Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 7

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản của
chương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình Toán 7. Trong quá
trình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải dạng toán
về tỉ lệ thức. Dạng toán này xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Toán
7. Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài
tập thì chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạy
phần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít khó khăn để biên soạn cho
hết nội dung của chủ đề. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu
thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm về nội dung kiến
thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh.
Đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp học
sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú trong
học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát đồng
thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập.
Trường THCS Xuân Vinh là trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn còn hạn chế
so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và
dự thi học sinh giỏi cấp huyện. Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏi môn Toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán
và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và
viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh đại trà hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thức
một cách linh hoạt vào giải bài tập;
Giúp học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiều cách giải để
không còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bài tập này;
Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạy
được tốt hơn về dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có tính tích cực, tự

giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say
mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương
pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn học sinh sử dụng tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán trong chương trình Đại số 7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa,
sách bài tập, sách tham khảo, tài liệu trên mạng…
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp đối chứng;
- Phương pháp thực nghiệm;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm…
1


2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Kiến thức cơ bản
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c
 . ( b 0; d 0 )
b d

Ta còn viết:
a : b = c : d.
trong đó a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ; b và c là các số hạng trong
hay trung tỉ
b. Tính chất của tỉ lệ thức:

Tính chất 1: Nếu

a c
 thì a.d = b.c
b d

Tính chất 2: (Đảo lại)
Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d
b a c a
Như vậy, với a, b, c, d  0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể

suy ra các đẳng thức còn lại:

a
c

b
d

a.d = b.c

a b

c d

d c


b a

d b

c a

c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c ac a c
 suy ra
 

, (b ≠ ± d)
b d
b d bd b d
a c e
Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau b  d  f ta suy ra:
a c e
ace
a ce
  

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d
f bd  f b d  f
an
a1 a 2 a3
Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n �2): b  b  b ...  b thì
1
2

3
n
a
a  a 2  a3  ...  a n a1  a 2  a3  ...  a n
a1 a 2 a3
  ...  n  1

b1 b2 b3
bn
b1  b2  b3  ...  bn
b1  b2  b3  ...  bn

Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
d. Nâng cao.
a

c

e

k ak ck e

1
2
3
1. Nếu b  d  f  k thì k b  k d  k f  k
1
2

3

a c
a �b c �d a b c d
 =>


;
(Tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
b d
b
d
a
c
a c
a 2 c 2 ac
3. Nếu   2  2 
b d
bd
b
d
3
3
a c e
a
c
e3
a.c.e







4. Nếu
3
3
3
b d
f
b.d . f
b
d
f

2. Từ

2


2.1.2. Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c 

x y z
 
a b c

Ta còn viết x : y : z = a : b : c
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu
“ - ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta
một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những

tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó
có dạng thuận lợi để sử dụng các dữ kiện của bài toán.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Qua quá trình công tác giảng dạy và bồi dưỡng phần kiến thức về tỉ lệ thức,
của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy:
- Học sinh ( ngay cả giáo viên) gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán. Các
em hay sai trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”;
giữa “=” với dấu “+”, sử dụng thiếu dữ kiện bài toán hoặc vận dụng tính chất
một cách tương tự ...
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, lười suy nghĩ, lười tư duy dẫn đến
mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm tìm tòi, phân dạng để tìm hiểu chuyên
sâu từng dạng toán;
- Học sinh sau khi đi tìm được một lời giải đúng thì các em hài lòng và dừng lại
mà không đi tìm cách giải khác, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;
- Tài liệu viết về các dạng toán này còn ít, mỗi cuốn chỉ đề cập đến một dạng
nhỏ và chưa đưa ra phương pháp giải cụ thể hoặc phương pháp giải đơn giản
chưa đưa ra được nhiều cách giải để phát triển bài toán…
Trước thực trạng trên đòi hỏi giáo viên phải có các giải pháp trong phương
pháp dạy học sao cho phù hợp. Năm học 2016 – 2017 tôi được giao nhiệm vụ
dạy Toán 7. Khối 7 có 02 lớp với 56 học sinh. Giữa học kì I của năm học, tôi ra
đề khảo sát học sinh như sau: Thời gian 45 phút
Bài 1 (3 điểm): Tìm x, y biết
x y
 và x + y = 16.
3 5
x y
c.  và 2x – 3y = -12
3 4

a.

b. 3x = 7y và x – y = 20

Bài 2 (3 điểm): Tìm x , y, z biết
a.

x y z
  và x + 2y – z = 10
2 4 5

b.

x y y z
 ;  và 2x + 3y –z = 186
3 4 5 7

Bài 3 (3 điểm): Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ. Trị giá mỗi
loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 4 (1 điểm): Cho ba tỉ số bằng nhau:

a
b
c
;
;
.
b c c a a b

Tính giá trị mỗi tỉ số đó?

3


Kt qu ban u khi cha ỏp dung sỏng kin kinh nghim ny:
TSHS
56

Gioỷi

Khaự

SL

%

SL

3

5,4

8

%
14,
3

Trung

bỡnh
SL
%
48,
27
1

Yeỏu
SL
15

%
26,
8

Keựm
SL

%

3

5,4

ng trc thc trng trờn tụi a ra mt s dng toỏn v cỏch gii giỳp cỏc
em khụng cũn sai sút khi trỡnh by li gii. Cỏc dng toỏn ú l:
1. Chng minh ng thc t mt t l thc cho trc
2. Tỡm cỏc thnh phn cha bit trong t l thc hoc dóy t s bng nhau.
3. Toỏn chia t l.
4. Tớnh giỏ tr ca biu thc

2.3. Gii phap va t chc thc hin
hc sinh vn dung kin thc gii bi tp mt cỏch chớnh xỏc, nhanh
nht, ngn nht giỏo viờn cn giỳp cỏc em xỏc nh kin thc, phng phỏp c
bn cn dựng gii tng dng toỏn cu th. Mun khc sõu kin thc cho hc
sinh, giỏo viờn cn chn nhng bi tp cú tớnh cht c bn v mang tớnh phỏt
trin cỏc kin thc mi khớa cnh, hng dn hc sinh gii cỏc bi tp theo
nhiu cỏch khỏc nhau. Qua ú giỳp hc sinh va nm c kin thc c bn va
phỏt trin c t duy, sỏng to linh hot khi lm bi, to hng thỳ v yờu thớch
mụn hc.
2.3.1. Dang 1: Chng minh ng thc t mt t l thc cho trc.
Phng phap gii: Tỡm cỏch bin i t l thc ban u tr v ng
thc cn chng minh hoc cú th t t s cho trc bng mt hng s k no ú
ri bin i cỏc v ca ng thc cn chng minh theo hng s k.
Bai 1.1 (Bi 102a/ tr50/ SGK):
Cho

a c
a b c d
(a, b, c, d 0, a b, c d ). Chng minh rng:

