Một vài kinh nghiệm làm kiểu bài so sánh văn học cho học sinh trung học phổ thông

3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện:
Đỗ Thị Thủy
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH
MỤCHÓA
LỤCNĂM 2019

1


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU …….........................................................................................
1.1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………..
1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….
1.5. Những điểm mới của SKKN ………………………………………

2
2
3
3
3
3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .........................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .........................................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .........
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ................................
2.3.1. Đặt vấn đề ……........................................................................
2.3.2. Cơ sở lý thuyết ……………………………………………….
2.3.3. Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học
không gian...….........................................................................
Phương pháp 1: Xác định trực tiếp ……………………………….
Phương pháp 2: Sử dụng phép trượt đỉnh .……………………….
Phương pháp 3: Sử dụng công thức tính thể tích ...………………
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông …..…….….
Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa………..………
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ ……….…..…….….
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ................................................

4
4
4
4
4
5

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .....................................................................
- Tài liệu tham khảo ...............................................................................
- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở
GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ………...

6
6
8
10
11
13
15
17
18
20
21

2


1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài :
Những năm gần đây, đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia cũng
như đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường có câu tính khoảng cách trong hình học
không gian. Không những thế đề thi được ra theo hướng phát huy tính sáng tạo của
học sinh, vì thế nó đã có phần gây khó khăn cho học sinh trong việc giải câu này.
Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng
hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó
và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Trong thực tế thì các bài toán về
khoảng cách được áp dụng nhiều trong các ngành kỹ thuật như kiến trúc, xây dựng,
đo đạc, …vv. Đối với học sinh khá, giỏi, các em có thể làm tốt phần này, tuy nhiên
cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này
khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào
phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần
mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ
thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn.
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên:
“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc
Gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong hình
học không gian ” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ
thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian đã được phân loại một cách
tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn,
đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, định hướng
được trước khi làm bài để có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và mảng hình
học không gian nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động và
sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp
3

học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được
coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng,
học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em
củng cố và khắc sâu các tri thức .
- Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc
độ khác nhau, từ đó chọn một phương pháp phù hợp để xác định khoảng cách
trong hình học không gian. Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh
chóng đi đến kết quả.
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
Đối tượng nghiên cứu là một số phương pháp tìm khoảng cách trong hình học
không gian.
Phạm vi : Giới hạn trong chương trình hình học không gian lớp 11 và lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về một số phương pháp xác định
khoảng cách trong hình học không gian.
- Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
- Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của hoc sinh trong
quá trình giải quyết bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian. Từ đó đề
xuất phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm.
1.5. Những điểm mới của SKKN :
Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng một số phương pháp
tìm khoảng cách trong hình học không gian. Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận

định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể. Đề tài cũng chú
ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, quan sát phán đoán hướng làm và tư duy
sáng tạo để giải quyết bài toán.
4


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực,
chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo,
năng lực giải quyết vấn đề. Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng
: bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới
tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể
tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề. Có như thế thì học sinh mới dễ
dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Trong quá trình giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 và lớp 12 cùng
với khi ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, tôi nhận thấy rằng nếu giáo viên chỉ
dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa và cách xác định khoảng cách như sách giáo
khoa Hình học 11 và 12 thì học sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa
có kỹ năng trong việc xác định, cũng như các bước để giải quyết vấn đề. Điều đó
được thể hiện khá rõ khi các em giải quyết các bài toán khoảng cách trong sách
giáo khoa, trong bài kiểm tra định kỳ môn Hình học hay trong đề thi Tốt nghiệp
THPT Quốc gia. Nguyên nhân của việc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt
do các em không nắm chắc khái niệm khoảng cách và các tính chất liên quan. Mặt
khác, do các em thiếu kỹ năng giải toán, kỹ năng nhận dạng và các bước tiến hành
để giải quyết bài toán.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
2.3.1. Đặt vấn đề :
Dạng toán xác định khoảng cách trong hình học không gian là một dạng toán

