Quyển 2 hình học LỚP 12

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1. Khối đa diện .......................................................................................................... 1
Bài 2. Thể tích khối chóp .............................................................................................. 36
Bài 3. Thể tích khối lăng trụ ......................................................................................... 56

CHƯƠNG 2. NÓN – TRỤ - CẦU
Bài 1. Mặt nón ................................................................................................................ 69
Bài 2. Mặt trụ .................................................................................................................. 84
Bài 3. Mặt cầu ............................................................................................................... 101

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Bài 1. Tọa độ trong không gian ................................................................................. 135
Bài 2. Phương trình mặt cầu ...................................................................................... 156
Bài 3. Phương trình mặt phẳng ................................................................................. 174
Bài 4. Phương trình đường thẳng ............................................................................. 193
Bài 5. Phương pháp tọa độ trong không gian ......................................................... 223



TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN
Fanpage: Tài liệu KYS

Group: Kyser ôn thi THPT

BA� I 1: KHỐI ĐA DIỆN
A– NHẮC LẠI LÝ THUYẾT
1. Chứng minh đường thẳng d song song mp(α ) ( d ⊂ (α ) )
Cách 1. Chứng minh d //d ′ và d ′ ⊂ (α )
Cách 2. Chứng minh d ⊂ ( β ) và ( β )//(α )
Cách 3. Chứng minh d và (α ) cùng vuông góc với 1 đường thẳng hoặc cùng vuông góc với 1 mặt

phẳng
2. Chứng minh mp(α ) song song với mp( β )
Cách 1. Chứng minh mp(α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với ( β ) (Nghĩa là
2 đường thẳng cắt nhau trong mặt này song song với 2 đường thẳng trong mặt phẳng kia)
Cách 2. Chứng minh (α ) và ( β ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1
đường thẳng.
3. Chứng minh hai đường thẳng song song:
Cách 1. Hai mặt phẳng (α ) , ( β ) có điểm chung S lần lượt chứa hai đường thẳng song song

a và b thì (α ) ∩ ( β ) =
Sx //a //b .
Cách 
2. (α )//a , a ⊂ ( β ) ⇒ (α ) ∩ ( β ) =
b //a .
Cách 3. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó.
Cách 4. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho 2 giao tuyến song song
Cách 5. Một mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau, ta được 3 giao tuyến song
song.
Cách 6. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 hoặc cùng vuông góc với một
mặt phẳng thì song song với nhau.
Cách 7. Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối
tứ giác đặc biệt, …
4. Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α )
Cách 1. Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) .
Cách 2. Chứng minh d nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với
giao tuyến ⇒ d vuông góc với mp còn lại.
Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3.
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

1


Cách 4. Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a ⊥ (α ) .
Cách 5. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông
góc với mặt phẳng còn lại.
Cách 6. Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong (α )
5. Chứng minh hai đường thẳng d và d ′ vuông góc:
Cách 1. Chứng minh d ⊥ (α ) và (α ) ⊃ d ′ .
Cách 2. Sử dụng định lí 3 đường vuông góc.
Cách 3. Chứng tỏ góc giữa d , d ′ bằng 90° .
6. Chứng minh hai mặt phẳng (α ) và ( β ) vuông góc:
Cách 1. Chứng minh (α ) ⊃ d và d ⊥ ( β ) .
Cách 2. Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) bằng 90° .
Cách 3. Chứng minh a // (α ) mà ( β ) ⊥ a
Cách 4. Chứng minh

(α )// ( P )

mà

(β ) ⊥ ( P) .

B- CÁC CÔNG THỨC
I. TAM GIÁC
1. Tam giác thường:
① S ∆=
ABC

1

1
abc
BC. AH
AB. AC.sin=
A = pr =
=
2
2
4R

p ( p − a )( p − b)( p − c)

G

2
1
S ∆ABC ③ AG = AM ( G là trọng tâm)
2
3

② S=
S=
∆ABM
∆ACM

A

B

AB 2 + AC 2 BC 2

④ Độ dài trung tuyến:
AM 2
=
−
2
4

H

C

M

⑤ Định lí hàm số cosin: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A
a
b
c
⑥ Định lí hàm số sin: = = = 2 R
sin A sin B sin C

