Rèn luyện khả năng phân tích cho học sinh lớp 1012 khi viết phương trình đường thẳng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số: …………………………………

1. Tên sáng kiến:
“Rèn luyện khả năng phân tích cho học sinh lớp 10&12 khi viết phương
trình đường thẳng”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán ở trường THPT
3. Mô tả bản chất của sáng kiến
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết :
-Toán hình là một môn học mà đối với hầu hết các học sinh đều không thích học,
đa số các em chễnh mãn từ các lớp ở cấp 2 mà nguyên nhân cơ bản là các em
chưa phát hiện tầm quan trọng của việc thể hiện giả thiết của bài toán trên hình vẽ
và thể hiện chúng một cách sinh động(dùng bút màu khác nhau thể hiện giả thiết
cần để giải quyết yêu cầu bài toán). Dạng toán viết phương trình đường thẳng
trong hình học lớp 10 và lớp 12 là dạng toán không khó nhưng với tâm lí e ngại từ
lâu đã ăn sâu vào tiềm thức khiến cho hầu hết học sinh phổ thông xem nó là một
bài toán khá phức tạp và trừu tượng . Đa số các em nắm vững lí thuyết nhưng
không áp dụng lí thuyết vào để tự làm được bài tập.
.- Các giáo viên bộ môn toán luôn tìm mọi biện pháp để giúp học sinh giải được
bài toán này, trong đó có phân dạng, cho nhiều bài tập tương tự, từ dễ đến khó,
tuy nhên chúng tôi có cảm nhận là các giáo viên bộ môn có chú ý phân dạng
nhưng chưa đi sâu vào từng dạng nhỏ( có những dạng tưởng chừng như giống
nhau nhưng để giải quyết tìm lời giải không tương tự chút nào), đồng thời chú
trọng nhiều vào việc cho các em tiếp thu thụ động hơn là phương pháp phát huy
tính tích cực thông qua hình ảnh trực quan sinh động, dẫn đến việc lớp phụ trách
vẫn còn nhiều em chán nản môn hình học.
1

Sau nhiều năm giảng dạy lớp và hoàn thành tốt nhiệm vụ, chúng tôi rút ra
được một số kinh nghiệm nhằm giúp cho giáo viên có thêm một tài liệu tham
khảo để hoàn thành tốt hơn nhiệm vụ của mình.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến:
 Mục đích của giải pháp:
Nhằm tạo điều kiện cho học sinh yếu toán hình biết suy nghĩ, phân tích và
tham gia giải được các bài toán cơ bản nhất một cách nhanh chóng, đáp ứng yêu
cầu kiểm tra đánh giá theo hướng trắc nghiệm khách quan. Tạo điều kiện cho học
tích cực nghiên cứu, tìm ra những giải pháp mới, sáng tạo những cái mới trên cơ
sở kiến thức đã học và những gì đã trải nghiệm trong quá trình rèn luyện, giúp
các em vận dụng những hiểu biết của mình vào các bài toán khó hơn một cách dễ
dàng, thuận lợi. Từ đó hình thành ý thức, phẩm chất, kĩ năng và năng lực cho học
sinh qua bộ môn Toán học này.
 Nội dung giải pháp :
I/Các giải pháp thực hiện:
 Tính mới của giải pháp:
- Tính mới của giải pháp thể hiện việc tiếp tục chú trọng phân dạng bài
tập viết phương trình đường thẳng ( tiếp tục phân nhỏ dạng toán này) từ dạng
đơn giản đến phức tạp, đồng thời khai thác giả thiết của bài toán thể hiện trên
hình vẽ trực quan. Phương pháp này khai thác khả năng ghi nhớ và liên hệ các
dữ kiện lại với nhau bằng cách sử dụng màu sắc, hình ảnh theo một bộ các qui tắc
đơn giản, cơ bản, tự nhiên và dễ hiểu. Màu sắc sinh động giúp học sinh dễ nhận
dạng và ghi nhớ. Việc nhớ và ghi lại thông tin này sẽ dễ dàng, đáng tin cậy hơn so
với kỹ thuật ghi chép truyền thống.
Tính mới của giải pháp còn thể hiện ở việc tổ chức được, có hiệu quả giáo
dục cao, giúp các em yêu thích môn hình học( môn học mà đa phần học sinh học
không tốt từ cấp 2). Qua đó tạo điều kiện cho học sinh tích cực nghiên cứu, sáng
tạo vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tiễn cuộc sống. Ngoài ra,
2

