Trắc nghiệm tích của một số với một vectơ có đáp án và lời giải

www.thuvienhoclieu.com

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH CỦA MỘT SỐ
VỚI MỘT VECTƠ
Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uuu
r uuur
2
OA
− OB .
O
,
Câu 1: Cho tam giác OAB vuông cân tại
cạnh OA = a. Tính
1 + 2 a.
A. a.
B.
C. a 5.
D. 2a 2.
Câu 2: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
3 OA + 4 OB = 5a.
2 OA + 3 OB = 5a.
A.
B.

uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
7 OA − 2 OB = 5a.
11OA − 6 OB = 5a.
D.
C.

(

)

Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào sau
đây đúng
uur ? uur uu
r r
uur uur uu
r r
uur uur uur r
uur uur uur r
A. IB + 2 IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2 IA = 0.
C. 2 IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Câu 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào sau

đây đúng ?
uur 1 uuur uuur
AI = AB + AC .
4
A.

uur 1 uuur 1 uuur
uur 1 uuur 1 uuur
AI = AB + AC .
AI = AB − AC.
4
2
4
2
C.
D.
Câu 5: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
uuur 2 uuu
r uuur
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur 2 uuur
uur 2 uuur uuur
AG = AB + AC .
AG = AB + AC .
AG = AB + AC .
AI = AB + 3 AC.
3
3
3

2
3
A.
B.
C.
D.
uuuu
r
uuu
r
AB
,
CD
M
,
N
3
AM
=
2
AB
ABCD
.
Câu u
6:
Trên cạnh
lấy
sao cho
và
uurCho tứ

uuugiác
r
uuurlầnuulượt
ur các điểm
uuuu
r
3 DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 2 uuur
MN = AD + BC.
MN = AD − BC.
3
3
3
3
A.
B.
uuuu
r 1 uuur 2 uuur
uuuu
r 2 uuur 1 uuur
MN = AD + BC.
MN = AD + BC .
3
3
3
3
C.

D.

(

)

(

)

uur 1 uuur uuur
AI = AB − AC .
4
B.

(

)

(

)

Câu 7: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuu

r uuuu
r uuur
A. MN = MD + CN + DC.
B. MN = AB − MD + BN .
uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = AB + DC .
MN = AD + BC .
2
2
C.
D.
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuuur 1 uuur uuur
uuuur 1 uuur uuur
uuuur 1 uuur uuur
uuuur 1 uuur uuur
DM = CD + BC.
DM = CD − BC .
DM = DC − BC.
DM = DC + BC.
2
2
2
2
A.
B.

C.
D.

(

)

(

)

,
M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM = AB và N là trung điểm của AC.
Câu 9:
giác ABC
uuuCho
u
r tamuu
uuur điểm
u
r
Tính MN theo AB và AC.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
uuuu

r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
MN = AC + AB.
MN = AC − AB.
MN = AB + AC.
MN = AC − AB.
2
3
2
3
2
3
2
3
A.
B.
C.
D.
ABC. Hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau BM = MN = NC .
Câu 10: Cho tam giác u
uur
uuuu
r
uuu
r

AC
.
AM
AB
Tính
theo
và
uuuu
r 2 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 2 uuur
AM = AB + AC.
AM = AB + AC.
3
3
3
3
A.
B.
uuuu
r 2 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
AM = AB − AC.
AM = AB − AC.
3
3
3
3

C.
D.
uuur
uuu
r
uuuu
r
Câu 11: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC.
uuur uuuu
r 1 uuur
uuur uuur 1 uuuu
r
uuur uuuu
r 1 uuur
uuur uuur 1 uuuu
r
AB = AM + BC.
AB = BC + AM .
AB = AM − BC.
AB = BC − AM .
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 12: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC = 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó

uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
AK = AB + AC.
AK = AB − AC.
AK = AB + AC.
AK = AB − AC.
6
4
4
6
4
6
6
4
A.
B.
C.
D.
uuur
uuur
uuu
r
Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur uuuu
r 1 uuur
uuur 1 uuur uuur

AB = AC + BD.
AB = AC − BD.
AB = AM − BC.
AB = AC − BD.
2
2
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
ABC và đặt a = BC , b = AC . Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
Câu 14: Cho
tam
giác
r
r

r
r r r
r r r
r r
r
r r r r
2
a
+
b
,
a
+
2
b
.
2
a
−
b
,
a
−
2
b
.
5
a
+
b

,
−
10
a
−
2
b
.
a
A.
B.
C.
D. + b , a − b .
uuur uuur uuuu
r
Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C , M , B thẳng hàng.
·
B. AM là phân giác trong của góc BAC.
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
uuuu
r uuur r
AM + BC = 0.
D.

Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng
?
uur
1 uur

uuu
r uuur
uur
uuu
r
uur
uuur uuur uuu
r
IG = − IA.
GA
=
2
GI
.
GB
+
GC
=
2
GI
.
3
A.
B.
C.
D. GB + GC = GA.
Câu 17: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
r

2 uuuu
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuur uuur
GA = − AM .
3
A.
B. AB + AC = 3 AG.
C. GA = BG + CG.
D. GB + GC = GM .
Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuur
uuuu
r BC
uuur
uuuu
r
uuuu
r uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
AM =
.
MB
=
−
MC

.
AM
=
MB
=
MC
.
MB
=
MC
.
2
A.
B.
C.
D.
Câu 19: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau
đây sai ?
uuur
1 uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
CN = − AC.

2
A. AB = 2 AM .
B. AC = 2 NC.
C. BC = − 2 MN .
D.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
ABC
G
Câu 20: Cho tam giác
có
là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

uuur uuur 2 uuur
AB + AC = AG.
3
A.

uuu
r uuur uuur
B. BA + BC = 3BG.

uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur r

C. CA + CB = CG.
D. AB + AC + BC = 0.
uu
r
uur
Câu 21: Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2 IB. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uur CA + 2 CB
uur CA − 2 CB
uur CA + 2 CB
uur
uuu
r
uuu
r
CI =
.
CI =
.

CI =
.
−
3
CI
=
−
CA
+
2
CB
.
3
3
A.
B.
C.
D.
ABC
M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Câu 22:uuCho
tam
ur u
uur giác
uuuu
r uuuvà
r một
uuurđiểm
uuur uuur uuuu
r

uuur uuur
2
MA
+
MB
−
3
MC
=
AC
+
2
BC
.
2
MA
+
MB
−
3
MC
=
2
AC + BC.
A. uuur uuur uuuu
B. uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r

r
uuu
r uuu
r
2
MA
+
MB
−
3
MC
=
2
CA
+
CB
.
2
MA
+
MB
−
3
MC
=
2
CB
−
CA
.

C.
D.
Câu 23: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuur uuur
r
uuu
r uuu
r 1 uuu
r
1 uuu
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur
AD + DO = − CA.
OA + OB = CB.
AC
+
DB
=
2
AB
.
AB
+
AD
=
2
AO

.
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 24: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau u
đây
uur đúng
uuur ? uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. AC + BD = 2 BC.
B. AC + BC = AB.
C. AC − BD = 2 CD.
D. AC − AD = CD.
ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?
Câu 25:
hình
bình
uuu
rChouuu
r uu
ur hành
AB + BC = AC .
A. u
uur uuur uuur

AB
+ AD = AC.
B. uuu
r uuur
uuuu
r
BA
+
BC
=
2
BM
.
C.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
D. MA + MB = MC + MD.

Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

uuur uuur

uuu
r

Câu 26: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2 MA + MB = CA. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
B. M trùng B.
C. M trùng C.

D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
uuu
r r uuu
r r
uuur
r r
GA
=
a
,
GB
= b . Hãy tìm m, n để có BC = ma + nb.
G
ABC
Câu 27: Gọi
là trọng tâm tam giác
. Đặt
A. m = 1, n = 2.
B. m = −1, n = −2.
C. m = 2, n = 1.
D. m = −2, n = −1.
A, B, C không thẳng hàng và điểm M
Câu
uuur 28:
uuurCho uuba
uu
r điểm
MA = x MB + y MC .

thỏa mãn đẳng thức vectơ

Tính giá trị biểu thức P = x + y.
A. P = 0.
B. P = 2.
C. P = − 2.
D. P = 3.
Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB + MC + MD = k là
A. một đoạn thẳng.
B. một đường thẳng.
C. một đường tròn.
D. một điểm.
Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm M thỏa
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA
+
MB
=
MC
+
MD
mãn
là
A. trung trực của đoạn thẳng AB.
B. trung trực của đoạn thẳng AD.

