Nghiên cứu khoa học THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ

GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Lý thuyết thặng dư là một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết hàm số
biến số phức. Bản thân nó có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và trong thực
tiễn, đặc biệt là Toán học và Vật lý.
Khi khảo sát hàm chỉnh hình biến số phức tại các điểm bất thường cô lập thì
thặng dư là một công cụ có hiệu lực nhất. Ta có thể tính tích phân của hàm số biến số
phức nhờ thặng dư. Ngoài ra, đối với hàm số thực f(x) có hội tụ và hàm lượng giác
R(sin, cos), 0 2 là một hàm hữu tỉ thì các tích phân và có thể tính bởi thặng
dư…
Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của thặng dư phức, với mục
đích hiểu sâu hơn về ứng dụng của thặng dư để tính tích phân suy rộng, tạo tiền đề, cơ
sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức bản thân trong việc tìm hiểu,
nghiên cứu về thặng dư phức. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Hàm biến
phức’ tôi chọn đề tài “Ứng dụng của thặng dư để tính tích phân suy rộng ” làm đề
bài nghiên cứu khoa học cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu
sâu hơn về ứng dụng của thặng dư phức để tính tích phân suy rộng và từ đó giải
một số bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống các bài tập, vận dụng thặng dư phức dể
tính tích phân suy rộng.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Ứng dụng của thặng dư phức để tính tích phân suy rộng
5. Phạm vi nghiên cứu
- Hệ thống bài tập ứng dụng thặng dư phức để tính tích phân suy rộng

- Các kiến thức liên quan.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp lại các kiến thức đã học.
- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu.
- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 1


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

- Hỏi ý kiến chuyên gia.
7. Đóng góp của đề tài

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 2


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ
1. Định nghĩa và cách tính
1.1. Định nghĩa

Cho hàm f ( z ) giải tích trong lân cận của z0 �0 trừ tại điểm z0 . Thặng dư
Re s  f ( z ), z0 
của hàm f ( z ) tại z0 là số, kí hiệu là
xác định bởi
Re s  f ( z ), z0  

1
f ( z ) dz
2 i �
L

với L là chu tuyến vây quanh z0 , nằm trong lân cận nói trên.
Thặng dư của hàm f ( z ) tại z0 xác định bởi
Re s  f ( z ), �  

1
2 i

�f ( z)dz

z R

( R  0 đủ lớn)

1.2. Công thức tính thặng dư


Re s  f ( z ), z0 ��  c1

1

( là hệ số của z  z0 trong khai triển Laurent

của hàm f ( z ) tại lân cân của điểm z0 )


Re s  f ( z ), �  c1

(1.2.1)

1
( là hệ số của z trong khai triển Laurent của

hàm f ( z ) tại lân cận của điểm �) (1.2.2)
 Nếu z0 là cực điểm cấp một thì
Re s  f ( z ), z0 ��  lim( z  z0 ) f ( z )
z � z0

(1.2.3)

 Nếu

f (z) 

 (z)
 ( z ) ,  ( z ) ,  ( z ) là giải tích trong lân cận z0 ,  (z 0 ) �0 ,

 ( z0 )  0 ,  '( z0 ) �0 thì
Re s  f ( z ), z0  

 ( z0 )

 '( z0 )

(1.2.4)

 Nếu z0 là cực điểm cấp m �2 thì

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 3


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

1
d m 1
Re s  f ( z ), z0  
lim m 1 �
( z  z0 ) m f ( z ) �
�
�
z
�
z
(m  1)! 0 dz

(1.2.5)

2. Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng của hàm số f xác định trên [a, �) được định nghĩa
như sau:
�

R

f ( x) dx  lim �
f ( x)dx
�
R ��
a

a

Khi giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng trên hội tụ về giới
hạn ấy. Tương tự ta cũng có tích phân suy rộng sau
a

a

�f ( x)dx  lim �f ( x)dx
R ��
R

�

Nếu hàm f xác định trên R , ta có khái niệm tích phân suy rộng của hàm
, 
f trên  ��
được định nghĩa như sau:

�

R

�

R ��
0

f ( x)dx  lim
�f ( x)dx  lim �

0

�f ( x)dx

R '��
R'

a

Khi hai giới hạn của vế phải tồn tại, thì ta nói tích phân suy rộng

�f ( x)dx

�

hội tụ về tổng hai giới hạn ấy.
3. Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng
 Nếu f ( z ) liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Im z �0 , giải tích

trên nửa mặt phẳng trên Im z  0 , trừ các điểm bất thường cô lập

z1 , z2 ,..., z n của nửa mặt phẳng trên Im z  0 ,

f (z) 

M
z

2

với

z

đủ

lớn thì
I

�

n

�

k 1

�f ( x)dx  2 i �Re s  f ( z ), zk 

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

(1.3.6.1.1)

Trang 4


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

 Nếu f ( z ) giải tích trên nửa mặt phẳng trên đóng Im z �0 trừ các
điểm kì dị cô lập z1 , z2 ,..., z n của nửa mặt phẳng Im z  0 ,
lim f ( z )  0
z ��

I

đều với mọi t  arg z thì

�

n

�

k 1

ix
iz

�f ( x) e dx  2 i �Re s �
�f ( z ) e , zk �
�

(1.3.6.1.2)

3.1. Định lí
Giả sử f ( z ) là một phân thức mà đa thức mẫu số có bậc lớn hơn đa thức
tử số ít nhất hai đơn vị, f ( z ) có một số hữu hạn cực điểm a1 , a2 ,..., an nằm trong
nửa mặt phẳng trên và không có cực điểm nằm trên trục thực. Khi đó ta có
�

n

�

k 1

�f ( z)dx  2 i �Re s  f ( z ), ak 

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 5


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

Chương II: Bài Tập Vận Dụng

1. Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng
Nhận dạng:
Bài toán dùng thặng dư để tính tích phân suy rộng thường có dạng
�

�f ( x)dx

�

.

Cách làm:
Xét hàm f ( z )  f ( x) , tìm các cực điểm của hàm f ( z ) , xét xem trong các
cực điểm đó cực điểm nào nằm trong nửa mặt phẳng trên, sau đó tính thặng dư
tại các cực điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên và áp dụng công thức
�

n

�

k 1

�f ( x)dx  2 i �Re s  f ( z ), zk 

để tính tích phân suy rộng.
�

Bài toán 1: Tính tích phân suy rộng

dx

�
1 x

2

�

Giải:
1
2
Ta thấy rằng 1  x liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Im z �0 , giải

tích trên nửa mặt phẳng trên Im z  0 , trừ tại điểm i của nửa mặt phẳng trên
Im z  0 . Áp dụng công thức (3.2.1) ta có:
�

dx

�
1 x

�

2

�1
�
�1 �

 2 iRes � 2 , i � 2 i � � 
1 x �
�
�2i �

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 6


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự
�

dx

�
1 x

Vậy

2

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư



�

�

Bài toán 2: Tính tích phân suy rộng

�( x

2

�

dx
 1)( x 2  4)

Giải:
1
2
Ta thấy rằng ( x  1)(x  4) liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng Im z �0 ,
2

giải tích trên nửa mặt phẳng trên Im z  0 , trừ tại các điểm i và 2i của nửa mặt
phẳng trên Im z  0 . Áp dụng công thức (3.2.1) ta có:
�

�( x

2

�

� �
�
�

�
�
dx
1
1
 2 i �
Re s � 2
,i � Re s � 2
, 2i �
�
2
2
2
 1)( x  4)
�( x  1)( x  4) �
� �( x  1)( x  4) �
�

1 �
1 
�1
 2 i � 

� 2 i
12i 6
�3.2i 3.4i �
�

Vậy

�( x

�

2

dx


2
 1)( x  4) 6
�

Bài toán 3: Tính tích phân suy rộng

I

dx

�x  1
4

�

Giải:
Hàm

f ( z) 

1


3
i
i
4
z  1 có hai cực điểm đơn a  e và b  e 4 nằm trên nửa
4

mặt phẳng trên nên theo công thức (1.3.6.1.1) ta có
z b �
� za
I  2 i  Re s  f ( z ), a   Re s  f ( z ), b    2 i �
lim 4
 lim 4 �
�z �a z  1 z �b z  1 �
z b �
1 �
� za
� 1
 2 i �
lim 4
 lim 4
lim 3  lim 3 �
� 2 i �
z �a z  1
z �b z  1
z �a 4 z
z �b 4 z
�
�

�
�


 i �1 1 �  i �a b �
�  � �  �
2 �a 3 b3 � 2 �a 4 b 4 �

(1)

Mặt khác ta có
a 4  ei  cos   i sin   1
b 4  e3i  cos 3  i sin 3  1

(2)

Thay (2) vào (1) ta được
i
 i i 4 i 34
 2
I   (a  b)   (e  e ) 
2
2
2
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 7


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

�

Vậy

I

dx

�x  1 
4

�

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

 2
2

Bài toán 4: Tính tích phân suy rộng

I

�

�( x

�

dx
 1) 2

2

Giải:
Hàm

f (z) 

1
1

2
2
( z  1)
( z  i ) ( z  i ) 2 có một cực điểm cấp hai z  i nằm
2

trong nửa mặt phẳng phía trên, do đó ta có
�
I  2 i Re s  f ( z ), i   2 i lim �
( z  i) 2 f ( z ) �
�
�
z �i

�
� 1 �
2
 2 i lim �
 2 i lim

�
2
z �i ( z  i )
z �i ( z  i )3
�
�
1 
 2 i 
4i 2
�

Vậy

I

�( x

�

dx


2
 1)
2

2

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 8


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

C. KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau:
1. Hệ thống lại các khái niệm, tính chất và những kiến thức liên quan đến thặng
dư
2. Tìm hiểu sâu hơn về thặng dư và cách tính thặng dư từ đó đưa ra các dạng bài
tập vận dụng thặng dư để tính tích phân, tính tích phân suy rộng, tính tích phân hàm
hữu tỉ lượng giác…Ở mỗi dạng hướng dẫn cho học sinh những thủ thuật giải toán và
áp dụng công thức tính thặng dư phù hợp ở từng dạng toán.
3. Xen lồng một số bài tập mức độ khó ở mỗi dạng để học sinh phát triển tư duy
và nắm vững kiến thức hơn.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 9


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hồ Công Xuân Vũ Ý, Giáo trình hàm biến phức, 2012
[2]. Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội, 2006
[3]. Phạm Nguyễn Hồng Ngự, Bài giảng hàm biến phức, 2012
[4]. Website

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 10


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 11


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

E. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng


GVHD: Phạm Nguyễn Hồng Ngự

Thặng dư và ứng dụng của thặng dư

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài..............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................................1
4. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................1
5. Phạm vi nghiên cứu.........................................................................................1
6. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
7. Đóng góp của đề tài.........................................................................................2
B. NỘI DUNG......................................................................................................3
CHƯƠNG I. THẶNG DƯ..................................................................................3
1. Định nghĩa và cách tính..................................................................................3
1.1. Định nghĩa.....................................................................................................3
1.2. Công thức tính thặng dư..............................................................................3
1.3. Các định lý cơ bản về thặng dư...................................................................5
1.3.1. Định lý ( Định lý Cauchy).........................................................................5
1.3.2. Định lý ( Định lý thặng dư toàn phần).....................................................6

1.3.3. Định lí (Thặng dư Cauchy).......................................................................7
1.3.4. Định lý........................................................................................................8
1.3.5. Định lý......................................................................................................10
1.3.6. Tích phân suy rộng..................................................................................10
1.3.6.1. Ứng dụng thặng dư để tính tích phân suy rộng.................................11
1.3.7. Định lí.......................................................................................................11
Chương II: Bài Tập Vận Dụng.........................................................................12
1. Dạng 1: Tính thặng dư..................................................................................12
2. Dạng 2: Tính tích phân bằng thặng dư.......................................................13
3. Dạng 3: Dùng thặng dư tính tích tích phân suy rộng.................................16
4. Dạng 4: Dùng thặng dư tính tích phân hàm hữu tỷ, hàm lượng giác.......18
4.1. Dùng thặng dư để tính tích phân hàm hữu tỷ.........................................18
4.2. Dùng thăng dư để tính tích phân hàm lượng giác...................................20
C. KẾT LUẬN...................................................................................................23
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................24
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng