Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình giải tích 12

MỤC LỤC
Mở đầu…………………………………………………………………..1
1.1.
Lí do chọn đề tài………………………………………………….1
1.2.
Mục đích nghiên cứu……………………………………………..1
1.3.
Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1
1.4.
Phương pháp nghiên cứu…………………………………………1
2. Nội dung………………………………………………………………...3
2.1. Cơ sở lí luận………………………………………………….…....3
2.2. Thực trạng của đề tài…………………………………………...….4
2.3. Biện pháp thực hiện…………………………..………………..…..4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………..….....14
3. Kết luận……….…………………………………………………..…….17
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………18
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải…………………………………19
1.

1


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12, cực trị của hàm số là một trong những vấn
đề quan trọng, có nhiều ứng dụng và thường xuất hiện trong đề thi trung học phổ
thông (THPT) quốc gia.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn
và mắc phải những sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến cực trị. Các em
thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu

không có sự hướng dẫn của người thầy.
Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên
cung cấp kiến thức về bài toán cực trị của hàm số hơi ít. Mặt khác có nhiều học
sinh còn có tư tưởng xem nhẹ và không thích giải các loại bài toán này. Qua thực tế
giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm tra của học sinh, còn nhiều học sinh
làm chưa tốt nội dung này. Nguyên nhân cơ bản là các em không nắm được bản
chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các bài toán tìm tham số thỏa
mãn điều kiện bài toán cho trước. Để khắc phục những điểm yếu trên, tôi cố gắng
đưa ra một số bài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của các dạng bài
toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần kinh nghiệm khi giải.
Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo về các dạng
bài toán nằm ngoài sách giáo khoa, từ đó giúp các em xử lí tốt hơn khi tiếp cận
với các đề thi THPT quốc gia.
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về cực trị của hàm số và giải
được tốt các bài tập về cực trị, tôi chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục
những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích
12".
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng giáo án về các ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục những
sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12 nhằm
phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán
về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới phương pháp dạy
học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Giải tích 12
1.4.2. Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để làm cơ sở cho việc
nghiên cứu đề tài.
2


1.4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình
của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên
cứu.
1.4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả
thu được.

3


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
Nội dung cực trị của hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
Các định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị
y = f ( x)
K = ( x0 − h; x0 + h)
 Định lí 1: Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
và có
K \ { x0}
h> 0
K

đạo hàm trên
hoặc trên
, với
.
f '( x) > 0
( x0 − h; x0 ) f '( x) < 0
a. Nếu
trên khoảng
và
trên khoảng
y = f ( x)
( x0; x0 + h) x0
thì
là một điểm cực đại của hàm số
.
f '( x) < 0
( x0 − h; x0 ) f '( x) > 0
b. Nếu
trên khoảng
và
trên khoảng
y = f ( x)
( x0; x0 + h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số
.
y = f ( x)
 Định lí 2: Giả sử hàm số
có đạo hàm cấp hai trong khoảng
( x0 − h; x0 + h)
h> 0

, với
. Khi đó:
f '( x) = 0 f ''( x) > 0
x0
a. Nếu
,
thì
là điểm cực tiểu
f '( x) = 0 f ''( x) < 0
x0
b. Nếu
,
thì
là điểm cực đại.
Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí trên
* Quy tắc 1:
+ Tìm tập xác định.
xi (i = 1, 2, ..., n)
f ′(x)
f ′(x) = 0
f ′(x)
+ Tính
. Tìm các điểm
mà tại đó
hay
không xác định.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
* Quy tắc 2:
+ Tìm tập xác định.

4


+ Tính

f ′(x)

. Giải phương trình
f ′′(xi )
f ′′(x)
+ Tính
và
.
+ Kết luận.

f ′(x) = 0

tìm các nghiệm

xi (i = 1, 2, ..., n)

.

2.2. Thực trạng của đề tài
Trong thực tế, khi học sinh học phần cực trị của hàm số - chương I “Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn
sau:
- Không nắm vững định nghĩa và các khái niệm liên quan đế cực trị của hàm
số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.

- Nhầm lẫn giữa cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3. Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề
tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
Sai lầm thứ nhất: Không phân biệt được các khái niệm liên quan đến
cực trị
y = − x 3 + 3x + 2
Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
là
xCT = −1
xCT = 1
( −1;0 )
( 1;4 )
A.
;
B.
;
C.
;
D.
.
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án C.
f ( x)
x0
x0
Nếu hàm số
đạt cực tiểu tại
thì
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số;

M ( x0 ; f ( x0 ) )
f ( x0 )
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, còn điểm
được gọi là
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Bởi vậy phương án đúng phải là C.
Ví dụ 2: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên sau:
5


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại

x = 3;

B. Hàm số đạt cực đại tại

x = −2;

C. Hàm số đạt cực đại tại
D. Hàm số đạt cực đại tại
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án B.
Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị
Cách khắc phục: Nắm vững các khái niệm sau:
y = f ( x)
x0
Cho hàm số

nếu
là điểm cực trị của hàm số thì:
x0 x0
Hàm số đạt cực trị tại
( là điểm cực trị của hàm số).

x = 2;
x = 4.

f ( x0 ) .

