Một vài kinh nghiệm dạy học sinh ôn thi tốt nghiệp thpt qg chủ đề đồ thị hàm số

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

S¸ng kiÕn

A. PHẦN MỞ ĐẦU.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình giáo dục toán học ở trường phổ thông trung học,
phương pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng. Nói đến phương pháp toạ độ,
mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng
như các bài toán của hình học giải tích. Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ
rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán sơ
cấp: Giải phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thậm chí phương pháp toạ độ còn
giúp ta giải quyết các bài toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình
học thuần tuý, mà là những đối tượng “xa vời” với phương pháp toạ độ.
2. Cơ sở thực tiễn.
Cùng với các phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những
phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp toạ độ dùng
để giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta
chưa nhìn thấy nó. Do đó chúng ta cũng nên đưa phương pháp toạ độ vào giải
các bài toán sơ cấp trong chương trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm
phương pháp giải bài tập và ứng dụng của phương pháp toạ độ. Đó cũng chính
là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài
“sử dụng phương pháp toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn .
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học
về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Do điều kiện thời gian, trong đề tài này tôi mới chỉ đưa ra: Phương pháp toạ độ
với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - thông qua một vài ví
dụ. Hy vọng rằng: Phương pháp toạ độ sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái trong sáng - và lý thú.
1


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

Dĩ nhiên, trong quá trình nghiên cứu cũng không tránh khỏi những khuyết điểm.
Mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung.
NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương
pháp toạ độ, người ta thường sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước thì đường
thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
- Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d ( hoặc mặt phẳng (P)) cho trước.

Khi đó, độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn hơn mọi
đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (mặt phẳng) ấy.
- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác đều có chu
vi và diện tích lớn nhất.
Nếu bằng một phép biến đổi nào đó, bài toán có thể quy về các sự kiện hình
học nói trên, thì nên dùng phương pháp toạ độ để giải.
Người ta sử dụng hai bất đẳng thức sau:
r r r r
u
1. + v ≤ u + v
rr r r
uv
2. . ≤ u . v
r r
(Chú ý điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi u, v là các véc tơ cùng
phương, cùng chiều hoặc là có một trong hai vectơ là vectơ không).
Ngoài ra còn chú ý một số kết quả sau (tự chứng minh) :
Cho đoạn AB, M0 bất kỳ ngoài đoạn AB. Ta có:
MaxM0M = Max{M0A,M0B}
M∈AB
Cho f(x) liên tục trên tập D và tồn tại Max f (x) và Min f (x) .
D

D

 f (x) = α
f (x) ≤ α ≤ Max f (x) .
1. Phương trình 
có nghiệm ⇔ Min
D

D
x
∈
D

 f (x) ≥ α
f (x) ≥ α
2. Bất phương trình 
có nghiệm ⇔ Max
x∈D
x
∈
D

 f (x) ≤ α
f (x) ≤ α
3. Bất phương trình 
có nghiệm ⇔ Min
x∈D
x
∈
D

M
0

A

M

B

2


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

SAU ĐÂY LÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HOẠ
1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x,y) = cos2x + cos2y
1
Trên miền D = {(x, y: sinx + siny = }.
2
Lời giải:
Đặt u = sinx; v = siny. Khi đó ta có:
cos2x + cos2y = 2 - 2(u2 + v2).
Xét bài toán mới: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: F(u,v) = u 2 + v2
v
1
trên miền D1 = {(u, v): u ≤ 1; v ≤ 1;u + v = }.
A 1
2
Lúc đó ta có mối liên hệ:
(u,v) (1)
Max f (x, y) = 2 - 2 MinF
1/2

D
D
H
Min f (x, y) = 2 - 2 MaxF (u, v) (2)
1

D1

D

Vẽ hệ trục Ouv.

-1

-1/2

1/2

-1/2

Tập D1 chính là đoạn thẳng AB (phần đường thẳng u + v =
1
1
vuông). Dễ thấy A(- ; 1) & B(1; - ).
2
2
2
2
2
Nếu M(u; v) ∈ D1 thì u + v = OM .

u

1

B

1
nằm trong hình
2

(u, v) = MaxOM 2 = OA2(= OB2 ) = 1+ 1 = 5
Vậy MaxF
D
M∈AB
4 4
MinF (u, v) = MinOM 2 = OH 2 = 1
D
M∈AB
8
f (x, y) = 7 ; Min f (x, y) = - 1 .
Theo (1) ta có: Max
D
4 D
2
1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN của hàm số: f(x, y) = x2 + y2 trên miền:
 x − 2y + 8 ≥ 0
x

D = x + y+ 2≥ 0

C
2x − y + 4 ≤ 0
4

B
2
Lời giải:
1

1

Vẽ hệ trục Oxy.

