(Luận văn thạc sĩ) Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THU LOAN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THU LOAN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2019


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

1 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán bất
đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc

4

1.1. Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot . . . .

4

1.2. Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân
vectơ qua dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Michel–Penot
2

. . . . .

6
17

Nghiệm xấp xỉ và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến
phân vectơ

26

2.1. Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ của bất đẳng thức biến
phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


ii

Bảng ký hiệu
X∗

Đối ngẫu tô pô của không gian X;

intA

Phần trong của tập A;

f 0 (x, v)

đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương v

∂f (¯
x)

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯;

f ♦ (¯
x; v)

Đạo hàm Michel - Penot của f tại x¯ theo phương v;

∂ M P f (¯
x)

Dưới vi phân Michel - Penot của f tại x¯;

∇G f (¯
x)

Đạo hàm Gâteaux của f tại x¯;

∇f (¯
x)

Đạo hàm Fréchet của f tại x¯;

N (C; x)

Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C;

T (C; x)

Nón tiếp tuyến của C tại x;

co

Bao lồi

cone co A

Nón sinh ra bởi bao lồi của A;

lin

Bao tuyến tính

D∗

Nón đỗi ngẫu của D.

I(x)

Tập các chỉ số ràng buộc tích cực

Rm
+

Orthant không âm của Rm

Rm
++

Orthant dương của Rm

x∗ , x

Giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X;

Ker∇h(x) Hạch của ∇h(x);
t.ư.

Tương ứng


1

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân và các ứng dụng của nó được trình
bày trong cuốn sách của Kinderlehrer và Stampachia [10]. Trong những
năm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ được nhiều tác

giả quan tâm nghiên cứu do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó. Người ta
nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân về sự tồn tại nghiệm, điều
kiện tối ưu, đối ngẫu, thuật toán tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm và cấu
trúc tập nghiệm.
Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không
trơn được nghiên cứu qua các dưới vi phân Clarke, Michel–Penot, Mordukhovich và dưới vi phân suy rộng. D.V. Luu và D.D. Hang [12] đã thiết
lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn
cục và nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ dưới
ngôn ngữ dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot. X.Q. Yang
và X.Y. Zheng [17] đã dẫn các điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ của bài
toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn. Đây là vấn đề có tính
thời sự được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu. Do đó, tôi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của
bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ".
Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của
bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn qua các dưới vi phân
Clarke và Michel–Penot của D.V. Luu và D.D. Hang đăng trong tạp chí
J. Math. Anal. Appl. 412 (2014), 792–804, và điều kiện tối ưu cho nghiệm


2

xấp xỉ của bất đăng thức biến phân vectơ không trơn trong không gian
Banach của X.Q. Yang và X.Y. Zheng đăng trong tạp chí J. Glob. Optim.
40 (2008), 455–462.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Điều kiện tối ưu cho nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân vectơ: trình bày các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu,
nghiêm hữu hiệu toàn cục và nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức

biến phân vectơ qua dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot.
Chương 2. Nghiệm xấp xỉ và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân
vectơ: trình bày các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ
của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn trong không gian
Banach.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn
Lưu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy
hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành
nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác
giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích
cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao học
Toán, nhà trường và các phòng chức năng của trường, khoa Toán - Tin,
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp
đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em trong lớp cao học và bạn bè đồng


3

nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập,
nghiên cứu và làm luận văn.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 4 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thu Loan

4

Chương 1

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu
hiệu của bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ có ràng buộc
Chương 1 trình bày các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho nghiệm
hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bất đẳng
thức biến phân vectơ không trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức
và ràng buộc tập trong không gian Banach. Các kết quả trình bày trong
chương này được tham khảo trong [12].

1.1.

Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel–Penot

Giả sử X là không gian Banach, X ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của
X, x¯ ∈ X và f là hàm giá trị thực xác định trên X.
Trong [2], đạo hàm theo phương Clarke của f tại x¯ theo phương v được
xác định như sau:
f 0 (¯
x; v) = lim sup
x→¯
x,t↓0

f (x + tv) − f (x)
.
t

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được xác định bởi:
∂f (¯
x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f 0 (¯
x; v), ∀v ∈ X ,


