Nghiên cứu khoa học TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN
Nguyễn Đức Minh Hoàng
Nguyễn Thị Hoàng Diễm
Trần Thị Công Kiều
ĐHSP Toán K13
GVHD: Th.S Võ Văn Minh
I.

Đặt vấn đề
Đại số đại cương là một trong những môn học khá trừu tượng đòi hỏi sinh viên phải
có sự đầu tư và có thời gian làm quen mới có thể nắm bắt được kiến thức. Nội dung Tích
trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun là một trong những phần hay và khó. Do đó, trong
quá trình học tập và nghiên cứu bộ môn này, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Tích trực
tiếp và tổng trực tiếp các môđun”.
II. Nội dung
1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Môđun
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử R là một vành. Một R –môđun trái là một nhóm cộng aben M cùng với ánh
xạ
R×M → M
(r , m)  rm

được gọi là phép nhân vô hướng, thỏa mãn các hệ thức:
i)
ii)
iii)
iv)

r’(rm) = (r’r)m
(r’+ r)m = r’m + rm
r(m + m’) = rm + rm’
1m = m

với mọi m, m'∈ M và mọi r , r '∈ R .
1.1.2. Tính chất
Nếu 0 M ,0 R tương ứng là các phần tử trung hòa của M và R thì ta có thể suy ra rằng
r 0 M = 0 M ,0 R m = 0 M

− (rm) = ( −r )m = r (−m)

với mọi m, m'∈ M và mọi r , r '∈ R .
1.2. Môđun con
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử là một -môđun. Tập con A ≠ φ của
là môđun trên

được gọi là môđun con của

với phép cộng và phép nhân với vô hướng của

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

nếu

hạn chế trên A. Từ
Trang 1

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

định nghĩa của môđun con ta có thể đưa ra những tiêu chuẩn đơn giản hơn để kiểm
nghiệm một tập con có phải là môđun hay không ?
1.2.2. Các mệnh đề
 Mệnh đề 1
Cho M là một R -môđun. Nếu A là một tập con khác rỗng của M thì các điều kiện
sau là tương đương :
i) A là môđun con trong M .
ii) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi a ∈ A , mọi r ∈ R ta có ra ∈ A .
iii) Với mọi a, b ∈ A và mọi r , s ∈ R ta có ra + sb ∈ A.
 Mệnh đề 2
Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R -môđun M là một môđun con của
M.

1.3. Môđun thương
 Định nghĩa
Cho là môđun con của -môđun

. Khi đó tương ứng

R × ( M / A) → M / A
(r , m + A)  rm + A

là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương M / A là R -môđun với phép nhân với vô
hướng r (m + A) = rm + A .
1.4. Đồng cấu môđun
1.4.1. Định nghĩa
Cho hai R -môđun M , N . Một đồng cấu R -môđun hay một ánh xạ tuyến tính
ϕ : M → N là một ánh xạ ϕ thỏa mãn các điều kiện

ϕ ( x + y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y )
ϕ ( rx) = rϕ ( x)

với mọi x, y ∈ M , r ∈ R.
Nếu N = M thì ϕ được gọi là tự đồng cấu của M . Một đồng cấu R -môđun còn được
gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần thiết phải chỉ rõ vành cơ sở.
1.4.2. Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu
Đồng cấu ϕ : M → N được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu ϕ là
một đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).
1.4.3. Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu
1.4.3.1. Định nghĩa
Cho ϕ : M → N là đồng cấu R-môđun.
Khi đó:
Im ϕ = ϕ ( M ) = {ϕ ( x ) x ∈ M }
Kerϕ = { x ∈ M ϕ ( x) = 0} = ϕ −1 (0)

