Phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN
CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………..………...
1.2. Mục đích nghiên cứu. …………………………………...………….
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………….……..………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………..…..……....
II. NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………...…..…………....
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. ……………………..……
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề. …………………………………..…………….….

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. ……………………
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………….……..……
3.1. Kết luận. ……………………………………………….……...…..
3.2. Kiến nghị. …………………………………………….….……..…
Tài liệu tham khảo: …………………………………………….………….

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2
2
19
20
20
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng
các tính chất của tích phân và tính chất của hàm số (ở đây tôi tạm gọi là hàm ẩn)
xuất hiện rất ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều
hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất nhiều khó khăn.
2

Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao
đẳng hầu như không xuất hiện các dạng tích phân hàm ẩn, vì vậy sự quan tâm của
giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có.
Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc
nghiệm (ngay năm đầu tiên năm 2017) thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã
xuất hiện không dưới 2 câu đã tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm
ngùi sau kì thi.
Từ những lý do trên cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi tôi đã quyết
định chọn đề tài này với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức
cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một
thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân hàm ẩn .
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với mục tiêu đã nêu trên, sau khi hoàn thành đề tài này tôi có thể sử dụng đề
tại này, vận dụng kiến thức đã được nghiên cứu, đúc kết và sắp đặt có hệ thống vào
giảng dạy cho học sinh. Ngoài ra có thể chia sẻ với đồng nghiệp để cùng khai thác
nội dung đề tại, truyền thụ được kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng
học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về các phương pháp giải bài toán tích phân
hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
Xuất phát từ các phương pháp tính tích phân cơ bản học sinh đã được học
trong sách giáo khoa và các bài toán tích phân được sưu tầm từ đề thi THPT QG
năm 2017 và các để thi thử của các trường THPT, các Sở GD & ĐT trên cả nước tôi
phân chia thành từng dạng để có phương pháp riêng giải cho mỗi dạng, các dạng
được sắp xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học
sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các dạng toán tích phân được trình bày trong sách giáo khoa và các bài
toán tích phân học sinh được tiếp cận, chủ yếu là các bài với hàm số là các biểu
thức cho trước ( hàm tường mình ).
Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào biểu thức của hàm số
đã cho để quyết định phương hướng và lựa chọn phương pháp. Tuy nhiên với tích
phân hàm ẩn thì không có hàm số tường minh để dựa vào đó được.
Và vấn đề đặt ra ở đây là học sinh làm như thế nào để nhận dạng và áp dụng
phương phán giải hợp lý cho bài toán. Vấn đề đó tôi xin được trình bày trong phần
nội dung của đề tài này.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3


Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài
toán thì theo kiểu “ tù mù”. Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng từng phần! Và như
vậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho một hướng giải
quyết mù mịt (không biết có ra hay không) dẫn đến mất niền tin và khả năng của
mình và từ đó cảm thấy không còn hứng thú trong việc học Toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Trên cơ sở kiến thức cơ bản về tích phân đã được trình bày trong sách giáo khoa
Giải tích. Tôi đã chia thành các dạng toán cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiện
mục đích của mình đó nhận biết dạng toán để chọn phương pháp phù hợp.
Nội dung đề tài được trình bày cụ thể như sau:
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Định nghĩa tích phân
Cho f  x  là hàm số liên tục trên  a; b  . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của
f  x  trên  a; b  . Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b của hàm
số f  x  (hay tích phân xác định trên  a; b  ), kí hiệu là

b

f  x  dx .
�
a

Ta còn dùng kí hiệu F  x  a để chỉ hiệu số F  b   F  a  .
b

b

Vậy

f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  .
�
b

a

b

Ta gọi

�là dấu tích phân, a

là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới

a

dấu tích phân và f  x  là hàm số dưới dấu tích phân.
1.2 Tính chất của tích phân
b

b

a

a

kf  x  dx  k �
f  x  dx ( k là hằng số).
Tính chất 1: �
b

b

b

a

a

a

dx  �
f  x  dx ��
g  x  dx .
�
Tính chất 2: �

�f  x  �g  x  �
�

4


b

c

b

a

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx ,  a  c  b  .
�

Tính chất 3:

1.3 Các phương pháp tính tích phân
1.3.1 Phương pháp đổi biến
b

g  u  x   .u '  x  dx ta thực hiện phép đổi biến như sau:

Để tính tích phân I  �
a

Bước 1: Đặt t  u  x  � dt  u '  x  dx .
Đổi cận: x  a � t  u  a  , x  b � t  u  b 
u (b )

Bước 2: I 

�g  t  dt .

u (a)

1.3.2 Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
u
v
udv  uv  �
vdu.
Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó �
a a
a

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN
2.1 Dùng tính chất của tích phân
Phương pháp giải:
- Khi đề bài cho kết quả của các tích phân có cùng cận (trên và dưới) của một hay
nhiều hàm số và yêu cầu tính tích phân (cận không thay đổi) của tổng, hiệu các
hàm số đó thì ta dùng tính chất 1 và 2 của tích phân để giải.

- Khi đề cho kết quả các tích phân của cùng một hàm số f  x  và yêu cầu tính tích
phân (chỉ khác các tích phân đã cho về cận) của hàm số f  x  thì ta dùng tính chất
3 của tích phân.
Ví dụ 1: Cho

4

4

4

2

2

2

f  x  dx  10 , �
g  x  dx  5 . Tính I  �
3 f  x   5g  x  �
dx .
�
�
�
�

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần 1 năm học 2017-2018)
5

Lời giải
4

4

4

2

2

2

3 f  x   5g  x  �
dx  3�
f  x  dx  5�
g  x  dx  3.10  5.5  5 .
�
Ta có I  �
�
�
4

1
Ví dụ 2: Biết �
f ( x )dx  và
2
1

0

4

1
�
. Tính tích phân I  �
f
(
x
)d
x

4e 2 x  2 f ( x) �
�
�
�dx .
2
1
0

(THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có
1
4
�
e2 x 4 �
�
I �
4e  2 f ( x) �

dx  4 �
e dx  2 �
f ( x)dx  4.
 2 ��
f  x  dx  �
f  x  dx �
�
�
2 0 �0
0
0
0
1
�
4

4

2x

4

2x

4
�0
�
 2  e  1  2 �
�
f  x  dx  �

f  x  dx �
1
�1
�
8

�1 1 �
 2  e8  1  2.�  � 2e8 .
�2 2 �
2.2 Dùng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải:
b

- Khi gặp các tích phân dạng

f  u  x   .u '  x  dx thì ta dùng phương pháp đổi biến:
�
a

đặt t  u  x  .
- Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm f  x  biết g  f  x  , f  a  x    h  x  (với
h  x  là hàm số cho trước) ta có thể đổi biến t  a  x .
2

Ví dụ 1: Cho

1

f  x  dx  a . Tính I  �
x. f  x

�
1

0

2

 1 dx theo a .

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần 1 năm học 2017-2018)
6


1

x. f  x 2  1 dx có f  x 2  1 là hàm hợp của hàm số f  t  ,
Nhận xét: Ta thấy I  �
0

t  x 2  1 với nên ta dùng phương pháp đổi biến t  x 2  1 để tính I theo biến t , sau
2

f  x  dx .
đó dùng tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến ta tính được I heo �
1

Lời giải
Đặt t  x 2  1 � dt  2 xdx � xdx 

dt

2

Đổi cận: x  0 � t  1 , x  1 � t  2 .
1

2

2

Khi đó: I  x. f x 2  1 dx  1 f t dt  1 f x dx a .
 
  


�
2�
2�
2
0
1
1
Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên
tục trên  4;  � và

5

f
�
0

2



x  4 dx  8 . Tính I  �
x. f  x  dx .
3

5





Nhận xét: Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân �
f x  4 dx là hàm hợp nên ta
0

biến đổi nó bằng cách đặt

t  x4

.
Lời giải

Đặt x  4  t � x  t 2  4 � dx  2tdt .
Đổi cận : x  0 � t  2 , x  5 � t  3
5





3

3

2

2

f x  4 dx  8 � �
2t. f  t  dt  8 � �
t . f  t  dt  4 .
Khi đó �
0

7


3

��
x. f  x  dx  4
2

2

��
x. f  x  dx  4

3

. Vậy I  4 .

Ví dụ 3: (THPT chuyên Phan Bội Châu – lần 3 năm học 2017-2018) Cho hàm số
f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f  1  x   1  x . Tính tích
1

f  x  dx .
phân I  �
0

Nhận xét: Bằng cách đặt t  1  x , ta có
lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của

1

1

1

0

0

0

f  1  x  dx  �
f  t  dt  �
f  x  dx . Do đó

�

2 f  x  3 f 1 x  1 x

ta sẽ tính được .
I

Lời giải
Đặt t  1  x � dx  dt . Đổi cận : x  0 � t  1 , x  1 � t  0
Suy ra

1

0

1

1

0

1

0

0

f  1  x  dx   �
f  t  dt  �
f  t  dt  �

f  x  dx
�
1

1

0

0

Từ giả thiết 2 f  x   3 f  1  x   1  x ta có �
2 f  x  3 f  1 x �
dx  �1  xdx
�
�
�
1

1

1

0

0

0

� 2�
f  x  dx  3�

f  1  x  dx  �1  xdx
1

1

1

1

2
2
� 5�
f  x  dx  �1  x dx � 5�
f  x  dx  � �
f  x  dx  .
3
15
0
0
0
0
2.3 Dùng phương pháp từng phần

8


Phương pháp giải: Khi đề bài cho

b

b

a

a

f  x  dx và yêu cầu tính �
g  x  . f '  x  dx
�

g  x  là một biểu thức cho trước) hoặc ngược lại thì ta biến đổi

(với

b

g  x  . f '  x  dx
�
a

bằng cách dùng phương pháp từng phần, đặt u  g  x  và dv  f '  x  dx .
Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số
y  f  x  có đạo hàm f �
 x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,

2

f  x  dx  3 . Tính
�
0

2

x. f �
 x  dx .
�
0

2

Nhận xét: Đề cho

f  x  dx  3 và
�
0

2

x. f �
 x  dx theo
�
0

2

f  x  dx
�

2

yêu cầu tính �
x. f �
 x  dx nên ta biến đổi
0

bằng cách dùng phương pháp từng phần.

0

Lời giải
ux
du  dx
�
�
��
Đặt �
dv  f '  x  dx �x  f  x 
�
2

2

0

0

x. f �
 x  dx  x. f  x 
Ta có �

2

�
f  x  dx  2 f  2   3  2.3  3  3 .
0

9


Ví dụ 2: (THPT chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số y  f  x  có
5

đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 , thỏa mãn f  5   10 và �
xf �
 x  dx  30 . Tính
0

5

f  x  dx .
�
0

5

5

Nhận xét: Đề cho �
xf �
 x  dx  30 và yêu cầu tính

f  x  dx nên ta biến đổi
�

0

5

xf �
 x  dx làm xuất hiện
�
0

5

f  x  dx
�

0

bằng cách dùng phương pháp từng phần.

