Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu .pdf

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❙♦♥❣ ❍➭
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠
tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
◆❣✉②Ô♥ ❙♦♥❣ ❍➭
❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠
tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ●✐➯✐ tÝ❝❤
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ P●❙✳ ❚❙✳ ❚➵ ❉✉② P❤➢î♥❣
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶ ❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✻
✶✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✷ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼

✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✶✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✶✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✶✳✷✳✷ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✶✳✷✳✸ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✶✳✷✳✹ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡ ♣❤➞♥ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥
❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷ ❈➳❝ t❤Ý ❞ô tÝ♥❤ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✹✹
✷✳✶ ❚❤Ý ❞ô ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✷✳✷ ❚❤Ý ❞ô ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾
✷✳✸ ❚❤Ý ❞ô ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸
✷✳✹ ❚❤Ý ❞ô ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽
✷✳✺ ❚❤Ý ❞ô ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷
✷✳✻ ❚❤Ý ❞ô ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✷✳✼ ❚❤Ý ❞ô ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶
✷✳✽ ❚❤Ý ❞ô ✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺
✷✳✾ ❚❤Ý ❞ô ✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✽✾
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ ó
ý ĩ q trọ ề ý tết tự tế t t tứ

ế ợ ứ ẽ tr trở
t t tứ ế q ế ề t ủ tí
tế t tố t t ù ề ề
ủ t ế tồ t ệ ổ ị ệ ợ
ứ ỹ t ú t tr trú t ệ tồ
t ệ tí t tí rút ợ ủ t tố ụ t
ợ q t ứ ề tì trú t ệ ủ t t
tứ ế ò ợ q t ủ ụ í ủ
trì ết q ủ ồ tờ ú
t ũ trì ột số ết q ủ t ề ề
ứ tí t ủ t ệ tr t
t tứ ế ớ t ợ t tết t
ề tr t sốt ủ tr ờ
ỏ
ớ ề ệ tì t t tứ ế ó ệ
ớ ề ệ tì t ệ ủ t t tứ ế
ột t t
ế t ệ ủ t t tứ ế t
tì t ệ ó ó trú tế
ồ
trì ế tứ ề t t tứ ế

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✈➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ❧➭♠ s➳♥❣ tá ❧ý t❤✉②Õt ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣
✶ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ♥❤❐♥ ①Ðt ✈Ò ❝✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚➵ ❉✉② P❤➢î♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❦Ý♥❤
trä♥❣ ✈➭ ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤è✐ ✈í✐ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐ó♣ ➤ì ➤Ó
❝ã ➤➢î❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳

❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤è✐ ✈í✐ ❚r✉♥❣ t➞♠ ➜➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ➜➵✐ ❤ä❝
❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❐♣ t❤Ó ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝
❚♦➳♥ ✲ ❑✶✺✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ✈Ò sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✳ ❱➭ ❝✉è✐ ❝ï♥❣✱ ①✐♥
❝➯♠ ➡♥ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❝ñ❛ t➠✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭
❦❤Ý❝❤ ❧Ö r✃t ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❞➭✐ ❤ä❝ t❐♣✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉
•R
n
+
= {(x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ R
n
: x
i
≥ 0, i = 1, ..., n}
•x, y ❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❝ñ❛ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tö x ✈➭ y tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
•x ❧➭ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ ♣❤➬♥ tö x tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
•intA ❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ A✳
•clA ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ A✳
•∂A ❧➭ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ A✳
•
¯

B(x
0
, ) ❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤ã♥❣ t➞♠ x
0
✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ✳
•B(x
0
, ) ❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ♠ë t➞♠ x
0
✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ✳
•G : X ⇒ Y ❤♦➷❝ G : X ⇒ 2
Y
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠
X, Y ✳
•A ∈ R
r×n
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ r × n ✈➭ A
T
❧➭ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A✳
•x ∈ R
n
t❤× x
T
❧➭ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ✈Ð❝ t➡ x✳
•N
∆
(x) ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ ∆ t➵✐ x✳
•0
+
∆ ❧➭ ♥ã♥ ❧ï✐ ①❛ ❝ñ❛ t❐♣ ∆✳

✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

trú tí t ủ t
ệ tr t t tứ
ế é t ệ
t tứ ế é t ệ
t t tứ ế
sử R
n
t ồ ó rỗ F : R
n
ột t
tử trớ
ị ĩ
t tì ể x tỏ
F (x), y x 0, y ,
ợ ọ t t tứ ế rt qt r
t tứ ế rt qt ợ í
ệ
ệ Sol() ủ t tt x tỏ
ét
t t tứ ế ó tể ết ớ s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ì ể x s
F (x), y x / R
+
\ {0}, y .
ễ ể tr r x Sol() ỉ 0 F (x) + N

(x)
tr ó N

(x) ó tế ủ t x ị ĩ ở
N

(x) =

{z R
n
: z, x x 0,x } ế x
ế x /

ị í tồ t ệ
ệ ề
sử x ế tồ t ột số > 0 s
F (x), y x 0, y

B(x, ).
x Sol()
ứ sử tồ t > 0 tỏ õ r ớ ỗ y tồ
t t = (0, 1) s z
t
:= x + t(y x) tộ t

B(x, )
0 F (x), z
t
x = tF (x), y x ừ s r r F (x), y x 0

ớ ọ y ó x Sol()
ệ ề ỉ r r ọ ệ ị ủ t t
tứ ế ệ ủ ũ ệ t ụ ệ ủ

ị í rtt ớ ị í ề sự tồ t
ệ tr t tứ ế ó ợ ứ ờ ị í
ể t ộ rr
ị ý tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ế R
n
rỗ ồ t F : R
n
tụ tì
t ó ệ
ớ ề ệ ù ợ ề ệ ứ rt ts ú t
ó ị í tồ t trờ ợ t ế t
ị ý tr
sử R
n
t ồ ó rỗ F : R
n

tụ ế tồ t x
0
s
F (y) F (x
0
), y x

0

y x
0

+ y +, y ,
tì t ó ệ
ét
ể tứ ó ý ĩ ớ > 0 trớ ó tể tì ợ ột
số > 0 s
F (y) F (x
0
), y x
0

y x
0

ú ớ ọ y tỏ y > .
ễ t r ế t tì ớ ọ x
0
ề ệ
ợ tỏ ế tồ t x
0
s r tì t ó r ề
ệ ứ rt t ợ tỏ ề ệ ứ ó trò
q trọ tr ứ t tứ ế tr trờ ợ t
ế t ú ý r ỉ ột tr rt ề
ủ ề ệ ứ
ế tồ t x

0
> 0 s
F (y) F (x
0
), y x
0
y x
0

2
, y
tì ợ tỏ
ế tồ t ột số > 0 s
F (y) F (x), y x y x
2
, x , y ,
tì ợ tỏ ó ũ ợ tỏ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ α > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✼✮ ➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥ t❤× F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥ ∆✳
F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥ ∆ ♥Õ✉
F (y) − F (x), y − x ≥ 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆. ✭✶✳✽✮
F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥ ∆ ♥Õ✉
F (y) − F (x), y − x > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x = y. ✭✶✳✾✮
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✽✳ ✭❇æ ➤Ò ▼✐♥t② ✲ ❳❡♠ ❬✽❪ tr❛♥❣ ✽✾✮✳
◆Õ✉ ∆ ⊂ R
n
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ F : ∆ → R

n
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✱ ♠♦♥♦t♦♥❡
t❤× ¯x ∈ Sol(❱■) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ¯x ∈ ∆ ✈➭
F (y), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆. ✭✶✳✶✵✮
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✿ ●✐➯ sö ¯x ∈ Sol(❱■)✳ ❉♦ F ❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♥➟♥ t❛
❝ã
F (y) − F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆.
❑Õt ❤î♣ ➤✐Ò✉ ♥➭② ✈í✐ ✭✶✳✶✮ ❞➱♥ tí✐
F (y), y − ¯x ≥ F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆
❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✭✶✳✶✵✮ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✿ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ¯x ∈ ∆ ✈➭ ✭✶✳✶✵✮ ➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❈❤ä♥ y ∈ ∆
♥➭♦ ➤ã✳ ❉♦ ∆ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ y(t) := ¯x + t(y − ¯x) ∈ ∆ ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ (0, 1)✳ ❚❤❛②
y = y(t) ✈➭♦ ✭✶✳✶✵✮ t❛ ➤➢î❝
0 ≤ F (y(t)), y(t) − ¯x = F (¯x + t(y − ¯x), t(y − ¯x).
❍❛② t❛ ❝ã
F (¯x + t(y − ¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1).
✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤♦ t → 0✱ ✈➭ ❦Õt ❤î♣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ F t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ F (¯x), y−¯x ≥ 0✳
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ ∆ ♥➟♥ t❛ ❝ã ¯x ∈ Sol(❱■)✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✾✳
◆❤÷♥❣ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿
✭✐✮ ◆Õ✉ F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ✭str✐❝❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥ ∆ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❦❤➠♥❣
t❤Ó ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❤➡♥ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠✳
✭✐✐✮ ◆Õ✉ F ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ tr➟♥ ∆ t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛
❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭ ❧å✐ ✭❝ã t❤Ó ❜➺♥❣ rç♥❣✮✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐➯ t❤✐Õt ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣ r➺♥❣ F ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ str✐❝❧② ♠♦♥♦t♦♥❡
tr➟♥ ∆ ♥❤➢♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt ¯x ✈➭ ¯y✳ ❑❤✐ ✃② F (¯x), ¯y−
¯x ≥ 0 ✈➭ F (¯y), ¯x − ¯y ≥ 0✳ ❑Õt ❤î♣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ ➤➢î❝
F (¯x)− F (¯y), ¯y− ¯x ≥ 0✳ ◆❤➢♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ F (¯y)−

F (¯x), ¯y − ¯x > 0✳
✭✐✐✮ ●✐➯ sö r➺♥❣ F ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ tr➟♥ ∆✳ ❱í✐ ♠ç✐ y ∈ ∆ t❛ ❦Ý
❤✐Ö✉ Ω(y) ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ¯x ∈ ∆ t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ F (y), y− ¯x ≥ 0✳ ❘â
r➭♥❣ r➺♥❣ Ω(y) ❧➭ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❚õ ❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✽ s✉② r❛ r➺♥❣
Sol(❱■) =

y∈∆
Ω(y).
❉♦ ➤ã Sol(❱■) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✭❝ã t❤Ó rç♥❣✮✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✵✳
◆Õ✉ F : ∆ → R
n
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ t❤×
❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈× F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ ♥➟♥ t❤♦➯
♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝✱ ❞♦ ➤ã t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶✳✺ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✳ ❍➡♥
♥÷❛✱ F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ t❤× F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ✐✮ ❝ñ❛ ▼Ö♥❤ ➤Ò
✶✳✶✳✾ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❤➡♥ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t t tứ ế é t
r ụ t sử ụ í ệ ớ
sử H rt tự trờ ợ ệt t ó H = R
n

H t ồ ó
F
i
: H(i = 1, 2, ..., m) trị é t
F := (F
1

, F
2
, ..., F
m
) = (F
i
)
m
i=1
ớ ỗ x , v H t ết
F (x)(v) := (F
1
(x), v,F
2
(x), v, ...,F
m
(x), v).
ớ t tết r C R
m
ó ồ ó ọ ỉ t ố
ó tr rỗ ế ó ì t ọ
C

:= {(
i
)
m
i=1
R
m

: , c 0,c C}
ó ố ủ C.
ị ĩ
t tì ể x s
(F
1
(x), y x, ...,F
m
(x), y x) / C\{0},y ,
ợ ọ t t tứ ế é t tr rt
qt r ết ọ
ệ Sol() ủ t t tt x t

ị ĩ
t tì ể x s
(F
1
(x), y x, ...,F
m
(x), y x) / intC,y ,
ợ ọ t t tứ ế é t ế tr
rt qt r ết ọ
w

ệ Sol()
w
ủ t
w
t tt x t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ị ĩ
ớ ọ = (
1
, ...,
m
) C

t tì ể x s

m

i=1

i
F
i
(x), y x 0,y ,
ợ ọ t t tứ ế ụ tộ t số rtr
rt qt r ết ọ


ệ Sol()

