Luận văn thác sĩ số vòng quay và ứng dụng

1

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tất cả quý thầy cô và cán bộ
của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy, giúp đỡ tôi rất
nhiều trong suốt 4 năm học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Anh Vũ, người đã trực tiếp ra đề
tài và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn của tôi vì những ý kiến đóng góp quý
báu giúp tôi hoàn thành luận văn của mình.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2011.


2

Mục lục
Mục lục ............................................................................................ 2
Danh mục kí hiệu............................................................................ 3
MỞ ĐẦU ......................................................................................... 4
NỘI DUNG...................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................5
1.1. Đồng luân ............................................................................................................5
1.2. Bổ đề Lebesgue ...................................................................................................6
1.3. Điểm bất động và phép co rút ...........................................................................7
Chương 2. SỐ VÒNG QUAY CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC ....................................8
2.1. Định nghĩa và nhận xét ......................................................................................8
2.2. Đồng luân và sự tham số hóa ..........................................................................12
2.3. Biến thiên điểm đỉnh của góc ..........................................................................16
2.4. Bậc và bậc địa phương .....................................................................................18
Chương 3. CÁC ÁP DỤNG CỦA SỐ VÒNG QUAY ..........................................24
3.1. Định lí cơ bản của đại số ..................................................................................24

3.2. Điểm bất động và phép co rút .........................................................................25
3.3. Điểm đối cực và ánh xạ đối cực.......................................................................28
3.4. Xăng-quích ........................................................................................................30

KẾT LUẬN ................................................................................... 33
Tài liệu tham khảo: ...................................................................... 34


3

Danh mục kí hiệu
W (γ , P )

Số vòng quay của γ xung quanh P

γɶ

Cái nâng của γ

Supp (γ )

Ảnh của γ

deg ( F )

Bậc của ánh xạ F

Dr ( P )

Đĩa tròn tâm P , bán kính r

Cr ( P )

Đường tròn tâm P , bán kính r

S1

Đường tròn đơn vị

S2

Mặt cầu đơn vị

D2

Đĩa tròn đơn vị


4

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Trong giải tích, khi khảo sát tích phân đường, ta gặp phải những câu hỏi:
“Khi nào thì tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân?”, “Khi nào
thì các dạng vi phân một là vi phân của một hàm nào đó?”. Để trả lời cho những câu
hỏi này, khái niệm “số vòng quay”, tức số lần mà một đường cong đóng “đi vòng
quanh” gốc tọa độ của ánh xạ khả vi xuất hiện, với các tính chất được chứng minh
bằng công cụ giải tích. Sau đó, khái niệm này được mở rộng ra cho các ánh xạ liên
tục, mà các khẳng định về nó lúc này có được dựa vào lập luận tôpô thuần túy. Đây
là một khái niệm kết nối giữa hình vi phân với tôpô đại số mà người bước đầu làm

quen với tôpô đại số cần phải nắm vững. Do đó, để hiểu rõ hơn khái niệm này, tôi
chọn đề tài “Số vòng quay và một vài ứng dụng của số vòng quay” làm đề tài luận
văn tốt nghiệp của mình.

Mục đích của đề tài
Làm rõ khái niệm số vòng quay của ánh xạ liên tục và ứng dụng của nó vào
một số lĩnh vực.
Cung cấp thêm một tài liệu tham khảo về vấn đề này cho các bạn sinh viên.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích, tổng hợp

Bố cục của đề tài
Đề tài được chia làm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần nội dung của đề tài chia làm 3 chương, chương 1 trình bày một số kiến thức
chuẩn bị, chương 2 trình bày định nghĩa và một số tính chất của số vòng quay và
chương 3 trình bày một số ứng dụng của số vòng quay.


5

NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đồng luân
Định nghĩa 1.1.1( Đồng luân với các điểm đầu mút cố định)
Cho γ : [ a, b ] → U , δ : [ a, b ] → U là các đường có cùng điểm đầu và điểm

cuối. Một đồng luân từ γ đến δ với các điểm đầu mút cố định là một ánh xạ liên
tục H : [ a, b ] × [0,1] → U sao cho
H ( t ,0 ) = γ ( t ) và H ( t ,1) = δ ( t )

với mọi a ≤ t ≤ b ;

H ( a, s ) = γ ( a ) = δ ( a ) và H ( b, s ) = γ ( b ) = δ ( b )

với mọi 0 ≤ s ≤ 1 .

Các đường γ và δ được gọi là đồng luân với các điểm đầu mút cố định nếu
tồn tại một đồng luân H như vậy.
Định nghĩa 1.1.2( Đồng luân qua các đường đóng)

Một đồng luân từ γ đến δ qua các đường đóng là một ánh xạ liên tục
H : [ a, b ] × [0,1] → U sao cho:
H ( t ,0 ) = γ ( t ) và H ( t ,1) = δ ( t ) với mọi a ≤ t ≤ b ;

H ( 0, s ) = H (1, s )

với mọi 0 ≤ s ≤ 1 .

Các đường γ và δ được gọi là đồng luân qua các đường đóng nếu tồn tại
một đồng luân H như vậy.
Mệnh đề 1.1.3: Quan hệ đồng luân với các điểm đầu mút cố định và quan hệ đồng

luân qua các đường đóng là các quan hệ tương đương.
Chứng minh: Ta sẽ phác thảo sơ lược chứng minh cho trường hợp quan hệ đồng

luân với các điểm đầu mút cố định, trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Tính phản xạ: γ đồng luân với chính nó với ánh xạ đồng luân H : [ a, b ] × [0,1] → U

sao cho H ( t , s ) = γ ( t ) , a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1 .

6

Tính đối xứng: γ đồng luân với δ với ánh xạ đồng luân H thì δ đồng luân với

γ bởi ánh xạ đồng luân H − : [ a, b ] × [0,1] → U

xác định bởi H ( t , s ) = H ( t ,1 − s )

với mọi a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1
Tính bắc cầu: γ đồng luân với δ với ánh xạ đồng luân H , δ đồng luân với σ với

ánh xạ đồng luân K thì γ đồng luân với σ bởi ánh xạ đồng luân
L = (1 − s ) H + sK .
Mệnh đề 1.1.4: Nếu U là một tập mở lồi trong ℝ 2 , hai đường bất kì trong U có
cùng điểm đầu điểm cuối, hoặc hai đường đóng bất kì trong U đồng luân với nhau.

