SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH vẽ THÊM ĐƯỜNG PHỤ để GIẢI một số bài TOÁN HÌNH học 9

SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU
I. Cơ sở lý luận
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy Toán không ngừng được bổ
sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy
mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương
pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về Giá trị tuyệt
đối không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh
tiếp tục học lên ở cấp THPT.
Khi giải toán có áp dụng Giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải nắm vững
các kiến thức cơ bản về phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại
số... Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn
giản đến phức tạp.
“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp học sinh phát triển
tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo
dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
II. Cơ sở thực tiễn
Giá trị tuyệt đối là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều
học sinh không biết cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải toán như thế nào? Có
những phương pháp nào? Mặt khác, nội dung thi vào cấp THPT có áp dụng Giá
trị tuyệt đối rất hạn chế nên học sinh lại càng không chú ý.
Các bài toán về ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán hay và
khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy
nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các
phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh,
cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên.
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

1

SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt
đối hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu.
Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán có ứng dụng Giá trị
tuyệt đối là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được
phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường
THCS.
III. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu về “Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp giáo
viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức
đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng
dạy phần này có hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần Giá trị tuyệt đối trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng
cao chất lượng dạy và học môn toán.
+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành
công về Giá trị tuyệt đối.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
2. Hệ thống hoá một số phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối.
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.
4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.
V. Phạm vi và đối tƣợng nghiên cứu
1. Đối tƣợng nghiên cứu:
a. Các tài liệu
b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Đông Thái.
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

2


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán thường
gặp ở THCS.
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát.
3. Phương pháp thử nghiệm.
4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
VII. Giả thuyết khoa học
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham
thích học dạng toán này hơn.

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

3


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
PHẦN II: NỘI DUNG
A. Lý thuyết giá trị tuyết đối.
1. Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị
tuyệt đối của một số a (a là số thực).
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm
là số đối của nó.

Tổng quát: Nếu a  0  a  a
Nếu a  0  a  a
Nếu x-a  0=> |x-a| = x-a
Nếu x-a  0=> |x-a| = a-x
2. Tính chất
* Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
* Tổng quát: a  0 với mọi a  R
* Cụ thể:

|a| =0 <=> a=0
|a| ≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và
ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau
hoặc đối nhau.
Tổng quát:

a  b
a b 
a  b

* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng
thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
Tổng quát:  a  a  a và  a  a  a  0; a  a  a  0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

4


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

Tổng quát: Nếu a  b  0  a  b
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
Tổng quát: Nếu 0  a  b  a  b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
Tổng quát:

a.b  a . b

* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
Tổng quát:

a
a

b
b

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
Tổng quát:

a  a2
2

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt
đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
Tổng quát:

a  b  a  b và a  b  a  b  a.b  0

B. Các dạng toán :

I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Dạng 1:

A(x)  k

(Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trƣớc)
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm).
- Nếu k = 0 thì ta có A( x)  0  A( x)  0
 A( x)  k
 A( x)  k

- Nếu k > 0 thì ta có: A( x)  k  
Bài 1.1: Tìm x, biết:

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

5


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
a) 2 x  5  4

b)

1 5
1
  2x 
3 4

4

c)

1
1 1
 x 
2
5 3

d)

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

3
7
 2x  1 
4
8

6


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Giải:
a) 2 x  5  4  2x – 5 =  4
* 2x – 5 = 4

* 2x – 5 = – 4
2x = 5 – 4

2x = 9
x = 4,5

2x = 1
x = 0,5

Vậy:

x = 4,5 ; x =0,5

b)

1 5
1
  2x 
3 4
4



5
1 1 1
 2x   
4
3 4 12

1
5 1 14
7

5


 4  2 x  12
 2 x  4  12  12
 x  12

 
 
 5  2x   1
 2 x  5  1  14
x  8
 4


12

4 12 12
12

Vậy: x  

7
8
;

