CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

- CHUYÊN ĐỀ: PHẦN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(34) Nguyễn Công Mậu
TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng vô đònh và cách khử dạng vô đònh :
a)Dạng vô đònh
0
0
:
+Nếu
0)(lim)(lim
00
==
→→
xxxx
xvxu
thì
)(
)(
lim
0
xv
xu
xx
→
có dạng
0
0
.
+Cách khử :Biến đổi
)(

)(
lim
0
xv
xu
xx
→
=
)(
)(
lim
)().(
)().(
lim
00
0
0
xB
xA
xBxx
xAxx
xxxx
→→
=
−
−
.
-Có thể thay thế :
BA
BA

BA
+
−
=−
;
3 2
3
3 2
33
BABA
BA
BA
+
±
=±

b)Dạng vô đònh
∞
∞

+Nếu
∞==
→→
00
)(lim)(lim
xxxx
xvxu
thì
)(
)(

lim
0
xv
xu
xx
→
có dạng
∞
∞
.
+Cách khử :Nếu là phân số hữu tỉ ta đặt biến có luỹ thừa cao nhất của tử và mẫu làm
thừa số chung rồi áp dụng giới hạn
0
1
lim&lim
0
==
∞→→
n
xxx
x
CC
c)Dạng vô đònh 0.
∞−∞∞
&
+Nếu
0)(lim
0
=
→

xx
xu
và
∞=
→
)(lim
0
xV
xx
thì
[ ]
)().(lim
0
xvxu
xx
→
có dạng 0.
∞
+Nếu
∞==
→→
00
)(lim)(lim
xxxx
xvxu
thì
[ ]
)()(lim
0
xvxu

xx
−
→
có dạng
∞
-
∞
+Cách khử : Hai dạng vô đònh 0.
∞−∞∞
&
biến đổi để đưa về dạng vô đònh
0
0
hoặc
∞
∞
.
*Chú ý :Trong các giới hạn khi
0
xx
→
cũng được áp dụng đối với
∞→
x
2. Các giới hạn cần nhớ :


&

&
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
e
x
x
x
=






+
∞→
1
1lim
ex
x
x

=+
→
1
0
)1(lim
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
1lim
0
=
→

x
tgx
x
1
)(
)(sin
lim
0)(
=
→
xu
xu
xu
- CHUYÊN ĐỀ: PHẦN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
PHẦN BÀI TẬP
Tìm các giới hạn sau :
1)
6
22
lim
6
−
−−
→
x
x
x
; 2)
25
34

lim
2
5
−
−+
→
x
x
x
; 3)
39
24
lim
2
2
0
−−
−−
→
x
x
x
4)
3
64
4
8
lim
x
x

x
−
−
→
; 5)
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→
; 6)
2
24
lim
3
2
−
−
→
x
x
x
7)
( )
xx
x

x
−−+
→
11
1
lim
0
; 8)
x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
; 9)
1
...
lim
2
1
−
−+++
→
x
nxxx
n
x

10)
23
7118
lim
2
3
2
+−
+−+
→
xx
xx
x
; 11)
2
0
cos1
lim
x
x
x
−
→
; 12)
x
x
x
−
→
1

2
cos
lim
1
π

13)
x
x
x
5sin
2sin
lim
0
→
; 14)






−
−
→
2
sin21
2sinsin
lim
2

0
x
x
xx
x
; 15)
)2(
8
lim
3
2
+
+
−→
xtg
x
x
16)
2
sin
sincossin
lim
0
x
xxx
x
−
→
; 17)
24

11
lim
3
0
−+
−+
→
x
x
x
; 18
)13(lim
2
xxx
x
−++
±∞→
19)
2
.sin2
lim
2
0
x
coxx
xxcox
x
+
→
;20)

xx
x
x
sin3sin
lim
2
0
−
→
; 21)
x
x
x
x






+
∞→
1
lim
22)
x
x
x
1
0

)sin2(lim
+
→
Bài1: (đề5-2001) tính
2
3
0
3121
lim
x
xx
x
+−+
→
Bài2: (đề14-2001) Tìm
1
75
lim
2
3
2
1
−
+−−
→
x
xx
x
Bài3: (đề18-2001) Tìm
22

0
11
cos1
lim
xx
x
x
−−+
−
→
Bài4: (đề28-2001) Tìm
)1ln(
1
lim
2
3 22
0
2
x
xe
x
x
+
+−
−
→
Bài5: (đề5-2000) Tìm
1
212
lim

5
4
1
−
−+−
→
x
xx
x
Bài6: (đề14-2000) Tìm
xx
xx
x
sin
sin
lim
+
−
∞→
Bài7: (đề15-2000) Tìm
x
ee
xx
x
sin
lim
sin2sin
0
−
→

(35) Nguyễn Công Mậu
CÁC BÀI TẬP TRONG BỘ ĐỀ THI ĐẠI HỌC
- CHUYÊN ĐỀ: PHẦN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài8: (đề21-2000) Tìm
2
2
0
cos1
lim
x
xx
x
−+
→
Bài9: (đề23-2000) Tìm
1
132
lim
2
1
−
+−
→
x
xx
x
Bài10: (đề47-2000) Tìm
)1sin(
2
lim

23
1
−
−+
→
x
xx
x
Bài11: (đề29-2001) Tìm
11
1sincos
lim
2
44
0
−+
−−
→
x
xx
x
Bài12:Tim. 1)
11
)2sin(
lim
2
−−
−
→
x

x
x
; 2)
12
2
2
lim
+
∞→






−
+
x
x
x
x
3)
x
xx
x
3
0
6442
lim
−−+

→
; 4)
x
xx
x
3
0
84
lim
+−+
→
(36) Nguyễn Công Mậu