A

2. Tam giác đều ABC cạnh a :
canh ) 3
(=
2

① S ∆ABC
=

4

a 3
4

a

B

H

C

2
a 3
× 3 a 3 ③
② AH canh
=
AG =
AH
=
=
3
3
2
2
2

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l

3. Tam giác ABC vuông tại A :

①
S ∆ABC
=

A

1
1
AB. AC
AH .BC
=
2
2

2
② BC
AB 2 + AC 2
=

B

③ BA2 = BH .BC

④ CA2 = CH .CB

HB AB 2
=

HC AC 2

⑨ AM =

⑤ HA2 = HB.HC

⑪ cos B =

⑤ HA2 = HB.HC

⑥ AH .BC = AB. AC ⑦

AB
BC

1
BC
2

⑫ tan B =

AC
AB

C

H

1
1

1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

⑩ sin B =

⑬ cot B =

AC
BC
AB
AC

C

4. Tam giác ABC vuông cân tại A
①
=
BC AB
=
2 AC 2

= AC
=
② AB

BC
2

A

A

II. TỨ GIÁC

B

D

1. Hình bình hành:
Diện tích: =
. AH AB. AD.sin A
S ABCD BC
=

B

C

H

2. Hình thoi:

A

1
Diện tích:
=
S ABCD =
AC.BD AB. AD.sin A
2

B

D


Đặc biệt: khi 
ABC= 60° hoặc BAC
= 120° thì các tam giác ABC , ACD

C

đều.
3. Hình chữ nhật:

D

A

S ABCD = AB. AD
C

B

4. Hình vuông:

A

D

B

C

A

D

Diện tích: S ABCD = AB 2
Đường chéo: AC = AB 2
5. Hình thang: S ABCD =

( AD + BC ). AH
2

B

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

H

C

3

KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ
I. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn
hai điều kiện sau:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một
cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
• Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
• Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
II. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện.
• Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các
điếm
ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
• Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện ấy
được gọi
là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miên trong của khối đa diện.
• Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh,
mặt,
điểm trong, điểm ngoài,. của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm
ngoài,. của hình đa diện tương ứng.
• Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.
• Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.
• Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt. Tương tự
ta có
các định nghĩa về khối chóp n - giác; khối chóp cụt n - giác, khối chóp đều, khối hộp,.
• Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới
hạn nó.

Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE. A′B′C ′D′E ′ ta có khối lăng trụ ngũ giác

ABCDE. A′B′C ′D′E ′ ; với hình chóp tứ giác đều S . ABCD
  ta có khối chóp tứ giác đều S . ABCD
 

4

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


III. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) , ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không có
điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và

( H 2 ) . Khi đó, ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) để được khối đa diện (H).
Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:

Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối ( H1 ) và ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không có chung
điểm nào thì ta nói có thể chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) , hay có thể
lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) thanh một khối đa diện ( H ) .
IV. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
+ Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
+ Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
+ Kết quả 3: Cho ( H ) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt
của ( H ) là lẻ thì p phải là số chẵn.
Chứng minh: Gọi m là số các mặt của khối đa diện ( H ) . Vì mỗi mặt của ( H ) có p cạnh nên
m mặt sẽ có pm cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của ( H )
bằng c =

pm
. Vì m lẻ nên p phải là số chẵn.
2

+ Kết quả 4 (Suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho ( H ) là đa diện có m mặt, mà các mặt
của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của ( H ) là c =

pm
.
2

+ Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là
một số chẵn.
Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là c và m. Vì mỗi mặt có ba cạnh
và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là c =
dụng luôn kết quả 4 để suy ra c =

3m
(có thế áp
2

3m
). Suy ra 3m = 2n => 3m là số chẵn => m là số chẵn.
2

Một số khối đa diện có đặc điểm như trên mà có số mặt bằng 4, 6, 8,10:
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

5

• Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.
• Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng ( BCD ) . Khi đó ta có khối
lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác.
• Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là các tam giác.
• Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó
khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác.
+ Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ
diện.
+ Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
+ Kêt quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số
chẵn.
+ Tông quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng
số đỉnh là một số chẵn.
+ Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
+ Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
+ Kết quà 11: Với mỗi số nguyên k ≥ 3 luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh.
+ Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k ≥ 4 luôn tồn tại hình đa diện có 2k + 1 cạnh.
+ Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có
* Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
* Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.
Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của từ
diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện ( H 6 ) có 6 mặt là tam giác đều.
Ghép thêm vào ( H 6 ) một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện ( H 8 ) có 8 mặt là các tam giác
đều. Bằng cách như vậy, ta được khốỉ đa diện có 2n mặt là các tam giác đều.

