PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH các DẠNG bài tập SÓNG DỪNG vật lí 12

MỤC LỤC
Mục
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.4.1.
1.4.2.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.3.5.
2.3.6.
2.3.7.
2.3.8.
2.3.9.
2.3.10
.
2.3.11.
2.3.12
.
2.3.13
.
2.3.14
.

2.3.15
.
2.4.
2.4.1.
2.4.2.
2.4.3.
2.4.4.
3.
3.1.
3.2.

Nội dung
Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết
Nghiên cứu thực nghiệm
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Phương pháp giải nhanh các dạng BT sóng dừng vật lí 12
Bài tập liên quan đến đặc điểm sóng dừng
Bài tập dùng nam châm điện hoặc nam châm vĩnh cửu để kích
thích sóng dừng
Bài tập sóng dừng liên quan đến thay đổi của f, v, T
Bài tập thay đổi tần số nhỏ nhất để có sóng dừng
Bài tập tính số nút, số bụng trên đoạn AB
Bài tập liên quan đến biểu thức sóng dừng

Bài tập tính biên độ dao động sóng dừng
BT liên quan đến tỉ số li độ hoặc tỉ số vận tốc trong sóng dừng
Bài tập liên quan đến hai điểm liên tiếp có cùng biên độ

Trang
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
4
5
7
7
8
9
10

Bài tập liên quan đến ba điểm liên tiếp có cùng biên độ
BT liên quan đến các điểm có cùng biên độ và cách đều nhau
Bài tập liên quan đến các điểm gần nút nhất hoặc nằm gần
bụng nhất có biên độ A0

11
12

BT tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm có biên độ A0

14

Bài tập liên quan khoảng thời gian li độ lặp lại

15

Bài tập liên quan li độ và vận tốc tại các điểm khác nhau
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Khảo sát đầu năm
Nhận xét
Kết quả qua bài kiểm tra
Kết quả
Kết luận, kiến nghị
Kết luận
Kiến nghị

17

13

18
18
18

19
19
19
19
20
0


4.
4.

Tài liệu tham khảo
Danh mục SKKN đã được xếp loại

21
22

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trắc nghiệm khách quan là hình thức chủ đạo để kiểm tra đánh giá định kì
chất lượng học tập và là hình thức bắt buộc trong kì thi trung học phổ thông
quốc gia môn vật lí hiện nay.
Đối với hình thức thi trắc nghiệm khách quan thì nội dung kiến thức kiểm
tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của
chương trình vật lí trung học phổ thông.
Để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra đánh giá định kì chất lượng
học tập, thi tuyển, thì học sinh không những phải nắm vững kiến thức, mà còn
phải có phương pháp phản ứng nhanh nhạy, xử lí tốt đối với các dạng bài tập của
từng chuyên đề.
Với các lí do trên tôi có dự định giúp học sinh có phương pháp giải nhanh

các dạng bài tập vật lí trung học phổ thông. Trong khuôn khổ của một sáng kiến
kinh nghiệm tôi thực hiện đề tài “Phương pháp giải nhanh các dạng bài tập
sóng dừng vật lí 12”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, đề xuất các phương pháp giải nhanh các dạng bài tập vật lí
trung học phổ thông nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo
viên và tốc độ giải bài tập vật lí của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp giải nhanh các dạng bài tập vật lí THPT.
Hoạt động dạy và học vật lí của giáo viên và học sinh THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Nghiên cứu lí thuyết
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến sóng dừng
- Nghiên cứu các phương pháp giải nhanh các dạng bài tập sóng dừng.
1.4.2. Nghiên cứu thực nghiệm
- Thực trạng của học sinh trung học phổ thông khi giải bài tập sóng dừng.
- Tổng kết kinh nghiệm bản thân, tham khảo ý kiến đồng nghiệp để đưa ra
phương pháp giải nhanh các bài tập sóng dừng.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trên cơ sở lí thuyết về sóng cơ, sóng dừng và công thức trong sách giáo
khoa để xây dựng các phương pháp và công thức nhằm mục đích giúp học sinh
rèn luyện kĩ năng tính nhanh.
Nêu các vấn đề cần giải quyết và đưa ra phương pháp giải quyết nhanh
vấn đề thông qua các ví dụ minh họa.
1


Đề tài được dạy thực nghiệm trên một số lớp và có kiểm tra khảo sát,

đánh giá và so sánh với các lớp chỉ được giảng dạy bình thường theo sách giáo
khoa, không áp dụng đề tài.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong sách giáo khoa Vật lí 12 chương trình chuẩn và Vật lí 12 chương
trình nâng cao trình bày lí thuyết về sóng dừng trên dây với những bài tập đơn
giản chỉ cần vận dụng công thức sẵn có trong sách giáo khoa là giải được.
Trong thực tế thì đề thi THPTQG có các dạng bài tập về sóng dừng rất
phong phú, nếu không có phương pháp giải nhanh thì học sinh sẽ không đủ thời
gian để hoàn thành bài thi. Với dung lượng kiến thức rộng và thời gian làm bài
ngắn, học sinh chắc chắn sẽ gặp không ít khó khăn. Để giúp học sinh tháo gỡ
khó khăn trên tôi đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng bài tập sóng dừng
như sau.
2.3. Phương pháp giải nhanh các dạng bài tập sóng dừng vật lí 12
2.3.1. Bài tập liên quan đến đặc điểm sóng dừng
Phương pháp giải:
Bó sóng

Bó sóng

nút

nút
bụng

bụng

Bó sóng

Bó sóng

nút

nút
bụng

Bó sóng

bụng

bụng

- Các điểm trên cùng một bó sóng thì dao động cùng pha.
- Các điểm các điểm nằm trên hai bó sóng liền kề thì dao động ngược pha.
- Các điểm nằm trên bó cùng chẵn hoặc cùng lẻ dao động cùng pha, các điểm
nằm trên bó lẻ thì dao động ngược pha với các điểm nằm trên bó chẵn.