5

trong đó < ξ, v > là giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Chú ý rằng dưới vi
phân Clarke của f được quy về đạo hàm thông thường khi f khả vi chặt.
Trong [13], đạo hàm theo phương Michel - Penot của f tại x¯ theo
phương v được xác định bởi:
f ♦ (¯
x; v) = sup lim sup
ω∈X

t↓0

f (¯
x + t(v + ω)) − f (¯
x + tω)
.
t

Dưới vi phân Michel - Penot của f tại x¯ là
∂ M P f (¯
x) = ξ ∈ X ∗ :< ξ, v >≤ f ♦ (¯
x; v), ∀v ∈ X .
Chú ý rằng nếu f khả vi Gâteaux tại x¯, ∂ M P f (¯

x) = {∇G f (¯
x)}, trong
đó ∇G f (¯
x) là đạo hàm Gâteaux của f tại x¯. Nếu f khả vỉ Fréchet tại x¯
với đạo hàm Fréchet ∇f (¯
x), thì ∂ M P f (¯
x) = {∇f (¯
x)}. Nếu f là Lipschitz
địa phương với hằng số L, hàm f 0 (¯
x; .) và f ♦ (¯
x; .) là thuần nhất dương,
dưới cộng tính trên X, Lipschitz với hằng số L trên X, trong đó ∂f (¯
x) và
∂ M P f (¯
x) khác rỗng, lồi, compact *yếu của X ∗ và

ξ

với mọi ξ ∈ ∂f (¯
x)

và ξ ∈ ∂ M P f (¯
x). Khi f là hàm Lipschitz địa phương tại x¯, ta có
f ♦ (¯
x, v) ≤ f 0 (¯
x, v), (∀v ∈ X),
∂ M P f (¯
x) ⊂ ∂f (¯
x).
Nếu f là hàm thực lồi trên X, thì dưới vi phân của hàm lồi f tại x¯

được định nghĩa như sau:
∂C f (¯
x) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x), ∀x ∈ X}.
Nhắc lại Định lý 4.9 [1] và Mệnh đề 7.3.9(d) [16].
Mệnh đề 1.1
Giả sử A : X → Y là ánh xạ tuyến tính liên tục và f là hàm thực lồi trên
Y . Khi đó, với mỗi x ∈ X,
A∗ ∂C f (Ax) ⊂ ∂C (f A)(x).


6

Nếu f là liên tục tại mọi điểm thuộc ImA, thì với mỗi x ∈ X,
A∗ ∂C f (Ax) = ∂C (f A)(x),
trong đó A∗ : Y ∗ → X ∗ là ánh xạ liên hợp của A, ImA là ảnh của A.
Mệnh đề 1.2
Nếu f lồi trên X và Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ X thì với mỗi v ∈ X,
f ♦ (¯
x, v) = f 0 (¯
x, v).
∂ M P f (¯
x) = ∂f (¯
x) = ∂C f (¯
x).
Nón tiếp tuyến Clarke của C ⊂ X tại điểm x¯ ∈ C được định nghĩa như
sau:
T (C; x¯) := {v ∈ X : ∀xn ∈ C, xn → x¯, ∀tn ↓ 0, ∃vn → v
sao cho xn + tn vn ∈ C, ∀n}.
Nón pháp tuyến Clarke của C tại x¯ là

N (C; x¯) := {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≤ 0, ∀v ∈ T (C; x¯)}.
Các nón T (C; x¯) và N (C; x¯) là lồi khác rỗng, T (C; x¯) là đóng và N (C; x¯)
là đóng ∗ yếu.
Với mỗi nón D ⊂ X, nón đỗi ngẫu của D được định nghĩa như sau:
D∗ = {ξ ∈ X ∗ : ξ, v ≥ 0, ∀v ∈ D}.

1.2.

Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân
vectơ qua dưới vi phân Clarke

Giả sử X là không gian Banach thực và T là ánh xạ từ X vào không
gian L(X, Y ) gồm các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Với mỗi
x ∈ X, T (x) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . Giả sử g và h là
ánh xạ từ X vào Rm và Rl . Khi đó, g = (g1 , ..., gm ), h = (h1 , .., hl ). Giả


7

sử C và S là các tập con đóng khác rỗng của X và Rm , Q nón lồi đóng
nhọn trong Y . Đặt
K = {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0}.

(1.1)

a) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (WVVI): tìm x ∈ K sao cho
T (x)(y − x) ∈
/ −intQ (∀y ∈ K).

(1.2)

Chú ý (1.2) tương đương với
T (x)(K − x) ∩ (−intQ) = ∅.

(1.3)

Ở đây ta giả thiết intQ = ∅. Vectơ x¯ thỏa mãn (1.2) hoặc (1.3) được gọi
là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI).
Giả sử g và h là các hàm Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ K. Để thiết lập
điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân ta đưa vào điều
kiện chính quy (CQ1): Với mọi µ ∈ N (S, g(¯
x)), ν ∈ Rl , không đồng thời
bằng 0, ta có
0∈
/ ∂(µg)(¯
x) + ∂(νh)(¯
x) + N (C, x¯).
Trong trường hợp C = X = Rp , S = Rm
+ , điều kiện chính quy MangasarianFromovitz suy rộng (CQ2) tại x¯ được phát biểu như sau (xem [9]): tồn
tại v0 ∈ Rp sao cho
(a) ξi , v0 > 0, ∀ξi ∈ ∂gi (¯
x), i = 1, .., m;
(b) γv0 = 0, ∀γ ∈ ∂h(¯
x);
(c) Với bất kì γ ∈ ∂h(¯
x), các hàng của γ là một hệ độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 4.2 [9] đã chỉ ra rằng (CQ1) và (CQ2) là tương đương.
Ta sẽ trình bày điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của
(WVVI).

