Nghiên cứu khoa học Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đối
với học sinh trong các kì thi. Không những thế việc xây dựng một bài toán bất
đẳng thức sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và sao cho bài toán xây dựng
nên mang một nét riêng, không trùng lặp là một điều cần thiết.
Bất đẳng thức là một dạng toán phát triển tư duy và nâng cao kiến thức
cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ
bản như Côsi, Bunhiacôpski để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng
thức không phải là một điều đơn giản.
Thấy được tầm quan trọng của bất đẳng thức, với mục đích hiểu sâu hơn về bất
đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức để tạo tiền đề, cơ sở cho việc học tập tiếp theo
và mở rộng kiến thức cho bản thân. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại
số sơ cấp’ tôi chọn đề tài “Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng ” làm đề bài
tiểu luận cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về các bất đẳng thức, từ đó
có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khả năng tự sáng tạo bất
đẳng thức. Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu hơn về
các bất đẳng thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, các tính chất cơ
bản về bất đẳng thức.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Bất đẳng thức về giá trị tuyết đối
- Bất đẳng thức Côsi

- Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski
- Bất đẳng thức Becnuli
- Bất đẳng thức Jensen
- Bất đẳng thức Schwart

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

1


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

5. Phạm vi nghiên cứu
- Hệ thống các tính chất cơ bản về bất đẳng thức
- Các kiến thức liên quan.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp lại các kiến thức đã học.
- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu.
- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet
- Hỏi ý kiến chuyên gia.
7. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, bài tiểu luận này được chia thành hai chương :
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản bất đẳng thức và đưa ra một số bất
đẳng thức quan trọng
Chương 2: Đưa ra bài tập vận dụng cho từng bất đẳng thức, một số bài tập nâng
cao và ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

2


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG
1. Bất đẳng thức
1.1. Định nghĩa
Cho hai số

a b

,

¤
k k
¡
thuộc ( là trường số hữu tỉ
hay trường số thực ).

Ta nói a lớn hơn b và kí hiệu
b bé hơn a và kí hiệu
Ta nói

a

b
a>b

nếu

a −b

là một số dương. Khi đó ta cũng nói

.

lớn hơn hay bằng b và viết

a≥b

nếu

a −b

là một số dương hoặc

bằng không. Khi đó ta cũng nói b bé hơn hay bằng a và viết

b≤a

.

A(x) B(x)

Giả sử

,

là hai biểu thức toán học với miền xác định chung của đối

số x là S (hoặc có thể xem là hai biểu thức toán học của cùng n đối số
nếu ta xem

x = ( x1 , x2 ,...., xn )

thuộc

A( x) < B( x)
A( x) ≤ B( x)

kn

hay
hay

nếu tại mọi giá trị thừa nhận được
A( x 0 ) < B( x 0 )
A( x 0 ) ≤ B( x 0 )

x0

x1 , x2 ,...., xn

,

. Ta nói:
B ( x) > A( x)

B( x) ≥ A( x)

của đối số

hay
hay

x

thuộc S ta đều có tương ứng:

B( x 0 ) > A( x 0 )
B( x 0 ) ≥ A( x 0 )

là các bất đẳng thức đúng bằng số trên trường số

k

.

Chú ý rằng quan hệ “lớn hơn” chỉ có trên những trường hợp sắp thứ tự
(chẳng hạn trường số thực

¡

¤

, trường hữu tỉ

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

3

). Trường số phức

£

không phải


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

là một trường sắp thức tự nên không thể xác lập được quan hệ “lớn hơn”, “nhỏ
hơn” cho hai số phức phân biệt (trong đó ít nhất một số không phải là số thực).
6

*Ví dụ: 7 > 3, 9 > 5 + 3,

≥

> 2, 5 3 + 2

x 2 ≥ 2 x − 1 ∀x ∈ ¡

,

1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Ta chứng minh được dễ dàng các tính chất sau đây trong đó A, B, C, D,… là các
số hoặc các biểu thức toán học của cùng một số đối số xét trên cùng một trường số
•
•
•

•
•

•

•
•

A< B⇒ B > A

A > B, B > C ⇒ A > C

A> B
⇒ A+C > B + D
C > D
A>B⇒

A> B
 ⇒ A−C > B − D
C < D
A> B


 ⇒ AC > BD
C > D > 0
A > B > 0 ⇒ An > B n

•

(

A> B>0⇒ A > B
n

•

(tính bắc cầu)

A > B ⇒ A+C > B+C

A>B>0

n

(

∀n ∈ N *
∀n ∈ N

B< A<0⇒

hoặc

)

)

1 1
>
B A

2. Các bất đẳng thức quan trọng
2.1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
2.1.1. Định nghĩa
a) Cho các số thực

a1 a2

,

,…,

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

an

, thì hiển nhiên ta có

4

k

.


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

a1 + a2 + .... + an ≤ a1 + a2 + .... + an .

b) Cho các số thực khác không bất kì a, b, ta có:
a b
+ ≥ 2.
b a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
*Chứng minh:
Thật vậy:
2

a = ±b

2

.

2

2

2

a b
a b
a b
 −  ≥0⇔  +  ≥ 2⇔  +  +2≥ 4
b a
b a
b a
2

a b
a b
⇔  +  ≥ 2 2 ⇔ + ≥ 2.
b a
b a

2.2. Bất đẳng thức Côsi
2.2.1. Định nghĩa
Cho n số thực không âm bất kì

a1 a2

,

,…,

an

, thế thì trung bình cộng của n số đó

lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
a1 + a2 + .... + an n
≥ a1a2 ... an
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a1 = a2 = ... = an

Bất đẳng thức Côsi còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung
bình nhân.
*Chứng minh: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n

+ Với n=2 ta có

Thật vậy:
mọi

a1 + a2
≥ a1a2
2

a1 + a2
≥ a1a2 ⇔ a1 + a2 − 2 a1a2 ≥ 0 ⇔
2

a1 , a2 ≥ 0

+ Nếu

x1 , x2

là số thực không âm thì

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

5

(

a1 + a2

)

2

≥0

đúng với


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng
x1 < x2 ⇔ x1n−1 < x2n−1

Vậy với mọi

x1 , x2

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

.

là số thực không âm thì ta luôn có
( x1n−1 − x2n−1 )( x1 − x2 ) ≥ 0
⇔ x1n + x2n ≥ x1 x2n−1 + x2 x1n−1

Lấy n số thực không âm

x1 , x2 ,..., xn

, viết các bất đẳng thức tương ứng rồi cộng

lại ta được:
( x1n + x2n ) + ( x1n + x3n ) + ... + ( x1n + xnn ) + ( x2n + x3n ) + ... + ( x2n + xnn ) + ... + ( xnn−1 + xnn )
≥ ( x1 x2n−1 + x2 x1n−1 ) + ( x1 x3n−1 + x3 x1n−1 ) + ... + ( x1 xnn−1 + xn x1n−1 ) + ... + ( xn−1 xnn−1 + xn xnn−−11 )

(*)

Từ đó:
(n − 1)( x1n + x2n + ... + xnn ) ≥ x1 ( x2n−1 + x3n −1 + ... + xnn−1 )
+ x2 ( x1n−1 + x3n−1 + ... + xnn−1 ) + ... + xn ( x1n −1 + x2n−1 + ... + xnn−−11 )

(**)

Theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n-1 số thực không âm bất kì,
trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:
x2n−1 + x3n −1 + ... + xnn−1 ≥ (n − 1) x2 x3 ... xn
x1n−1 + x3n −1 + ... + xnn−1 ≥ (n − 1) x1 x3 ... x n
.......... .......... .......... ...
x1n−1 + x2n −1 + ... + xnn−−11 ≥ (n − 1) x1 x2 ... xn −1

(***)

Từ (**) và (***) ta có thể suy ra được
( n − 1)( x1n + x2n + ... + xnn ) ≥ n(n − 1) x1 x2 ... xn

x1n = a1 , x2n = a2 ,..., xnn = an

Trong hệ thức này đặt

ta được

a1 + a2 + .... + an n
≥ a1a2 ... an
n

(đpcm)
2.3. Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski
2.3.1. Định nghĩa

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

6


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Cho n cặp số thực tùy ý

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

a1 , b1 ∈ ¡ i = 1, 2,...., n

,

. Thế thì

2

n
  n 2  n 2
a
b
∑ 1 i  ≤ ∑ ai .∑ bi 
 i=1
  i=1   i=1 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại

k ∈¡

sao cho

bi = kai , i = 1,2,..., n

.

*Chứng minh:
Với

∀x ∈ ¡

ta có:
(a1 x − b1 ) 2 ≥ 0
.......... .....
(an x − bn ) 2 ≥ 0.

Từ đó suy ra:
a12 x 2 − 2a1b1 x + b12 ≥ 0
.......... .....
an2 x 2 − 2an bn x + bn2 ≥ 0

Cộng vế theo vế ta được:
(a12 + a22 + ... + an2 ) x 2 − 2(a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) x + (b12 + b22 + ... + bn2 ) ≥ 0

Ta thấy rằng vế trái là một tam thức bậc hai
f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡

Ta có

, nếu

A>0

f ( x) = Ax 2 + Bx + C

thì

∆' = B − AC = (a1b1 + a2 b2 + ... + an an ) + (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) ≤ 0
2

Từ đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Nếu

A=0

thì

a1 = a2 = ... = an

khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
∆' = 0 ⇔ a1 x − b1 = ... = an x − bn = 0
b1 = ka1 ,..., bn = kan , ∀k ∈ R

2.4. Bất đẳng thức Becnuli

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

7


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

2.4.1. Định nghĩa
Đối với mọi số thực dương a và số hữu tỉ q > 1 (

0 < a∈¡

,

1< q∈¤

) thì:

(1 + a ) q > 1 + qa

*Chứng minh:
q∈¤

m
n

q=

q >1

m > n m, n ∈ ¥

Do
và
nên
trong đó
,
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số ta được:

.

    n    
  m−n 
(1 + qa) + ... + (1 + qa ) + 1 + 1 + ... + 1 n
> (1 + qa) n .1m−n
m

hay

n(1 + qa) + m − n > m(1 + qa ) n m
n 1
=
m q

Nhưng

, vậy ta có:
1 + a > (1 + qa )1 q

hay
(1 + a ) q > 1 + qa

2.5. Bất đẳng thức Jensen
2.5.1. Hàm lồi và hàm lõm
2.5.1.1. Hàm lồi
f (x)

Hàm
0 ≤ λ ≤1

được gọi là hàm lồi trên khoảng (a, b) nếu với mọi

x1 , x2 ∈ ( a, b)

và

:
f (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f (x)

Hàm
λ =1

được gọi là lồi chặt nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.
f (x) = x

*Ví dụ:

,

f ( x) = x2

,

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

f ( x) = e x

8

λ =0

hoặc


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

2.5.1.2. Hàm lõm
f (x)

Hàm

f (x )

được gọi là hàm lõm nếu f ( x) = x

*Ví dụ:

,

là hàm lồi

f ( x) = log10 x

2.5.2. Bất đẳng thức Jensen
2.5.2.1. Định nghĩa

k

∀xi ∈ k, pi ∈ [ 0,1] , ∑ pi = 1

f

Nếu

i =0

là hàm lồi trên K thì

ta có:

 k

p
f
(
x
)
≥
f
 ∑ p i xi 
∑
i
i
i =1
 i =1


k

Với mọi hàm lồi chặt dấu bằng chỉ xảy ra khi
chặt dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x1 = x2 = .... = xn

x1 = x2 = .... = xn

. Với mọi hàm lõm

.

*Chứng minh:
+ Với

k =2

ta có:

p1 f ( x1 ) + p2 f ( x2 ) ≥ f ( p1 x1 + p2 x2 )

+ Giả sử bất đẳng thức Jensen đúng với
đặt

qi = pi /(1 − pk )

với

i = 1,2,..., k − 1

k −1

f

(vì

là hàm lồi)

, ta sẽ chứng minh nó đúng với k. Ta

. Ta có:

k −1
 k −1

p
f
(
x
)
=
p
f
(
x
)
+
(
1

−
p
)
q
f
(
x
)
≥
p
f
(
x
)
+
(
1
−
p
)
f
 ∑ qi xi 
∑
i
i
k
k
k ∑ i
i
k

k
k
i =1
i =1
 i =1

k

k −1
 k

≥ f ( pk xk + (1 − pk )∑ qi xi ) = f  ∑ pi xi 
i =1
 i =1


2.6. Bất đẳng thức Schwartz
2.6.1. Định nghĩa

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

9


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Giả sử

a1 , a2 ,..., an

là các số thực bất kì và

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

b1 , b2 ,..., bn

là các số dương. Khi đó ta

luôn có:
a 2 (a + a2 + ... + an ) 2
a12 a22
+
+ ... + n ≥ 1
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(*)

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

*Chứng minh:
+ Với

n=2

ta luôn có:
a12 a22 ( a1 + a2 ) 2
+
=
b1 b2
b1 + b2

Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành
a 2 y ( x + y ) + b 2 x( x + y ) ≥ ( a + b) 2 xy ⇔ ( ay − bx) 2 ≥ 0

+ Giả sử bất đẳng thức Schwartz đúng với
Với

a1 , a2 ,..., an

là các số thực bất kì và

n −1

b1 , b2 ,..., bn

(luôn đúng)

, ta sẽ chứng minh nó đúng với n.

là các số dương. Khi đó ta luôn có:

a2
a 2 (a + a2 + ... + an−1 ) 2 an2 (a1 + a2 + ... + an ) 2
a12 a22
+
+ ... + n−1 + n ≥ 1
+
≥
b1 b2
bn−1 bn
b1 + b2 + ... + bn−1
bn
b1 + b2 + ... + bn
⇒

a 2 (a + a2 + ... + an ) 2
a12 a22
+
+ ... + n ≥ 1
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

10


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

CHƯƠNG II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Bài tập áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
1.1. Bài tập áp dụng
x, y

Bài toán 1: Cho hai số thực

cùng dấu. Chứng minh rằng:
x+ y ≥

x+ y
+ xy
2

*Chứng minh:
x + y ≥2 x y

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Suy ra
x+ y x+ y
x+ y 2 x y
x+ y
+
≥
+
⇔ x+ y ≥
+ xy
2
2

2
2
2

(1)
Lại có
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

11


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

x+ y
x+ y
+ xy ≥
+ xy
2
2

(2)
x+ y ≥

x+ y
+ xy
2

Từ (1) và (2) suy ra

a ≤ 1, b ≤ 1

a, b

Bài toán 2: Cho các số thực

sao cho

. Chứng minh:

a + b ≤ 1 + ab

*Chứng minh:
Ta có
a ≤ 1 ⇒ a2 ≤ 1 ⇒ a2 −1 ≤ 0

(1)
b ≤ 1 ⇒ b2 ≤ 1 ⇒ 1− b2 ≥ 0

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( a 2 − 1)(1 − b 2 ) ≤ 0 ⇒ a 2 + b 2 − a 2 b 2 − 1 ≤ 0
⇒ a 2 + b 2 ≤ a 2 b 2 + 1 ⇒ a 2 + b 2 + 2ab ≤ a 2 b 2 + 2ab + 1
⇒ (a + b) 2 ≤ (1 + ab) 2
⇒ a + b ≤ 1 + ab

1.2. Bài tập tự luyện
x y z
Bài tập 1: Cho , , là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
x− y y−z z−x 1

+
+
≤
x+ y y+z z+x 8

Bài tập 2: Cho hai số thực

a b

,

a ≤1 b ≤1

trong đó

,

a + b ≤ 1 + ab

Bài tập 3: Chứng minh rằng
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

12

. Chứng minh rằng


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Nếu

Nếu

a b

,

cùng dấu thì

a b

,

Bài tập 4: Cho số thực

a b
+ ≥2
b a

a b
+ ≤ −2
b a

trái dấu thì
x

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

2 x − 1 + x − 3 + x + 4 − 3x + 4 = 0

thỏa

.Chứng minh rằng

2. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi
2.1. Bài tập áp dụng
Bài toán 1: Cho

a, b, c > 0

. Chứng minh:

(1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc ) 3

*Chứng minh:
Ta có:

(1 + a )(1 + b)(1 + c ) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca

a , b, c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho

ta được:

a + b + c ≥ 33 abc

ab, bc, ca

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho

Suy ra
hay

ta được:

ab + bc + ca ≥ 33 a 2b 2 c 2

(1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 1 + 33 abc + 33 a 2b 2 c 2 + abc

(1 + a)(1 + b)(1 + c ) ≥ (1 + 3 abc ) 3

Bài toán 2: Với mọi số thực a. Chứng minh:
A=

a2 + 2
a2 +1

≥2

*Chứng minh:
Ta có:
A=

a2 + 2
a +1
2

(
=

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

)

2

a2 +1 +1
a +1
2

13

= a2 +1 +

1
a2 +1

x≥2


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Vì

a 2 + 1 > 0, ∀a ∈ ¡

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

1
a2 +1

ta được:
a2 +1 +

1
a2 +1

≥2

a 2 + 1.

1
a2 +1

⇒ A≥2

2.2. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho ba số thực

a b c

,

, . Chứng minh rằng

(ab + bc + ca )2 ≥ 3abc(a + b + c )

Bài tập 2: Cho hai số

a b

,

thỏa

a ≥1 b ≥1

,

. Chứng minh rằng

1
1
2
+
≥
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

Bài tập 3: Cho hai số

a b

,

thỏa

a+b ≥ 2

. Chứng minh rằng

a 4 + b4 ≥ a3 + a3

Bài tập 4: Cho ba số thực dương và

a + b + c =1

. Chứng minh rằng

 1  1  1 
1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 64
 a  b  c 

3. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski
3.1. Bài tập áp dụng

Bài toán 1: Cho

a +b ≥1

a2 + b2 ≥

. Chứng minh

*Chứng minh:
1 ≤ a + b ⇒ 1 ≤ (1a + 1b) 2

Ta có
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

14

1
2

a2 +1

và


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

(1a + 1b) 2 ≤ (12 + 12 )( a 2 + b 2 ) ⇔ (1a + 1b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 )

Từ (1) và (2) suy ra

(2)

1
a2 + b2 ≥
2

a , b, c

Bài toán 2: Cho

là ba số thực không âm và

a +b + c =1

. Chứng minh

a+b + b+c + c+a ≤ 6

*Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski cho hai bộ số 1; 1; 1 và
c+a

ta có:

[

a+b

(1. a + b + 1. b + c + 1. c + a ) 2 ≤ (1 + 1 + 1) ( a + b ) 2 + ( b + c ) 2 + ( c + a ) 2
⇒ ( a + b + b + c + c + a ) 2 ≤ 3(a + b + b + c + c + a ) = 6
⇒ a +b + b+c + c+a ≤ 6

3.2. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho hai số thực

a b

,

thỏa mãn

a + b ≥1

a 4 + b4 ≥

Bài tập 2: Cho

a b c

,

,

là ba số dương và
x2 +

Bài tập 3: Cho hai số thực

. Chứng minh rằng

1
8

a + b + c ≤1

. Chứng minh rằng

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z

a b

, . Chứng minh rằng

( a − 2b + 1) 2 + (2 a − 4b + 5) 2 ≥

Bài tập 4: Cho hai số thực

a b

,

và

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

a + 2b = 2

9
5

. Chứng minh rằng

15

,

]

b+c

,


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng
a 2 + b2 ≥

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

4
5

4. Bài tập áp dụng bất dẳng thức Becnuli
4.1. Bài tập áp dụng
a, b, c

Bài toán 1: Cho

là các số dương. Chứng minh

a n + bn  a + b 
≥

2
 2 

n

*Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Becnuli ta có:
n

n

n

n

a−b
 2a 
 a −b

 = 1 +
 ≥1+ n
a+b
a+b
 a+b
a −b
 2b 
 a−b


 = 1 −
 ≥ 1− n
a+b
a+b
 a+b

Cộng tương ứng hai vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
n

n

an + bn  a + b 
 2a   2b 
≥

 +
 ≥2⇔

2
a +b a+b
 2 

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n≥2

n

ta có bất đẳng thức

2 3 3
n + 1 n(n + 2)
+
+ ... + n+1
≤
1
2
n
n +1

*Chứng minh:
Để khử các căn bậc k+1, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Becnuli như sau:

k +1
1
1 

= 1 + (k + 1)
≤ 1 +
k
k (k + 1)  k (k + 1) 

k +1

, ∀k ≥ 1

Từ đó lấy căn bậc k+1 từng vế ta được:
k +1

Cho

k = 1,2,..., n

k +1
1
1
1
≤ 1+
= 1+ −
, ∀k ≥ 1
k
k (k + 1)
k k +1

rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức lại với nhau ta được:

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

16


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

2 33
n +1  1 1   1 1 
1 
 1

+
+ ... + n +1
≤ 1 + − ÷+  1 + − ÷+ ... +  1 + −
÷
1
2
n
 1 2  2 3
 n n −1 

⇒

2 33
n +1
1
+
+ ... + n +1
≤ n +1−
1
2
n
n +1
2 33
n + 1 n(n + 2)
+
+ ... + n +1
≤
1
2
n

n +1

⇒

4.2. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số dương
3

a b c

, , ta có bất đẳng thức

3

3

3
 a 
 b 
 c 

÷ +
÷ +
÷ ≥ 3
2
b+c
c+a 
 a +b 

Bài tập 2: Cho

x1 , x2 ,..., xn

là các số dương. Chứng minh rằng với mọi

m>n>0

luôn có
1

1

 x1m + x2m + ... + xkm  m  x1n + x2n + ... + xkn  n

÷ ≥
÷
n
n





Bài tập 3: Cho

A B C
, , là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng
sin

2

A + sin

2

 3
B + sin C ≤ 3 
÷
÷
 2 
2

5. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Jensen
5.1. Bài tập áp dụng
Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi

∆ABC

sin A + sin B + sin C ≥

ta luôn có:

3 3
2

*Chứng minh:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

17

2

ta


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Xét

f ( x) = sin x

với

x ∈ (0, π )

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

f (x)

suy ra

là hàm lồi

Theo Jensen ta có:
f ( A) f ( B ) f (C )
A B C
+
+
≥ f + + ÷
3

3
3
3 3 3
 A+ B+C 
⇔ f ( A) + f ( B) + f (C ) ≥ 3 f 
÷
3


π 
⇔ f ( A) + f ( B) + f (C ) ≥ 3 f  ÷
3

sin A + sin B + sin C ≥

hay

3 3
2

(đpcm)

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi
sin

∆ABC

ta luôn có:

A

B
C
A
B
C 3
+ sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3
2
2
2
2
2
2 2

*Chứng minh:

Đặt

 π
f ( x) = sin x + tan x, ∀x ∈  0, 
 2

f (x)

suy ra

là hàm lồi

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta được:
 A
B

C
A B C
f ÷ f ÷ f ÷
+ +
2
2
2
 +  +  ≥ f  2 2 2 ÷

÷
3
3
3
3

÷


 A
B
C 
f ÷ f ÷ f ÷
2
2
2
 A+ B +C 
⇒  +  +  ≥ f 
÷
3
3

3
6


 A
B
C 
π 
⇒ f  ÷+ f  ÷+ f  ÷ ≥ 3 f  ÷
2
2
2
6
π
π
 A
B
C 

⇒ f  ÷+ f  ÷+ f  ÷ ≥ 3  tan + sin ÷
6
6
2
2
2


⇒ sin

A

B
C
A
B
C 3
+ sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3
2
2
2
2
2
2 2

5.2. Bài tập tự luyện

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

18


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

A B C
Bài tập 1: Cho , , là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng
tan

Bài tập 2: Cho

A
B
C
+ tan + tan ≥ 3
2
2
2

a b c

, , là các cạnh của tam giác ABC bất kì và

x y z

, ,

là các số dương,

p là nửa chu của tam giác ABC. Chứng minh rằng
a 3 b3 c 3
8s 3
+ + ≥
x
y z 3( x + y + z )

6. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Schwartz
6.1. Bài tập áp dụng
x, y , z

Bài toán 1: Cho ba số thực dương

thỏa mãn

x+ y+z≥3

.Chứng minh rằng:

x2
y2
z2
3
+
+
≥
x + yz y + zx z + xy 2

*Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz, ta có:
x2
y2
z2
( x + y + z) 2
+
+
≥
x + yz y + zx z + xy x + y + z + xy + yz + zx

Mặt khác:
x + y + z ≥ xy + yz + zx

nên ta có:
x2
y2
z2
( x + y + z) 2
+
+
≥
x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z
⇒

x2
y2
z2
x+ y+z 3
+
+
≥
≥
2
2
x + yz y + zx z + xy
a , b, c

Bài toán 2: Cho các số thực dương

. Chứng minh rằng:

a3
b3

c3
a+b+c
+ 2
+ 2
≥
2
2
2
2
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

19


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

*Chứng minh:
Ta có:
a3
b3
c3
+
+

a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
a4
b4
c4
=
+
+
a (a 2 + ab + b 2 ) b(b 2 + bc + c 2 ) c(c 2 + ca + a 2 )
Áp dung bất đẳng thức Schwartz ta được:

a4
b4
c4
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
+
+
≥
a(a 2 + ab + b 2 ) b(b 2 + bc + c 2 ) c(c 2 + ca + a 2 ) a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

Vì
a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 )

Nên
a3
b3
c3
a2 + b2 + c2
+
+
≥

a+b+c
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

Mặt khác:
(a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0 ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca ≥ 0
⇔ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 ⇔

a2 + b2 + c2 a + b + c
−
≥0
a+b+c
3

a2 + b2 + c2 a + b + c
⇔
≥
a+b+c
3

Suy ra

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2

2
2
2
2
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a

6.2. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho ba số thực dương

a b c

,

, . Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
≥1
b + 2c c + 2a a + 2b

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

20

(đpcm)


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Bài tâp 2: Cho ba số thực dương

a b c

,

,

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm
a2 + b2 + c2 ≥

thỏa mãn

1
3

. Chứng minh rằng

a3
b3
c3
1
+
+
≥

2a + 3b + 5c 2b + 3c + 5a 2c + 3a + 5b 30

Bài tập 3: Cho ba số thực dương

a b c

,

,

a 2 + b 2 + c 2 = 3abc

thỏa mãn

. Chứng minh

rằng
a
b
c
9
+ 2 2+ 2 2≥
bc ca ab
a+b+c
2 2

Bài tập 4: Cho ba số thực dương

a b c

,

, . Chứng minh rằng

a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a 2
+
+
≥ a+b+c
a+b
b+c
c+a

7. Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị
7.1. Các định lí
7.1.1. Mệnh đề 1.
Nếu tổng của các số thực dương
chúng lớn nhất khi

x1 , x2 ,..., xn

bằng một số cho trước thì tích của

x1 = x2 = ... = xn

*Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
S x1 + x2 + ... + xn n
=
≥ x1 x2 ... xn
n
n

S 
⇔ x1 x2 ... xn ≤  
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x1 , x2 ,..., xn

n

x1 = x2 = ... = xn

đã cho, khi đó tích có giá trị lớn nhất.

7.1.2. Định lí 2.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

21

. Với S là tổng của n số dương


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Nếu n số thực dương

x1 , x2 ,..., xn

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

có tổng S không đổi thì tích

P = x1m1 x2m2 ... xnmn

có

giá trị lớn nhất khi
x1
x
x
= 2 = ... = n
m1 m2
mn

trong đó

mi

là các số hữu tỉ dương cho trước

7.1.3. Mệnh đề 3.
Nếu tích các số dương
nhất khi

x1 = x2 = ... = xn

x1 , x2 ,..., xn

bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé

.

*Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
x1 + x2 + ... + xn n
≥ x1 x2 ... xn = n P
n
⇔ x1 + x2 + ... + xn ≥ n n P

x1 = x2 = ... = xn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x1 , x2 ,..., xn

. Với P là tích của n số dương

đã cho, khi đó tổng có giá trị bé nhất.

7.1.1. Định lí 4.
Nếu n số thực dương

S = x1 + x2 + ... + xn

x1 , x2 ,..., xn

P = x1m1 x2m2 ... xnmn

có tích

có giá trị bé nhất khi

không đổi thì tổng

x
x1
x
= 2 = ... = n
m1 m2
mn

( trong đó

mi , i = 1,2..., n

là

các số hữu tỉ dương cho trước).
7.2. Áp dụng
Bài toán 1: Cho

a, b, c ≥ 0

, biết

a +b + c =1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a 3 + b3 + c3

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

22


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

*Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
1
1 a
+
≥
27 27 3
1
1 b
b3 +
+
≥
27 27 3
1
1 c
c3 +
+
≥
27 27 3
a3 +

Cộng tương ứng hai vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

6 a+b+c
6 1
≥
⇔ a 3 + b3 + c3 +
≥
27
3
27 3
1
⇔ a 3 + b3 + c 3 ≥
9
a 3 + b3 + c3 +

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

1
9

a=b=c=

, khi

Bài toán 2: Tìm giá trị bé nhất của
a2 + b2 + c2 = 4

1
3

S = x2 + y2 + z2

với

P = ax + by + cz = 6

và

. Giá trị đó đạt được khi nào?

*Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski ta có:
( x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (ax + by + cz ) 2

Do đó
S = x2 + y2 + z2 ≥

P2
36
=
=9
2
2
2
a +b +c
4

Vậy S có giá trị bé nhất là 9 khi:
x=

aP
3a

bP
3b
cP
3c
=
;y= 2
= ;z = 2
=
2
2
2
2
2
2
a +b +c
2
a +b +c
2
a +b +c
2
2

A=

* Bài toán 3: Với x không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
*Giải:

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

23

x+8
x +1


Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

2

Ta có:

x + 8 ( x − 1) + 9
9
9
A=
=
= x −1+
= x +1+
−2
x +1
x +1
x +1
x +1
9

Vì

x≥0

nªn

x

được xác định và

x +1 > 0

,

x +1

>0

9
x +1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

và

x +1

Ta có:
A = x +1+

9
−2≥2
x +1

(

)

x +1.

x +1 =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

9
−2⇒ A≥4
x +1

9
⇒x=4
x +1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi và chỉ khi

x=4

7.3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho

x>0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 3 + 2000

x

Bài tập 2: Cho

x>0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2x2 − 6x + 5
2x

Bài tập 3: Cho

x> y

và

x. y = 5

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 2 − 12 xy + y 2
x− y

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
5 − x + x −1

Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

24

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm

(2 x 2 − 1)(2 − x 2 )

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x

25 − x 2

8. Một số bài tập nâng cao
x, y , z , t

Bài tập 1: Cho các số thực dương

thỏa mãn

xyzt = 1

. Chứng minh

rằng:
1
1
1
1
4

+ 3
+ 3
+ 3
≥
x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3
3

*Chứng minh:
1
1
1
1
; y = ; z = ;t =
a
b
c
d

x=

Đặt

, theo đề ta có

1
=
3
1
x ( yz + zt + ty )
a3

abcd = 1

1

=

và

a2
b+c+d

1
1 
 1
+
 +

 bc dc bd 
1
1
b2
=
=
1  1
1
1  a+c+d
y 3 ( xz + zt + tx )
+
+


3 
b  ac cd da 
1
1
c2
=
=
1
1  a+b+d
z 3 ( yt + xt + xy ) 1  1
+
+ 
3 
c  bd ad ab 
1
1
d2
=
=
1  1
1
1  a+b+c
t 3 ( yz + zx + xy )
+
+ 
3 
d  bc ca ab 

(1)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
1
1
1
1
+ 3
+ 3
+ 3
x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy )
3

=

a2
b2
c2
d2
+
+
+
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có:

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

25