.
b d
b
d

Hng dn: i vi bi toỏn ny ta cú th bin i t l thc cho trc
tr thnh ng thc cn chng minh hoc t

a c
k ri bin i hai v ca

b d

ng thc cn chng minh theo k.
- Giỏo viờn trỡnh by k cho hc sinh bn cỏch gii sau:
Gii:
Cỏch 1:

a c
a b a b
a b c d



(pcm)
b d
c d cd
b
d

Cỏch 2: ( cỏch ny c ỏp dung vo nhiu bi toỏn dng ny)
a c
k suy ra a bk ; c dk
b d
a b bk b b(k 1)


k 1 (1)
Khi ú ta c:
b
b

b
c d dk d d (k 1)


k 1 (2)
d
d
d
a b c d

T (1) v (2) suy ra :
(pcm)
b
d

t:

4


a c
  ad = bc  ad + bd = bc + bd  ( a + b)d = ( c + d)b
b d
a b c d


(đpcm)
b
d
a c

a
c
a b c d

Cách 4:    1   1 
(đpcm)
b d
b
d
b
d
a c
Giáo viên kết luận: Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức dạng:  , ta
b d

Cách 3:

thường dùng hai phương pháp chính:
Phương pháp 1: Chứng tỏ tích ad bằng tích bc
Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị. Nếu trong đề bài đã cho
trước một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho
bằng k, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số trong tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách
2) cũng có thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính
chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức… để biến đổi tỉ lệ thức đã cho
đến tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 1, 3)
Kinh nghiệm khi dạy bài tập dạng 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên
để học sinh được biết, tuy nhiên giáo viên nên cho học sinh nhận xét từng cách
giải, phân tích cách giải, chọn cách giải tối ưu cho bài toán và chọn cách giải
phù hợp với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1.
Giáo viên kết luận: Cách 2 có thể áp dụng được cho nhiều bài toán

chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Bài 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
a c
ab cd
 (a  b 0, c  d 0) , ta có thể suy ra tỉ lệ thức

.
b d
a b c d

Giáo viên định hướng cho học sinh làm theo cách 1, cách 2 và cách 4 của bài 1.1
Giải:
a c
 
b d
a c
Cách 2: Đặt   k
b d
a  b bk  b
Khi đó: a  b  bk  b
c  d dk  d
Và c  d  dk  d

Cách 1: Từ

a b a b a  b
a b c d
 




c d cd c d
a b c d

suy ra a  bk ; c  dk

b.(k  1) k  1

(1)
b.(k  1) k  1
d .(k  1) k  1


(2)
d .(k  1) k  1
a b c d

Từ (1) và (2) suy ra:
.
a b c d
a c
a
c
a b c d
a b b


 (1)
Cách 3: Ta có:    1   1 
b d

b
d
b
d
cd d
a c
a
c
a b c d
a b b
   1   1


 (2)
b d
b
d
b
d
c d d
a b a  b
a b c d



Từ (1) và (2) =>
(đpcm)
cd c d
a b c d


5


Bài 1.3 (Bài 84/ Tr 14/ SBT):
Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc (với a b, a c) thì:
c  a  c
b) 
b  b  a 2
2

ab ca

a)
a b c a

a
b

c
a

Hướng dẫn: Từ a2 = bc ta suy ra được tỉ lệ thức nào? (  hoặc
a
c

a b
 )
c a

b
a

Ta nên sử dụng tỉ lệ thức nào để chứng minh? (  )
Giải:
a) Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải theo các cách sau:
a
b

c
a c
Đặt   k � a  bk , c  ak
b a
a
a  b bk  b b  k  1 k  1



,  b �0  (1)
a  b bk  b b  k  1 k  1

Cách 1: Từ a 2  bc �  .
Khi đó:

c  a ak  a a  k  1 k  1



 a �0  , (2)
c  a ak  a a  k  1 k  1

ab ca

Từ (1) và (2) suy ra:
(đpcm)
a b c  a
a  b a.( a  b) a 2  ab bc  ab



Cách 2: Ta có
(do a2 = bc)
a  b a.( a  b) a 2  ab bc  ab
b.(c  a) c  a
= b.(c  a)  c  a ( do a, b 0)
ab ca

Do đó:
(đpcm)
a b c b
a b a b a  b
a b c a



Cách 3: Từ a2 = bc   
(đpcm)
c a ca c a
a b c a
ab ca


Nhận xét: Ngược lại từ
ta cũng suy ra được a2 = bc (Bài 60/ Tr 35/
a b c b

Sách Tuyển chọn 400 bài tập Toán 7 - Phan Văn Đức)
Từ đó ta có bài toán: Cho

ab ca

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác
a b cb

0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức.
a c a  c �a � �c � �a  c �  a  c 
� � � � � �
b) Từ a  bc �  
(1)
�
b a b  a �b � �a � �b  a �  b  a  2
2

2

2

2

2

2

2
bc c
�a � a
Ta lại có � � 2  2  (vì a 2  bc ) (2).
b
b
�b � b

c  a  c
Từ (1) và (2) suy ra: 
(đpcm)
b  b  a 2
2

Bài 1.4 (Bài 54/ Tr 21/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):
Chứng minh rằng nếu

a c
 thì:
b d

6


a)

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

b)

7 a 2  3ab 7c2  3cd

11a 2  8b 2 11c 2  8d 2

Hướng dẫn: - Ở câu a làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
- Ở câu b từ

a c
 làm thế nào để xuất hiện a2, b2?
b d

- Tính chất nâng cao của dãy tỉ số bằng nhau cho ta biết gì?
Giải:
a) Cách 1: Từ:
Cách 2: Đặt

a c
a b
5a 3b 5a  3b 5a  3b
5a  3b 5c  3d
   





.

b d
c d
5c 3d 5c  3d 5c  3d
5a  3b 5c  3d

a c
 k suy ra: a = kb; c = kd.
b d
5a  3b

5kb  3b

b.(5k  3)