8

Định lý 1.1
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI). Giả sử rằng điều kiện
¯ ∈ Q∗ \{0}, µ
chính quy (CQ1) là đúng. Khi đó, ∃λ
¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl
sao cho
¯ + ∂(¯
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).
Chứng minh Đặt f (x) = T (¯
x)(x − x¯), f : X → Y là ánh xạ affine với
f (¯
x) = 0. Khi đó, ánh xạ f1 (x) := f (x + x¯) là ánh xạ tuyến tính. Bởi
vì x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI), theo Định lý 3.1 [6], tồn tại
hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương, liên tục Λ trên Y sao cho nếu
y1 , y2 ∈ Y thỏa mãn y2 − y1 ∈ intQ thì
Λ(y1 ) < Λ(y2 ),

(1.4)

và

(Λf )(x) ≥ 0 (∀ ∈ K).
Khi đó, x¯ là nghiệm của bài toán vô hướng sau:
min (Λf )(x),
g(x) ∈ S,
(P 1) h(x) = 0,
x ∈ C.
Do các hàm Λf và Λf1 là lồi liên tục. Áp dụng Mệnh đề 2.2.6 [3] ta
suy ra Λf và Λf1 là Lipschitz địa phương. Theo Định lý 3.2 [9], tồn tại
µ
¯ ∈ N (S, g1 (¯
x)), ν¯ ∈ Rl sao cho
0 ∈ ∂(Λf )(¯
x) + ∂(¯
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).

(1.5)

Từ Mệnh đề 1.2 ta có
∂(Λf )(¯
x) = ∂(Λf1 )(0) = ∂C (Λf1 )(0).

(1.6)


9

Từ Mệnh đề 1.1 ta suy ra

∂C (Λf1 )(0) = T (¯
x)∗ ∂C (Λ(f1 (0))).

(1.7)

∂C (Λ(f1 (0))) = ∂C (Λ(f (¯
x))).

(1.8)

Hơn nữa,
¯ ∈ ∂C (Λ(f (¯
Từ (1.5)-(1.8) ta suy ra tồn tại λ
x))), µ
¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl
sao cho
¯ + ∂(¯
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).

(1.9)

¯ ∈ Q∗ \{0}. Từ (1.4), với mỗi y ∈ intQ, ta có
Bây giờ ta chỉ ra rằng λ
¯ −y = λ,

¯ f (¯
λ,
x) − y − f (¯
x)
≤ Λ(f (¯
x) − y) − Λf (¯
x) = Λ(−y) < Λ(0) = 0,
¯ ∈ Q∗ \{0}. Định lý được chứng minh.
bởi vì 0 − (−y) ∈ intQ. Vì vậy, λ
Để phát biểu các điều kiện đủ tối ưu, ta nhắc lại một số khái niệm
về hàm lồi suy rộng. Theo định nghĩa của Reiland [14], hàm giá trị thực
Lipschitz địa phương f trên X được gọi là ∂-tựa lồi tại x¯ trên tập con
C(⊂ X) nếu
f (x) − f (¯
x) ≤ 0 ⇒ ξ, x − x¯ ≤ 0 (∀ξ ∈ ∂f (¯
x), ∀x ∈ C).
Bây giờ ta phát biểu điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (WVVI).
Định lý 1.2
¯ ∈ Q∗ \{0}, µ
Giả sử x¯ ∈ K, tồn tại λ
¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl sao cho
¯ + ∂(¯
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).

(1.10)

Giả sử rằng tập S và C lồi, các ánh xạ µ
¯g và ν¯h là ∂-tựa lồi tại x¯ trên
C. Khi đó, x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI).
Chứng minh Từ (1.10) suy ra tồn tại ξ ∈ ∂(¯
µg)(¯
x), γ ∈ ∂(¯
ν h)(¯
x) và
ζ ∈ N (C, x¯) sao cho
¯ + ξ + γ + ζ = 0.
T (¯
x)∗ λ


10

Từ đó suy ra với mỗi x ∈ K,
¯ x − x¯ + ξ, x − x¯ + γ, x − x¯ + ζ, x − x¯ = 0
T (¯
x)∗ λ,

(1.11)

Mặt khác, vì S là tập lồi, ta có T (S; g(¯
x)) = R+ (S − g(¯
x)) đúng, trong
đó R+ là tập các số thực không âm. Với x ∈ K, g(x) − g(¯
x) ∈ S − g(¯

x),
nên (¯
µg)(x) − (¯
µg)(¯
x) ≤ 0, vì µ
¯ ∈ N (S; g(¯
x)). Do tính ∂-tựa lồi của hàm
µ
¯g ta suy ra
ξ, x − x¯ ≤ 0.