- Khoảng cách hai nút liên tiếp hoặc hai bụng liên tiếp là ; Khoảng cách từ
2

một nút đến một bụng gần nhất là
4
- Nếu một đầu cố định, đầu còn lại cố định (hoặc dao động với biên độ nhỏ), để
có sóng dừng trên dây thì hai đầu phải là hai nút:
so bung = k

vT
v
l=k =k
=k
�

so nut =  k + 1
2
2
2f
- Nếu một đầu cố định, đầu còn lại tự do, để có sóng dừng trên dây thì đầu cố
định phải là nút và đầu tự do là bụng
2


l =  2k  1

so bung =  k + 1

�
so nut =  k + 1
4

l =  2k  1
- Hoặc nếu dùng công thức

so nut = k

v
=  2k  1
�
so bung = k
4
4f

so nut = k+1


v
=  2k+1
�
so bung = k+1
4
4f

- Khoảng cách từ nút thứ nhất đến nút thứ n là x   n  1
2

- Khoảng cách từ nút thứ nhất đến bụng thứ n là x   2n  1
4
- Khoảng thời gian hai lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng bằng khoảng thời gian 2
lần liên tiếp một điểm dao động trên dây đi qua vị trí cân bằng (tốc độ dao động
cực đại) là

l =  2k+1

T
.
2

- Suy ra khoảng thời gian n lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là Δt =  n-1

T
2

- Khoảng thời gian ngắn nhất một điểm dao động trên dây đi từ vị trí cân bằng
(tốc độ cực đại) đến vị trí biên (tốc độ bằng không) là T/4

Ví dụ :
Sóng dừng trên sợi dây dài 1 m với vật cản cố định, tần số 80 Hz . Tốc độ
truyền sóng là 40 m/s. Cho các điểm M 1, M2, M3, M4 trên dây và lần lượt cách
vật cản cố định 18 cm, 37 cm, 60 cm, 75 cm. Hãy xét các trạng thái dao động
của các điểm trên ?
Giải

v
Ta có    0,5 (m) = 50 cm �  25 cm
f
2
25cm

25cm
M1

25cm

25cm

25cm

M3

M2

M4

Điểm M4 là nút nên không dao động.
Điểm M1 nằm trên bó 1, điểm M3 nằm trên bó 3 nên chúng dao động cùng pha.

Điểm M1 và M2 nằm trên hai bó liền kề nên chúng dao động ngược pha
Điểm M2 và M3 nằm trên hai bó liền kề nên chúng dao động ngược pha.
2.3.2. Bài tập dùng nam châm điện hoặc nam châm vĩnh cửu để kích thích
sóng dừng
Phương pháp giải:
Nếu dùng nam châm điện mà
dòng điện xoay chiều có tần số f đ để
3


kích thích dao động của sợi dây thép thì trong một chu kì dòng điện nam châm
hút mạnh 2 lần và không hút 2 lần nên nó kích thích dây dao động với tần số f =
2fđ. Còn nếu dùng nam châm vĩnh cửu thì f = fđ.
Ví dụ :
Sóng dừng trên dây thép dài 1,2 m hai đầu P, Q cố định kích thích bởi
nam châm điện. Nếu A cách bụng B liền kề là 10 cm và I là trung điểm của AB.
Biết khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp I và B có cùng li độ là 0,02 s. Tính
tần số của dòng điện và tốc độ truyền sóng trên dây ?
Giải


Nút cách bụng liền kề chính là
hay  10 �   40 cm = 0,4 m.
4
4
Hai điểm I và B chỉ cùng li độ khi đi qua vị trí cân bằng. Hai lần liên tiếp I và B
có cùng li độ cũng chính là hai lần liên tiếp các chất điểm qua vị trí cân bằng và
 0,4
T
T

 10 m/s.
bằng hay  0,02 � T  0,04 (s) � v  
T 0,04
2
2
1
f
A
Vậy f = = 25Hz � f d = = 12,5Hz
I
B
T
2
2.3.3. Bài tập sóng dừng liên quan đến thay đổi của f, v, T
Phương pháp giải:
Nếu cho biết f1 ≤ f ≤ f2 hoặc v1 ≤ v ≤v2 thì dựa vào điều kiện sóng dừng để
tìm f theo k hoặc v theo k rồi thay vào điều kiện giới hạn nói trên.
v

- Hai đầu cố định: l  k  k
2f
2

v
- Một đầu cố định, một đầu tự do: l  (2k  1)  (2k  1)
4
4f
Chú ý:
1) Khi tất cả các điều kiện không thay đổi, chỉ thay đổi tần số thì nút tăng thêm
bao nhiêu thì số bụng cũng tăng thêm bấy nhiêu.


v
v
� f  k � f  k
- Hai đầu cố định: l  k
2f
2l
2l
- Một đầu cố định, một đầu tự do:

v
v
l  (2k  1)
� f  (2 k  1) � f  2k
4f
4l
4l
2) Có nhiều tần số có thể tạo ra sóng dừng, để tìm tần số nhỏ nhất và khoảng
cách giữa các tần số đó, ta dựa vào điều kiện sóng dừng:
v
�
f min  � f k  kf min
�

v
v
�
2l
� fk  k. � �
- Hai đầu cố định: l  k  k

2
2f
2l
�f  f  v  f
min
�k 1 k 2l
(Hiệu hai tần số liền kề bằng tần số nhỏ nhất)
4


- Một đầu cố định, một đầu tự do:
v
�
f

� f n  (2n  1) f min
min
�

v
v
�
4l
l  (2n  1)  (2n  1)
� f n  (2n  1) � �
4
4f
4l
�f  f  v  2 f
min

�n1 n 2l
(Hiệu hai tần số liền kề gấp đôi tần số nhỏ nhất)
Kinh nghiệm:
1) Nếu có hai tần số liên tiếp f 1 và f2 mà tỉ số tần số của chúng ta là hai số
nguyên liên tiếp thì tần số nhỏ nhất vẫn tạo ra sóng dừng trên dây là
f min  f1  f 2 .
2) Nếu có 2 tần số liên tiếp mà tỉ số sóng dừng của chúng là 2 số nguyên lẻ liên
tiếp thì tần số nhỏ nhất vẫn tạo ra sóng dừng trên dây là f min  0,5 f1  f 2
Ví dụ 1: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi rất dài. Hai điểm A và B trên dây
cách nhau 1 m là 2 nút. Biết tần số sóng nằm trong khoảng từ 300 Hz đến 450
Hz. Tốc độ truyền dao động là 320 m/s. Xác định tần số f ?
Giải

v
� f  160k
Ta có l  1(m) = AB = k = k
2
2f
Thay vào điều kiện bài toán
=160 k
f1 ����������
f f 2 300 f 450  f�

1,875 k 2,8 k 2
Thay k = 2 vào trở lại phương trình f  160k  160.2  320 (Hz)
Ví dụ 2: Một sợi dây có chiều dài 1,5 m một đầu cố định, một đầu tự do. Kích
thích cho sợi dây dao động với tần số 100 Hz thì trên dây xuất hiện sóng dừng.
Tốc độ truyền sóng trên dây nằm trong khoảng từ 150 m/s đến 400 m/s. Xác
định bước sóng ?
Giải

so nut = k

v
�
Ta có: l =  2k  1 =  2k  1
so bung = k
4
4f
4l f
600

Vậy v   2k  1
 2k  1  2k  1
Thay vào điều kiện bài toán
� 600 �
150 ���
v 400
 �150
� �
� 400 1,25 k 2,5 k 2
2k

1


�
�
600
 200 m/s �   v  2 m
Thay ngược trở lại phương trình v 

 2k  1
f
2.3.4. Bài tập thay đổi tần số nhỏ nhất để có sóng dừng
Phương pháp giải:
1) Lúc đầu một đầu cố định một đầu tự do thì trên dây có sóng dừng với tần số f:

v
v
2f
l  (2n  1)  (2n  1)
� 
(số nút = số bụng = n).
4
4f
2l (2n  1)
5


*Sau đó, giữ đầu cố định hai đầu thì trên dây có sóng dừng với tần số f’:

v
v
2f
lk k
� f ' k  k
2
2f '
2l
(2n  1)
2f

Tần số nhỏ nhất: f 'min 
.
(2n  1)
2f
2(k  n) f  f
f 
Độ thay đổi tần số: f  f ' f  k
.
(2n  1)
(2n  1)
f
Ta thấy khi k = n thì f min 
.
(2n  1)
f
f'
 min . Từ công thức
Đến đây ta rút ra công thức giải nhanh: f min 
(2n  1)
2
này ta giải quyết các bài toán khó hơn.
2) Lúc đầu hai đâu cố định, trên dây có sóng dừng với tần số f:

v
v
f
lk k
�  (số nút -1 = số bụng = k).
2
2f

2l k
*Sau đó, một đầu cố định một đầu tự do, trên dây có sóng dừng với tần số f’:

v
v
f
l  (2k ' 1)  (2k ' 1)
� f '  (2k ' 1)  (2k ' 1)
4
4f '
4l
2k
f
Tần số nhỏ nhất: f 'min 
.
2k
Ví dụ 1: Một sợi dây đàn hồi, đầu A gắn với nguồn dao động, đầu B tự do. Khi
dây rung với tần số 12 Hz thì trên dây xuất hiện sóng dừng ổn định có 8 điểm
nút trên dây với A là nút và B là bụng. Nếu đầu B được giữ cố định và tốc độ
truyền sóng trên dây không đổi thì phải thay đổi tần số rung của dây một lượng
nhỏ nhất bằng bao nhiêu để trên dây tiếp tục xảy ra hiện tượng sóng dừng ổn
định ?
Giải
f
/
Áp dụng công thức f min  f  f 
 2n - 1 với n = 8 và f =12 Hz, ta được:
f
12
f min  f /  f 


 0,8 Hz.
 2n - 1  2.8 - 1
Ví dụ 2: Một sợi dây đàn hồi, đầu A gắn với nguồn dao động, đầu B tự do. Khi
dây rung với tần số f thì trên dây xuất hiện sóng dừng ổn định có n điểm nút trên
dây với A là nút và B là bụng. Nếu đầu B được giữ cố định và tốc độ truyền sóng
f
trên dây không đổi thì khi tăng hoặc giảm tần số lượng nhỏ nhất f min  , trên
9
dây tiếp tục xảy ra hiện tượng sóng dừng ổn định. Tìm n ?
Giải
f
f
f
/
� 
��
�n  5
Áp dụng công thức f min  f  f 
9  2n - 1
 2n - 1
6


2.3.5. Bài tập tính số nút, số bụng trên đoạn AB
Phương pháp giải:
Để tính số nút và số bụng giữa hai điểm A và B ( tính cả A và B) ta làm như sau:
AB
�
�Sb 