còn thể hiện ở việc tổ chức chuỗi các hoạt động học giúp học sinh rèn luyện kỹ
năng phát hiện vấn đề có chứa đựng mâu thuẫn nhận thức, từ đó có nhu cầu giải
quyết các tình huống thực tiễn, hình thành năng lực giải quyết vấn đề và năng lực
nghiên cứu.
Bản chất của giải pháp là cách thức tổ chức dạy cho học sinh giải được bài
toán viết phương trình đường thẳng bằng cách sử dụng màu sắc theo dạng sơ đồ
tư duy ở bộ môn Toán học trong nhà trường phổ thông theo chuẩn kỹ năng, phù
hợp, khả thi nhằm phát huy thế mạnh của bộ môn Toán học là có tính thực
nghiệm, ứng dụng cao, có quan hệ mật thiết với thực tế cuộc sống; cách thức
hướng dẫn học sinh các thao tác tư duy không những nhằm hình thành năng lực
giải toán mà còn tạo nên một quy trình nghiên cứu, vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, phát huy tiềm năng của học sinh, tạo tiền đề cho những nghiên cứu ứng
dụng trong thực tiễn hoặc tự tin hòa nhập cuộc sống khi rời ghế nhà trường
 Các bước thực hiện của giải pháp:
-Tóm tắt giả thiết của bài toán thể hiện trên hình vẽ trực quan. Phương pháp này
khai thác khả năng ghi nhớ và liên hệ các dữ kiện lại với nhau bằng cách sử dụng
màu sắc, hình ảnh theo một bộ các qui tắc đơn giản, cơ bản, tự nhiên và dễ hiểu.
Màu sắc sinh động giúp học sinh dễ nhớ. Việc nhớ và ghi lại thông tin này sẽ dễ
dàng, đáng tin cậy hơn so với kỹ thuật ghi chép truyền thống.
-Chú ý nhấn mạnh hai yếu tố cần và đủ để viết phương trình đường thẳng.
- Xây dựng các bước viết phương trình đường thẳng dựa vào định nghĩa và hình
vẽ trực quan sinh động.
- Hướng dẫn một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong SGK theo các
bước trên.
-Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học
sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy
năng lực sáng tạo.

3


-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê
phương pháp mới cho các em.
-Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể
sáng tạo khi giải quyết các bài toán khó đồng thời khơi dậy niềm say mê môn học
toán, đặc biệt là toán hình..
 Các bước thực hiện của giải pháp:
- Nêu hướng giải quyết các bài toán viết phương trình tham số và phương
trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ và hệ trục tọa độ
Oxyz:
+ Đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
+ Đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước
+ Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng
- Từ các bước cụ thể, học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập
trong SGK lớp 10& 12, từ đó sẽ học tốt và làm được những bài toán trong hình
học không gian trong các đề thi Đại học có liên quan đến vấn đề phương trình
đường thẳng...
II/Tiến hành thực hiện:
II/Tiến hành thực hiện:

r và có vectơ.chỉ phương
*Học sinh cần xác định đường thẳng đi qua một điểm
a

-Yêu cầu học sinh cho biết :

M

+Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vẽ được chúng bằng hình

r
a

ảnh trực quan bằng phấn ( viết) màu .