5k  3

Khi đó: 5a  3b  5kb  3b  b.(5k  3)  5k  3 (1)
5c  3d 5kd  3d d .(5k  3) 5k  3



(2)
5c  3d 5kd  3d d .(5k  3) 5k  3

Từ (1) và (2) suy ra:

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

b) Cách 1:
a c
a b
a 2 b 2 ab
7a 2 8b 2 3ab 11a 2 7 a 2  3ab 11a 2  8b 2
    2  2  





b d
c d
cd
c
d
7c 2 8d 2 3cd 11c 2 7c 2  3cd 11c 2  8d 2
7a 2  3ab 11a 2  8b 2

Vậy: 2
(đpcm)
7c  3cd 11c 2  8d 2

Cách 2: Đặt
Khi đó:

a c
 k suy ra: a = kb; c = kd.
b d

7a 2  3ab 7(kb) 2  3kb.b 7k 2 b 2  3kb 2 b 2 .(7k 2  3k ) 7k 2  3k


 2

(1)
11a 2  8b 2 11(kb) 2  8b 2
11k 2 b 2  8b 2
b .(11k 2  8) 11k 2  8
7c 2  3cd
7(kd ) 2  3kd .d 7 k 2 d 2  3kd 2 d 2 .( 7 k 2  3k ) 7k 2  3k


 2

(2)
11c 2  8d 2 11(kd ) 2  8d 2
11k 2 d 2  8d 2
d .(11k 2  8) 11k 2  8

7a 2  3ab 11a 2  8b 2

Từ (1) và (2) suy ra: 2
.
7c  3cd 11c 2  8d 2

Nhận xét: Trong câu a và b thì cách 1 ngắn gọn hơn tuy nhiên khó hơn, còn
cách 2 tuy dài hơn nhưng dễ hơn.
Bài 1.5: (Nguồn internet, hệ quả của bài tập 55/ tr21/ Sách nâng cao và các
chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2)

(đk: b;d ≠ 0) thì

a c

b d

7


Hướng dẫn: Ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức, từ các đẳng thức ta phải
chứng minh tỉ lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như
sau:
Muốn có

a c
  a.d = b.c � ………….  (a + c)d = c(b + d). Căn cứ vào
b d

(1) và (2) ta đưa cả hai vế của (1) cùng bằng 2bd. Vậy từ a + c = 2b ta nhân cả
hai vế với d. Ta có thể trình bày bài giải như sau:
Giải:
Ta có: a  c  2b �  a  c  d  2bd  3
Từ (2) và (3) suy ra: c( b+ d) = ( a+c)d  cb + cd = ad + cd
 cb = ad �

a c
 (đpcm)
b d

Bài 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):

Biết:

bz  cy cx  az ay  bx
x y z


(với a, b, c  0) Chứng minh rằng:  
a
b
c
a b c

Hướng dẫn: Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận ngược:
Để có

x y z
   ay = bx, cx = az, bz = cy  ay – bx =0, cx – az = 0, bz – cy=0
a b c

Giải:
bz  cy cx  az ay  bx abz  acy bcx  abz acy  bcx





a
b
c
a2

b2
c2
abz  acy  bcx  abz  acy  bcx
0
 2
0
=
2
2
2
a b c
a  b2  c2
 bz  cy
y z
 a 0
 b c
bz

cy

0
bz

cy




 cx  az



x z
0   cx  az 0   cx az   
Suy ra: 
 b
 ay  bx 0
 ay bx
a c


 ay  bx
y x
0
 c
 b a


x y z
Suy ra   (đpcm).
a b c

Ta có:

Bài 1.7: (Nguồn internet)
2004
2004
2004
2004
Cho:  2 x1  3 y1    2 x2  3 y2    2 x3  3 y3   ...   2 x2005  3 y2005  �0
x1  x2  x3  ...  x2005

Chứng minh rằng: y  y  y  ...  y  1,5
1
2
3
2005
Hướng dẫn:
- Có nhận xét gì về  2 x1  3 y1  2004 ? (  2 x1  3 y1  2004 0 )
2004
- Khi đó:  2 x1  3 y1  2004 +  2 x 2  3 y 2  2004 +. . .+  2 x2005  3 y 2005  như thế nào? ( 0)
2004
- Từ đề bài suy ra điều gì:  2 x1  3 y1  2004 +  2 x 2  3 y 2  2004 +. . .+  2 x2005  3 y 2005  =0
- Vận dụng bài 1.6 giải tiếp bài toán
Giải:
2004
Ta có:  2 x1  3 y1  2004 0 ;  2 x 2  3 y 2  2004 0 ;…  2 x 2005  3 y 2005  0
2004
0
do đó:  2 x1  3 y1  2004 +  2 x 2  3 y 2  2004 +. . .+  2 x2005  3 y 2005 
8


0
Mà:  2 x1  3 y1  2004 +  2 x 2  3 y 2  2004 +. . .+  2 x2005  3 y 2005 
2004
Nên:  2 x1  3 y1  2004 +  2 x 2  3 y 2  2004 +. . .+  2 x2005  3 y 2005 
=0
2004
Hay:  2 x1  3 y1  2004 0 ;  2 x 2  3 y 2  2004 0 ;…;  2 x 2005  3 y 2005  0 ;
Suy ra: 2 x1  3 y1 0 ; 2 x2  3 y 2 0 ;…; 2 x2005  3 y 2005 0

 2 x1 3 y1 ; 2 x 2 3 y 2 ;…; 2 x 2005 3 y 2005
2004

�

x
x1 x2 x3
3


 ...  2005 
y1 y2 y3
y2005 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
x  x 2  x3  ...  x 2005 3
x1 x 2 x3
  ...  2005  1
 1,5 (đpcm).
y1 y 2 y 3
y 2005 y1  y 2  y 3  ...  y 2005 2

Nhận xét: Từ bài 1.7 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như sau:
2k
Cho:  ax1  by1  2 k +  ax2  by 2  2k +. . .+  axn  by n  0
x  x  ...  x

b

1
2
n
Chứng minh rằng: y  y  ...  y  a
1
2
n

2.3.2. Dạng 2: Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số
bằng nhau.
Phương pháp giải: Đối với từng bài thì có phương pháp giải riêng tuy
nhiên chủ yếu dùng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ.
Phương pháp 3: Dùng phương pháp thế.
Bài 2.1 (Bài 74/ Tr14/ SBT): Tìm hai số x, y biết:

x y
 và x + y = -21.
2 5

Hướng dẫn: Với bài này học sinh chỉ cần vận dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn,
trình bày cụ thể và nêu những chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ở
mục thực trạng của vấn đề. Ví dụ:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x  y  21
 