H6

6

H8

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


V. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Kiến thức cần nhớ
Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một điểm
M ′ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
Qua phép biến hình F, mỗi hình ( H ) được biến thành hình ( H ') gồm tất cả các ảnh của các điểm
thuộc hình ( H ) .
PHÉP DỜI HÌNH.
1. Định nghĩa phép dời hình
Phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn khoảng cách giữa hai
điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M , N lần lược thành hai điểm M ′ và N ′ thì

M ' N ' = MN .
Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng…
2. Các phép dời hình trong không gian thường gặp
a. Phép đói xứng qua mặt phẳng
+ Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) là phép biến hình
biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó và biến mỗi điểm M

M'

M

không thuộc ( P ) thành điếm M ′ sao cho ( P ) là mặt phẳng

N'

N

trung trực của đoạn MM ′ .

P

+ Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp ( P ) biến hai điểm M , N lần lượt thành hai điểm M ′
và N ′ thì M ′N ′ = MN .
Như vậy: Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điếm bất
kì.
+ Mặt phẳng đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình

( H ) thành chính nó thì ( P )

là mặt phẳng đối xứng qua hình ( H ) .

Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng ( P ) đi qua tâm I của mặt cầu ( S ) đều là mặt phẳng
đối xứng của mặt cầu ( S ) .
Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt

A

phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện. Chẳng hạn: Cho
tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh CD . Khi đó ta có

( ABM ) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều

ABCD .

B

D
M
C

b. Phép tịnh tiến


 
Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho MM ′ = v .
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

7


Kí hiệu là Tv .
c. Phép đối xứng trục
Cho đường thẳng d , phép đối xứng qua đường thẳng d là
phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó
và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M ′ sao
cho d là đường trung trực đoạn MM ′ .
d. Phép đối xứng tâm
Cho điểm O , phép đối xứng qua điểm O là phép biến
hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho
  
OM + OM ' =
0.
3. Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình ( H ) và ( H ') gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Khi đó:

A

D

• Các hình chóp A. A′B′C ′D′ và C ′. ABCD bằng nhau (vì qua
phép đối xứng tâm O hình chóp A. A′B′C ′D′ biến thành

B

C

chình chóp C ′. ABCD )

O

• Các hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ và AA′D′.BB′C ′ bằng nhau
(Qua phép đối xứng mặt phẳng ( AB′C ′D ) thì hình lăng trụ

ABC. A′B′C ′ biến thành hình lăng trụ AA′D '.BB′C ′ )

D'

A'

B'

C'

+ Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A′B′C ′D′ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương
ứng bằng nhau, nghĩa là: AB = A′B′ , BC = B′C ′ , CD = C ′D′ , DA = D′A′ , AC = A′C ′ ,

BD = B′D′ .

8

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


4. Phép vị tự trong không gian
a. Định nghĩa: Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không




gian biến điểm M thành điểm M ′ thỏa mãn: OM ′ = kOM được gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là
tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự.

S
S'
O

A'
A

C

C'
B'

B
b. Các tính chất cơ bản của phép vị tự



• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N thành hai điểm M ', N ' thì M ' N ' = k MN , và do

đó M ′N ′ = k MN .
•

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành

bốn điểm đồng phẳng.
5. Hai hình đồng dạng
Hình ( H ) được gọi là đồng dạng với hình ( H ′ ) nếu có phép vị tự biến hình ( H ) thành hình ( H1 )
mà hình ( H1 ) bằng hình ( H ′ ) .
VI. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
+ Kết quả 1: Phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành chính nó gọi là phép
đồng nhất, thường kí hiệu là e . Phép đồng nhất

e là một phép dời hình.

+ Kết quả 2: Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.
+ Kết quả 3: Cho hai điểm A, B và phép dời hình f biến A thành A , biến B thành B .
Khi đó, f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.
+ Kết quả 4. Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó với

f ( A ) = A , f ( B ) = B , f ( C ) = C . Khi đó,

f biến mọi điểm

M của mặt phẳng ( ABC )

thành chính nó, tức là f ( M ) = M .
+ Kết quả 5. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song ( P ) và ( Q ) là
một phép tịnh tiến.
+ Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên ( P ) và ( Q ) sao cho AB ⊥ ( P ) . Khi đó, thực hiện liên
tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song ( P ) và ( Q ) thì kết quả là phép tịnh tiến




theo véctơ v = 2 AB
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

9


+ Kết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với
nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến
của ( P ) và ( Q ) ).
+ Kết quả 7: Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng
với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
+ Kết quả 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và phép vị tự V ′ tâm O′ tỉ số k ′ . Khi đó,
nếu kk ′ = 1 thì hợp thành của V và V ′ là một phép tịnh tiến.
+ Kết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng nhau.
+ Kết quả 10: Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng có độ dài bằng

nhau.
+ Kết quả 11: Cho hai hình tứ diện $ABCD$ và A′B′C ′D′ có các cạnh tương ứng song song,
tức là: AB // A′B′ , AC // A′C ′ , AD // A′D′ , CB //C′B′ , BD // B′D′ , DC // D′C ′ . Khi đó hai
tứ diện đã cho đồng dạng.
+ Kết quả 12: Cho hai hình tứ diện ABCD và A′B′C ′D′ có các cạnh tương ứng tỉ lệ, tức là:
A′B′ B′C ′ C ′D′ D′A′
= = = =
AB
BC
CD
DA