M
4


+ Dạng phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng?
+ Các đối tượng cần xác định để viết phương trình tham số của đường thẳng ?
-Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt giả thiết của bài toán thể hiện trên hình vẽ
trực quan ( Chú ý biểu diễn một điểm thuộc đường thẳng và vẽ vectơ chỉ
phương bằng những màu sắc khác nhau).
-Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát hai đối tượng ( một điểm thuộc đường
thẳng và vectơ chỉ phương ) trên hình vẽ để trình bày lời giải của bài toán
r

- Chú ý thêm: Nếu vectơ chỉ phương u vuông góc với hai vectơ không cùng
r
r r
r r

a
phương a, b thì u =
 , b ( Chương trình toán hình 12)
1- Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
( chương trình toán hình lớp 10).

r và có vectơ.chỉ phương
*Học sinh cần xác định đường thẳng đi qua một điểm
a

M
-Yêu cầu học sinh cho biết :
+Định nghĩa vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng và vẽ được
chúng bằng hình ảnh trực quan bằng phấn ( viết) màu .

r
a

r
n
M

+ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng ?
+ Dạng phương trình tham số của đường thẳng?
+ Các đối tượng cần xác định để viết phương trình tham số của đường thẳng ?
-Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt giả thiết của bài toán thể hiện trên hình vẽ
trực quan ( Chú ý biểu diễn một điểm thuộc đường thẳng và vẽ vectơ chỉ
phương, vectơ pháp tuyến bằng những màu sắc khác nhau).
5


-Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát hai đối tượng ( một điểm thuộc đường
thẳng và vectơ chỉ phương ) trên hình vẽ để trình bày lời giải của bài toán
1.1- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ
chỉ phương.

Ví dụ 1: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
r

một điểm M(3;-2) và có vectơ chỉ phương a = (4;3)
*Các bước thực hiện:

 x = x0 + at
- Học sinh nêu được dạng phương trình tham số của đường thẳng 
 y = y0 + bt
-Vẽ hình ( Chú ý biểu diễn một điểm M(3;-2) thuộc đường thẳng và vẽ vectơ chỉ
r

phương a = (4;3) bằng những màu sắc khác nhau).

r
a = (4;3)
M(3;-2)

- Thay tọa độ của M(3;-2) và

r
a = (4;3) vào phương trình ta được PTTS

 x = 3 + 4t

 y = −2 + 3t
1.2 - Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ
pháp tuyến.
Ví dụ 2: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
r

một điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến n = (1; 2) .
*Các bước thực hiện:

6


 x = x0 + at
 y = y0 + bt

- Học sinh nêu được dạng phương trình tham số của đường thẳng 
-Vẽ hình :
+Biểu diễn một điểm M(3;4) thuộc đường thẳng

r
a

r

+Vẽ pháp tuyến n = (1; 2)

r
n = (1;2)
M(3;4)

+Dựa vào mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường
r

r

thẳng ta dễ dàng tìm được vectơ chỉ phương a = (−2;1) hoặc a = (2; −1) và biểu
diễn chúng bằng những màu sắc khác nhau).

r
n = (1;2)

r
a = (−2;1)

M(3;4)
- Thay tọa độ của M(3;4) và

r
a = (−2;1) vào phương trình ta được PTTS

 x = 3 − 2t

 y = 4 + 1t
1.3- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
Ví dụ 3: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt A(-3;4) và B(4;-2).
*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn hai điểm A(-3;4) và B(4;-2) thuộc đường thẳng

B(4;-2)
A(-3;4)
B(4;-2)
A(-3;4)

7

uuur

+Vẽ AB = (7; −6)

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta dễ dàng tìm được
r

uuur

vectơ chỉ phương a = AB = (7; −6) và biểu diễn chúng bằng những màu sắc khác
nhau).
uuur

- Thay tọa độ của A(-3;4) và AB = (7; −6) vào phương trình ta được PTTS

 x = −3 + 7t

 y = 4 − 6t
1.4- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và song song
với đường thẳng cho trước
Ví dụ 4: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi C(−1;2)
và song song với đường thẳng d1 : 2x − 3y − 1= 0
*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm C(-1;2) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ đường thẳng d1 song song với đường thẳng d
r

+Vẽ vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 : n = (2; −3)

r
n = (2; −3)

r
a = (3; 2)

d1
d

C(-1;2)
r

+ Nhận xét quan hệ giữa giá của n = (2; −3) với đường thẳng d
+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương., vectơ pháp tuyến của đường thẳng ta
r

khẳng định n = (2; −3) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d và dễ dàng tìm được
r

vectơ chỉ phương a = (3; 2) ( biểu diễn chúng bằng những màu sắc khác nhau).
8


r
a = (3; 2) vào phương trình ta được PTTS

+ Thay tọa độ của C(-1;2) và

 x = −1 + 3t


 y = 2 + 2t
Ví dụ 5: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi D(1;0)
 x = −4 + t

và song song với đường thẳng d2 : 

 y = 1− 3t

*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm D(1;0) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ đường thẳng d2 song song với đường thẳng d
r

+Vẽ vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 : a = (1; −3)

r
a = (1; −3)

d2

d
D(1;0)
r
+ Nhận xét quan hệ giữa giá của a = (1; −3) với đường thẳng d
r

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định a = (1; −3)
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng bằng những màu sắc
khác nhau).