Chứng minh: Hai đường γ : [ a, b ] → U và δ : [ a, b ] → U có cùng các điểm đầu
mút, hoặc đóng trong U đồng luân với nhau bởi ánh xạ đồng luân

H = (1 − s ) γ ( t ) + sδ ( t ) , với mọi a ≤ t ≤ b , 0 ≤ s ≤ 1 .

1.2. Bổ đề Lebesgue
Mệnh đề 1.2.1: Cho K com-pắc, { An }n∈ℕ* là một dãy các tập con khác rỗng của
K . Khi đó, tồn tại điểm P thuộc K sao cho mọi lân cận U của P đều có giao khác

rỗng với vô hạn các An , điểm này gọi là điểm giới hạn của dãy { An }n∈ℕ* trong K .

Chứng minh: Giả sử với mọi P thuộc K , tồn tại lân cận mở U P của P mà chỉ có

giao khác rỗng với hữu hạn các An . Khi đó, {U P }P∈K là một phủ mở của K mà
không có hữu con hữu hạn, mâu thuẫn với K com-pắc.

Bổ đề 1.2.2.( Bổ đề Lebesgue): Cho một phủ mở bất kì của không gian metric
com-pắc K , tồn tại một ε > 0 sao cho mỗi tập con của K có đường kính nhỏ hơn

ε đều được chứa trong một tập mở nào đó của phủ.
Chứng minh: Giả sử không tồn tại ε như vậy. Khi đó, với mỗi số tự nhiên n khác
0 , tồn tại một tập con An của K có bán kính nhỏ hơn 1 / n không chứa trong bất kì

tập mở nào của phủ. Do K com-pắc, theo mệnh đề 1.2.1, K chứa điểm giới hạn P
của dãy { An }n∈ℕ* . Lấy U là một tập mở của phủ chứa P , và lấy r > 0 sao cho quả
cầu tâm P , bán kính r được chứa trong U . Lúc này, quả cầu mở tâm P , bán kính


7

r / 2 có giao khác rỗng với một số vô hạn các An với 1 / n < r / 2 . Những tập An
như thế này chắc chắn được chứa trong U , một sự mâu thuẫn.

1.3. Điểm bất động và phép co rút
Giả sử X , Y là hai không gian tôpô và Z là một không gian con của X .

Định nghĩa 1.3.1 (Điểm bất động của một ánh xạ): Cho ánh xạ f : X → Y . Điểm

P thuộc X gọi là điểm bất động của f nếu f ( P ) = P .
Định nghĩa 1.3.2 (Cái co rút và phép co rút): Một phép co rút X về Z là một ánh
xạ liên tục f : X → Z thỏa thu hẹp của nó lên Z là đồng nhất. Khi đó, Z được gọi
là cái co rút của X .

Định nghĩa 1.3.3 ( Không gian có tính chất điểm bất động): Không gian X được
gọi là có tính chất điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục f : X → X từ X vào
chính nó đều có điểm bất động.

Mệnh đề 1.3.4:Nếu X đồng phôi với Y và X có tính chất điểm bất động thì Y cũng
có tính chất điểm bất động.

Chứng minh: Giả sử X , Y đồng phôi với nhau với u là ánh xạ đồng phôi và X có
tính chất điểm bất động. Ta cần chứng minh Y cũng có tính chất điểm bất động.
Lấy ánh xạ liên tục f : Y → Y . Xét f : X → X xác định bởi công thức

(

)

x ֏ f ( x ) = u −1 f ( u ( x ) ) .

Do hợp thành của các ánh xạ liên tục là liên tục nên f liên tục. Do X có tính chất
điểm bất động, tồn tại x0 thuộc X là điểm bất động của f , tức là:

(

)

f ( x0 ) = u −1 f ( u ( x0 ) ) = x0 ,

suy ra f ( u ( x0 ) ) = u ( x0 ) hay u ( x0 ) thuộc Y là điểm bất động của f .


8

Chương 2. SỐ VÒNG QUAY CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC
2.1. Định nghĩa và nhận xét
Với mỗi điểm P bất kì trong mặt phẳng, và mỗi hình quạt bất kì đỉnh tại P ,
chúng ta có thể định nghĩa trên hình quạt một hàm góc liên tục ( thậm chí trơn),
biến mỗi điểm ( x, y ) thuộc hình quạt thành góc ϑ là góc giữa trục cực (tia hoành
xuất phát từ gốc P đi về phía đông của P ) và tia nối từ gốc P đến điểm ( x, y ) .
Hàm góc này là duy nhất (sai khác một số nguyên lần 2π ). Ở đây, các góc được đo
ngược chiều kim đồng hồ.

Hình 2.1
Xét ánh xạ tọa độ cực p = pP , đặt tương ứng mỗi điểm trong nửa mặt phẳng

{( r ,ϑ ) / r > 0} với điểm p ( r ,ϑ ) := P + ( rcosϑ , rsinϑ ) . Mỗi hình quạt đỉnh tại
ảnh của dải

{( r ,ϑ ) / r > 0;ϑ

1

P là

< ϑ < ϑ2 } , với ϑ1 , ϑ2 là hai số thực bất kì thỏa mãn

0 < ϑ2 − ϑ1 ≤ 2π qua ánh xạ này. Về mặt tôpô, sự liên tục của hàm góc được giải

thích như sau: p là song ánh liên tục từ dải vào hình quạt, biến các hình chữ nhật
mở

{( r ,ϑ ) / a < r < b, α < ϑ < β }

thành các hình quạt mở (bị chặn bởi hai đường


9

thẳng và các cung của hai đường tròn), vì vậy p mở cũng như liên tục. Theo đó, p
là một đồng phôi. Điều này có nghĩa là r , ϑ là các hàm liên tục của x và y .
Định nghĩa 2.1.1: Với mỗi đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} , ta định nghĩa số

vòng quay của γ quanh P , kí hiệu W (γ , P ) như sau:
Bước 1: Chia nhỏ đoạn [ a, b ] thành a = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = b sao cho mỗi đoạn nhỏ

[ti−1 , ti ] có ảnh qua ánh xạ γ nằm trong một hình quạt nào đó đỉnh tại

P.