 3 .
2 5 25
7

Điều này là thiếu sót vì nếu chỉ áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x y xy
 
. Cần có thêm điều kiện x + y = -21 thì ta mới
2 5 25
x y x  y  21

 3 .
được  
2 5 25
7

chỉ cho ta đến

Giải:
Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y = -21 ta có:
x y x  y  21
 

 3
2 5 25
7
x
y
 3  y = -3.5 = -15
Suy ra :  3  x = -3.2 = - 6 ;

2
5

Vậy x = -6 ; y = -15
Lưu ý: Ngoài cách giải trên thì giáo viên còn có thể hướng dẫn học sinh theo
cách sau:
9


x y
 k , suy ra: x = 2k, y = 5k
2 5
Theo giả thiết: x + y = -21 nên: 2k + 5k = -21  7k = -21 hay k = -3

Cách 2: Đặt ẩn phụ: Đặt

Do đó: x = - 6 và y = -15
x y
2y
  x
2 5
5
7y
mà x + y = - 21 suy ra:
= -21 nên y = -15
5

Cách 3: Phương pháp thế: Từ:

Do đó: x = - 6.

Nhận xét: Trong ba cách giải trên thì cách 1, 2 hay dùng nhất còn cách 3 thì ít
sử dụng vì kĩ năng biến đổi theo phương pháp thế của học sinh lớp 7 còn hạn
chế.
Bài 2.2 (Bài 61/ Tr31/ SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng:

x y y z
 ; 
2 3 4 5

và x + y – z = 10
Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa có một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất
hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thế nào? Ta thấy ở tỉ số

y
y
và có hai số
3
4

hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (ta
tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy
đồng hai tỉ số này.
Giải:
x y
x y
y z
y
z
  
 


(1) ;
2 3
8 12
4 5
12 15
x y
z
Từ (1) và (2) suy ra:   .
8 12 15

Ta có:

(2)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x+ y - z = 10 ta có:
x y
z
x  y  z 10
  
 2
8 12 15 8  12  15 5

Suy ra: x = 8.2 = 16 ;
y = 12.2 = 24 ;
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z =30
Bài 2.3 (Bài 80/ Tr 14/ SBT):
Tìm a, b, c biết rằng:

z = 15.2 = 30

a b c
  ; và a + 2b - 3c = - 20
2 3 4

Hướng dẫn: - Làm thế nào để xuất hiện tổng: a + 2b - 3c = - 20
Giải:
Ta có:

a b c
a 2b 3c
  =  
2 3 4
2 6 12

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + 2b - 3c = - 20 ta được:
a 2b 3c a  2b  3c  20
  

5
2 6 12
2  6  12
 4

Suy ra: a = 5.2 = 10; b = 5.3 = 15; c = 5.4 = 20
Vậy: a = 10 ; b = 15 ; c = 20
Bài 2.4 (Bài 21/ Tr 20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7): Tìm x, y, z biết:
a)

x y y z

 ;  và 2x – 3y + z = 6
3 4 3 5
10


b)

2x 3y 4z
 
và x + y +z = 49
3
4
5

Hướng dẫn: - Câu a là sự kết hợp của bài 2.2 và bài 2.3
- Câu b, ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống
hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x; 3y; 4z, làm thế nào để các số hạng
trên chỉ còn là x; y; z. Ta sẽ tìm BCNN (2; 3; 4) = 12 và khử các hệ số của tử để
các số hạng trên chỉ còn là x; y; z
Giải:
x y
x
y
y z
y
z
  
 

(1) ;

3 4
9 12
3 5
12 20
x y
z
2x 3y
z
Từ (1) và (2) suy ra:      .
9 12 20 18 36 20

a) Ta có:

(2)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và 2x - 3y + z = 6 ta có:
x y
z
2x 3y
z
2x  3y  z 6
  
  
 3
9 12 20 18 36 20 18  36  20 2

Suy ra: x = 3.9 = 27;
y = 3.12 = 36;
Vậy: x = 27; y = 36; z = 60
b) Ta có:

z = 3.20 = 60

2x 3 y 4z
2x
3y
4z
x
y
z


�


 
hay
3
4
5
3.12 4.12 5.12
18 16 15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 49 ta có:

x
y
z
x yz
49

  

1
18 16 15 18  16  15 49
x
y
1  x = 18 ; *
1  y= 16 ;
Do đó:
18
16

*

z
1  z = 15
15

Vậy: x = 18; y = 16; z = 15
Nhận xét: Trong các câu a, b chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh giải bằng
cách đặt ẩn phụ .
Bài 2.5 (Bài 45/ Tr 20/ Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 - Vũ Dương Thụy):
Tìm các số a1, a2, …a9 biết

a 9
a1  1 a 2  2

...  9
và a1 + a2 + ... + a9 = 90(1)
9

8
1

Giải:
Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a1 + a2 + ... + a9 = 90 ta có:
a  9 (a1  a 2  ...  a9 )  (1  2  ...  9) 90  45
a1  1 a 2  2

...  9

=
=1
9
8
1
9  8  ...  1
45

Từ đó dễ dàng suy ra: a1 = a2 = a3 =...= a8 = a9 =10.
Nhận xét: Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi còn hướng
dẫn học sinh các cách khác, đó là:
a 9
a 9
a1  1 a 2  2
a 1
a  2

...  9
 1
 1 2

 1 ...  9
1
9
8
1
9
8
1
a  10 (a1  a 2  ...  a 9 )  (10  10  ...  10)
a  10 a 2  10
90  90
 1

...  9


0
9
8
1
9  8  ...  1
9  8  ...  1
Từ đó ta tìm a1; a2 ;...; a10 một cách dễ dàng  a1  a2  a3  ...  a9  10 

Cách 2:

Cách 3: Đặt:

a 9
a1  1 a 2  2 a3  3



...  9
k
9
8
7
1

suy ra: a1 = 9k+1; a2 = 8k +2; a3 = 7k +3;... a9 = k+ 9 rồi thế vào (1) tìm k
11


Bài 2.6 (Đề thi HSG lớp 7 Huyện Thọ Xuân năm học 2015 - 2016):
3a  2b 2c  5a 5b  3c


và a + b + c = 50
5
3
2
3a  2b 2c  5a 5b  3c


Hướng dẫn: Vận dụng bài 1.6 để biến đổi
thành tỉ lệ
5
3
2

Tìm ba số a, b, c biết

thức quen thuộc
Giải:
3a  2b 2c  5a 5b  3c 15a  10b 3c  15a 10b  6c





5
3
2
52
32
22
15a  10b  6c  15a  10b  6c
0
 2
0
=
2
2
2
5 3 2
5  32  2 2
 3a  2b
a b
0
 5

 2 3
 3a  2b 0
 3a 2b


 2c  5a


a c
0   2c  5a 0   2c 5a   
Suy ra: 
 3
 5b  3c 0
 5b 3c
2 5


 5b  3c
b c
 2 0
 3 5


a b c
Suy ra:  
2 3 5

Ta có:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + b + c = -50 ta có:

a b c a  b  c  50
  

 5
2 3 5 235
10
a
b
 5  b  5.3 = -15;
Suy ra:  5  a  5.2 = -10;
2
3

c
 5  c  5.5 = -25
5

Vậy a = -10; b = -15; c = -25.
Bài 2.7: (Nguồn internet) Tìm các số x, y, z biết
Hướng dẫn: - Cách 1: Hãy đặt

x y z
  (1) và x 2  y 2  z 2 = 747
5 7 3

x y z
  = k, tính x2, y2, z2 theo k rồi tìm k
5 7 3

- Cách 2: Làm thế nào để xuất hiện x2, y2, z2

Giải:
Cách 1: Đặt

x y z
  = k  x = 5k ; y = 7k ; z = 3k
5 7 3

Vì x2 + y2 + z2 = 747 nên 25k2 + 49k2 + 9k2 = 747
 83k 2 747  k 2 9  k 3
Với k = 3 suy ra: x = 5.3 = 15; y = 7.3 = 21; z = 3.3 = 9
Với k = -3 suy ra: x = 5.(-3) = -15; y = 7.(-3) = -21; z = 3.(-3) = -9
Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là: (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)
x y z
x2 y2 z2





Cách 2:
5 7 3
25 49 9

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x 2  y 2  z 2 = 747 ta có:
x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 747

 

9
25 49 9

25  49  9
83
Suy ra: x2 = 9.25 = 225  x = 15 hoặc x = -15

Với x = 15 thay vào (1) ta tìm được y = 21; z = 9
12


Với x = -15 thay vào (1) ta tìm được y = -21; z = -9
Lưu ý: Với dạng bài tập này học sinh thường mắc các sai lầm sau:
- Theo cách 1: Từ k2 = 9 học sinh chỉ suy ra k = 3 do đó thiếu trường hợp k = -3
- Theo cách 2: Từ x2 = 225 học sinh chỉ suy ra x = 15 do đó thiếu trường hợp
x = -15 hoặc các em hiểu sai tính chất nên vận dụng:
( Ở đây dấu = sau tỉ số

x y z x2 y2 z 2
   

5 7 3 25 49 9

z
là sai)
3

Bài 2.8 (Bài 62/ Tr31/ SGK –Toán 7 tập 1):
Tìm hai số x và y, biết rằng

x y
 và xy=10.
2 5

Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y biết

x y
 và x.y = P
a b

x y
  k suy ra: x = k.a, y = k.b.
a b
P
do đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2  k 2  . Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
ab

Đặt

Chú ý:
- Cần lưu ý cho học sinh với k 2 

P
P
thì k có hai giá trị là k 
và k 
ab
ab

P
ab

- Cần tránh sai lầm khi áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

x y xy
 
(sai)
a b ab

Giải:
x y
  k , suy ra: x = 2k, y = 5k.
2 5
Vì x.y =10 nên 2k.5k = 10  10k2 = 10  k = 1 hoặc k= -1

Cách 1: Đặt

+ Với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ Với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5.
Vậy: x = 2; y = 5 hoặc x = - 2; y = - 5
x y
x x y x
x 2 xy 10


.

.

  1
Cách 2: Từ
2 5
2 2 5 2
4 10 10

Suy ra: x2 = 4.1 = 4  x = 2 hoặc x = -2
Với x = 2  y = 10 : 2 = 5
Với x = -2  y = 10 : (-2) = -5

Lưu ý: với bài này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
- Với cách 1: Khi k2=1  k 1 ( rất nhiều học sinh chỉ suy ra k = 1)
- Với cách 2: Học sinh sai lầm khi áp dụng tương tự:

x y x. y 10
 
 1
2 5 2.5 10

hoặc từ x = 2 suy ra y = 5 dẫn đến kết luận sai bài toán.
Bài 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7):
Tìm các số x, y, z biết rằng:

x y z
  và xyz = 810
2 3 5

Hướng dẫn: Thực hiện tương tự bài 2.8
Giải:
13


x y z
  = k, suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 5k
2 3 5
Vì xyz = 810 nên 2k.3k.5k = 810  30k3 = 810  k = 3

Cách 1: Đặt

với k = 3 thì x = 2.3 = 6 ; y = 3.3 = 9 ; z = 5.3 = 15
Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15
Cách 2:

x y z
x 3 y 3 z 3 x. y.z 810
   3  3  3 

27
2 3 5
2.3.5 30
2
3
5

Suy ra : x3 = 23.27 =216 ; y3 = 33.27 = 729 ;
z3 = 53.27 = 3375
 x=6
 y=9
 z = 15
Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15
Nhận xét : Dạng toán như bài 2.8; 2.9 không khó khi ta nắm được các bước giải
và có thể mở rộng cho nhiều biến. Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trong trường
hợp số mũ của k là số chẵn thì phải xét đủ các trường hợp của k.
2.3.3. Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
Phương pháp giải
Bước 1: Biểu diễn các đại lượng cần tìm (hoặc các đại lượng liên quan) bằng

các chữ cái (gọi là ẩn) . Chú ý điều kiện và đơn vị của ẩn
Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện ràng buộc của các ẩn
Bước 3: Tìm các thành phần chưa biết của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.
Bài 3.1 (Bài 77/ Tr13/ Sách 500 bài toán chọn lọc):
Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 1020 cây. Số cây lớp 7B trồng được bằng
8
17
số cây lớp 7A trồng được, số cây lớp 7C trồng được bằng
số cây lớp 7B
9
16

trồng được. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Hướng dẫn: Nếu gọi số cây trông được của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự
là x, y, z. thì ta có điều gì? ( x + y + z = 1020, y =