12 12 

Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 2 2 x  3 

1
2

b) 7,5  3 5  2 x  4,5

c) x 

4
  3,75    2,15
15

Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 2 3x  1  1  5

b)

x
1  3
2

c)  x 

2 1
  3,5
5 2

3
2

1
5

4
4

d) x 

1
1
2
3
5

Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) x 
c)

1 3
  5%
4 4

3 4
3 7
 x 
2 5
4 4

b) 2  x 
d) 4,5 

3 1
5 5
x 
4 2
3 6

Bài 1.5: Tìm x, biết:

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

7


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
9
4

a) 6,5  : x 
c)

1
2
3

15
3
1
 2,5 : x   3
4

4
2

b)

11 3
1 7
 : 4x  
4 2
5 2

d)

21
x 2
 3:   6
5
4 3

2. Dạng 2: A(x)  B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)
* Cách giải:
a  b

Vận dụng tính chất: a  b  
a  b
 A( x)  B( x)

Ta có: A( x)  B( x)  
 A( x)   B( x)
Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) 5 x  4  x  2

b) 2 x  3  3x  2  0

c) 2  3x  4 x  3

d) 7 x  1  5 x  6  0

Giải:
a) 5 x  4  x  2
* 5x – 4 = x + 2

* 5x – 4 = – x – 2

5x – x = 2 + 4

5x + x = – 2 + 4

4x = 6

6x = 2

x =1,5
Vậy: x= 1,5 ; x=

x=

1
3

1
3

Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)

3
1
x   4x  1
2
2
7
5

c) x 

2
4
1
 x
3
3
4

5
4

b) x 
d)

7 5
3
 x 0
2 8
5

7
5 1
x  x5  0
8
6 2

3. Dạng 3: A(x)  B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

8


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn
vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x)  B( x) (1)

Điều kiện: B(x)  0 (*)
 A( x)  B( x)

(1) Trở thành A( x)  B( x)  
 A( x)   B( x)
(Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*))

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a  0  a  a
Nếu a  0  a  a
Ta giải như sau: A( x)  B( x)

(1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được
với điều kiện )
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm
được với điều kiện )
 2
Ví dụ: Tìm x  Q biết x+5 =2x


* Xét x+



2
2
2
 0 , ta có x + = 2x  x  (TMĐK)
5
5
5

2
2
2

*Xét x+ < 0 , ta có x + = – 2x  x   (Không TMĐK)
5
5
15
Vậy : x 

2
5

Bài 3.1: Tìm x, biết:
a)

1
x  3  2x
2

b) x  1  3x  2

c) 5 x  x  12

d) 7  x  5 x  1

c) x  6  9  2 x

d) 2 x  3  x  21

Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 9  x  2 x

b) 5 x  3x  2

Bài 3.3: Tìm x, biết:
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

9


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
a) 4  2 x  4 x

b) 3x  1  2  x

c) x  15  1  3x

d) 2 x  5  x  2

c) 3x  7  2 x  1

d) 2 x  1  1  x

c) 3x  4  4  3x

d) 7  2 x  7  2 x

Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 2 x  5  x  1

b) 3x  2  1  x

Bài 3.5: Tìm x, biết:

a) x  5  5  x

b) x  7  x  7

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối.
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x)  B( x)  C ( x)  m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng).
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng

x  1  x  3  2 x  1 (1)

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu
thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải:
Xét

x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1
x – 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây:

x

1

x–1

–

x–3

–

0

3
+
–

+
0

+

Xét khoảng x < 1 ta có:
(1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 – 2x + 4
 x=

= 2x – 1

5
(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
4

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

10


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Xét khoảng 1  x  3 ta có:
(1)  (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
 2

= 2x – 1

 x =

3
( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
2

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 0.x = – 3 ( Phương trình vô nghiệm)

Kết luận: Vậy x =

3
.
2

Ví dụ 2 : Tìm x, biết |x+1| + |x-1| =0
Nhận xét : x+1 = 0 => x = –1
x –1 = 0 => x =1
Ta lập bảng xét dấu
–1

x
x+1

–

x–1

–

0

1
+

+

–

0

+

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x< – 1, ta có PT : – x – 1 – x + 1 = 0  x = 0 (không TMĐK)
Nếu –1  x  1, ta có PT : x + 1 – x + 1 = 0  0.x = – 2 (PT vô nghiệm)
Nếu x >1, ta có PT : x + 1 + x – 1 = 0  x = 0 (không TMĐK)
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn đề bài.
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a) 4 3x  1  x  2 x  5  7 x  3  12

1
5

1
5

1
5

b) 3 x  4  2 x  1  5 x  3  x  9  5
1
2

c) 2  x  x   8  1,2

1
2

1
5

d) 2 x  3  x  3  2  x

Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 2 x  6  x  3  8

b) x  5  x  3  9

c) x  2  x  3  x  4  2

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

11


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
d) x  1  x  2  x  3  6

e) 2 x  2  4  x  11

Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) x  2  x  3  2 x  8  9

b) 3x x  1  2 x x  2  12

c) x  1  3 x  3  2 x  2  4

d) x  5  1  2 x  x

e) x  2 x  3  x  1

f) x  1  x  x  x  3

Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) x  2  x  5  3

b) x  3  x  5  8

c) 2 x  1  2 x  5  4

d) x  3  3x  4  2 x  1

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt.
A(x)  B(x)  C(x)  D(x) (1)

Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A( x)  0; B( x)  0; C ( x)  0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x  1  x  2  x  3  4 x
3
5

c) x  2  x   x 

1
 4x
2

b) x  1  x  2  x  3  x  4  5 x  1
d) x  1,1  x  1,2  x  1,3  x  1,4  5 x

Bài 5.2: Tìm x, biết:
a) x 

1
2
3
100
 x
 x

 ...  x 
 101x
101
101
101
101

b) x 

1
1
1
1
 x
 x
 ...  x 
 100 x
1.2
2.3
3.4
99.100

c) x 

1
1
1
1
 x
 x

 ...  x 
 50 x
1.3
3.5
5.7
97.99

d) x 

1
1
1
1
 x
 x
 ...  x 
 101x
1.5
5.9
9.13
397.401

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp.
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

12


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Bài 6.1: Tìm x, biết:

a) 2 x  1 

1 4

2 5

2
b) x  2 x 

1
 x2  2
2

c) x 2 x  3  x 2
4

Bài 6.2: Tìm x, biết:
a) 2 x  1 

1 1

2 5

b)

1
3 2
x 1  
2
4 5

c) x x 2 

3
x
4

Bài 6.3: Tìm x, biết:
a) x x 2 

3
x
4

1
3
3
b)  x   2 x   2 x 

c) x  2 x 

b) x  1  1  2

c) 3x  1  5  2



2

4

4

1
2

3
3
 2x 
4
4

Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 2 x  3  x  1  4 x  1
7. Dạng 7: A  B  0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp
bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0
khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A  B  0
Bước1: Đánh giá:

A  0
 A  B 0
B  0

A  0
B  0

Bước 2: Khẳng định: A  B  0  

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x  4  3 y  5  0

b) x  y  y 

9
0
25

c) 3  2 x  4 y  5  0

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

13


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
3
4

a) 5  x 
b)

2
y 3  0
7

2 1 3
11 23

  x  1,5  
y 0
3 2 4
17 13

c) x  2007  y  2008  0

Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B  0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A  B  0 (1)
A  0
 A  B 0
B  0

(2)

A  0
B  0

Từ (1) và (2)  A  B  0  
Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5 x  1  6 y  8  0

b) x  2 y  4 y  3  0

c) x  y  2  2 y  1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12 x  8  11 y  5  0

b) 3x  2 y  4 y  1  0

c) x  y  7  xy  10  0

Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất
không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các
bài tương tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x  y  2  y  3  0

b) x  3 y

c) x  y 2006  2007 y  1  0

d)

2007

 y4

2008

0

x  y  5  2007  y  3

0

2008

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

2
2
a) x  1   y  3  0

b) 2x  54  5 2 y  7  0

c) 3x  2 y 2004  4 y 

d) x  3 y  1   2 y  1 

1
0
2

5



2

2000

0

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

14


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
7

a) x  2007  y  2008  0
c)

13
1
 x 
24
2

2006



b)

2007 4
6
y
0
2008 5
25

3 x  y  10 y 
5

2
0

3

d) 2007 2 x  y 2008  2008 y  4 2007  0

8. Dạng 8: A  B  A  B
* Cách giải: Sử dụng tính chất: a  b  a  b
Từ đó ta có: a  b  a  b  a.b  0
Bài 8.1: Tìm x, biết:
a) x  5  3  x  8

b) x  2  x  5  3

c) 3x  5  3x  1  6

d) 2 x  3  2 x  5  11

e) x  1  2 x  3  3x  2

f) x  3  5  x  2 x  4  2

Bài 8.2: Tìm x, biết:
a) x  4  x  6  2

b) x  1  x  5  4

c) 3x  7  3 2  x  13

d) 5 x  1  3  2 x  4  3x

e) x  2  3x  1  x  1  3

f) x  2  x  7  4

II. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
1. Dạng 1: A  B  m với m  0
* Cách giải:
A  0
B  0

Nếu m = 0 thì ta có A  B  0  
Nếu m > 0 ta giải như sau:
A  B  m (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0  B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng.
Ví dụ : Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: |x – y – 2| + |y + 3| = 0
Giải:
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

15


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
|x – y – 2| + |y + 3| = 0
x  y  2  0
 x  1


y 3  0
 y  3

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x  2007  x  2008  0

b) x  y  2  y  3  0

c) x  y 2  2 y  1  0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x  3 y  y  4  0
5

b) x  y  5   y  34  0

c) x  3 y  1  3 y  2  0

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x  4  y  2  3

b) 2 x  1  y  1  4

c) 3x  y  5  5

d) 5 x  2 y  3  7

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3 x  5  y  4  5

b) x  6  4 2 y  1  12

c) 2 3x  y  3  10

d) 3 4 x  y  3  21

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) y 2  3  2 x  3

b) y 2  5  x  1

c) 2 y 2  3  x  4

d) 3 y 2  12  x  2

2. Dạng 2: A  B  m (với m > 0)
* Cách giải: Đánh giá
A  B  m (1)
A  0
  A  B  0 (2)
B  0

Từ (1) và (2)  0  A  B  m từ đó giải bài toán A  B  k như dạng 1 với
0k m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x  y  3

b) x  5  y  2  4

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

16


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
c) 2 x  1  y  4  3

d) 3x  y  5  4

Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5 x  1  y  2  7

b) 4 2 x  5  y  3  5

c) 3 x  5  2 y  1  3

d) 3 2 x  1  4 2 y  1  7

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a  b  a  b xét khoảng giá trị của ẩn
số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x  1  4  x  3

b) x  2  x  3  5

c) x  1  x  6  7

d) 2 x  5  2 x  3  8

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x  2  y  6

b) x +y = 4 và 2 x  1  y  x  5

c) x –y = 3 và x  y  3

d) x – 2y = 5 và x  2 y  1  6

Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x  1  y  2  4

b) x – y = 3 và x  6  y  1  4

c) x – y = 2 và 2 x  1  2 y  1  4

d) 2x + y = 3 và 2 x  3  y  2  8

4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một
tích.
* Cách giải : A( x).B( x)  A( y )
Đánh giá: A( y)  0  A( x).B( x)  0  n  x  m tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x  2x  3  0

b) 2 x  12 x  5  0

c) 3  2 x x  2   0

d) 3x  15  2 x   0

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 2  x x  1  y  1

b) x  31  x   y

c) x  25  x   2 y  1  2

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

17


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x  13  x   2 y  1

b) x  25  x   y  1  1 c) x  3x  5  y  2  0

5. Dạng 5: Sử dụng phƣơng pháp đối lập hai vế của đẳng thức.
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A  m

(1)

Đánh giá: B  m

(2)
A  m
B  m

Từ (1) và (2) ta có: A  B  

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x  2  x  1  3   y  22
c) y  3  5 

10

2 x  6

2

2

b) x  5  1  x 

12
y 1  3

d) x  1  3  x 

6
y3 3

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 2 x  3  2 x  1 
c) 3x  1  3x  5 