Bước 2. Chọn một hình quạt U i chứa γ ([ti −1 , ti ]) và một hàm góc tương ứng ϑi trên
U i , với 1 ≤ i ≤ n . Đặt Pi = γ ( ti ) , 0 ≤ i ≤ n . Định nghĩa

W (γ , P ) =
=

1
(ϑ1 ( P1 ) − ϑ1 ( P0 ) ) + (ϑ2 ( P2 ) − ϑ2 ( P1 ) ) + ... + (ϑn ( Pn ) − ϑn ( Pn−1 ) )

2π 
1
2π

n

∑ (ϑ ( P ) − ϑ ( P ) )
i

i

i

i −1

i =1

Nhận xét 2.1.2: Vì mỗi điểm trong ảnh của γ đều nằm trong một hình quạt nào đó
đỉnh tại P , theo bổ đề Lebesgue, sự chia nhỏ như ở bước 1 tồn tại.

Định đề 2.1.3
a) Định nghĩa số vòng quay độc lập với những sự lựa chọn ở bước 1 và bước 2.
b) Nếu γ là một đường cong đóng, có nghĩa là γ ( a ) = γ ( b ) , thì W ( γ , P ) là một số
nguyên.

Chứng minh:
a) Giả sử U i' và ϑi' là các sự lựa chọn khác. Khi đó ϑi và ϑi' sai khác nhau một hằng
số ( một số nguyên lần 2π ) trên phần giao của U i và U i' mà chứa γ ([ti −1 , ti ]) . Vì

vậy hiệu các giá trị của ϑi tại hai điểm Pi −1 và Pi bằng với hiệu các giá trị của ϑi' tại
hai điểm này, với mọi i = 1, 2,..., n . Số vòng quay không thay đổi. Như vậy, số vòng
quay độc lập với sự lựa chọn các U i , ϑi .
Giả sử chúng ta thêm một điểm vào sự phân chia cho trước đã thỏa mãn điều
kiện ở bước 1, bằng việc chèn thêm một điểm t * vào giữa ti −1 và ti nào đó. Nếu U i

10

và ϑi được chọn cho [ti −1 , ti ] , chúng cũng có thể được chọn cho 2 khoảng con

ti −1 , t *  và t * , ti  . Và nếu P* = γ ( t * ) , thì:

(ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + (ϑ ( P ) − ϑ ( P )) = ϑ ( P ) − ϑ ( P ) ,
*

i

i

*

i

i

i

i −1

i

i

i

i −1

vì vậy tổng lại không thay đổi. Điều này kéo theo rằng nếu chúng ta chèn một số
hữu hạn điểm vào một sự phân chia cho trước thỏa mãn điều kiện trong bước 1, số
vòng quay sẽ không thay đổi. Và khi đó, nếu hai sự phân chia đều thỏa mãn điều
kiện trong bước 1 thì sự phân chia mịn hơn bao gồm tất cả các điểm chia của hai sự
phân chia sẽ xác định cùng một số vòng quay như mỗi trong số chúng. Số vòng
quay độc lập với việc chọn lựa sự phân chia.
b) Với đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} bất kì,

W (γ , P ) =
=

1
2π

1
2π

((ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + (ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + ... + (ϑ ( P ) − ϑ ( P )))
1

0

2

2

2

1

n

n

n

n −1

n −1

ϑ
P
−
ϑ
P
+
(
)
(
)
(ϑi ( Pi ) − ϑi +1 ( Pi ) ) 
∑
 n n
1
0
i =1




Do giá trị của các hàm góc khác nhau tại một điểm sai khác một số nguyên lần 2π ,
nếu ϑa là một góc cho điểm đầu γ ( a ) , thì ϑa + 2π .W (γ , P ) là một góc cho điểm
cuối γ ( b ) . Khi đường γ đóng, điều này kéo theo rằng W (γ , P ) là một số nguyên.

Mệnh đề 2.1.4
Nếu γ : [ a, b ] → U là một đường đóng, và U là một tập mở trong ℝ 2 \ {P}
trên đó có một hàm góc liên tục ( ví dụ một hình quạt đỉnh tại P ), thì W ( γ , P ) = 0 .

Chứng minh:
Do U mở trong ℝ 2 \ {P} nên tồn tại một sự phân chia a = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = b
sao cho γ ([ti , ti −1 ]) chứa trong hình quạt mở U i ⊂ U , i = 1, 2,..., n . Trên mỗi U i ,
chọn hàm góc f i là thu hẹp của hàm góc liên tục trên U lên U i thì f i liên tục và:


11

W (γ , P ) =
=

1
2π

n

n

1
1

∑ ( f ( P ) − f ( P ) ) = 2π ∑ ( f ( P ) − f ( P ) ) = 2π ( f ( P ) − f ( P ) )
i

i

i

i −1

i −1

i

i =1

n

0

i =1

1
( f ( P0 ) − f ( P0 ) ) = 0
2π

do γ là đường đóng.

Mệnh đề 2.1.5: Số vòng quay bất biến qua phép tịnh tiến.
Chứng minh:
Lấy γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} và vectơ v bất kì trong mặt phẳng. Gọi γ + v là ảnh

của γ qua phép tịnh tiến theo v thì γ + v là đường cong xác định bởi

(γ + v )( t ) = γ ( t ) + v .
Chia nhỏ đoạn [ a, b ] bởi a0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = b sao cho mỗi đoạn nhỏ [ti −1 , ti ] có
ảnh qua ánh xạ γ nằm trong một hình quạt mở nào đó đỉnh tại P . Với mỗi
i = 1, 2,..., n , chọn U i chứa γ ([ti −1 , ti ]) và hàm góc tương ứng ϑi trên U i . Khi đó,

ảnh của U i qua phép tịnh tiến là hình quạt mở U i' chứa ( γ + v ) ([ti −1 , ti ]) , và hàm góc

ϑi' thỏa ϑi' ( (γ + v )( Q ) ) = ϑi ( Q ) với Q thuộc U i là hàm liên tục trên U i' .
W ( γ + v, P + v ) =
=

1
2π
1
2π

n

∑ (ϑ ( P + v ) − ϑ ( P
'
i

'
i

i

i −1

i =1

+ v ))

n

∑ (ϑ ( P ) − ϑ ( P ) ) = W (γ , P ) .
i

i

i −1

i −1

i =1

Nhận xét 2.1.6: Với mọi đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} , tồn tại hàm liên tục

r : [ a, b ] → ℝ + (các số thực nguyên dương) và ϑ : [ a, b ] → ℝ sao cho:

γ ( t ) = P + ( r ( t ) .cos (ϑ ( t ) ) , r ( t ) .sin (ϑ ( t ) ) ) , a ≤ t ≤ b .
Hơn nữa, r như vậy xác định duy nhất bởi r ( t ) = γ ( t ) − P và ϑ xác định một
cách duy nhất sai khác một số nguyên lần 2π .