+ Thay tọa độ của D(1;0) và

r
a = (1; −3) vào phương trình ta được PTTS

 x = 1 + 1t

 y = 0 − 3t
1.5- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và vuông
góc với đường thẳng cho trước
Ví dụ 6: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
E(1; −3) và vuông góc với đường thẳng d1 : x + 2y + 3 = 0
9


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm E(1;-3) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ đường thẳng d1 vuông góc với đường thẳng d
r

+Vẽ vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 : n = (1; 2)
r
n = (1; 2)

d1
E(1;-3)

d
r

+ Nhận xét quan hệ giữa giá của n = (1; 2) với đường thẳng d
r

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định n = (1; 2)
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng bằng những màu sắc
khác nhau).
+ Thay tọa độ của E(1;-3) và

r
n = (1; 2) vào phương trình ta được PTTS

 x = 1 + 1t

 y = −3 + 2t
Ví dụ 7: Trong mp Oxy , Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
 x = −3t
F (1; −3) và vuông góc với đường thẳng d2 : 
 y = −2 + 4t

*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm F(1;-3) thuộc đường thẳng d cần tìm

r góc với đường thẳng d
+Vẽ đường thẳng d2 vuông
a = (−3; 4)

+Vẽ vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 :
d2

r

u = (4;3)

d

r
a = (−3; 4)

F(1;-3)

10


+ Nhận xét quan hệ giữa giá của

r
a = (−3; 4)

với đường thẳng d

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương., vectơ pháp tuyến của đường thẳng ta
khẳng định

r
a = (−3; 4)

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d và dễ dàng tìm được

r

vectơ chỉ phương u = (4;3) ( biểu diễn chúng bằng những màu sắc khác nhau).

+ Thay tọa độ của F(1;-3) và

r
u = (4;3) vào phương trình ta được PTTS

 x = 1 + 4t

 y = −3 + 3t
2- Viết phương trình tham số của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz( chương
trình toán hình lớp 12)
*Học sinh cần xác định đường thẳng đi qua một điểm
r và có vectơ.chỉ phương

a

-Yêu cầu học sinh cho biết :

M

+Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vẽ được chúng bằng hình

r
a

ảnh trực quan bằng phấn ( viết) màu .

M
+ Dạng phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng?
+ Kiến thức bổ trợ: vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
+ Các đối tượng cần xác định để viết phương trình tham số của đường thẳng ?

11


-Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt giả thiết của bài toán thể hiện trên hình vẽ
trực quan ( Chú ý biểu diễn một điểm thuộc đường thẳng và vẽ vectơ chỉ
phương bằng những màu sắc khác nhau).
-Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát hai đối tượng ( một điểm thuộc đường
thẳng và vectơ chỉ phương ) trên hình vẽ để trình bày lời giải của bài toán
r

- Chú ý thêm: Nếu vectơ chỉ phương u vuông góc với hai vectơ không cùng
r
r r
r r


u
=
a
a
,
b
phương
thì
 , b .