8

b) x  3  x  1 

2 y  5  2
2

12

 y  3

2

d) x  2 y  1  5 

2

16
y2  y2
10
y4 2

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x  y  22  7 
c) 2 x  2007  3 

b) x  22  4 

14
y 1  y  3
6
y  2008  2

20
3y2 5

d) x  y  2  5 

30
3y5 6

III . Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn.
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5  x  4,1
a) A  x  3,5  4,1  x

b) B   x  3,5  x  4,1

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < – 1,3:
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

18


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
a) A  x  1,3  x  2,5

b) B   x  1,3  x  2,5

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
1
5

a) A  x  2,5  x  1,7

b) B  x   x 

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
a) A  x 

1
3 4
 x 
7
5 5

2
5

c) C  x  1  x  3

3
1
x
5
7

b) B   x 

1
3 2
 x 
7

5 6

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A  x  0,8  x  2,5  1,9 với x < - 0,8
b) B  x  4,1  x 

với

2
 x  4,1
3

với

1
1
x2
5
5

2
9
3

1
5

1
5

c) C  2  x  x   8
1
2

d) D  x  3  x  3

1
5

1
2

với x > 0

IV. Tính giá trị biểu thức.
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b
b) N =

a 2

2 b

với a  1,5; b  0,75
với a  1,5; b  0,75

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
3
4

a) A  2 x  2 xy  y

với x  2,5; y 

b) B  3a  3ab  b

với a  ; b  0,25

c) C 

5a 3

3 b

d) D  3x 2  2 x  1

1
3

1
3

với a  ; b  0,25
với x 

1
2

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

19


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
2
3

a) A  6 x 3  3x 2  2 x  4

với x 

b) B  2 x  3 y

với x  ; y  3

c) C  2 x  2  31  x

với x = 4

d) D 

5x 2  7 x  1
3x  1

1
2

với x 

1
2

V. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối.
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận
dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức.
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A  0,5  x  3,5
d) D 

2x 3
3 x 1

c) C 

e) E  5,5  2 x  1,5

f) F   10,2  3x  14

5,8
2,5  x  5,8

g) G  4  5 x  2  3 y  12

h) H 

k) K  10  4 x  2

l) L  5  2 x  1

m) M 

1
x2 3

3x 2

b) B   1,4  x  2

n) N  2 

4x 5

i) I   2,5  x  5,8

12
3x5 4

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  1,7  3,4  x

b) B  x  2,8  3,5

c) C  3,7  4,3  x

d) D  3x  8,4  14,2

e) E  4 x  3  5 y  7,5  17,5

f) F  2,5  x  5,8

g) G  4,9  x  2,8

h) H  x 

k) K  2 3x  1  4

l) L  2 3x  2  1

2 3

5 7

i) I  1,5  1,9  x
m) M  51  4 x  1

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

20


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A  5 

15
4 3x  7  3

b) B 

4
5

20
3x  5  4 y  5  8

2
3

x  3 y 

c) C  
e) E  

2

1
21

3 8 15 x  21  7

d) D  6 

24
2 x  2 y  3 2x  1  6

21
 5 x  5  14

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A 

2 7 x  5  11

b) B 

7x  5  4

2 y  7  13

c) C 

2 2y  7  6

15 x  1  32
6 x 1  8

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  5 
C

8
4 5 x  7  24

6
5

b) B  

14
5 6 y  8  35

c)

15
28

12 3 x  3 y  2 x  1  35

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A 

21 4 x  6  33
3 4x  6  5

b) B 

6 y  5  14
2 y  5  14

c) C 

 15 x  7  68
3 x  7  12

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của
biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A  x  5  2  x

b) B  2 x  1  2 x  6

c) C  3x  5  8  3x

d) D  4 x  3  4 x  5

e) E  5 x  6  3  5 x

f) F  2 x  7  5  2 x

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  2 x  3  2 x  5

b) B  3 x  1  4  3x

c)

