Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
DÙNG PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG GIẢI MỘT SỐ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI

Người thực hiện: Lại Việt Quang
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018
0


MỤC LỤC
Phần
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tái
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3 Một số giải pháp
2.4 Hiệu quả của sáng kiến
III. Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

Trang
2
2
2
2
2
2
2
4
8
16
16
16
17

1


I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong năm học 2016- 2017, tôi được phân công giảng dạy lớp 10. Lớp tôi
được phân công giảng dạy các em có lực học không thật tốt, chủ yếu là các em
có học lực trung bình và trung bình khá; Vì thế trong quá trình dạy học tôi thấy
các em chưa có nhiều kỹ năng, kỹ xảo giải quyết các bài toán và đang còn thụ
động ít sáng tạo trong quá trình học tập và rèn luyện.

Trong chương trình Đại Số 10 nâng cao các em được học cách giải bất
phương trình chứa ẩn trong dấu căn bặc hai. Với cách hướng dẫn như trong SGK
và sách bài tập thì chỉ phù hợp với những bất phương trình đơn giản. Còn gặp
một số bất phương trình phức tạp hơn thì việc giải của các em sẽ rất khó khăn và
rất hay mắc lỗi xét thiếu các trường hợp hoặc việc kết hợp nghiệm gặp khó
khăn, đặc biệt là với các em có lực học trung bình và trung bình khá. Tôi thấy đó
là một bất cập cần khắc phục và nhu cầu cấp thiết hiện nay là phải có những
cách làm đơn giản hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm bài mà lại có hiệu
quả cao đối với các em.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mong muốn giúp các em có học lực yếu, trung bình, trung bình khá
có thể giải được một số dạng bất phương trình chứa căn bậc hai thường gặp một
cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm hơn so với cách truyền thống nên tôi mạnh dạn
chọn đề tài "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương pháp khoảng
giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai". Qua nội dung đề tài này tôi
mong các em đặc biệt là những em có học lực yếu, trung bình, trung bình khá
giải được một số bất phương trình vô tỉ bằng phương pháp khoảng đồng thời cải
thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán của các em.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp
khoảng
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
+ Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
+ Thống kê, xử lý số liệu.
+ Tổng hợp kiến thức đã có.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Ta thấy giải phương trình chứa căn thức đơn giản hơn rất nhiều so với
giải bất phương trình chứa căn thức cùng "dạng". Để làm được vấn đề này

chúng ta phải có kiến thức rộng hơn, tổng quát hơn trong việc giải bất phương
trình và giải phương trình chứa căn thức.
Đối với sáng kiến "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh dùng phương
pháp khoảng giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai". Ta cần nắm
vững một số kiến thức cơ bản sau:
+ Cách tìm tập xác định của hàm số (hoặc điều kiện xác định của hàm số)
2


+ Cách giải phương trình chứa căn bậc hai
+ Cách xét dấu hàm số
+ Lấy nghiệm của bất phương trình
Cụ thể:
+ Muốn tìm tập xác định của hàm số ta cần nhớ kiến thức hàm số được
xác định khi nào? như căn bậc chẵn của một hàm số có nghĩa khi biểu thức trong
dấu căn bậc chẵn không âm; hoặc biểu thức ở mẫu của hàm phân thức phải khác
0 ...
+ Để giải phương trình chứa căn bậc hai thì ta phải nhớ một số công thức
biến đổi tương đương hoặc hệ quả. ở đây tôi thường dùng cách biến đổi tương
đương để sau này không phải thử lại và loại bỏ nghiệm ngoại lai. Ví dụ như:
*
*
*

�A �0
(không cần điều kiện B �0 vì đã có A = B)
B � �
�A  B
�B �0
(không cần điều kiện A �0 vì A =B2 �0)

A =B � �
2
�A  B

A =

A +

B =

�A �0; B �0
(không cần điều kiện C �0 vì C =
C � �
( A  B )2  C
�

( A + B )2 �0)
Sau khi giải xong ta cần kết hợp với điều kiện nếu có và tập xác định của hàm số
để loại nghiệm không cần thiết. Việc làm này giống như ta giải phương trình vô
tỉ lâu nay.
+ Cách xác định dấu của một hàm số là bước rất quan trọng. Để làm tốt
được ta cần ghi nhớ kiến thức sau:
* Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng K và phương trình
f(x) = 0 vô nghiệm trên khoảng K (tức hàm số f(x) không cắt trục hoành
trên khoảng K) thì khi đó với mọi x trên K, f(x) mang cùng một dấu (cùng
dương hoặc cùng âm) nếu f(x) là nhị thức bậc nhât hoặc bậc hai hoặc là hàm đa
thức thì dựa vào dấu hệ số a của bậc cao nhất (a dương thì f(x) dương, a âm thì
f(x) âm) nhưng với phương trình chứa căn bậc hai việc đó không hề đơn giản
nhất là đối với các bất phương trình chứa nhiều căn thức ở các dạng tích hoặc ở
dạng phân số, để làm việc này tôi xin được chỉ ra một mẹo sau đây mà tôi nghĩ

