MỘT vài KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH lớp 12 ôn tập PHẦN số PHỨC TRONG đề THI TRẮC NGHIỆM TOÁN THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP
12 ÔN TẬP PHẦN SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TRẮC
NGHIỆM TOÁN THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trịnh Cao Cường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Trang
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………..…………………………1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………….…………………………2
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2
II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………..…………………….........2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….….4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………. .……4
2.3.1. Cung cấp cho học sinh khung cấu trúc chương trình số phức và đề thi minh
họa, các đề thi THPT quốc gia các năm 2017, 2018…………………………….4
a) Xây dựng các chủ đề dạy học số phức……………………..........5

b) Cấu trúc (ma trận) đề thi năm 2017 và đề minh họa 2018……....9
c) Nội dung số phức trong các đề thi ……………………………..10
2.3.2. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh một số dạng toán số
phức …………………………………………………………………………….13
2.3.3. Xây dựng các dạng câu hỏi và ngân hàng phù hợp với khung chương trình
đề thi minh họa 2018 …………………………………………………………...15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………….........20
III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận…………………………………………………………………….21
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………...…21


I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo, phát triển nguồn nhân lực ở
nước ta được nêu trong văn kiện Đại hội XII, Đảng ta đưa ra đường lối đổi mới
mang tính đột phá, khai mở con đường phát triển nguồn nhân lực Việt Nam trong
thế kỷ XXI, khẳng định triết lý nhân sinh mới của nền giáo dục nước nhà “dạy
người, dạy chữ, dạy nghề”, Cụ thể hóa điều đó, hệ thống giáo dục nói chung và
giáo dục Trung học phổ thông nói riêng đang có những thay đổi rõ rệt:
Ngày 28 tháng 9 năm 2016, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức chốt phương
án thi THPT Quốc gia năm 2017. Công văn số 4818/ BGDĐT-TKĐCLGD ngày 29
tháng 9 năm 2016 của Bộ GDĐT và quán triệt về công tác tổ chức dạy học, kiểm
tra đánh giá học sinh trong các trường THPT và các trung tâm có hệ thống giáo dục
thường xuyên THPT.
Tiếp đến, công văn số 1957/TB-SGDĐT ngày 17 tháng 10 năm 2016 về việc
thông báo kết luận hội nghị triển khai Phương án thi Trung học phổ thông quốc gia
năm 2017.
Sau đó, ngày 31 tháng 1 năm 2017, Bộ GD-ĐT đã chính thức ban hành Thông
tư Quy chế thi THPT quốc gia và xét công nhận tốt nghiệp THPT năm 2017. Trong

đó, những thông tin mới nhất về kỳ thi THPT Quốc gia 2017 và xét tuyển Đại học,
CĐ sắp tới được quy định cụ thể như sau: Hình thức thi “ Các bài Toán thi theo
hình thức trắc nghiệm khách quan”. Môn Toán: Trắc nghiệm 50 câu trong thời
gian 90 phút.
Có nghĩa là, từ cách thi bằng hình thức Tự luận thì đến năm học 2016- 2017,
học sinh học môn Toán cấp Trung học phổ thông sẽ thi theo hình thức thi Trắc
Nghiệm khách quan để xét tốt nghiệp và xét tuyển Đại học, Cao đẳng. Điều này đặt
ra một nhu cầu bức thiết đối với giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn Toán cuối
cấp đó là phải thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá giúp học sinh thích
ứng với cách làm bài thi mới.
Về phía học sinh khối 12 trường THPT Thạch Thành 3 gồm 8 lớp với hơn 300
học sinh, đa phần học Toán ở mức trung bình và yếu. Kết quả thi học kỳ I rất thấp
tỉ lệ trên trung bình chỉ chiếm 23,89%. Bên cạnh đó, kỹ năng sử dụng máy tính cầm
tay chưa cao, tốc độ làm Toán trắc nghiệm còn chậm, nếu không có tiến bộ trong
học kì II thì sẽ ảnh hưởng rất lớn đến kết quả xét tốt nghiệp.
Như vậy, để hướng tới kì thi TN THPT Quốc gia đạt kết quả cao, giáo viên môn
Toán phải thay đổi phương pháp giảng dạy, nên chọn phần kiến thức phù hợp và
giảng dạy thật kĩ để các em hiểu sâu, làm bài tốt tránh điểm liệt và mục tiêu cao
hơn là đạt từ 5 điểm môn Toán trong kì thi TN THPT Quốc gia. Vì vậy, giáo viên
chọn đề tài : “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán
phần số phức theo hình thức trắc nghiệm trong đề thi THPT quốc gia”.
1.2. Mục đích nghiên cứu

1


Giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản về chương số phức, thành thạo
khi làm toán trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay, giúp giáo viên xây dựng chủ
đề dạy học một cách có hệ thống. Đây là phần có nội dung nhẹ nhàng nhất trong
Đại số và Giải tích 12 vì vậy mục tiêu đặt ra là toàn bộ 100% học sinh làm được

các dạng toán này ở mức độ nhận biết và thông hiểu.
Giúp học sinh nhận dạng được các trường hợp kèm theo cách giải quyết.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chủ đề 1: Số phức : 3 tiết.
Chủ đề 2: Phép toán với hai số phức: 3 tiết.
Chủ đề 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực: 2 tiết.
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 qua các năm giảng dạy từ
trước đến nay và hiện nay là lớp 12A2,12A6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
1.4.2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung kiến thức trong bài dạy
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết
dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Dạy học theo hướng phát triển năng lực
Theo GS.TS Đinh Quang Báo:“ Năng lực là khả năng vận dụng những kiến
thức, kinh nghiệm, kỹ năng thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và
có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống ” [6]
Chương trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực là dạy học định
hướng kết quả đầu ra, với các mục tiêu: đảm bảo chất lượng đầu ra của việc học,
phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức
trong tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các
tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp.
Cấu trúc chung của năng lực gồm bốn thành phần: năng lực chuyên môn,

năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
Đánh giá kết quả học tập theo năng lực cần chú trọng khả năng vận dụng
sáng tạo tri thức trong những tình huống khác nhau , (theo Leen pil, 2011) “ là
đánh giá kiến thức, kỹ năng và thái độ trong bối cảnh có ý nghĩa”. [1] Đánh giá
thành tích học tập theo quan điểm phát triển năng lực không giới hạn vào khả năng
tái hiện tri thức mà chú trọng khả năng vận dụng tri thức trong việc giải quyết các
nhiệm vụ phức hợp.
2


2.1.2. Kĩ thuật kiểm tra đánh giá trong dạy học
Đánh giá kết quả học tập là quá trình thu thập và xử lí thông tin về trình độ,
khả năng thực hiện mục tiêu học tập của học sinh nhằm tạo cơ sở cho những điều
chỉnh sư phạm của giáo viên, các giải pháp của các cấp quản lí giáo dục và cho bản
thân học sinh để đạt kết quả học tập tốt hơn. Đề kiểm tra là một trong những công
cụ được dùng khá phổ biến để đánh giá kết quả học tập của học sinh.
Cần sử dụng phối hợp các hình thức, phương pháp kiểm tra, đánh giá khác nhau.
Kết hợp giữa kiểm tra miệng, kiểm tra viết và bài tập thực hành. Kết hợp giữa kiểm
tra tự luận và trắc nghiệm khách quan.
“Trắc nghiệm khách quan (tiếng Anh: Objective test) là một phương tiện
kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin.
Lợi ích của trắc nghiệm:
• Khảo sát được số lượng lớn thí sinh.
• Người chấm công bằng, chính xác, vô tư và có kết quả nhanh.
• Bao quát được kiến thức của chương trình, ngăn ngừa “học tủ”.
• Người soạn có điều kiện tự do bộc lộ kiến thức và giá trị của mình
thông qua việc đặt câu hỏi.
Hạn chế của trắc nghiệm
• Cho phép và đôi khi khuyến khích sự phỏng đoán của thí sinh.
• Không thấy rõ diễn biến tư duy của thí sinh.

• Khó soạn đề và tốn công sức .
• Chất lượng của bài trắc nghiệm được xác định phần lớn dựa vào kỹ
năng của người soạn thảo.
• Khó đánh giá được khả năng sáng tạo cũng như năng lực giải quyết
các vấn đề phức hợp.” [2]
Hiện nay, Việt Nam có xu hướng chọn hình thức trắc nghiệm khách quan cho
các kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển đại học cao đẳng, do tính ưu việt của nó và trong
giai đoạn thực hiện cuộc vận động “2 không” của ngành Giáo dục phát động hiện
nay. Trắc nghiệm khách quan có những ưu điểm riêng cho các kỳ thi này.
Tuy nhiên trong đào tạo thì không được lạm dụng hình thức này, đôi khi trắc
nghiệm khách quan không phải là sự lựa chọn tốt để đánh giá năng lực nhận thức
của người học; có lúc cần phải chọn hình thức tự luận hoặc kết hợp trắc nghiệm
khách quan với hình thức khác.
2.1.3. Trắc nghiệm khách quan trong dạy học Toán
Môn Toán cũng là một trong những bộ môn đổi mới trong việc kiểm tra đánh
giá năm 2017-2018 do yêu cầu đổi mới hình thức thi Trắc nghiệm khách quan, do
đó giáo viên phải thay đổi phương pháp giảng dạy và ra đề cho phù hợp.
Đối với giáo viên:
Mỗi bài học giáo viên cần xác định rõ hệ thống câu hỏi nhằm giúp học sinh
nắm được kiến thức trọng tâm, cơ bản, hiểu bản chất vấn đề được tiếp thu. Giáo

3


viên cần áp dụng các phương pháp dạy học phù hợp để nâng cao hiệu quả các giờ
dạy và tổ chức cho học sinh nghiên cứu dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của giáo viên.
Đối với kiểm tra miệng, cần tăng cường nhiều dạng câu hỏi nhỏ, cụ thể để
kiểm tra việc hiểu bài chứ không phải kiểm tra học thuộc lòng như trước đây.
Sau mỗi bài học cần có hệ thống câu hỏi, bài tập (tốt nhất là theo hình trắc
nghiệm) củng cố và kiểm tra việc nhớ kiến thức, mức độ hiểu bài của học sinh và

kịp thời điều chỉnh việc dạy học sau mỗi bài học.
Với kiểm tra thường xuyên, hoạt động kiểm tra miệng, kiểm tra 15 phút được
thực hiện bằng hình thức tự luận hoặc trắc nghiệm. Riêng kiểm tra định kỳ (1 tiết
và học kỳ) được thực hiện dưới hình thức trắc nghiệm khách quan 80% và tự luận
20%. Đề kiểm tra 1 tiết gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm và 1 câu hỏi tự luận (45 phút
bao gồm cả phát đề và nghiên cứu đề); bài kiểm tra học kỳ II gồm 50 câu hỏi trắc
nghiệm với 90 phút làm bài.
Đối với học sinh:
Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, khối lượng kiến thức đưa vào đề
thi khá lớn, có thể đủ để dàn trải hầu hết các nội dung của chương trình học; vì vậy
khi làm bài dưới hình thức trắc nghiệm khách quan, học sinh phải học đầy đủ, toàn
diện và không được bỏ qua bất cứ kiến thức cơ bản nào có trong chương trình, kỹ
năng giải toán tự luận phải được nhuần nhuyễn, kết hợp sử dụng máy tính Casio
phải thành thạo.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phần
số phức thì mức độ nhận thức, cũng như khả năng nắm bài học của học sinh còn
hạn chế nhiều. Minh chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của
2 lớp khi tôi dạy bài theo phương pháp cũ.
Số lượng
học sinh
nắm
bài
Lớp
Sĩ số
Lớp 12 A2
Sĩ số: 41
Lớp 12 A6
Sĩ số: 33
Tổng số HS

(74 HS)

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
HS
nắm
bài ở
mức
trung
bình

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
HS
không
nắm
được
bài

Số
lượng
HS nắm
bài ở
mức tốt

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng
HS
nắm
bài ở
mức
khá

5

12,2

19

46,34

14

34,1

3

7,31

0

0

5

15,14

14

42,43

14

42,43

5

6,76

24

32,43

28

37,84

17

22,97

Tỉ lệ
(%)

4


2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Cung cấp cho học sinh khung cấu trúc chương trình số phức và đề
thi minh họa, các đề thi THPT quốc gia các năm 2017, 2018
a) Xây dựng các chủ đề dạy học số phức
Các chủ đề dạy học được thể hiện qua bảng mô tả và câu hỏi [1]
Chủ đề 1: SỐ PHỨC.
NỘI
DUNG

NHẬN BIẾT (1)

- Biết được i là một số
mà i 2 = - 1.
VD 1.1: Kết quả của
Câu hỏi phép tính nào dưới đây
minh họa đúng .
A. 2i 2 = 2 . B. i 2 = - 1.
(1)
C. i 3 = i .
D. i 2 - 1 = 0 .
- Nhớ định nghĩa số
2. Định
phức. Biết được phần
nghĩa số

thực, phần ảo của một số
phức.
phức
VD 1.1: Số phức có Phần
thực 2, phần ảo −3 là
A. z = 2 - 3i .
B. z = 2 + 3i .
Câu hỏi
C. z = 3 + 2i .
minh họa D. z = - 3 + 2i .
(2)
1. Số i

3. Hai số
phức
bằng
nhau.

- Nhớ được định nghĩa
hai số phức bằng nhau
VD 1.1: Cho hai số phức
z1 = a - i ; z2 = 1 + bi

Câu hỏi bằng nhau khi:
minh họa A. a − 1 = 1+ b.
(3)
B. a = b .
C. a = 1 và b =1.
D. a = 1 và b = − 1.
4. Số

- Nhận ra số phức liên
phức liên hợp của một số phức.
hợp
Câu hỏi VD 1.1: Số phức liên
minh họa hợp của số phức z = -5i
(4)
là:

THÔNG HIỂU (2)
- Hiểu được lũy thừa của
số i.
VD 2.1: Tính i 7 được
A. 1.
B. i.
C. - i .
D. - 1 .

VẬN DỤNG THẤP (3)

VẬN DỤNG
CAO (4)

- Sử dụng i2 = -1 để giải
tính i n .
VD 3.1: Tính
(i 2 + i 3 + i 4)2017.
A. 1.
B. i.
C. - i .
D. - 1 .

- Hiểu được định nghĩa
số phức, số thuần ảo.
VD 2.1: Tìm các khẳng
định sai.
A. Số thực là số phức .
B.Với b ∈ R, i 2 = −1
thì bi là số thuần ảo.
C. Tập số phức chứa tập
số thực
D. Dạng đại số của số
phức là a + bi với
a, b ∈ R, i 2 = − 1 .
- Hiểu điều kiện để hai
số phức bằng nhau, điều
kiện để một số phức là
số thuần ảo; số thực.
VD 2.1: Số phức
z = (2m + 1) − (m − 3)i là
số thuần ảo khi:
1
A. m = - . B. m = 3 .
2
C. (2m + 1) - (m - 3) = 0
D. m = 0 .
- Tìm được số phức liên
hợp của liên hợp.

- Vận dụng giải hệ
phương trình để tìm

điều kiện để hai số phức
bằng nhau .
VD 3.1: Tìm a và b để
25( a − bi)
a − bi + 2
= 8 − 6i
a + b2
A. a = 4 và b = 3 .
B. a = 0 và b = 0.
C. a = 3 và b = 4 ..
D. không tồn tại a và b.

- Mối quan hệ giữa số
phức với số phức liên
hợp.
VD 2.1: Số phức liên hợp VD 3.1: Cho số phức thỏa
của số phức
z = a − bi mãn z = z khi
z = 3 – 4i có điểm biểu
đó: A. a = 0 ; b ≠ 0.

5


A. z = 5i.
C. z = 5.

B. z = -5.
D. z = -5i.

diễn là:
A. (4 ; -3). B. (3 ; 4).
C. (4 ; 3) . D. (3 ; -4).

B. a = 0 ; b = 0.
C. a ∈ R ; b = 0.
D. a ≠ 0 ; b ≠ 0.

6


NỘI
DUNG
5. Mô
đun của
số phức

NHẬN BIẾT (1)
- Biết sử dụng công thức
chỉ ra mô đun của số phức

VD 1.1: Mô đun của số
phức z = 2 − 3i bằng:
A. 3 − 2
B. 11.
C. 11
D. 13.
VD 1.2: Chi ra phần thực
phần ảo, mô đun và số
Câu hỏi phức liên hợp của số

minh
phức z = 1 − i ?
họa
(5)

6. Biểu
- Biết cách biểu diễn tọa
diễn
độ của số phức.
hình học
của số
phức
VD 1.1: Số phức
z = 2 - 3i có điểm biểu
diễn là:
A. (2; 3).
B. ( − 2; − 3).
−
C. (2; 3). D. ( − 2; 3).

VẬN DỤNG THẤP
(3)
- Hiểu cách tính mô
Vận dụng cách tính
đun của một số phức cụ mô đun của số phức
thể.
vào các bài toán tìm
số phức thỏa mãn
điều kiện cho trước.
VD 2.1: Khẳng định

VD 3.1: Số phức
z = a + bi có phần
nào sau đây sai?
thực
bằng hai lần
A. a i = a
phần ảo và mô đun
B. Mô đung của số
thực là trị tuyệt đối của bằng 5 . Khi đó
a + b bằng
số thực đó.
A. 3
B. 1.
C. Mô đun luôn là số
−1
C.
D.
5.
dương
THÔNG HIỂU (2)

D. Mô đun của số
phức là tổng mô đun
của phần thực và phần
ảo.

Hiểu cách biểu diễn tọa
độ của số phức.

VD 2.1: Gọi M, N lần

lượt là các điểm biểu
diễn của 2 − 5 và
2 + 5 . Khi đó độ dài
của MN là:
A. 4.
B. 5.
VD 1.2: Biểu diễn trên
C. 5
D. 2 5 .
Câu hỏi cùng một mặt phẳng tọa độ
các điểm biểu diễn các số
minh
phức:
họa
z1 = 2 - i , z2 = 2
(6)
z3 = 2 + i , z4 = 2i

VẬN DỤNG
CAO (4)
- Vận dụng mô
đung để giải
quyết bài toán
tập hợp điểm.

VD 4.1: Trên
mặt phẳng tọa
độ, tập hợp điểm
biểu diễn của số
phức z thõa mãn

điều kiện z ≤ 1
là:
A. Đường tròn
tâm O, bán kính
1.
B. Hình tròn tâm
O, bán kính 1.
C. Hình vuông
tâm O cạnh bằng
1.
D. Đường tròn
tâm I(1;0), bán
kính 1.
- Tìm tập hợp điểm
- Tìm tập hợp
biểu diễn số phức
điểm biểu diễn
cho trước có điều
số phức cho
kiện đơn giản.
trước có điều
kiện phức tạp
VD 3.1: Tập hợp các VD 4.1: Tìm tập
điểm biểu diễn của
hợp các điểm M
số phức
trên mặt phẳng
phức biểu diễn
z = a + ai (a Î R )
số phức z thỏa

nằm trên đường
mãn điều kiện: |
thẳng có phương
z – 3| + |z + 3| =
trình là:
10. Phương trình
A. y = x.
của e líp là
B. y = 2x.
x2 y2
C. y = 3x.
A.
+ = 1.
D. y = 4x.
25 16
x2 y2
B. + = 1
5 4
x2 y 2
C.
+ = 1.
16 25
x2 y2
D.
+ =1
10 30

7

Chủ đề 2: PHÉP TOÁN VỚI HAI SỐ PHỨC
NỘI
DUNG
1. Phép
cộng và
phép trừ

NHẬN BIẾT (1)

THÔNG HIỂU (2)

Biết các phép tính cộng,
trừ số phức

VD 1.1: Số phức
z = ( 1 + i ) + ( 3 + 2i ) bằng:
Câu hỏi
minh họa A. 4+3i.
B. 2 − 3i.
(1)
C. 2+i.
D. 4 − 3i.
Biết ( a + bi ) ( c + di ) =
2. Phép
( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
nhân

Câu hỏi
minh
họa (2)

3. Phép
chia hai
số phức:
Câu hỏi
minh
họa (3)

VẬN DỤNG THẤP
(3)

Hiểu cách thực hiện
các phép toán cộng, trừ
với hai số phức
VD 2.1: Số phức
( 1 + 2i ) − ( − 3 + 2i ) + 2i − 8 có
môđun là
A. 2 5 .
B. 5 .
C. 3 5 .
D. 4 5 .

Vận dụng phép toán
nhân số phức giải bài
tập liên quan. Tính
lũy thừa
VD 1.1: Cho số phức
VD 2.1: Thu gọn
VD 3.1: Cho số
2

z = a + bi, ( a, b ∈ R ) . Khi
z = ( 2 + 3i) ta được: phức
z = a + bi. Để z3 là
1
A.
z
=
−
7
+
6
2i
z − z là:
đó số
một số thực, điều
2i
B. z = 11 − 6i
kiện của a và b là:
A. Một số thực .
C. z = 4 + 3i
A. b = 0hoặc
B. 0.
D. z = − 1 − i
b2 = 3a2 .
C. Một số thuần ảo.
B. a =0 hoặc
D. i.
b2 = a2 .
C. b = 3a .
D. b2 = 5a2 .

- Biết tổng và tích của hai số - Hiểu cách thực hiện
Vận dụng phép chia
phức liên hợp.
phép chia hai số phức.
số phức để thực hiện
- Giải phương trình tìm các biểu thức chia
z, tìm nghịch đảo số
phức tạp. Các bài
phức.
toán chứa điều kiện.
VD 1.1: Cho số phức
VD 2.1: Cho số phức z VD 3.1: Cho số
phức
z = a + bi, ( a, b ∈ R ) . Khi thỏa mãn:
2
z = x + yi (x, y ∈ R,
( 3+ 2i )z + ( 2 − i )
đó số phức z + z là:
z ≠ 1). Phần ảo của
A. Một số thực.
= 4+ i .
B. 0.
Hiệu phần thực và phần số z + 1 là:
z−1
C. Một số thuần ảo.
ảo của số phức z là:
−2x
D. i.
A. 1.
B. 0.

A.
.
2
VD 1.2: Cho số phức z = a C. 4.
D. 6.
( x − 1) + y2
VD 2.2: Tìm mô đun
1
z− z
+ bi. Khi đó số
x+ y
của số phức z thỏa mãn
2i
B.
.
2
z
x − 1) + y2
(
là:
+ ( 2 + i) = 1− i ?
A. Một số thực.
3+ i
xy
C.
.
2
B. 0.
1
3

( x − 1) + y2
A. − +
B.
i.
C. Một số thuần ảo.
2 2
−2y
D. i.
D.
.
2
5 2.
x − 1) + y2
(
C. 1.
\
D. 0.

(

)

(

)

VẬN DỤNG
CAO (4)

Hiểu nhân hai số phức

cũng giống nhân hai đa
thức

Vận dụng tính lũy
thừa bậc cao. Giải
các bài toán điều
kiện số phức.
VD 4.1: Số phức
( 3 + i ) 2014 có
phần thực là
A. 8671 .
B. −8671 3 .
C. −8671 .
D. 8671 3 .

Vận dụng các
phép toán
cộng,trừ, nhân số
phức giải bài tập
liên quan.
VD 4.1: Xét số
phức z thỏa
(1 + 2i ) | z |=
.
10
−2+i
z
Mệnh đề nào đúng.
3
A. <| z |< 2 .

2
|
B. z |> 2 .
1
C. | z |< .
D.
2
1
3
<| z |< .
2
2
VD 4.2: Cho các
số phức z thỏa
mãn z = 4 . Biết
=

8


NỘI
DUNG

NHẬN BIẾT (1)

THÔNG HIỂU (2)

VẬN DỤNG THẤP
(3)

VẬN DỤNG
CAO (4)
rằng tập hợp các
điểm biểu diễn các
số phức
w = (3 + 4i ) z + i là
một đường tròn có
tâm I . Xác định
tọa độ của I .
A. I(0;1).
B. I(1;0).
C. I(–1;0).
D. I(0;–1).

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
NỘI
DUNG
1. Căn
bậc hai
của một
số thực
âm

NHẬN BIẾT (1)
- Biết tính căn bậc hai của
số thực âm

THÔNG HIỂU (2)

VẬN DỤNG THẤP

(3)

VẬN DỤNG
CAO (4)

- Cách lấy căn bậc hai
của một số thực tùy ý

VD 1.1:
Căn bậc hai của −4 là:
B. 2i .
Câu hỏi A. ±2 .
D. ±2i .
minh họa C. ±4i .
(1)

VD 2.1: Số thực 1 − m 2
có hai giá trị căn bậc
hai khi:
A. −1 < m < 1 .
B. m ≥ 1 .
C. m ≠ ±1 .
D. m < −1 .
- Biết giải phương trình bậc - Hiểu được phương
2.
hai, pt trùng phương bậc 4 trình bậc hai, phương
Phương
với hệ số thực và có nghiệm trình trùng phương bậc
trình bậc
phức.

4 với hệ số thực và có
hai với
nghiệm phức.
hệ số
thực
VD1.1: Trong tập C , tập
nghiệm của phương trình
x 4 + x 2 − 2 = 0 là:
A { 1; −2} .

Câu hỏi B. { ±1} .
minh
C. ±1; ±i 2 .
họa (2)
D. ±1; ± 2 .

{
{

}

}

- Giải phương trình
bậc 3, bậc 4 chứa hệ
số thực có nghiệm
phức.
- Tìm điều kiện
nghiệm của một
phương trình.

VD2.1: Gọi z1 và z2 là VD 3.1: Kí hiệu
các nghiệm của phương z1 , z2 , z3 và z4 là
bốn nghiệm phức
trình z2 − 4z + 9 = 0 .
của phương trình
Gọi M, N là các điểm
z 4 − z 2 − 12 = 0 .
biểu diễn của z1 và z2
Tính tổng
trên mặt phẳng phức.
T = z1 + z2 + z3 + z4
Khi đó độ dài của MN
A. T = 4.
là:
A. 4 .
B. 5.
B. T = 2 3
C. −2 5
D. 2 5 . C. T = 4+ 2 3
D. T = 2 + 2 3

- Vận dụng giải
phương trình đa
thức chứa hệ số
thực có nghiệm
phức vào giải
toán.
VD 4.1: Cho
phương trình z3 +
az2 + bz + c = 0.

Nếu z = 1 + i và z
= 2 là hai nghiệm
của phương trình
thì a + b + c bằng
(a, b, c là số
thực):
A. -2. B. 7.
C. 10. D. 1.

b) Cấu trúc (ma trận) đề thi năm 2017 và đề minh họa 2018
9


Ma trận tổng quát đề thi kì thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán
ST
Các chủ đề
Mức độ kiến thức đánh giá
Tổng
T
Tỷ
Nhận Thông Vận
Vận
số câu
lệ
biết
hiểu dụng
dụng
hỏi
cao
1 Ứng dụng đạo hàm để khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số và
3
4
2
2
11
22%
các bài toán liên quan
2
Lũy thừa-Mũ- Lôgarit
4
4
1
1
10
20%
3 Nguyên hàm- Tích phân và
2
4
1
0
7
14%
ứng dụng
4
Số phức
3
2
1
0

6
12%
5
Thể tích khối đa diện
1
2
1
0
4
8%
6
Khối tròn xoay
1
1
1
1
4
8%
7
Phương pháp tọa độ trong
4
2
1
1
8
16%
không gian
Tổng số câu
18
19

8
5
50
100%
[3] (Chủ đề Số phức chiếm 12 % ứng với 1,2 điểm. Trong đó đối tượng học sinh
trung bình và trung bình yếu sẽ tập trung lấy từ 1 điểm trở lên ở phần này.)
Ma trận tổng quát đề thi minh họa THPTQG năm 2018 (Lần 1)
Mức độ kiến thức đánh giá
Tổng
Vận
STT
Các chủ đề
số câu
Nhận Thông
Vận
dụng
hỏi
biết
hiểu
dụng
cao
1
Hàm số và các bài toán
3
3
5
11
liên quan
2
Mũ và Lôgarit

1
3
1
5
3
Nguyên hàm – Tích phân
2
1
3
1
7
và ứng dụng
4
Số phức
1
1
1
1
4
5
Thể tích khối đa diện
1
1
2
6
Khối tròn xoay
1
1
2
7

Phương pháp tọa độ trong
2
2
3
1
8
không gian
8
Phương trình lượng giác
1
1
9
Đại số tổ hợp – Xác suất
1
2
1
4
10
Dãy số - Cấp số cộng –
1
1
Cấp số nhân
11
Giới hạn – Hàm số liên
1
1
tục – Đạo hàm
12
Quan hệ vuông góc, xác
3

1
4
định góc và khoảng cách
trong KG
10


Số câu
12
16
15
7
50
Tỷ lệ
24%
32%
30%
14%
100%
[4] (Chủ đề số phức chiếm khoảng 8% dành cho tất cả đối tượng học sinh)
Tổng

c) Nội dung phần số phức trong đề thi
Phân tích cho học sinh phần kiến thức về số phức được thể hiện như thế nào qua
các dạng câu hỏi minh họa và đề thi thực tế. Đây là kiến thức rất thực tế mà học sinh
cần phải định hình được sau quá trình học lí thuyết và chuyển sang bài tập.
TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 (LẦN 1) [5]
Câu 29. Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i.

B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2.
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i.
D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.
Câu 30. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i . Tính môđun của số phức
z1 + z2 . A. z1 + z2 = 13 .
B. z1 + z2 = 5 . C. z1 + z2 = 1 .D. z1 + z2 = 5 .
Câu 31. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 − i. Hỏi điểm biểu diễn của z là
điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?

A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.
D. Điểm N.
Câu 32. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z
A. w = 7 − 3i.
B. w = −3 − 3i.
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i .
Câu 33. Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình
z 4 − z 2 − 12 = 0 . Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4
A. T = 4.
B. T = 2 3 .
C. T = 4+ 2 3 . D.
T=2+ 2 3.
Câu 34. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường
tròn đó. A. r = 4.
B. r = 5.
C. r = 20.
D. r =

22.
11


TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 (LẦN 2) [5]
Câu 29. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức
z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.
Câu 30. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i (3i + 1)
A. z = 3 − i .
B. z = −3 + i .
C. z = 3 + i .
D. z = −3 − i .
Câu 31. Tính mô đun của số phức z thoả mãn z (2 − i ) + 13i = 1.
34 .
C. z = 5 34 .
A. z = 34.
B. z = 34 .
D. z =
3
3
Câu 32. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
4 z 2 − 16 z + 17 = 0. Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn
số phức w = iz0 ?
1 
 1 

 1 
1 
A. M 1  ;2 ÷.
B. M 2  − ;2 ÷.
C. M 3  − ;1÷.
D. M 4  ;1÷.
2 
 2 
 4 
4 
Câu 33. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R ) thoả mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. Tính
1
1
P = a + b. A. P = .
B. P = 1 .
C. P = −1 .
D. P = − .
2
2
TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2017 (LẦN 3) [5]
Câu 4: Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 − 2 2i. Tìm a,
b.
A. a = 3, b = 2.
B. a = 3, b = 2 2. C. a = 3, b = 2.
D. a = 3, b = −2 2.
Câu 5: Tính mô đun của số phức z biết z = ( 4 − 3i ) ( 1 + i ) .
A. z = 25 2.
B. z = 7 2.
C. z = 5 2.

D. z = 2.
Câu 18: Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + z + 1 = 0. Tính
P = z12 + z 22 + z1z 2 .

A. P = 1.
B. P = 2.
C. P = −1.
D. P = 0.
Câu 39: Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện z − i = 5 và
z 2 là số thuần ảo?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 0.
Câu 48: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2. Gọi m, M lần lượt là
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z − 1 + i . Tính P = m + M.

12


A. P = 13 + 73.

B. P =

5 2 + 2 73
.
2

C. P = 5 2 + 73.

D. P =

5 2 + 73
.
2

TRÍCH TỪ ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC
GIA NĂM 2017 (Mã đề 103) [5]
Câu 7: Cho hai số phức z1 = 1 − 3i và z2 = −2 − 5i . Tìm phần ảo b của số phức
z = z1 − z2 . A. b = −2 .
B. b = 2 .
C. b = 3 .
D. b = −3 .
a
Câu 9: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần thực của z .
A. a = 2 .
B. a = 3 .
C. a = −3 .
D. a = −2 .
2
y
Câu 14: Tìm tất cả các số thực x , sao cho x − 1 + yi = −1 + 2i.
A. x = − 2, y = 2. B. x = 2, y = 2. C. x = 0, y = 2. D. x = 2, y = −2.
Câu 17: Ký hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − z + 6 = 0 Tính
P=

1 1
+ .
z1 z2

1
−1
.
C. P = .
D. P = 6 .
12
6
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z + 3 = 5 và z − 2i = z − 2 − 2i . Tính z .

1
6

A. P = .

B. P =

A. z = 17 .

B. z = 17 .

Câu 48: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và
A. Vô số.

B. 2.

D. z = 10 .

C. z = 10 .
C. 0.

z
là số thuần ảo?
z+2

D. 1.

TRÍCH TỪ ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2018 [5]
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
y
A. z = −2 + i .
B. z = 1 − 2i .
C. z = 2 + i .
D. z = 1 + 2i .
M

1

Câu 20: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình
O
−2
4 z 2 − 4 z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng
A. 3 2 .
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 38: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 và z > 1 .
Tính P = a + b .
A. P = −1 .
B. P = −5 .

C. P = 3 .
D. P = 7 .
Câu 48 : Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính
P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10 .
B. P = 4 .
C. P = 6 .
D. P = 8 .
Chủ đề Số phức trong năm 2017 chiếm 12 % ứng với 1,2 điểm. Trong đó đối
tượng học sinh trung bình và trung bình yếu sẽ tập trung lấy từ 1 điểm trở lên ở
phần này. Trong năm 2018 đề thi minh họa chủ đề Số phức chiếm 8% trong đó

13

x


học sinh trung bình và trung bình yếu lấy được 0,4 điểm, học sinh khá lấy được
0,6 điểm và học sinh giỏi lấy được 0,8 điểm.
2.3.2. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh một số dạng toán
về số phức: Các loại máy tính thường được học sinh sử dụng :
Casio : FX 95, FX 570 ES và FX 570 ES Plus
VinaCal: 570 ES Plus
Vietnam Calculator : VN 570 ES;
Thực ra chức năng của hai loại máy này tương đối giống nhau nên chỉ cần
hướng dẫn chung một loại máy. Để tính phép toán trên tập số phức khi cần dùng
đại lượng i thao tác đầu tiên Nhấn mode 2 (CMPLX).
* Sử dụng máy tính để tính bểu thức
Bấm: mode → 2 → nhập biểu thức cần tính → =
(một số loại máy sẽ không tính được với (a+bi)n khi n >3)

* Giải phương trình với hệ số thực
Bấm: mode → 5 → chọn đúng dạng → Nhập hệ số → = → =
* Tìm mô đun
Bấm: mode → 2 → shift → Abs → |Nhập biểu thức tìm mô đun| → =
* Đối với các phép toán cộng trừ nhân chia số phức a thực hiện như
phép toán thông thường.
Ví dụ 1: (Đề minh họa lần 1- năm 2016-2017)
Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z
A. w = 7 − 3i.
B. w = −3 − 3i.
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i
→
i
(2
+
5
i
)
+
(2
−
5
i
)
→
Giải : Bấm: mode Nhập
=
được kết quả: B. w = −3 − 3i.
Ví dụ 2: ( Đề minh họa lần 1- năm 2016-2017). Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn

nghiệm phức của phương trình z 4 − z 2 − 12 = 0 . Tính T = z1 + z2 + z3 + z4
A. T = 4. B. T = 2 3
C. T = 4+ 2 3
D. T = 2 +
2 3
Giải: Vì phương trình trùng phương bậc 4 được xem như là bậc hai với ẩn z2
Bấm: mode → 5 → chọn PT bậc hai → Nhập hệ số a = 1,b = 1,c = −12
 z1/2 = ±2
z2 = 4
→ = → = → Ta được kết quả  2
⇔
 z3/4 = ±i 3
 z = −3
Bấm: mode → 2 → nhập | 2i | + | −2i | + | i 3 | + | −i 3 | → =
(Dùng phím shift → Abs để nhập mô đun)
Được kết quả C. T = 4 + 2 3
10
Ví dụ 3: Xét số phức z thỏa (1 + 2i ) | z |=
− 2 + i . Mệnh đề nào đúng.
z
3
1
1
3
A. <| z |< 2 .
B. | z |> 2 .
C. | z |< .
D. <| z |< .
2
2

2
2
Giải: Đặt z = a +bi (a,b ∈ R)

14


10
−2 + i
10
+
− 2 + i ⇔| z |=
z (1 + 2i ) 1 + 2i
z
1  10 2 10 
−2 + i
10
⇔| z |= 
−
i ÷+ i (Thực hiện bấm máy
và
)
z 5
5 
1 + 2i
1 + 2i
 10 2 10 
⇔ a 2 + b 2 = ( a − bi ) 
−
i ÷+ i

5
5



Ta có (1 + 2i ) | z |=

⇔ a2 + b2 =

a 10 2b 10 2a 10
b 10
−
−
i−
i+i
5
5
5
5

 2a 10 b 10
−
+1= 0
−

5
5
⇔
 a 2 + b 2 = a 10 − 2b 10


5
5

(1)
(2)

5

−
2
a
+
=b

10

⇔
2
 a 2 +  −2a + 5  = a 10 − 2 10  −2a + 5  (*)

÷
÷

5
5 
10 
10 


(Phương trình (*) có 2 nghiệm nhưng ta chỉ cần tìm 1 nghiệm là được)

Tìm a: Bấm: mode → 1 → nhập → phương trình (*) lấy ẩn x thay a

→ SHIFT → SLOVE → nhập X tùy ý (nên nhập x =1)
→ Máy cho kết quả X = 0,9486.... → SHIFT → STO → A
(kết quả đã lưu vào ô A)
5
→ = → Máy cho kết quả − 0,3162...
Tìm b: Bấm −2 → Alpha → A +
10
→ SHIFT → STO → B (kết quả đã lưu vào ô B)
Tìm mô đun a 2 + b 2
Bấm Alpha → A2 + Alpha → B2 → = → Máy cho kết quả là 1
Vậy a 2 + b 2 = 1. Đáp án đúng là D
Khi học sinh thành thục kiến thức sẽ tạo tiền đề để hình thành kĩ năng giải
toán nhanh bằng máy tính. Các em sẽ tiết kiệm thời gian trong một số bước,
đồng thời sẽ tính hoặc kiểm tra được kết quả một cách chính xác.
2.3.3. Xây dựng các dạng câu hỏi và ngân hàng đề phù hợp với khung
chương trình, đề thi minh họa 2018
a) Một số bài tập trắc nghiệm khách quan
Câu 1. (Dạng câu hỏi điền khuyết để dạy tiết lý thuyết) Hãy điền vào chỗ chấm
Số i : Số i là một số sao cho . . . . = −1 .
Số phức: là số có dạng z=...........Trong đó, phần thực: ....phần ảo: .....
15


Tập hợp tất cả các số phức kí hiệu............

..... = .....
..... = .....

Hai số phức bằng nhau: a1 + b1i = a 2 + b 2i ⇔ 

Các trường hợp đặc biệt của số phức:
+Số thực cũng là số phức"có phần ảo bằng ..............................
+Sồ phức ................. được gọi là số thuần ảo.
Biểu diển hình học của số phức:Trên mặt phẳng tọa độ điểm ................... là
điểm biểu diễn của số phức z = a + bi
Mô đun của số phức :Với M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức
uuuu
r
z = a + bi thì r = OM = z = ......
Số phức liên hợp: Cho z = a+bi. Số phức liên hợp của z là: z = .....
Câu 2. ( Dạng câu hỏi ghép đôi dạy tiết lý thuyết) Hãy nối mệnh đề ở cột trái
và phải sao cho hợp lý . Cho z1= a+bi ; z2 = c+di
z1 + z2
z
z1 - z2
=(ac-bd) − (ad+bc)i
z+z
= (a − c) + ( b − d)i
z. z
ac + bd ad − bc
= 2
+
i
a + b2 a 2 + b2
= 2a
z2
z1
ad − bc ac + bd

= 2
+
i
a + b2 a 2 + b2
= (a + c) + ( b + d)i
Câu 3. (Dạng câu hỏi điền khuyết để dạy tiết lý thuyết) Điền vào chỗ trống
1. Căn bậc hai của số thực âm
a) Căn bậc hai của số thực dương
b) Căn bậc hai của số thực âm
2 . Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( 1) ; ( a, b, c ∈ R; a ≠ 0 )
Biệt thức ∆ = ……………
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình ( 1) có ……nghiệm ………………
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình ( 1) có ……..nghiệm ………………
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình …………..nghiệm thực. Nhưng, xét trong
tập số phức phương trình có ………nghiệm phức là ………………
* Nhận xét :
Trên tập số phức , mọi phương trình bậc ba đều có ……..nghiệm ( không
nhất thiết phân biệt)
Trên tập số phức , mọi phương trình bậc n ( n ≥ 1) đều có ………..nghiệm
( không nhất thiết phân biệt). ( Định lí cơ bản của Đại số học)
16


b) Các dạng câu hỏi trắc nghiệm bám sát đề minh họa và chương trình ôn thi
của năm 2018
Dạng 1: Tìm số phức khi biết điểm biểu diễn (Nhận biết)
Câu 1: (Trích đề minh họa 2018) [5] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu
diễn số phức

y
z
=
−
2
+
i
z
=
1
−
2
i
A.
.
B.
.
z
=
2
+
i
z
=
1
+
2
i
C.
.

D.
.
M

Bài tập tương tự
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức
A. z = 4 + 2i .
B. z = 2 + 4i .
C. z = −2 + 4i .
D. z = 4 − 2i .

−2

1

x

O

Câu 2: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức
A. z = ( 1 + i ) ( 2 − i ) .
B. z = ( 1 + i ) ( 2 − 3i ) .
C. z =

3 − 2i
.
i

D. z =

i
.
2 + 3i

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức z . Tìm số phức z .
A. z = −1 − 3i .
B. z = 3 − i .
C. z = −1 + 3i .
D. z = 1 + 3i .
Câu 4: Các điểm M , N , P , Q trong hình vẽ bên là
điểm biểu diễn lần lượt của các số phức các số phức z1 ,
z2 , z3 , z4 . Khi đó số phức w = 3z1 + z2 + z3 + z 4 bằng
A. w = −6 + 4i .
B. w = 3 − 4i .
C. w = 6 + 4i .
D. w = 4 − 3i .
Dạng 2: Phương trình số phức (Thông hiểu)
Câu 20: (Trích đề thi minh họa 2018) [5] Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức
của phương trình 4 z 2 − 4 z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng
A. 3 2 .
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 .

1
2
i

 z1 = +
2
2
Giải: Ta có: 4 z 2 − 4 z + 3 = 0 ⇔ 
.

1
2
i
 z2 = −

2 2
17


2

2

2
2
1  2 
1 
2


Khi đó: z1 + z2 =  ÷ + 
÷ +  ÷ + −
÷ = 3.
 2  2 

2  2 
Bài tập tương tự
Câu 1: Trong £ , biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2 − 6 z + 34 = 0 . Khi đó,
tích của hai nghiệm có giá trị bằng
A. −16 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 34 .
2
Câu 2: Trong £ , biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của
2
biểu thức ( z1 + z2 ) bằng:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2.
D. 4.
2
Câu 3: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . \
Tính P = z14 + z24
A. −14 .
B.14 .
C. −14i .
D. 14i .
2
Câu 4: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z − 3z + 5 = 0 . Tìm mô đun của
số phức w = 2 z − 3 + 14 .
A. 4 .
B. 17 .
C. 24 .
D. 5 .

2
Câu 5: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình z + 2 z + 8 = 0; trong đó z1 có phần
ảo dương, số phức w = ( 2z1 + z2 ) z1 là
A. z = 12 + 6i .
B. z = 10 + 2 7i .
C. z = 9 − 6i . D. z = −12 + 6i .
Dạng 3: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (Vận dụng)
Câu 38: (Trích đề thi minh họa 2018) [5] Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )
thỏa mãn z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 và z > 1 . Tính P = a + b .
A. P = −1 .
B. P = −5 .
C. P = 3 .
D. P = 7 .
Giải: z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 ⇔ ( a + 2 ) + ( b + 1) i = z + i z
2
2

a + 2 = z
( 1)
a + 2 = a + b
⇔
⇔
b + 1 = z
b + 1 = a 2 + b 2
( 2)
Lấy ( 1) trừ ( 2 ) theo vế ta được a − b + 1 = 0 ⇔ b = a + 1 . Thay vào ( 1) ta được
a + 2 > 1
( do z > 1) ⇔ a = 3
2
a + 2 = a 2 + ( a + 1) ⇔ 

. Suy ra b = 4 .
2
a − 2a − 3 = 0
Do đó z = 3 + 4i có z = 5 > 1 (thỏa điều kiện z > 1 ). Vậy P = a + b = 3 + 4 = 7 .
Bài tập tương tự:
Câu 1: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + 1 + 2i − ( 1 + i ) z = 0 và z > 1 .
Tính giá trị của biểu thức P = a + b.
A. P = 3 .
B. P = 7 .
C. P = −1 .
D. P = −5 .

18


2
Câu 2: Cho phương trình 8 z − 4 ( a + 1) z + 4a + 1 = 0 với a là tham số. Tìm a ∈ ¡ để

z

1
phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z là số ảo, trong đó z2 là số phức
2
có phần ảo dương.
A. a = 0.
B. a = 2.
C. a ∈ { 0; 2} .
D. a ∈ { 0;1; 2} .
Câu 3: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1; z1 + z2 = 3 . Tính z1 − z2 .
A. 4.

B. 3.
C. 2.
D. 1.

 z1 − 2i = 2 iz1 + 1

z
,
z
Câu 4: Cho 1 2 là các số phức thỏa mãn điều kiện  z2 − 2i = 2 iz2 + 1 .

 z1 − z2 = 1
Tính P = z1 + z2 .

A. 5 .

B. 7 .

C. 15 .

D. 17 .

a
z
2( z + i)
Câu 5: Cho số phức z = a + bi thỏa mãn
+ 2iz +
= 0 . Tính tỉ số .
b
2

z

3
B. .
5

A. – 5

3
C. − .
5

1− i

D. 5.

Dạng 4: Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (Vận dụng)
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: z − i = ( 1+ i ) z .
Giải: Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ). Ta có:
z − i = ( 1+ i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i
⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y )
2

2

2

⇔ x2 + y2 + 2xy − 1= 0 ⇔ x2 + ( y + 1) = 2

2

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
x2 + ( y + 1) = 2.
2

Bài tập tương tự:
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 = z − 2 + 3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số
phức z là:
A. Đường tròn tâm I ( 1; 2) , bán kính R = 1.
B. Đường thẳng có phương trình x − 5y − 6 = 0.
C. Đường thẳng có phương trình 2x − 6y + 12 = 0 .
D. Đường thẳng có phương trình x − 3y − 6 = 0 .
Câu 2: Cho số phức z = a + bi ( a,b∈ ¡ ) . Để điểm biểu
diễn của z nằm trong hình tròn tâm O bán kính R = 2
điều kiện của a và b là gì?
A. a + b = 4.
B. a2 + b2 > 4.
C. a2 + b2 = 4.
D. a2 + b2 < 4.
19


Câu 3: Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
z − 1− 2i = zi là đường thẳng có phương trình
A. 2x + 4y + 5 = 0 . B. 2x + 4y − 3 = 0. C. 2x + 2y − 5 = 0. D. 2x + 4y − 5 = 0 .
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z thỏa mãn điều kiện z + i = ( z − 1) ( 1− i ) là đường tròn có tâm và bán kính:

A. I(2 ;1), R = 2.

B. I(2;-1), R = 4. C. I(-1;2), R = 2. D. I(2 ;-1), R = 2.
Câu 5: Cho số phức z = a + a2i với a ∈ R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức
liên hợp của z nằm trên:
A. Đường thẳng y = 2x
B. Đường thẳng y = -x + 1
2
C. Parabol y = x
D. Parabol y = -x2
Dạng 5: Cực trị của số phức (Vận dụng cao)
Câu 46: (Trích đề thi minh họa 2018) [5] Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )
thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn
nhất.
A. P = 10 .
B. P = 4 .
C. P = 6 .
D. P = 8 .
2
2
Giải: Ta có: z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( a − 4 ) + ( b − 3) = 5 ⇔ a 2 + b 2 = 8a + 6b − 20

( a + 1)

Đặt A = z + 1 − 3i + z − 1 + i ta có: A =

(

2

+ ( b − 3) +

A2 ≤ ( 12 + 12 ) ( a + 1) + ( b − 3) + ( a − 1) + ( b + 1)
2

2

2

( a − 1)

2

2

) = 2( 2( a

2

( 2)
Từ ( 1) và ( 2 ) ta được: A2 ≤ 200 Để Amax
Vậy P = a + b = 10 .
Bài tập tương tự:

(4

2

(

+ 22 ) ( a − 4 ) + ( b − 3)
2

+ ( b + 1)

+ b 2 ) − 4b + 12

= 2 ( 16a + 8b − 28 ) = 8 ( 4a + 2b − 7 ) ( 1) Mặt khác ta có:
4a + 2b − 7 = 4 ( a − 4 ) + 2 ( b − 3) + 15 ≤

2

2

2

)

) + 15 = 25

4a + 2b − 7 = 25
a = 6

⇔
= 10 2 ⇔  a − 4 b − 3
b = 4
 4 = 2

Câu 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z + 1− 5i = z + 3 − i , tìm số
phức có môđun nhỏ nhất.
Câu 2: Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và thoả mãn:
z− 3

= 1. Tìm số phức z sao cho biểu thức
z − 1+ 2i

(

)

P = z 2 − z 2 − z 2 − z 2 .i . z (1− i ) + z (1+ i ) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Câu 3: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z(z + 2 − 4i ) là một số ảo, tìm
số phức z sao cho ω = z − 1− i có môđun lớn nhất.
20


Câu 4: Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao cho biểu
thức P = z + 1 + z + i đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1 − 1− i =1; z2 − 6 − 6i = 6, tìm số
phức z1, z2 sao cho z1 − z2 đạt giá trị lớn nhất.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần nhận biết : Tập trung vào việc hiểu định nghĩa, tìm phần thực phần ảo
của số phức, số phức liên hợp, phép toán số phức, biểu diễn hình học của số
phức, tìm môđun của số phức. Học sinh không những nắm vững định nghĩa mà
còn phải linh hoạt khi chọn đáp án trắc nghiệm. Chú ý đọc kĩ đề và hiểu từ khóa
trong câu hỏi.
Phần thông hiểu : Học sinh vận dụng nhuần nhuyễn thành thạo các kiến
thức định nghĩa, tìm phần thực phần ảo của số phức, số phức liên hợp, phép toán
số phức, biểu diễn hình học của số phức, tìm môđun của số phức để làm. Kết
hợp thêm kiến thức giải phương trình bậc hai và bậc bốn với hệ số thực trên tập
nghiệm phức.
Phần vận dụng: Học sinh vận dụng thành thạo kiến thức về số phức và kiến

thức về giải phương trình, hệ phương trình và các kiến thức liên quan.
Sau khi thực hiện sáng kiến, học sinh hiểu bài nhiều, tự tin hơn trong kỹ năng
làm trắc nghiệm phần số phức. Không những thế học sinh còn tăng năng lực tính
toán, năng lực sử dụng công cụ toán học, sử dụng máy tính cầm tay. Qua việc
thảo luận nhóm học sinh học được năng lực hợp tác giúp đỡ nhau cùng tiến bộ.
Kết quả thống kê của bài kiểm tra thường xuyên chương Số phức.
Lớp Sĩ
Tỉ lệ HS
HS đạt
HS đạt
HS đạt
HS đạt
dạy
số
đạt điểm
điểm khá
điểm TB
điểm yếu
điểm kém
giỏi
( 6,5 →
(5 → dưới (3,5 →
(dưới 3,5)
(8 → 10)
dưới 8)
6,5)
dưới 5)
12
5
19

14
3
0
A2
41
(12,2%)
(46,34%)
(34,15%)
(7,31%)
(0%)
12
0
5
14
9
5
A6
33
(0%)
(15,15%) (42,43%)
(27,27%)
(15,15%)
Lớp
dạy
12
A2
12
A6

Sĩ

số

41
33

Sau khi áp dụng phần kiến thức trong SKKN:
Tỉ lệ HS
HS đạt
HS đạt
HS đạt
đạt điểm
điểm khá
điểm TB
điểm yếu
→
→
giỏi
( 6,5
(5 dưới (3,5 →
(8 → 10)
dưới 8)
6,5)
dưới 5)
7
21
11
2
(17,07%) (51,22%)
(26,83%)
(4,88%)

0
16
17
8
(0%)( (18,18%)
(51,52%)
(24,24%)

HS đạt
điểm kém
(dưới 3,5)
0
(0%)
2
(6,06%)
21


Số liệu trên thể hiện rõ khả năng làm bài phần số phức của học sinh tốt.
Có thể giúp cải thiện điểm trong các kỳ thi. So sánh hai năm học, nhận thấy chất
lượng không thay đổi nhiều giữa việc dạy học theo cách kiểm tra cũ bằng hình
thức tự luận và theo cách kiểm tra mới kết hợp trắc nghiệm khách quan cùng tự
luận. Năm học 2017- 2018, so với năm học trước học sinh làm bài kiểm tra định
kỳ phần số phức bị điểm kém (từ 0 → 3.4 điểm) giảm, tỉ lệ phân hóa cao giữa các
mức độ giỏi, khá, trung bình. Như vậy, phần nào thể hiện được hiệu quả của việc
áp dụng sáng kiến vào giảng dạy.
III - KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 - Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi khi áp dụng ôn thi tốt
nghiệp THPT QG cho học sinh khối 12 các khóa 2014-2015; 2016-2017, 20172018. Tôi liên tục cập nhật những giải pháp mới, phù hợp với đối tượng học sinh

của mình để các em có sự trang bị tốt nhất về kiến thức cũng như kĩ năng ôn thi.
Qua quá trình nghiên cứu, tôi rút ra một số kinh nghiệm sau đây:
- Phải cập nhật liên tục những cải cách, đổi mới về nội dung, phương pháp và
yêu cầu đối với môn học.
- Phải tích lũy kinh nghiệm ôn thi trong từng năm để xây dựng phương pháp dạy
học phù hợp.
- Xác định được điểm học sinh còn yếu, thiếu hay e ngại về kiến thức hay kĩ
năng để kịp thời trang bị.
Bể học thì dài rộng, kinh nghiệm cần được tích lũy thường xuyên, đều
đặn, kĩ năng cần rèn luyện liên tục đổi mới để phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Trên đây mới chỉ là những đóng góp nhỏ của tôi về vấn đề dạy học số phức, rất
mong nhận được sự góp ý của bạn bè, đồng nghiệp.
3.2. Kiến nghị
- Nhà trường nên đầu tư mua hoặc khuyến khích giáo viên xây dựng bộ tài
liều ôn thi THPT QG theo từng chuyên đề của môn toán ở thư viện để học sinh
và giáo viên tiếp cận.
- Nhà trường cũng nên trang bị máy phô tô, máy chấm trắc nghiệm để hỗ trợ
giáo viên trong quá trình dạy học.
- Giáo viên cần xây dựng những trang cá nhân để tiện cung cấp những tư liệu
học tập cần thiết, có chọn lọc cho học sinh.
- Giáo viên nên đa dạng hóa các hình thức học tập để tránh sự nhàm chán cho
học sinh trong quá trình học.
- Học sinh cần xây dựng kế hoạch học tập khoa học, liên tục. Đặc biệt nên có
sổ tích lũy để lưu trữ những kiến thức, kĩ năng hay trong quá trình học

22


XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phó Hiệu Trưởng

Đỗ Duy Thành

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Trịnh Cao Cường

23