Giải quyết một số khó khăn của học sinh khi học chương II đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số : ..............................................
1. Tên sáng kiến: Giải quyết một số khó khăn của học sinh khi học chương
II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán 11 ở trường THPT.
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Hình học không gian đối với học sinh THPT là một môn học khó, việc biểu
diễn các hình trong không gian có những nét thấy, nét khuất gây cho học sinh cảm
giác nó vô cùng trừu tượng và khó hiểu; phần lớn học sinh trong các lớp mà chúng
tôi giảng dạy đều có học lực trung bình, yếu nên ít chịu khó học tập và bị mất kiến
thức cơ bản trong hình học phẳng ở THCS;
Trong giảng dạy chương này, bản thân chúng tôi thường ít có sự phối hợp
tốt từ phía học sinh, giáo viên chỉ làm việc một chiều còn học sinh thì chỉ biết ghi
chép và hiểu theo từng bài, các em không định hướng được mình phải làm gì và
bắt đầu làm từ đâu;
Cũng từ những lí do trên, bản thân chúng tôi đã luôn thay đổi, đổi mới trong
cách giảng dạy phù hợp từng đối tượng học sinh. Chúng tôi luôn cố gắng trình bày
phần kiến thức này sao cho có hệ thống, dễ hiểu và định hướng cho học sinh được
cách làm bài; từ đó giúp cho học sinh biết vận dụng được kiến thức đã học vào giải
bài tập, làm cho học sinh cảm thấy hứng thú học tập hơn , từ đó chất lượng dạy và
học của bộ môn ngày một nâng lên.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp: Giáo viên giúp học sinh hệ thống lại các dạng toán
cơ bản có trong chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ
song song
Trang 1

- Điểm mới trong giải pháp: học sinh biết các bước để giải một dạng toán;
người dạy không áp đặt người học phải hiểu phần kiến thức đã học một cách máy
móc trong khi bản thân không hiểu tại sao thầy (cô) làm như vậy. Giáo viên là
người giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn gặp phải trong lúc giải bài tập và có
những định hướng kịp thời để học sinh hiểu bài tốt hơn.
- Nội dung giải pháp:
Với kinh nghiệm của bản thân, chúng tôi đã thực hiện giảng dạy ở một số
lớp có học sinh trung bình yếu nhiều một số dạng toán cơ bản của chương II như
sau:
Dạng 1: Tìm giao tuyến của mp P  và mp Q :
Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
M �( P) �(Q) �
�� MN  ( P ) �(Q) .
N �( P ) �(Q) �

Cách 2: Tìm một điểm chung và biết giao tuyến song song với một đường
thẳng cho trước.
M �( P ) �(Q)
�
�
a / /b
�� ( P) �(Q)  d với d qua M và song song với a ( hay b)
a �( P ) và b �(Q ) �
�
�M �( P) �(Q)
� ( P ) �(Q)  d
�
a / /( P) và a �(Q)
�

Hoặc

với d qua M và song song với a

Giáo viên cần nhấn mạnh các nội dung sau:
-

Dựa

vào

kí

hiệu

điểm

để

tìm

điểm

chung.

Chẳng

hạn

S �mp SAB �mp SCD  ;

- Dựa vào quan hệ điểm thuộc đường thẳng, đường nằm trong mặt phẳng để
tìm điểm chung. Chẳng hạn M �mp MNP  �mp ACD  do M �AC ;
- Để tìm điểm chung còn lại ta tìm trong mp P  đường thẳng a, trong mp Q
đường thẳng b sao cho a,b cắt nhau nhưng a,b không đi qua điểm chung đầu tiên.
Trong việc xác định hai đường thẳng a,b ở trên ta có thể tìm một mp R lần lượt
cắt mp P  và mp Q theo giao tuyến là a,b. Khi đó:
Trang 2


Nếu a,b song song thì giao tuyến đi qua điểm chung đã xác định và song
song với a hoặc b ;
Nếu a �b  I thì I là điểm chung còn lại của mp P  và mp Q ;
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mp P  :