AC
AB + BC
.
.
I
,
I
,
2
C. đường tròn tâm
bán kính 2
D. đường tròn tâm
bán kính

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
A
,
B
Câu 31: Cho hai điểm
phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M
uuur uuur uuur uuur
MA + MB = MA − MB
thỏa mãn đẳng thức
là
AB

.
I
,
A. đường tròn tâm
đường kính 2
B. đường tròn đường kính AB.
C. đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32: Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M
uuur uuur uuur uuur
2 MA + MB = MA + 2MB
thỏa mãn đẳng thức
là
AB
.
A. đường trung trực của đoạn thẳng
B. đường tròn đường kính AB.
C. đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. đường tròn tâm A, bán kính AB.
Câu 33: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa mãn
uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB = MA + MC
là
A. đường trung trực của đoạn BC.
B. đường tròn đường kính BC.
a
C. đường tròn tâm G, bán kính 3 .
D. đường trung trực đoạn thẳng AG.
a

.
ABC
Câu 34: Cho tam giác đều
cạnh
Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
2MA + 3MB + 4MC = MB − MA
là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
a
a
a
a
R= .
R= .
R= .
R= .
3
9
2
6
A.
B.
C.
D.
uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC = 3
Câu 35: Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn
?

A. 1.
B. 2.
-----------------------------------------------

C. 3.

D. Vô số.

ĐÁP ÁN
Câu
ĐA
Câu
ĐA
Câu
ĐA
Câu
ĐA

1
C
11
C
21
C
31
A

2
C
12

C
22
C
32
A

3
B
13
A
23
C
33
A

4
A
14
C
24
A
34
B

5
B
15
C
25
D

35
D

6
C
16
C
26
D
36

7
D
17
D
27
B
37

8
C
18
C
28
B
38

9
B
19

C
29
C
39

10
A
20
B
30
B
40

LỜI GIẢI

Câu 1.
Gọi C là điểm đối xứng của O qua A ⇒ OC = 2a.
2
2
Tam giác OBC vuông tại O, có BC = OB + OC = a 5.
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
2
OA
−
OB
=
OC

−
OB
= BC , suy ra
Ta có
uuu
r uuur uuur
2OA − OB = BC = a 5.

Chọn C.
Câu 2. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
C
 A đúng, gọi
nằm trên tia đối của tia AO sao cho
uuu
r uuur
OC = 3 OA ⇒ 3 OA = OC.
Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho
uuu
r uuur
OD = 4 OB ⇒ 4 OB = OD.
uuur uuur uuur
Dựng hình chữ nhật OCED suy ra OC + OD = OE (quy tắc hình bình hành).
uuu
r uuu

r uuur uuur uuur
3OA + 4OB = OC + OD = OE = OE = CD = OC 2 + OD 2 = 5a.
Ta có
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
2 OA + 3 OB = 2 OA + 3 OB = 2a + 3a = 5a.
 B đúng, vì
 C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. Chọn C.
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
11OA − 6 OB = 11 OA − 6 OB = 11a − 6a = 5a.
 D đúng, vì
Câu 3.
uur uur
uuur
BC
IB
+
IC
=
2

IM .
M
Vì
là trung điểm
nên
uu
r uuur r
Mặt khác I là trung điểm AM nên IA + IM = 0.
uur uur uu
r
uuur uu
r
uuur uu
r r
IB + IC + 2 IA = 2 IM + 2 IA = 2 IM + IA = 0.
Suy ra
Chọn B.
Câu 4.
Vì M là trung điểm BC nên
uuu
r uuur
uuuu
r
AB + AC = 2 AM . ( 1)

(

)

Mặt khác I là trung điểm AM nên

uur uuuu
r
2 AI = AM . ( 2 )
uuur uuur
uur
uur 1 uuur uuur
AB
+
AC
=
4
AI
⇔
AI = AB + AC .
( 1) , ( 2 ) suy ra
4
Từ
Chọn A.
Câu 5.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC
uuur 2 uuuu
r