(1.12)

Với x ∈ K, h(x) − h(¯
x) = 0 vậy nên (¯
ν h)(x) − (¯
ν h)(¯
x) = 0. Do tính ∂-tựa
lồi của hàm (¯
ν h), ta suy ra
γ, x − x¯ ≤ 0.

(1.13)

Vì C là tập lồi, và T (C, x¯) = R+ (C − x¯) là đúng. Do đó,
ζ, x − x¯ ≤ 0.

(1.14)

¯ (¯

λT
x)(x − x¯) ≥ 0 (∀x ∈ K).

(1.15)

Từ (1.11)–(1.14) ta có

Khi đó, x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của (WVVI). Thật vậy, nếu điều này
không đúng sẽ tồn tại x1 ∈ K sao cho
T (¯
x)(x1 − x¯) ∈ −intQ.
¯ ∈ Q∗ \{0} , ta lại có
Nhưng với λ
¯ (¯
λT
x)(x1 − x¯) < 0.
Điều này mâu thuẫn với (1.15). Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2 được minh họa qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.1 Giả sử X = Y + R2 , S = R+ , C = [0, 3] × [0, 3], x¯ = (0, 0), Q =


11

R2+ . T : X → Y và g : X → R được cho bởi
T (x1 , x2 ) = (T1 (x1 , x2 ), T2 (x1 , x2 )), (x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ),
1
T1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 ,
2
T2 (x1 , x2 ) = x1 − x2 ,




x + x2 ,
nếu 0 ≤ x1 + x2 ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1, 2,


 1
g(x1 , x2 ) = 1,
nếu 1 ≤ x1 + x2 ≤ 2, xi ≥ 0, i = 1, 2,




x1 + x2 − 1, nếu x1 + x2 ≥ 2, xi ≥ 0, i = 1, 2,
Khi đó, T và T ∗ là ma trận
1
2

1

1 −1
Nếu T ∗ = T , C là lồi, g là tựa lồi tại x¯ trên C, ∂g(¯
x) = (1, 1)T , T (S; g(¯
x)) =
R, N (S; g(¯
x)) = −R, K = x ∈ C : g(x) ∈ S = C, T (K; x¯) = R2+
và N (K; x¯) = R2− , với R2− = −R2+ và chỉ số

T

là phép chuyển vị.

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ sau:
Tìm x¯ ∈ K sao cho
T (x − x¯) ∈
/ −intR2+

(∀x ∈ K).

Với λ1 = 4, λ2 = 1, µ = −3, điều kiện tối ưu tại x¯:
0∈

1
2

1

1

4

−1

1

+ (−3)

1
1

+ R2− .

Từ Định lý 1.2, x¯ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên.
b) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu toàn cục
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (GVVI): Tìm x ∈ K sao cho
T (x)(K − x) ∩ (−H\{0}) = ∅,

(1.16)


12

trong đó H là một nón lồi nhọn có phần trong khác rỗng thoả mãn
Q\{0} ⊂ intH. Điểm x¯ ∈ K thỏa mãn(1.16) với nón lồi nhọn có phần
trong khác rỗng H và Q\{0} ⊂ intH được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn
cục của (GVVI). Từ (1.3), ta thấy rằng trong trường hợp intQ = ∅, một
nghiệm hữu hiệu toàn cục sẽ là nghiệm hữu hiệu yếu. Ở đây ta không đòi
hỏi điều kiện intQ = ∅.
Kí hiệu Q∗0 là tựa phần trong tương đối (quasi-interior) của Q∗
Q∗0 = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > 0, ∀y ∈ Q\{0}}.
Ta thiết lập điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của (GVVI).
Định lý 1.3
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu toàn cục của (GVVI). Giả sử rằng điều kiện
¯ ∈ Q∗ , µ
chính quy (CQ1) đúng. Khi đó, tồn tại λ
¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl
0

sao cho

¯ + ∂(¯
0 ∈ T (¯
a)∗ λ
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).
Chứng minh Từ chứng minh của Định lý 1.1, đặt f (x) = T (¯
x)(x − x¯).
vì x¯ là nghiệm hữu hiệu toàn cục của (GVVI), theo Định lý 3.3 [6] tồn
tại hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương liên tục Λ trên Y sao cho nếu
y1 , y2 ∈ Y thỏa mãn y2 − y1 ∈ Q\{0} thì
Λ(y1 ) < Λ(y2 ),
và
(Λf )(x) ≥ 0 (∀ ∈ K).
Khi đó, x¯ là nghiệm của bài toán vô hướng sau:
min (Λf )(x),
g(x) ∈ S,
h(x) = 0,