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 2


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

Ta gọi

,

làn lượt là ảnh và hạt nhận của đồng cấu f

1.4.3.2. Các mệnh đề

 Mệnh đề 1
Cho đồng cấu
và
tương ứng là những môđun con của
. Khi
đó:
1) ϕ (U ) là môđun con của N .
−1
2) ϕ (V ) = { x ∈ M ϕ ( x ) ∈ N } là môđun con của M . Đặc biệt Im ϕ và Kerϕ là những
môđun con tương ứng của N và M .
 Mệnh đề 2
Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R - môđun. Hai tính chất sau tương đương:
a) f là một đơn cấu.
b) f giản ước được bên trái, nghĩa là mọi đẳng thức fϕ1 = fϕ 2 đều kéo theo ϕ1 = ϕ 2
, trong đó ϕ1 , ϕ 2 là những đồng cấu R - môđun tùy ý M tới X .
 Mệnh đề 3
Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R - môđun. Hai tính chất sau đây tương
đương:
(a) f là một toàn cấu.
f giản ước được bên phải, nghĩa là mọi đẳng thức ψ 1 f = ψ 2 f đều kéo theo
(b)
ψ 1 = ψ 2 , trong đó ψ 1 ,ψ 2 là những đồng cấu R -môđun tùy ý M tới X .
1.4.3.3. Định nghĩa đồng cấu
 Định nghĩa
Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu môđun và p : A → A / Kerϕ là phép chiếu chính tắc.
Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu ψ : A / Kerϕ → B sao cho biểu đồ sau giao hoán

ψ

 Hệ quả

Nếu ϕ : A → B là một đồng cấu R - môđun thì ta có đẳng cấu A / Kerϕ ≅ Imϕ
 Định lý (Mở rộng của định lý đồng cấu)
Giả sử ϕ : A → B là một đồng cấu môđun và α : A → C là một toàn cấu, ngoài ra
Kerα ⊂ Kerϕ . Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu λ : C → B sao cho biểu đồ sau giao
hoán

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 3


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

hơn nữa, λ là đơn cấu khi và chỉ khi Kerα = Kerϕ.
 Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất)
Nếu B, C là hai môđun con của A thì
( B + C ) / C ≅ B /( B ∩ C ).

 Định lý (định lý thứ hai về đẳng cấu)
Nếu B, C là những môđun con của A và C ⊂ B thì

A / B ≅ ( A / C ) /( B / C ).

Chú ý: Ta cũng có thể chứng tỏ tương ứng ϕ là đồng cấu theo lập luận sau. Gọi
p1 : A → A / B; p 2 : A → A / C là những phép chiếu chính tắc.
Rõ ràng Kerp 2 = C ⊂ B = Kerp1 nên theo định lý (mở rộng của định lý đồng cấu) tồn
tại đồng cấu ϕ : A / C → A / B được xác định bởi p1 (a) = a + B.
2. Tích trực tiếp- tổng trực tiếp
2.1. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp
2.1.1. Tích trực tiếp

2.1.1.1. Định nghĩa tích trực tiếp: Cho một họ những R-môđun ( Ai | i ∈ I ). Khi đó tích
Đềcác

∏ A = { (a ) | i ∈ I , a ∈ A }
i

i

I

i

i

cùng và phép nhân với vô hướng theo thành phần:

là một R-môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( Ai | i ∈ I ).
Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta ký hiệu

∏A = A
i

I

I

.

Dễ thấy rằng các phép chiếu chính tắc
p j : ∏ Ai → Aj

I

( ai ) a

aj

là những R-toàn cấu, với mọi j ∈ I .
2.1.1.2. Định lý:
 Định lý (tính phổ dụng) Giả sử B là một R-môđun cùng với họ đồng cấu
β j : B → Aj , j ∈ J . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu β : B → ∏ Aj sao cho các biểu đồ sau
I

giao hoán

∏A

p

j

j

→ Aj

I

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 4

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

Nghĩa là p j  β = β j , j ∈ j
 Chứng minh. Đồng cấu

được cho bởi

β ( x ) i = β i ( x ) , ∀x ∈ B, i ∈ I .
Khi đó rõ ràng với mọi x ∈ B ta có
( p j β ) ( x ) = p j ( β ( x ) ) = p j ( βi ( x ) )  = β j ( x ) ⇒ p j β = β j , j ∈ I .

'
Ai sao cho p β ' = β , j ∈ I . Xét tọa
Tính duy nhất của β . Giả sử còn có β : B → ∏
j
j
I

'
độ thứ j của các phần tử β ( x ) và β ( x ) , ảnh của x ∈ B , ta có

β ' ( x ) j = p j ( β ' ( x ) ) = β j ( x ) = β ( x ) j , ∀j ∈ I .