→ AG = AM .
3
Và M là trung điểm của BC
uuur uuur
uuuu
r
uuuu

r 1 uuu
r uuur

→ AB + AC = 2 AM ⇔ AM = AB + AC .
2
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur
AG = . AB + AC = AB + AC .
3 2
3
Do đó
Chọn B.
Câu 6.
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuur
MN
=
MA
+
AD
+
DN
MN
= MB + BC + CN .
Ta có
và
uuuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur uuur

3 MN = MA + AD + DN + 2 MB + BC + CN
Suy ra
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= MA + 2 MB + AD + 2 BC + DN + 2CN .
uuur
uuur r
uuur
uuur r
MA
+
2
MB
=
0
DN
+
2
CN
= 0.
Theo bài ra, ta có
và
uuuu
r uuur
uuur
uuuu
r 1 uuur 2 uuur
3 MN = AD + 2 BC ⇔ MN = AD + BC.
3
3
Vậy

Chọn C.

(

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

)

)

Câu 7.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
M
,
N
Vì
lần lượt là trung điểm của AD, BC
uuur uuuu
r r
 MA + MD = 0
 uuur uuur r .
⇒  BN + CN = 0
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MD + CN + DC = MN = MD + DC + CN = MC + CN = MN .
• A đúng, vì
uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu

r uuuu
r
AB − MD + BN = AB + BN − MD = AN − AM = MN .
• B đúng, vì
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
• C đúng, vì MN = MA + AB + BN và MN = MD + DC + CN .
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuur r uuu
r uuur r uuur uuur
2 MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN = 0 + AB + DC + 0 = AB + DC
Suy ra
uuuu
r 1 uuur uuur

→ MN = AD + BC .
2
• D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D.
uuur
uuur
uuuur
Câu 8. Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ DM theo hai vectơ DC và BC.
uuur uuur uuur
ABCD
Vì
là hình bình hành nên DB = DA + DC.

uuuur uuur uuur
uuuur
uuur uuur
Và M là trung điểm AB nên 2 DM = DA + DB ⇔ 2 DM = 2 DA + DC.
uuuur 1 uuur uuur
uuuur
uuur uuur
DM = DC − BC.
⇔ 2 DM = − 2 BC + DC suy ra
2
Chọn C.
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur uuur
Câu 9. Vì N là trung điểm AC nên 2 MN = MA + MC = MA + MA + AC .
uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur = − 2 AB + AC.
⇔ 2 MN = 2 MA + AC
3
uuuu
r
u
u
u
r
u
u
1

1 ur
MN = − AB + AC .
3
2
Suy ra
Chọn B.
uuuu
r uuur uuuu
r uuur 1 uuur uuu
r 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur
AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC.
3
3
3
3
Câu 10. Ta có
Chọn A.
uuur uuuur uuur uuuu
r 1 uuur
AB = AM + MB = AM − BC.
2
Câu 11. Ta có
Chọn C.
uuur 1 uuuu
r uuur
u
u
u
r
r 1 uuur

11
1 uuur  1 uuu
AK = AM + AN =  AB + AC ÷ = AB + AC
2
22
3
6
 4
Câu 12. Ta có
. Chọn C.
uuu
r uuur r
Câu 13. Vì ABCD là hình bình hành nên CB + AD = 0.
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
 AB = AC + CB
→ 2 AB = AC + DB + CB + AD = AC + DB
r uuur uuur 
 uuu
AB = AD + DB
Ta có 
uuur 1 uuur 1 uuur

→ AB = AC + BD.
2
2

Chọn A.
r r
r r
−10 a − 2b = − 2 5a + b
Câu 14. Dễ thấy
r
r r
r

→ hai vectơ 5a + b , − 10a − 2b cùng phương. Chọn C.
Câu 15. Gọi I , G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC.
uuur uuuu
r
uuu
r
MB
+
MC
=
2
MI
.
BC
I
Vì là trung điểm
nên

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


uuur uuur uuuu
r www.thuvienhoclieu.com
uuur
uuu
r
Theo bài ra, ta có MA = MB + MC suy ra MA = 2 MI ⇒ A, M , I thẳng hàng
→ G ∈ AI .
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC 
Do đó, ba điểm A, M , G thẳng hàng. Chọn C.
uur uur r
Câu 16. Vì I là trung điểm của BC suy ra IB + IC = 0.
uuu
r uur uur
uuu
r uuur uur uur
uur
uur
GB = GI + IB
IB
 uuur uur uur ⇒ GB + GC = 1
4 2+r 4IC
3 + 2 GI = 2 GI .