13

x ∈ C,
¯ ∈ ∂C (Λ(f (¯
Tương tự chứng minh của Định lý 1.1 ta suy ra tồn tại λ
x)))
µ
¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl sao cho

¯ + ∂(¯
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
µg)(¯
x) + ∂(¯
ν h)(¯
x) + N (C; x¯).
¯ ∈ Q∗ . Với mỗi y ∈ Q\{0},
Bây giờ ta chỉ ra λ
0
¯ −y = λ,
¯ f (¯
λ,
x) − y − f (¯
x)
≤ Λ(f (¯
x) − y) − Λ(f (¯
x)) = Λ(−y) < Λ(0) = 0,
¯ ∈ Q∗ . Định lý được chứng minh.
vì 0 − (−y) ∈ Q\{0}. Do vậy, λ
0
Tương tự Định lý 1.2, ta chứng minh điều kiện đủ cho (GVVI).
Định lý 1.4
¯ ∈ Q∗ µ
Giả sử x¯ ∈ K; Tồn tại λ
x)), ν¯ ∈ Rl sao cho
0 ¯ ∈ N (S, g(¯
¯ + ∂(¯
µg)(¯
x) + ∂(¯

ν h)(¯
x) + N (C; x¯).
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
Giả sử các tập S và C lồi, các ánh xạ µ
¯g và ν¯h là ∂-tựa lồi tại x¯ trên C.
Khi đó, x¯ là nghiệm toàn cục của (GVVI).
c) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu
Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (EVVI): Tìm x¯ ∈ K sao
cho
T (¯
x)(x − x¯) ∈
/ −Q\{0}, (∀x ∈ K),

(1.17)

trong đó K được xác định bởi (1.1). Điểm x¯ thỏa mãn (1.17) được gọi là
nghiệm hữu hiệu của (EVVI).
Để dẫn điều kiện tối ưu cho bài toán (EVVI) ta giả sử rằng Y =
Rn , Q = Rn+ . Khi đó, (1.17) được viết dưới dạng:
Không tồn tại x ∈ K sao cho
T (¯
x)k (x − x¯) ≤ 0

với mọi k ∈ J := {1, .., n},

T (¯
x)s (x − x¯) < 0 với ít nhất một s ∈ J,

14

trong đó T (¯
x) = (T (¯
x)1 , ..., T (¯
x)n ), T (¯
x)k : X → R (k ∈ J).
Để dẫn điều kiện tối ưu cho (EVVI) ta đưa vào điều kiện chính quy
(CQ3): Với mỗi s ∈ J và mọi λk ≥ 0(k ∈ J, k = s), µ ∈ N (S, g(¯
x)), ν ∈ Rl ,
khác không,
0∈
/

λk T (¯
x)k + ∂(µg)(¯
x) + ∂(νh) + N (C, x¯).
k∈J,k=s

Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (EVVI) được phát
biểu như sau:
Định lý 1.5
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (EVVI). Giả sử rằng điều kiện
¯ k ≥ 0 (k ∈ J, k =
chính quy (CQ3) đúng với s ∈ J. Khi đó, tồn tại λ
s), µ ∈ N (S, g(¯
x)), ν ∈ Rl , sao cho
¯ k T (¯
λ
x)k + ∂(µg)(¯

x) + ∂(νh)(¯
x) + N (C, x¯).

0 ∈ T (¯
x)s +

(1.18)

k∈J,k=s

Chứng minh Bởi vì x¯ là nghiệm của bài toán (EVVI), cho nên x¯ là cực
tiểu Pareto của bài toán tối ưu sau:
min T (¯
x)(x),
g(x) ∈ S,
h(x) = 0,
x ∈ C.
Do đó, x¯ là cực tiểu của bài toán vô hướng sau:
min T (¯
x)s (x),
T (¯
x)s (x) ≤ T (¯
x)k (¯
x) (∀k ∈ J, k = s),
(Ps )

g(x) ∈ S,
h(x) = 0,

15

x ∈ C.
¯ k ≥ 0 (k ∈ J, k =
Áp dụng Định lý 3.2 [9] cho bài toán (Ps ) tồn tại λ
s), µ ∈ N (S, g(¯
x)), ν ∈ Rl , sao cho
¯ k T (¯
∂(λ
x)k )(¯
x) + ∂(µg)(¯
x) + ∂(νh)(¯
x) + N (C, x¯).

0 ∈ ∂(T (¯
x)s )(¯
x) +
k∈J,k=s

(1.19)
Vì T (¯
x)s (k ∈ J) là tuyến tính liên tục, nên ta có
∂(T (¯
x)k )(¯
x) = T (¯
x)k (k ∈ J).