0

Lời giải
ux
du  dx
�
�
�

Đặt �
dv  f �
v  f  x
 x  dx �
�
�
Ta có
5

xf �
 x  dx  30 �  x. f  x  
�
0

5
0

5

5

0

0

f  x  dx 30
�
f  x  dx  30 � 5 f  5   �

5

��
f  x  dx  5 f  5   30  5.10  30  20 .
0

2.4 Phối hợp phương pháp đổi biến và từng phần
Phương pháp giải:
Dạng 1: Khi đề bài cho

b

d

a

c

f  x  dx và yêu cầu tính �
g  x  . f '  u  x   dx (với
�

10


g  x  là một biểu thức cho trước): ta biến đổi

d

g  x  . f '  u  x   dx
�

bằng cách dùng

c

phương pháp từng phần: đặt u  g  x 
d

d

c

c

và dv  f '  u  x   dx để biến đổi

g  x  . f '  u  x   dx theo �
f  u  x   dx . Sau đó dùng phương pháp đổi biến t  u  x 
�

để biến đổi

d

b

c

a

f  u  x   dx theo �
f  t  dt .
�
b

Dạng 2: Khi đề bài cho

d

f  u  x   dx và yêu cầu tính �
g  x  . f '  x  dx (với g  x 
�
a

là

c

b

một biểu thức cho trước): ta biến đổi

f  u  x   dx
�

bằng cách dùng phương pháp

a

đổi biến t  u  x  để biến đổi

b

f  u  x   dx
�
a

d

theo

f  t  dt . Sau đó dùng phương
�
c

pháp từng phần: đặt u  g  x  và dv  f '  x  dx để biến đổi

d

g  x  . f '  x  dx
�

theo

c

d

f  x  dx .
�

c

Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và f  2   16 ,

2

f  x  dx  4 .
�
0

4

�x �
xf �
dx .
Tính I  �
��
2
�
�
0

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 1.
11


Lời giải
ux
du  dx
�

�
�
�
Đặt �
�x � � �
�x �.
�
d
v

f
d
x
v

2
f
��
��
�
�
�2 �
�2 �
�
�
4

�x �
xf �
dx  2 xf

Khi đó I  �
��
�2 �
0

4

4

4

�x �
�x �
�x �
f��
dx  128  2I1 , với I1  �
f��
dx .
� �  2�
�2 �
�2 �0
�2 �
0
0
4

2

2

x
�x �
f��
dx  2�
f  t  dt  2 �
f  x  dx  8 .
Đặt t  � dx  2dt . Khi đó I1  �
2
2
��
0
0
0
Vậy I  128  2 I1  128  16  112 .
Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số y  f  x 
có đạo hàm liên tục trên � và thỏa mãn f  2   1 ,

2

f  2 x  4  dx  1 . Tính
�
1

0

xf �
 x  dx .
�

2

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2.
Lời giải

1
- Đặt t  2 x  4 � dt  2dx � dx  dt
2
Đổi cận: x  1 � t  2 ; x  2 � t  0
2

0

0
1
f  t  dt  2
f  2 x  4  dx  1 � �
f  t  dt  1 � �
Ta có �
2
2
1
2

0

Do đó

�f  x  dx  2 .

2

- Đặt u  x � du  dx ,
0

Vậy

xf �
 x  dx  xf  x 
�

2

dv  f �
 x  dx � v  f  x  .
0
2

0

�
f  x  dx  2 f  2   2  2.1  2  0 .
2

12


2.5 Tính tích phân hàm số f  x  bằng cách xác định hàm số f  x  dựa vào điều
kiện cho trước
2.5.1 Xác định hàm số f  x  khi biết đẳng thức liên hệ giữa f  x  và
f  u x  

Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa f  x  và f  u  x   ta thay x bởi
u  x  và ngược lại ta được đẳng thức thứ hai. Từ đẳng thức ban đầu và đẳng thức
thứ hai ta sẽ tìm được hàm f  x  .
Ví dụ 1: Xét hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f  1  x   1  x .
1

Tính tích phân

f  x  dx .
�
0

Lời giải
Thay x bởi 1  x và ngược lại vào 2 f  x   3 f  1  x   1  x (1) ,

2 f  1  x   3 f  x   x (2)

ta có
Từ (1) và (2) ta có

�
�
2 f  x  3 f 1 x  1 x
4 f  x   6 f  1  x   2 1  x  3
�
�
�
�
�
2 f  1 x  3 f  x  x

6 f  1 x  9 f  x  3 x
 4
�
�
Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có f  x  
1

Suy ra

1

f  x  dx  � 3
�
5
0

0

1







1
3 x  2 1 x .
5

x  2 1  x dx 

2
.
15

13


Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên � và 3 f   x   2 f  x   tan 2 x . Tính

4

�f  x  dx .




4

Lời giải
Thay x bởi

 x và ngược lại vào 3 f   x   2 f  x   tan 2 x  1 , ta có

3 f  x   2 f   x   tan 2   x  � 3 f  x   2 f   x   tan 2 x

 2

Từ (1) và (2) ta có

�
�
3 f   x   2 f  x   tan 2 x
6 f   x   4 f  x   2 tan 2 x  3 
�
�
��
�
2
3
f
x

2
f

x

tan
x
9 f  x   6 f   x   3tan 2 x  4 
 
�  
�
2
Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có f  x   tan x .
π
4

Khi đó

π
4

�f  x  dx 

tan 2 x dx 
�





π
4

π
4

π
4


� 1
�

1
d
x


2

.
�
�
�
cos 2 x �
2
π�

4

2.5.2 Xác định hàm số f  x  khi biết đẳng thức liên hệ giữa f  x  và f '  x 
Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa f  x  và f '  x  ta có thể biến đổi
theo hai hướng sau:
- Hướng 1: Cô lập f  x  và f '  x  về một vế sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm
hàm f  x  .
- Hướng 2: Nếu không cô lập được f  x  và f '  x  về một vế thì ta biến đổi
đẳng thức liện hệ f  x  và f '  x  sao cho một vế là đạo hàm có dạng tích,
thương của hàm chứa f  x  , sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm f  x  .

14


Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục và đồng biến trên  1;4 thỏa mãn f  1  0 và
4

f  x  dx .
x  2 xf  x   �
�f '  x  �

�, x � 1;4 . Tính tích phân I  �
2

1

2
Nhận xét: Vế trái của đẳng thức x  2 xf  x   �f '  x  �
có nhân tử chung là x nên
�
�

ta đặt x làm thừa số chung rồi cô lập f  x  và f '  x  .

x  2 xf  x   �
2 f  x   1�
�f '  x  �
�� x �
�
� �
�f '  x  �
�
2

Ta có

2

� f ' x   x . 2 f  x   1 �

f ' x 

2 f  x 1

 x .

Lời giải
Vì hàm số f  x  liên tục và đồng biến trên  1;4  nên ta có f  x  �f  1  0 ,
x � 1;4 và f '  x  �0 , x � 1;4 .
�
Do đó x  2 xf  x   �
�f '  x  �
�� f '  x   x . 2 f  x   1
2

f ' x 

2 f  x 1

 x

f ' x 

2 x3
��
dx  �x dx � 2 f  x   1 
C.
3
2 f  x 1
2

�2 x3  1 �
1
�
� 1
Mà f  1  0 nên C  . Do đó
� 3
� .
�
3
f  x  �
2
2
4�
�2 x3  1 � � 1403
1 �
f  x  dx  �
dx 
�
� 1�
Vậy I  �
.
�
� �
�
2
3
90
1
1 �
� �

�
4

15


Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0   1 và f '  x   2 xf  x   2 x.e x , x ��.
2

1

xf  x  dx .
Tính �
0

Nhận xét: Ta không cô lập được f  x  và f '  x  từ đẳng thức
f '  x   2 xf  x   2 x.e x vì vế trái của nó không có thừa số chung. Do đó ta tìm
2

cách giải theo hướng thứ hai:
Ta có f �
 x   2 xf  x   2 x.e x � e x f �
 x   2 xe x f  x   2 x (*), ta thấy vế
2

2

2

.v  u.v�

trái của (*) có dạng u�
.