12

Nếu γ t là hạn chế của γ lên [ a, t ] và ϑa là một góc của γ ( a ) thì ta có thể

lấy ϑ ( t ) = ϑa + 2π .W (γ t , P ) . Với mỗi sự lựa chọn ϑa , có duy nhất một ánh xạ

γɶ : [ a, b ] → {( r ,ϑ ) / r > 0} sao cho pP γɶ = γ và γɶ ( a ) = ( r ( a ) ,ϑ ( a ) ) với pP là ánh
xạ tọa độc cực. Ánh xạ γɶ như vậy được gọi là cái nâng của γ với điểm khởi đầu

( r ( a ) ,ϑ ( a ) ) .
2.2. Đồng luân và sự tham số hóa
Giả sử R = [ a, b ] × [c, d ] là một hình chữ nhật đóng, và Γ : R → ℝ 2 là một
ánh xạ liên tục. Các hạn chế của Γ lên 4 cạnh của hình chữ nhật xác định 4 đường

γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 như sau:
γ 1 (t ) = Γ (t, c ) ,

γ 3 (t ) = Γ (t, d ) ,

a≤t≤b

γ 2 ( s ) = Γ ( b, s ) ,

γ 4 ( s ) = Γ ( a, s ) ,

c≤s≤d

Hình 2.2

Định lí 2.2.1: Với mỗi P không thuộc Γ ( R ) ,
W (γ 1 , P ) + W (γ 2 , P ) = W (γ 3 , P ) + W (γ 4 , P )

Chứng minh:
Ta chia nhỏ hình chữ nhật thành các hình chữ nhật con Ri , j sao cho ảnh của

Ri , j qua ánh xạ Γ được chứa trong một hình quạt U i , j (có đỉnh tại P ) mà trên đó có
một hàm góc liên tục. Việc chia nhỏ như vậy hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ
vào việc sử dụng bổ đề Lebesgue. Khi đó, mỗi cạnh trong sẽ là cạnh chung của hai


13

hình vuông nhỏ kề nhau. Lúc tính tổng số vòng quay của tất cả các thu hẹp của

Γ lên các cạnh của các hình vuông nhỏ, ta sẽ tính số vòng quay của Γ thu hẹp lên
cạnh này hai lần, mỗi lần theo một hướng khác nhau. Hai số vòng quay này triệt
tiêu lẫn nhau. Do đó, kết quả cuối cùng chỉ còn lại tổng số vòng quay của thu hẹp

(

)

của Γ lên các cạnh ngoài: W ( Γ|∂R , P ) = ∑W Γ|∂Ri , j , P .Mặt khác:
i, j

(

)

W ( Γ|∂R , P ) = W ( γ 1 , P ) + W ( γ 2 , P ) − W ( γ 3 , P ) − W ( γ 4 , P ) và W Γ|∂Ri , j , P = 0, ∀i, j

vì ảnh của Ri , j được chứa trong một miền mà trong đó có một hàm góc ϑi , j .
Vì vậy, W ( γ 1 , P ) + W (γ 2 , P ) − W ( γ 3 , P ) − W (γ 4 , P ) = 0 .
Định lí này giúp ta suy ra rằng các số vòng quay bất biến qua các đồng luân.

Hệ quả 2.2.2: Nếu hai đường γ và δ trong ℝ 2 \ {P} đồng luân với nhau với các
điểm mút cố định hay đồng luân với nhau qua các đường đóng, thì

W ( γ , P ) = W (δ , P )
Chứng minh: Đây là kết quả nhận được trực tiếp khi áp dụng định lí 2.2.1 với Γ là
đồng luân H của γ và δ . Trường hợp γ và δ đồng luân với các điểm mút cố định,
các số vòng quay của các đường hằng từ các cạnh của hình chữ nhật đều bằng 0;
trường hợp γ và δ đồng luân qua các đường đóng, các đường này giống nhau, vì
vậy số vòng quay của chúng triệt tiêu trong kết quả.
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét điều gì xảy ra với các số vòng quay khi thay
đổi tham số.

Hệ quả 2.2.3: Cho γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} là một đường cong liên tục, và

ϕ : [c, d ] → [ a, b ] là một hàm liên tục.
a) Nếu ϕ ( c ) = a và ϕ ( d ) = b thì W ( γ ϕ , P ) = W ( γ , P )
b) Nếu ϕ ( c ) = b và ϕ ( d ) = a , thì W ( γ ϕ , P ) = −W ( γ , P ) .
Đặc biệt, nếu γ −1 ( t ) = γ ( a + b − t ) , a ≤ t ≤ b thì: W (γ −1 , P ) = −W ( γ , P ) .


14

Chứng minh:
Cho γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} là môt đường cong liên tục, và ϕ : [c, d ] → [ a, b ] là một
hàm liên tục.
a) Giả sử ϕ ( c ) = a và ϕ ( d ) = b . Xác định Γ : [ a, b ] × [c, d ] → U bởi công thức

(

)

Γ ( t , s ) = γ min ( t + ϕ ( s ) − a, b ) .

Vì hàm giá trị nhỏ nhất hay hàm hợp của 2 hàm liên tục thì liên tục nên Γ liên tục.
Các thu hẹp của Γ lên các cạnh của hình chữ nhật [ a, b ] × [c, d ] là γ 1 = γ ,

γ 4 = γ ϕ , γ 2 và γ 3 là các đường hằng tại điểm γ ( b ) . Áp dụng định lí 2.2.1,
W (γ ϕ ) = W (γ , P ) .

b) Giả sử ϕ ( c ) = b và ϕ ( d ) = a . Xác định Γ : [ a, b ] × [c, d ] → U bởi công thức

(

)

Γ ( t , s ) = γ max ( t + ϕ ( s ) − b, a ) . Khi đó, các thu hẹp của Γ lên các cạnh của hình

chữ nhật [ a, b ] × [c, d ] là γ 1 = γ , γ 2 = γ ϕ , γ 3 và γ 4 là các đường hằng tại điểm

γ ( a ) . Áp dụng định lí 2.2.1, W (γ ϕ , P ) = −W (γ , P ) .
Giả sử γ −1 ( t ) = γ ( a + b − t ) , a ≤ t ≤ b . Khi đó, ánh xạ ϕ : [ a, b ] → [ a, b ] xác
định bởi ϕ ( s ) = a + b − t thỏa: ϕ ( a ) = b và ϕ ( b ) = a , γ −1 = γ ϕ . Áp dụng công
thức vừa chứng minh ở trên, W (γ −1 , P ) = −W ( γ , P ) .

Định lí 2.2.4 (Dog-on-a- Leash)
Giả sử γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} và δ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} là các đường đóng, và
các đoạn thẳng nối γ ( t ) và δ ( t ) không chạm đến điểm P . Khi đó:
W ( γ , P ) = W (δ , P )

Chứng minh:
Gọi H : [ a, b ] × [0,1] → ℝ 2 xác định bởi công thức
H ( t , s ) = (1 − s ) γ ( t ) + sδ ( t ) , a ≤ t ≤ b , 0 ≤ s ≤ 1 .


15

Đây là một đồng luân liên tục từ γ đến δ qua các đường đóng. Từ giả thiết, ta suy
ra ảnh của hình chữ nhật qua H nằm trong ℝ 2 \ {P} . Áp dụng hệ quả 2.2.2,
W ( γ , P ) = W (δ , P ) .

Hình 2.3

Hệ quả 2.2.5: Nếu γ : [ a, b ] → ℝ 2 và δ : [ a, b ] → ℝ 2 là các đường đóng sao cho

γ ( t ) − δ ( t ) < γ ( t ) − P với mọi t thuộc [ a, b ] thì W (γ , P ) = W (δ , P ) .
Chứng minh: Các giả thiết kéo theo các đường không chạm đến P , và các đoạn
thẳng nối γ ( t ) và δ ( t ) không chạm đến P , do đó theo định lí 2.2.4,

W ( γ , P ) = W (δ , P ) .
Mệnh đề 2.2.6: Cho γ và δ là các đường từ một khoảng nào đó đến ℝ 2 \ {P} có
cùng các điểm đầu mút. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
a) γ và δ đồng luân trong ℝ 2 \ {P}
b) W ( γ , P ) = W (δ , P )
c) Nếu γɶ và δɶ là các ánh xạ nâng của γ và δ có cùng điểm đầu, thì γɶ và δɶ có
cùng điểm cuối.

Chứng minh:
a ) ⇒ b) Hiển nhiên theo hệ quả 2.2.2.

16

b) ⇒ a ) Giả sử W ( γ , P ) = W (δ , P ) . Khi đó, điểm P phải nằm ngoài miền giới hạn

bởi γ và δ . γ đồng luân với δ với các điểm mút cố định với ánh xạ đồng luân
H ( t , s ) = (1 − s ) γ ( t ) + sδ ( t ) , a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1 .

b) ⇔ c) do ϑ ( b ) = ϑ ( a ) + 2π .W (γ , P ) .

Mệnh đề 2.2.7: Cho γ và δ là các đường đóng từ một khoảng đóng nào đó đến
ℝ 2 \ {P} . Khi đó, γ và δ đồng luân qua các đường đóng trong ℝ 2 \ {P} khi và chỉ

khi W ( γ , P ) = W (δ , P ) .

Chứng minh: Điều kiện đủ là hiển nhiên theo hệ quả 2.2.2.

Điều kiện cần. Giả sử W ( γ , P ) = W (δ , P ) . Nếu W ( γ , P ) = W (δ , P ) = 0 thì cả γ và

δ đều có phần trong không chứa gốc tọa độ, do đó chúng đều đồng luân với ánh xạ
hằng tại một điểm bất kì khác gốc tọa độ, nói riêng chúng đồng luân với nhau.
Nếu W ( γ , P ) = W (δ , P ) ≠ 0 , cả γ và δ đều có phần trong chứa gốc tọa độ.
Mặt khác, chúng cùng hướng với nhau nên chúng đồng luân với nhau.

2.3. Biến thiên điểm đỉnh của góc
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự biến đổi của số vòng quay khi cố
định đường γ : [ a, b ] → ℝ 2 và biến thiên điểm P sao cho đường γ không qua P .
Chúng ta kí hiệu ảnh của đường γ bởi Supp ( γ ) , có nghĩa là:
Supp (γ ) = γ ([ a, b ]) .

Nhận xét 2.3.1: Vì [ a, b ] com-pắc nên Supp (γ ) là một tập con com-pắc của ℝ 2 ,
do đó nó đóng và bị chặn. Phần bù của Supp ( γ ) là một tập mở, trong đó có nhiều,
thậm chí vô hạn các thành phần liên thông mở. Tuy nhiên, vì Supp (γ ) bị chặn nên
tồn tại một thành phần liên thông của ℝ 2 \ Supp ( γ ) chứa tất cả các điểm bên ngoài
một đĩa nào đó; thành phần liên thông này gọi là thành phần liên thông không bị
chặn.


17

Định đề 2.3.2: Như là một hàm của P , hàm W ( γ , P ) nhận giá trị hằng trên mỗi
thành phần liên thông của ℝ 2 \ Supp ( γ ) . Nó nhận giá trị 0 trên thành phần liên
thông không bị chặn.

Chứng minh: Để chứng minh W (γ , P ) nhận giá trị hằng trên mỗi thành phần liên
thông, ta chỉ cần chứng minh nó là hàm hằng địa phương của P trên ℝ 2 \ Supp ( γ ) .
Cho trước P , lấy một đĩa chứa P và nằm trong ℝ 2 \ Supp ( γ ) . Lấy P ' bất kì trên
đĩa. Đặt v = P '− P là vectơ từ P đến P ' . Theo mệnh đề 2.1.5,
W ( γ , P ) = W ( γ + v, P + v ) = W ( γ + v, P ' ) .

Mặt khác, ánh xạ H ( t , s ) = γ ( t ) + sv, a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 1 là một đồng luân
qua các đường đóng từ γ đến γ + v mà không bao giờ chạm đến điểm P . Vì vậy,
theo hệ quả 2.2.2,
W ( γ + v, P ' ) = W ( γ , P ' ) .