(1.20)

Thế (1.20) vào (1.19) ta được (1.18).

Một điều kiện cần tối ưu mạnh cho nghiệm hữu hiệu của bài toán
(EVVI) có thể phát biểu như sau:
Định lý 1.6
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (EVVI). Giả sử điều kiện chính
¯ k ≥ 0 (k ∈ J, k = s), µ
quy (CQ3) đúng với mọi s ∈ J. Khi đó, tồn tại λ
¯∈
N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl , sao cho
¯ k T (¯
λ
x)k +

0∈

∂(¯
µ(s) g)(¯
x) +
s∈J

k∈J

∂(¯
ν (s) h)(¯
x) + N (C, x¯).
s∈J

¯ k ≥ 0 (k ∈
Chứng minh Với mỗi s ∈ J, từ Định lý 1.5 ta suy ra tồn tại λ
J, k = s), µ

¯ ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯ ∈ Rl , sao cho
¯ (s) T (¯
λ
x)k +∂(¯
µ(s) g)(¯
x)+∂(¯
ν (s) h)(¯
x)+N (C, x¯). (1.21.s)
k

0 ∈ T (¯
x)s +
s∈J,k=s

Với s = 1, ..., n trong (1.21.s)
¯ k T (¯
λ
x)k +

0∈
k∈J

∂(¯
µ(s) g)(¯
x) +
s∈J

∂(¯
ν (s) h)(¯

x) + N (C, x¯),
s∈J

trong đó
(s)

¯k = 1 +
λ

λk > 0 (∀k ∈ J).
s∈J,k=s


16

Đó là điều phải chứng minh.
Bây giờ ta trình bày điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của
(EVVI).
Định lý 1.7
¯ k > 0 (∀k ∈ J, ) µ
Giả sử x¯ ∈ K; tồn tại λ
¯(s) ∈ N (S, g(¯
x)), ν¯(s) ∈ Rl (∀s ∈
J) sao cho
¯ k T (¯
λ
x)k +

0∈

∂(¯
µ(s) g)(¯
x) +
s∈J

k∈J

∂(¯
ν (s) h)(¯
x) + N (C, x¯).

(1.22)

s∈J

Giả sử các tập S và C là lồi, các ánh xạ µ
¯(s) g và ν¯(s) h (∀s ∈ J) là ∂- tựa
lồi tại x¯ trên C. Khi đó, x¯ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (EVVI)
Chứng minh Từ biểu thức (1.22) ta suy ra tồn tại ξ (s) ∈ ∂(¯
µ(s) g)(¯
x) và
γ (s) ∈ ∂(¯
ν (s) h)(¯
x) và ζ ∈ N (C; x¯) sao cho
¯ k T (¯
λ
x)k +

ξ (s) +
s∈J

k∈J

γ (s) + ζ = 0.
s∈J

Từ đó suy ra với mọi x ∈ K,
¯ k T (¯
λ
x)k , x − x¯ +

ξ (s) , x − x¯ +
s∈J

k∈J

γ (s) , x − x¯ + ζ, x − x¯ = 0.
s∈J

(1.23)
Do S lồi, ta có T (S; g(¯
x)) = R+ (S + g(¯
x)). Với x ∈ K, g(x) − g(¯
x) ∈
−(S + g(¯
x)), và do đó, (¯
µ(s) g)(x) − µ
¯(s) g)(¯
x) ≤ 0. Hơn nữa, với x ∈
K, h(x) − h(¯

x) = 0, và vì vậy, (¯
γ (s) h)(x) − γ¯ (s) h)(¯
x) = 0. Do tính ∂-tựa
lồi của các hàm µ
¯(s) g và ν¯(s) h (s ∈ J), ta có
ξ (s) , x − x¯ +
s∈J

γ (s) , x − x¯ ≤ 0.

(1.24)

s∈J

Do C lồi, ta có T (C; x¯) = R+ (C − x¯). Do đó,
ζ, x − x¯ ≤ 0(∀x ∈ C) .

(1.25)

Từ (1.23)–(1.25) ta suy ra
¯ k T (¯
λ
x)k , x − x¯ ≥ 0 (∀x ∈ K).
k∈J

(1.26)


17

Khi đó, x¯ là nghiệm Pareto của (PVVI). Thật vậy, nếu điều này không
đúng sẽ tồn tại x1 ∈ K sao cho
T (¯
x)k (x1 − x¯) ≤ 0, với mọi k ∈ J := 1, ..., n,
T (¯
x)s (x1 − x¯) < 0, với ít nhất một s ∈ J.
Từ đó suy ra
¯ k T (¯
λ
x)k , x1 − x¯ < 0,
k∈J

Điều này mâu thuẫn với (1.26). Ta suy ra điều phải chứng minh.

1.3.

Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Michel–Penot

Trong phần này, để dẫn điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ (WVVI) qua dưới vi phân Michel–Penot, ta giả sử rằng
g Lipschitz địa phương tại x¯, h có đạo hàm Fréchet tại x¯ với đạo hàm
Fréchet ∇h(¯
x), S là nón lồi đa diện trong Rm , Q và C như trong phần
1.2. Vì S là nón lồi đa diện trên Rm , nên S có dạng
S = {y ∈ Rm : ai , y ≥ 0, i = 1, ..., r} (ai ∈ Rm , i = 1, ..., r).
Theo Định lý Farkas - Minkowski (xem [5], định lý 10.4), ta nhận được
r
∗

S ={

βi ai : βi ≥ 0, i = 1, ..., r}.

(1.27)

i=1

Đặt
gi (x) = − ai , g(x)

(i = 1, ..., r).

Từ (1.27) ta có
g(x) ∈ S ⇐⇒ gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r).
Vì vậy, bài toán (WVVI) được viết dưới dạng tương đương: Tìm x ∈ K
sao cho
T (x)(y − x) ∈
/ −intQ (∀y ∈ K),


18

trong đó
K = {y ∈ C : gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r), hj (x) = 0 (j = 1, ..., l)}.
Với x¯ ∈ M , ta đặt
I(¯
x) = {i ∈ {1, ..., r} : gi (x) = 0}.
Ta định nghĩa các tập C(K; x¯) và H(K; x¯):
C(K; x¯) = {v ∈ T (C; x¯) : gi♦ (¯
x, v) ≤ 0 (∀i ∈ I(¯

x)),
∇hj (¯
x), v = 0 (j = 1, ..., l)},
l

H(¯
x) =

{

µi ∂

MP

νj ∇hj (¯
x)

gi (¯
x) +
j=1

i∈I(¯
x)

+N (C; x¯) : µi ≥ 0(∀i ∈ I(¯
x)), νj ∈ R(j = 1, ..., l)}.
Để dẫn điều kiện cần tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ
(WVVI) ta đưa vào điều kiện chính quy (CQ4):
C(K; x¯) ⊂ T (K; x¯),
a) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu

toàn cục
Định lý 1.8
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (WVVI). Giả sử rằng
điều kiện chính quy (CQ4) đúng và H(¯
x) đóng ∗ yếu. Khi đó, tồn tại
¯ ∈ Q∗ \{0}, µ
λ
¯i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯
x)), ν¯i ∈ R (j = 1, ..., l) sao cho
l
∗¯

0 ∈ T (¯
x) λ +

µ
¯i ∂
i∈I(¯
x)

MP

ν¯j ∇hj (¯
x) + N (C; x¯).

gi (¯
x) +
j=1

Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lý 2.1, ta đặt f (x) =

T (¯
x)(x − x¯) và nhận được ánh xạ affine f : X → Y với f (¯
x) = 0. Khi
đó, ánh xạ f1 (x) = f (x + x¯) là tuyến tính. Áp dụng Định lý 3.1[8] ta suy


19

ra tồn tại hàm dưới cộng tính thuần nhất dương liên tục Λ trên Y thỏa
mãn: nếu y2 − y1 ∈ intQ (y1 , y2 ∈ Y ) thì Λ(y1 ) < Λ(y2 ) và
(Λf )(y) ≥ 0 (∀y ∈ K).
Vì vậy, x¯ là nghiệm của bài toán (P1). Bài toán (P1) lại tương đương với
bài toán vô hướng sau:
min(Λf )(x),
gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r),
(P 2)

hj (x) = 0 (j = 1, ..., l),
x ∈ C.

Chú ý rằng các hàm Λf và Λf1 là lồi liên tục. Áp dụng Mệnh đề 2.2.6 [3]
ta suy ra Λf và Λf1 là Lipschitz địa phương. Áp dụng Định lý 3.1 [11]
cho bài toán vô hướng (P2) ta suy ra tồn tại µ
¯i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯
x)), ν¯i ∈
R (j = 1, ..., l) sao cho
l

0∈∂

MP

∗¯

(Λf )(¯
x) λ +

µ
¯i ∂

MP

ν¯j ∂ M P hj (¯
x) + N (C; x¯).

gi (¯
x) +

i∈I(¯
x)

j=1

Do Mệnh đề 1.2, ta có
∂ M P (Λf )(¯
x) = ∂(Λf )(¯
x) = ∂(Λf1 )(0) = T (¯
x)∗ ∂C (Λ(f1 (0))).
Phần còn lại chứng minh tương tự như chứng minh định lý 2.1.
m

Trong trường hợp dimX < +∞, S = R+
, C = X, ta suy ra

Hệ quả 1.1
m
Giả sử dimX < +∞, S = R+
, C = X. Nếu

∂ M P gi (¯
x) + lin{∇hj (¯
x) : j = 1, ..., l},

0∈
/ co
i∈I(¯
x)

thì H(¯
x) đóng, trong đó lin kí hiệu bao tuyến tính.