ủ t

t tt x t

ị ĩ

ọ C sở ủ ột ó C ế 0 / t x C\{0}
tì t R
+
s tx
ệ ề
ế C R
m
ó ồ ó ó tr rỗ tì C

ó ột
sở ồ t
ứ intC = c intC, c = 0 t := { C

:
, c = 1} ể 0 / ữ ế t ọ t =
1
, c
tì
x C\{0} : tx sở ủ C


tí ớ tụ t ó ị tr R
m

ì ó t t ễ t t ồ
ét ế C ó ọ tì intC

= ó ố (C

)

ủ C

ó C ừ ề s t sử ụ í ệ := { C

:
, c = 1} ế ó ì t
ị í ớ t ố ệ ữ t ệ ủ t t
tứ ế
ị ý

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❚❛ ❝ã

ξ∈intC
∗
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■) ⊆ Sol(❱❱■)
w
=

ξ∈C
∗
Sol(❱■)
ξ
✭✶✳✶✹✮
❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ F ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ t❤× Sol(❱❱■)
w
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t

ξ∈intC
∗
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■). ✭✶✳✶✺✮
❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã
∀x ∈

ξ∈intC
∗
Sol(❱■)
ξ
⇒ ∃ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈ intC
∗
: x ∈ Sol(❱■)
ξ
.
▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã
0 ≤ 
m

i=1
ξ

i
F
i
(x), y − x =
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), y − x = ξ
T
F (x)(y − x),∀y ∈ ∆,
✭✶✳✶✻✮
tr♦♥❣ ➤ã ξ
T
❧➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✻✮ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ❦❤➠♥❣
❝ã y ∈ ∆ ♥➭♦ ➤Ó F (x)(y − x) ∈ −C\{0} ✳ ❍❛② x ∈ Sol(❱❱■)✳
❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ t❤ø ❜❛
Sol(❱❱■)
w
=

ξ∈C
∗
Sol(❱■)
ξ
.
❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã

∀x ∈

ξ∈C
∗
\{0}
Sol(❱■)
ξ
⇒ ∃ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈ C
∗
\{0} : x ∈ Sol(❱■)
ξ
.
❚❛ ➳♣ ❞ô♥❣ ✭✶✳✶✻✮ s✉② r❛

ξ∈C
∗
\{0}
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■)
w
.
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ξ = 0 t❤× ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ ❝ò♥❣ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣✳ ❉♦ ➤ã


ξ∈C
∗
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■)
w
.
▼➷t ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉ x ∈ Sol(❱❱■)
w
t❤× {F (x)(y − x) : y ∈ ∆} ∩ (−intC) = ∅✳
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐ t❛ ❝ã
∃
˜
ξ ∈ C
∗
\{0} : inf
y∈∆

˜
ξ, F (x)(y − x) ≥ sup
v∈−intC

˜
ξ, v,
❤❛② ∃
˜
ξ ∈ C
∗
\{0} : (
˜

ξ)
T
F (x)(y − x) ≥ 0,∀y ∈ ∆✳ ❙✉② r❛ x ∈ Sol(❱■)
˜
ξ
✳
❱× Ω = C\(−intC) ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭ F ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ τ (x) = {x ∈ ∆ :
F (x)(y − x) ∈ Ω} ❧➭ ➤ã♥❣✳ ❱× ✈❐②
Sol(❱❱■)
w
=

x∈∆
τ(x)
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✽✳
❚❛ ❝ã Sol(❱■)
tξ
= Sol(❱■)
ξ
,∀ξ ∈ C
∗
\{0},∀t > 0✳ ❉♦ ➤ã ➤Þ♥❤ ❧Ý tr➟♥ ❝ã
t❤Ó ✈✐Õt ❧➵✐ ❞➢í✐ ❞➵♥❣

ξ∈Λ∩intC
∗
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■) ⊆ Sol(❱❱■)

w
=

ξ∈Λ
Sol(❱■)
ξ
.
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✾✳
❚r♦♥❣ tr✉ê♥❣ ❤î♣ ➤➷❝ ❜✐Öt H = R
n
✈➭ C = R
n
+
t❤× t❛ ❝ã C
∗
= R
n
+
✈➭
Λ = {ξ = (ξ
1
, ..., ξ
n
) ∈ R
n
+
:
n

i=1

ξ
i
= 1}✳ ❉♦ ➤ã

ξ∈Λ∩intR
n
+
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■) ⊆ Sol(❱❱■)
w
=