0,5
*Đầu A và B đều là nút thì số nút nhiều hơn số bụng là 1: �
�Sn  Sb  1
�
AB
�
�Sb 
0,5
*Đầu A và B đều là bụng thì số bụng nhiều hơn số nút là 1: �
�Sn  Sn  1
�
AB
 0,5
*Đầu A nút và B bụng thì số bụng bằng số nút là 1: Sb  Sn 
0,5
Ví dụ : Một sợi dây AB dài 150 cm căng ngang. Đầu B cố định, đầu A gắn với
một nhánh của âm thoa dao động điều hòa với tần số 40 Hz. Trên dây AB có một
sóng dừng ổn định. A được coi là nút sóng. Tốc độ truyền sóng trên dây là 20
m/s. Kể cả A và B thì trên dây có bao nhiêu nút và bao nhiêu bụng sóng ?
Giải
v 20
 0,5 m = 50 cm.
Ta có   
f 40
Vì hai đầu đều là nút nên số nút nhiều hơn số bụng là 1:
AB
so bung: Sb =
6
0,5
so nut: Sn = Sb+ 1  6  1  7

2.3.6. Bài tập liên quan đến biểu thức sóng dừng
Phương pháp giải:
- Nếu chọn gốc tọa độ trùng với nút thì biểu thức sóng dừng có dạng:
�
A b�ng  2a  A max
�
2x �2  �
2x
u  2asin
cos� t  �
(cm) � A  2asin
��
A n�t  0

2�

�T
�
0 �A �2a
�
(/x/ là khoảng cách từ điểm khảo sát đến nút làm gốc).
- Nếu chọn gốc tọa độ trùng với bụng thì biểu thức sóng dừng có dạng:
�
A b�ng  2a  A max
�
2y �2
�
2y
u  2acos
cos� t  �

(cm) � A  2acos
��
A n�t  0

2�

�T
�
0 �A �2a
�
(/y/ là khoảng cách từ điểm khảo sát đến bụng làm gốc).
?
�
H�s�c�
at
��
� v  f 
H�s�c�
ax
f ?
�

7


- Vận tốc dao động của phân tử M trên dây (u  2a sin

vdd  ut '  2a sin

2 x �  �

sin �
t  �
(cm / s)

2�
�

2 x
� �
cos �
t  �
(cm))

2
�
�

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M trên dây ( u  2a sin

2 x
� �
cos �
t  �
(cm)

2�
�

2 x
2 x

� �
cos
cos �
t  �
( rad )


2�
�
Chú ý: Nếu một vài tham số trong biểu thức sóng dừng chưa biết thì ta đối chiếu
H�s�c�
at
với biểu thức tổng quát để xác định và v 
H�s�c�
ax
Ví dụ : Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi có biểu thức
x
�
�
u  2sin cos �
20t  �cm. Trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần
4
2�
�
tử trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc O một khoảng là x. Xác định tốc
độ truyền sóng trên dây ? Và tốc độ dao động của điểm M ?
Giải
�he so cua t � 20
v  f  �


�
Ta có tốc độ truyền sóng:
�he so cua x � � � 80 cm/s.
��
�4 �
x
�
�
/
20t  �
Tốc độ dao động: vdd  u t  2.20 sin cos �
.
4
2�
�
2.3.7. Bài tập tính biên độ dao động sóng dừng
Phương pháp giải:
2 x
*Nếu x là khoảng cách từ điểm M đến nút chọn làm gốc thì A  Amax sin

2 y
*Nếu y là khoảng cách từ điểm M đến nút chọn làm gốc thì A  Amax cos

Với Amax là biên độ tại bụng.
Ví dụ : Sóng dừng trên sợi dây, hao điểm O và B cách nhau 140 cm, O là nút và
B là bụng. Trên OB ngoài điểm O còn có 3 điểm nút và biên độ đao động bụng
là 1 cm. Tính biên độ dao động tại điểm M cách B 65 cm ?
Giải

O là nút, B là bụng đồng thời trên đoạn đó có 4 nút nên: l  OB   2k  1

4

Hay  2.4  1  140 �   80 cm.
4
�2x �
�2.65 �
Chọn B làm gốc lúc đó A  A max cos � � 1 cos �
� 0,38 cm.

80
� �
�
�
tan   u 'x  2a

8


2.3.8. Bài tập liên quan đến tỉ số li độ hoặc tỉ số vận tốc trong sóng dừng
Phương pháp giải:
Nếu M và N nằm trên cùng một bó sóng (hoặc nằm trên các bó sóng cùng chẵn
hoặc cùng lẻ) thì dao động cùng pha nên tỉ số li độ bằng tỉ số vận tốc dao động
và bằng tỉ số biên độ tương ứng:
�2x �
�2y �
sin � M � cos � M �
u M vM
�  �
�  � A M � u M  v M  A M



u N vN AN
u N vN
�2x �
�2y � A
sin � N � cos � N � N
� �
� �
Nếu M và N nằm trên hai bó sóng liền kề (hoặc một điểm nằm trên bó chẵn, một
điểm nằm trên bó lẻ) thì dao động ngược pha nên tỉ số li độ bằng tỉ số vận tốc
dao động và bằng âm tỉ số biên độ tương ứng:
�2x �
�2y �
sin � M � cos � M �
u M vM
�  �
�  �  A M � u M  v M   A M


u N vN
AN
u N vN
�2x �
�2y � A N
sin � N � cos � N �
� �
� �
Ví dụ 1: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi dài với bước sóng 60 cm. Tại điểm
M trên dây dao động cực đại, tại điểm N trên dây cách M một khoảng 10 cm. Tỉ
số giữa biên độ dao động tại M và N là ?