Hướng 1: Tìm trong mp P  đường thẳng b thỏa a �b  I bằng cách:

- Liệt kê các đường thẳng dễ thấy ( dựa vào kí hiệu điểm ) nằm trong mp P  ;
các đường thẳng vừa liệt kê nằm trong mặt nào của hình tứ diện, hình chóp...
- Từ bước trên ta chọn đường thẳng b nằm trong một mặt phẳng có chứa
đường thẳng a;
Hướng 2: Nếu không xác định được đường thẳng b như trên ta thực hiện như
sau:
- Chọn mp(Q) �a và xác định (P ) �(Q) = d .
- Trong mp(Q), goïi I = a�d , ta chứng minh I = a�mp(P)
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. ( bài tập 6 SGK Hình học 11 trang 54)
Cho tứ diện ABCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và BC. Trên đoạn
BD lấy điểm P sao cho BP  2PD .
a) Tìm giao điểm của CD và mp MNP  ;

b) Tìm giao tuyến của mp MNP  và mp ACD 
Phân tích và định hướng lời giải câu a :

Bước 1. Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình và dùng các câu hỏi gợi mở vấn đề
để hướng dẫn học sinh:
Câu hỏi gợi mở vấn đề
Các đường thẳng dễ thấy của mp MNP 

Dự kiến học sinh trả lời

là MN, MP, NP;

H1: Các đường thẳng MN, MP, NP nằm TL1: MN �mp ABC  ,
trong mặt phẳng nào của tứ diện ABCD?

NP �mp BCD 

MP không nằm trong mặt nào
của tứ diện ABCD.

H2: Trong mp MNP  có đường thẳng TL2: CD cắt NP do hai đường thẳng
nào cắt CD không? Tại sao?

này cùng nằm trong mp BCD  và
không song song với nhau.
Trang 3


Bước 2. Từ phân tích ở trên, giáo viên giúp học sinh hoàn thành lời giải câu a.
Hình vẽ

Lời giải
a) Ta có:
N �BC , P �BD � NP �mp  BCD 

Trong mp BCD  , gọi I  CD �NP (do CD và
NP không song song)
��
�I CD
��
� I  CD �mp MNP 
�I �NP, NP � MNP 

Phân tích và định hướng lời giải câu b :
Bước 1. Giáo viên đặt các câu hỏi gợi mở vấn đề để hướng dẫn học sinh:
Câu hỏi gợi mở vấn đề
Dự kiến học sinh trả lời
H1: Dựa vào hình vẽ tìm điểm chung của TL1: M � MNP  � ACD  ( do M �AC
mp MNP  và mp ACD  ?

)

H2: Từ kết luận của câu a có tìm được TL2: I  CD � MNP 
� I � MNP  � ACD 

điểm chung còn lại không?

Bước 2. Từ phân tích ở trên, giáo viên giúp học sinh hoàn thành lời giải câu b.
Hình vẽ

Lời giải
b) Ta có:
M � MNP  � ACD  (do M �AC )

Theo câu a có I  CD � MNP 
�
�I �CD,CD � ACD 
��
� I � MNP  � ACD 
I
�
MNP


�

Vậy MI   MNP  I  ACD 
Ví dụ 2. ( bài tập 10 SGK Hình học 11 trang 54)
Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là một điểm
thuộc miền trong SCD .
a) Tìm giao điểm N  CD �mp SBM  ;
b) Tìm giao tuyến của mp SBM  và mp SAC  ;
Trang 4


c) Tìm giao điểm I  BM �mp SAC  ;

d) Tìm giao điểm P  SC �mp ABM  , từ đó suy ra giao tuyến của mp SCD 

và mp ABM  ;

Phân tích và hướng dẫn lời giải:

Bước 1. Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình và dùng các câu hỏi gợi mở vấn đề
để hướng dẫn học sinh:
Câu hỏi gợi mở vấn đề

Dự kiến học sinh trả lời

Câu a
H1: Các đường SB,SM,BM nằm trong TL1: SB nằm trong mp(SAB) hoặc
mặt nào của hình chóp S.ABCD?

mp(SBC), SM nằm trong mp(SCD)...