8
17
x , z  y ).
9
16

Giải:
Gọi số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z
Đk: x; y; z  N * , x; y; z  1020
Theo đề bài ta có: x + y + z = 1020, y =

8
17

x, z  y
9
16

z 17
z
y
17

y nên  
(1)
y 16
17 16
16
8
y 8
y x
y
x
 (2)
Do: y = x nên    
9
x 9
8 9
16 18
x
y
z
Từ (1) và (2) suy ra:   .
18 16 17

Do: z 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 1020 ta có:
x
y
z
xyz
1020
  

20
18 16 17 18  16  17
51

Từ đây tìm được: x= 360; y = 320; z = 340 ( TMĐK)
Vậy số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 360; 320; 340 cây.
14


Bài 3.2 (Bài 64/ Tr31/ SGK): Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9;
8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh.
Tính số học sinh mỗi khối?
Hướng dẫn: giải tương tự như bài 3.2
Giải:
Gọi số học sinh khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d ( học sinh)
Đk: a, b, c, d  N*, b > 70
Theo bài ra ta có: a : b : c : d = 9 : 8 : 7 : 6 và b – d = 70
Hay

a b c d
   và b – d = 70
9 8 7 6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và b – d = 70, ta có:
a b c d b  d 70
   
 35
9 8 7 6 8 6
2

Do đó: a = 35.9 = 315; b = 35.8 = 280; c = 35.7 = 245; d = 35.6 = 210 (TM)
Vậy số học sinh của khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315; 280; 245; 210 học sinh
Bài 3.3 (Bài 120/ Tr39/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):
Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ
nhất với số thứ 2 là

5
10
, của số thứ nhất với số thứ ba là .
9
7

Hướng dẫn: - Gọi ba số cần tìm lần lượt là: x; y; z, chúng tỉ lệ với ba số nào?
- Tìm mối quan hệ giữa ba số với BCNN của chúng.
Giải:
Gọi ba số nguyên dương cần tìm lần lượt là: x; y; z ( Đk: x; y; z  N)
Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150
x 5
x y

x
y
x 10
x z
 
 (2)
Theo bài ra ta có: y  9  5  9  10 18 (1) ;
z 7
10 7

Từ (1) và (2) suy ra:
Đặt

x
y z
 
10 18 7

x
y z
  = k , suy ra: x = 10.k = 2.5.k; y = 18.k = 2.32.k; z = 7.k
10 18 7

Suy ra: BCNN (x, y, z) = 2.32. 5.7.k
Mà: BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.32. 5.7.k = 2.32.52.7
Từ đó suy ra: k = 5
Với k = 5 Suy ra x =10 . 5 = 50; y = 18 . 5 = 90; z = 7.5 = 35 ( TMĐK)
Vậy 3 số nguyên dương cần tìm lần lượt là 50; 90; 35.
Bài 3.4 (Bài 49b/ Tr40/ Sách Đại số nâng cao 7 THCS):
Một hình chữ nhật có các cạnh tỉ lệ với nhau theo 4 : 7 và có diện tích là 112 m2.

Tính các cạnh của hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn: - Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đó lần lượt là x, y
x

4

x

y

thì ta có điều gì ? (x . y = 112 và y  7 hay  ).
4 7
- Đây là dạng toán tương tự bài 2.8
Giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đó lần lượt là x (m), y(m)
(Đk x, y > 0)
15


x

4

x y
Theo bài cho ta có: x . y = 112 và y  7 hay 
4 7

Đặt

x y

 = k, suy ra x = 4k ; y = 7k
4 7

Vì x . y = 112 nên (4.k).(7.k) = 112
 28k2 = 112  k2 = 4  k = 2 hoặc k = -2.
+ Với k = 2 thì x = 4.2 = 8 ; y = 7. 2 = 14
+ Với k = -2 thì x = 4.(-2) = -8; y = 7. (-2) = -14
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật nên x = 8 và y = 14
Vậy chiều rộng hình chữ nhật: 8(m); chiều dài hình chữ nhật: 14(m).
Bài 3.5 (Bài 24/ Tr 32/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):
Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội theo tỉ lệ 7 : 6 : 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6 : 5 : 4.
Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m 3. Tính số đất đã phân
chia cho mỗi đội.
Hướng dẫn: Ở bài toán này ta phải tìm ra đội nào làm nhiều hơn dự định 6m3
bằng cách tìm số đất của mỗi đội phải làm so với số đất dự định của ba đội.
Giải:
Gọi tổng số đất của ba đội là x (m3 ) ( x > 0)
Số đất dự định chia cho 3 đội lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có:

a b c a b c x
7x
6x
5x
  

 a ; b ; c
(1)
7 6 5 7  6  5 18

18
18
18

Số đất sau đó chia cho 3 đội lần lượt là a’, b’, c’ ta có:
6x
5x
4x
a, b, c, a,  b,  c,
x
 a,  ; b,  ; c, 
  

(2)
15
15
15
6
5
4
654
15

So sánh (1) và (2) ta có: a’ > a; b = b’; c’< c nên đội 1 làm nhiều hơn lúc đầu.
6x
7x
= 6  x = 540 (TMĐK)
15
18
6.540

5.540
4.540
216 ; b , 
180 ; c , 
144
Với x = 540  a , 
15
15
15

Vây: a’ – a = 6 hay

Vậy số đất đã chia cho 3 đội lần lượt là 216(m3 ); 180(m3 ); 144(m3 )
2.3.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức:
Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để tìm giá trị của biến từ đó tính giá trị biểu thức
Bài 4.1 (Bài 54/ Tr18 / Sách nâng cao và phát triển toán 7):
3x  y

3

x

Cho tỉ lệ thức x  y  4 . Tính giá trị của tỉ số y
Hướng dẫn: Dùng tính chất của tỉ lệ thức biến đổi giả thiết về dạng ax = by
x

b

để suy ra y  a .