Giải
λ
Chọn bụng M làm gốc y M = 0, y N =10cm <
4
�2 y �
�2 .0 �
cos � M � cos �
�
AM
 �
60 �
�
�


2
Vì M và N nằm trên cùng một bó nên
AN
�2 yN �
�2 .10 �
cos �
� cos �
�
� �
� 60 �
Ví dụ 2: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi có bước sóng  . N là nút sóng.
Hai điểm M1 và M2 ở hai bên N và có vị trí cân bằng cách N những khoảng NM 1
=  /6 và NM2 =  /12. Khi đó tỉ số li độ của M1 so với M2 là ?
Giải


λ
Chọn nút N làm gốc xM1 = - , x M 2 =
6
12
Vì M1 và M2 nằm trên hai bó liền kề
�2 x �
2
�
�
�
sin � M1 � sin � .�
 �
�
�
u M1
 �
 �6�
�
�
�


 3
2 � �
uM 2
�2 xM 2 �
�
�
sin �
�

� sin � .�
�
12 �

� �
�
�
�

9


2.3.9. Bài tập liên quan đến hai điểm liên tiếp có cùng biên độ
Phương pháp giải:
Hai điểm liên tiếp có cùng biên độ A 0 thì hoặc hai điểm này nằm hai bên nút
hoặc nằm hai bên bụng.
M

N
y

x

x

y

P

Q

- Nếu hai điểm này nằm hai bên nút (ví dụ N và P) thì chúng nằm trên hai bó
sóng liền kề (hai điểm này dao động ngược pha nhau) và những điểm nằm giữa
x=
chúng có biên độ nhỏ hơn A0. Ta có:

NP
2

2 x

- Nếu hai điểm này nằm hai bên bụng (ví dụ M và N) thì chúng nằm trên một bó
sóng (hai điểm này dao động cùng pha) và những điểm nằm giữa chúng có biên
A 0 = A max sin

y=
độ lớn hơn A0. Ta có:

MN
2

2 y

Ví dụ 1: Sóng dừng trên sợi dây có biên độ ở bụng là 5 cm. Giữa hai điểm M, N
có biên độ 2,5 cm cách nhau 20 cm và các điểm nằm trong khoảng MN luôn dao
động với biên độ nhỏ hơn 2,5 cm. Tìm bước sóng ?
Giải
Vì các điểm nằm trong khoảng MN luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5 cm
nên M và N nằm ở hai bó sóng liền kề và đối xứng nhau qua nút sóng.
A 0 = A max sin

x
A

-A

NP
 10cm
2
�   120 cm
2 x
2 .10
A 0 = A max sin
� 2,5  5 sin


x=

10


Ví dụ 2: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng, biên độ tại bụng sóng là 2A (cm). M
π�
�
10πt + �cm, điểm N có
là một điểm trên dây có phương trình u M = Acos �
3�
�
2π �
�

10πt phương trình u N = Acos �
�cm, tốc độ truyền sóng là 1,2 m/s. Khoảng
3 �
�
cách MN nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?
Giải
2
 0,24 m
Ta có:   vT = v

Hai điểm M, N dao động cùng biên độ và ngược pha nhau. Điểm M và N gần
nhau nhất nên chúng đối xứng nhau qua nút sóng.

x
A

-A

2x
2x
� A  2A sin
� x  0,04 m

0, 24
2.3.10. Bài tập liên quan đến ba điểm liên tiếp có cùng biên độ
Phương pháp giải:
A = A max sin

y

M

x

N

P

Giả sử ba điểm liên tiếp có cùng biên độ thì trong đó phải có hai điểm (ví dụ M
và N) nằm trên cùng một bó (dao động cùng pha) và điểm còn lại (ví dụ P) nằm
trên bó liền kề (dao động ngược pha với hai điểm nói trên):
NP
λ
x=
x y 
2
4
Thì lúc đó
và
MN
λ = 2  MN+NP 
y=
2
Ví dụ 1: M, N, P là ba điểm dao động liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng
dừng có cùng biên độ 4 cm, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết
MN = 2NP = 20 cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04 s thì sợi dây có
11


dạng một đoạn thẳng và biên độ tại bụng là 10 cm. Tính biên độ tại bụng sóng

và bước sóng ?
Giải
NP
 5cm .
2
2 x
2 .5
� 4  A max sin
� A max  8 cm.
ÁP dụng CT: A = A max sin

60
Ví dụ 2: M, N, P là ba điểm dao động liên tiếp nhau trên một sợi dây mang
sóng dừng có cùng biên độ A, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết
MN = 2NP = 20 cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04 s thì sợi dây có
dạng một đoạn thẳng và biên độ tại bụng là 10 cm. Tính A và tốc độ truyền
sóng?
Ta có λ = 2  MN+NP   60 cm và x =

Giải
Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04 s

T
= 0,04 � T = 0,08s
2


 7,5 m/s.
T
2 x

2 .5
NP
� A  10 sin
 5 cm.
x=
 5cm � A = A max sin

60
2
2.3.11. Bài tập liên quan đến các điểm có cùng biên độ và cách đều nhau
Phương pháp giải:
- Các điểm bụng có cùng biên độ A max nằm cách đều nhau những khoảng
λ
d1 = x  .
2
- Các điểm không phải bụng có cùng biên độ A 0 < Amax mà nằm cách đều nhau
Ta có λ = 2  MN+NP   60 cm và � v =

những khoảng là d2 thì chỉ có thể là A 0 =

y

M

A max
λ
và d 2 = x = .
2
4

x

N

P



� x 
8
4
x  MN  NP �
�2  � A
A 0 = A max sin � . � max
� 8 � 2
xy

12


Ví dụ : Sóng dừng trên sợi dây đàn hồi dài có bước sóng  có biên độ tại bụng
là A. Biết những điểm của sợi dây có biên độ dao động A 0 = 2 cm (với A0 < A)
nằm cách đều nhau những khoảng 20 cm. Giá trị của  và A là ?
Giải
x y
Ta có x  MN  NP �





� x  � 20  �   80cm
8
4
4

A max
� A max  2 2 cm
2
2.3.12. Bài tập liên quan đến các điểm gần nút nhất hoặc nằm gần bụng
nhất có biên độ A0
Phương pháp giải:
Điểm có cùng biên độ A0 nằm cách nút gần nhất một đoạn xmin và cách bụng
A0 

gần nhất một đoạn ymin thì A 0  A max sin

2 xmin
2 ymin
 A max cos



Ví dụ 1: Một sợi dây OM đàn hồi dài 90 cm có hai đầu cố định, khi được kích
thích trên dây hình thành 3 bụng sóng (với O và M là hai nút), biên độ tại bụng
là 3 cm. Tại điểm N gần O nhất có biên độ dao động là 1,5 cm. Tính khoảng
cách ON ?
Giải


Hai đầu cố định mà có 3 bụng nên l  OM  3 � 90  3 �   60 cm.

2
2
2 xmin
2 xmin
� 1,5  3sin
� xmin  ON = 5
Áp dụng công thức A 0  A max sin

60
cm.
Ví dụ 2: Sóng dừng trên dây đàn hồi có bước sóng 15 cm và có biên độ tại bụng
là 2 cm. Tại O là một nút và tại N gần O nhất có biên độ dao động là 3 cm.
Điểm N cách bụng gần nhất là bao nhiêu ?
Giải
2 ymin
2 ymin
� 3  2sin
� ymin  1,25 cm.
Áp dụng công thức A 0  A max cos

15
Ví dụ 3: Tạo sóng dừng trên một sợi dây dài bằng nguồn sóng có
u = 2cosωt
 + φ  cm. Bước sóng trên dây là 30 cm. Gọi M là điểm trên sợi dây
dao động với biên độ 2 cm. Hãy xác định khoảng cách từ M đến nút gần nhất ?
Giải
A max = 2a = 4cm
2 xmin
Áp dụng công thức A 0  A max sin
. Trong đó

A 0 = 2cm

2 xmin
2 xmin
A 0  A max sin
� 2  4sin
� xmin  2,5 cm.

30

13


2.3.13. Bài tập tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm có biên độ A0
Phương pháp giải:
Hai điểm liên tiếp M và N có cùng biên độ A 0 thì hoặc hai điểm này nằm hai bên
�2 x �
�2 y �
nút A 0 = A max cos � �hoặc nằm hai bên bụng A 0 = A max cos � �
.
� �
� �
*Để tìm khoảng cách ngắn nhất xmin giữa hai điểm ta cần giải phương trình
A0  Amax cos

2 x
2 y
hoặc A0  Amax cos



x
y
M

x

y
N

P

*Từ đó xmin  min  x, y  . Để làm nhanh ta chú ý các trường hợp sau:
A max


� x  y  � xmin  2 x  2 y 
8
4
2
A

 Nếu A 0  max � x  y � xmin  2 y  .
4
2
A

 Nếu A 0  max � x  y � xmin  2 x 
4
2
 Nếu A 0 

Ví dụ 1: Sóng dừng hình thành trên sợi dây với bước sóng 60 cm và biên độ dao
động tại bụng là 4 cm. Hỏi hai điểm dao động với biên độ 2 3 cm gần nhau nhất
cách nhau bao nhiêu
Giải





�A
�
Vì A 0  2 3  � max  2 2 �nên hai điểm có cùng biên độ 2 3 cm nằm hai
� 2
�
2 y
bên bụng sẽ gần nhau hơn khi chúng nằm hai bên nút A 0  A max cos

2 y
� y  5 � xmin  2 y  10 cm.
Vậy 2 3  4cos
60
Ví dụ 2: Sóng dừng hình thành trên sợi dây AB dài 1,2 m với hai đầu cố định có
hai bụng sóng. Biên độ dao động tại bụng là 4 cm. Hỏi hai điểm dao động với
biên độ 2,2 cm gần nhau nhất cách nhau bao nhiêu ?
Giải

Vì trên dây có hai bụng và hai đầu là hai nút nên l  AB  2 �   120 cm.
2
14

�A
�
Vì  A 0  2,2   � max  2 2 �
nên hai điểm có cùng biên độ 2,2 cm nằm hai bên
� 2
�
2 x
nút sẽ gần nhau hơn khi chúng nằm hai bên bụng A 0  A max sin

2 x �2 x �
120 �
�2,2 �
�
�2,2 �
� � � arcsin � �� x  � �
arcsin � �cm.
Vậy 2,2  4sin
120
�120 �
�4 �
�2 �
�4 �
Hay x  11,12 � xmin  2 x  22,2 cm
2.3.14. Bài tập liên quan khoảng thời gian li độ lặp lại
Phương pháp giải:
u
Amax

x

O

t

Giả sử A là nút, B là bụng gần A nhất, C là điểm trung gian nằm trong khoảng
giữa A và B

�
�
AC = ;CB = �hình vẽ.
với �
n
m�
�
Amax
A0

A

C

B

15


 Khoảng thời gian hai lần liên tiếp để độ lớn li độ của điểm B bằng biên độ
�2T �

của điểm C chính là � �hoặc
�m �

�2T �
� �
�n �

�2T � T �2T �
AC  CB � � �  � �
�n � 4 �m �
�2T � T �2T �
AC  AC � � �  � �
�n � 4 �m �
�2T � T �2T �
AC  AC � � �  � �
�n � 4 �m �
 B và C chỉ cùng biên độ khi chúng qua vị trí cân bằng. Do đó khoảng thời
gian hai lần liên tiếp để B và C có cùng li độ chính là khoảng thời gian hai

Nếu

T
.
2
Ví dụ 1: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định chu kì T
và bước sóng  . Trên dây A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C
là điểm thuộc AC sao cho AB = 3BC. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần
mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là
bao nhiêu ?
Giải

λ
λ
T
T
t �
= 2Δt
Ta có AB = 3BC = � BC = Δt =�
min =
4
12
12
6
lần liên tiếp đi qua vị trí cân bằng và bằng