2.1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ
chỉ phương.
Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2;3) và có
r

VTCP u = (− 2;0;1) là:
 x = 1 − 2t

A. d :  y = 2
z = 3 + t


 x = 1 + 2t

B. d :  y = 2
z = 3 + t


x = 1− t

C. d :  y = 2
z = 3 + t


 x = −2 + t

D. d :  y = 2t
 z = 1 + 3t


*Các bước thực hiện:
 x = x0 + at

- Học sinh nêu được dạng phương trình tham số của đường thẳng d :  y = y0 + bt
 z = z + ct

0


-Vẽ hìnhr( Chú ý biểu diễn một điểm A(1; 2;3) thuộc đường thẳng và vẽ vectơ chỉ
phương u = (− 2;0;1) bằng những màu sắc khác nhau).

r
u = (−2;0;1)
d



A(1;2;3)
r

- Thay tọa độ của A(1; 2;3) và u = (− 2;0;1) vào phương trình ta được PTTS
 x = 1 − 2t

A. d :  y = 2
z = 3 + t

12


Ví dụ 2: Lập phương trình
chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;-5) và
r
có vecto chỉ phương u = (−4;8;10)
A.

x-2 y-3 z+5
=
=
3
-1
2

B.

x-2 y-3 z+5
=
=
-2
4
5

C.

x-2 y-3 z+5
=
=
1
3
-2

D. KQ khác

*Các bước thực hiện:
- Học sinh nêu được dạng phương trình chính tắc của đường thẳng
x-x0 y-y0 z-z0

=
=
a
b
c

-Vẽ hình ( Chú
r ý biểu diễn một điểm A(2;3;-5) thuộc đường thẳng và vẽ vectơ
chỉ phương u = (−4;8;10) bằng những màu sắc khác nhau).

d

r
u = (−4;8;10)


A(2;3;-5)
r
- Thay tọa độ của A(2;3;-5) và u = (−4;8;10) vào phương trình ta được chính tắc
B.

r
r
( với chú ý a = (−2;4;5) cùng phương với u = (−4;8;10) )

x-2 y-3 z+5
=
=
-2
4

5

2.2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
Ví dụ 3: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;3)
và B(2;1;1)
x = 2 + t

A. d :  y = 1 − t
 z = 1 − 2t


 x = 1− t

B. d :  y = 2 + t
 z = 3− 2t


x = 1− t

C. d :  y = 2 + t
z = 3 + t


x = 1+ t

D. d :  y = 2 − t
z = 3 − t


*Các bước thực hiện:

+Biểu diễn hai điểm A(1;2;3) và B(2;1;1)thuộc đường thẳng
d
uuur

+ Vẽ AB = (1; −1; −2)
d



A(1;2;3)



A(1;2;3)



B(2;1;1)



B(2;1;1)

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta dễ dàng tìm được
uuur

vectơ chỉ phương AB = (1; −1; −2) và biểu diễn chúng bằng những màu sắc khác
nhau).
13

uuur

- Thay tọa độ của B(2;1;1)và AB = (1; −1; −2) vào phương trình ta được PTTS
x = 2 + t

A. d :  y = 1 − t
 z = 1 − 2t


2.3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và song song
với đường thẳng cho trước
Ví dụ 4::Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;3) và
 x = −1 + 2t

song song với đường thẳng Δ :  y = 2 + t
 z = −3 − t

 x = 1 + 2t

A. d :  y = −2 − t
z = 3 − t


 x = 1 + 2t

B. d :  y = −2 + t
z = 3 + t


C.

 x = 1 − 2t

d :  y = −2 − t
z = 3 + t


 x = 1 + 2t

D. d :  y = −2 − t
 z = −3 + t


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm M(1;-2;3) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ đường thẳng Δ song song với đường thẳng d
+Vẽ vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ :
d

M(1;-2;3)
r

u = (2;1; −1)

Δ

r
+ Nhận xét quan hệ giữa giá của u = (2;1; −1) với đường thẳng d
+Dựa vào định nghĩa vecơ

chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định

r
u = (2;1; −1) là vectơ vectơ đường thẳng d

r
+ Thay tọa độ của M(1;-2;3) và u = (2;1; − 1) vào phương trình ta được PTTS
C.

 x = 1 − 2t

d :  y = −2 − t
z = 3 + t


r
r
( với chú ý u = (− 2; − 1;1) cùng phương với u = (2;1; − 1) )

Ví dụ 5: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm N(1;2;-3) và
x y+1 1-z
=
2 2
3

song song với đường thẳng Δ: =

14

Δ


 x=2+t

A. d : y=2+2t
z=3 -3t


 x=1+2t

B. d : y=2+2t
z=3 +3t


x=1+2t

D. d : y=2+2t
z=-3 +3t


 x=1+2t

C. d : y=2-2t
z=-3 -3t


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm N(1;2;-3)thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ đường thẳng Δ song song với đường thẳng d

r

+Vẽ vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ : u = (2; 2;3)
d



N(1;2;-3) r

u= (2;2;3)