'
Điều này chứng tỏ β ( x ) = β ( x ) , do đó β = β ' .
2.1.1.3. Mệnh đề
 Mệnh đề: Giả sử ( fi : Ai → Bi | i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương
ứng

f : ∏ Ai → ∏ Bi
I

Cho bởi   f

I

((a )) =( f (a ))
i

i

là một đồng cấu, được kí hiệu bởi

i

2.1.2. Tổng trực tiếp ngoài
2.1.2.1. Định nghĩa:
 Định nghĩa

∏f

i

.

Cho ( Ai | i ∈ I ) là một họ những R-môđun. Tập con của tích Đề-các

∏ A , gồm
i

I

tất cả những phần tử ( ai ) mà ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I , là một môđun

con, được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( Ai | i ∈ I ) và kí hiệu bởi
⊕ Ai .
I
( I)
Trong trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta ký hiệu ⊕I Ai = A .

Với mỗi j ∈ I , tương ứng

µi : Aj → ⊕ Ai
I

là đơn cấu, gọi là nhúng chính tắc.
2.1.2.2. Nhận xét.
Khi tập hợp

hữu hạn thì

môđun con thực sự của
phép chiếu

∏ A = ⊕ A , còn trong trường hợp
i

I

I

i

vô hạn thì ⊕I Ai là

∏ A . Cần lưu ý rằng, khi xét tích trực tiếp ta quan tâm đến các
i

I

, còn đối với tổng trực tiếp ta quan tâm đến các phép nhúng µ j .

2.1.2.3. Định lý
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 5


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

 Định lý: Giả sử B là R-môđun cùng với họ đồng cấu ( α j : Aj → B ) .Khi đó tồn tại
đồng cấu duy nhất α : ⊕I Ai → B sao cho các biểu đồ sau giao hoán
µ

j
⊕ Ai ¬
 Aj

I

α

αj

B

Nghĩa là αµ j = α j , j ∈ J .
 Chứng minh. Đồng cấu :

được cho bởi
α ( ( ai ) ) = ∑ α i ( ai ) .

Điều này có thể thực hiện được vì ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số. Với

a j ∈ Aj thì µ j ( a j ) = ( K , 0, a j , 0,K ) . Từ đó

αµ j (a j ) = α ( K , 0, a j , 0,K )  = α j ( a j ) ,
Do đó αµ j = α j , j ∈ I . ϕ:⊕IAi→B Nếu

là đồng cấu thỏa mãn ϕµ j = α j thì

ϕ ( ( ai ) ) = ϕ ( ∑ µi ( ai ) ) = ∑ ( ϕ oµi ) ( ai ) = ∑ α i ( ai ) .
Bởi vậy, ϕ = α . .

2.1.2.4. Các Mệnh đề
 Mệnh đề: Giả sử ( fi : Ai → Bi | i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng
f : ⊕ Ai → ⊕ Bi
I

I

(

)

Cho bởi f ( a j ) = ( fi ( ai ) ) là một đồng cấu,được kí hiệu bởi ⊕ f i. .
Ta chú ý rằng tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun trùng với tích trực
tiếp của chúng. Mệnh đề tiếp theo mô tả tổng hữu hạn theo ngôn ngữ của phép nhúng và
phép chiếu. Để đơn giản, trong phát biểu ta sử dụng hàm Kronecker , định nghĩa cho
các số nguyên 1,…,n. bằng cách đặt δ jk = 0 nếu j ≠ k và δ jk = 1 nếu j = k .
 Mệnh đề: Cho

và M 1 ,K , M n là các R-môđun. Khi đó
M ≅ M1 ⊕ M 2 ⊕ K ⊕ M n

Nếu và chỉ nếu tồn tại R-đồng cấu µi : M j → M và p j : M → M j
mãn

j = 1,K , n thỏa

p j µk = δ jk id M k và µ1 p1 + K + µ n pn = id M

 Chứng minh: Giả sử rằng
M ≅ M1 ⊕ M 2 ⊕K ⊕ M n .
n

Trước hết ta xét trường hợp bản thân M là một tổng trực tiếp, M = ⊕M j . Theo định
j =1

nghĩa của tổng trực tiếp ta có ánh xạ nhúng
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

với 1

Do chỉ
Trang 6


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

có hữu hạn các thành phần, M cũng là tích trực tiếp của các môđun

nghĩa của tích trực tiếp ta có các phép chiếu
với mỗi x

, nên từ định

với 1

Khi đó

ta có
.

Rõ ràng ta cũng có

=1 với 1

có đẳng cấu

. Và

nếu j

, thì ta chỉ cần đơn giản là thay

bởi

. Cuối cùng, ta

và bởi

và

dể dàng kiểm tra được rằng đẳng thức cần có là đúng.
Ngược lại. Giả sử rằng ta có các ánh xạ

đã cho. Định nghĩa ánh xạ

và

thỏa mãn các điều kiện

bởi
)

Với mọi

và định nghĩa ánh xạ g :

bởi

g

.

Với mọi phần tử

. Khi đó
.

Với mọi

và
((

Với mọi phần tử

do với mỗi j ta có
.

Như vậy các hợp thành f g và g f đều là những phép đồng nhất, từ đó f, g là những
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 7


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

đẳng cấu.
2.1.3. Tổng trực tiếp trong
2.1.3.1. Định nghĩa
Môđun A được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con (
các điều kiện sau được thỏa mãn:

) nếu

(i)
(ii)

=0

2.2.3.2. Bổ đề
 Bổ đề 2.2.3.2: Môđun A là tổng trực tiếp trong của một họ các mô đun con
nếu và chỉ nếu mỗi phần tử
,

biểu diễn duy nhất dưới dạng
,

 Chứng minh. Do điều kiện i) của định nghĩa, có một tập hữu hạn
phần tử a viết được dưới dạng

.

Giả sử còn có tập hữu hạn
hạn tử

sao cho

sao cho

. Dó có thể bổ sung thêm các

một cách thích hợp vào mỗi biểu diễn trên của a nên ta có thể coi
.

Khi đó với mọi

ta có
.

Do điều kiện ii) của định nghĩa ta suy ra
với mọi

hay

. Điều này sảy ra

. Đó là điều phải chứng minh.

Ngược lại, dễ thấy sự biểu diễn duy nhất của mỗi phần tử

dưới dạng

dẫn tới các điều kiện i) và ii) của định nghĩa tổng trực tiếp trong.
2.1.3.3. Các hệ quả.
 Hệ quả : Giả sử A là tổng của những môđun con
.Khi đó A là tổng

trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ
Suy ra
 Chứng minh. Do

nên mỗi phần tử

biểu diễn được dưới dạng

Giả sử
(1)
Lại có:
0 = 0 + 0 + …+ 0
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

(2)
Trang 8


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

nên theo bổ đề 2.2.3.2. ta suy ra rằng Α là tổng trực tiếp khi và chỉ khi các cách
biểu diễn (1) và (2) đồng nhất, nghĩa là, aj = 0, 1 ≤ j ≤ n
 Hệ quả. Môđun Α là tổng trực tiếp trong của họ môđun con ( { Α i } i ∈ I ) nếu và chỉ
nếu:
ϕ : ⊕ Αi → Α
I

là đẳng cấu.
 Chứng minh
trong của họ

Nghĩa là
Hiển nhiên

( a i )  ∑ ai

giả sử

suy ra

∑a
I

i

= 0. Do Α là tổng trực tiếp

nên theo hệ quả trên ta có:
là một đơn cấu.
là toàn cấu nên

giả sử
đều có thể biễu diễn dưới dạng

Trong đó

là đẳng cấu.
là đẳng cấu. Do

là toàn cấu nên mỗi phần tử

hữu hạn. Cách biễu diễn này duy nhất do

là đơn cấu. Vậy theo

bổ đề trên , A là tổng trực tiếp trong của họ
.
1.3.4. Ví dụ
Cho ϕ : A → A là một đồng cấu R -môđun thỏa mãn:
ϕ  ϕ = ϕ .Chứng minh rằng: A = Im ϕ ⊕ Kerϕ .
Bài giải:
Ta cần chứng minh
A = Im ϕ + Kerϕ (1)
Im ϕ + Kerϕ = { 0} (2)
Chứng minh (1)
∀x ∈ A suy ra ϕ  ϕ ( x) = ϕ ( x) ⇒ ϕ ( x − ϕ ( x) ) = 0
Vậy x − ϕ ( x) ∈ Kerϕ : x − ϕ ( x) = a
⇒ x = a + ϕ ( x)
⇒ x ∈ Kerϕ + Im ϕ
A
=
Ker
ϕ
+
Im
ϕ
. (1)
Vậy

Chứng minh (2)
Giả sử x ∈ Im ϕ ∩ Kerϕ Suy ra

⇒ 0 = ϕ ( x ) = ϕ (ϕ (u )) = ϕ  ϕ (u ) = ϕ (u ) = x
hay x = 0. Vậy Im ϕ ∩ Kerϕ = { 0} (2)
Từ (1) và (2) suy ra A = Im ϕ ⊕ Kerϕ.

2.1.3.5. Định nghĩa hạng tử trực tiếp:
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 9


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A
sao cho A = B ⊕ C . Môđun A ≠ 0 được gọi là không phân tích được, nếu 0 và A là những
hạng tử duy nhất trong A.
2.1.3.6. Ví dụ.
1) Tập các số phức được xem như một R-môđun. Khi đó R là một hạng tử trực
tiếp trong

do ta có sự phân tích trực tiếp:

Trong đó i2 = -1.
2) Trên vành xem như môđun trên chính nó, mọi môđun con m với m ≠ 0, m ≠ ±1
không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy, đối với hai môđun con thực sự, m , n
. Bởi vậy môđun

ta có

không phân tích được.

3) Nhóm xychic có cấp là bội của một số nguyên tố là -môđun không phân tích
được.
Chứng minh. Ta kí hiệu nhóm Xyclic có cấp k bởi (k). Giả sử n = pn, p nguyên tố .
Giả sử (n) = A ⊕ B : thế thì A,B sinh ra tương ứng bởi các phần tử p α và p β , α + β = m .
Từ điều này suy ra một trong hai nhóm con A, B chứa nhóm con kia, trái giả thiết
A∩ B = 0

Các hạng tử trực tiếp có liên quan với những đồng cấu có tính chất đặc biệt mà ta
xét dưới đây.
2.1.3.7. Định nghĩa.
Đơn cấu α : A → B của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu Im α là hạng tử trưc tiếp
của B. Toàn cấu β : B → C được gọi là chẻ ra nếu Ker β là hạng tử trực tiếp của B.
2.1.3.8. Mệnh đề.
1) Đồng cấu môđun α : A → B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
β : B → A sao cho βα = id A (ta nói α nghịch đảo trái) khi đó:
B = Im α ⊕ Kerβ

2) Đồng cấu: β : B → C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu γ : C → B
sao cho βγ = id C (ta nói β là nghịch đảo phải). Khi đó:
B = Im γ ⊕ Kerβ

 Chứng minh.
(1) giả sử α : A → B là đơn cấu chẻ ra. Khi đó B = Im α ⊕ B1 . Do đó mỗi phần tử b ∈
B viết được duy nhất dưới dạng.
α ( a ) + b1 ,
a ∈ A, b ∈ B1
Và do α là dẳng cấu giữa α và Im α nên tương ứng:
β :B→ A
α ( a ) + b1  a

Là một đồng cấu. Rõ ràng βα = id A
Ngược lại, giả sử tồn tại đồng cấu β : B → A sao cho βα = id A . Khi đó α là đơn cấu.
Lấy b ∈ B tùy ý. Thế thì
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 10


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

β ( b − αβ ( b ) ) = 0 ⇒ b − αβ ( b ) ∈ ker β
Vậy B = Im α ⊕ ker β
Để chứng mình
ta lấy a là phần tử trực thuộc giao. Thế thì tồn tại

sao cho

và

Vậy

.

(2) Nếu

là toàn cấu chẻ ra thì

là một đẳng cấu,
Gọi
Thỏa mãn

. Khi đó cái hạn chế

của

.

là phép nhúng chính tắc ta được
.