cơ bản hay và khá phức tạp `. Đối với giáo viên, việc dạy cho học sinh hiểu và có
kỹ năng xác định khoảng cách không hề dễ dàng. Điều khó khăn cơ bản là học sinh
còn lúng túng không biết sử dụng phương pháp nào phù hợp để tìm khoảng cách
Hơn nữa, khi học sinh dùng phương pháp xác định khoảng cách không hợp lý sẽ
làm cho bài toán phức tạp hơn.
Qua quá trình giảng dạy và thực nghiệm sư phạm, để giải quyết phần nào
những khó khăn, lúng túng của học sinh khi xác định khoảng cách, tôi đưa ra một
5


số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian thông qua một số
ví dụ cụ thể.
2.3.2. Cơ sở lý thuyết :
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho điểm O và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu
O
của O trên ∆. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆.
∆
Kí hiệu: d (O, ∆ )
H
∀
M
∈
∆
,
OM
≥
d
(

O
,
∆
)
Nhận xét:
Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên ∆ và tính OH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu
O
của O trên (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α).
H
α
Kí hiệu: d (O,(α ))
* Nhận xét: ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α ))
3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song :
Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt
M
phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và
∆
mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì
thuộc ∆ đến mặt phẳng (P). Kí hiệu : d (∆,( P ))
H
P
∀
M
∈
∆

,
N
∈
(
P
),
MN
≥
d
(
∆
,(
P
))
Nhận xét:
⇒ Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được
quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

)

)

)

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Q M
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d (( P);(Q ))
H

P
Nhận xét: ∀M ∈ (Q), N ∈ ( P ), MN ≥ d (( P );(Q))
⇒ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

)

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
∆1
I
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2.
Đường thẳng ∆ cắt cả ∆1 và ∆2 đồng thời vuông
góc với cả ∆1 và ∆2 được gọi là đường vuông góc
∆2 J
chung của ∆1 và ∆2. Đường vuông góc chung ∆ cắt
∆1 tại I và cắt ∆2 tại J thì độ dài đoạn thẳng IJ gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2. Kí hiệu: d (∆1, ∆ 2 ) .
6


Nhận xét : ∀M ∈ ∆1, N ∈ ∆ 2 , MN ≥ d ( ∆1, ∆ 2 )
Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 ta làm như sau:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung IJ từ đó suy ra d (∆1, ∆ 2 ) = IJ
Cách 2: Tìm một mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2. Khi đó
d (∆1, ∆ 2 ) = d ( ∆ 2 ; ( P ) )
Cách 3: Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa ∆1 và ∆2. Khi
đó d (∆1, ∆ 2 ) = d ( ( P ) ; ( Q ) )
Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ
Đặc biệt :
- Nếu a ⊥ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa ∆1 và vuông góc với ∆2, tiếp theo ta

tìm giao điểm I của (P) với ∆2. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
d (∆1, ∆ 2 ) = IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm
của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2.3.3. Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian:
Như ta đã biết, các bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau đều có thể quy về bài toán xác định khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Vì vậy, bài toán xác định khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng được coi là bài toán cơ bản và ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:
Phương pháp 1: Xác định trực tiếp .
Phương pháp chung : Để xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α), ta xác
định trực tiếp hình chiếu H của O trên (α) và tính OH theo một trong 2 hướng
sau :
* Hướng 1: ( Có sẵn đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) )
- Kẻ đường thẳng d ′ đi qua O và song song với d ⇒ d ′ ⊥ ( α )
- Gọi H = d ′ I ( α ) . Khi đó d (O,(α )) = OH .
* Hướng 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)
- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α)
- Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ). Khi đó d (O,(α )) = OH .
Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc
hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên này
7

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
·
BAD
= 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn:
S
Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK )
Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC )

⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .

Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO =

F

a
; AC = a 3
2

A

H

Trong tam giác vuông OBC có:
K
1
1
1
13
a 39
=
+
=
⇔
OK
=
O
E
OK 2 OB 2 OC 2 3a 2
13
B
D
Trong tam giác vuông SOK có:
C
1
1
1
16
a 3
a 3
. Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH =
=
+

= 2 ⇔ OH =
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
4
Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) )
Kẻ EF / /OH ( F ∈ SK ) . Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC )

⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH =

B
D

a 3
2

Ví dụ 2 : ( Đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp năm 2014)
Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh
bên AA′ = a , hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với
trung điểm I của AB . Gọi K là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách từ
điểm I đến mặt phẳng ( A′KD ) .
Chú ý:
Trong bài này, giáo viên hướng dẫn học sinh dựng khoảng cách dựa vào tính
chất: nếu ( α ) ⊥ ( β ) ; ( α ) ∩ ( β ) = ∆; MH ⊥ ∆; M ∈ ( β ) thì MH ⊥ ( α ) ⇒
d ( M ; ( α ) ) = MH . Tính chất này rất quan trọng trong việc dựng khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng và được sử dụng khá nhiều trong các đề thi
Hướng dẫn:
• Gọi H = DK ∩ IC , do ABCD là hình vuông cạnh a nên ta suy ra được
8


a 5
CK .CD a 5
3a 5
, CH =
=
, IH =
.
2
DK
5
10
a 3
Xét tam giác A′AI ta được A′I =
.
2
 DK ⊥ IH
⇒ DK ⊥ ( A′IH )
• Do 
′
DK
⊥
A
I


⇒ ( A′DK ) ⊥ ( A′IH ) . Trong
IC ⊥ KD, DK = IC =

B′

C′

A′

D′

mặt phẳng ( A′IH ) , kẻ IE ⊥ A′H .

⇒ IE ⊥ ( A′KD ) ⇒ d ( I ; ( A′KD ) ) = IE

Xét tam giác A′IH :

E

1
1
1
=
+
2
2
IE
A′I
IH 2
4

20
32
3a 2
.
= 2 + 2 = 2 ⇒ IE =
3a 9a
9a
8
3a 2
Vậy d ( I ; ( A′KD ) ) =
8

B

K
H
D

I

A

Bài tập đề nghị :
Bài 1[1] : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đều bằng a.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC) bằng :
A.

a 3
4

B.

a 21
7

C.

a 2
2

D.

a 6
4

Bài 2[2] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc SBD = 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SO bằng :
A.

a 5
2

B.

a 2
2

C.

a 2
5

D.

a 5
5

Phương pháp 2 : Sử dụng phép trượt đỉnh .
Ý tưởng của phương pháp này là : bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,(α )) về việc tính
d (O ',(α )) . Ta thường sử dụng nh ững kết quả sau :
S∆ thì
Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈
d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))
S
Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N
d ( M ;(α )) MI
=
không trùng với I ) thì
d ( N ;(α )) NI
1
A
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì : d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))
2
H
B
nếu I là trung điểm của MN thì : d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))

K

B

M C
A

I

K
C
D9 D


VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 : (Khối D năm 2013) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi
∧
cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 1200 , M là trung điểm của cạnh
∧
BC và SMA = 450 . Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC ) .

Phân tích. Do AD // (SBC) nên ta trượt đỉnh D về vị trí thuận lợi A và quy việc
tính d ( D; ( SBC ) ) thành tính d ( A; ( SBC ) )
Hướng dẫn :
∧
• Do BAD = 1200 và ABCD là hình thoi cạnh a nên tam giác
S
∧

ABC đều và tam giác SMA vuông cân tại A (do SMA = 450 ).
• Theo chứng minh trên BC ⊥ AM

⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM )

Dựng AK ⊥ SM ( K ∈ SM )

1
SM .
2
Vì AD / / BC nên d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) )

K

⇒ AK ⊥ ( SBC ) , AK =

B

M C

1
1a 3
a 6
= AK = SM =
2=
2
2 2
4

A

D

I

Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
BA = 3a, BC = 4a ; mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết SB = 2a 3
∧
và SBC = 300 .Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) theo a .
Phân tích: Do BH ∩ ( SAC ) = C , nên thay vì việc tính d ( B, ( SAC ) ) ta đi tìm mối
liên hệ giữa BC và HC rồi chuyển về tính d ( H , ( SAC ) )
Hướng dẫn:
∧
• Hạ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ; ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ; SH = SB.sin SBC = a 3 .
• Hạ HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) ⇒ AC ⊥ ( SHD )
S
⇒ ( SAC ) ⊥ ( SHD ) ; HK ⊥ SD ( K ∈ SD )
Suy ra HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H ; ( SAC ) )

