Nghiên cứu khoa học Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU.................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài:...............................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu:..........................................................................................3
3. Đối tượng nghiên cứu:........................................................................................3
4. Phương pháp nghiên cứu:....................................................................................3
B. NỘI DUNG...............................................................................4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...................................................4
1.1

Cơ sở lý thuyết.................................................................................................4

1.1.1

Không gian mêtric.....................................................................................4

1.1.2. Sự hội tụ trong không gian mêtric.............................................................5
1.1.3. Ánh xạ liên tục..........................................................................................6
1.1.4. Ánh xạ liên tục đều...................................................................................7
1.1.5. Không gian mêtric đầy đủ.........................................................................8
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI BÀI TẬP ....10
2.1

Ánh xạ co.......................................................................................................10

2.2

Nguyên lý ánh xạ co của Banach...................................................................10

C. KẾT LUẬN............................................................................22
E. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN......................................................24

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 1


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

A.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trên
không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích.
Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX là một nhánh của Toán học.
Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach.
Trong đó nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý điểm bất động đơn
giản và được sử dụng rộng rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở
rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau và được ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Một khía cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên
lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng toán ở chương trình đại học như: Giải
phương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính,
chứng minh sự hội tụ của dãy….. trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải
đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng và đòi hỏi phải có
sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan.
Chính vì vậy em chọn đề tài nghiên cứu làm bài tiểu luận của em: “Áp dụng
nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập” nhằm giúp sinh viên giải dễ dàng hơn các
dạng bài tập trên.

2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp sinh viên giải được bài tập dựa vào áp dụng nguyên lý ánh xạ co đối với
một số bài tập dạng: Giải phương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phương
trình đại số tuyến tính, chứng minh sự hội tụ của dãy….. và tăng thêm sự hiểu biết cho
bản thân và chia sẽ cách giải cho các bạn.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co của Banach vào các dạng toán cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Sưu tầm , tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài tiểu luận.
- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.

B.NỘI DUNG
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 2


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Cơ sở lý thuyết.
1.1.1 Không gian mêtric.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập tùy ý khác rỗng cho trước, một mêtric (hay
khoảng cách) trên X là một hàm số
d :X �X � �

thỏa mãn ba tiên đề sau:
1) , với mọi thuộc X; khi và chỉ khi

2) , với mọi thuộc X (tính đối xứng).
3) , với mọi thuộc X, (bất đẳng thức tam giác).
Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là không gian mêtric và kí hiệu là (X,d).
Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ kí hiệu X.
Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử gọi là điểm của không gian X, số thực dương
(hay bằng 0) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.
Ví dụ.
1. Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực .
Đặt d(x,y) = với x,yM. Ta dễ dàng kiểm tra (M,d) là một không gian mêtric dựa
vào ba tiên đề trên:
i) Ta có d(x,y) = ≥ 0, với mọi x,y X.
d(x,y) = 0 � = 0
� x=y

ii) d(x,y) === d(y,x)
iii) Với mọi x, y, z X, ta có:
=≤ +
� d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

Vậy (M,d) là một không gian mêtric.
2.
Kí hiệu = ,…,: , i= } là tập hợp các bộ gồm k số thực. Với x=,…,, y= (,…,)
thuộc , ta đặt:
d(x,y) =
Khi đó các tiên đề 1), 2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh
≤ +.
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 3


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
i
i
i
i
Đặt ai  x  y , bi  y  z khi đó + = .
Ta có :
(x,y) =

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số hạng sau cùng ta được:
(x,y) = ≤
Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với các kí hiệu cũ, ta có

Vậy(,d) là một không gian mêtric và ta gọi mêtric này là mêtric thông thường
trên .
1.1.2. Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.2: Giả sử X là một không gian mêtric và là một dãy trong X. Ta
nói dãy hội tụ đến x X nếu khoảng cách giữa và x dần đến 0 khi
 n � �. Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy và ta kí hiệu là:
= x
Hay , khi n � �. Diễn tả lại, ta có:

.
Các tính chất 1.1.2.
Cho
1.
2.

3.

và là các dãy trong không gian mêtric X. Ta có
Nếu dãy hội tụ đến xX thì mọi dãy con của dãy cũng hội tụ đến x.
Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Nếu và khi n thì khi n � �

Ví dụ 1.1.2. Hội tụ trong
Trong với mêtric thông thường, ta xét dãy sau:
mà =.
Theo định nghĩa, dãy hội tụ về điểm = khi và chỉ khi khi  n � �, hay
với mọi i= 1,…,k
�
� với mọi i  1,�, k.

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 4


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Vậy sự hội tụ của một dãy trong chính là sự hội tụ theo tọa độ của dãy. Đặc biệt,
với k  1 thì đây chính là sự hội tụ của một dãy số thực thông thường.
1.1.3. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.1.3
1) Ánh xạ f được gọi là liên tục tại nếu mọi  cho trước, tồn tại sao cho
với mọi x X mà .
2) Ánh xạ f được gọi là liên tục trên AX nếu f liên tục tại mọi điểm

xA.
Ví dụ 1: Cho là không gian mêtric và .
1
Chứng minh rằng liên tục tại nếu và chỉ nếu f ( B ( f ( x))) là lân

cận của với mỗi .
Giải:

 � Giả sử có mêtric và có mêtric .
1
Vì và f ( f ( x)) nên ta có:

1
Vì là tập mở và liên tục nên f ( B ( f ( x))) là tập mở chứa .
1
Do đó f ( B ( f ( x))) là lân cận của .

 � Giả sử  . Nếu

f 1 ( B ( f ( x)))

là lân cận của thì tồn tại một số  sao

cho:
B ( x) � f 1 ( B ( f ( x)))
1
Khi đó nếu x ' �B ( x) � f ( B ( f ( x))) thì f ( x ') �B ( f ( x))

Do đó : p( f ( x), f ( x '))  
Như vậy, khi d ( x, x ')  

Vậy liên tục tại .
2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số thực f : � � � xác định bởi

Là không liên tục.
Giải:
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 5


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Ta chứng minh không liên tục tại
Cho là dãy trong với:
Ta có khi .
Nhưng: khi .
Vậy không liên tục.
1.1.4. Ánh xạ liên tục đều
Định nghĩa 1.1.4
Ánh xạ f: XY được gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi tồn tại sao cho với
d  f  x  , f  x’ 
d x, x’
mọi  x , x’ X mà 
thì

Định lý 1.1.4 Giả sử là không gian metric. Nếu là compact,
thì tất cả các hàm liên tục đều liên tục đều.
Chứng minh:

Giả sử rằng là không liên tục đều, chúng ta sẽ chứng minh là
không liên tục.
Vì là không liên tục đều, nên tồn tại sao cho với mỗi sẽ có
sao cho , nhưng .
Chọn , tồn tại , sao cho và .
Vì là compact, nên dãy có dãy con hội tụ đến một điểm .
Vì nên dãy cũng hội tụ về .
Ta có là không liên tục tại .
Thật vậy, nếu liên tục tại thì hai dãy và cả hai hội tụ về .
Nhưng điều này là không thể vì .
Vậy liên tục đều trên .
Ví dụ 1: Chứng minh rằng là liên tục đều trên

 0; �)

Giải:
Cho , đặt .
Nếu , thì ta có:
| x  y |2 �
| x  y || x  y || x  y |  2

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 6


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Do đó

x y

.

Điều này chứng tỏ rằng là liên tục đều trên

 0; �)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng không liên tục đều trên ℝ.
Giải:
Chọn , với bất kỳ , chọn sao cho: .
Khi đó nhưng:
Điều này chứng tỏ rằng không liên tục đều trên ℝ.
1.1.5. Không gian mêtric đầy đủ
Định nghĩa 1.1.5.1 Dãy
hay dãy Cauchy nếu

 xn  trong không gian mêtric

lim d ( xn , xm )  0

m , n ��

X được gọi là dãy cơ bản

. Nói cách khác, ( 

xn 

là dãy cơ bản)

� (

Ta có các tính chất sau:

 xn  là dãy hội tụ thì  xn  là dãy cơ bản trong

i.

Nếu

ii.

Nếu dãy cơ bản

 xn  có một dãy con

X.

 x  � x  sao cho  x  hội tụ đến
nk

n

nk

x0 thì xn � x0 .

Định nghĩa 1.1.5
Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản
của nó đều hội tụ trong X.
Ví dụ 1.1.5
1. Không gian với mêtric thông thường là không gian đầy đủ.
Thật vậy, cho là dãy cơ bản, với =. Khi đó ta có:
=
nên là dãy cơ bản trong ℝ, do đó với mọi i = 1,2,…,k.
Nhưng từ ví dụ 3 của ví dụ 1.1.2 ta có dãy hội tụ đến , suy ra là không gian đầy
đủ.
2. Không gian là không gian đầy đủ.
Chứng minh:
Cho là dãy cơ bản trong
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 7


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Khi đó ta có:
Với mỗi , hiển nhiên ta có
Suy ra là dãy số thực cơ bản trong ℝ nên hội tụ.
Đặt với mọi .
Ta cần chứng minh
x(t) thuộc và trong .
Lấy : . ta có:
Cho được khi , với .
Vậy hội tụ đều đến trên , nên liên tục trên Do đó là không gian đầy

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO
VÀO GIẢI BÀI TẬP
2.1 Ánh xạ co
Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ f từ tập X vào chính nó. Phần tử sao cho được gọi
là điểm bất động của ánh xạ f .
Bây giờ cho X là một không gian mêtric và f và một ánh xạ từ X vào X, f được
gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số [0,1) sao cho với mọi x,y ta có:
Từ định nghĩa ta thấy mọi ánh xạ co là liên tục đều.
Ví dụ : Giả sử là một ánh xạ co
Chứng minh rằng cũng là ánh xạ co với mọi .
Giải:
Vì là một ánh xạ co nên có một hằng số sao cho:
Ta chứng minh (*) đúng với mọi
Cho , (*) thỏa vì là một ánh xạ co.
Giả sử (*) đúng với ta chứng minh (*) đúng với mọi .
Với ta có:

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 8


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

.
Vậy thì quy nạp toán học (*) thỏa với bất kỳ .
Do với mọi ta có:

Nên là ánh xạ co.
2.2 Nguyên lý ánh xạ co của Banach
Định lý 2.2: Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và f : là một ánh xạ co.
Khi đó f là một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh
Lấy một điểm tùy ý .
Đặt
Ta chứng tỏ là một dãy cơ bản trong X.
Vì f là ánh xạ co nên nếu thì :
=) =
(*)
Với
, từ (*) ta có :

Khi n đủ lớn và p tùy ý ta có suy ra là dãy cơ bản trong không gian đầy đủ X
nên tồn tại giới hạn
Cũng từ (*) ta có
Cho và hàm d và f liên tục, ta có
Hay
Vậy tức là là điểm bất động của f
Nếu :
Hay (
Suy ra .
Do đó điểm bất động là duy nhất.
Vậy định lý đã được chứng minh.
1
arctan x  x  3  0
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 2
có một nghiệm thực duy

nhất.
Giải:
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 9


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
1
arctan x  x  3
Đặt f ( x)  2
là hàm từ �vào �.
1
f ( x)  f ( y )  x  y
f là ánh xạ co vì
2(1   2 ) , với  là điểm nằm giữa x và y
1
f ( x)  f ( y ) � x  y
2
theo định lý Lagrange, nên
.
*
f
Do đó có một điểm bất động duy nhất x hay phương trình đã cho có nghiệm
*
duy nhất x .

Ví dụ 2:

Cho là không gian mêtric đầy đủ và là quả cầu mở tâm , bán kính . Cho là ánh xạ co
với hằng số co . Nếu thì có điểm bất động.
Giải:
Chọn sao cho
Thì là quả cầu đóng chứa trong .
Với mọi , ta có:
Lúc đó:

. Suy ra: là ánh xạ từ vào
Do đầy đủ, và đóng là không gian đầy đủ và do , là ánh xạ co ⇒ có duy
nhất điểm bất động.
Nhận xét: là ánh xạ co, với là không gian mêtric đầy đủ. Nếu thỏa
mãn: với thì có điểm bất động.
Ví dụ 4: Cho =) với n = 1, 2, 3…. Chứng minh hội tụ.
Giải:
Ta có -1 với n = 2, 3…
Do đó 0 với n = 3,…
Dãy trên có dạng . f : [0,1] [0,1] với f(x) = Cos x
Trên đoạn [0,1] ta có f’(x) = - Sin x, do đó
Nếu thì f là ánh xạ co.
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 10


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có hội tụ tới = ) = Cos(x).
Ví dụ 5: Cho với = 3. Chứng minh rằng {} hội tụ.

Giải:
Ta có
f : [2,3]

Ta có :
Suy ra f là ánh xạ co.
Áp dụng nguyên lý ánh xạ co ta có hội tụ đến và khi đó f(x) = x
Suy ra = x, Giải phương trình ta được x = 2.
Vậy hội tụ tới điểm x = 2.
 Giải phương trình đại số và siêu việt
 Xét bài toán.
Xét phương trình:
(1)
Trong đó f(x) là hàm đại số hay siêu việt.
Nghiệm của phương trình (1) là số thực thỏa mãn (1).
Thay vào x ở vế trái ta được:
f() = 0

(2)

Phương trình (1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói
chung rất phức tạp. Do đó phải tìm cách giải gần đúng.
Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) phải kiểm
tra xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Ta có định lý sau đây:
Định lý: Nếu hai số thực a và b ( a< b) sao cho f (a ) và f (b) trái dấu nhau :
f (a) f (b) Đòng thời f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì ở trong đoạn [a,b] có ít nhất một

nghiệm của phương trình (1).
Nếu đạo hàm f '( x) không đổi dấu thì [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của
phương trình (1).

 Phương pháp giải.
Để giải gần đúng phương trình (1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất
của phương pháp này là vận dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach.
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 11


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Giả sử phương trình (1) có nghiệm trong khoảng [a,b] và ta biến đổi được về
dạng tương đương :
(3)
Chọn làm giá trị xấp xỉ ban đầu rồi tính dần các nghiệm xấp xỉ theo quy tắc
(4)
Phương pháp này gọi là phương pháp lặp và hàm gọi là hàm lặp.
+ Điều kiện hội tụ của phương pháp lặp:
Định lý: Giả sử phương pháp lặp (3) và (4) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (3)
2. Mọi tính theo (4) đều thuộc [a,b].
3. Hàm có đạo hàm và thỏa mãn:

Khi đó phương pháp lặp (4) hội tụ, tức là khi
Chứng minh
Sử dụng công thức Lagrange cho hàm số g(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm
trong (a,b). Khi đó tồn tại sao cho :
Vì là nghiệm của (3) nên ta có :
Theo công thức lặp thì:
Trừ vế theo vế ta được :

Áp dụng công thức Lagrange vào ta được:
Suy ra
Vì bất đẳng thức đúng với mọi n, do đó cho n giảm dần từ n đén 1 ta có:
khi
Vậy khi
Từ ta có:
=
Vậy
Hay
Mặt hác vì
Do đó:
=
Suy ra
hay =
Từ ta suy ra:

 Ví dụ:
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 12


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Ví dụ 1: Giải phương trình .
Giải:
Đặt
Dễ thấy nên
Có 3 cách đưa phương trình về dạng

a)
b)
c)
,
Ta lần lượt kiểm tra 2 điều kiện là ánh xạ co. Ta có:
a)
b)
;,
c) ;
Ví dụ 2: Giải phương trình băng phương pháp lặp với n = 6:
Giải:

Đặt ;
Ta có
Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình là [1,2].
Phương trinh đã cho đưa về dạng tương đương
Đặt . Ta kiểm tra các điiều kiện để là ánh xạ co:
Suy ra
Mặt khác, với thì nên
Do đó là ánh xạ co nên tồn tại điểm sao cho là nghiệm của phương trình đã
cho.
Khi đó ta có công thức lặp:
Chọn ta có:

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình đã cho là
Ví dụ 3: Bằng phương pháp lặp đơn, giải phương trình sau:
Giải:
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 13


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Đặt ;
Ta có
Nên [1,2] là khoảng tách nghiệm.
Phương trình đã cho đưa về dạng tương đương:
Đặt
Ta kiểm tra các điều kiện để là ánh xạ co.

Suy ra , với
Mặt khác , với thì nên
Do đó là ánh xạ co nên tồn tại sao cho là nghiệm của phương đã cho. Khi đó ta
có công thức lặp:
Chọn

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4: Giải phương trình: bằng phương pháp lặp đơn với 6 bước lặp.
Giải:
Đặt
Ta có
Suy ra [0,1] là khoảng tách nghiệm.
Lại có: = 0
Đặt ta kiểm tra điều kiện để là ánh xạ co.

Suy ra (, với .
Mặt khác, với thì nên
Do đó là ánh xạ co nên tồn tại điểm sao cho là nghiệm của phương trình đã

cho. Khi đó ta có công thức lặp sau:
,
Chọn ta có:

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 14


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
 Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
 Xét bài toán
Từ hệ: với
2)
Chọn là xấp xỉ đều tùy ý.
là nghiệm thì
Đặt

với

Thì gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của phương pháp lặp đơn.
 Phương pháp giải.
Định lý hội tụ
Nếu thì dãy khi
Sai số: hoặc
Chứng minh:

Xét
T:
Có do
Suy ra T là ánh xạ co.
Theo nguyên lý ánh xạ co tồn tại duy nhất sao cho
và mọi dãy lặp ( hội tụ tới
+ Quy trình tính toán:
1.Cho hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.Ẩn định sai số cho phép.
3.Đưa hệ Ax  b về hệ tương đương có dạng x  Bx  g .
4.Kiểm tra điều kiện

B

.

5. Chọn x0 tùy ý.
6.Tính xk 1  Bxk  g , k  0,1, 2,3...
7. Kết luận nghiệm.
 Ví dụ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn với ba bước lăp

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 15


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Giải:

Hệ �
� +
3

�b
j 1

ij

3

3

j 1

j 1

 0,17, �bij  0,19, �bij  0, 27

B  Max( bij  0,17

Xét dãy lặp X k 1  BX k  g
�x1k 1  0, 02 x1k  0, 05 x2k  0,1x3k  0, 795
�0,8 �
� k 1
k
k
k

� �
X0  �
0,85 �
�x2  0,11x1  0, 03 x2  0, 05 x3  0,849
�x k 1  0,11x k  0,12 x k  0, 04 x k  1,398
�1, 4 �
1
2
3
� �
�3
Chọn
�x1k  0, 02.0, 08  0, 05.0,85  0,1.1, 4  0, 795  0,962
�k
�x2  0,11.0,8  0,85.0, 03  0, 05.1, 4  0,849  0,982
�x k  0,11.0, 08  0,12.0,85  0, 04.1, 4  1, 398  1,532
�3
tương tự
�x1k  0, 978
�2
�x2  1, 002
�x 2  1,56
�3
�x13  0,98
�3
�x2  1, 004
�x 3  1,563
Và �3
sai số X 3  X 2  ( 0, 002;0, 002;0, 003)

B
3
0, 27
X3  �
X3  X 2 
.0,03.10
1 B
1  0, 27
�x1  0,89 �103
�
3
�x2  1, 004 �10
�x  1,563 �103
Vậy nghiệm gần đúng �3
�20, 9 x1  1, 2 x2  2,1x3  0,9 x4  21, 7
�
1, 2 x1  21, 2 x2  1,5 x3  2,5 x4  27, 46
�
�
�2,1x1  1,5 x2  19,8 x3  1,3 x4  28, 76
�
0,9 x  2,5 x2  1,3 x3  32,1x4  49, 72
Ví dụ 2: Giải hệ: � 1

Giải:

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 16


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
1
�
x1 
(0 x1  1, 2 x2  2,1x3  21, 7)
�
20,9
�
1
�
x2 
( 1, 2 x1  0 x2  1,5 x3  2,5 x4  27, 46)
�
� 21, 2
��
�x  1 ( 2,1x  1,5 x  0 x  1,3 x  28, 76)
1
2
3
4
� 3 19,8
�
� x4  1 (0,9 x1  2,5 x2  1,3 x3  49, 72)
�
32,1
�
Hệ

4

�b
j 1

ij

 0, 2

4

,

�b
j 1

ij

 0, 24

4

,

�b
j 1

ij

 0, 25

4

,

�b
j 1

ij

 0,15

� B  0, 25
k
Xét dãy lặp X k 1  BX k  g

k
0
1
2
3
4
5

x1k
x2k x3k
1, 04
1,3
1, 45
0, 75

0,95
1,14
0,8106 1,118 1, 2117
0, 7978 0,9977 1,1975
0,8004 1, 0005 1, 2005
0, 7999 0,9999 1,1999

x4k
1,55
1,36
1, 4077
1,3983
1, 4003
1,3999

Chọn x tùy ý
X 3  X 4  (0, 0006;0, 0006;0, 0006;0, 0006)

X3  X4

0, 25
X5  �
.6.104  2.104
 6.10 ;
1  0, 25
4

Vậy nghiệm của hệ là:
�x1  0, 7999.104
�

4
�x2  0,9999.10
�
4
�x3  1,1999.10
�x  1,3999.104
�4
�7, 6 x1  0,5 x2  2, 4 x3  1,9
�
�2, 2 x1  9,1x2  4, 4 x3  9, 7
�
1,3x1  0, 2 x2  5,8 x3  1, 4
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình �

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 17


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Giải:
�10 x1  2, 4 x1  0,5 x2  2, 4 x3  1,9
�
��
10 x2  2, 2 x1  0,9 x2  4, 4 x3  9, 7 2
�10 x  1,3 x  0, 2 x  4, 2 x  1, 4
2
3

� 3
Hệ

�x1  0, 24 x1  0, 05 x2  0, 24 x3  0,19
�
� �x2  0, 22 x1  0, 99 x2  0, 44 x3  0,97
�x  0,13 x  0, 02 x  0, 42 x  0,14
1
2
3
�3
3

3

3

j 1

j 1

j 1

�bij  0,53; �bij  0, 75; �bij  0,57
Suy ra

B  0, 75

k
Xét dãy lặp: X k 1  BX k  g

Chọn
k
0
1
2
3
4

x0   0, 0, 0 

tùy ý

x1

x2

x3

0
0,19
0,2207
0,2354
0,2424

0
0,97
1,0703
1,0988
1,1088

0
-0,14
-0,1915
-0,2118
-0,2196

k
5
6
7
8
9

x1

x2

x3

0,2454
0,2467
0,2472
0,2474
0,2475

1,1124
1,1138
1,1143
1,1145

1,1145

-0,2226
-0,2237
-0,2241
-0,2243
-0,2243

�x1  0, 2475
�
�x2  1,1145
�x  0, 2243
Vậy nghiệm của hệ là: �3

C.KẾT LUẬN
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 18


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
Dưới sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Thanh Phong em đã hoàn thành bài tiểu
luận. Qua bài tiểu luận này em biết cách vận dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach
vào giải bài tập ở dạng toán: Chứng minh sựu hội tụ của dãy, giải phương trình đại số
và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính khi không có công thức nghiệm
đúng. Nhưng do kiến thức còn hạn chế phải dựa vào nguồn tài liệu tham khảo trên
mạng và có sẵng.
Đây cũng là bài tiểu luận chuyên ngành đầu tiên không tránh khỏi sơ sài và sai

sót. Xin được sự góp ý cảu thầy.
Em xin chân thành cảm ơn!

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 19


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
[1] TS. Nguyễn Hoàng – Giáo trình không gian mêtric – Nhà xuất bản Đà Nẵng 2006
[2] Bài tiểu luận của Lê Thị Kiều Trang.
[3] />
E.NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 20


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 21


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
F. TÀI LIỆU THAM KHẢO

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 22


Đề tài: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập
G. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SVTH: Phan Ngọc Bích

DT13STH01

Trang 23