ξ∈Λ
Sol(❱■)
ξ
.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✵✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❍➭♠ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ ∃α >
0,∀ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈ Λ;∀x, x

∈ ∆ t❛ ❝ã

m


i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x
2
.
❍➭♠ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ ∀ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈
Λ;∀x, x


∈ ∆ t❛ ❝ã

m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ 0.
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✷✶✳
❚❛ ❜✐Õt r➺♥❣ Sol(❱❱■) ⊆ Sol(❱❱■)
w
✳ ❚❛ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥❣❛② ❝➯ tr♦♥❣
tr➢ê♥❣ ❤î♣ F ❧➭ str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ t❤× ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ✈➱♥ ❝ã t❤Ó
❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳ ❚r♦♥❣ ✈Ý ❞ô ❞➢í✐ ➤➞② t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ➤✐Ò✉ ♥➭② ✈➭ Sol(❱❱■) ❧➭ t❐♣
❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝ñ❛ Sol(❱❱■)
w

✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷✷✳ ●✐➯ sö H = R
2
, ∆ = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: x
1
≥ 0}, C = R
2
+
✈➭ F = (F
1
, F
2
) tr♦♥❣ ➤ã F
1
(x) = (x
1
− 1, x
2
), F
2
(x) = (
1
2
x

1
, x
2
− 1) ✳
❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ tr➟♥✱ ❞Ô t❤✃② r➺♥❣ F ❧➭ str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✱ C
∗
=
C = R
2
+
✳ ❉♦ ➤ã ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ Λ = {(ξ
1
, ξ
2
) ∈ R
2
+
: ξ
1
+ ξ
2
= 1} ❧➭ ❝➡ së
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ C
∗
✳
◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ∀ξ ∈ Λ, ¯x ∈ Sol(❱■)
ξ
⇔ ξ
1
F 1(¯x) + ξ

2
F
2
(¯x) ∈ −N
∆
(¯x)✳
➜Ó ý r➺♥❣ N
∆
(¯x) = 0 ♥Õ✉ ¯x ∈ int∆ ✈➭ N
∆
(¯x) = {(z
1
, z
2
) : z
1
≤ 0, z
2
= 0}
♥Õ✉ ¯x ∈ ∂∆✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ❝❤♦ t❛
Sol(❱❱■)
w
= {¯x = (¯x
1
, ¯x
2
) ∈ K : ¯x
2
= 2 +
2

¯x
1
− 2
, 0 ≤ ¯x
1
≤ 1},
✈➭
Sol(❱❱■) = {¯x = (¯x
1
, ¯x
2
) ∈ K : ¯x
2
= 2 +
2
¯x
1
− 2
, 0 < ¯x
1
< 1}.
▲✃② ˜x = (0, 1) ∈ Sol(❱❱■)
w
✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ ∆
(F
1
(˜x), y − ˜x,F
1
(˜x), y − ˜x) = (−y
1

+ y
2
− 1, 0) = R × {0}.
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ế ọ (y
1
, y
2
) = (0, 0) F (x)(y x) = (1, 0) R
2
+

ó x / Sol() tự t s r

x = (1, 0) / Sol()
ị ĩ
H ọ ột tể ồ t ế int = x = x

:
{x
t
= (1 t)x + tx

: t (0, 1)} int
ị í ớ t ột ề ệ ủ ể Sol() = Sol()
w

ị ý
sử rt tự H ột tể ồ t C R

m
ó ồ ó ó tr rỗ ớ ỗ x t tử
tế tí : H R
m
ị ở v F (x)v t ó
Sol() = Sol()
w

ứ sử r
Sol() = Sol()
w
y Sol()
w
\Sol().

y = Sol() z = y, z : F (y)(z y) C\{0}.
tể ồ t t (0, 1) :
t
= (1 t)y + tz int ừ
s r
F (y)(
t
y) C\{0}.
> 0 s