Δ
r

+ Nhận xét quan hệ giữa giá của u = (2; 2;3) với đường thẳng d
r

+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định u = (2; 2;3)
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng bằng những màu sắc
khác nhau).
r

+ Thay tọa độ của N(1;2;-3) và u = (2; 2;3) vào phương trình ta được PTTS
x=1+2t

D. d : y=2+2t
z=-3 +3t


2.4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc

với mặt phẳng cho trước
Ví dụ 6: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm N(-1;2;-3) và
vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x+ 4y - 3z - 1 =0
 x=-1+2t

A. d : y=2+2t
z=-3 +3t


 x=1+2t

B. d : y=-2+4t
z=3 -3t


 x=1+2t

C. d : y=2+4t
z=-3 -3t


x=-1-2t

D. d : y=2-4t
z=-3 +3t


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm N(1;2;-3)thuộc đường thẳng d cần tìm
d

Δ

r
u = (2;2;3)


N(1;2;-3)

15


+Vẽ mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và vẽ vectơ pháp tuyến

r
n = (2; 4; − 3) của mặt phẳng (P)

r
n = (2; 4; −3)
d



N(-1;2;-3)
P

r
+ Nhận xét quan hệ giữa giá của n = (2; 4; − 3) với đường thẳng d
+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định

r

n = (2; 4; − 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng bằng
những màu sắc khác nhau).

r

+ Thay tọa độ của N(-1;2;-3) và n = (2; 4; − 3) vào phương trình ta được PTTS
x=-1-2t
r
r

D. d : y=2-4t ( với chú ý n = (2; 4; − 3) cùng phương với u = (−2; −4;3) )
z=-3 +3t


Ví dụ 7: Cho 3 điểm A(0;1;1), B(1;-2;0) và C(1;0;2). Viết phương trình đường
thẳng d qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
2

 x = 3 + 4t

−1

A.  y = + 2t
3

 z = 1 + 2t



2


x = 3 − 2t

1

B.  y = 3 − t

z = 1 + t



2

 x = 3 − 4t

−1

C.  y = − 2t
3

 z = 1 + 2t



1

 x = 3 − 2t

−1


D.  y = − t
6

1

z = 2 + t


*Các bước thực hiện:
+Vẽ mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C và vẽ vectơ pháp tuyến

r
uuu
r uuur
n =  AB, AC 

r uuur uuur
n =  AB, AC  = ( −4; −2;2 )

2 −1
;1) : trọng tâm tam giác ABC
3 3

+Biểu diễn điểm G( ;

+Vẽ đường thẳng d( đường thẳng màu xanh) vuông góc với mặt phẳng (ABC)

A(0;1;1) 
C(1;0;2)
r

uuur uuur

 n =  AB, AC  = ( −4; −2; 2 ) với đường thẳng d
+ Nhận xét quan hệ giữa giáGcủa



16

 B(1;-2;0)


d

r ur u r
n=AB,AC
A(0;1;1) 

C(1;0;2)


G



 B(1;-2;0)
+Dựa vào định nghĩa vectơ

chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định

r
uuur uuur
n =  AB, AC  = ( −4; −2; 2 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng

bằng những màu sắc khác nhau).
r
uuur uuur
2 −1


n
=
G(
;
;1)
+ Thay tọa độ của
và
 AB, AC  = ( −4; −2; 2 ) vào phương trình ta được
3 3

2

 x = 3 − 4t

−1

PTTS C.  y = − 2t
3


 z = 1 + 2t



2.5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm đồng thời
vuông góc với hai đường thẳng
Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời
vuông góc với hai đường thẳng (d1):

x −1 y − 3 z −1
x −1 y − 2 z − 3
=
=
=
=
và (d2):
2
−2
1
−1
1
−3

17


x = 1 + t

A.  y = t B.
z = 5



 x = 1 + 5t

 y = 5t
 z = 5 + 4t


 x = −1 + t

C.  y = t
D.
 z = −5


x = 1 − t

y = t
z = 5


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm A(1;0;5) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với đường thẳng d và vẽ 2 vectơ chỉ
ur
uu
r
phương u1 = ( 2; −2;1) , u2 = ( −1;1; −3) của (d1) và (d2)
d

r ur uur
n = u1, u2 

r
ur uu
r
n = u1 , u2  = ( −5; −5;0 )