Giải:
3x  y

3

Từ x  y  4 � 4( 3x – y) = 3(x + y) � 12x – 4y = 3x + 3y
16


� 12x – 3y = 3(x+y) � 9x = 7y 
x

x
7
=
y
9

7

Vậy y =
9
3x
1
3x  y 3
x
3
y
3a  1
3


Cách 2: Từ: x  y  4 � x
Đặt y = a �
=
a 1
4
1 4
y
 4.( 3a – 1) = 3.( a + 1)  12a – 4 = 3a + 3  9a = 7
x 7
7
 a=
hay y  9 .
9

Bài 4.2: (Nguồn internet)
Cho

yz x
x y z
  . Tính giá trị của biểu thức P =
.
x yz
2 3 4

Hướng dẫn: Đặt các tỉ số bằng k, biểu diễn x, y, z theo k rồi thay vào P.
x y z
  = k � x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k � 0)
2 3 4
3k  4k  2k

5k 5
5
 . Vậy P =
Khi đó: P =
=
2k  3k  4k
3k 3
3
x y z
yzx yzx x yz x yz



Cách 2: Ta có   =
2 3 4 3 4 2
5
23 4
3
yzx x yz
yzx 5
5
�

�
 . Vậy P =
5
3
x yz 3
3

Cách 1: Đặt

Nhận xét: Với hai cách trên thì cách 1 học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu hơn
cách 2
Bài 4.3: (Đề thi HSG Toán lớp 7 Huyện Hoằng Hóa năm học 2011 – 2012)
a
b
c
d



b c d a c d a b d a b c
a b b c c d d a



Tính giá trị của biểu thức M =
c d a d a b b c

Cho dãy tỉ số bằng nhau

Phương pháp: Ta nhận thấy: Tử 1 + mẫu 1 = tử 2 + mẫu 2 = tử 3 + mẫu 3, từ đó
ta biến đổi các tỉ số ban đầu về dạng các tỉ số có cùng tử và xét các trường hợp
xảy ra.
Giải:
a
b
c
d




bcd acd abd bca
a
b
c
d
�
1 
1 
1 
1
bcd
acd
abd
bca
abcd abcd abcd a bcd
�



(*)
bcd
acd
a b d
bca
+) Nếu: a  b  c  d  0 � a  b  (c  d ); b  c  (a  d )  M = -4
+) Nếu: a  b  c  d �0 Từ (*) ta có: b  c  d  a  c  d  a  b  d  b  c  a
�abcd �M 4

Từ:

Lưu ý: Với bài này giáo viên yêu cầu học sinh xét hết các trường hợp có
thể xảy ra
17


Bài tập tương tự:
Cho dãy tỉ số bằng nhau

2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



2011a
2011b
2011c
2011d
ab bc cd d a



Tính giá trị của biểu thức M 
cd ad ab bc

( Đề thi hsg Toán 7 huyện Ngọc Lặc năm học 2013-2014)
Hướng dẫn: Tử 1 - mẫu 1 = tử 2 - mẫu 2 = tử 3 - mẫu 3, biến đổi về 4.3
Bài 4.4: ( Nguồn internet)
ab bc ca



c
a
b
� a�
� b�
� c�
1 �
1 �
1 �
Tính giá trị của biểu thức P  �
�
�
� b�
� c�
� a�

Cho a, b, c đôi một khác nhau và thỏa mãn

Hướng dẫn: Thực hiện tương tự bài 4.2
Giải:

a b b c c a
ab
bc
ca


�

1 
1 
1
c
a
b
c
a
b
a b c a b c a b c
�


(*)
c
a
b
+) Nếu: a  b  c  0 � a  b  c; a  c  b; b  c  a
a  b b  c a  c c a b abc
P
� �

� � 
 1
b
c
a
b c a
abc
ab bc ac



2 P=8
+) Nếu: a  b  c �0 Từ (*) ta có:
c
a
b

Từ:

Lưu ý: Trong quá trình dạy và học nhiều thầy cô và học sinh không xét
từng trường hợp mà chỉ đưa ra được trường hợp P = -1
hoặc từ

a b c a b c a b c
=
=
học sinh sẽ suy ra ngay a = b = c từ đó
c
a
b

tính được P = 8. Vì vậy khi dạy cho học sinh giáo viên cần lưu ý cho học sinh
xét đầy đủ hai trường hợp như trên.
Bài 4.5: (Đề thi HSG Toán lớp 7 Huyện Hậu Lộc năm học 2013 – 2014)
ab
bc
ca



a b b c c a
2
ab  bc 2  ca 2
Tính giá trị của biểu thức P  3 3 3
a b c

Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn:

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm ra mối liên hệ giữa a, b, c
rồi thế vào P.
Giải:
ab
bc
ca
a b b c c a





a b b c c a
ab
bc
ca
1 1 1 1 1 1
1 1 1
          a =b = c.
b a c b a c
a b c
a3  a3  a3

Thay a =b = c vào P ta được P = 3 3 3 1
a a a

Với a, b, c �0 ta có:

18


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các số x, y, z biết rằng
a)

2x  3 4x  5

5 x  2 10 x  2

b)

x y z
  và 4x – 3y + 2z = 36
1 2 3

c) 2x = 3y; 5y = 7z; 3x–7y+5z =30 d) x: y: z= 3: 4: (-2) và xyz = 124
4

2

x  16

3

y  25

z9



e) x  1  y  2  z  2 và xyz =12 f)
và 2 x3  1  15
9
16
25
Bài 2. Tìm các số x, y, z biết rằng:
a. x : y : z  3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 – 3z2 = -100
b. 3  x  1  2  y  2  ; 4  y  2   3  z  3 và 2 x  3 y  z  50
12 x  15 y 20 z  12 y 15 y  20 z


và x  y  z  48
7
9
11
2x 3 y 4z


d.
và  x  y  z  49
3
4
5

c.