B(
t
, ) tr ó

B(

t
, ) ì ó t

t
í ớ ọ x t tử tế tí : H R
m
ị ở
v F (x)v t ó ở

B(
t
, ) y ột
ủ
t
y F (y)(

B(
t
, ) y) := {F (y)(x y) : x

B(
t
, )} ột
ủ à
t
:= F (y)(
t
y)
F (y)(

B(
t
, ) y) t ở > 0 s

B(à
t
, ) F (y)(

B(
t
, ) y).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
t ì intC = t ó

B(à
t
, )intC = ề ứ
tỏ r x

B(
t
, ) s F (y)(x y) intC\{0} t
í t ủ t ệ ủ t t tứ ế
é t
r ú t sẽ ỉ r r ế F str t tì
Sol() Sol()
w
t t ờ ế F t
tì Sol()

w
t t ố ớ t ế sử ụ í ệ
tr ụ
ị ĩ
sử X ột t
X ợ ọ t ế X tể ể ễ ợ ớ ợ
ủ t ở tự sự rờ ủ ó
X ợ ọ t ờ ế x, y X tồ t tụ
: [0, 1] X s (0) = x, (1) = y
ợ ọ rút ợ ế tồ t tụ : X ì [0, 1] X
ột ể a X s x X t ó (x, 0) = x, (x, 1) = a
ị ĩ
trị G : X Y ợ ọ ó tr X ế ồ tị ủ G tứ
{(x, y) X ì Y : y G(x)} ột t ó tr X ì Y
ị ĩ
trị G : X Y ợ ọ ử tụ tr tr X ế ớ
ọ a X ớ ọ t ở t G(a) tì tồ t ột
U ủ a s G(a

) ớ ọ a

U
ổ ề

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ế trị G : X Y ó Y t tì G ử
tụ tr tr X
ị ý tr
sử X, Y t G : X Y trị ế
ề ệ s t

X t
ớ ọ x X t G(x) rỗ t
ử tụ tr tr X
tì G(X) =

xX
G(x) t
ị ĩ
sử M R
m
, N R
l
t rỗ f : R
n
ì M R
n

trị é t g : N R
n
trị ớ t trị ồ ó
t tì ể x g() s
f(x, ), y x 0,y g(),
ợ ọ t t tứ ế ụ tộ t số
(, ) M ì N ợ í ệ
(,)

ớ ỗ

N,x g(

) g ọ st t (

, x) ế
tồ t ột V ủ

ột W ủ x ột số k > 0 s
,

N V t ó
g() W g(

) + k

B,
tr ó B ì ị ó tr R
n

ế tồ t ột ồ ó X ủ x ột U ủ à
số p > 0 s
f(x

, à

)f(x, à) p(x

x+à

à), à, à

MU;x, x

X
tì f ợ ọ st ị t (x, à)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✸✶✳
●✐➯ sö
¯
∆ ⊂ g(
¯
λ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ∀x ∈
¯
∆ ➳♥❤ ①➵ g ❧➭ ❣✐➯ ▲✐♣s❝❤✐t③
t➵✐ (
¯
λ, x)✳ ❑❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè k > 0 ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ V ❝ñ❛
¯
λ ❝ã tÝ♥❤
❝❤✃t ✈í✐ ♠ç✐ x ∈
¯
∆ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ W ❝ñ❛ x s❛♦ ❝❤♦ ∀λ, λ

∈ N ∩ V t❤×
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ

) + kλ − λ

B.
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✸✷✳
❳Ðt ❝➷♣ t❤❛♠ sè (¯µ,

¯
λ) ∈ M × N✳ ●✐➯ sö ❝ã ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ X ❝ñ❛
x ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ U ❝ñ❛ ¯µ ✈➭ ❤❛✐ ❤➺♥❣ sè p > α > 0 s❛♦ ❝❤♦
f(x

, µ

)−f(x, µ) ≤ p(x

−x+µ

−µ), ∀µ, µ

∈ M∩U;∀x, x

∈ X;
✭✶✳✶✾✮
f(x

, µ)−f(x, µ), x

−x ≥ αx

−x
2
, ∀µ ∈ M∩U;∀x, x

∈ X, ✭✶✳✷✵✮
❑❤✐ ➤ã✱ ∀θ ∈ (0,
α

p
2
) tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
˜
U ❝ñ❛ ¯µ ✈➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥
˜
V ❝ñ❛
¯
λ
s❛♦ ❝❤♦✿
✐✮ ∀(µ, λ) ∈ (M ∩
˜
U)× (N ∩
˜
V )✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■
(µ,λ)
❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t
tr➟♥ X✳
✐✐✮ ∀µ, µ

