuyên sâu
như đã nói trên.
* Bản chất của giải pháp:
SKKN này góp phần tác động hiệu quả đến nhận thức về phương pháp dạy và
học toán ở trường THPT. Cụ thể:
- SKKN này giúp học sinh rèn tốt hơn kĩ năng phát huy tính tích cực, sáng tạo
qua việc học và làm bài kiểm tra theo nhiều hình thức, đặc biệt là đối với trắc nghiệm
khách quan.
- SKKN cũng chỉ ra cho HS thấy được ưu điểm của từng lời giải trong mỗi bài
minh họa, kết hợp linh hoạt giữa tư duy hình học và ứng dụng tính năng của MTCT.
- SKKN này còn là lời nhắc nhở thiết thực cho giáo viên và học sinh không
ngừng nghiên cứu sâu chuyên môn trên nền kiến thức vững vàng bộ môn toán, góp
phần làm cho tiết học sinh động và thú vị hơn.
- SKKN này khẳng định thêm tính năng vẽ đồ thị của phần mềm rất thông
dụng GeoGebra và Geometer’s Sketchpad, vừa cung cấp nhiều công cụ trực quan
vừa hỗ trợ phát huy tư duy sáng tạo thông qua các gói lệnh tự học, tự nghiên cứu toán
THPT.
- SKKN này làm nền tảng xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận
dụng cao trong tọa độ phẳng với sự hỗ trợ tuyệt vời của phần mềm Maple 2017.
Điều cốt yếu trong việc cải tiến này là mở ra cái nhìn lạc quan cho người dạy
và người học toán. Đó là một trong những vẻ đẹp muôn màu của toán học.
3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:
- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường
trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 10, lớp 11 học chuyên sâu,
lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia kể từ năm học này. Đặc biệt, nội dung SKKN này được
dùng làm tài liệu giảng dạy cho HS nhằm giải quyết những câu phân loại trong đề thi.
- Các anh chị đồng nghiệp có thể phát huy hiệu quả của SKKN này để nghiên
cứu, bổ sung kinh nghiệm giảng dạy và ra đề toán ở mức độ nâng cao.
3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng

giải pháp:
- SKKN đã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua quá trình rèn luyện và thực tế bài
kiểm tra của học sinh, khi gặp bài toán trắc nghiệm phép biến hình trong tọa độ
phẳng, hơn 90% các em khối lớp 11 và 12 đã chọn kết quả chính xác. Điều này
chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ năng phát huy tính tích cực, sáng
18


tạo và khai thác triệt để các tính chất hình học của bài toán, thể hiện tốt tư duy hình
học và kĩ năng sử dụng MTCT trong từng lời giải. Các em thực sự vững vàng khi đối
mặt các bài kiểm tra nói chung và các bài trắc nghiệm nói riêng.
- Học sinh được trang bị kiến thức sâu rộng, có nhiều trải nghiệm tình huống khác
nhau, có khả năng phân tích và dự đoán, khả năng sáng tạo và tư duy độc lập.
- Sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học
sinh một cách hệ thống một số ví dụ minh họa “Một số bài toán phép biến hình
trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao”. Đồng thời, còn giúp
cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán, đặc biệt là hình học. Từ đó học sinh có cái
nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các bài phép biến hình nói riêng và hình học
nói chung.
- Việc ứng dụng các phần mềm MathType, GeoGebra, Geometer’s Sketchpad,
Maple 2017, SnagIt để sáng tác các đề toán và vẽ hình minh họa thật sự đã mang lại
hiệu quả đáng kể. Nhờ đó, GV nhanh chóng có trong tay một lượng bài tập phong
phú với mức độ khác nhau hay tương đồng, có thể tổ chức cho HS kiểm tra nhiều mã
đề khác nhau cùng một lúc với chất lượng đề tương đương. Vì vậy đảm bảo việc đánh
giá khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học của HS một cách khách quan và
công bằng. Bên cạnh đó, các hình vẽ chính xác là những gợi ý, định hướng tốt giúp
người làm toán nhanh chóng giải quyết vấn đề bài toán đặt ra hoặc kiểm chứng tính
đúng đắn của các lời giải.
- Hơn hết, SKKN này là một minh chứng thực tế cho việc giáo viên làm tốt nhiệm
vụ thiết yếu của mình qua mỗi tiết dạy là thường xuyên rèn cho học sinh kĩ năng tiếp

cận bài toán, khai thác tính chất hình học đặc trưng và kết hợp kĩ năng sử dụng
MTCT. SKKN này đã hệ thống tương đối đầy đủ và minh họa tiêu biểu các bài toán
phép biến hình trắc nghiệm mức độ vận dụng cao trong tọa độ phẳng, mang dáng dấp
các tính chất hình học thuần túy và khai thác triệt để các tính chất này làm chìa khóa
mở đường cho từng bài toán. Đặc biệt, giáo viên đã kết hợp một cách khoa học giữa
công nghệ thông tin và tư duy sáng tạo của người thầy để sáng tác các đề toán mới.
Có như thế, mới đáp ứng được chiến lược giáo dục của Bộ Giáo dục - Đào tạo là từng
bước đổi mới nội dung, chương trình và phương pháp giảng dạy, trong đó một khâu
then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn luyện kĩ năng tự học, tự
thích ứng của người làm toán. Có thể nói, SKKN này là một định hướng tất yếu cho
người dạy và học toán không ngừng phát triển tư duy với sự hỗ trợ tích cực của các
phần mềm toán học.
Thành phố Bến Tre, ngày 16/ 03/ 2018
Người viết

Võ Sĩ Hóa

Dương Thị Xuân An
19


MỤC LỤC
1. Phần mở đầu

Trang 1

2. Phần nội dung

4

Phần 1: Giới thiệu một số câu phép biến hình trong tọa độ
phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao
4
Phần 2: Dùng phần mềm Maple 2017 sáng tác một số bài toán
phép biến hình trong tọa độ phẳng
10
2.1. Giới thiệu một phần giao diện Maple 2017 và chọn chương trình
làm việc
10
2.2. Một vài ví dụ minh họa cho việc sáng tác các bài toán phép biến
hình trong tọa độ phẳng bằng hình thức trắc nghiệm khách quan
11
2.3. Một số bài tập tự luyện
15

3. Phần kết luận

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
2. Phép biến hình trong mặt phẳng, Đỗ Thanh Sơn, Nhà xuất bản Giáo dục
3. Một số tài liệu trên mạng Internet
4. Martha L.Abell and James P.Braselton, Maple by Example tird Edition, The
United States of America.
5. M.B.Monagan K.O.Geddes K.M. Heal G.Labahn S.M.Voroetter
J.McCarron P.DeMarco (2007), Maple Introductory Programming Guide,
Canada.

20