là nó rất thuận tiện vì bây giờ các em đều đã có máy tính cầm tay một công cụ
rất hữu ích và tiện dụng đó là khi đã biết f(x) mang cùng một dấu trên khoảng K
thì muốn biết f(x) âm hay dương ta chỉ việc lấy một điểm x0 bất kỳ trên khoảng
K thay vào f(x) nếu f(x0) dương thì kết luận f(x) dương trên khoảng K và ngược
lại nếu f(x0) âm thì f(x) âm trên khoảng K.
* Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng K và phương trình
f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng K = (a; b) (tức hàm số f(x) có cắt trục
hoành) thì ta nhớ quy tắc xét dấu như sau: nếu f(x) = 0 có các nghiệm x1, x2, ...,
xm khác nhau trên K với x1 < x2 < ... < xm thì trên mỗi khoảng (a; x1), (x1; x2), ...
(xm; b) mang cùng một dấu.

3


Muốn xác định dấu trên mỗi khoảng ta chỉ cần xác định dấu của một
khoảng và suy ra các khoảng khác bằng cách ghi nhớ: nếu phương trình có n
nghiệm "phân biệt" (tính cả nghiệm làm cho mẫu số bằng 0) thì khoảng lân cận
khoảng dương là khoảng âm, lân cận khoảng âm là khoảng dương; còn nếu
phương trình có "nghiệm kép" tại điểm x0 thì khoảng lân cận bên phải và bên
trái của điểm x0 mang cùng một dấu.
+ Sau khi xác định được dấu của f(x) muốn lấy nghiệm của bất phương
trình đã cho thì chỉ cần dựa vào yêu cầu của bài toán như: f(x) > 0; f(x) �0 ;
f(x) < 0; f(x) �0 để suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho.
Kết luận: Nêu tập nghiệm của bất phương trình đã cho
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khi gặp các bài toán về giải bất phương
trình chứa căn bậc hai các em chưa biết phân loại và định hình được các cách
giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó bất phương trình loại
này có rất nhiều dạng và khó. Bây giờ tôt xin điểm qua một số ví dụ và cách các
em hay làm từ đó rút đúc ra kinh nghiệm để giải quyết bài toán. Trước hết ta cần

nắm vững một số công thức biến đổi tương đương mà ta hay gặp khi làm bài
tập:
g(x) �0
�
(không cần đk f(x) > 0 vì f(x) > g(x))
f (x)  g(x)
�

+ f (x)  g(x) � �

�
g(x)  0
�
�
�
f (x) �0
�
�
�
f
(x)

g(x)
+
�g(x) �0
�
�
�
�
f (x) �g 2 (x)

�
�

+

+

+

...

�f ( x) �0
�
g ( x)  0
f ( x )  g ( x) � �
...
�f ( x)  g 2 ( x)
�
h( x ) �0
�
�g ( x ) �0
�
f ( x )  g ( x )  h( x ) � �
...
f ( x ) �0
�
�
( f ( x)  g ( x)) 2  h( x)
�

�
h( x) �0
�
f ( x )  g ( x )  h( x) ۳ �g ( x) 0
...
�
2
�f ( x )  ( g ( x)  h( x))

Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:  x 2  8 x  12  x  4 (1)
Giải:
Cách giải các em hay dùng

4


� x 2  8 x  12 �0
�
 x 2  8 x  12  ( x  4) 2
Bất phương trình (1) � �
hoặc �
�x  4 �0
�x  4  0
Giải các hệ bất phương trình trên. Từ đó có đáp số: - 6 �x < - 4 + 2

Nhận xét:
+ Ta nhận thấy nếu sử dụng phương pháp trên thì chúng ta phải giải tổng
cộng ít nhất 4 bất phương trình. Một việc làm tương đối dài dòng.
+ Mặt khác khi giải bất phương trình trên một số em cứ hay quên xét

thiếu trường hợp x + 4 < 0.
+ Sau khi giải từng trường hợp trên các em phải lấy nghiệm chung của
từng hệ bất phương trình việc lấy nghiệm này một số em cũng hay lúng túng và
kết hợp sai.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 5 x 2  61x  4 x  2 (2)
Giải: Cách giải các em hay dùng:
4x  2  0
�
� 2
� 1�
� .... � x ��
0; �� 4; �
Bất phương trình (2) � �5 x  61x �0
11 �
�
�
5 x 2  61x  (4 x  2) 2
�

Nhận xét:
+ Cách giải trên phải giải hệ bất phương trình gồm 3 bất phương trình
+ Khi giải một số em rất hay quên điều kiện 4x + 2 > 0.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:

2  x  4x  3
�2 (3)
x

Giải: Cách giải các em hay dùng:
�x �0

�
Bất phương trình (3) � �

�x ( 2  x  2 x  3) �0

(3*)

� 2  x  2 x  3 �0
�
hoặc � 2  x  2 x  3  0 � .... � x �(�;0) �[1; 2]
��
�x  0
�x  0

Nhận xét:
+ Ta thấy cách giải này ta phải giải bất phương trình tích:
� 2  x  2 x  3 �0
x( 2  x  2 x  3) �0 . việc này dẫn đến phải giải 2 trường hợp: �
�x  0
� 2  x  2x  3  0
hoặc �
mà giải mỗi trường hợp đều không đơn giản.
�x  0

+ Cũng rất nhiều em không giải như (3*) sau khi các chuyển hết biểu
thức sang vế trái, quy đồng lên và dùng phương pháp do thương dương nên cả
tử và mẫu mang cùng một dấu từ đó xét 2 trường hợp cùng dương và cùng âm.
+ Khi giải bất phương trình dạng (3) rất nhiều em sau khi quy đồng lên
rồi bỏ mẫu số (giống như các em làm khi giải phương trình) như vậy là các em

đã làm không đúng vì các em chỉ được phép bỏ mẫu số sau khi quy đồng trong
trường hợp mẫu số của nó luôn dương hoặc luôn âm trên tập xác định của bất
5


phương trình đã cho và luôn phải để ý dấu của bất phương trình có thể thay đổi
khi ta nhân hoặc chia hai vế của bất phương trình với cùng số dương hoặc cùng
số âm.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau:

3(4 x 2  9)
3x 2  3

�2 x  3 (4)

Giải: Cách giải các em hay dùng:
�
3x 2  3  0
2
�
3
x

3

0
�
�
��
2 x  3 �0

Bất phương trình (4) � �
2
(2 x  3)[3(2 x  3)  3x  3] �0
�
�
3(2 x  3)  3 x 2  3 �0
�
�
3x 2  3  0
�
3
3
� .... � x �[  ; 1) �(1; ]
hoặc �2 x  3  0
2
2
�
2
3(2
x

3)

3
x

3

0
�

Nhận xét:
+ Ta thấy cách giải này ta phải giải hệ bất phương trình tích có:
(2 x  3)[3(2 x  3)  3 x 2  3] �0 từ đó phải xét hai trường hợp :
2 x  3 �0
�
�
�
�2 x  3  0
�
hoặc
�
mà việc giải từng bất phương
3(2 x  3)  3x 2  3  0
3(2 x  3)  3x 2  3 �0
�
�

trình này không đơn giản.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 3  x  5  x (5)
Giải: Cách giải các em hay dùng:
Điều kiện bất phương trình (5) là: x �-5
+ TH1: Nếu -5 �x < 0 bất phương trình (5) luôn đúng vì vế trái dương
vế phải âm.
+ TH2: Nếu x �0.
+ Nếu 3 < x  5 � x > 4. Khi đó bất phương trình đã cho tương
đương với x  5  x  3 � .... không có x thõa mãn.
+ Nếu 3 � x  5 � x �4 bất phương trình đã cho tương đương
�x  3
� .... � x < 7  35 .

x5 � �
2
(3  x)  x  5
2
�
7  35
Kết hợp x �0 thì 0 �x <
.
2
7  35
Kết hợp ta có -5 �x <
2

với 3 - x >

Nhận xét:
+ Bài này nếu ta đặt điều kiện và bình phương 2 vế (mục đích làm mất
giá trị tuyệt đối) thì giải rất khó khăn và vất vả.
+ Rất nhiều em xét thiếu trường hợp x < 0.
Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau: (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2 < 6 (6)
Giải: Cách giải các em hay dùng:
6