∈ M ∩
˜
U;∀λ, λ

∈ N ∩
˜
V t❛ ❝ã
x(µ

, λ


) − x(µ, λ) ≤
1
1 − β
(θpµ

− µ + 2k(λ

− λ)
1
2
),
tr♦♥❣ ➤ã β = (1 − θα)
1
2
✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✸✳
●✐➯ sö tå♥ t➵✐ α > 0 ➤Ó ♠➭ ∀ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈ Λ;∀x, x

∈ ∆ t❛ ❝ã

m

i=1
ξ
i

F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x
2
,
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè p > 0 s❛♦ ❝❤♦ ∀i = 1, 2, ..., m;∀x, x

∈ ∆ t❛ ❝ã
F
i
(x

) − F
i

(x) ≤ px

− x.
❑❤✐ ✃② Sol(❱❱■) = ∅ ✈➭ Sol(❱❱■)
w
= ∅ ✈➭
Ω =

ξ∈Λ∩intC
∗
Sol(❱■)
ξ
⊆ Sol(❱❱■) ⊆ Sol(❱❱■)
w
=

ξ∈Λ
Sol(❱■)
ξ
= clΩ.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ ♠ç✐ ξ = (ξ
1
, ..., ξ
m
) ∈ Λ t❛ ➤➷t f(x, ξ) :=
m

i=1
ξ
i

F
i
(x).
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■
ξ
✿ ❚×♠ x ∈ ∆ s❛♦ ❝❤♦✿ f(x, ξ), y − x ≥ 0,∀y ∈ ∆.
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã

m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x

2
,
❤❛② t❛ ❝ã
f(x

, ξ) − f(x, ξ), x

− x ≥ αx

− x
2
, ✭✶✳✷✶✮
✈➭
f(x

, ξ) − f(x, ξ) ≤ p
√
mξx

− x. ✭✶✳✷✷✮
▼➷t ❦❤➳❝ ✈í✐ ♠ç✐ θ ∈ [0,
α
mp
2
ξ
2
]✱ x ∈ Sol(❱■)
ξ
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x ❧➭ ➤✐Ó♠
❝è ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ x → P

∆
(x − θf(x, ξ)), x ∈ ∆✳ ❚r♦♥❣ ➤ã P
∆
(.) ❧➭ ♣❤Ð♣
❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ tr➟♥ ∆ ✳
❉♦ P
∆
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ✈➭ ❦Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✶✮✱ ✭✶✳✷✷✮ t❛ ❝ã
P
∆
(x

− θf(x

, ξ)) − P
∆
(x − θf(x, ξ))
2
≤ (x

− θf(x

, ξ)) − (x − θf(x, ξ))
2
≤ x

− x
2
− 2θf(x


, ξ) − f(x, ξ), x

− x + θ
2
f(x

, ξ) − f(x, ξ)
2
≤ (1 − θα)x

− x
2
, ∀x, x

∈ ∆.
❱× θ ≤
α
mp
2
ξ
2
, α < m ✈➭ p ≥ 1 ♥➟♥ θα < 1✳ ❙✉② r❛ P
∆
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦✳
❚❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✭H ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➬② ➤ñ✮
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tì x P

(x f(x, )) ó t ột ể t ộ í ệ

x() tr ó tì x() ệ t ủ t

r
Sol(), Sol()
w
rỗ
ò ứ cl =


Sol()

t F
i
tụ tr Sol()
w
t ó ì


Sol()

t ó
cl


Sol()


ớ ỗ ể ố ị ét M := , à :=

, g() = ừ

t ó f(x, ) st ị t y,

tr ó y := x(

) ó
ụ ổ ề t ó tể tì ợ ột

U ủ

ột số
k


> 0 s
x(

) x() k




,



U.
ế

intC

tì ể x(

) cl sử r

\intC


t ó tể ọ ợ ột
(m)
intC

:
(m)


ết ợ ớ
t ợ
x(
(m)
) x(

) k



(m)
0.
ó x(

) cl ị í ợ ứ t

ị ý
sử tồ t > 0 ể = (
1
, ...,
m
) t ó
m

i=1

i
F
i
(x

)
m

i=1

i
F
i
(x), x

x x

x
2
ột số p > 0 s i =

1, 2, ..., m;x, x

t ó F
i
(x

) F
i
(x) px

x.