Giá trị cực trị của hàm số là
Điểm cực trị của đồ thị hàm số là

M ( x0 ; f ( x0 ) ) .

Bài tập tương tự
Bài 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số
xCÐ = 0
yCÐ = 1
A.
;
B.
;

Sai lầm thứ hai: Phương trình
không có cực trị
Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số
Sai lầm thường gặp:
y ' = f '( x) =

Ta có:

y = x3 − 3x 2 + 1

C.

( 2; −3)

f ' ( x) = 0

là
;

D.

( 0;1)

.

vô nghiệm thì kết luận hàm số

y = f ( x ) = 3 ( x − 2) 2

2
33 x − 2

6

f '( x) = 0 ⇔

2
=0
33 x − 2

Suy ra
(vô nghiệm) nên hàm số không có cực trị.
Tuy nhiên, lập bảng biến thiên của hàm số ta được

Do đó hàm số vẫn có cực trị (đạt cực tiểu tại x = 2).
Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị tại

x0

thì

f '( x0 ) = 0
f ( x) = 0

.

'

Cách khắc phục: Khi gặp các bài toán tìm cực trị mà phương trình
nghiệm thì ta phải lập bảng biến thiên của hàm số.
Sai lầm thứ ba: Hàm số không có đạo hàm tại
tại điểm đó.
Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số

Đồ thị hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

x0

vô

thì không đạt cực trị

có bảng biến thiên như sau:

có bao nhiêu điểm cực trị?

3

2

4

1

A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Trong ví dụ này học sinh không nắm vững sẽ chọn phương án B tuy nhiên hàm số
vẫn đạt cực trị tại x = 0.

Suy ra hàm số

y = f ( x)

có ba nhiêu điểm cực trị.
7


x0

Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị tại
thì hàm số
phải có đạo hàm tại điểm đó.
x0
Cách khắc phục: Khi gặp các bài toán tìm cực trị tại
mà hàm số không có đạo
x0
hàm tại
thì ta phải lập bảng biến thiên của hàm số.
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
hình vẽ

y = f ( x)

xác định, liên tục trên

¡

và có bảng biến thiên như

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất không có giá trị lớn nhất;
B. Hàm số có một điểm cực trị;
C. Hàm số có hai điểm cực trị;
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
Bài 2: Cho hàm số

y = f ( x)

2

và giá trị nhỏ nhất bằng

−3.

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm
x = −1;

x=2

; B. Hàm số đạt cực đại tại điểm

8


C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

( −1; 2 )

x0

; D. Giá trị cực đại của hàm số là

y=2

.

f ' ( x) = 0

Sai lầm thứ tư: Nếu
là nghiệm của phương trình
thì kết
x0
luận là điểm cực trị của hàm số
f ( x ) = x3 − 1
Ví dụ 5: Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án B do khi tính đạo hàm của
f ' ( x ) = 3x 2
x=0
x=0
hàm số đã cho

có nghiệm là
. Tuy nhiên ở đây, tại
là
f '( x )
x=0
nghiệm kép, đạo hàm
không đổi dấu khi đi qua
nên hàm số không đạt
cực trị tại điểm này. Phương án đúng là A.
Học sinh quan sát bảng biến thiên sau để thấy rõ hơn.

f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 8 x + 10

Ví dụ 6: Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C do khi tính đạo hàm của
f ' ( x ) = 4 x3 − 12 x + 8
x =1
x = −2
hàm số đã cho
có hai nghiệm là
và
. Tuy nhiên ở
f '( x )
x =1
x =1

đây, tại
là nghiệm kép, đạo hàm
không đổi dấu khi đi qua
nên
hàm số không đạt cực trị tại điểm này. Phương án đúng là B.
Nguyên nhân sai lầm: Nhầm lẫn các loại điều kiện.