H2: Trong mp(SBM) đường thẳng nào cắt TL2: SM cắt CD
CD? Tại sao?

Vì SM, CD cùng nằm trong mp(SCD)
và không song song.

Câu b:
H1: mp SBM 

và

mp SAC 

có điểm TL1: Là điểm S

chung dễ thấy là?

Để tìm điểm chung còn lại hướng dẫn
học sinh như sau:
H2: - Xác định  SAC  � ABCD   a;

TL2:  SAC  � ABCD   AC

- Xác định  SBM  � ABCD   b ;
- Trong

 ABCD ,

không?

a, b cắt nhau

 SBM  � ABCD  BN
Trong  ABCD  , AC cắt BN vì chúng

không song song.
Bước 2. Từ phân tích ở trên, giáo viên yêu cầu học sinh hoàn thành lời giải câu a.
Hình vẽ

Lời giải

Trang 5


a) Trong mp(SCD), gọi N  SM �CD
� N  CD � SBM 

b) Ta có S� SBM  � SAC  (do N � SBM  )
Mà S� SBM  � SAC 
Trong mp ABCD  , gọi O  AC �BN
�
O �AC, AC � SAC 
�
��
� O � SBM  � SAC 
O �BN, BN � SBM 
�

Vậy SO   SBM  � SAC 
Ở câu c học sinh trung bình, yếu rất khó tìm được đường thẳng b trong
mp SAC  sao b cắt BM, do đó giáo viên nên hướng dẫn học sinh chọn mặt phẳng

phụ chứa BM;
Câu hỏi gợi mở vấn đề
Dự kiến học sinh trả lời
H1: Nêu tên các mặt phẳng chứa BM và TL1: Các mặt phẳng là

 SBM  , ABM  , CBM  ,...
có điểm chung với  SAC  ?
H2: Chọn mặt phẳng nào đã có giao TL2:
 SBM 
Chọn
tuyến với  SAC  ?

SO   SBM  � SAC  .

Câu d giáo viên hướng dẫn tương tự như câu c;

Hình vẽ câu c

Hình vẽ câu d

Dạng 3: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P):
Cách
Hình ảnh minh họa
Tóm tắt
Trang 6

:

vì


1

�
a � P 
�
� a/ /  P 
�
a
/
/
b
,
b
�
P



�
�

2

�
 P  / /  Q
�
� a/ /  P 
�
a
�
Q


�
�

Giáo viên cần lưu ý học sinh các nội dung sau:
- Thực hiện chứng minh theo cách 1 khi nhìn từ hình vẽ của bài toán dễ dàng
tìm được đường thẳng b nằm trong mp(P) và b//a;
- Khi từ hình vẽ ta chưa tìm được đường thẳng b thì ta thực hiện như sau:
- Lấy mp(Q) chứa a, xác định giao tuyến b   P  � Q ;
- Chứng minh a / /b ;
Dạng 4: Chứng minh mp(P) song song mp(Q):
Cách
Hình ảnh minh họa
Tóm tắt

1
�a � Q , b � Q

2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng
song song mặt phẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Các ví dụ minh họa:

�
�
t nhau
�  P  / /  Q
�a, b ca�
�a / / P , b / / P
 
�  
�
n bie�
t
 P  , Q pha�
�
�  P  / /  Q
�
�P  / /  R , Q / /  R
�

Ví dụ 3: (Bài tập 1 SGK Hình học 11 trang 63 )
Cho hai hình bình ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng.

a) Gọi O,O ' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng
minh OO '/ /mp ADF  ;
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE. Chứng minh
MN//mp(CEF)
Hình vẽ

Hoạt động thầy và trò
a) H1: Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng OO'
song song với đường nào trong mp ADF  ?
TL1: OO '/ /DF
H2: Giải thích tại sao OO '/ /DF ?
TL2: OO ' là đường trung bình tam giác BDF
Trang 7


Giáo viên phân tích :
- Khi vẽ trọng tâm M và N: Do hai tam giác
ABD và ABE có chung cạnh AB nên ta chỉ cần
gọi I là trung điểm cạnh AB rồi xác định hai
điểm M và N;
- Trên hình vẽ học sinh không nhìn thấy đường
thẳng nào trong mp(CEF) song song MN nên
giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra đường
thẳng:
H1:

Nếu

lấy

mp I DE  �MN

thì

 I DE  � CEF   ?
TL1:  I DE  � CEF  DE vì  CEF  � CDEF 
H2: Chứng minh MN / /DE ?
TL2:

IM 1 IN
 
ID 3 IE

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi
H,K lần lượt là trung điểm SC và BC, lấy điểm I nằm trên KO. Chứng minh HI//
(SAB)
Hình vẽ

Hoạt động thầy và trò
Sử dụng cách 1 để chứng minh trong bài này
phức tạp nên giáo viên hướng dẫn học sinh cách
hai để chứng minh:
H1: Xác định mặt phẳng chứa HI mà trong mặt
Trang 8


phẳng này có đường thẳng song song với (SAB)
TL1: mp(KOH)
Bài toán dẫn đến phải chứng minh (KOH)//
(SAB).

H2: Chứng minh (KOH)//(SAB)?
TL2: Phải chứng minh KO và HK cùng song
song (SAB)
Ví dụ 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm A’B’. Chứng minh
CB '/ /mp AHC '

Hình vẽ

Hoạt động thầy và trò
Giáo viên phân tích giải theo cách 1:
H1: Tìm mặt phẳng chứa CB ' và có điểm chung
với mp AHC ' ?
TL1: mp BB 'C 'C 
H2: Xác định giao tuyến của mp BB 'C 'C  với
mp AHC ' ?

TL2: Giao tuyến là C ' I .
H3: Chứng minh CB '/ /C ' I
Giáo viên phân tích giải theo cách 2:
- Từ điểm C hoặc B’ dựng các đường thẳng
song song với các đường thẳng dễ thấy trong
mp AHC '

- Dựa vào giao điểm của các đường thẳng ở trên
với các cạnh của hình vẽ ban đầu để gọi thêm
điểm rồi thực hiện theo cách 2.
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm cạnh AB, chứng minh
Trang 9

 AHC ' / /  CKB'
Dạng 5: Xác định thiết diện của hình H cắt bởi mp(P):
Thiết diện của hình H khi cắt bởi mp(P) là phần chung của H với (P)
Giáo viên cần nhấn mạnh :
- Các cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt;
- Nếu mp(P)//(SAB) thì mp(P)//SA, mp(P)//SB, mp(P)//AB...
Ví dụ 6: (Bài tập 2 SGK Hình học 11 trang 63 )
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Cho    là mặt phẳng qua M
và song song với hai đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của    với các mặt của tứ diện;
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng    là hình gì?
Hình vẽ

Hoạt động thầy và trò
Câu a)
H1: Tìm điểm chung của    với (ABC)?
TL1: điểm chung là M;
H2: Nếu    //AC thì giao tuyến của    với
(ABC) được xác định như thế nào?
TL2: là đường thẳng d qua M và song song AC
Gọi L  d �BC rồi tiếp tục thực hiện các câu
hỏi tương tự như trên.
Câu b)
H1: Thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt
phẳng    là gì?
TL1: tứ giác MNKL
H2: Thiết diện là hình gì? Giải thích?
TL2: MNKL là hình bình hành vì MN//KL,

ML//NK.
Ví dụ 7: Giải một số câu trắc nghiệm chương II ( SGK Hình học 11 trang 78,79,80)