Sol()
w
t t t ờ
Sol() t ị t ờ
ứ ị í t ó Sol()
w
=


Sol()

tr
ó sở ồ t ủ C

ớ ỗ t ứ ị

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
í tr tì t

ó t ệ x() tr t t ó
x(.) : H tụ ì t t rút ợ
s r Sol()
w
t t t ờ
Sol()
w
t t Sol() t ị t =
{ : x() Sol()} ì x(.) tụ ể ứ
tí t ờ ủ Sol() t ỉ ứ t rút
ợ t ớ ỗ a ố ị : ì [0, 1] ị
ĩ ở (, t) = (1 t) + ta tụ t ị ĩ
ó t rút ợ
ị ĩ
ột số T : H ợ ọ tụ tr ữ
ề ế ớ ọ ữ ề M H
ế T : M H tụ ế
ổ ề
ét t ớ tết F t F
i
tụ tr
ữ ề ó tí t s ú
ớ ỗ tì Sol()

t ồ ó ế ế t ị
tì Sol()

=
{(, y) ì : y Sol()

} t ó tr
tí ì tr ó t ủ t s ủ H
ứ F t = (
1
, ...,
m
) ;x, x


t ó
m

i=1

i
F
i
(x

)
m

i=1

i
F
i
(x), x

x 0 ì t tử
m

i=1

i
F
i
(.)
t ổ ề t t ó
y Sol()





y

m

i=1

i
F
i
(x), x y 0,x

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❱× t❐♣ t✃t ❝➯ y ∈ ∆ : 
m


i=1
ξ
i
F
i
(x), x− y ≥ 0 ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ➤ã♥❣ ②Õ✉ ♥➟♥
Sol(❱■)
ξ
❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ➤ã♥❣ ②Õ✉✳ ◆Õ✉ ∆ ❧➭ t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥ t❤× Sol(❱■)
ξ
= ∅✳
✐✐✮ ▲✃② ♠ét ❞➲② ❜✃t ❦× ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö {(ξ
(k)
, y
(k)
)} ⊂ Λ× ∆ s❛♦ ❝❤♦ ξ
(k)
→
¯
ξ ∈ Λ✱
¯
ξ = (
¯
ξ
1
, ...,
¯
ξ
m

) ✈➭ {y
(k)
} ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ y ∈ ∆✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
y ∈ Sol(❱■)
¯
ξ
✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ç✐ k t❛ ❝ã y
(k)
∈ Sol(❱■)
ξ
(k)
✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò
▼✐♥t② t❛ ❝ã ∀x ∈ ∆

m

i=1
ξ
(k)
i
F
i
(x), x − y
(k)
 ≥ 0. ✭✶✳✷✹✮
❈è ➤Þ♥❤ x ∈ ∆ t❛ ❝ã

m

i=1

ξ
(k)
i
F
i
(x), x−y
(k)
 = 
m

i=1
(ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x), x−y
(k)
+
m

i=1
¯
ξ
i
F

i
(x), x−y
(k)
.
✭✶✳✷✺✮
❱× y
(k)
❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ y ♥➟♥ y
(k)
 ❜Þ ❝❤➷♥✳
❚❛ ❧➵✐ ❝ã
| 
m

i=1
(ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x), x − y
(k)
 |≤ 
m

i=1

(ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x)x − y
(k)
.
≤
m

i=1
| ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
| F
i
(x)(x + y
(k)
). ✭✶✳✷✻✮
❉♦ ξ
(k)

→
¯
ξ ✈➭ ❦Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✹✮✱ ✭✶✳✷✺✮✱ ✭✶✳✷✻✮ t❛ ➤➢î❝

m

i=1
¯
ξ
i
F
i
(x), x − y ≥ 0,∀x ∈ ∆.
❍➡♥ ♥÷❛
m

i=1
¯
ξ
i
F
i
(.) ❧➭ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥
❝❤✐Ò✉ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ▼✐♥t② s✉② r❛ y ∈ Sol(❱■)
¯
ξ
✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✼✳
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên