Hướng dẫn giải một số bài toán hình học nhằm phát huy trí lực cho học sinh lớp 8 trường THCS nguyễn văn trỗi

I. M U
Hình học là môn khoa học suy diễn. Nó giúp học sinh rèn luyện
các phép đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc, phát triển t duy sáng
tạo cho học sinh, đặc biệt đối với học sinh lớp 8 việc hớng dẫn cho
các em chứng minh một bài toán hình học đồng thời mở rộng,
nâng cao bài toán là một yêu cầu rất cần thiết. Đặc biệt là sử dụng
thành thạo các phơng pháp chứng minh vào từng bài toán cụ thể,
cách vẽ hình chính xác, lập luận để hiểu cặn kẽ nội dung của bài
toán.Trong thời gian trực tiếp giảng dạy ở lớp 8, tôi nhận thấy học
sinh rất lúng túng khi chng minh mt bi hỡnh . Trong khi ó l hc sinh
lp 8 thỡ cỏc em phi bit v hỡnh v phi cú k nng lm mt bi hỡnh vi lp
lun chớnh xỏc . Tuy nhiờn khụng ớt hc sinh chỳng ta v hỡnh thiu chớnh xỏc , v
hỡnh sai , thm chớ khụng bit cỏch v hỡnh , vì không hiểu đợc bản chất
của bài toán, cha cú phng phỏp lm mt bi tp hỡnh . C th: khi ng
trc vic phi gii mt bi tp hỡnh cỏc em khụng bit phi lm th no , v
khụng bit nờn bt u t õu , ú cng l thc trng chung ca hu ht hc sinh
cú hc lc trung bỡnh v di trung bỡnh . iu ny lm tụi trn tr rt nhiu.
Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán
điển hình, nhằm thông qua bài toán này để dạy các phơng
pháp chứng minh khác nhau cho học sinh để học sinh có thể so
sánh, khắc sâu và ghi nhớ đợc các phơng pháp chứng minh đó.
Đồng thời biết cách khai thác bài toán dựng hình để vẽ hình
chính xác trong những trờng hợp khó và mở rộng khai thác bài
toán đảo của nó.
1.1. Lý do chn ti : Nh chỳng ta ó bit , hc toỏn ó khú i vi mt b
phn khụng nh hc sinh , hc hỡnh hc cũn khú hn , phn ln hc sinh u ngi
hc hỡnh c bit l hc sinh lp 8 . Vy lm th no hc sinh cú th nh
hng c cỏch gii mt bi hỡnh , bit cỏch khai thỏc c bi toỏn v t ú
1

các em có hứng thú , say mê với toán học . Là người trực tiếp giảng dạy trong
nhiều năm và là nhà quản lý giáo dục trong trường THCS , trong quá trình giảng
dạy tôi luôn trăn trở , tìm tòi , chọn lọc những phương pháp hợp lý để dẫn dắt ,
hình thành cho các em một số cách giải bài toán hình học . Trong đề tài này tôi xin
nêu ra cách : “ Hướng dẫn cho học sinh lớp 8 giải một số bài toán hình học
nhằm phát huy trí lực học sinh ”
1.2. Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu một số phương pháp để hướng dẫn học
sinh giải bài toán hình học , để nắm được những thuận lợi khó khăn khi hướng dẫn
học sinh giải toán , từ đó xá định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán
1.3. Đối tượng nghiên cứu : Nghiên cứu các phương pháp và cách hướng dẫn
học sinh giải các bài toán hình học trong chương trình lớp 8 THCS .
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan
- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS , đặc biệt là học sinh khối 8
1.4. Phương pháp nghiên cứu
II. THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP :
Lớp 8 mà tôi dạy là một lớp có số học sinh trung bình tương đối đông . Số học
sinh giỏi ít hơn các lớp 8 khác của nhà trường . Thế nhưng với đặc điểm của
trường THCS Nguyễn Văn Trỗi - Là một trường nội thành nằm ở phía Nam
Thành phố Thanh Hoá . Trường có bề dày dạy tốt và học tốt , thì việc dạy cho học
sinh lớp 8 không những phải biết chứng minh một bài hình thành thạo mà còn phải
hướng dẫn các em khai thác bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau là việc làm
cần thiết của một cô giáo dạy toán như tôi . Bên cạnh đó tôi còn phải có nhiệm vụ
hướng dẫn học sinh biết đề ra bài toán tổng quát , đưa ra bài toán tương tự và nhất
là phải biết giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau qua đó rèn luyện ở học sinh
sự say mê , tìm tòi sáng tạo . Từ đó các em sẽ yêu thích học toán . Trong phạm vi
bài viết này tôi không có tham vọng để nghiên cứu giải nhiều bài toán mà chỉ đi
sâu nghiên cứu một bài toán cụ thể , bằng việc giải bài toán này với cách khác
2

nhau v khai thỏc bi toỏn di nhiu khớa cnh t ú hỡnh thnh thúi quen t
duy hc toỏn cho hc sinh , nht l hc hỡnh hc - Mụn hc cn nhiu s sỏng to
III. C S Lí LUN : C s lý lun ca vn ny l nhng bi tp hỡnh hc
v hỡnh thang ca lp 8 . C th l khai thỏc bi toỏn SGK lp 8 di nhiu khớa
cnh khỏc nhau , hng dn hc sinh ra bi toỏn tng t , bi toỏn tng quỏt .
Giỳp hc sinh tỡm li gii hay ca mt bi hỡnh . T ú hc sinh s say mờ hc
toỏn
IV. Nội dung
1. Sử dụng một bài toán để dạy các phơng pháp
chứng minh.
Trong giải bài toán hình học, việc giúp các em nắm bắt
đợc phơng pháp chứng minh một bài toán là hết sức cần thiết.
Song qua một bài toán bằng sự gợi mở khéo léo, tinh tế của ngời
thầy mỗi bài toán có thể giải bằng nhiều phơng pháp khác nhau,
với những cách giải khác nhau. Từ đó giúp các em củng cố đợc
nhiều đơn vị kiến thức, đồng thời nắm đợc các phơng pháp
chứng minh khác nhau, so sánh đợc các phơng pháp chứng minh
đó. Sau đây là một ví dụ.
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD có A = D và AB = CD. Chứng
minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Sau khi cho học sinh đọc và tìm hiểu đề bài, giáo viên
yêu cầu học sinh chỉ ra hớng giải là cần chứng minh AD // BC.
Sau dây là một số phơng pháp giải.
1.1. Phơng pháp chứng minh suy diễn.
B

Cách 1:

A

K

C

H

D

3


Vẽ

BK AD
CH AD

Suy ra BK // CH

(1)

Xét 2 tam giác vuông AKB và DHC có A = D, AB = CD
ABK = DHC (cạnh huyền, góc nhọn)
BK = CH

C

B

(2)
D

A

Từ (1) và (2) suy ra BKHC là hình bình hành.E
Do đó BC //AD tứ giác ABCD là hình thang cân.
Cách 2: Kẻ BE // CD

(1)

Suy ra E = D (đồng vị)
Mà A = D (gt)
Suy ra A=E Vậy
ABE cân nên
AB = BE suy ra BE = CD

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình bình hành, vậy BC//AD
hay tứ giác ABCD là hình thang cân.
Cách 3: Dựng KH là trung trực

B

K

C

của đoạn thẳng AD ta thấy A đối
xứng với D qua KH. Vì A = D, AB =
CD nên B và C đối xứng nhau qua

KH

A

D

H

4


hay BC KH. Vậy BC//AD suy
ra tức giác ABCD là hình thang
cân.
1.2. Dùng phơng pháp chứng minh phản chứng.
Giả sử BC không song
song

với

AD.

Vậy

từ

BC'//AD ,C/ thuc tia DC

B

C

kẻ

C'

suy ra

tứ giác ABC'D là hình thang
cân (do A =D)

B

D

A

Suy ra AB = DC'
Nhng theo GT AB = DC vậy suy ra DC = DC' hay CC', vậy
BC//AD hay tứ giác ABCD là hình thang cân.
1.3. Dùng phơng pháp chứng minh quy nạp.
Trong phơng pháp này ta chia bài toán thành hai trờng hợp:
a) Trờng hợp 1: Nếu A = D = 1 V.
Suy ra AB//CD mà AB = CD (gt)

B

C

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành

A

D

Vậy BC//AD do đó tứ giác ABCD

M

là hình thang cân
B

C

b) Nếu A = B 1V.
A

D

5


Suy ra AB không song song với DC
Do đó AB cắt CD tại M
Khi đó MAD cân (A = D)
Suy ra MA = MD mà AB = CD
Nên MB = MC
Nên MBC cân, vậy B = C
Mà MBC và MAD có M chung
Vậy B = A BC//AD hay tứ giác ABCD là hình thang cân
2. Rèn luyện vẽ hình chính xác, khai thác bài toán

đảo:
Để học sinh vẽ hình tơng đối chính xác, đối với những bài
toán vẽ hình khó là một việc làm hết sức cần thiết, vì vậy có
thể thông qua một bài toán dựng hình để học sinh có thể vẽ
hình một cách tơng đối chính xác là một trong những yêu cầu
cần thiết. Sau đây là một ví dụ:
Bài toán 2: (Bài tập 6.tr13 SGK HH8)
Cho hình thang ABCD (AB//CD)
Trong đó phân giác góc A và B cắt nhau tại K
(K CD). Chứng minh tổng 2

B

A

cạnh bên bằng đáy CD của hình
thang.
Đây là bài toán không khú ,

D

C

K

học sinh chỉ cần chỉ ra ADK và
BCK cân và suy ra điều cần
chứngminh.
6

Song trong nhiều năm giảng dạy, tôi thấy điều mà học sinh
lúng túng đó chính là cách vẽ hình sao cho tơng đối chính
xác theo yêu cầu bài toán đã cho, nếu không hiểu cặn kẽ bài
toán, học sinh vẽ hình sẽ không chính xác khi thoả mãn điều
kiện K DC vì vậy có thể chuyển thể nó thành bài toán sau.
Bài toán 2.1: Cho SDC dựng một đờng thẳng cắt SD và
SC tại A và B sao cho AD+BC = DC.
Khi giải đợc bài toán này,
học sinh sẽ biết đợc cách vẽ bài
toán 2 sao cho chính xác bằng
S

cách chỉ cần dựng phân giác D
và C chúng cắt nhau tại K, qua K

A

kẻ đờng thẳng d//DC cắt SD tại
A và SC tại B thì d là đờng

B

D

thẳng cần dựng, đến đây thì

C

học sinh chắc chắn sẽ biết cách

vẽ hình bài toán 1 sao cho chính
xác.
Ta tiếp tục khai thác bài toán 2 bằng bài toán đảo của nó.
Bài toán 2.2: Chứng minh rằng nếu hình thang ABCD
(AB//CD) thoả mãn DC=AD+BC thì các đờng phân giác góc A và
B sẽ gặp nhau trên đáy DC. Ta chứng minh bằng phản chứng
A

Giả sử đờng phân giác A
và B cắt nhau tại K BC thì K
thuộc miền trong (h1 và h2)

B
K

D

F

E

(h1
)
C

hoặc miền ngoài (h3) của hình
7


thang khi đó AK và BK cắt BC

tại E và F ta có ADE cân AD
= DE

(1)
Tơng tự CBF cân CB=CF (2)
(1)+(2): AD + BC = DE + CF > DC (h2)
AD+BC = BE + CF < DC (h3)

B

A

Điều này trái với giả thiết vậy
E F K DC

(h3)
D

Bài toán đợc chứng minh

E

F

C

K

T bi toỏn ny gi cho ta mt ý tng mi
Khi hỡnh thang ABCD ( AD // BC ) cú cỏc ng phõn giỏc gúc A v gúc D

gp nhau min trong ( hay min ngoi ) ca hỡnh thang thỡ mi quan h gia
cnh ỏy BC v tng hai cnh bờn AB ; CD nh th no ?
* im K nm min ngoi hỡnh thang ABCD khi v ch khi
BC > AB + CD
* im K nm min trong ca hỡnh thang ABCD khi v ch khi
BC < AB + CD
õy cng chớnh l ni dung ta cú th a ra mt bi toỏn mi khỏc .
Cõu hi cui cựng l t bi toỏn trờn ta rỳt ra c kt lun gỡ cú tớnh cht
khỏi quỏt ?
iu kin t cú v mt hỡnh thang ABCD cú di ỏy BC bng
tng hai cnh bờn AB v CD l cỏc ng phõn giỏc gúc A v gúc D gp nhau trờn
ỏy BC
V . BI HC KINH NGHIM :

8


T thc t ging dy tụi tụi rỳt ra cho bn thõn mt s bi hc sau :
- Khi dy hỡnh hc phi chỳ ý hng n hc sinh cỏch v hỡnh (c bit l
nhng bi tp m hỡnh khú v )
- Hng dn hc sinh tỡm nhiu li gii khỏc nhau ca mt bi toỏn
- Tp cho hc sinh t ra c bi toỏn tng t cng nh ra bi toỏn
tng quỏt
VI. Kết luận:
Sau một thời gian đa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh
khối 8 tôi tự nhận thấy và rút ra một số kết luận sau đây.
1- Mức độ yêu thích môn hình học của học sinh đợc nâng
lên, các em đã không còn thấy ngại môn hình học nữa mà trở
nên hứng thú say sa hơn.
2- Đa số các em đã nắm đợc các phơng pháp chứng minh,

biết sử dụng các phơng pháp chứng minh hợp lý vào từng bài cụ
thể.
3- Biết cách vẽ, có suy luận hợp lý để vẽ hình thang trong
những trờng hợp vẽ hình khó.
4- Từng bớc khai thác bài toán đã cho thành bài toán khó
hơn nhằm mở rộng và rèn luyện kiến thức.
Hc sinh lp 8 ca tụi dy l lp a s hc lc ca cỏc em mc trung
bỡnh ,hu ht cỏc em khụng cũn cm thy nng n khi phi hc toỏn , nht l hc
hỡnh hc, sau khi tụi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn thỡ hu ht cỏc em ó cú s thay
i rừ rt v nhn thc , v cỏch hc toỏn , v vic gii mt bi tp hỡnh hc v
trờn ht l cỏc em cú nim am mờ khi hc toỏn ,kt qu l cui nm hc cỏc em
hc sinh ddeuf lm tt bi hỡnh hc mc dự trc ú cỏc em rt s hc hỡnh , ú l
9


niềm động viên rất lớn đối với tôi sau những ngày miệt mài nghiên cứu tìm tòi để
hướng dẫn các em có lời giải hay , giờ học tốt . Tuy nhiên do nhiều yếu tố khách
quan và chủ quan đề tài của tôi sẽ còn nhiều thiếu sót . Mong được sự góp ý của
bạn bè đồng nghiệp cùng các cấp lãnh đạo để đề tài của tôi hoàn thiện hơn .

XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU

Ngọc Trạo, ngày 16 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Thị Thanh

10