 A(1;0;5)
d1

d2

uur
u2 = ( −1;1; −3)

ur
u1 = ( 2; −2;1)
r

ur uu
r

+ Nhận xét quan hệ giữa giá của n = u1 , u2  = ( −5; −5;0 ) với đường thẳng d
+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định
r
ur uu
r
n = u1 , u2  = ( −5; −5;0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng

bằng những màu sắc khác nhau).
r

ur uu
r

+ Thay tọa độ của A(1;0;5) và n = u1 , u2  = ( −5; −5;0 ) vào phương trình ta được
x = 1 + t

PTTS A.  y = t ( với chú ý
z = 5


r
ur uu
r
r
a = (1;1;0) cùng phương với n = u1 , u2  = ( −5; −5;0 ) )

2.6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm, cắt một
đường thẳng và song song với mặt phẳng cho trước
Ví dụ 9: Đường thẳng d qua gốc O, vuông góc với trục Ox và song song với mặt
phẳng ( α ): x - y -3z + 1 = 0, phương trình của d là:
18


x y
z
A = =
1 3 −1

x = 1

B.  y = −3t
z = t


x = 0

C.  y = 3t
z = t


x = 0

D.  y = 3t
 z = −t


*Các bước thực hiện:
+Biểu diễn điểm O(0;0;0) thuộc đường thẳng d cần tìm
+Vẽ trục Ox vuông góc với đường thẳng d và vẽ vectơ đơn vị của trục Ox là
r
i = ( 1;0; 0 )

+Vẽ mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d và vẽ vectơ pháp tuyến

uuur
n( α ) = (1; −1; −3) của mặt phẳng (P)
(trục Ox)

d


O

O

r r uuur
u = i, n( α ) 



uuur
n( α ) = (1; −1; −3)

α
r uuur
+ Nhận xét quan hệ giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng d với i & n( α )
r

r uuur

+ Nhận xét quan hệ giữa giá của u = i, n( α )  = ( 0;3; −1) với đường thẳng d
+Dựa vào định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ta khẳng định
r r uuur
u = i, n( α )  = ( 0;3; −1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ( biểu diễn chúng

bằng những màu sắc khác nhau).
r

r uuur

+ Thay tọa độ của O(0;0;0) và u = i, n( α )  = ( 0;3; −1) vào phương trình ta được
x = 0

PTTS D.  y = 3t
 z = −t

19


Nhận xét: Trên cở sở nắm vững cách giải các dạng toán trên, học sinh dễ dàng
vận dụng giải quyết các bài toán khó hơn nhờ khả năng phân tích bằng hình
ảnh trực quan sinh động.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp
Đề tài này có khả năng áp dụng cho tất cả học sinh lớp 10& 12 và có thể làm
tài liệu tham khảo cho giáo viên khi dạy dạng toán Viết phương đường thẳng
trong chương trình toán học cấp THPT .
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, chúng tôi thấy có hiệu
quả đáng kể .Các em học sinh không cảm thấy sợ toán hình như trước đặc biệt
dạng toán Viết phương đường thẳng vì các em đã tìm ra được hướng đi cho
dạng toán này, đồng thời các em tỏ ra yêu thích và hứng thú trong các giờ học
toán, nhất là toán hình..
Bến Tre, ngày 16 tháng 3 năm 2018
Nhóm tác giả:
Lê Thị Phương Ngọc, Võ Thị Anh Thư ,Trường THPT Lê Hoàng Chiếu, huyện
Bình Đại
Phan Thị Huyền Trân,
Trần Thị Mỹ Linh, Trường THPT Phan Văn Trị, Giồng Trôm

Nguyễn Hữu Thi, Trường THPT Ngô Văn Cấn, Mỏ Cày Bắc.

20