Trang 10


Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J,K lần lượt
là trung điểm AC,BC và BD. Giao tuyến của
mặt phẳng (ABD) và (IJK) là:
(A) KD
(B) KI
(C) Đường thẳng qua K song song AB
(D) Không có
Hướng dẫn:
Ta có K là điểm chung của (ABD) và (IJK);
IJ//AB nên giao tuyến của (ABD) và (IJK) là đường thẳng đi qua K và song
song AB. Ta chọn C.
Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm AB,AC, E là điểm trên cạnh
CD với ED=3EC. Thiết diện của tứ diện cắt
bởi mp(MNE) là?
(A) Tam giác MNE
(B) Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên
cạnh BD;
(C) Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC;
(D) Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC;
Hướng dẫn:
Ta có E là điểm chung của (MNE) và (BCD);
Trong hai mặt phẳng trên lại chứa hai đường thẳng MN//BC nên giao tuyến
d của hai mặt phẳng (MNE) và (BCD) qua E và song song MN;

Gọi F là giao điểm của d và BD ta thấy EF không bằng MN nên ta chọn D.

Trang 11


Câu 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C‘.
Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC và A’B’C‘. Thiết diện của lăng trụ cắt
bởi mp(AIJ) là?
(A) Tam giác cân;

(B) Tam giác vuông;

(C) Hình thang;
Hướng dẫn:

(D) Hình bình hành;

Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm cạnh BC
và B’C’ thì AOO’A’ là hình bình hành ; A’,J,O
thẳng hàng và A,I,O thẳng hàng
Khi đó mp(AIJ) �mp(AOO’A’)
Vậy thiết diện cần tìm là AOO’A’ ta chọn D
Câu 7. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm đoạn AB, M là
điểm di động trên đoạn AI. Qua M vẽ mp    song song mp  SIC  . Thiết diện của
mp    và tứ diện SABC là?

(A) Tam giác cân tại M

(B) Tam giác đều

(C) Hình bình hành

(D) Hình thoi

Hướng dẫn:
mp    song song mp  SIC  nên mp    song

song với IC và SC. Do đó:
mp    �mp  ABC   MN với N �AC ,MN / / IC
mp    �mp  SAC   NK với K �SA,NK / / S C

Ta thấy khi M di động đến I thì MNK di
động đến ICS , mà ICS cân tại I nên MNK
cũng cân tại M. Vậy ta chọn A.
Câu 11. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (P) song
song (SBC). Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(P) là hình gì?
(A) Tam giác;

(B) Hình bình hành
(C) Hình thang
Trang 12

(D) Hình vuông


Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) //SB nên cắt (SAB)
theo giao tuyến d qua M và song song

SB; d cắt SA tại N
Mặt phẳng (P) //BC nên cắt (ABCD)
theo giao tuyến m qua M và song song
BC; m cắt CD tại L;
Mặt phẳng (P) //SC nên cắt (SCD) theo giao tuyến n qua L và song song SC; n
cắt SD tại K; Vậy thiết diện cần tìm là MNKL, ta chọn C.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
- Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng có hiệu quả trong các lớp 11 chúng
tôi đã và đang giảng dạy;
- Sáng kiến có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên giảng dạy
Toán trong tổ chuyên môn;
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
giải pháp:
- Phần lớn học sinh nắm được kiến thức trong chương và tiếp thu bài dễ hơn;
bản thân học sinh có thể hiểu được cách làm; có chủ động, tự tin hơn và hoạt động
tích cực hơn trong tiết làm các bài tập;
- Giáo viên giảng dạy phần kiến thức này đỡ vất vã vì có sự phối hợp tốt hơn
từ phía học sinh; không khí lớp học sôi nổi
Bến Tre, ngày 15 tháng 3 năm 2018
Nhóm: tác giả Lê Vĩnh Phúc, Nguyễn Thị Bích Loan. Trần Văn Dũng,
Phạm Văn Dũng- Trường THPT Lê Hoàng Chiếu, huyện Bình Đại

Trang 13