10

A′C ′ B′D′
= = k . Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.
AC
BD

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khối đa diện lồi
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm
thuộc đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó.
E

D

A

C
B

F

Khối đa diện lồi

Khối đa diện không lồi

2. Khối đa diện đều
a. Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
• Các mặt là những đa giác đều

n

cạnh

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}
b. Định lý: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3} , loại {4;3} , loại {3; 4} , loại {5;3}
,loại {3;5} .Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều;
khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
3. Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

Tứ diện đều

4

6

4

{3;3}

Khối lập phương

8

12

6

{4;3}

Bát diện đều

6

12

8

{3; 4}

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

11


Mười hai mặt đều

20

30

12

{5;3}

Hai mươi mặt đều

12

30

20

{3;5}

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại {n, p} có D đỉnh, C cạnh và M mặt:
p=
D 2=
C nM

B- MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
+ Kết quả 1: Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một tứ diện đều;
• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát điện đều (khối tám mặt đều).
+ Kết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một bát diện đều.
+ Kết quả 3: Tâm của các mặt của một bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
+ Kết quả 4: Hai đỉnh của một bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không
cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của
khối bát diện đều. Khi đó:
• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
• Ba đường chéo bằng nhau.

12

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


DẠNG 1: NHẬN DIỆN CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ví dụ 1: Mỗi khối đa diện được xác định bởi

d

một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh,
cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một

khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm

Miền ngoài

trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.

Ví dụ 2: Các hình dưới đây là những khối đa

Điểm trong

Điểm ngoài

N

M

diện:

Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

Hình a

Hình b

Hình c

Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt,
Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh
chung của hai đa giác, Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn
đa giác.

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

13


Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?
A. Hình chóp.

B. Hình vuông.

C. Hình lập phương.

D. Hình lăng trụ.

Câu 2. Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 3. Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa
diện là:
A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 4. Cho các hình khối sau:

(a)

(b)

(c)

(d)

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa
diện lồi là
A. hình (a).

B. hình (b).

C. hình (c).

D. hình (d).

Câu 5. Cho các hình khối sau:

14

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


(a)

(b)

(c)

(d)

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 6. Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3.

D. 4 .

Câu 7. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A.

B.

C.

D.

Câu 8. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. 8

B. 10.

C. 11.

D. 12

Câu 9. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14

Câu 10. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

A. Khối tứ diện đều. B. Khối chóp tứ giác. C. Khối lập phương. D. Khối 12 mặt đều.

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

15


Câu 11. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh?
A. 8

B. 9

C. 12.

D. 16

Câu 12. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 3) Hình đa diện trong hình vẽ bên có
bao nhiêu mặt?
A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 11

Câu 13. (ĐH VINH LẦN 4) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ

Khối tứ diện đều Khối

lập

phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
Câu 14. Hình đa diện bên có bao nhiêu cạnh?

16

A. 21.

B. 22.

C. 23.

D. 24

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

A

D

B

B

C

C

B

B

A

11

12

13

14

D

D

B

C
Lời giải chi tiết

Câu 2. Chọn A
Lời giải
Hình đa diện là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:
1. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc chỉ
có một cạnh chung.
2. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Các hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2.
Câu 3.

Chọn D.
Lời giải: Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung nào.
Câu 4.

Chọn B.
Lời giải: áp dụng tính chất của khối đa diện lồi (H): “đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H)

luôn thuộc (H)”.
Câu 5.

Chọn B.

Câu 6.

Chọn C.
Lời giải: Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4.

Câu 7.

Chọn C.
Lời giải Vì hình C vi phạm tính chất '' Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung

của đúng hai miền đa giác '' .

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

17

DẠNG 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Phương pháp: Quy luật tìm các mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ
đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm
còn dư phải chia đều về 2 phía. Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng thì 2 điểm S và S' là
2 điểm dư còn lại phải đối xứng nhau qua ABCD. Nếu chọn SBS'D thì còn 2 điểm dư là A và C đối
xứng nhau qua SBS'D.
Các Mặt Phẳng Đối Xứng Hình Bát Diện Đều

18

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 10 .