Giải bất phương trình (6): Đặt t = x 2  5 x  2 (t �0 )
Khi đó bất phương trình (6) � t2 + 2 - 3t < 6 � t2 - 3t - 4 < 0 � - 1 < t < 4
kết hợp đk thì ta được 0 �t < 4 � 0 � x 2  5 x  2 < 4
�x 2  5 x  2 �0
� �2
� ... � x �(7;  5  17 ] �[ 17  5 ; 2)

2
2
�x  5 x  2  16

Nhận xét:
+ Đối với dạng toán này điều quan trọng là các em phải phát hiện được
mối quan hệ giữa biểu thức trong dấu căn bậc hai và biểu thức ngoài dấu căn
bậc hai để ta có cách làm hợp lý.
+ Khi giải bất phương trình chúng ta cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ
(nếu có) để loại nghiệm không hợp lý.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau: (x - 3) x 2  4 �x2 - 9 (7)
Giải: Cách giải các em hay dùng:
Bất phương trình (7) � (x - 3)[ x 2  4 - (x + 3)] �0
�
�x  3 �0
(I) hoặc
�� 2
� x  4 �x  3

�
�x  3 �0
(II)
� 2
� x  4 �x  3

�x  3 �0
�
� ....
Giải (I) � �x  3 �0
�x 2  4 �( x  3) 2

�
�x  3 �0
�x  3 �0
�
� ....
Giải (II) � �
hoặc �x  3 �0
�x  3  0
�x 2  4 �( x  3) 2
�
5
6

Kết hợp nghiệm sau khi giải (I) và (II) ta có � .... � x �(�;  ] �[3; �)
Nhận xét:
+ Ta thấy việc giải các bất phương trình trên rất dài và vất vả
Ví dụ 8: Giải bất phương trình sau:

x

1
1 x 1
 1 
(8)
x
x
x

Giải: Cách giải hay dùng:
+ ĐK: -1 �x < 0 hoặc x �1.

+ Viết bất phương trình đã cho về dạng:
( x  1( x  1)
x 1 x 1
�


x
x
x

x 1
x 1
( x  1  1) 
x
x

nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của bất phương trình trên nên coi x � 1
Khi đó

x 1
 0 nên bất phương trình đã cho �
x

x 1
(*)
x
+ Nếu -1 �x < 0 thì

x 1 1 

x 1
�
x

x 1  1

x  1  1 nên bất phương trình đã cho vô nghiệm.

7


+ Nếu x > 1, bình phương hai vế của (*) ta có: (x - 1) +

1
x 1
>2
x
x

Mặt khác theo bất đẳng thức cô-si ta có:
1
1
x 1
1 5
�2
dấu bằng xảy ra khi x - 1 = tức khi x =
x
x
x
2

1
x 1
� 1 < x � 1 5
Vậy (x - 1) + > 2
x
x
2
1 5
1 5
) �(
; �)
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �(1;
2
2

(x - 1) +

Nhận xét:
+ Rất nhiều em không nhận ra được biểu thức

x 1
 0 nên việc giải toán
x

của các em gặp rất nhiều khó khăn.
+ Bài toán này chúng ta phải phân ra các trường hợp nhỏ điều này làm
cho các em có tư duy không tốt không biết cách định hướng làm bài
+ Ta thấy cách giải trên rất phức tạp và phải sử dụng đến bất đẳng thức
Ví dụ 9: Giải bất phương trình : x  1  x  2  x  3 (9)
Giải: Cách giải hay dùng:

+ ĐK: x �3
+ Khi đó bất phương trình (9) � x  1  x  2  x  3
4  x �0
�
� 4 - x > 2 ( x  2)( x  3) � �
� .... � x �[3; 6  12 )
2
(4  x)  4( x  2)( x  3)
3
�

Nhận xét:
+ Một số em không chuyển x  2 sang vế phải mà giữ nguyên đặt điều
kiện và bình phương hai vế nếu làm vậy các em phải giải bất phương trình phụ
là x  1  x  2  0 , ngoài ra các em cũng phải đặt nhiều điều kiện hơn.
2. 3. Một số giải pháp:
Qua nghiên cứu và rút đúc kinh nghiệm tôi mạnh rạn đưa ra phương pháp
khoảng giải một số bất phương trình chứa căn bậc hai. Trước hết ta cần nhớ lại
một số công thức biến đổi tương đương khi giải phương trình chứa căn bậc hai:
*
*
*

�A �0
(không cần điều kiện B �0 vì A = B)
B � �
�A  B
�B �0
(không cần điều kiện A �0 vì A = B2)
A =B � �

2
�A  B

A =

�A �0; B �0
�
+
=
C
�
A
B
2

( A  B)  C
�
(không cần điều kiện C �0 vì ( A  B ) 2  C )