S

∧

BH = SB.cos SBC = 3a ⇒ BC = 4 HC
⇒ d ( B; ( SAC ) ) = 4.d ( H ; ( SAC ) )

Ta có AC = BA2 + BC 2 = 5a ;
HC = BC − BH = a
HC 3a
⇒ HD = BA.
=
AC
5

H

B
B

A
A

K
C
D
H K
C
D
10


SH .HD

HK =

SH 2 + HD 2

=

3a 7
6a 7
. Vậy d ( B; ( SAC ) ) = 4.HK =
14

7

Bài tập đề nghị :
Bài 1[3] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a,
SA = 3a và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SC và BM bằng :
a 3
3
Bài 2[4]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA =

A.

3a 3
4

B.

2a 3
3

C.

a 3
2

D.

2a. Gọi M là trung điểm của SD. Khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
(ACM) bằng :
A.

3a
2

B. A

C.

2a
3

D.

a
3

Phương pháp 3: Sử dụng công thức tính thể tích .
1
3V
Phương pháp chung: Thể tích của khối chóp V = S .h ⇔ h =
.
3
S
Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính
thể tích V và diện tích đáy S.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: (Đề thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Hà Nội năm 2017)
·
Cho hình chóp S.ABC có ·ASB = CSB
= 600 , ·ASC = 900 , SA = SB = SC = a. Tính khoảng

cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
A. d = 2a 6.

B. d = a 6. C. d =

2a 6
.
3

D. d =

Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm AC.
Ta có ∆ SAC vuông cân tại S

a 6
.
3

S

⇒ SM ⊥ AC và AC = SA 2 = a 2; SM = AM = MC = a 2
2

Ta có ∆ SAB và ∆ SBC đều nên AB = BC = a
suy ra ∆ABC vuông cân tại B .
a 2
⇒ BM = AM = MC =
2
⇒ ∆ SMB vuông cân tại M

⇒ SM ⊥ MB ⇒ SM ⊥ (ABC)

A

C

M

S
B
2

3

3V
1
1 a 2 a
a 2
⇒ VS . ABC = SM .S ABC = .
. =
⇒ d ( A; ( SBC ) ) = S . ABC
3
3 2 2
12
S SBC

a3 2
a 6
= 24 =
3

a 3
4

BS.ABC có đáy ABC là tamHgiác
Ví dụ 2: (Khối A,A1 năm 2013) Cho hình chóp
A

K
C
D
11


∧
vuông tại A , ABC = 300 ; SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên ( SBC ) vuông góc

với mặt phẳng ( ABC ) . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a .
Phân tích. Tứ diện SABC nếu lấy S làm đỉnh, ABC làm đáy ta có thể tính được
thể tích khối tứ diện SABC. Nhưng cũng tứ diện SABC nếu lấy C làm đỉnh, SAB
1
3

làm đáy ta có VS . ABC = d ( C ; ( SAB ) ) .S SAB ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) =
Hướng dẫn:
• Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH ⊥ BC .
Mà ( SBC ) vuông góc với ( ABC ) theo giao tuyến BC ,
nên SH ⊥ ( ABC ) .

3VS . ABC
S SAB

S

a 3
a
; AC = BC.sin 300 = ;
2
2
1
a3
a 3
⇒ VS . ABC = SH . AB. AC = .
AB = BC.cos300 =
6
6
2
• ∆ ABC vuông tại A và H là trung
B
I
điểm của BC ⇒ HA = HB mà SH ⊥ ( ABC )
suy ra SA = SB = a .Gọi I là trung điểm
H
SI
⊥
AB
AB
của
, suy ra
. Do đó :
2

AB
a 13 ⇒ d C , SAB = 3VS . ABC = 6VS . ABC = a 39
( ( )) S
SI = SB 2 −
=
.
SI . AB
13
4
4
SAB

Ta có BC = a ⇒ SH =

A

C

Nhận xét :
Khi mà các cách dựng khoảng cách từ một điểm đến một phẳng đều không hiệu
quả thì việc tính khoảng cách có thể dựa và phương pháp thể tích thông qua kết
quả : h =

3Vchãp
Sday

V

lt
hoặc h = S .

day

Bài tập đề nghị :
Bài 1[5] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
a3
BC = a 3 . Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng
. Khoảng cách từ S đến (ABC) :
3
a 3
2a 3
2a 3
a 3
A.
B.
C.
D.
3
9
3
9

Bài 2[6] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1cm,
AC = 3cm . Tam giác SAB và SAC lần lượt vuông tai B và C. Khối cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC có thể tích bằng
A.

3
cm
2

B.

5
cm
2

5 5π
cm3 . Tính khoảng cách từ C đến (SAB) :
6
3
5
C.
cm
D.
cm
4
4

Phương pháp 4 : Sử dụng tính chất của tứ diện vuông .
12


1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh
đó đều là góc vuông.
2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O
( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).
1
1
1
1

=
+
+
Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức :
OH 2 OA2 OB 2 OC 2
Chứng minh.
Giả sử AH ∩ BC = D , OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ BC (1) A
OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ OD .
Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có
1
1
1
1
1
1
=
+
,
=
+
OH 2 OA2 OD 2 OD 2 OB 2 OC 2
C
O
1
1
1
1
=
+

+
Vì vậy
OH 2 OA2 OB 2 OC 2

H

B

D

Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của
tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN
C′
A′
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN
ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với
B ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc
B′
M
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.
N
Hướng dẫn:
D
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN
C

A
thì OACD là tứ diện vuông tại O.
O
AMB ' N là hình bình hành ⇒ NA / / B ' M .
B
Mp(ACN) chứa CN và song song với B ' M nên:
d ( B ' M , CN ) = d ( B ' M ,( ACN )) = d ( B ',( ACN )) = d ( B,( ACN )) = 2d (O,( ACD )) = 2h
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
1
1
1
1
64
a 3
a 3
=
+
+
=
⇔
h
=
.
Vậy
d
(
B
'
M
,

CN
)
=
8
4
h 2 OA2 OC 2 OD 2 3a 2
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung
điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .
Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của BB ' thì A ' NCM là hình bình hành nên A ' N / /CM .
13


Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D và song song với CM nên
d (CM , A ' D ) = d (CM ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' DE ))
với E = AB ∩ A ' N . Gọi O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM
thì G là trọng tâm của tam giác ADD ' .
D′
d ( M ,( A ' DE )) GM 1
=
=
Do đó
.
d ( A,( A ' DE )) GA 2
A′
Tứ diện AA ' DE vuông tại A nên
B′
M
1
1

1
1
=
+
+
O
d 2 ( A,( A ' DE )) AA '2 AD 2 AE 2
.
N
G
9
2a
= 2 ⇒ d ( A,( A ' DE )) =
3
D
4a
Vậy d (CM , A ' D ) = d (M ,( A ' DE ))
A
1
a
B
= d ( A,( A ' DE )) =
2
3

C′

C
E

Bài tập đề nghị :
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a, BC=2a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc
bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2a 6 6 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 2 : Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và
OA = OB = OC = 1 . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, OA. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Phương pháp 5 : Sử dụng phương pháp tọa độ hóa .
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng
các công thức sau :
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M ;(α )) =
với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
2
2
2
A + B +C
uuur r
MA; u 
r


d ( M , ∆) =
r
với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u
u

r ur uuur
u; u ' . AA '

ur


d (∆, ∆ ') =
r ur
với ∆ ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u '
u ; u ' 



Phương pháp :
Bước 1 : Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2 : Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3 : Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ rồi chuyển sang ngôn ngữ hình
học.
14


VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( α )
bất kì đi qua đường chéo B’D.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
b) Xác định vị trí của mặt phẳng ( α ) sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp
A
( α ) và hình lập phương là bé nhất.
N
B
z

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn

chọn được một hệ toạ độ thích hợp,
C
D
H
khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc
y
tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
(ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng.
A'
B'
Với phần b, ta quy việc tính diện tích t
hiết diện về việc tính khoảng cách từ M
x
đến đường thẳng DB’.
D'
C'
M
Hướng dẫn:
Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 ) ,
A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1)
Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0 ) ; 0 ≤ x ≤ 1
a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) )
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = 0
1
⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) =
3
b) Giả sử ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt
đối diện song song với nhau nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và
DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N.

Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó: S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ')
uuuu
r uuuu
r
 MD; DB '
2x2 − 2x + 2


=
uuuu
r
Ta có: DB ' = 3 ⇒ d ( M , DB ') =
3
DB '
2

1
1 3
3

. Dấu đẳng thức xảy ra khi x =
S DMB ' N = 2 x − 2 x + 2 = 2  x − ÷ + ≥
2
2 2
2

1

Nên diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M  ;0;0 ÷, hay M là trung điểm D’C’
2


 1 
Hoàn toàn tương tự nếu M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷
 2 
Vậy S DMB ' N nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
2

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
15


SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của
M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho
z
O ≡ A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0;1;0 ) , S ( 0;0;1) .
S
M là điểm di động trên CD nên M ( t ;1;0 )
uuuu
r
với 0 ≤ t ≤ 1 , BM = ( t − 1;1;0 )
uur uuuu
r
 SB, BM 
t 2 − 2t + 3


d ( S , BM ) =
= 2

uuuu
r
t − 2t + +2
BM
y
A
D
t 2 − 2t + 3
Xét hàm số f ( t ) = 2
trên [0;1]
t − 2t + +2
H
M
B
−2 ( t − 1)
⇒ f '( t ) = 2
C
2
x
( t − 2t + 2 )
Ta có bảng biến thiên:
−∞
t
f’(t)
-

0

+∞

1
+

2

f(t)

3
2
3
f ( t ) = , đạt được khi t = 0
Từ bảng biến thiên ta có min
[ 0;1]
2
max f ( t ) = 2 , đạt được khi t = 1
[ 0;1]
Do đó d ( S , MB ) lớn nhất khi M ≡ C & d ( S , BM ) = 2
d ( S , MB ) nhỏ nhất khi M ≡ D & d ( S , BM ) = 3
2
Bài tập đề nghị :
Bài 1[7] : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi
E là trung điểm của AB. Cho biết AB = 2a, BC = a 13 , CC′ = 4a. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng A′B và CE bằng :
A.

4a
7

B.

12a
7

C.

6a
7

D.

3a
7

Bài 2 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a,
OC = 3a. Gọi M là trung điểm của OB, G là trọng tâm ∆ABC. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và OC bằng :
A.

a 2
2

B.

a 2
6

C.

3a 2
2

D.

a 2
4

16


Phương pháp 6 : Sử dụng phương pháp vectơ .
Phương pháp :
Bước 1 : Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã
cho ra ngôn ngữ “véc tơ”.
Bước 2 : Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các
hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.
Bước 3 : Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 :
·
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ·ABC = BAD
= 900 , BA = BC = a ,
AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) .
S
Hướng
uuu
rdẫnr :uuur r uuu
r r
Đặt AB = a; AD = b; AS = c
r r

r r
r r
Ta có : a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = 0
uur r r uuu
r r 1 r r uuu
r r r
r
SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c
N
c
2
H
Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ
r
H lên mặt phẳng (SCD)
b
A
D
⇒ d ( H ;( SCD )) = HN
r
SH 2
a
=
Dễ dàng tính được
K
SB 3
uuur uuur uuu
r
uuu
r

uBuu
r
2 uur
C
Khi đó : HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD
3
2r  x

r  2
r
=  x − ÷a +  + y ÷b +  − x − y ÷c
3

2
 3

2  r2 1  x

 r2  2
 r2
uuur uuu
r
x
−
a
+
+
y
b
−

−
x
−
y
c = 0 x = 5

÷

÷

÷

 HN ×SC = 0 
3
2 2

3


6
⇒
⇒
r
Ta có:  uuur uuu
 HN ×SD = 0  x + y  br 2 −  2 − x − y  cr 2 = 0
y = −1
÷

÷
 2

3


3

2
uuur 1 r 1 r 1 r
1 r 1 r r
a
⇒ HN = a + b + c ⇒ HN =
a + b + c÷ =
6
12
6
6 
2
3

Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài
toán bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả
mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán
thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
17


Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . M , N lần lượt là trung điểm
của AE và BC . Tính khoảng cách giữa MN và AC .

Hướng dẫn:

→

→ 
→

→ 
→

→ →

→

→ →

→ →

Đặt : OA = a, OB = b, OS = c . Ta có : a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0
uuuur uuur uuur uuur
MN = MA + AC + CN
S
E
r uuur 1 uuu
r
1 uuu
= SD + AC + CB
2
2
1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur

= SO + OD + AC + CO + OB
2
2
r
r
3
1

→
→
M
= − a − c ; AC = −2 a
P
2
2
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung
r
của MN và AC , ta có:
c
A
r
uuur uuuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur
PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO
ra
2
b O
r
 3 r 1 r 1 r r
= x  − a − c ÷+ −c − b − ya
2  2

 2
B
N
r
r
r
3 
1
1

= −  y + x ÷a − ( x + 1) c − b
2 
2
2

r2
3  r2 1
3
uuur uuuu
r
y
+
x
a
+
x
+
1
a
= 0  x = −1

(
)
÷
 PQ ×MN = 0  2 
2 
4

⇒
⇒
 uuur uuur
3
r2
y
=
3


 PQ ×AC = 0
2 y + x a = 0

2
÷
 
2 

(

)

(

)

(

)

D

C

uuur
1r
1
a2
a 2
2
2
⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ =
2
4
8
4

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường :
* Trước khi thực hiện đề tài : Tôi cho học sinh lớp 12A7 có lực học trung bình
khá làm bài kiểm tra sau trong 15 phút :
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG :
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) .
Kết quả không khả quan lắm như sau :
Điểm

Giỏi
SL

Khá
%

SL

TB
%

SL

Yếu
%

SL

%
18


Lớp 12A7

5

12%

12

29%

16

38%

9

21%

(Sĩ số 42 )
* Sau khi thực hiện đề tài:
Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh cũng lớp 12A7 đó làm
một đề kiểm tra 15 phút với mức độ nâng cao hơn và nội dung là xác định khoảng
cách thuộc dạng có trong đề tài :
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO ⊥ ( ABCD)
AC = 4, BD = 2, SO = 3 . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).
Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:
Điểm
Lớp 12A7

Giỏi
SL
11

%
26%

Khá
SL
19

TB
%
45%

SL
10

%
24%

Yếu
SL
2

%
5%

(Sĩ số 42 )
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa trước và sau khi thực hiện đề tài. Như vậy là
việc hướng dẫn cho học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT
Quốc Gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong
hình học không gian đã giúp các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập, đó có thể

coi là một thành công của người giáo viên. Chắc chắn một số phương pháp mà tôi
nêu ra trong đề tài đã giúp các em không cảm thấy lúng túng khi giải xác định
khoảng cách, giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi Tốt nghiệp
THPT Quốc Gia.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
* Kết quả áp dụng:
Qua việc thực hiện chuyên đề trên đối với lớp 12A7 có học lực trung bình khá,
kết quả thu được rất khả quan, giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống
về bài toán tính khoảng cách, từ đó có kỹ năng giải thành thạo các bài toán thuộc
chủ đề này và hơn thế có thể ứng dụng chúng vào bài toán tính thể tích và một số
bài toán thực tế khác. Tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát
19


huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới phương pháp của
Bộ Giáo dục và đào tạo.
* Tự đánh giá :
Sáng kiến có tính khả thi, có thể áp dụng để dạy học toán chuyên đề tính
khoảng cách trong hình học không gian ở trường THPT Lê Lợi, Thọ Xuân. Qua
thực tế áp dụng, tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được phương
pháp, biết cách áp dụng vào những bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú khi học tập
phần này. Khi học trên lớp và qua các lần thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia, số
học sinh làm được bài tính khoảng cách cao hơn hẳn các năm trước của các em
không được học chuyên đề này.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót,
hạn chế, bản thân tôi rất mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến
để đề tài được hoàn chỉnh hơn, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp
giảng dạy của mình. Đồng thời các giáo viên tổ Toán cũng có thể áp dụng cho học
sinh lớp 11 và lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia của mình đang giảng dạy

nhằm giúp cho học sinh có thêm kĩ năng giải tìm khoảng cách trong hình học
không gian.
3.2. Kiến nghị:
Mỗi bài toán thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát hiện ra những cách
giải khác nhau cần được khuyến khích. Song trong những cách giải đó cần phân
tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần chú ý bài
toán cơ bản tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ đó áp dụng cho
các bài toán khoảng cách khác.
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY.
Người viết SKKN :

Đỗ Thị Thủy
20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học và Tuổi trẻ từ năm 2015 đến nay.
2. Sách giáo khoa Hình học 11 và Hình học 12 – NXB Giáo dục
3. Sách giáo viên Hình học 11 và Hình học 12 – NXB Giáo dục
4. Sách bài tập Hình học 11 và Hình học 12 – NXB Giáo dục
5. Phương pháp giải các dạng toán THPT: Hình học không gian – Lê Hồng Đức
( Chủ biên ) – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017.
6. Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc – Nguyễn Đức Đồng
( Chủ biên ) – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009

7. Phương pháp giải toán chuyên đề Hình học 11 – Nguyễn Văn Nho, Lê Bảy –
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016.
8. Tuyển tập các đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019
của các trường trên cả nước qua Internet.
[1]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Quang Trung – Bình Phước – Lần 1
[2]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Thái Nguyên – Lần 2
[3]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Đại học Vinh – Lần 3
[4]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Đại học Thái Bình – Lần 1
[5]. Đề thi thử THPT QG của 19/5 Kim Bôi – Hòa Bình – Lần 1
[6]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3
[7]. Đề thi thử THPT QG của Chuyên Đại học Vinh – Lần 1
9. Rèn luyện kỹ năng giải toán Hình học không gian – Nguyễn Mạnh Hùng –
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017.
10. Chuyên đề giải toán Hình học không gian – Nguyễn Anh Trường, Nguyễn
Tấn Siêng – NXB Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh, 2012.

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Đỗ Thị Thủy
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi
- Thọ Xuân - Thanh Hóa

TT

1

Tên đề tài SKKN

Nhận dạng tam giác bằng phương
pháp sử dụng tam thức bậc hai và

2

tích vô hướng
Hướng dẫn học sinh ôn thi đại học
giải một số dạng bài tập cực trị

3

hóa để giải quyết một số bài toán

C

2010 – 2011

Sở
GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2012 – 2013

Sở

GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2014 – 2015

Sở
GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2016 – 2017

hình học không gian.
Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân
loại một số dạng toán viết phương
trình mặt phẳng trong không gian
tọa độ Oxyz thường gặp trong đề thi

5

Sở
GD&ĐT
Thanh Hóa

trong hình học giải tích lớp 12.
Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ
năng sử dụng phương pháp tọa độ

4

Cấp đánh
Kết quả
giá xếp
đánh giá Năm học
loại
xếp loại
đánh giá
(Phòng,
(A, B,
xếp loại
Sở,
hoặc C)
Tỉnh…)
Sở
GD&ĐT
Thanh Hóa
C
2008 – 2009

THPT Quốc gia
Rèn luyện cho HS lớp 12 Trường
THPT Lê Lợi kỹ năng giải một số
dạng toán về phương trình mặt cầu
bằng phương pháp phân loại thông
qua một số bài tập thực hành.

22

6

Hướng dẫn cho học sinh lớp 11 và
học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp
THPT Quốc gia sử dụng một số kỹ
thuật tìm nghiệm của phương trình

Sở
GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2017 – 2018

lượng giác có điều kiện.

23