B. 8 .

C. 6.

D. 4.

C. 12.

D. 9.

Câu 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
A. 4

B. 6.

Câu 3. Số mặt phẳng đối xứng của đa diện đều loại {4;3} là:
A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với ( ABCD ) . Hình
chóp này có mặt đối xứng nào?
A. Không có.

B. ( SAB ) .

C. ( SAC ) .

D. ( SAD )

Câu 5. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Tứ diện đều.

B. Bát diện đều. C.Hình lập phương.

D. Lăng trụ lục giác đều.

Câu 6. Gọi n1 , n2 , n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối

lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.=
n1 0,=
n2 0,=
n3 6. .

B.=
n1 0,=
n2 1,=
n3 9. .

C.=
n1 3,=
n2 1,=
n3 9. .

D.=
n1 0,=
n2 1,=
n3 3.

Câu 7. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

C. 8 mặt phẳng.

D. 10 mặt phẳng.

Câu 8. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

Câu 9. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

Câu 10. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 9 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

Câu 11. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt
phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D. 3 mặt phẳng.

Câu 12. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 8 mặt phẳng.

B. 9 mặt phẳng.

C. 10 mặt phẳng.

D. 12 mặt phẳng.

Câu 13. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

19


A. 4 mặt phẳng.

B. 9 mặt phẳng.

C. 6 mặt phẳng.

D. 12 mặt phẳng.

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' tâm O (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng

A ' B qua phép đối xứng tâm DO là đoạn thẳng
A. DC'.

B. CD'.

C. DB'.

D. AC'.

Câu 15. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là
A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều.
B. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Câu 16. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình lập phương.
B. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình tứ diện đều.
C. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình lập phương.
D. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình tứ diện đều.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

D

A

C

A

C

A

B

A

D

11

12

13

14

15

16

D

B

B

B

B

B

Câu 1. Chọn C
Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh
và qua trung điểm cạnh đối diện. Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 2. Chọn D
Lời giải: gọi bát diện đều ABCDEF, có 9 mặt phẳng đối
xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng
là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).

Câu 3. Chọn A
Lời giải: Đa diện đều loại {4;3} là hình lập phương, gọi
ABCD.A’B’C’D’, có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng
trung trực của 3 cạnh AB, AD, AA’ và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt
phẳng đi qua hai cạnh đối diện.
t

20

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


Câu 4. Chọn C
Lời giải: Ta có: BD ⊥ ( SAC ) và O là trung điểm của BD. Suy
ra
(SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Suy ra (SAC) là mặt đối xứng của
hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất.
Câu 5. Chọn A
Câu 6. Chọn C
Lời giải: Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối
diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập
phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các
cặp cạnh đối diện).
Câu 7. Chọn A
Lời giải: Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Câu 8. Chọn B
Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh
và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Câu 9. Chọn A
Lời giải: Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

Câu 10. Chọn D
Lời giải: Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là
các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối.

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

21


Câu 11. Chọn D
Lời giải: Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt
phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
 Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Câu 12. Chọn B
Lời giải: Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau).

.

E

Câu 13. Chọn B
Lời giải: Gọi bát diện đều ABCDEF . Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao
gồm: 3 mặt phẳng ( ABCD ) , ( BEDF ) , ( AECF ) và 6 mặt phẳng mà mỗi
mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn

D
C

A
B

AB và CD ).
F

22

Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l


Câu 14. Chọn B
Lời giải:
Ta có=
DO ( A ') C=
; DO ( B ) D '
Do đó DO ( A ' B ) = CD '

Câu 15. Chọn B.
Lời giải:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M , N , P, I , J , K lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC , CD, AC , AD, DB .

= IN
= NM
=
Ta có: IM

1
a (tính chất đường trung bình của tam giác).
2

Suy ra IMN đều.
Chứng minh tương tự, ta có các tam giác: IPN , IPJ , KPJ , KPN , IMJ , KMJ , KMN là các tam
giác đều.
Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là M , N , P, I , J , K mà mỗi đỉnh là đỉnh chung
của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện đó là đa diện đều loại {3; 4} tức là bát diện đều.
Câu 16. Chọn B
Lời giải:
Gọi P, I , J , K là tâm của các mặt ABD , ACD , ABC ,
BCD của tứ diện đều ABCD .
Ta có:

IN
KN 1
KI 1
1
=
= ⇒
= ⇒ KI = a .

AN BN 3
BA 3
3

Chứng mình tương tự ta có:

IK
= JP
= IJ
= PI
= PK
= KI
=

1
a.
3

Vậy PIJK là tứ diện đều.

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng

23