Bài 3. Tìm các số x, y, z biết:
x

3

y

5

a. y  2 ;  và 2 x  3 y  5 z  1
z 7

1 4 y 1 6 y 1 8y


13
19
5x
y  z 1 x  z  2 y  x  3
1



x
y
z
x yz

b,

2 x  1 y  2 2x  3 y 1


d,
5
7
6x
a c
Bài 4. Cho tỉ lệ thức  . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả
b d

c.

thiết các tỉ số đều có nghĩa )
2 a  7b 2c  7 d

3a  4b 3c  4d
2
2
2
�a  b � a  b
c. � � 2 2
�c  d � c  d

2015a  2016b 2015c  2016d

2016c  2017d 2016a  2017b

2
ab �2a  3b �
7a 2  5ac 7b 2  5bd
�

d,
e,
�
cd �2c  3d �
7a 2  5ac 7b 2  5bd
a2014
a1 a2 a3
Bài 5. Cho dãy tỉ số bằng nhau: a  a  a  L  a
chứng minh đẳng
2
3
4
2015

a.

b,

2014

 a  a  a  ...  a 2014 
a

thức: 1  1 2 3
a 2015  a 2  a3  a 4  ...  a 2015 

a c
Bài 6. Cho  các số x, y, z, t thỏa mãn ax  yb �0 và zc  td �0
b d
xa  yb xc  yd

Chứng minh rằng:
za  tb
zc  td
2a  13b 2c  13d
a c


Bài 7. Cho tỉ lệ thức
Chứng minh rằng:
3a  7b
3c  7d
b d
a
b
c
d



Bài 8. Cho dãy tỉ số bằng nhau
bcd ac d a bd bc a
ab bc cd d a




Chứng minh rằng biểu thức M 
có giá trị nguyên
cd ad ab bc
19


Bài 9. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các
chữ số của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3
Bài 10. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4, 12, x. biết rằng
x là một số tự nhiên. Tìm x
2.4. Kết quả nghiên cứu:
Sau một thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi thấy kết quả mang lại
rất khả quan. Cuối học kì I năm học 2016 – 2017 tơi ra đề khảo sát:
Đề khảo sát ( Thời gian: 45 phút)
Bài 1 (3 điểm): Tìm x, y biết
x y
 và x + y = 15.
2 3
x y
c.  và 3x – 2y = -10
3 4

a.

b. 7x = 3y và x – y = 16

Bài 2 (3 điểm) : Tìm x , y, z biết
a.

x y z

  và 4x - 3y +2z = 36
1 2 3

b. 3x = 2y, 75 = 5z và x - y + z = 32

Bài 3 (3 điểm) Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết chu vi là 22cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ vói các số 2; 3; 4?
Bài 4 (1 điểm): Cho ba tỉ số bằng nhau:

a b c
  .
b c d

3

a
 a b c 
 
d
bcd 

Chứng minh rằng: 

Kết quả thu được như sau:
TSHS

Giỏi
SL

56

8

%
14,
3

Khá
SL
15

%
26,
8

Trung
bình
SL
%
44,
25
6

Yếu
SL
8

%
14,
3

Kém
SL

%

0

0

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
3.1. Bài học kinh nghiệm:
Qua kết quả nghiên cứu khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì tơi nhận
thấy học sinh khơng còn sợ các dạng tốn liên quan đến tỉ lệ thức, tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau nữa. Khi đưa ra một bài tốn các em nhận dạng nhanh được
bài tốn đó ở dạng nào. Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết
cách biến đổi từ những dạng tốn phức tạp về dạng đã biết cách giải. Qua
những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù
hợp kiến thức trong chương trình. Ngồi cách giải của giáo viên tơi thấy các em
còn có nhiều cách giải rất hay thể hiện những điểm thơng minh trong các phép
biến đổi. Nhờ đó mà tăng số lượng học sinh khá, giỏi, tăng chất lượng mũi nhọn
của nhà trường.
Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa
vào giờ dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi nếu khơng sẽ khơng có thời
gian để luyện tập cho học sinh. Tốn về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ
thức cho trước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất
20


nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này,

ngoài ra dạng toán dựa vào tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thức
cũng chưa đưa ra được
Do đó bản thân tôi còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà
đề tài chưa đề cập đến.
3.2. Kiến nghị
Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “Kinh nghiệm sử
dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán
ở môn Đại số lớp 7”. Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên sâu
nhằm vận dụng nó để giải các bài tập nâng cao về tỉ lệ thức và các bài toán về
dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Vì vậy, để thực hiện có hiệu quả,
chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất:
+ Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần lưu
ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót;
+ Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài: Cho điều gì
và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập trước,
rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh;
+ Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dung lồng
ghép những bài toán thực tế, có kiến thức liên môn để kích thích tính tò mò,
muốn khám phá những điều chưa biết trong chương trình Toán 7;
+ Phần kiến thức này còn được sử dụng nhiều trong chương trình toán học
ở các lớp trên và trong một số môn học khác nên đây cũng là một tài liệu tốt để
các giáo viên khác tham khảo.
Sau khi thực hiện đề tài “Kinh nghiệm sử dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7” Tôi nhận
thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết quả học tốt hơn. Tuy nhiên còn rất
nhiều dạng toán nữa mà tôi chưa đưa ra trong đề tài này được. Bởi vậy tôi sẽ
tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau.
Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại
những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo
sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của

tôi không tránh khỏi những sai sót. Rất mong sự góp ý chân thành của Hội đồng
khoa học các cấp.
Thọ Xuân, ngày
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Hiệu trưởng

Hà Sỹ Sơn

tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam kết sáng kiến này do tôi tự làm,
không sao chép của người khác
Người viết

Hoàng Sỹ Tiến

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 7 tập I
2. Sách nâng cao và phát triển Toán 7 - tác giả Vũ Hữu Bình
3. Sách nâng cao và các chuyên đề Toán 7 –tác giả: Bùi Văn Tuyên
4. Các chủ đề nâng cao toán 7 của tác giả Huỳnh Quang Lâu
5. Các đề thi học sinh giỏi toán 7 của các huyện, các tỉnh trên mạng intenet
6. 500 bài Toán chọ lọc 7 của tác giả Nguyễn Ngọc Đạm…

22

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1 Lí do chon đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng của vấn đề
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị

Trang
1
1
1
1
1
2
3
4
20
20

23


DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: HOÀNG SỸ TIẾN
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Xuân Vinh - Thọ
Xuân – Thanh Hóa,

TT
1.
2.
3.

4.

Tên đề tài SKKN

Một số phương pháp chứng minh
bất đẳng thức dùng cho bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán THCS
Hướng dẫn học sinh giải bài Toán
cực trị đại số dạng phân thức nhằm
nâng caao chất lượng học sinh khá,
giỏi lớp 8 ở trường THCS
Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải
một số dạng toán ở môn Đại số lớp
7

Kết quả
Cấp đánh giá

đánh giá Năm học
xếp loại
xếp loại
đánh giá
(Phòng, Sở,
(A, B,
xếp loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Phòng GDĐT C
2009 -2010
Phòng GDĐT C
2010 -2011
Phòng GDĐT C

2014 -2015

UBND
Huyện

2017 -2018

B

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

24