Ngược lại nếu tồn tại đồng cấu

sao cho

toàn cấu. Áp dụng Mệnh đề 1) ta được
2.1.4. Dãy khớp
2.1.4.1. Định nghĩa
Dãy các môđun và các đồng cấu môđun

, nghĩa là

ϕn
n −1
... 
→ M n −1 ϕ→

M n →
M n +1 
→ ....

được gọi là dãy khớp nếu Im ϕ n −1 = Kerϕ n
Dãy khớp với 5 môđun

là đơn cấu và

là

là toàn cấu chẻ ra.

(1)

∀n

f
g
0
→ M ' 
→
M
→
M"
→ 0
Được gọi là dãy khớp ngắn. ( Im f = Kerg ).

(*)

Trong đó môđun đầu và môđun cuối cùng đều bằng 0.
Dãy (*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Kerg .
Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M ' với Im f ( = Kerg ) và do g là toàn cấu
nên Im g = g ( M ) = M " ; đo vậy theo định lí đồng cấu môđun, ta có M Kerg ≅ Im g nên

M

M'

≅ M ".

2.1.4.2. Mệnh đề (Tiêu chuẩn chẻ ra từ dãy khớp ngắn)
f
g
Giả sử 0 
(**)
→ M ' 
→
M
→
M"
→ 0
là một dãy khớp ngắn các môđun. Khi đó các điều kiện sau là tương ứng:
i) f là có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu ψ : M → M ' sao cho ψ  f = id M '
ii) g có nghịch đảo phải, tức là tồn tại đồng cấu ϕ : M " → M sao cho g  ϕ = id M "
Khi những điều kiện đó thỏa mãn thì

M ≅ Im f ⊕ Kerψ
≅ Kerg ⊕ Im ϕ

Tức là M ≅ M '⊕ M ".
Ví dụ:
Giả sử có các họ các R -môđun { Ai / i ∈ I } , { Bi / i ∈ I } và .Nếu với mỗi i ∈ I ta có
các dãy khớp: 0 
→ Ai 

→ Bi 
→ Ci 
→ 0
Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 11


Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

→ ⊕ Ai 
→ ⊕ Bi 
→ ⊕ Ci 
→ 0
Chứng minh rằng 0 
i∈I
i∈I
i∈I
cũng là dãy khớp.

Đặt: ⊕I f i : ⊕I Ai → ⊕I Bi

∑a



i

Và ⊕I g i :

∑ f (a )

;

∑ g (b )

;

i

I

⊕ Bi → ⊕ C i
I

I

∑b

i



i

I

•

⊕ f i , ⊕ g i lần lượt là đơn cấu, toàm cấu:

I

⊕ f i là ánh xạ: Giả sử
I

i

I

Ta sẽ chứng minh

(1)

i

I

I

∑ a = ∑ a '∈ ⊕ A
i

i

⇒

Ai ∋ a j − a j ' = −∑ (ai − ai ' ) ∈ ∑ Ai

⇒

a j − a j '∈ Ai ∩ ∑ Ai = 0

⇒

a j = a j ' ; ∀j = 1, n

•

i∈I
i≠ j

⇒ ∑ (ai − ai ' ) = 0

∀j = 1, n

;
⇒

Với mọi

I

i

∀j = 1, n

;

i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

⊕ f i là đồng cấu :

I

I

∑ f (a ) = ∑ f (a ' ).
i

i

i

I

i

I

∑ a , ∑ a '∈ ⊕ A
i

I

i

I

i

I

;

∀r , r '∈ R

; Ta có :





⊕ f i  r ∑ ai + r ' ∑ ai '  = ⊕ f i  ∑ ( rai + r ' ai ')  = ∑ f i (ra i + r ' ai ' )
I
I
 I
I

 I
 I




= r.∑ f i (ai ) + r '. f i (ai ' ) = r. ⊕I f i  ∑ ai  + s. ⊕I f i  ∑ ai ' 
I

 I

 i

⊕ f i là đơn cấu : Với mọi ∑ ai ∈ Ker  ⊕ f i  ⇒ ∑ f i (ai ) = 0
I
• I
 I 
I
⇒ B j ⊃ Im( f j ) ∋ f j (a j ) = −∑ f i ( ai ) ∈ ∑ Im( f i ) ⊂ ∑ Bi
; ∀j ∈ I
i∈I
i∈I
i∈I
i≠ j