9


" A ⇒ B"

A
B
(nếu có thì có ) đúng, học sinh có thể ngộ nhận về kết
" B ⇒ A"
B
A
quả: Khẳng định
(nếu có thì có ) đúng.
y = f ( x)
x = x0
Nếu hàm số
có đạo hàm tại điểm
và đạt cực trị tại điểm đó thì
f ' ( x0 ) = 0
y = f ( x)
. Tuy nhiên, khẳng định sau là sai: Nếu hàm số
có đạo hàm tại
f ' ( x0 ) = 0

x = x0
x = x0
điểm
và
thì hàm số đạt cực trị tại điểm
.
Cách khắc phục:
Lập bảng biến thiên của hàm số.
f '( x )
x0
x0
x
Dấu của
sẽ không đổi khi qua nếu
là nghiệm bội chẵn của
f ' ( x0 ) = 0
x0
phương trình
nên
không phải là điểm cực trị của hàm số.
Khi mệnh đề:

Bài tập tương tự
Bài 1: Hàm số

y = x 3 − 3 x 2 + 3x − 4

1

có bao nhiêu cực trị?

0

2

A. ;

B. ;

C. ;

3

D. .

Bài 2: [THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018] Cho hàm số
y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực

trị?

4

A. ;

B. ;

Bài 3: Cho hàm số
hàm số

3

2

y = f ( x)

y = f ( x)

liên tục trên

C. ;
¡

, có đạo hàm

5

D. .
f ′( x ) = x 5 ( x − 1)

2

( x + 2)

. Hỏi

có bao nhiêu điểm cực trị?
10

3

0

1

A. ;

B. ;

C. ;

x0

Sai lầm thứ năm: Nếu
là điểm cực đại của hàm số
f ''( x0 ) < 0
(tương tự cho cực tiểu)
Ví dụ 7: Cho hàm số

y = f ( x ) = x 4 − mx 2
x=0

+) Vậy m <0 thì hàm số đạt cực tiểu tại
Phân tích sai lầm:
Chẳng hạn, với

m=0

, hàm số có dạng

y′ = f ′ ( x ) = 4 x = 0 ⇔ x = 0

y = f ( x)

thì

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để hàm số đạt cực tiểu tại
?
m≤0
m=0
m≥0
A.
;
B.
;
C.
;
Cách giải sai:
f ′ ( x ) = 4 x 3 − 2mx
f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 2m
+) Ta có:
và

+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại

2

D. .

x=0

là:

x=0

D.

m>0

.

0 = 0
 f ′ ( 0 ) = 0
⇔
⇔m<0

m < 0
 f ′′ ( 0 ) > 0

.

y = f ( x ) = x4

.

3

Ta có:
Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

11


Nhớ rằng, nếu

x0

thỏa mãn


 f ′ ( x0 ) = 0
⇒ x0


 f ′′ ( x0 ) > 0
x0

ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu
f ′′ ( x0 ) > 0

do là điều kiện
Lời giải đúng là:
+) Ta có:
+) Nếu

là điểm cực tiểu của hàm số, còn điều

là điểm cực tiểu thì vẫn có thể

f ′′ ( x0 ) = 0

chỉ là điều kiện đủ.

f ′ ( x ) = 4 x 3 − 2mx

m≤0

thì ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
+) Nếu

m>0

ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đạt cực đại tại x = 0.
+) Vậy với

m≤0

thì hàm số đạt cực tiểu tại
y = f ( x ) = mx + 1

x = 0.

Phương án đúng là A.

4

Ví dụ 8: Cho hàm số

để hàm số đạt cực đại tại

x=0

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

?

12


A.

m<0

;

B.

Cách giải sai:
+) Ta có:

f ′ ( x ) = 4mx 3

và

m ∈∅

;

C.

m≥0

;

x=0

là:

 4m.0 = 0
 f ′ ( 0 ) = 0
⇔

12m.0 < 0
 f ′′ ( 0 ) < 0

+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
Phân tích sai lầm:
Chẳng hạn, với

m>0

.

f ′′ ( x ) = 12mx 2

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại
nghiệm

m = −1

D.

, hàm số có dạng

y = f ( x ) = − x4 + 1

y ′ = f ′ ( x ) = −4 x = 0 ⇔ x = 0

x=0

hệ vô

.

.

3

Ta có:
Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

Nhớ rằng, nếu

x0

thỏa mãn


 f ′ ( x0 ) = 0
⇒ x0


 f ′′ ( x0 ) < 0

ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu
f ′′ ( x0 ) < 0

là điều kiện
Lời giải đúng là:
+) Ta có:

x0

là điểm cực đại của hàm số, còn điều

là điểm cực đại thì vẫn có thể

f ′′ ( x0 ) = 0

do

chỉ là điều kiện đủ.

f ′ ( x ) = 4mx 3

13


f ′( x) = 0

m=0

+) Nếu
thì
không cực trị.
+) Nếu

m≠0

 Với

thì

. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng

y = f ( x) = 1

nên

f ′ ( x ) = 4mx 3 = 0 ⇔ x = 0

m>0

ta có bảng biến thiên:

Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
 Với

m<0

m<0

ta có bảng biến thiên:

x = 0.

thì hàm số đạt cực đại tại
Phương án đúng là A.
+) Vậy với
Nguyên nhân sai lầm: Khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số các
em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

 f '( x0 ) = 0


 f ''( x0 ) > 0 ⇒ x0


là điểm cực tiểu

 f '( x0 ) = 0


 f ''( x0 ) < 0 ⇒ x0

là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên của hàm số.
14


Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hàm số y = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
x=0

để hàm số đạt cực đại tại
?
m≤0
m=0
m≥0
m>0
A.
;
B.
;
C.
;

D.
.
4
3
Bài 2. Cho y = x + mx + 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
x=0

để hàm số đạt cực tiểu tại
?
m≤0
m=0
A.
;
B.
;

C.

m≥0

;

D.

m>0

Bài 3. [Mã đề 105 – THQG 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
y = x + ( m − 4 ) x − ( m − 16 ) x + 1
8

hàm số
8

A. ;

5

2

4

đạt cực tiểu tại

9

B. ;

x=0

.

m

để

?
7

C. Vô số;

D. .

Sai lầm thứ sáu: Xét thiếu trường hợp trong quá trình tìm ra kết quả
cuối cùng.
mx3
y=
− ( m + 1) x 2 + 4 x − 1
3
m
Ví dụ 9 Tập hợp các số thực
đề hàm số
có cực trị là
¡ \ { 1}
¡ \ { 0;1}
¡ \ { 0} .
¡
A.
;
B. ;
C.
;
D.
m=0
Trong ví dụ này học sinh dễ quên trường hợp
, hàm số bậc hai luôn có cực
m=0
trị, vì vậy
thuộc tập hợp các kết quả. Phương án đúng là A.
1
y = − x 3 + m − m 2 − 2 x 2 − 3m 2 + 1 x − m

3
m
Ví dụ 10: Cho hàm số
. Tìm
để
x = −2
hàm số đạt cực trị tại điểm
.
m =1
m =1
m=3
m=3
A.
; B.
hoặc
;
C.
;
D. Đáp án khác.
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C.
y ' = − x 2 + 2 ( m − m 2 − 2 ) x − ( 3m 2 + 1)
Đạo hàm của hàm số:
.
y ' ( −2 ) = 0
x = −2
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại
là

(

)

(

)

15


⇔ −4 − 4 ( m − m 2 − 2 ) − ( 3m 2 + 1) = 0
m = 1
⇔
m = 3
Khi giải đến đây hàm số vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc xét điều
x = −2
kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại
.
3
y ' = − x 2 − 4 x − 4 = − ( x + 2 ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡
m =1
Điều kiện đủ: +, Với
thì
. Bởi vậy
¡
hàm số nghịch biến trên
nên không có cực trị.
y ' = − x 2 − 16 x − 28
y '' = −2 x − 16
m=3
+, Với

thì
và
.
y ' ( −2 ) = 0

⇒
y '' ( −2 ) = −12 < 0 
x = −2
Khi đó
hàm số đạt cực đại tại
.
m=3
x = −2
Vậy
thì hàm số đạt cực trị tại
. Chọn phương án C.
Nguyên nhân sai lầm: Xét thiếu các trường hợp có thể hoặc không thể xảy ra của
bài toán.
Cách khắc phục: Cần chú ý xét hết tất cả các trường hợp có thể hoặc không thể
xảy ra của bài toán.
Sai lầm thứ bảy: Giá trị cực đại là giá trị lớn nhất và giá trị cực tiểu là
giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 11: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất là 3;

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0;
C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 3và có giá trị nhỏ nhất là 0;
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
16


Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án C và phương án D.
Đây là sai lầm rất nghiêm trọng khi coi giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất và giá trị
cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số. Điều này chỉ đúng khi hàm số chỉ có đúng
một cực trị là cực tiểu thì giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất hoặc hàm số chỉ có
đúng một cực trị là cực đại thì giá trị cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số.
Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị và giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Bài tập tương tự
y = f ( x)

Bài 1. Cho hàm số
xác định, liên tục trên
hình vẽ. Tìm khẳng định đúng?

¡

A. Hàm số có đúng một cực trị;
B. Hàm số đạt cực đại tại

x =1

và đạt cực tiểu

và có bảng biến thiên như

x=2

;

1

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng ;
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
y = f ( x)

Bài 2. Cho hàm số
dưới đây đúng?

A.

yCT = 0

1

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

max y = 5

;

B.

0

và giá trị nhỏ nhất bằng .

¡

;

C.

yC Ð = 5

min y = 4
;

D.

¡

.

17


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi đã chọn lớp 12A5 là lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới,
hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số còn lớp
12A6 là lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống. Kết quả thực nghiệm
sau khi cho hai lớp làm bài tập khảo sát như sau:
Các bài tập khảo sát:
Bài 1. Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
A.

xCÐ = 0

;

Bài 2. Cho hàm số
của hàm số

f ( x)

B.

f ( x)

5

A. ;
Bài 3.

yCÐ = 2

Cho hàm số

;

C.

có đạo hàm

( 0;1)

f ′ ( x ) = ( x + 1)

4

;

D.

( x − 2 ) ( x + 3)
5

( 2;5 )

.

3

. Số điểm cực trị

là
3

1

B. ;

y = f ( x ) = x 4 + mx3 + 1

x=0

2

C. ;

D. .

. Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
.
m≤0
m=0
m≥0
m>0
A.
;
B.
;
C.
;
D.
.
1

y = − x 3 + m − m 2 − 2 x 2 − 3m 2 + 1 x − m
3
m
Bài 4. Cho hàm số
. Tìm
để hàm số
x = −2
đạt cực trị tại điểm
.

(

)

(

)

18


A.

m =1

m =1

;

m=3

m=3

B.
hoặc
;
C.
;
D. Đáp án khác.
y = f ( x)
y = f ′( x)
¡
¡
Bài 5. Cho hàm số
có đạo hàm trên và đồ thị hàm số
trên
như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?
y

x

O

A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Kết quả khảo sát

y = f ( x)

có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu;

y = f ( x)

có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu;

y = f ( x)

có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu;

y = f ( x)

có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Điểm số Xi
Lớp

n
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TN

41

0

0

0

0

3

5

9

9

8

7

ĐC

39

0

0

0

6

7

9

8

5

3

1

Bảng phân bố tần số bài khảo sát
xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
19


TN
(%)
ĐC
(%)

0.0
0

0.00

0.0
0

0.00

7.30

12.1
9

21.9
5

21.9
5

19.54 17.07

0.0
0

0.00

0.0
0

15.3
8

17.9
4

23.0
7

20.5
1

12.8
5

7.69

2.56

Bảng phân bố tần suất bài khảo sát
Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua bài khảo sát cho thấy:
Lớp TN:
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm hơn 80,00%.
- HS trung bình dưới 20,00%, không có yếu kém.
Lớp ĐC:
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chỉ chiếm 43,61%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 41,01%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,38%.
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn
lớp ĐC.
Kết luận chung về thực nghiệm
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học

sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần
nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời
gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà
trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá
trình thực nghiệm.

20


3. Kết luận
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng
dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc
hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm
ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng
mình; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang
bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương
ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để
giải quyết rất nhiều bài toán; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo
hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn.
Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối
khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường
quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định
lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa
hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang
tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội
học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học).

21

Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực hiện
thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắc
chắn chưa phải là tốt nhất.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Trương Văn Hòa

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.

Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư
phạm Hà Nội.
Sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản (NXB Giáo dục)
Thư viện: violet.vn › Toán

22

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trương Văn Hòa
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ phó chuyên môn trường THPT 4 Thọ Xuân.

23


TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh
giá xếp
loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Tạo hứng thú học tập môn Toán Sở GD và ĐT
cho học sinh thông qua giải bài Tỉnh Thanh
tập trong sách giáo khoa.
Hóa

C

2008- 2009

2.

Tạo hứng thú học tập môn Toán Sở GD và ĐT
cho học sinh thông qua giải bìa Tỉnh Thanh
tập trong sách giáo khoa Đại số Hóa
10 nâng cao.

C

2009- 2010

3.

Tạo hứng thú học tập môn Toán Sở GD và ĐT
cho học sinh thông qua giải bìa Tỉnh Thanh
tập trong sách giáo khoa.
Hóa

C

2010-2011

4.

Hướng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm vào giải một số dạng
bài tập về lượng giác trong tam
giác.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh
Hóa

C

2011- 2012

5

Rèn luyện kỹ năng giải phương Sở GD và ĐT
trình bằng phương pháp sử Tỉnh Thanh
dụng tính đơn điệu của hàm số Hóa
cho học sinh lớp 12.

C

2014- 2015

6

Giúp học sinh lớp 10 giải Sở GD và ĐT

phương trình vô tỉ bằng phương Tỉnh Thanh
pháp đặt ẩn phụ.
Hóa

C

2015- 2016

24