Một vài phương pháp tìm GTLN, GTNN áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS đông thịnh

MỤC LỤC
Nội dung:
1. Mở đầu…………………………………………………………….…..Trang 1
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………… Trang 1,2
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………. Trang 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………..Trang 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…..………………………………………Trang 2,3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm….………………………………… Trang 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………Trang 3,4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……Trang 4,5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề...................…………....……………………………………… Trang 5 - 16
2.4. Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường……......................………………………Trang 16,17
3. Kết luận và kiến nghị……………………………………………Trang 17,18
- Kết luận .............................................................................................Trang
17,18
- Kiến nghị………………………………………………
Trang 18
Tài liệu tham khảo.………………………………………………….. Trang 19

0


1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông nhằm đào tạo nguồn
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập
quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn
học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động
viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích

cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học,
chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi
dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh,
góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Trong đó dạng toán tìm
GTNN và GTLN là vấn đề của ngành toán học nhằm giúp các em HS THCS có
khả năng tư duy và lập luận và rồi các em có khả năng áp dụng vào cuộc sống và
có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới và khó đối với
học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biến đổi tương đương
các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến
phức tạp... phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo.
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát hiện và
bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là các môn khoa
học tự nhiên và đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học
sinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lực về toán.
Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng
kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng
các kiến thức toán vào thực tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể
xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân
tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài.

1


Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là
hình thành được ''phương pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số. Cụ
thể hơn là cách tìm GTLN, GTNN?
Với thực tế và yêu cầu chung đó, việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài:
“Một vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)

áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông
Thịnh”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô
đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm phát triển tư
duy của học sinh.
- Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai
lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có
năng khiếu về toán.
- Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại số
nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi
dưỡng học sinh giỏi.
- Đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môn
toán hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN trong
chương trình toán THCS
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan .
- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 7,8, 9
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
- Đọc các tài liệu có liên quan
- Tạp chí toán tuổi thơ 2
- Phương pháp dạy học môn toán ;
2


- Sách giáo khoa
- Sách giáo viên

- Sách tham khảo
1.4.2. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trường.
- Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng đề tài “Một vài phương pháp tìm giá trị
lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp dụng trong bồi dưỡng học sinh
giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh” của học sinh.
- Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện.
1.4.3. Phương pháp phân tích
Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải một bài tập.
1.4.4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để dạy tốt hơn trong quá trình
dạy học.

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ
thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên
thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào
đó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán cực trị.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, mang nội dung vô cùng
sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán. Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất,
ngắn nhất, dài nhất... trong một bài toán. Để dần dần hình thành cho học sinh
thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau
này.
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em
học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông

3

minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học
ở bậc học để giải quyết loại toán này.
Các bài toán về cực trị đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc
rèn luyện tư duy cho học sinh.
Việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp giải các bài toán cực
trị là vấn đề quan trọng. Để từ đó phát triển tư duy, kích thích khả năng học môn
toán của các em học sinh khá, giỏi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Hiện nay thực tế việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong
trường phần kiến thức này có nhiều vấn đề cần quan tâm. Đó là trong sách giáo
khoa toán 8; toán 9 chỉ đưa ra một phần nhỏ phương pháp giải bài toán. Vì vậy
trong khi ôn tập giáo viên chưa có đủ thời gian để hệ thống phương pháp giải
một cách lôgic đầy đủ và khoa học cho học sinh và tài liệu tham khảo cho học
sinh về GTNN và GTLN khi viết và đưa ra các ví dụ hoặc bài toán còn liên quan
đến nhiều kiến thức mà học sinh trong trường chưa tiếp cận đến, vì vậy khi gặp
dạng toán này học sinh trong trường thường không làm được hoặc làm được thì
giải thích chưa được cặn kẽ.
Thời lượng chương trình dành cho học dạng toán này hầu như không có
mà chỉ thông qua các bài tập.
2.2.1. Đối với giáo viên
Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít, việc dạy tự chọn phần này
đôi khi bỏ qua vì cho là khó với học sinh và trong sách giáo khoa nói đến còn rất
ít. Vì vậy khi ôn tập cho học sinh lớp 9 thi học sinh giỏi và thi vào phổ thông
trung học giáo viên nhặt nhạnh vài bài thấy hay là dạy dẫn đến học sinh ngơ
ngác chẳng hiểu gì. Trong quá trình lên lớp “GTLN và GTNN” không đơn giản
chút nào . Ngoài ra phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ năng
cho HS.
Dạng toán tìm GTNN và GTLN là một trong những bài toán khó của
THCS mà trong những năm gần đây được các thầy cô quan tâm đến nhiều hơn
4

về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả năng tư duy
sáng tạo cho học sinh và khả năng làm toán tìm GTNN và GTLN, không những
thế mà đây là một dạng toán thường hay thi HSG và thi vào lớp 10
2.2.2. Đối với học sinh
- Học sinh thấy phần kiến thức này ít và khó nên không đầu tư học nhiều.
- Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đã học vào
vận dụng vào giải bài toán GTNN và GTLN nên gặp loại bài toán này học sinh
bí tắc trong cách giải.
- Tài liệu tham khảo cho học còn ít và chưa đưa ra các phương pháp cụ thể để
cho học sinh trung học cơ sơ dễ tiếp cận.
2.2.3. Kết quả khảo sát chất lượng học sinh
Cụ thể khi khảo sát dạy nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh
lớp 7,8,9 tìm GTLN, GTNN số em vận dụng kiến thức đã học vào làm đúng và
làm tốt đạt 25% , số em biết vận dụng vào làm bài tập đạt 55% , số em chưa vận
dụng kiến thức thành thạo vào làm bài tập 20%.
Từ thực trạng trên để học sinh hiểu và vận dụng làm tốt hơn tôi đã mạnh dạn
đưa vào chủ đề tự chọn và các buổi học bồi dưỡng HS giỏi để giảng dạy phần
GTNN và GTLN
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
2.3.1 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) �0 (hoặc A(x) �0)
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) �k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) �k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2.
5


Giải
A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9 = 2(x2-4x+5) = 2(x-2)2+2 �2
Vì (x-2)2 �0 với  x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) =-5x2 - 4x+1
Giải
4
5

Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x) = -5(x2+ x)+1
2
2
2
2
�2
�
2
�2 � �2 ��
� 2� 4 �
� 2� 9
x  2 x  � � � �� 1  5 �
= 5 �
�x  � � 1  5 �x  �
5
�5 � �5 ��
� 5 � 25 �
� 5� 5

�
�
2

2

� 2�
� 2�
Vì �x  ��0 với x �R nên 5 �x  � �0
� 5�
� 5�
2

� 2� 9 9
� B(x)  5 �x  � �
� 5� 5 5
9
2
khi x  
5
5

Max B(x) =

2.3.2. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng

A(x)
A(x)
�0 hoặc

�0
2
k
k2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số A(x) 

3x 2  6x  10
.
x 2  2x  3

Giải
3x 2  6x  10
Từ A(x)  2
x  2x  3

Ta có A(x) =

3x 2  6x  9  1 3(x 2  2x  3)  1
1

 3
2
2
x  2x  3
x  2x  3
(x  1) 2  2

Vì (x+1)2 �0 với  x nên (x+1)2+2 �2 với  x.
1

1

Do đó: (x  1) 2  2 �2
1

1

1

Vậy A(x) = 3  (x  1)2  2 �3  2  3 2
Max A(x) = 3

1
khi (x+1)2 = 0 � x= -1
2

6


2x 2  16x  41
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) = 2
với x �R .
x  8x  22

Giải
Từ B(x) =

2x 2  16x  41 2(x 2  8x  22)  3
3


 2
2
2
x  8x  22
x  8x  22
(x  4) 2  6

Vì (x- 4)2 �0 với x nên (x- 4)2+6 �6.
3
3 1
� 
2
Nên (x  4)  6 6 2

� B(x)  2 

3
1 3
�2  
2
2 2
(x  4)  6

Min B(x) =

3
khi (x- 4)2 = 0 � x=4
2

2.3.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng
cách áp dụng bất đẳng thức CôSi
- Bất đẳng thức CôSi cho 2 số.
Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức

ab
�2 ab
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
- Bất đẳng thức CôSi cho n số:
Cho n số a1, a2, ....an không âm, ta có bất đẳng thức:
a1  a 2  .....  a n n
� a1 , a 2 ...a n
n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
Bài toán:
a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của
chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Giải

7


a. Ta cần chứng minh rằng với x>0; y> 0 và xy = k (không đổi) thì x+y
đạt giá trị nhỏ nhất khi x=y.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ta có:

2

�x  y �
2
�
� �xy � (x  y) �4xy hay x  y �2 xy
2
�
�

mà xy=k (không đổi)

Nên ta có: x+y �2 xy  2 k (1)
Vậy tổng P = x+y lấy giá trị nhỏ nhất x+y = 2 k khi x = y
b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x+y = k (hằng số).
k
Từ (x+y)2 �4xy � xy �

2

4

k2
Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng
khi x = y
4

Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài
toán cực trị đại số.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A(x) = (x2 - 3x+1)(21+3x-x2)

Giải
Các biểu thức x2-3x+1và 21+3x-x2 có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của
chúng lớn nhất khi và chỉ khi
x2-3x+1 = 21+3x-x2 � x2-3x-10=0 � x1=5; x2 = -2.
Khi đó A = 11.11=121
Vậy Max A = 121 � x = 5 hoặc x = -2
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) =

16x 2  4x  1
với x > 0
2x

Giải
Từ B(x) =

1
1
16x 2  4x  1
Ta có B(x) = 8x+2+ . Hai số 8x và
là hai số dương,
2x
2x
2x

có tích không đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x =
� 16x2 =1 � x =

1
2x

1
(x>0)
4

8


111
1
6�x
Vậy Min B = 1
4
2

2.3.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số
Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:
A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p +28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
Giải
A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p
= (m-2p)2 + (p-1)2 + 27 + 10(m-2p)
Đặt X = m-2p. Ta có A=X2 + 10X + 27 + (p-1)2
= (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + 2 = (X+5)2 + (p-1)2 + 2
Ta thấy: (X + 5)2 �0 với  m, p; (p-1)2 �0  p
Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:
X5  0
X  5
m  2p  5
m  3
�

�
�
�
��
hay �
��
�
p 1  0
p 1
p 1
�
�
� p 1
�

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1.
Ví dụ 8: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5
Giải
Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho về
tổng các biểu thức không âm.
Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2) + 2x2 +
5 = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + 5.
Ta thấy: (x+2y)2 �0 với  x, y.
(3y-2z)2 �0 với  y, z
(x-z)2 �0 với  x, z
x2 �0 với  x, y.

9

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y) 2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2
đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng
thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.
�x  2y  0
�x  0
�
3y  2z  0
�
�
� �y  0
�
�x  z  0
�
z0
�
�
x

0
�

Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y = 0, z = 0.
Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C + ...+
Với A �k12, B �k22, C �k32, ...... thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất khi
A, B, C ..... đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó
P(min) = k12+k22+k32+...
Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:
�A  k12
�

2
�B  k 2
�
C  k 32
�
�
..........
�

Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
A = 7x  5y  2z  3x  xy  yz  xz  2000  t  t  2005 . Trong đó x;y;z;t là các số

hữu tỉ
Giải
2

3
� 1�
Ta có : A = 7x  5y  2z  3x  xy  yz  xz  2000  �t  � 2004
4
� 2�
2

3

� 1�
Vì  �0  �Q và �t  � �0 nên A �2004
4
� 2�

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
7x  5y  0
�
�
2z  3x  0
�
�
�xy  yz  zx  2000  0
2
�
� 1�
�
�t  �  0
�
� 2�
�

(1)
(2)
(3)
(4)

10


Từ (1) ta có: y =

7
3

x . Từ (2) ta có: z  x
5
2

Thay vào (3) ta được:
7 2 21 2 3 2
x  x  x  2000  5x 2  2000
5
10
2

<=> x2 = 400 <=> x = � 20
- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30
- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30
Ngoài ra, từ (4) ta có: t =

1
2
3
4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004 , đạt được khi
(x;y;z;t) = (20;28;30;

1
1
); Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; )
2
2

2.3.5. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng
thức Bunhiacôpxki.
a. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho 2n số a1, a2...., an; b1, b2, ....bn ta luôn có: (a1b1 + a2b2+....+ anbn) �(a12 + a22 +
.... + an2)(b12 + b22 + ....+ bn2).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

a1 a 2
a

 ...  n
b1 b 2
bn

b. Các ví dụ.
Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ
nhất P = x2 + y2 + z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x + y + z = 1995
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số: (1, 1, 1); (x, y, z)
Ta có: (x.1+y.1+z.1)2 �(12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)
Hay: (x+y+z)2 �3(x2 + y2 + z2)
(x  y  z) 2
Từ đó ta có P = x + y + z �
mà x + y + z = 1995 => Ta có:
3
2

2

2

19952
với  x, y, z
3

P = x2 + y2 + z2 �

11


x y z
19952
Pmin =
khi   hay x = y = z
1 1 1
3

Mà x + y + z = 1995 <=> x = y = z =

1995
= 665
3

Ví dụ 11: Cho x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x  3y
Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số (2, 3); (x,y) ta có:
(2.x+3.y)2 �(22 + 32)(x2 + y2)
(2x+3y)2 �13.52262
2x  3y �26

Max A = 26 <=>
Thay y 

x y
3x
 �y
2 3
2

3x
9x 2
2
2
2
 52 � x  �4
vào x + y = 52 ta có x +
2
4

Vậy Max A = 26 <=> x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
2.3.6. Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều
kiện nào đó.
Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x,y) = 6x + 4y thoả mãn điều
kiện:
�xy  216
�
�x  0
�y  0
�

Giải
Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0
=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 �4.6x.4y=96.xy
Vì xy = 216(gt) => [P(x,y)]2 �96.216=20736
P( x,y) �144
�

<=> �

P( x,y) �144
�

Min P(x,y) = 144 khi x = 12; y = 18

12


Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x). Biết x, y, z �0
và x + y + z =1.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 3 số không âm x, y, z ta có:
1 = x+y+z �3 3 xyz

(1)

2 = (x+y)+(y+z)+(z+x) �3 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm)
3

2

�9 �

��
Ta có: 2 �9 3 A  A �� �
3

1
�2 �
Max A = � �khi và chỉ khi x = y = z =
3
�9 �

2.3.7. Phương pháp dùng tam thức bậc hai
a. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.
Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2  x
Giải
Điều kiện x �2
Đặt 2  x = y �0. Ta có y2 = 2-x
2

� 1� 9 9
A = 2-y + y =  �y  � �
� 2� 4 4
2

Max A =

9
1
1

7
� y   2  x   x 
4
2
4
4

b. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.
Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2.
Biết rằng x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 - 2)2 =1
Giải
Từ x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 = 1 => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3 = -x2 �0
Do đó: A2 - 4A + 3 �0 <=> (A-1)(A-3) �0 <=> 1 �A �3
Min A = 1 <=> x = 0 khi đó y = �1
Min A = 3 <=> x = 0 khi đó y = � 3
13


c. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện  �0
x2  x  1
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = 2
x  x 1

Giải
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm a
=

x2  x  1
(1)
x2  x  1

2

� 1� 3
Do x + x + 1 = �x  �  0 x
� 2� 4
2

Nên (1) <=> ax2 + ax + a = x2 - x+1
<=> (a-1)x2 + (a-1)x + a-1 = 0(2)
Trường hợp 1: Nếu a =1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2: Nếu a �1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là  �0
=>  = (a+1)2 -4(a-1)2 �0
<=> (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) �0
<=> (3a-1)(a-3) �0
<=>

1
�a �3 (a �1)
3

Với a =

(a  1)
a 1
1
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x = 2(a  1)  2(1  a)
3

Với a =

1
thì x = 1; với a = 3 thì x = -1
3

Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:
Min A=

1
khi và chỉ khi x =1
3

Max A=3 khi và chỉ khi x=-1
2.3.8. Một vài phương pháp đăc biệt
(Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến -Tìm cực
trị có điều kiện)

14


Ở dạng này thường dùng đó là biểu thị ẩn nọ qua ẩn kia (qua việc

giải hệ phương trình bằng phương pháp thế).Trên cơ sở điều kiện của
bài để biến đổi đưa về biểu thức về dạng 1.
Ví dụ 17: Tìm cực trị của biểu thức

C 2 x  3 y  4 z (*) biết rằng x, y, z 0
 2 x  y  3z 6 (1)
và thỏa mãn hệ phương trình: 
 3x  4 y  3z 4 (2)

Giải
Theo phương trình (1) và (2), tìm được:
4 x
x  y 2  y 2  x ; z  
3 3

khi đó thay vào (*) ta được:

x 2
C 
3 3
( x, y, z có vai trò như nhau)
+ Dựa vào điều kiện: x 0, y 0, z 0 để lập luận và tìm ra yêu cầu của bài.

C

2
2
(khix 0) suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = 0
3
3

+ Sử dụng điều kiện:

y 0  x  2 
  x 2
z 0  x  4 

Do đó: 0 x 2 (kết hợp với điều kiện) nên khi đó học sinh tìm được:

4
x 2 4
C    suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng
khi x = 2.
3 3 3
3
2.3.9. Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức.
A=

1
x  6 x  17
2

Lời giải sai: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8  8
Min(x2 – 6x + 17) = 8  x = 3

15


Vì A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Vậy Max A =

1
khi x = 3
8

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định: “A
có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ là
điều kiện tử và mẫu đều dương.

Chẳng hạn xét biểu thức B =

1
với lập luận “Phân thức B có tử không
x  4
2

đổi nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0 nên
MaxB = -

1
1
 x = 0. Điều này không đúng vì
không là giá trị lớn nhất của
4
4

B. Chẳng hạn x = 3 thì B =

1
1
 .
5
4

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang
phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2  2xy. Do đó A nhỏ nhất  x2 + y2 = 2xy

 x = y = 2. Khi đó Min A = 22 + 22 = 8.
Phân tích sai lầm: Đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm, ta mới
chứng minh được f(x,y)  g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y)  m với m
là hằng số.
Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức đúng x2  4x – 4 sẽ suy ra
x2 nhỏ nhất  x2 = 4x – 4  (x – 2)2 = 0, do đó Minx2 = 4  x = 2, nhưng dễ
thấy kết quả đúng phải là minx2 = 0  x = 0.
Cách giải đúng:
x + y = 4 suy ra x2 + 2xy + y2 = 16
(1)
Ta lại có (x – y)2 suy ra x2 – 2xy + y2  0
(2)
2
2
2
2
Từ (1) và (2) suy ra 2(x + y )  16; x + y  8
Nên MinA = 8 khi x = y = 2.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất
(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn
toán ở trường THCS Đông Thịnh”

16


đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi dạy.
Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào
giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác. Nhiều em còn đề xuất những hướng giải

khác và tổng quát hóa bài toán.
Mức độ yêu thích môn toán nói chung nâng lên, các em không còn thấy
ngại dạng toán tìm GTLN và GTNN của môn đại số nữa mà trở nên hứng thú
học và tìm hiểu nhiều hơn.
Đa số các em nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN, biết sử
dụng các phương pháp này vào giải từng bài toán cụ thể.
Học sinh đã từng bước khai thác các bài toán khó dựa vào kiến thức đã học
để mở rộng kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán tìm GTLN và GTNN.
Các em ngày càng yêu thích môn toán hơn chính vì thế mà học sinh giỏi
môn toán các cấp của trường tôi ngày càng tăng về số lượng và chất lượng
Sau khi giảng dạy đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra kết quả thống kê như sau:
Khối

Điểm
Số lượng

8

15

12
34
56
SL TL SL TL SL
TL
5

33,4 %

78

SL
TL
8

53,3%

910
SL
TL
2

13,3%

Đặc biệt trong sáng kiến kinh nghiệm này có trình bày những sai lầm
trong phân tích tìm GTLN và GTNN. Bởi đây là những sai lầm, ngộ nhận trong
quá trình suy luận logic mà các em cần phải tránh trong khi làm bài. Việc vận
dụng bất đẳng thức Côsi, Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị còn rất khó đối với học
sinh THCS. Chính vì thế giáo viên cần phải quan tâm đầu tư hơn về phương
pháp này nhằm trao dồi, rèn luyện tìm ra cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học
tập cho các em, để các em học tập hiệu quả hơn.
Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu khó nghiên cứu
tài liệu và trao dồi học hỏi bạn bè, nên đôi khi còn lúng túng trong việc vận dụng
các phương pháp trên. Do đó trong quá trình giảng dạy đề tài tôi luôn kiểm tra,

17


đánh giá cụ thể từng bài, từng em trong từng giai đoạn để việc giảng dạy, bồi
dưỡng được tốt hơn.
3. Kết luận và kiến nghị

KẾT LUẬN
Phương pháp tìm cực trị trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi người
học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách
linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị
chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất
và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập,
tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên
kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc
và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau. Nghiên cứu đề tài “Một
vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp
dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh”
không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, phát triển tư duy cho
học sinh, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng
dạy. Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu
sót. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến để
đề tài này hoàn thiện hơn.
KIẾN NGHỊ
Đối với cấp quản lí: Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề về đề tài tìm cực trị đại số
nói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao dồi,
nghiên cứu nhiều hơn.
Đối với giáo viên: Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị đại
số toán THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn.
Trên đây là một kinh nghiệm thu được qua việc tự học, tự bồi dưỡng, tôi
đã áp dụng vào việc giảng dạy ở trường đã thấy chất lượng giờ dạy nâng lên rõ
rệt. Tôi mạnh dạn đưa ra trao đổi cùng đồng nghiệp. Rất mong hội đồng khoa
học và các đồng nghiệp góp ý để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.
18


Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 3 năm 2019
Tôi cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người trình bày

Nguyễn Thị Hồng Nguyên

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa Đại số 8; 9

Nhà xuất bản giáo dục

1) Sách nâng cao Đại số 8

Vũ Hữu Bình

2) Sách nâng cao Đại số 9

Vũ Hữu Bình

3) Sách nâng cao Đại số 8

Võ Đại Mau

4) Sách nâng cao Đại số 9

Võ Đại Mau

5) Tuyển tập các bài toán sơ cấp

Vũ Hữu Bình

6) Tuyển tập các bài toán sơ cấp

Võ Đại Mau

7) 36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS

Võ Đại Mau

8) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề: Lớp 6,7,8,9 Bùi Văn Tuyên
9) Tạp trí toán học trẻ

20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN

TÊN ĐỀ TÀI
MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ÁP DỤNG TRONG BỒI DƯỠNG HỌC
SINH GIỎI MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THCS ĐÔNG THỊNH

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nguyên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Thịnh
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

21