8

- A- O
4 2
2

x

3


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

Dễ thấy các điểm (x; y) thoả mãn hệ trên chính là toàn tam giác ABC.
Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gọi D là miền dàng buộc hệ).
Ta có:
Max f (x, y) = MaxOM 2 = Max {OA2, OB2, OC2} = 20.
D
M∈D
Min f (x, y) = MinOM 2 = MinOH2 = 16 (vì 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 5 )
D
M∈D
OH 2 OA2 OC2 4 16 16
5
f (x, y) = 20.
Tóm lại: Max
D
Min f (x, y) = 16 .
D
5
1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN của hàm số:
f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z.
Trên miền D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + 3 = 0}.
Lời giải:
Với (x, y, z, t) ∈ D, ta có:
f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - 3 =(x - z)2 + (y - t)2 - 4. (1)
Khi (x, y, z, t) ∈ D thì điểm M(x; y) nằm trên đường tròn đơn vị; còn điểm
N(z, t) nằm trên Parabol: v = u2 + 3.
Ta có: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2.
Rõ ràng: MinMN2 = M0N02 = 4. Trong đó M0(0; 1) và N0(0; 3).
Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t) ≥ 0 ∀(x, y, z, t) ∈ D.
Mặt khác, khi x = 0, y = 1, z = 0, t = 3 thì f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, 3 )∈D.
f (x, y, z,t) = 0.

Vậy Min
D
v

N(z,t)
3N
0

M1
0

1

O

M(x,
y)
1

u

1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = x2 − x + 1 + x2 − 1 3x + 1 với x ∈ R.
4


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm
Lời giải:
2

2

2
2

1  3 
3   1

Ta viết lại f(x) dưới dạng: f(x) =  x − ÷ + 
÷ +  x−
÷ +  ÷ (1)
2  2 
2


  2
1 3
3 1
Xét hệ trục Oxy với điểm A( ;
); B(
; ); C(x ; 0).
2 2
2 2
Khi đó từ (1) ta có: f(x) = CA + CB ≥ AB.
2

2

 3 1  1
3
Trong đó AB = 
− ÷ +− −
÷ = 2.
2
2
2
2

 

Do đó: f(x) ≥ 2 .
Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại ở tại C0. Ta có: C0A + C0B = AB.
Như vậy, nếu đặt x0 = OC0 thì f(x0) =
y
2.
A
3
Min
f
(
x
)
Vậy : x∈R
= 2
2
C

x

−

1
2

1
2

C0

3
2

x

B

1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x, y) = 4x + 3y
2
2
Trên miền: D = {(x, y): x + y + 16 = 8x + 6y}.
Lời giải:
Nếu (x, y) ∈ D, ta có: x2 + y2 = 8x + 6y ⇔ (x - 4)2 + (y - 3)2 = 9.
Nghĩa là: D là đường tròn tâm O1(4; 3) và bán kính R = 3 khi (x, y) ∈ D, ta có:
x2 + y2 + 16
1
1

f(x, y) = 4x + 3y =
= 8+ (x2 + y2 ) = 8+ OM 2
2
2
2
y
với M(x; y) nằm trên đường tròn trên.
M(x,y
Nối OO1 cắt đường tròn D tại 2 điểm M1, M2, ta được:
.
)
MinOM = OM1 = OO1 - M1O1 = 5 - 3 = 2.
.
.M2
M∈D
.
MaxOM = OM2= OO1 +O1M2 =5 + 3 = 8.
M∈D
.
3
O
f (x, y) = 8 + 1 82 = 40,
. 1
Vậy: Max
D
2
.M
. 1
Min f (x, y) = 8 + 1 22 = 10.
D

2
4
x
O
5


Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

S¸ng kiÕn

1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:
f(x) = sin x + 2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x với x ∈ R.
Lời giải:
Gọi m là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Điều đó có nghĩa là phương trình sau (ẩn
x) có nghiệm:
sin x + 2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x = m (1)
Đặt u = 2 − sin2 x ; v = sinx
y
. = m (2)
u + v + uv
 2 2
(3)
u + v = 2
khi đó (1) ⇔ 
B
(4)
−1≤ v ≤ 1

1≤ u ≤ 2
(5)

Xét hệ trục Ouv:
x
O
» nhỏ,
Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung AB
ở đây A(1; -1); B(1; 1).
A
2
(u + v) − 2
Từ (2) ta có: u + v +
= m ⇔ (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - 2 = 0
2
⇔ u + v = -1 + 2m+ 3
» )
(u + v) = -1 - 2m+ 3 loại (vì không cắt cung AB
Từ đó nhận thấy (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng :
»
u + v = -1 + 2m+ 3 cắt cung AB
tức là 0 ≤ -1 + 2m+ 3 ≤ 2
⇔ 1 ≤ 2m+ 3 ≤ 3
⇔ - 1 ≤ m ≤ 3.
f (x) = 3 và Min f (x) = -1.
Vậy Max
x∈R
x∈R
1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN của hàm số
x

f(x) = x + 4 1− trên đoạn [0; 2]
2
Lời giải:
Viết f(x) dưới dạng: f(x) = x + 2 2 2 − x (1)
Xét phương trình tham số: x + 2 2 2 − x = m (2) v
Đặt x = u; 2 − x = v. Khi đó:
2
B
u + 2 2v = m (3)
 2 2
(4)
(2) ⇔u + v = 2
O
u ≥ 0; v ≥ 0 (5)

Xét hệ trục Ouv:
-

A

2

u

6


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng u + 2 2v = m cắt cung phần tư
thứ nhất AB của đường tròn tâm O bán kính 2 .
Đường thẳng u + 2 2v = m qua A( 2 ; 0) có dạng: u + 2 2v = 2 .
» có dạng: u + 2 2v = OC ,
Đường thẳng u + 2 2v = m là tiếp tuyến của cung AB
2
2
=3 2
ở đây OC = sinα = 1 1
:
+2
2

4

Từ đấy thấy ngay hệ (3), (4), (5) có nghiệm ⇔ đường thẳng u + 2 2v = m nằm
giữa hai đường thẳng nói trên ⇔ 2 ≤ m≤ 3 2
Vậy Max f (x) = 3 2 = 3 và Min f (x) = 2 .
[ 0;2]

[ 0;2]

1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = x2 − 2px + 2p2 + x2 − 2qx + 2q2 (p, q là hai số cho trước)
Lời giải
Xét p + q > 0 :
Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; p ) & B(x - q; q ). Khi đó:

f(x) =

2

2

(x − p)2 + p + (x − q)2 + q = OA + OB.

Rõ ràng có: OA + OB ≥ AB.
Mà AB =

(q − q)2 + ( p + q )2 không đổi với mọi vị trí của A và B.

Vậy ta luôn có f(x) ≥

(q − q)2 + ( p + q )2 (1)y = p
Dấu = sxảy ra ⇔ A, O, B thẳng hàng.
y
y=-q
uuur
uuu
r
Ta có: OA = (x − p; p ); BO = (q − x; q )
q p + pq
x− p p
= ⇔ x=
mà A, O, B thẳng hàng ⇔
.
q− x q
p+ q

Do AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:

A
x

O

B

7


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm
 q p + pq 
f 
= AB = ( p − q)2 + ( p + q )2 (2)
÷
÷
 p+ q 
2. Xét p + q = 0 (⇔ p = q = 0)
Lúc này f(x) = 2|x| ⇒ Min f(x) = 0 (3)
Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có:
Min f (x) = ( p − q)2 + ( p + q )2 .
x∈R

1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:f(x, y) = x - y

(x − 6)2 + (y − 3)2 ≥ 25
 2
2
 x + (y − 4) ≤ 25
Trên miền: D = 
−2x + y ≤ 4
 x ≥ 0, y ≥ 0
Lời giải:
Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x, y) được biểu
y
diễn bởi miền gạch chéo sau:
A
4
3
-2O

B

2

6

C

x

Chú ý rằng:
Đồ thị hàm số x - y = α suy ra từ đồ thị hàm số x - y = 0 một lượng (- α) theo
trục Oy.
Gọi (α) là một giá trị tuỳ ý của f(x, y) trên D.

Điều này có nghĩa là hệ sau ẩn (α, x, y) có nghiệm:
x− y = α

2
2
−2x + y = 4
(x − 6) + (y − 3) ≥ 25
 2
 2
2
2
. Giải hệ ta có:  x + (y − 4) = 25
 x + (y − 4) ≤ 25
−2x + y ≤ 4
 x ≥ 0, y ≥ 0


 x ≥ 0, y ≥ 0
Suy ra toạ độ điểm A( 5; 2 5 + 4).
8


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

Đường thẳng x - y = α qua A khi α = - 4 - 5 .
Đường tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành tại B(2; 0) & C(10; 0).

Đường thẳng x - y = α qua B khi α = 2. Khi đó:
x - y = - 4 - 5 & x - y = 2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x - y = α cắt
miền D.
f (x, y) = 2, Min f (x, y) = −4 − 5 .
Từ đó suy ra: Max
D
D
1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước; x, y, z là ba số thực
thay đổi sao cho ax + by + cz = k (1) ( k là số cố định cho trước).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x, y, z) = a h2 + x2 + b h2 + y2 + c h2 + z2 với (x, y, z) thoả mãn điều kiện
(1).
Lời giải:
Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz)
v
C

ax + by + cz
=k
a
x

O
ax +
by

A

ah

(a+b)
h

B

u
(a+b+
c)h

Ta có: OA = a h2 + x2 ; AB = b h2 + y2 ; BC = c h2 + z2
Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC là độ dài đường gấp khúc
OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k).
Ta có: OC = k2 + h2(a + b + c)2
Từ (2) suy ra: f(x, y, z) ≥ OC = k2 + h2(a + b + c)2 (3)
Dấu = trong (3) sảy ra ⇔ O, A, B, C thẳng hàng
ax ax + by ax + by + cz
k
⇔
=
=
⇔ x= y= z=
ah ah + bh ah + bh + ch
a+ b+ c
k
k
k


2
2 2

,
,
Như vậy: f 
÷ = k + (a + b + c) h (4)
 a + b+ c a + b+ c a + b+ c 
Từ (3) và (4) ta có: Minf(x, y, z) = k2 + (a + b + c)2 h2 .
9


S¸ng kiÕn

Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

1.11 Ví dụ 11: Cho
xi, yj (i = 1,2, ... , n) là
2n số thực thoả mãn:

y

n

n

i =1

i =1

∑ xi + ∑ yi = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: A =

O

x

n

∑
i =1

xi2 + yi2

Lời giải:
Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy:
k
 k

Gọi Mk là điểm có toạ độ Mk  ∑ xi ; ∑ yi ÷, k= 1, 2, ..., n
i =1
 i =1

n
n


Như vậy điểm Mn  ∑ xi ; ∑ yi ÷ sẽ nằm trên đường thẳng x + y = 1 (vì giả thiết x+ y
i =1
 i =1


=1)
2

Dễ thấy: Mk−1Mk

2

 k x − k−1 x  +  k y − k−1 y  = x2 + y2 (k = 1, 2, ... , n)
∑ i ∑ i ÷ ∑ i ∑ i ÷
k
k
i =1
i =1
 i =1
  i =1


Từ đó suy ra:
A = OM1 + M1M2 + M2M3 + ... + Mn-1Mn
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, thì OH =
2
2
2
Rõ ràng: OM1 + M1M2 + ... + Mn-1Mn ≥ OH, hay A ≥
(1)
2
Dấu bằng sảy ra trong (1) ⇔ O, M1, M2, ..., Mn thẳng hàng & Mn ≡ H
y y
y

0
⇔ 1 = 2 = ... = n = tg45 = 1
x1 x2
xn
1
⇔ x1 = x2 = ... = xn = y1 = y2 = ... = yn =
2n
2
Vậy MinA =
.
2

10


Tæ To¸n - Tin. Trêng THPT Lª ViÕt T¹o

kinh nghiÖm

S¸ng kiÕn

KẾT LUẬN
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và loại toán khá
phức tạp trong chương trình THPT. Cách giải rất phong phú - đa dạng. Mặt
khác, phương pháp toạ độ cũng là phương pháp mới đối với học sinh - có phần
trừu tượng. Khi vận dụng phương pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức
toạ độ. Có tư duy lôgic - khéo léo. Vận dụng được phương pháp này sẽ giúp học
sinh phát triển tư duy - ý thức rèn luyện kiến thức và tạo sự say mê học tập,
hứng thú trong học tập.
Thông qua một vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy được ý nghĩa và

phương pháp vận dụng vào bài toán, giúp học sinh phần nào tự tin và ý thức hơn
về phương pháp (kiến thức) toạ độ, mà có những ví dụ với phương pháp sơ cấp
đơn thuần không giải được hoặc phức tạp - Nhưng đối với phương pháp toạ độ
thì lời giải lại đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề
tài này sẽ góp phần để việc dạy và học phương pháp toạ độ đạt hiệu quả cao hơn
Do điều kiện thời gian cũng như tinh thần học hỏi, tôi cũng chỉ đưa ra
một số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt được một số yêu cầu nào đó mà thôi. Mong
sự đóng góp chân tình của các bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thường xuyên
có tư tưởng cũng như suy nghĩ đến phương pháp này mà trước kia ta ít nghĩ tới.
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do chính
tôi nghiên cứu và thực hiện, không copy
của người khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Thịnh Thị Hồng

11