Lời giải
Ta có f �
 x   2 xf  x   2 x.e x � e x f �
 x   2 xe x f  x   2 x
2





2

2

2
x
� ex f  x   2x � ex f  x   �
2 xdx  x 2  C � f  x    x  C  e
2

'

2

2
x
Mà f  0   1 nên C  1. Do đó f  x    x  1 e

1

1

0

0

xf  x  dx  �
x  x 2  1 e  x dx  1 
Vậy �
2

2

2

3
.
2e

2.5.3 Xác định hàm số f  x  bằng cách tạo ra hàm số dưới dấu tích phân có
dạng bình phương của tổng (hoặc hiệu) sao cho tích phân đó có kết quả bằng
0 (gọi tắt là tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân)
Phương pháp giải: Đối với các bài toán này ta thường gặp ba dạng sau:
b

Dạng 1: Cho

b

f ( x)dx  m , �
g  x  f ( x )dx  n (với g  x  cho trước).
�
2

a

a

b

Tính

f  x  dx .
�
a

16


Với dạng này ta có thể xác định hàm số f  x  bằng cách tạo bình phương cho
b

hàm dưới dấu tích phân dạng

�
�f  x   k .g  x  �
�dx  0 (với k ��) theo các bước
�

2

a

như sau:
b

g 2  x  dx
Bước 1: Tính �
a

b

�
Bước 3: Tìm số thực k sao cho �
�f  x   k .g  x  �
�dx  0
2

a

Từ đó suy ra f  x   k .g  x   0 � f  x    k .g  x  .
b

b

( x )  dx  m , �
g  x  f ( x )dx  n (với g  x  cho trước) .Tính
 f�
Dạng 2: Cho �

2

a

a

b

f  x  dx .
�
a

Với dạng này ta có thể xác định hàm số f  x  bằng cách tạo bình phương cho hàm
b

�
dưới dấu tích phân dạng �
�f '  x   k.g  x  �
�dx  0 (với k ��) theo các bước như
2

a

sau:
b

Bước 1: Biến đổi

g  x  f ( x )dx  n
�

b

làm xuất hiện

a

g  x f �
( x )dx  p
�

bằng cách

a

�
u  g  x
�
dùng phương pháp từng phần: đặt �
dv  f  x  dx
�
b

g 2  x  dx
Bước 2: Tính �
a

17

b

�
Bước 3: Tìm số thực k sao cho �
�f '  x   k .g  x  �
�dx  0
2

a

g  x  dx .
Từ đó suy ra f '  x   k .g  x   0 � f '  x   k .g  x  � f  x   k �
b

Dạng 3: Cho ba tích phân

b

f  x  dx  m , �
g  x  . f  x  dx  n
�
2

a

(với g  x  là biểu

a

b

thức cho trước) ,

f  x  dx  p và yêu cầu tính tích phân từ a đến b của hàm số có
�
a

chứa f  x  .
Với dạng này ta có thể xác định hàm số f  x  bằng cách tạo bình phương cho
b

�
hàm dưới dấu tích phân dạng �
�f  x   k .g  x   l �
�dx  0 (với
2

a

b

k , l ��). Ta tìm hai số thực k , l sao cho �
�
�f  x   k .g  x   l �
�dx  0 . Từ đó suy
2

a

ra f  x   k .g  x   l  0 � f  x   k .g  x   l .

Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa
9
x
3
f  x  dx  và �
sin .f  x  dx  . Tính
mãn f  0   0 . Biết �
2
2
2
0
0
1

1

2

1

f  x  dx .
�
0

1

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 1. Bài toán cho

9

f  x  dx 
�
2
2

và

0

x
3 nên để tính
sin
.
f
x
d
x



�
2
2
0
1

1

f  x  dx
�

ta tìm hàm số

f  x

bằng cách tạo bình

0

18


2

x�
�
f  x   k .sin �dx  0
�
�
2 �
0�
1

phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng

2

x
� x�
��

f  x  dx  2 �
k sin
f  x  dx  �
k sin �dx  0
�
2
2 �
�
0
0
0
1

1

1

2

�

9
3
1
 2 k .  k 2 .  0 � k 2  6 k  9  0 � k  3 .
2
2
2
Lời giải
2

1
1
� x�
sin
Ta có �
 1  cos  x  dx  .
�
�dx  �
2 �
20
2
0�
1

1

2

x
�  x�
f  x  dx  2�
3sin
f  x  dx  �
3sin �dx  0 .
Do đó �
�
2
2 �
�

0
0
0
1

1

1

2

2

 x�
x
�
f  x   3sin �dx  0 . Suy ra f  x   3sin
hay �
.
�
2
2
�
�
0
1

1

x

6
x
6
f  x  dx  �
3sin
dx   cos
 .
Vậy �
2

2 0 
0
0
1

1

Ví dụ 2: ( Đề minh họa của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2018) Cho hàm số
y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  1  0,

1

( x ) dx  7 và
 f�
�
2

0

1

1

1
x f ( x)dx  . Tính tích phân �
f ( x )dx .
�
3
0
0
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2 nên ta giải theo các bước đã nêu trên.
Lời giải
2

 x  dx , dv  x 2dx � v 
- Đặt u  f  x  � du  f �

x3
.
3
19


1

1

1 3
1
x3

x
1
x f ( x)dx  �
Ta có �
f  x  � f �
x  dx 

3
3
3
3
0
0
0
2

1

1 3
1
1
x3
1
x
1
� f  1  � f �
x3 f �
 x  dx  � 0  � f �
 x  dx  � �
 x  dx  1

3
3
3
3
3
0
0
0

1

Ta có

.

 x  dx  17 .
�
3 2

0

1

2

�
- Ta tìm hằng số k sao cho �
( x)  kx3 �
�f �
�dx  0  1

0

1

1

1

1
��
�
f�
k 2 .x 6dx  0 � 7  2k . 1  k 2 .  0
 x �
 x  k .x dx  �
�f �
�dx  2 �
7
0
0
0
2

3

1

�k 7

.Thay

k 7

vào (1) ta có

2

�
( x)  7 x3 �
�
�f �
�dx  0
0

7 x4
� f�
( x)  7 x  0 � f '  x   7 x � f  x   
C .
4
3

3

4
Mà f  1  0 nên C  7 . Do đó f x   7 x  7 .
 
4
4
4
1

1

� 7 x4 7 � 7
f
(
x
)d
x


 �
dx  .
Vậy �
�
�
4
4
� 5
0
0�

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn

1

f ( x)dx  2 .
�
0

1

7
xf ( x)dx  và
Biết �
6
0

1

1

13
3
 f ( x) dx  . Tính tích phân I  �
 f ( x) dx .
�
3
0
0
2

20


1

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 3: đề bài cho ba tích phân

 f ( x)