Ta chứng minh W (γ , P ) nhận giá trị 0 trên thành phần liên thông không bị
chặn. Do nó nhận giá trị hằng trên một thành phần liên thông, nên ta chỉ cần chứng
minh nó nhận giá trị 0 tại một điểm nào đó trên thành phần liên thông vô hạn. Trên
phần âm của trục x , lấy P0 rất xa O , sao cho Supp ( γ ) được chứa trong nửa mặt
phẳng bên phải điểm P0 . Trên nửa mặt phẳng này, có một hàm góc liên tục, do đó

theo mệnh đề 2.1.4, W ( γ , P0 ) = 0 .

Hình 2.4


18

Mệnh đề 2.3.3: Với mỗi đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ 2 \ {P} , hàm P ֏ W (γ , P )
liên tục trên phần bù của Supp ( γ ) và tiến về 0 khi P dần đến vô cùng.

Chứng minh: Hàm P ֏ W (γ , P ) hằng nên liên tục trên mỗi thành phần liên thông
mở của ℝ 2 \ Supp ( γ ) , do đó nó liên tục trên ℝ 2 \ Supp ( γ ) . Mặt khác, tồn tại
M > 0 để phần bù của đĩa tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính M được chứa trong

thành phần liên thông không bị chặn. Với mỗi dãy

{P }
n

n∈ℕ

thỏa Pn → ∞ khi

n → ∞ , tồn tại n0 > 0 sao cho Pn > M với mọi n ≥ n0 , hay W ( γ , Pn ) = 0 với mọi
n ≥ n0 do đó W ( γ , Pn ) → 0 .

2.4. Bậc và bậc địa phương
Cho khoảng đóng I = [0,1] và đường tròn C có tâm ( x0 , y0 ) , bán kính r .
Đặt ϕ : I → C xác định bởi:

ϕ ( t ) = ( x0 , y0 ) + ( rcos ( 2π t ) , rsin ( 2π t ) ) , 0 ≤ t ≤ 1
Khi đó, ϕ là một ánh xạ 1 − 1 từ I lên C , ngoại trừ ϕ ( 0 ) = ϕ (1) . Điều này kéo theo
rằng nếu F là một ánh xạ từ C vào một tập mở U , thì γ = F ϕ là một ánh xạ từ I
đến U với γ ( 0 ) = γ (1) , và mỗi ánh xạ như thế này có thể biểu diễn dưới dạng trên
với hàm F duy nhất.

Hình 2.5


19

Bổ đề 2.4.1: Ánh xạ γ liên tục khi và chỉ khi F liên tục.
Chứng minh: Ta có thể xem C là không gian thương của I với các điểm đầu mút
0 và 1 của nó được đồng nhất, ánh xạ chiếu là ϕ . Điều này có nghĩa là một tập con
X của C là mở khi và chỉ khi ϕ −1 ( X ) mở trong I . Vì vậy, với mỗi tập mở V của

U , F −1 (V ) mở khi và chỉ khi γ −1 (V ) = ϕ −1 ( F −1 (V ) ) mở.
Định nghĩa 2.4.2: Với mỗi ánh xạ liên tục F :C → ℝ 2 \ {P} , chúng ta định nghĩa số
vòng quay của F xung quanh P , kí hiệu: W ( F , P ) , là số vòng quay của đường

γ = F ϕ xung quanh P .
Ví dụ 2.4.3: Đồng nhất ℝ 2 với tập các số phức ℂ , và gọi f : ℂ → ℂ là ánh xạ đặt
tương ứng mỗi số phức z với z n (lũy thừa nguyên bậc n ) của nó. Cho C là đường
tròn bất kì tâm tại gốc tọa độ, và gọi F là hạn chế của f lên C . Khi đó,
W ( F ,0 ) = n .
F :C → C

Chứng minh: Ánh xạ

đặt tương ứng

z

với

z n . Ánh xạ

γ = F ϕ : [0,1] → C đặt tương ứng t với γ ( t ) = ( r n cos ( 2nπ t ) , r n sin ( 2nπ t ) ) , với
mọi t thuộc [0,1] . Ta tính số vòng quay W (γ ,0 ) Trước hết, chia nhỏ đoạn [0,1] :
0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = 1 sao cho γ ([ti −1 , ti ]) nằm trong một hình quạt Ui nào đó đỉnh

tại O , với i = 1, 2,..., n . Trên mỗi Ui , chọn hàm góc liên tục ϑi sao cho

ϑi ( ti −1 ) = 2nπ ti −1 , khi đó ϑi ( ti ) = 2nπ ti .
W ( γ ,0 ) =

=

(

1
. (ϑ1 ( P1 ) − ϑ1 ( P0 ) ) + (ϑ2 ( P2 ) − ϑ2 ( P1 ) ) + ... + (ϑn ( Pn ) − ϑn ( Pn −1 ) )
2π

1
2π

( ( 2nπ t

1

Vậy W ( F ,0 ) = W ( γ ,0 ) = n .

− 2nπ t0 ) + ( 2nπ t2 − 2nπ t1 ) + ... + ( 2nπ tn − 2nπ tn −1 ) ) = n

)


20

Định đề 2.4.4:Giả sử C là biên của đĩa đóng D , và F : C → ℝ 2 \ {P} . Khi đó, F
mở rộng được thành một hàm liên tục từ D đến ℝ 2 \ {P} khi và chỉ khi

W ( F, P) = 0 .
Chứng minh: Giả sử C là biên của đĩa đóng D , và F : C → ℝ 2 \ {P} mở rộng
được thành một hàm liên tục từ D đến ℝ 2 \ {P} . Gọi ( x0 , y0 ) là tâm, r là bán kính
đĩa đóng D và γ = F ϕ : [0,1] → ℝ 2 \ {P} là ánh xạ tương ứng của F . Gọi
F : D → ℝ 2 \ {P} là mở rộng liên tục của F thì:
H (t, s ) = F

(( x , y ) + s ( rcos ( 2π t ) , rsin ( 2π t ))) ,0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1
0

0

là một đồng luân từ γ đến đường hằng tại điểm F ( ( x0 , y0 ) ) . Đồng luân này nằm
bên trong ℝ 2 \ {P} , và vì số vòng quay của một đường hằng là 0, theo hệ quả 2.2.2,
W ( F , P ) = 0 . Chiều thuận của định đề được chứng minh.

Ngược lại, giả sử F : C → ℝ 2 \ {P} thỏa W ( F , P ) = 0 . Lấy P ' ∈ ℝ 2 \ {P} và

đặt F : C → U là ánh xạ hằng biến C thành P ' . Khi đó, γɶ = F ϕ là ánh xạ hằng

( )

nên W γɶ , P = 0 = W ( γ , P ) . Cả γ và γɶ đều là các đường đóng, theo mệnh đề
2.2.7, γ đồng luân với γɶ qua các đường đóng, nghĩa là tồn tại ánh xạ liên tục
H : [0,1] × [0,1] → U sao cho
H ( t ,1) = γ ;

H ( t ,0 ) = γɶ , 0 ≤ t ≤ 1 ; H ( 0, s ) = H (1, s ) , 0 ≤ s ≤ 1 (1).

Với mỗi Q ∈ D , Q có thể biểu diễn được dưới dạng

( x , y ) + s ( rcos 2π t , rsin2π t ) ,0 ≤ s ≤ 1.
0

0

Đặt f : D → U xác định bởi f ( Q ) = H ( t , s ) . Nhờ vào (1), f là một ánh xạ . Mặt

(

khác, với mỗi V mở trong U , H −1 (V ) = f ϕ

[0,1] × [0,1] , do đó

)

−1

(V ) = ϕ ( f (V ) )
−1

−1

mở trong

f −1 (V ) mở trong D . Ở đây ϕ : [0,1] × [0,1] → D sao cho

ϕ ( s, t ) = ( x0 , y0 ) + s ( rcos 2π t , rsin 2π t ) .


21

Định nghĩa 2.4.5: Cho F là một ánh xạ liên tục từ đường tròn C đến đường tròn
C ' và P ' là tâm của C ' . Ta định nghĩa bậc của ánh xạ F , kí hiệu deg ( F ) bởi

công thức:
deg ( F ) = W ( F , P ' ) .

Nhận xét 2.4.6: Ta có thể thay điểm P ' trong định nghĩa trên bởi một điểm Q bất
kì nằm trong C ' .

Chứng minh: Lấy điểm Q bất kì nằm trong C ' . Do phần trong của đường tròn là
một tập liên thông nên theo định đề 2.3.2, W ( F , Q ) = W ( F , P ') .

Ví dụ 2.4.7
a) Nếu F không toàn ánh thì bậc của nó là 0. Thật vậy, do F không toàn ánh nên
F (C )

C ' , ta có ℝ 2 \ {F ( C )} liên thông, chính là thành phần liên thông vô tận,

deg ( F ) = W ( F , P ') = 0 .

b) Ngược lại, nếu F là toàn ánh thì bậc của nó vẫn có thể là 0. Ví dụ ánh xạ F từ
đường tròn C đến đường tròn C ' xác định bởi
1

x
,
y
+
rcos
4
π
t
,
rsin
4
π
t
,
0
≤
t
≤
(
)
(
)

0
0

2

F ( x, y ) = 


( x0 , y0 ) +  rcos  −4π  t − 1   , rsin  −4π  t − 1    , 1 ≤ t ≤ 1




 2 
 2   2





với ( x0 , y0 ) , r là tâm và bán kính của C ' là một toàn ánh liên tục có bậc là 0.

Mệnh đề 2.4.8
a) F và G là các ánh xạ đồng luân khi và chỉ khi chúng có cùng bậc.
b) Nếu C là biên của đĩa D thì F mở rộng được thành một ánh xạ liên tục từ C
vào C ' khi và chỉ khi F đồng luân với một đường hằng từ C đến C ' , và vì vậy

deg ( F ) = 0 .
c) Nếu S 1 là đường tròn đơn vị tâm tại gốc toạ độ, và F : S 1 → S 1 là ánh xạ liên tục
bậc n thì đồng luân với ánh xạ biến ( cos (ϑ ) , sin (ϑ ) ) thành ( cos ( nϑ ) , sin ( nϑ ) ) .

Chứng minh:


22

a) F đồng luân với G khi và chỉ khi γ F đồng luân γ G ,

khi và chỉ khi

W (γ F , P ') = W (γ G , P ') , hay deg ( F ) = deg ( G ) .

b) Kết quả được suy trực tiếp từ chứng minh của định đề 2.4.4 và định nghĩa 2.4.5.
c) Vì ánh xạ biến ( cos (ϑ ) , sin (ϑ ) ) thành ( cos ( nϑ ) , sin ( nϑ ) ) có bậc là n , đây là
kết quả thu được trực tiếp từ khẳng định ở câu a.

Mệnh đề 2.4.9: Nếu F : C → C ' , G : C ' → C '' là các ánh xạ liên tục và
deg ( F ) = m , deg ( G ) = n thì deg ( G F ) = n.m .

Chứng minh: Giả sử F : C → C ' , G : C ' → C '' là các ánh xạ liên tục và
deg ( F ) = m , deg ( G ) = n . Gọi r , r ', r '' lần lượt là bán kính của C , C ', C '' . Đặt
F1 : C → C ' sao cho ( rcosϑ , rsinϑ ) ֏ ( r ' cos ( mϑ ) , r ' sin ( mϑ ) ) ,
G1 : C ' → C '' sao cho ( r ' cosϑ , r ' sinϑ ) ֏ ( r '' cos ( nϑ ) , r '' sin ( nϑ ) )

thì deg ( F1 ) = m , deg ( G1 ) = n . Do F cùng bậc với F1 nên chúng đồng luân, tương
tự ta cũng có G đồng luân với G1 . Vì vậy, G F đồng luân với G1 F1 , theo mệnh
đề 2.4.8, deg ( F G ) = deg ( F1 G1 ) = n.m .

Định nghĩa 2.4.10: Giả sử U và V là các tập mở trong ℝ 2 , F : U → V là một ánh
xạ liên tục, và P là một điểm thuộc U . Giả sử tồn tại một lân cận của P sao cho

F ( Q ) ≠ F ( P ) với mọi Q ≠ P thuộc lân cận đó. Chọn số nguyên dương r sao cho

đĩa mở Dr ( P ) nằm trong lân cận này và gọi Cr ( P ) là đường tròn tâm P , bán kính

r . Khi đó, thu hẹp của F lên Cr ( P ) là một ánh xạ liên tục từ Cr ( P ) đến ℝ 2 \ {P} .
Ta định nghĩa bậc địa phương của F tại P , kí hiệu deg P ( F ) , là số vòng quay của
ánh xạ này xung quanh điểm F ( P ) . Nói cách khác, deg P ( F ) = W (γ r , F ( P ) ) ,

(

)

trong đó: γ r ( t ) = F P + r ( cos ( 2π t ) , sin ( 2π t ) ) , 0 ≤ t ≤ 1 .

Bổ đề 2.4.11: Số vòng quay xác định ở trên không phụ thuộc vào sự chọn lựa r .
Chứng minh: Lấy r ' ≠ r thỏa giả thiết. Khi đó,

(

H ( t , s ) = F P + ( (1 − s ) r + sr ') ( cos ( 2π t ) , sin ( 2π t ) )

)


23

là một đồng luân từ γ r đến γ r ' . Theo mệnh đề 2.2.7,

W (γ r , F ( P ) ) = W (γ r ' , F ( P ) ) .
Một cách tương tự, bậc địa phương của F tại P là số vòng quay của ánh xạ

từ đường tròn đơn vị đến chính nó cho bởi công thức
Q֏

F ( P + rQ ) − F ( P )
.
F ( P + rQ ) − F ( P )

Nhận xét 2.4.12
Nếu F : ℝ 2 → ℝ 2 là một ánh xạ tuyến tính, được cho bởi một ma trận cấp

( 2 × 2 ) có định thức khác 0

thì bậc địa phương của F tại gốc tọa độ là +1 nếu định

thức dương, và bằng −1 nếu định thức âm.
Nếu F : U → V là một ánh xạ trơn, và định thức Jacobian của F tại P khác
0 , thì bậc địa phương của F tại P xác định và bằng +1 hoặc −1 tùy thuộc vào dấu

của định thức.


24

Chương 3. CÁC ÁP DỤNG CỦA SỐ VÒNG QUAY
3.1. Định lí cơ bản của đại số
Đồng nhất tập hợp các số phức ℂ với mặt phẳng thực ℝ 2 , trong đó mỗi số
thực z = x + iy được đồng nhất với điểm ( x, y ) .
Với mỗi đa thức phức, g (T ) = a0T n + a1T n−1 + ... + an−1T + an , trong đó các hệ
số ai là các số phức, xét ánh xạ z ֏ g ( z ) . Vì phép cộng và phép nhân các số phức
liên tục nên ánh xạ này liên tục.

Định đề 3.1.1( Định lí cơ bản của đại số). Mọi đa thức phức có bậc lớn hơn 0 đều
có nghiệm.

Chứng minh: Lấy đa thức phức g (T ) có bậc lớn hơn không. Không mất tính tổng
quát, ta giả sử hệ số đầu của đa thức a0 = 1. Giả sử g (T ) không có nghiệm, tức là
g là một ánh xạ từ ℂ vào ℝ 2 \ {0} . Lúc này, hạn chế của g lên Cr ( 0 ) ( r > 0 ) là

một ánh xạ liên tục từ Cr ( 0 ) đến ℂ \ {0} , kí hiệu bởi g r . Vì g r có thể mở rộng
thành một ánh xạ liên tục từ đĩa Dr ( 0 ) đến ℝ 2 \ {P} , theo định đề 2.4.4, số vòng
quay W ( g r ,0 ) bằng 0 . Ta sẽ so sánh g r với ánh xạ f r được cho bởi đa thức
f (T ) = T n . Hạn chế của ánh xạ này lên Cr ( 0 ) là ánh xạ f r ( z ) = z n , theo ví dụ

2.4.3, W ( f r ,0 ) = n .
Mặt khác, với r đủ lớn, f r ( z ) − g r ( z ) < f r ( z ) − 0 với mọi z ∈ Cr ( 0 ) . Thật
vậy:
f r ( z ) − 0 = z n = r n và
f r ( z ) − g r ( z ) = a1 z n −1 + ... + an −1 z + an ≤ a1 r n −1 + ... + an −1 r + an

bé hơn r n nếu r lớn ( cụ thể là r thỏa ai <

ri
với mọi i ).
n


25

Do đó, áp dụng hệ quả 2.2.5 của định lí 2.2.4 (Dog- on- a- Leash) cho hai ánh xạ
tương ứng của f r , g r , ta suy ra số vòng quay của hai ánh xạ này bằng nhau (mâu

thuẫn).
Nếu z1 là một nghiệm của g (T ) , thì g (T ) = (T − z1 ) .h (T ) , trong đó h (T )
là đa thức bậc n − 1 . Bằng quy nạp, chúng ta có g (T ) được phân tích thành tích các
nhân tử tuyến tính:
g (T ) = a0 .∏ i =1 (T − zi )
n

với zi là các nghiệm của phương trình g (T ) = 0 .

Mệnh đề 3.1.2: Giả sử f : ℂ → ℂ là một hàm liên tục sao cho với một R > 0 nào
đó, f ( z ) < z n với z = R . Khi đó, phương trình z n + f ( z ) = 0 có nghiệm z với
z < R.

Chứng minh: Giả sử phương trình z n + f ( z ) = 0 không có nghiệm z với z < R .
Từ giả thiết suy ra phương trình không có nghiệm z với z = R . Như vậy phương
trình không có nghiệm trên Dr ( 0 ) . Đặt g ( z ) = z n + f ( z ) , ta có g là một ánh xạ
liên tục từ Dr ( 0 ) vào ℝ 2 \ {0} . Gọi g r là thu hẹp của g lên đường tròn biên

Cr ( 0 ) , do g r có mở rộng liên tục lên Dr ( 0 ) nên W ( g r ,0 ) = 0 . Ta sẽ so sánh g r
với ánh xạ hr được cho bởi hạn chế của đa thức h ( z ) = z n lên Cr ( 0 ) . Theo ví dụ
2.4.3, W ( hr ,0 ) = n . Theo giả thiết,
hr − 0 = z n − 0 = z n = R n , g r ( z ) − hr ( z ) = f r ( z ) < z = R n .
n

Áp dụng hệ quả 2.2.5, W ( g r ,0 ) = W ( hr ,0 ) , một sự mâu thuẫn.

3.2. Điểm bất động và phép co rút
Một trong các ứng dụng quan trọng của các khái niệm tôpô trong các ngành
khác của toán học hay trong khoa học nói chung là đưa ra một điều kiện đủ để một
ánh xạ liên tục từ một không gian vào chính nó có một điểm bất động.

Chúng ta sẽ bắt đầu với trường hợp của một khoảng đóng [ a, b ] . Chúng ta
khẳng định rằng một hàm liên tục bất kì f : [ a, b ] → [ a, b ] phải có một điểm bất
động. Quan sát sơ đồ của ánh xạ, ta có thể thấy được điều đó.