Ví dụ 1.1: Giải bất phương trình sau:  x 2  8 x  12  x  4 (1.1)
(Đây là bài toán ở ví dụ 1)
Giải:
8


Bây giờ ta giải bài toán ở ví dụ 1 bằng phương pháp khoảng như sau:
Xét hàm số: f(x) =  x 2  8 x  12  ( x  4)
+ TXĐ của hàm số là D = [-6; -2]
+ Giải phương trình: f(x) = 0 �  x 2  8 x  12  x  4
�x  4  0

� � 2
� x=-4+
 x  8 x  12  ( x  4) 2
�

2

+ Xét dấu f(x)
x
-6
-4+ 2
-2
f(x) 2
+
0
-2
+ Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy:
f(x) > 0 �  x 2  8 x  12  x  4 � - 6 �x < - 4 + 2
+ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: - 6 �x < - 4 + 2
Nhận xét:
+ Muốn giải bài toán giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
thì các em làm cho Thầy các bước sau đây:
B1: Việc đầu tiên là chuyển tất cả ẩn, hệ số tự do sang cùng một vế
để được một bất phương trình mang dấu dương hoặc dấu âm
B2: Việc tiếp theo là xét hàm số f(x) mà ta vừa nhận được khi
chuyển tất cả ẩn, hệ số tự do sang cùng một vế ở phép biến đổi trên, xác định
dấu của hàm số và suy ra kết luận.(Bước này ta phải tìm TXĐ của hàm số f(x),
Giải phương trình f(x) = 0, Tìm dấu f(x) và kết luận)
+ Để làm được cách trên các em cần có kỹ năng giải phương trình chứa
căn bậc hai và cách xét dấu hàm số.

+ Các em cần chú ý đến các giá trị của hàm số f(x) tại các đầu mút của
tập xác định để lấy nghiệm của bất phương trình cho chính xác.
+ So với cách giải ở ví dụ 1 thì lời giải ở ví dụ 1.1 ngắn hơn và việc giải
cũng đơn giản hơn nhiều.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau
a) x2- 5x - 14 �2x - 1
ĐS: x �(�;  2]
b)

2( x 2  16)
x3

 x3 

7x
x3

(Khối A 2004)

ĐS: x � (10  34;  �)
Ví dụ 2.2: Giải bất phương trình sau: 5 x 2  61x  4 x  2 (2.2)
Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 2)
Xét hàm số f(x) = 5 x 2  61x  (4 x  2)
+ TXĐ là D = (- �; -

61
] �[0; + �)
5

+ Giải phương trình:
9


f(x) = 0 �

4 x  2 �0
�
1
�
� x = 4 và x =
�
5 x  61x  4 x  2
2
2
5 x  61x  (4 x  2)
11
�
2

+ Xét dấu hàm số f(x):
x

-�

f(x)

-

61

//////////// 0
5

1
11

234
//////////// 2 5
+ Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy:
+

+�

4

0

+

0

-

1

� �
0; �� 4; �
f(x) < 0 � 5 x 2  61x  4 x  2 � x ��
� 11 �
1

� �
0; �
� 4; �
KL: vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x ��
� 11 �
Nhận xét:
+ So với cách giải ở ví dụ 2 thì cách này các em phải tìm tập xác định
của hàm số.
+ Các em nên đặt điều kiện cho 2 vế đều dương để bình phương hai vế để
sau này không phải thử lại và loại nghiệm ngoại lai.
Bài tập tương tự:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau

3  17
)
2
6 3
;  �)
b) x2 +6x +8 � 2x +3
ĐS: x �[
3
2  x  4x  3
�2 (3.3)
Ví dụ 3.3: Giải bất phương trình sau:
x

ĐS: x �[  3;

a) x +3 < 1- x

Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 3)
2  x  4x  3
2
x
+ TXĐ: x �2 và x �0
2  x  4x  3
+ Giải phương trình f(x) = 0 �
2 �
x
3  2 x �0
�
��
� x =1 ; x = 7/4 (L)
2
2

x

(3

2
x
)
�

Xét hàm số f(x) =

+ f(x) không xác định tại x = 0
+ Xét dấu hàm số f(x):

x
-�
0
f(x)