GC = GI + IC
0
Ta có 
Chọn C.
uuur uuuu
r r
Câu 17. Vì M là trung điểm của BC suy ra MB + MC = 0.
uuu
r uuuu
r uuur
uuu
r uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
GB = GM + MB
+
MC
+
2
GM
=
2
GM
.
r uuuu
r ⇒ GB + GC = MB
 uuur uuuu

14 2r 43
GC = GM + MC
0
Ta có
Chọn D.
uuur uuuu
r r
uuur
uuuu
r
MB
+
MC
=
0
⇔
MB
=
−
MC
. Chọn C.
BC
M
Câu 18. Vì
là trung điểm của
nên
Câu 19. Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC .


→ MN =

1
BC.
2

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC
uuur uuuu
r
uuur
uuuu
r
BC
,
MN
BC
=
2
MN
. Chọn C.
Mà
là hai vectơ cùng hướng nên
uuu
r uuur
uuu
r
→ BA + BC = 2 BE. ( 1)
Câu 20. Gọi E là trung điểm của AC 
uuu
r 3 uuur


→ BE = BG. ( 2 )
2
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC
uuu
r uuur
uuur
3 uuur
BA
+
BC
=
2.
BG
=
3
BG.
( 1) , ( 2 ) suy ra
2
Từ
Chọn B.
uur uuu
r uur
uuu
r
uur
uur
⇒
BI
=
AB

;
AI
=
2
AB
.
IA
=
2
IB
⇒
B
IA
Câu 21. Từ giả thiết
là trung điểm của
uur uuu
r uur
uur uuu
r uuu
r uur uur uuu
r uuu
r uuur uuu
r
CI = CB + BI
⇒
2
CI
=
CB
+

CA
+
BI
+
AI
=
CA
+
CB
+
AB
+
2
AB
.
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r

CI
=
CA
+

AI

Lại có 
uur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuu
r uuur ⇔ 2CI
=
CA
+
CB
+
3
CB
−
CA
=

−
2
CA
+
4
CB
⇔
CI
=
−
CA
+
2
CB
.
= CA + CB + 3 AB
Chọn C.
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
2
MA

+
MB
−
3
MC
=
2
MC
+
2
CA
+
MC
+
CB
−
3
MC
=
2
CA
+
CB
.
Câu 22. Ta có
Chọn C.
uuu
r uuu
r
uuur uuu

r uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur r
OA
+
OB
=
−
OC
+
OB
=
OB
−
OC
=
CB
OA
+ OC = 0 ). Chọn C.
Câu 23. Ta có
(vì
uuur uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuu
r uuur
uuur
 AC = AB + BC

⇒
AC
+
BD
=
2
BC
+
AB
+
CD
=
2
BC.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r

14 2r 43
 BD = BC + CD
0

Câu 24. Ta có
Chọn A.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
uuur uuur
Câu 25. Ta có MA + MB = MC + MD ⇔ MA − MD = MC − MB ⇔ DA = BC
uuu
r
uuur
DA
=
−
BC. Chọn D.
Suy ra điều trên không thể xảy ra vì
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuuu
r uuur
2
MA
+
MB
=
CA
⇔
2

MA
+
MB
=
CM
+ MA.
Câu 26. Ta có
uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r r
⇔ MA + MB = − MC ⇔ MA + MB + MC = 0. ( ∗)

(

Đẳng thức

( ∗)

)

suy ra M là trọng tâm của tam giác ABC . Chọn D.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com

uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
BC = BG + GC = BG − GA + GB = −GA − 2GB do GA + GB + GC = 0 .

(

)

(

Câu 27. Ta có
Chọn B.
uuur
uuu
r
AB
Câu 28. Do
và AC không cùng phương nên tồn tại các số thực x, y sao cho
uuuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuuu
r
uuuu

r
uuu
r
uuur
AM = x AB + y AC , ∀M ⇔ AM = x AM + MB + y AM + MC
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
⇔ ( 1 − x − y ) AM = xMB + yMC ⇔ ( x + y − 1) MA = xMB + yMC .
uuur
uuur
uuuu
r
Theo bài ra, ta có MA = xMB + yMC suy ra x + y − 1 = 1 ⇔ x + y = 2. Chọn B.
uuu
r uuur uuuu
r
 2MI = MA + MC
r uuur uuuu
r , ∀M .
 uuu
2
MI
=

MB
+
MD
Câu 29. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có 
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r k
MA + MB + MC + MD = k ⇔ 2 MI + 2 MI = k ⇔ 4 MI = k ⇔ MI = . ( ∗)
4
Do đó

(

) (

)

)

( ∗) là đường
Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
k
R= .

4 Chọn C.
tròn tâm I , bán kính
Câu 30. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD.
uuur uuur
uuur
 MA + MB = 2ME
r uuuu
r
uuur , ∀M .
 uuuu
MC + MD = 2 MF


Khi đó
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuur
uuur
uuur uuur
MA + MB = MC + MD ⇔ 2 ME = 2 MF ⇔ ME = MF . ( ∗)
Do đó
( ∗) suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn
Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức
thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Chọn B.
uuur uuur
uuu
r
MA
+

MB
=
2
MI
.
Câu 31. Vì I là trung điểm của AB suy ra
uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r
AB
MA + MB = MA − MB ⇔ 2 MI = BA ⇔ MI =
.
2 ( ∗)
Do đó
( ∗) là đường tròn tâm I , bán kính
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
AB
R=
.
2 Chọn A.
uuu
r uuu
r r
Câu 32. Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB = 2 EA ⇒ 2 EA + EB = 0.
uuu
r uuu
r r
⇒
2

FB
+
FA
= 0.
F
AB
FA
=
2
FB
Chọn điểm
thuộc đoạn
sao cho
Ta có
uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur uuu
r
2 MA + MB = MA + 2 MB ⇔ 2 ME + 2 EA + ME + EB = 2MF + 2 FB + MF + FA
uuur
uuu
r uuu
r
uuur
uuu
r uuu
r

uuur
uuur
⇔ 3 ME + 2 EA + EB = 3 MF + 2 FA + FB ⇔ 3 ME = 3 MF ⇔ ME = MF .
14 2r 43
14 2r 43
0

0

( ∗)

( ∗) suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn
Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức
thẳng EF .
Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF .
uuur uuur uuur uuur
2MA + MB = MA + 2MB
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn
là đường trung trực của đoạn thẳng
AB. Chọn A.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
uuur uuur
uuu
r
 MA + MB = 2 MI

r
uuur .
 uuur uuuu
MA + MC = 2 MJ

I
,
J
AB
,
AC
.

Câu 33. Gọi
lần lượt là trung điểm của
Khi đó
uuur uuur uuur uuuu
r
uuu
r
uuur
MA + MB = MA + MC ⇔ 2 MI = 2 MJ ⇔ MI = MJ .
Theo bài ra, ta có
uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB = MA + MC
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn
là đường trung trực của đoạn thẳng IJ ,
cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Chọn
A.

Câu 34. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uur
2 MA + 3MB + 4MC = 2 MI + IA + 3 MI + IB + 4 MI + IC .
Ta có
u
r uur uur uur uu
r r
uu
r uur uur r ⇔ 3 u
IA
+
IB
+
IC
+
IC
−
IA
= 0.
Chọn điểm I sao cho 2 IA + 3IB + 4 IC = 0
uu
r uur uur

uur
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ IA + IB + IC = 3 IG.
uur uur uu
r r
uur uur uur r
uur uuu
r
9
IG
+
IC
−
IA
=
0
⇔
9
IG
+
AI
+
IC
=
0
⇔
9
IG
=
CA
. ( ∗)

Khi đó
Do đó
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuu
r uu
r uur uur uuur
2 MA + 3MB + 4 MC = MB − MA ⇔ 9 MI + 2 IA + 3IB + 4 IC = AB ⇔ 9MI = AB.

(

) (

) (

(

)

)

( ∗) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I , bán kính
Vì I là điểm cố định thỏa mãn
AB a
R=
= .
9
9 Chọn B.
Câu 35. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và
uuu

r uuur uuur r
GA + GB + GC = 0 .
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuur uuur uuuur
uuuu
r
MA + MB + MC = 3 ⇔ GA + GB + GC − 3GM = 3 ⇔ 3 GM = 3 ⇔ GM = 1
Ta có
.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.
Chọn D.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9