20

Nếu trong bài toán (WVVI) không có các ràng buộc đẳng thức và các
ràng buộc nón thì ta nhận được hệ quả sau:
Hệ quả 1.2
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (WVVI), trong đó không
¯ ∈ Q∗ \{0} sao cho
có các ràng buộc g và h. Khi đó, tồn tại λ
¯ + N (C; x¯).

0 ∈ T (¯
x)∗ λ
Chứng minh Điều kiện chính quy (CQ3) tự động thỏa mãn và H(¯
x) =
N (C; x¯) là đóng ∗ yếu. Áp dụng Định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh.
Với nghiệm hữu hiệu toàn cục, ta có có điều kiện cần tối ưu sau:
Định lý 1.9
Giả sử x¯ là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (GVVI). Giả sử rằng
điều kiện chính quy (CQ4) đúng và H(¯
x) là đóng ∗ yếu. Khi đó, tồn tại
¯ ∈ Q∗ , µ
λ
x)), ν¯j ∈ R (j = 1, ..., l) sao cho
0 ¯ i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯
l
∗¯

0 ∈ T (¯
x) λ +

µ
¯i ∂

MP

ν¯j ∇hj (¯
x) + N (C; x¯).

gi (¯
x) +

i∈I(¯
x)

j=1

Chứng minh Lý luận tương tự như chứng minh Định lý 2.1, trong đó
Định lý 3.3 [6] thay cho Định lý 3.1 [6].
Để thiết lập điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel
- Penot, ta đưa vào các khái niệm hàm lồi suy rộng thích hợp. Phù hợp
với định nghĩa ∂-tựa lồi đã định nghĩa trong phần trước, một hàm giá trị
thực Lipschitz địa phương f trên X được gọi là ∂ M P -tựa lồi tại x¯ trên
tập con C của X nếu
f (x) − f (¯
x) ≤ 0 ⇒ ξ, x − x¯ ≤ 0 (∀ξ ∈ ∂ M P f (¯
x), ∀x ∈ C).
Nếu f là ∂-tựa lồi trên C, thì nó là ∂ M P -tựa lồi trên C.


21

Hàm giá trị thực f được gọi là tựa lồi trên tại x¯ trên C nếu ∀x ∈ C,
f (x) ≤ f (¯
x) ⇒ f (λx + (1 − λ)¯
x) ≤ f (¯
x) (∀λ ∈ (0, 1)).
Trong trường hợp f có đạo hàm Fréchet tại x¯, nếu f là tựa lồi tại x¯ trên
C, thì
f (x) − f (¯
x) ≤ 0 ⇒ ∇f (¯

x), x − x¯ ≤ 0 (∀x ∈ C).
Chứng minh tương tự Định lý 2.2, ta nhận được kết quả sau:
Định lý 1.10
¯ ∈ Q∗ \{0} (hoặc Q∗ ), µ
Giả sử x¯ ∈ K; tồn tại λ
¯i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯
x)), ν¯j ∈
0
R (j = 1, ..., l) sao cho
l
∗¯

0 ∈ T (¯
x) λ +

µ
¯i ∂
i∈I(¯
x)

MP

ν¯j ∇hj (¯
x) + N (C; x¯).

gi (¯
x) +
j=1

Giả sử C là tập lồi, các hàm g1 , ..., gr là ∂ M P −tựa lồi tại x¯ trên C, và

các hàm ±h1 , ..., ±hl là tựa lồi tại x¯ trên C. Khi đó, x¯ là một nghiệm hữu
hiệu yếu (toàn cục) của bài toán (WVVI) (hoặc (GVVI)).
Nếu các bài toán (WVVI), (GVVI) không có ràng buộc đẳng thức và ràng
buộc nón, ta nhận được hệ quả trực tiếp sau của Định lý 1.10:
Hệ quả 1.3
Giả sử x¯ ∈ K và không có các ràng buộc g, h trong (W V V I) (hoặc
¯ ∈ Q∗ \{0} (hoặc Q∗ ) sao cho
(GVVI)). Giả sử rằng C lồi và tồn tại λ
0

¯ + N (C; x¯).
0 ∈ T (¯
x)∗ λ
Khi đó, x¯ là nghiệm hữu hiệu yếu (toàn cục) của (WVVI) (hoặc (GVVI)).
b) Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu
Với Y = Rn và Q = Qn+ . Với s ∈ J, ta định nghĩa tập C(Ks ; x¯) và
H(Ks ; x¯) như sau:
Ks = {x ∈ C : T (¯
x)k (x) ≤ T (¯
x)k (¯
x) (∀k ∈ J, k = s),