C  4 x  5  4x  1

Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

21


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán
a) A   x  5  x  4

b) B   2 x  3  2 x  4

c) C   3x  1  7  3x

Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A  2 x  5  2 x  6

b) B  3 x  4  8  3x

c) C  5 5  x  5 x  7

Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  1  x  5

b) B  x  2  x  6  5

c) C  2 x  4  2 x  1

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  2  x  3

b) B  2 x  4  2 x  5

c) C  3 x  2  3x  1

Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  5  x  1  4

b) B  3x  7  3x  2  8 c) C  4 x  3  4 x  5  12

Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  3  2 x  5  x  7

b) B  x  1  3x  4  x  1  5

c) C  x  2  4 2 x  5  x  3

d) D  x  3  5 6 x  1  x  1  3

Bài 3.4: Cho x + y = 5 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x 1  y  2

Bài 3.5: Cho x – y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B  x  6  y 1

Bài 3.6: Cho x – y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C  2x  1  2 y  1

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D  2x  3  y  2  2

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

22


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC

Nội dung về giá trị tuyệt đối được đưa vào chính khóa trong thời gian
cuối của học kỳ II lớp 8, tuy là kiến thức khó, học sinh rất dễ nhầm lẫn khi giải
toán nhưng lượng thời gian dành cho vấn đề này rất ít nên hầu như giáo viên đều
lảng tránh nội dung này trong phần ôn tập và kiểm tra học kỳ II. Chính vì vậy,
học sinh khi gặp nội dung này trong đề thi thường nghĩ ngay là bài khó và ngại
làm. Để khắc phục tình trạng này, trong thời gian ôn tập hè hàng năm tôi đều
dành ba buổi học có nội dung về “Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải
toán” để dạy cho học sinh, giúp học sinh lên lớp 9 nắm chắc kiến thức của
chương trình. Tùy theo chất lượng học sinh hang năm tôi điều chỉnh lượng kiến
thức phù hợp để các em hiểu và hứng thú trong học tập. Qua ba năm triển khai
cho học sinh từ lớp 8 lên lớp 9 tôi thấy hiệu quả đạt được rất tích cực, các em
không còn ngại làm những bài có giá trị tuyệt đối, thậm chí rất thích vì bài toán
có nhiều tình huống.
Sau đây là những kết quả bước đầu khi tôi thực hiện đề tài “Ứng dụng
của giá trị tuyệt đối trong giải toán” cho học sinh lớp 8 lên lớp 9.
Độ hiểu

Năm học

Lớp 8

Lớp 9

2009 – 2010

8E

20%

9C

60%

2010 – 2011

8C

40%

9C

70%

2011 - 2012

8A

50%

9A

80%

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

23


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

PHẦN IV : KẾT LUẬN
I. Bài học kinh nghiệm
Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán không thể thiếu được
trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu
trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học,
tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh
nghiệm về vấn đề này.
* Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt các ứng dụng của Giá trị tuyệt
đối thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về Giá trị tuyệt đối : các
dạng của Giá trị tuyệt đối , phân biệt sự khác nhau giữa các dạng, đồng thời phải
nắm vững các phương pháp giải của các dạng toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối
* Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến
thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp
bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên
cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.
II-Kết luận chung:
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài
liệu tham khảo..., tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng đề tài
“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” là một kinh nghiệm của mình
để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự
sáng tạo và rèn kỹ năng giải các bài toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cho học
sinh.
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong
được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp.
Đông Thái, ngày 15 tháng 4 năm 2013
Ngƣời viết
Tƣờng Thị Thanh Mai
GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

24


SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

MỤC LỤC
PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU

1

I. Cơ sở lý luận

1

II. Cơ sở thực tiễn

1

III. Mục đích nghiên cứu

2

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

V. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

2

VI. Phương pháp nghiên cứu

3

VII. Giả thuyết khoa học

3

PHẦN II: NỘI DUNG

4

A. Lý thuyết

4

B. Các dạng toán.

5

I.Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

5

II. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối.

14

III. Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

17

IV.Tính giá trị biểu thức.

18

V. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối.

19

PHẦN III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC

22

PHẦN IV. KẾT LUẬN

23

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

25