Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ MÙI
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV
SƠN LA −2013

4
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹ
Nguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đại
học Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các
thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại học
Tây B ắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, gi úp đỡ em
trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Sơn La, ngày tháng năm
Sinh viên
Nguyễn Thị Mùi
0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5
0.1 PHẦN MỞ ĐẦU
0.1.1 Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học
cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng
rộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhu
cầu của cơ họ c . Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng

ta thường chú ý tới hai vấn đề cơ bản như sau: Thứ nhất
,mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý như:tìm hàm sóng
trong dao động của dây,màng mỏng,vật rắn đàn hồi ,sóng điện
tử ,cũng như tìm phân bố nhiệt độ trong một vật t hể,v.v
Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường
gặp trong vật lý , dẫn đến một ngành giải tích mới của g iải
tích-phương trình vật lý toán vào giữa thế kỷ XVIII.Những
người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến
:J.D’Alembert,L.Eul er,D.Becnulli,J.Lagrange,P.laplece, S.Poison,
J.Fourier. Các ý tưở ng và phương pháp nghiên cứu của họ khi xem
xét các bài toán vật lý cụ thể ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết
tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cuối thế kỷ XIX. Thứ
hai ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung
cho các ng ành toán học và khoa học khác như :giải tích hàm và
lý thuyết hàm ,tôpô đại số,giải tích phức,lý thuyết xác suất,v.v
Chính nhà toán học Poincare năm 1890 đã nhấn mạnh rằng:, rất
nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:Thủy động lực
học,điện học,nhiệt học,quang học,lý thuyết đàn hồi,v.v ,có thể
nghiên cứu bằng công cụ giống nhau đó là phương trình đạo hà m
riêng.P hương t rình đạo hàm riêng là cầu nối giữa toán học và
ứng dụng,nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú
,tính đầy đủ sâu sắc ,tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như
tối ưu,điều khiển tối ưu,trò chơi vi phân,giải tích số,tính toán
khoa học„, kể cả các lý thuyết như lý thuyết kì dị,ta i biến,rẽ
nhánh,hỗn lo ạn. Tuy trên thế giới phương t rình đạ o hàm ri êng
đã và đang phát tr iển mạnh nhưng ở nước ta sách về tiếng việt
còn rất ít.cùng với sự yêu thích nghiên cứu Toán học ứng dụng,để
0.2 Đối t ượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu 6
bước đầu nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng trong khóa
luận của mình em xi n tìm hiểu về không gian Sobolev ,cụ thể hơn

là nhiên cứu các t ính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng
để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như
sự biểu diễn tiệm cận của ng hiệm suy rộng gần các nghiệm kì dị
của phương trình đạo hà m riêng tuyến t ính. Nhằm giúp những
bạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạ o hàm
riêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này
em lựa chọn nghi ên cứu đề t ài: Một số bất đẳ ng thức quan trọng
trong k hông gian Sobolev.
0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu
0.2.1 Đối tượng
Nghiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng
trong k hông gian Sobolev
0.2.2 Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý t huyết
• Sưu tầm tà i liệu
• Trao đổi với giáo viên hướng dẫn trên cơ sở đó phân tích,diễn
giải,làm rõ và trình bày có hệ thống vấn đề đặt ra
0.2.3 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên các không gian hàm đặc biệt là các không gian
Sobolev.
0.3 Mục đích,nhiệm vụ 7
0.3 Mục đích,nhiệm vụ
0.3.1 Mục đích
Nhằm khám phá và hiểu rõ hơn về phương trình đạo hàm riêng
hiện đại đặc biệt là nghiên cứu sâu các tính chất của khô ng g ian
Sobolev với các tính chất,các bất đẳng thức và các định lý nhúng.
0.3.2 Nhiệm vụ
Với mục đích đặt ra nhiệm vụ của nghiên cứu là phát biểu và
chứng minh,trình bày có hệ thống lôgic chặt chẽ các tính chất,các
bất đẳng thức một số định lý nhúng trong không gian Sobolev

Mục lục
0.1 PHẦN MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Đối t ượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu . . . 6
0.2.1 Đối tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2.2 Phương pháp nghi ên cứu . . . . . . . . . . 6
0.2.3 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . 6
0.3 Mục đích,nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.2 Nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Kiến thức cơ sở 14
1.1 Một số kiến thức về giải tích thực . . . . . . . . . 14
1.1.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Định lý Gauss-Green . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Tọa độ cực,công thức đổi miền . . . . . . . 14
1.1.5 Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . 14
MỤC LỤC 9
1.2.2 Bất đẳng thức Young’s . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Bất đẳng thức Young với số ǫ . . . . . . . 15
1.2.4 Bất đẳng thức H ¨oder . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Bất đẳng thức H ¨oder dạng tổng quát . . 15
1.2.6 Bất đẳng thức Minkowshi . . . . . . . . . 16
1.2.7 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn L
p
(U) . . 16

1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . 16
1.3.1 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . 16
1.3.2 Không gian H¨oder . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Không gian L
p
(U) . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Một số kiến thức về l ý thuyết độ đo . . . . . . . . 16
1.4.1 Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16
1.4.3 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16
1.4.4 Phép toán vi phân . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Không gian Sobolev 18
2.1 Hàm trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình . . . . . . . . 18
2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình . . . . . 18
2.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng . . . 19
2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng . . 19
2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hà m suy rộng và liên
tục tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Không gian Sobol ev W
m
p
(U) và
◦
W
m
p
(U) . . . . . . 19

MỤC LỤC 10
2.3.1 Định ng hĩa k hông gian W
m
p
(U) với (1 ≤
p < ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Định nghĩa không gian
◦
W
m
p
(U) . . . . . . 19
2.4 Xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Xấp xỉ trong bởi các hàm mịn . . . . . . . 21
2.4.2 Xấp xỉ bởi cá c hàm mịn . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn . . . . . 21
2.4.4 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Các bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN 42
Những kí hiệu
Những ký hiệu được sử dụng trong Khóa luận này:
• Giả sử u : U → R, x ∈ U.
1.
∂u
∂x
i
(x) = lim
h→0

u(x + he
i
) − u(x)
h
, nếu giới hạn này tồn tại.
2. Ta thường viết u
x
i
thay cho
∂u
∂x
i
3. Tương tự u
x
i
x
j
=
∂
2
∂x
i
∂x
j
4. △u =
n

i=1
u
x

i
x
j
- là toán tử Laplace của u.
• R
n
là không gian vectơ Eucild thực n chiều,R = R
1
.
x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ R
n
là một điểm tr ong R
n
• Điểm t huộc R
n+1
ta thường viết (x, t) = (x
1
, · · · , x
n
, t) , t =
x
n+1
• U, V, W thường sử dụng là một miền tro ng R
n
, tức là một
tập mở và liên thông. Ta viết V ⊂⊂ U nếu V ⊂

V ⊂ U và V
là tập compact.
• ∂U là biên của U,
U = U ∪ ∂U- là bao đóng của U.
B(x, r) = { y ∈ R
n


|x − y| < r} là hình cầu mở trong R
n
với
tâm x và bán kính r > 0.
B[x, r] = {y ∈ R


|x − y| ≤ r} là hình cầ u đóng với tâm x,
bán kính r > 0.
α(n) là thể tích hình cầu đơn vị trong R
n
, α(n) =
π
n
2
Γ(
n
2
+ 1)
Kí hiệu 12
• u
+

= max(u, 0), u
−
= min( u, 0), u = u
+
+u
−
, |u| = u
+
+u
−
Hàm sign được định nghĩa:
sgn(x) =





1 nếu x > 0
0 nếu x = 0
−1 nếu x < 0
• Nếu U là mịn (n − 1)-chiều trong R
n
ta viết

U
uds là tích
phân của u trên U.
•

B(x,r)

udy =
1
α(n)r
n

B(x,r)
udy−là giá trị trung bình của hàm
u tr ên B(x, r).
• α = (α
1
, · · · , α
n
) là đa chỉ số với các thành phần nguyên
không âm, |α| = α
1
+ · · · + α
n
. Giả sử ζ = (ζ
1
, · · · , ζ
n
) ∈ R
n
.
Khi đó ζ
α
= (ζ
α
1
1

· · · ζ
α
n
n
). Đạo hàm suy rộng (đ.h.s.r) cấp α
được kí hiệu là:
D
α
= D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
· · · ∂x
α
n
n
Đặc biệt :
▽ =

∂
∂x
1
, · · · ,
∂

∂x
n

• Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả
các đi ểm m à hàm đó khác không và kí hiệu su pp.
supp u={
x ∈ U | u(x) = 0} Khi supp u ⊂⊂ U và supp u là
compact thì ta nói u có giá compact trên U Kí hiệu C
m
(U)
là t ập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp
m trong miền U, 0 ≤ m ≤ ∞, C
0
(U) = C(U), C
m
◦
(U) =
C
◦
(U) ∩ C
m
(U), Ở đó C
◦
(U) là t ập hợp tất cả các hà m liên
tục t rong U và có giá compact thuộc U.
C
∞
◦
(U) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact
trên U trù mật trong L

p
(U) với 1 ≤ p < ∞
Kí hiệu 13
• L
p
(U), 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach bao gồm tất cả các
hàm u(x) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong U với chuẩn:
u
p
=



U
|u|
p
dx


1
p
.
• L
∞
(U) là không gian B anach bao gồm tất cả các hàm u(x)
đo được và bị chặn hầu khắp nơi (k.h. n ) trên U với chuẩn:
u
∞
= ess sup
x∈U

|u(x)| .
• W
m
p
(U) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm (x) ∈
L
p
(U), sao cho D
α
u ∈ L
p
(U) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn
được xác định bởi công thức:
u
W
1
p
(U)
=


m

|α|=0

U
|D
α
u|
p

dx


1
p
•
◦
W
m
p
(U) là bao đóng của C
∞
◦
(U) trong chuẩn W
m
p
(U)
Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Một số kiến thức về giải tích thực
1.1.1 Hàm lồi
1.1.2 Biên
1.1.3 Định lý Gauss-Green
Trong phần này ta giả sử U là tập con bị chặn,mở trong R
n
và
∂U là C
1
Định lý 1.1. (Định lý Gauss-Green)
1.1.4 Tọa độ cực,công thức đổi miền

1.1.5 Hội tụ đều
1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản
1.2.1 Bất đẳng thức Jensen
Nếu u là hàm lồi trên K với mọi x
i
∈ K, a
i
∈ [0, 1] và
k

i=1
a
i
= 1
thì
k

i=1
a
i
u(x
i
) ≥ u

k

i=1
a
i
x

i

1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản 15
1.2.2 Bất đẳng thức Young’s
Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó với mọi a, b ≥ 0 thì
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
1.2.3 Bất đẳng thức Young với số ǫ
Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó với (a, b > 0, ǫ > 0) thì
ab ≤ ǫa
p
+ C(ǫ)b

q
Ở đây C(ǫ) = (ǫp)
−q
p
−1
1.2.4 Bất đẳng thức H¨oder
Nếu 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu u ∈ L
p
(U), v ∈ L
q
(U)
ta có:
uv
1
≤ u
p
. v
q
1.2.5 Bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát
Cho 1 ≤ p
1
, , p
m
≤ ∞,

m

k=1
1
p
k
= 1, u
k
∈ L
p
k
(U), k =
1, · · · , m. Khi đó

U
|u
1
u
2
· · · u
m
|dx ≤


U
|u
1
|
p
1

dx

1
p
1


U
|u
2
|
p
2
dx

1
p
2
· · ·


U
|u
m
|
p
m
dx

1

p
m
Hay





m

k=1
u
k





1
≤
m

k=1
u
k

L
p
k
(U)

1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm 16
1.2.6 Bất đẳng thức Minkowshi
Giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, u, v ∈ L
p
(U). Khi đó
u + v
p
≤ u
p
+ v
p
1.2.7 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn L
p
(U)
Giả thiết 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞ ,
1
r
=
θ
s
+
(1−θ)
t
thêm nữa u ∈
L
s
(U) ∩ L
t
(U). Khi đó u ∈ L
r

(U) và
u
r
≤ u
θ
s
. u
1−θ
t
1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm
1.3.1 Không gian các hàm liên tục
1.3.2 Không gian H¨oder
1.3.3 Không gian L
p
(U)
1.4 Một số kiến thức về lý thuyết độ đo
1.4.1 Độ đo Lebesgue
Định lý 1.2. S ự tồn tại σ−đại số và các tính chất của độ
đo Lebesgue
1.4.2 Hàm đo được và tích phân
1.4.3 Hàm đo được và tích phân
Các định lý hội tụ đối với tích phân
Định lý 1.3. ( Bổ đề Fatou)
Định lý 1.4. (Định lý hội tụ đơn điệu)
Định lý 1.5. (Định lý sự hội tụ trội)
Định lý 1.6. ( Định lí Fubini)
1.5 Phân hoạch đơn vị 17
1.4.4 Phép toán vi phân
Định lý 1.7. (Định lý Lebesgue)
1.5 Phân hoạch đơn vị

Chương 2
Không gian Sobolev
2.1 Hàm trung bình
2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình
2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình
2.2 Đạo hàm suy rộng
Định n ghĩa 2.1. ( Hàm thử ) Cho φ : U −→ R, t hì φ gọi là
hàm thử trên U nếu φ ∈ C
∞
0
(U)
Định nghĩa 2.2. (Đạo hàm suy rộng) Giả sử u, v ∈
L
1,loc
(U), α = (α
1
, , α
n
) là một vectơ với các thành phần nguyên
không âm .Ta nói v là đ.h.s.r của u và được viết bởi D
α
u = v nếu
với mọi φ ∈ C
∞
c
(U) thì:

U
u(x)D
α

φ(x)dx = (−1)
|α|

U
v(x)φ(x)dx (2.1)
2.3 Không gian Sobolev W
m
p
(U) và
◦
W
m
p
(U) 19
2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng
2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng
2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và liên tục tuyệt đối
2.3 Không gian Sobolev W
m
p
(U) và
◦
W
m
p
(U)
2.3.1 Định nghĩa không gian W
m
p
(U) với (1 ≤ p < ∞)

Định nghĩa 2.3. Giả sử u ∈ L
p
(U) và tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp α là D
α
u với |α| ≤ m sao cho
D
α
u ∈ L
p
(U), |α| ≤ m
Thì ta nói rằng u ∈ W
m
p
(U). Ta đưa vào W
m
p
(U) chuẩn xác định
bởi
u
W
m
p
(U)
=


|α|≤m

U

|D
α
u|
p
dx

1
p
với 1 ≤ p < ∞. (2.2)
Mệnh đề 2.1. W
m
p
(U) là không gian Banach.
2.3.2 Định nghĩa không gian
◦
W
m
p
(U)
Định n ghĩa 2.4.
◦
W
m
p
(U) là bao đóng của C
∞
0
(U) với chuẩn
trong W
m

p
(U). Vì vậy
◦
W
m
p
(U) là k hông gian con của W
m
p
(U)
Định lý 2.1. ( Bất đẳng thức Friedrichs)
Giả sử U là miền bị chặn trong R
n
. Khi đó tồn tại một hằng số
C
U
phụ thuộc vào U sao cho
u
p
≤ C
U


U
n

i=1
|
∂u
∂x

i
|
p
dx

1
p
, u ∈
◦
W
1
p
(U)
Chứng minh
2.3 Không gian Sobolev W
m
p
(U) và
◦
W
m
p
(U) 20
Giả sửu ∈ C
∞
0
(U), Unằm trong dả i

= {x ∈ R
n

: a < x
1
< b} .
Đặt u (x) = 0 ngoài miền U. Khi đó
u(x) =

x
1
a
∂u(t, x
2
, , x
n
)
∂t
dt
Ở đó x = (x
1
, x
2
, , x
n

 
=x
′
) = (x
1
, x
′

) Suy ra
|u(x)| ≤

b
a
|
∂u(x
1
, x
′
)
∂t
|dt
Áp dụng bất đẳng thức H ¨oder với
1
p
+
1
q
= 1 ta được:
|u(x)|
p
≤

b

a
|
∂u(t, x
′

)
∂t
|dt

p
≤

b

a




∂u(t, x
′
)
∂t




p
dt

p.
1
p

b


a
1dt

p
q
= (b − a)
p
q
b

a




∂u(t, x
′
)
∂t




p
dt
Lấy tích phân hai vế trên

ta được:


U
|u|
p
dx =

Π
|u|
p
dx ≤ (b − a)
p
q

Π

b

a




∂u(t, x
′
)
∂t




p

dt

dx
= (b − a)
p
q


Π


∂u
∂t


dx

b

a
dt = (b − a)
p

U
|
∂u
∂t
|
p
dx

Suy ra
u
p
≤ (b − a)


U
|
∂u
∂t
|
p
dx

1
p
Với C
U
= (b − a) thì t a có
u
p
≤ C
U


U
n

i=1
|

∂u
∂x
i
|
p
dx

1
p
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
2.4 Xấp xỉ 21
2.4 Xấp xỉ
2.4.1 Xấp xỉ trong bởi các hàm mịn
Định lý 2.2. ( Xấp xỉ địa phương bởi các hàm mịn) Giả
sử u ∈ W
m
p
(U) và với 1 ≤ p < ∞ ,đặt
u
h
= η
h
∗ u trong U
h
η cho bởi công thức (2.2 ) Thì
1. u
h
∈ C
∞
(U

h
) với mọi h > 0
2. u
h
→ u trong W
m
p,loc
(U) khi h → 0 hay tương đương
lim
h→0
u
h
− u
W
m
p,loc
(U)
= 0
2.4.2 Xấp xỉ bởi các hàm mịn
Tiếp theo chúng ta chứng tỏ r ằng có thể tìm được cá c hàm mịn
để có thể x ấp xỉ với các hàm trong W
m
p
(U). Trong phần dưới đây
chúng ta không có giả định về độ mịn của biên U
Định lý 2.3. Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn
Giả sử U ⊂ R
n
bị chặn và u ∈ W
m

p
(U) với 1 ≤ p < ∞. Khi đó
tồn tại các hà m u
m
∈ C
∞
(U) ∩ W
m
p
(U) thỏa mãn:
lim
m→∞
u
m
− u
W
m
p
(U)
= 0
2.4.3 Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn
Định lý 2.4. Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn lên biên
Giả sử U ⊂ R
n
bị chặn và ∂U là C
1
. Giả thiết u ∈ W
m
p
(U) vơi

1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn tại các hàm u
m
∈ C
∞
(
U) thỏa mãn
u
m
→ u trong W
m
p
(U).
2.5 Vết 22
2.4.4 Mở rộng
Định lý 2.5. (Định lý mở rộng) Giả sử U ∈ R
n
mở ,bị chặn
trong và ∂U thuộc C
1
Chọn một tập mở bị chặn V thỏa mãn
U ⊂⊂ V t hỏa mãn. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị
chặn
E : W
1
p
(U) −→ W
1
p
(R
n

)
thỏa mãn rằng với mọi u ∈ W
1
p
(U) thì :
(i) Eu =u h.k.n trong U
(ii) Eu có giá compact trong V suppE ⊂ V
(iii) Eu
W
1
p
(R
n
)
≤ C u
W
1
p
(U)
.
Hằng số c chỉ phụ thuộc vào p,U và V .
Chúng ta gọi Eu là mở rộng của u tới R
n
2.5 Vết
Định lý 2.6. (Định lý vết) Giả sử U là bị chặn và ∂U là C
1
.
Khi đó tồn tại một t oán tử tuyến tính bị chặn :
T : W
1

p
(U) −→ L
p
(U) thỏa mã n
(i) T u = u


∂U
nếu u ∈ W
1
p
(U) ∩ C(
U)
(ii) T u
p,∂U
≤ C u
W
1
p
(U)
, ∀u ∈ W
1
p
(U)
C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p,∂U
Định lý 2.7. Vết -0 các hàm trong W
1
p
(U) Giả sử U ∈ R
n

là
mở và bị chặn và ∂U là C
1
. Giả thi ết u ∈ W
1
p
(U) thì u ∈
◦
W
1
p
(U)
nếu và chỉ nếu Tu=0 trên ∂U
2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 23
2.6 Các bất đẳng thức Sobolev
Định nghĩa 2.5. Nếu 1 ≤ p < n,ta g ọi só liên hợp Sobolev của
p là p
∗
=
np
n − p
Định lý 2.8. Bất đẳng thức Gagliardu-Nirenbeg-Sobolev
Giả t hiết 1 ≤ p < n khi đó với mọi u ∈ C
∞
0
(R
n
) tồ n tại hằng số
C chỉ phụ thuộc vào p và n sao cho
u

L
p
∗
(R
n
)
≤ C Du 
L
p
(R
n
)
Chứng minh
+) Trước hết t a xét với p=1,khi đó p
∗
=
np
n − p
. Vì u ∈ C
∞
0
(R
n
)
nên suppu ∈ R
n
. Với mỗi i = 1, 2, , n ta có
u(x) =
x
i


−∞
u
x
i
(x
1
, , x
i−1
, y
i
, x
i+1
, , x
n
)dy
i
Vì thế
|u(x)| = |
x
i

−∞
u
x
i
(x
1
, , x
i−1

, y
i
, x
i+1
, , x
n
)dy
i
|
≤
+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y
i
, x
i+1
, , x
n
)|dy
i
Và do đó
|u(x)|
n
≤



+∞

−∞
|Du(y
1
, x
2
, , x
n
)|dy
1


.


+∞

−∞
|Du(x
1
, y
2
, , x
n
)|dy
2



· · ·


+∞

−∞
|Du(x
1
, x
2
, , y
n
)|dy
n


2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 24
Hay
|u(x)|
n
≤
n

i=1
+∞

−∞
|Du(x
1
, x

2
, , x
i−1
, y
i
, x
i+1
, , x
n
)|dy
i
Suy ra
|u(x)|
n
n+1
≤

n

i=1
+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y
i
, x

i+1
, , x
n
)|dy
i

1
n−1
=
n

i=1


+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y − i, x
i+1
, , x
n
)|dy
i


1

n−1
(2.3)
Từ (2.3) lấy tích phân hai vế theo x
1
ta được
+∞

−∞
|u(x)|
n
n−1
dx
1
≤
+∞

−∞

n

i=1
+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y
i

, x
i+1
, , x
n
)|dy
i

1
n−1
dx
1
=


+∞
−∞
|Du(x
1
, , x
n
)dy
1
|

1
n−1
·




+∞

−∞
n

i=1


+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y
i
, , x
n
)|dy
i


1
n−1
dx
1




Áp dụng bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát cho biểu thức sau
cùng ta được
+∞

−∞
n

i=1


+∞

−∞
|D(x
1
, , x
i−1
, y
i
, , x
n
)|dy
i


1
n−1
dx
1
=

n

i=1


+∞

−∞

+∞

−∞
|Du(x
1
, , y
i
, , x
n
)|dy
1

dx
1


1
n−1
2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 25
Nên
+∞


−∞
|u(x)|
n
n−1
≤

+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
n
)dy
1

1
n−1
·
·
n

i=1

+∞

−∞

+∞


−∞
|Du(x
1
, , y
i
, , x
n
)|dy
1

dx
1

1
n−1

 
(2)
Tương tự lấy tích phân 2 vế của bất đẳng thức tr ên theo x
2
ta
được
+∞

−∞
+∞

−∞
|u(x)|

n
n−1
dx
1
dx
2
≤
+∞

−∞

+∞

−∞
|Du|dy
1

1
n−1
dx
1
·
+∞

−∞
n

i=1,i=2
(I
i

)
1
n−1
dx
2
Với I
i
=
+∞

−∞
+∞

−∞
|Du(x
1
, , y
i
, , x
n
)|dy
i
dx
1
Áp dụng bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát cho vế phải của
biểu t hức trên t a được :
+∞

−∞
+∞


−∞
|u(x)|
n
n−1
dx
1
dx
2
≤
+∞

−∞

+∞

−∞
|Du|dy
1

1
n−1
dx
1
·
·
+∞

−∞


+∞

−∞
|Du(x
1
, y
2
, , x
n
)|dy
1

1
n−1
dx
2
·
·
n

i=3
+∞

−∞
+∞

−∞
+∞

−∞

|Du(x
1
, · · · , y
i
, · · · , x
n
)dy
i
dx
1
dx
2
Tiếp tục quá trình trên ta được

R
n
|u|
n
n−1
dx
1
≤
n

i=1

+∞

−∞
· · ·

+∞

−∞
|Du|dx
1
dy
i
dx
n

1
n−1
=


R
n
|Du|dx

n
n−1
(2.4)
2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 26
Bất đẳng thức được chứng minh với p=1.
+) Bây giờ ta đi chứng minh bất đẳng thức với 1 < p < n. Ta áp
dụng đánh giá (2.4) với u := |u |
δ
với δ > 1 và δ được chọn như
sau:


R
n
|u|
δn
n−1
dx ≤


R
n
|D|u|
δ
|dx

n
n−1
Hay


R
n
|u|
δn
n−1
dx

n
n−1
≤


R
n
|D|u|
δ
|dx = δ

R
n
|u|
δ−1
|Du|dx (3)
≤ δ


R
n
|u|
(δ−1)p
p−1
dx

p−1
p


R
n
|Du|
p


Bây giờ xác đị nh δ > 1 sao cho
δn
n − 1
=
(δ − 1)p
p − 1
=⇒ δ =
p(n − 1)
n − p
> 1
Khi đó (3) đưa đến


R
n
|u|
np
n−p
dx

n−1
n−p
≤


R
n
|u|
np
n−p

dx

p−1
p


R
n
|Du|
p
dx

Tương đươ ng


R
n
|u|
np
n−p
dx

n−p
np
≤ δ


R
n
|Du|

p
dx

1
p
Theo định nghĩa p
∗
thì ta có:


R
n
|u|
p
∗
dx

1
p
∗
≤ C


R
n
|Du|
p
dx

1

p
Đặt
C = δ =
p(n − 1)
n − p
(C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p,n)
Bất đẳng thức được chứng minh 