Amax
A0

B
A

C

Ví dụ 2: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây
A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AC với
AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của
phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tính tốc độ
truyền sóng.
Amax
Giải
λ

AB = �  = 40  cm   0,4m
4
Ta có
A
λ
T
C
B
AC = BC = Δt �
=
8
8
16


t min = 2Δt =

T

� T  0,8s � v   0,5 m/s
4
T

2.3.15. Bài tập liên quan li độ và vận tốc tại các điểm khác nhau
Phương pháp giải:
- Nếu chọn gốc tọa độ trùng với nút và chọn gốc thời gian hợp lí thì biểu thức
sóng dừng có dạng
�2 x �
�2 x �
u  A max sin � �

.cos   t  � v  u /   A max sin � �
.sin   t 
� �
� �
- Viết phương trình li độ và phương trình vận tốc cho từng điểm cụ thể từ đó ta
có thể tìm các đại lượng mà bài toán yêu cầu.
Ví dụ : Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng
với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách
B lần lượt là 4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời
� 5 �
điểm t1 (đường 1) và t 2 = �t1 + �(đường 2). Tại thời điểm t 1, li độ của phần tử
� 6f �
dây ở N bằng biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60
cm/s. Tại thời điểm t2 vận tốc của phần tử dây ở B là ?
Giải
u(cm)
(1)
(2)

O

12

24

36

x(cm)

B

Ta có bước sóng:   36  12  14 cm; OB = 12.4 = 48cm
Vậy xM = 48 - 4 = 44cm; xN = 48 - 6 = 42 cm; xP = 48 - 38 = 10 cm.
Gọi A là biên độ tại bụng, chọn gốc thời gian sao cho biểu thức sóng dừng có
dạng như sau:

17


�2 x �
u  Asin � �
.cos   t 
� �
�2 x �
v  u /   Asin � �
.sin   t 
� �
A 3
�2π.44 �
u M =Asin �
cosωt
cos ωt
  
�
24
2
�
�
�2π.42 �
u N =Asin �

cosωt
  -Acos ωt
 
�
� 24 �
A
�2π.10 �
u P =Asin �
cosωt
   cos ωt
 
�
2
� 24 �



A 3
ωA 3
vM = u N = -Acosωt
 1  A M 
sinωt
 
2
2
khi t = t1
ωA
ωA 3
/
vP  u P/ = sinωt

 
vM  u M
=
sinωt
60 cm/s
 1  �


2
2
5
ωt1 
và ωA  80 3  cm/s 
6
� 5 �
Khi t = �t1 + �thì
� 6f �
ωA �
5
� 80 3 �5 5 �
vP  u P/ = sinωt
sin � 
 3 cm/s
� 1  .2  � 
� 40
2
6
2
3 �
�

�
�6
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Việc áp dụng đề tài vào giảng dạy được thực hiện qua chuyên đề sóng
dừng, giáo viên có thể thực hiện ở trong các tiết dạy bài tập và tiết tự chọn, phụ
đạo, luyện thi... Tiến trình vận dụng và hiệu quả của SKKN được thể hiện qua
việc thực nghiệm sư phạm sau đây
2.4.1. Khảo sát đầu năm
Đề tài đã được tiến hành dạy thực nghiệm trong năm học 2018 - 2019 tại
hai lớp 12A2, 12A4 (áp dụng đề tài) và lớp đối chứng 12A3 (không áp dụng đề
tài). Lớp 12A2, 12A3 là hai lớp 12 cơ bản A, lớp 12A4 là lớp 12 cơ bản D của
trường THPT Đông Sơn 1. Các lớp có năng lực học tập qua đợt khảo sát đầu
năm học 2018 - 2019 như sau:
/
vM = u M
=

Điểm
Lớp Thực 12A4
nghiệm 1
Điểm
Lớp Thực 12A2
nghiệm 2

GIỎI

2

TB

YẾU

SS

5,12% 12 30.75% 13 33.28% 12 30.85% 39
Trên TB 69,15%
Dưới TB 30,85%
GIỎI

1

KHÁ

2.56%

KHÁ

TB

YẾU

SS

8 20.48% 16 40,96% 14 36.0% 39
Trên TB 64,00%
Dưới TB 36,00%
18

Điểm
Lớp Đối
chứng

GIỎI

12A3

2

KHÁ

TB

YẾU

5.00% 10 25.00% 15 37.5%
Trên TB 67,50%

SS

13 32.5% 40
Dưới TB 32,50%

2.4.2. Nhận xét:
Nhìn chung năng lực của học sinh các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
là như nhau, nhưng cơ bản lớp đối chứng có nhỉnh hơn và phần nào tỉ lệ trên
trung bình có cao hơn lớp thực nghiệm 12A2 là: 64,00%- 67,50% = - 3,50%.
Nghĩa là lớp thực nghiệm 12A2 xuất phát âm gần 3,50% so với lớp đối
chứng 12A3. Còn lớp thực nghiệm 12A4 so với lớp đối chứng 12A3 thì xuất

dương hơn 5% (69,15%- 64,00%= 5,15%), nhưng lớp 12A4 là lớp cơ bản D
không học tự chọn vật lí, nên chỉ học vật lí 2 tiết/ tuần, còn các lớp 12A2, 12A3
là lớp cơ bản A có tự chọn vật lí nên học 3 tiết/ tuần.
Các lớp thực nghiệm giảng dạy theo những nghiên cứu của đề tài còn lớp
đối chứng tiến hành dạy thông thường không lưu ý đến áp dụng những nghiên
cứu của đề tài.
Sau quá trình giảng dạy hết chương: Sóng cơ, tiến hành ôn tập và hệ
thống lại kiến thức cho lớp thực nghiệm theo vận dụng đề tài, lớp đối chứng ôn
tập bình thường, sau khi tiến hành kiểm tra đề chung như nhau ở lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng cho kết quả như sau:
2.4.3. Kết quả qua bài kiểm tra
Đề kiểm tra thực nghiệm sư phạm, có 09/30 câu về sóng dừng thuộc chương
sóng cơ, dạng vận dụng được đề tài có kết quả như sau:

Câu hỏi
Lớp Thực
nghiệm
12A4
Lớp Thực
nghiệm
12A2
Lớp Đối
chứng
12A3

Tỉ lệ
chọn
đúng
Tỉ lệ
chọn

đúng
Tỉ lệ
chọn
đúng

C
1

C
2

C
3

C
4

C
5

C
6

C
7

C
8

C

9

Tổng số
Đúng
213
15 28 16 22 19 22 36 30 25
9 �39
39 39 39 39 39 39 39 39 39
24 33 18 23 28 26 38 36 28
39 39 39 39 39 39 39 39 39
14 20 8 12 5 18 25 23 19
40 40 40 40 40 40 40 40 40

254
9 �39
144
9 �40

Tỉ lệ

60,68%

72,36%

40,00%

2.4.4. Kết quả
Kết quả tổng quát toàn bài kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm và các
lớp đối chứng đều có tiến bộ so với khảo sát đầu năm. Nhưng thống kê riêng các
câu có thể vận dụng đề tài so sánh số liệu như sau:

Kết quả các lớp thực nghiệm đã vượt qua lớp đối chứng. Cụ thể lớp 12A2
vượt qua lớp đối chứng 32,36% và lớp 12A4 vượt 20,68%.

19


Tất nhiên việc thống kê các câu đúng cũng chưa chắc học sinh vận dụng
phương pháp của đề tài, tuy nhiên kết quả trên phản ảnh phần nào sự hiệu quả
của lớp thực nghiệm về việc vận dụng đề tài cao hơn so với lớp đối chứng.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Với mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học để phù hợp với hình thức
kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh là yêu cầu cấp thiết. Do tính chất
đặc trưng của bộ môn vật lí vừa có tính lí thuyết vừa có tính thực hành, vừa
kiểm tra định tính, cũng vừa kiểm tra định lượng. Nên nhiều bài tập dạy học sinh
giải theo phương pháp tự luận, nhưng khi kiểm tra, thi tốt nghiệp hoặc thi đại
học, cao đẳng lại là hình thức trắc nghiệm khách quan, do đó cần dạy học sinh kĩ
năng chuyển hướng tự luận sang trắc nghiệm khách quan là sự cố gắng lớn của
giáo viên. Trên tinh thần đó, đề tài “Phương pháp giải nhanh các dạng bài tập
sóng dừng vật lí 12” mong góp thêm một ít kinh nghiệm và chia sẻ với đồng
nghiệp, với học sinh, mong sao mỗi chúng ta có thể vận dụng hoặc bằng gợi ý
của đề tài này vào việc học tập cũng như giảng dạy của mình.
3.2. Kiến nghị
Giáo viên có thể tham khảo phương pháp tính nhanh trong đề tài để rèn
luyện kĩ năng làm bài thi trắc nghiệm khách quan cho học sinh.
Học sinh có thể vận dụng đề tài để ôn tập và luyện thi trung học phổ
thông quốc gia.
Trên cơ sở đề tài này có thể xây dựng hệ thống phương pháp giải nhanh
tất cả các chuyên đề trong vật lí THPT để làm bài thi trắc nghiệm khách quan
một cách hiệu quả nhất.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Lê Văn Tú

20


Tài liệu tham khảo
1. Lương Duyên Bình, Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2016.
2. Nguyễn Thế Khôi, Vật lí 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm
2016.
3. Nguyễn Thế Khôi, Vũ Thanh Khiết, Bài tập Vật lí 12 nâng cao, Nhà xuất
bản Giáo dục, năm 2008.
4. Vũ Quang, Bài tập Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2008.
5. Chu Văn Biên, Bí quyết ôn luyện thi đại học môn Vật lí theo chủ đề, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2016.
6. Lê Văn Vinh, Cẩm nang luyện thi đại học Vật lí theo từng chuyên đề, Nhà
xuất bản tổng hợp TP Hồ Chí Minh, năm 2016.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Văn Tú
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó Tổ trưởng CM, trường THPT Đông Sơn 1,
huyện Đông Sơn, tỉnh Thanh Hóa.
Cấp đánh giá xếp loại Kết quả
TT
Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
đánh giá
huyện/tỉnh; Tỉnh...)
xếp loại
Vận dụng định hướng
Ngành GD cấp tỉnh,
hành động giải bài tập
tỉnh Thanh Hóa. Số
1.
B
vật lí trong trường THPT 138/QĐKH-GDCN
Ngày 29/06/2004
Khai thác và sử dụng bộ Ngành GD cấp tỉnh,
thí nghiệm leybold trong tỉnh Thanh Hóa. Số
2.
A
việc dạy học cơ học ở
59/QĐ-SGDĐT Ngày
trường phổ thông
24/02/2006
Bồi dưỡng năng lực tư
Ngành GD cấp tỉnh,

duy sáng tạo cho học
tỉnh Thanh Hóa. Số
sinh qua việc sử dụng
904/QĐ-SGD&ĐT
3.
B
bài tập sáng tạo chương Ngày 15/12/2010
“Dòng điện xoay chiều”
Vật lí 12 Nâng cao
4.
Khảo sát mạch điện xoay Ngành GD cấp tỉnh,
B
chiều bằng dao động kí
tỉnh Thanh Hóa. Số
điện tử nhằm trực quan
753/QĐ-SGD&ĐT
hóa một số đại lượng
Ngày 03/11/2014

Năm học
đánh giá
xếp loại
2002-2003

2004-2005

2009-2010

2013-2014

22


điện
5.

23