⇒

i≠ j

i≠ j

f j (a j ) ∈ B j ∩ ∑ Bi = 0 ;
∀j ∈ I
i∈I
i≠ j

⇒ a j ∈ Ker ( f j ) = 0 ; ∀j ∈ I

(do f j là đơn cấu, ∀j ∈ I )



⇒ ∑ ai = 0 ⇒ Ker  ⊕ f i  = 0
 I 
I

•

⊕ g i là đồng cấu : Tương tự như chứng minh ⊕ f i là đòng cấu.
I

I

C i ⇒ c = ∑ ci với c ∈ C ; ∀i ∈ I .
⊕ g i là toàn cấu : ∀c ∈ ⊕
i
i
I
I

I
•
Từ ci ∈ C i (∀i ∈ I ) thì do g i là toàn cấu nên ∃bi ∈ Bi : ci = g i (bi )

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 12

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun

(1)

( )
∑ f (a ) ∈ Im(⊕ f ), ,

Chứng minh :

( )

Im ⊕ f i = Ker ⊕ g i
I

Với mọi

i

i

i

I

I



I



Ta có ⊕I g i  ∑ f i (ai )  = ∑ ( g i f i )(ai ) = 0 ( vì ( g i f i )(ai ) = 0 )




I

( )

I

( do dãy đã cho là dãy khớp)

∑ b ∈ Ker (⊕ g )

( )

f i ⊂ Ker ⊕ g i
⇒ Im ⊕
I
I

;

⇒ ∀j ∈ I ,




0 = ⊕ g i  ∑ bi  = ∑ g i (bi )
I
I
 I  I
C j ∋ g j (b j ) = −∑ g i (bi ) ∈ ∑ C i

⇒ ∀j ∈ I ,

g j (b j ) ∈ C j ∩ ∑ C i = 0

Ngược lại, với

i

I

⇒

i

i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

⇒ b j ∈ Ker ( g j ) = Im( f i ) , ∀j ∈ I .

⇒ ∑ bi ∈ ∑ Im( f i ) = Im ⊕ f i .
I

( )
Vậy Im(⊕ f ) = Ker (⊕ g )
I

I

I

i

I

i

Từ kết quả (1) và (2) ta có dãy khớp:
⊕ fi

⊕ gi

∈
∈I
0
→ ⊕ Ai Ii

→ ⊕ Bi i
→ ⊕ C i 
→ 0

i∈I

i∈I

i∈I

III. Kết luận
Tích trực tiếp và tổng trực tiếp là một trong những nội dung khá quan trọng trong
chương trình học của mô đại số đại cương. Bài nghiên cứu này giúp chúng em có thể nắm
vững được những kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng vào giải các bài tập cơ bản. Đồng
thời, thông qua bài nghiên cứu này chúng em có thể tự rèn luyện cho bản thân mình khả
năng tự học hỏi, tự tìm tòi, nghiên cứu.
Bên cạnh đó, bản thân của mỗi sinh viên sẽ được thể hòa mình, được giao lưu với
thầy cô, bạn bè, được thể hiện bản lĩnh của mình và dần dần hình thành được khả năng
đứng trước đám đông thông qua hoạt động này.
Không những vậy, hoạt động này còn góp phần đẩy mạnh các phong trào tham gia
của sinh viên trong nhà trường. Thể hiện được mối quan hệ giữa nhà trường và sinh viên.
Nhà trường sẽ tạo ra cơ hội để cho sinh viên có thể định hướng được mục đích học tập
của mình và từ đó hình thành nên khả năng nghiệp vụ của mình sau này.
IV.

Tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Tiến Quang: Giáo trình Môđun và nhóm Aben, NXB ĐHSP 2008.
[2]. Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại số đại cương, NXB GD, 1999.
[3]. Mỵ Vinh Quang: Đại số đại cương, NXB Giáo dục năm 1999.
[4]. Hoàng Xuân Sính: Đại số đại cương, NXB ĐHSP, NXB GD 1995.

Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13

Trang 13