+

P

1
-

0

2  x  3  2x

2/////////////////
+

1
///////////////
2

+ Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy:
10


f(x) �0 �

2  x  4x  3

�2 � x �( �;0) �[1; 2]
x

KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �(�;0) �[1; 2]
Nhận xét:
+ Khi ta giải phương trình thì việc sử lý mẫu số đơn giản hơn rất nhiều
so với bất phương trình
+ Cách này tránh được việc xét các trường hợp như ví dụ 3 và lời giải
cũng đơn giản, dễ làm hơn đồng thời phù hợp với những em có lực học yếu,
trung bình và trung bình khá.
+ Khi xét dấu hàm số cần chú ý điều kiện làm cho biểu thức không xác
định đẻ xét dấu được chính xác. Đây là mục các em rất hay quên trong quá
trình xét dấu hàm số.
Bài tập tương tự:
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
a)
b)

1
2

1  1  4 x2
3
x

1
2

ĐS: x �[  ;0) �(0; ]

51- 2x-x2
<1
1-x

(ĐH Tài chính kế toán Hà Nội năm 97)
ĐS: x �[  1  2 13;  5] �(1; 1  2 13]

Ví dụ 4.4: Giải bất phương trình sau:

3(4 x 2  9)
3x 2  3

�2 x  3 (4.4)

Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 4)
Xét hàm số: f(x) =

3(4 x 2  9)
3x 2  3

 (2 x  3)

+ TXĐ: x < -1 hoặc x > 1
+ Giải phương trình f(x) = 0 �

3(4 x 2  9)
3x  3
2

 2 x  3 � (2 x  3)[3(2 x  3)  3 x 2  3]=0

� x = -2/3 (tm) hoặc 3(2 x  3)  3 x 2  3=0 � x = 2/3

+ Xét dấu hàm số f(x):
x

-�

-

f(x)

+

2
3

0

2
3

-1////////////1
-

//////////////

-

+�

0

+

Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy:
f(x) �0 �

3(4 x 2  9)

3
3
�2 x  3 � x �[  ; 1) �(1; ]
2
2
3x  3
2

3
2

3
2

KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �[  ; 1) �(1; ]
Nhận xét:
11


+ Ta thấy ngay với cách làm này ta tránh được việc phải giải nhiều bất

phương trình tích và các trường hợp có thể xảy ra của bất phương trình. Đây
chính là thế mạnh của phương pháp khoảng.
+ Khi giải phương trình tích các em cần chú ý sử dụng biến đổi tương
đương để tránh xuất hiện nghiệm ngoại lai trong phương trình .
Bài tập tương tự:
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
a)
b)

9x2- 4
5x2- 1
1

2

ĐS: x �[  3 ; 

�3x+2

2x2+3x - 5

>

1
2x - 1

1
1 5
) �( ; )
5

5 2

(ĐH Sư phạm Vinh 99)
5
2

3
2

ĐS: x �(�;  ) �(1; ) �(2;  �)
Ví dụ 5.5: Giải bất phương trình: 3  x  5  x (5.5)
Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 5)
Xét dấu hàm số f(x) = 3  x  5  x
+ TXĐ: x �-5
+ Giải phương trình f(x) = 0 � 3  x  5  x
�x �0
�
� ��
3  x  5  x � .... � x  7  35
2
��
3  x  5  x
��

+ Xét dấu f(x):
x

7  35
2

- � ////////////// - 5

f(x)
////////////// 8
+
+ Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy :

0

+�
-

7  35
f(x) > 0 � 3  x  5  x � -5 �x <
2

7  35
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: -5 �x <
.
2

Nhận xét:
+ Nếu đặt điều kiện cho x và bình phương hai vế, khai triển thì ta sẽ phải
giải bài toán khó hơn rất nhiều nếu ta sử dụng tính chất: A2 = B2 � A = �B
+ So với cách giải ở ví dụ 5 thì chúng ta không phải xét các trường hợp
gây khó khăn cho các em.
Bài tập tương tự:
Bài 5: Giải các bất phương trình sau

12

a)

1
1
 x �x 
4
2

ĐS: x �(�; 0]

b) x 2  x  x

(ĐH Mỹ thuật công nghiệp 99)
ĐS: x �(0;  �)
Ví dụ 6.6: Giải bất phương trình sau: (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2 < 6
Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 6)
Xét hàm số f(x) = (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2 - 6

(6.6)

5  17
17  5
+ TXĐ: x � 
hoặc x �
2

2

+ Giải phương trình f(x) = 0 � (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2 = 6
Đặt t = x 2  5 x  2 (t �0 ) khi đó ta có: t2 - 3t - 4 = 0 � t = 4
Với t = 4 � x 2  5 x  2 =4 � x = -7 hoặc x = 2
+ Xét dấu f(x)
x
5  17
17  5

-�
-7
////////////
2
2

f(x)
+
0
Từ bảng xét dấu của f(x) ta thấy:

+�

2

-4 ////////////// -4

-

0

+

� x �( 7;  5  17 ] �[ 17  5 ; 2)
2
2
5  17
17  5
] �[
; 2)
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �(7; 
2
2

f(x) < 0 � (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2 < 6

Nhận xét:
+ So với cách giải ở ví dụ 6 thì cách này làm dễ ràng hơn rất nhiều.
+ Tương tự như ví dụ 5 cần chú ý đến dấu của hàm số khi xét dấu trong
các khoảng của hàm số
Bài tập tương tự:
Bài 6: Giải các bất phương trình sau
a) 2x2+ x2-5x -6 >10x+15
(ĐH Y Hà Nội 2001)
ĐS: x �( �;
b) x  1  x 2  4 x  1 �3 x .

5  53
5  53
) �(
;  �)
2

2

(Khối B 2012)
ĐS: x �[0; 1 ] �[4;  �)
4

Ví dụ 7.7: Giải bất phương trình sau: (x - 3) x  4 �x2 - 9 (7.7)
Giải: (Đây là bài toán ở ví dụ 7)
Xét hàm số f(x) = (x - 3) x 2  4 - (x2 - 9)
+ TXĐ: D = R
+ Giải phương trình f(x) = 0 � (x - 3) x 2  4 = x2 - 9
2

13


x3
�
x 3  0
�
� � 2
� �
5.
�
x
�x  4  x 3
6
�

+ Xét dấu hàm số f(x):

5
x
-�
-

+�

3

6

f(x)
0
+
Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy

0

5

f(x) �0 � (x - 3) x 2  4 �x2 - 9 � x �(�;  ] �[3; �)
6
5
6

KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �(�;  ] �[3; �)
Nhận xét:
+ Cách làm này giúp ta tránh được việc xét nhiều trường hợp như ví dụ 7
+ Ta thấy rõ trong ví dụ này việc dùng phương pháp khoảng để xét dấu
hàm số f(x) rất thuận lợi trong việc giải bất phương trình.

Bài tập tương tự:
Bài 7: Giải các bất phương trình sau
a) (x 2) x2+4 �x2- 4
ĐS: x �(�; 0] �[2;  �)
b) ( x 2  3x) 2 x 2  3x  2 �0

(Khối D 2002)
1
2

ĐS: x �(�;  ] �x  2 �[3;  �)
x

Ví dụ 8.8: Giải bất phương trình sau:

1
1 x 1
 1 
(8)
x
x
x

Giải:
1
x

1
x

Xét hàm số f(x) = x   1  

x 1
x

+ TXĐ: -1 �x < 0 hoặc x �1.
+ Giải phương trình f(x) = 0 �
� x = 1 hoặc

x 1 1 

1
1 x 1
x 1
x 1
�
 1 
( x  1  1) 
x
x
x
x
x
1
x 1
x 1
� (x - 1) +
x 1  1
=2
(**)

x
x
x

x

x 1
�
x

Nếu -1 �x < 0 thì vế trái âm, vế phải của (**) dương nên phương trình vô
nghiệm
Nếu x �1 thì (**) �

x 1 

+ Xét dấu hàm số f(x):
x
- �///////////////- 1
f(x)

///////////////

1
� x = 1  5 (đây là nghiệm kép)
x
2
1 5
2

0 /////////////1
-

//////////////0

+

0

+�
+
14


+ Từ bảng xét dấu của f(x) ta có:
1
1 x 1
� x �(1; 1  5 ) �(1  5 ; �)
 1 
x
x
x
2
2
1 5
1 5
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �(1;
) �(
; �)
2

2

f(x) > 0 �

x

Nhận xét:
+ Rõ ràng so với cách giải ở ví dụ 8 cách làm này giúp chúng ta thuận
lợi hơn rất nhiều trong việc giải bất phương trình trên.
Bài tập tương tự:
Bài 8: Giải các bất phương trình sau
a) x2-1 �2x x2+2x
ĐS: x �(�;  2] �[0; �)
b)

x x
1  2( x 2  x  1)

�1

(Khối A 2010)
3 5
2
x  1  x  2  x  3 (9.9)

ĐS: x =

Ví dụ 9.9: Giải bất phương trình :
Giải:
Xét hàm số f(x) = x  1  x  2  x  3

+ TXĐ: x �3
+ Giải phương trình f(x) = 0 � x  1  x  2  x  3 �

x 1  x  2  x  3

4  x �0
�
� 4 - x = 2 ( x  2)( x  3) � �
� ... � x = 6  12
2
(4  x)  4( x  2)( x  3)
2
�

+ Xét dấu hàm số f(x)
x
f(x)

6  12
2

- � //////////// 3
////////////

2 1

+

0

+�
-

+ Từ bảng xét dấu hàm số f(x) ta thấy:
f(x) > 0 �

6  12
x  1  x  2  x  3 � x �[3;
)
3

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x �[3;

6  12
)
3

Nhận xét:
+ Khi giải phương trình f(x) = 0 các em nên chuyển x  2 và x  3 sang
vế trái rồi bình phương hai vế thì ta tránh được việc đặt thêm điều kiện bài
toán, ngoài ra cũng tránh được nghiệm ngoại lai nếu có.
Bài tập tương tự:
Bài 9: Giải các bất phương trình sau
15


a) x 2  3x  2  x 2  6 x  5 � 2 x 2  9 x  7

(ĐH Bách Khoa HN 2000)
ĐS: x = - 1; x = - 5

b) 5 x  1  x  1  2 x  4
(Khối A 2005)
ĐS: x � [2; 10)
Ở trên chỉ là một số dạng bất phương trình chứa căn bậc hai mà các em thường
gặp thôi, còn nhiều dạng bất phương trình khác nữa. Vì vậy các em hoàn toàn sử
dụng được phương pháp trên để giải các bài toán liên quan đến bất phương trình.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học vừa qua. Tôi thấy sáng
kiến trên rất phù hợp đối với các em có lực học yếu, trung bình và trung bình
khá. Áp dụng cho các em tôi thấy rõ những tiến bộ rõ rệt và cải thiện được kỹ
năng giải bất phương trình vô tỉ của các em lên rất nhiều. Và nhiều em không
còn cảm thấy sợ phải giải bất phương trình vô tỉ nữa, các em có hứng thú học
toán hơn.
Kết quả cụ thể đối với lớp 10A5(sĩ số 38) và lớp 10A4 (sĩ số 42) trong năm học
2016- 2017 như sau:

Điểm dưới 5

Điểm từ 5 đến
6,5

Điểm từ 6,5 đển
8

Điểm trên 8

số
lượng

tỉ lệ %

số
lượng

tỉ lệ %

số
lượng

tỉ lệ %

số
lượng

tỉ lệ %

5

13,2%

22

57,9%

8

21%

3

7,9%

Lớp
10A5

Trước
khi áp
dụng
Sau khi
áp dụng

1

2,6%

13

34,2%

18

47,4%

6

15,8%

3

7,15%

25

59,53% 10

23,8%

4

9,52%

Lớp
10A4

Trước
khi áp
dụng
Sau khi
áp dụng

1

2,38%

8

19,05% 24

57,14% 9

21,43%

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận:
Bất phương trình chứa căn bậc hai là một nội dung rất khó và phức tạp đối
với các em có lực học yếu, trung bình và trung bình khá vậy nên khi học phần
này các em rất ngại học và Thầy cô giáo cũng rất khó trình bày làm sao cho các
em dễ hiểu và dễ trình bày. Khi Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm sử dụng
phương pháp khoảng để giải bất phương trình chứa căn bậc hai so với cách giải
lâu nay thì các em có hứng thú, thích học lên rất nhiều và thấy rõ sự tiến bộ
trong học tập toán của các em vì các em làm bài tập có phương pháp, đường lối
rõ ràng và rất dễ sử dụng. Mặc dù cố gắng tìm tòi và nghiên cứu nhưng vẫn còn
16


những thiếu sót và hạn chế mong đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin
chân thành cảm ơn.
Tôi nghĩ khả năng áp dụng sáng kiến của tôi vào thực tế rất khả thi và rất
phù hợp đối với nhiều học sinh có lực học yếu, trung bình và trung bình khá.
3.2 Kiến nghị:
Đối với nhà trường thì theo tôi tùy thuộc vào lực học của các em, các lớp
chúng ta linh hoạt đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với lực học
của các em mà vẫn đảm bảo được chất lượng dạy và học.
Đối với sở giáo dục và đào tạo có thể xem xét một số sáng kiến kinh
nghiệm hay mà lại phù hợp với từng đối tượng học sinh phổ biến đến các trường
để các Thầy cô có điều kiện tiếp cận học hỏi kinh nghiệm và giảng dạy cho các
em sao cho đạt kết quả tốt nhất.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày21 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lại Việt Quang

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách bài tập đại số 10 nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục
3. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Trần
Phương, Lê Hồng Đức
4. Các đề thi đại học trong các năm
PHỤ LỤC

18