�

2

dx 

0

1

13
,
3

1

7 và
xf
(
x
)d
x

f ( x )dx  2 nên ta tìm hàm số f  x  bằng cách tạo bình phương
�
�
6
0
0
1

cho hàm số dưới dấu tích phân dạng

 f ( x)  kx  l 
�

2

dx  0

0

1





��
 f ( x)  2kxf ( x)  2lf ( x)  2klx  k 2 x 2  l 2 dx  0
0

2

1

1

1

1

1

0

0

0

0

��
xf ( x)dx  2l �
f ( x)dx  2kl �
xdx  �
 f ( x) dx  2k �
 k 2 x 2  l 2 dx  0
2

0

13
7
k2 2
�  2k .  4l  kl   l  0 � k 2   3l  7  k  3l 2  12l  13  0 .
3
6
3
2

Để có k thì    3l  7   4  3l  12l  13  �0 � 3  l  1 �0 � l  1
2

2

� k  2 .
Từ đó ta có lời giải:
Lời giải
1

Ta có

 f ( x)  2 x  1
�
0



2

1





dx  �
 f ( x)  4 xf ( x )  2 f ( x)  4 x  4 x 2  1 dx
0

2

13
7
7
 4.  4  2   0 � f  x   2 x  1  0 � f ( x)  2 x  1 .
3
6
3
1

1

 2 x  1 dx  10 .
 f ( x) dx  �
Vậy I  �
0

3

3

0

2.6 Dùng kỹ thuật chọn hàm
21


Phương pháp giải: Ta chọn một hàm f  x  thỏa mãn từng đẳng thức dữ kiện của
bài toán theo hướng sau: Đề cho n đẳng thức dữ kiện thì chọn hàm số có n tham

số tương ứng. Chẳng hạn:
Đề cho một đẳng thức thì ta chọn f  x   a , a ��.
Đề cho hai đẳng thức thì ta chọn f  x   ax  b , a, b ��.
2
Đề cho một đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn f  x   ax , a ��.
2
Đề cho hai đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn f  x   ax  b , a, b ��.

Đề cho một đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn f  x   ax , a ��.
3
Đề cho hai đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn f  x   ax  bx , a, b ��.

Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục
trên  4;  � và

5

f
�
0

2



x  4 dx  8 . Tính I  �
x. f  x  dx .
3

5

Nhận xét: Đề cho một đẳng thức

f
�

x  4 dx  8 nên ta chọn f  x   a ,



f
�

x  4 dx  8 .

0
5

a ��. Sau đó ta tìm a thỏa mãn



0

Lời giải
Chọn f  x   a , a ��.
5

f
�

0



5

x  4 dx  8 � �
adx  8 � ax |50  8 � 5a  8 � a 
0

2

8
5

2

8
8
x. f  x  dx  �xdx  4 .
Suy ra f  x   . Vậy I  �
5
5
3
3

22


Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số

y  f  x  có đạo hàm f �
 x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,

2

f  x  dx  3 . Tính
�
0

2

x. f �
 x  dx .
�
0

Nhận xét: Đề cho hai đẳng thức : f  2   3 và

2

f  x  dx  3 nên ta chọn
�
0

f  x   ax  b , a, b ��. Sau đó ta tìm a, b thỏa mãn f  2   3 ,

2

f  x  dx  3 .
�

0

Lời giải

Chọn f  x   ax  b  a, b �� .
Ta có f  2   3 � 2a  b  3 (1)
2

2

�1

f  x  dx  3 � �
 ax  b  dx  3 � � ax
�
�2
0

0

Từ (1) và (2) ta có a  3, b  3 .
Do đó f  x   3x  3 .
2

2

2

0

0

0

2

�
 bx �02  3 � 2a  2b  0 (2)
�

x. f �
x.  3 x  3  'dx  �
3 xdx  6 .
 x  dx  �
Vậy �

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với nội dung và ý tưởng của đề tài này tôi hy vọng SKKN này được phổ biến
rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh và các bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho
học sinh cách tiếp cận những kiến thức mới của môn Toán dựa trên nền tảng kiến
thức cơ bản đã biết.
Kết quả đạt được :
Sau khi đưa vào áp dụng và giảng dạy cho học sinh trong mùa thi THPT Quốc Gia
năm 2018 đã có nhiều em giải được câu tích phân hàm ẩn .

23


Và trong mùa thi sắp tới (năm 2019) các em đã làm được nhiều bài như vậy từ các

để thi thử của các trường THPT, các trường chuyên và các Sở GD & ĐT, các em
cũng đã sẵn sàng cho kì thi cuối cùng này của các em.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn trong quá trình giảng dạy, tìm tòi và đúc
rút kinh nghiệm của bản thân, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh tự
tin hơn trong việc giải một bài toán tích phân hàm ẩn .
3.2 Kiến nghị
Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi xin được kiến nghị đến Sở
GD & ĐT, nhà trường và đồng nghiệp đưa vào ứng dụng và tiếp tục cùng tôi mở
rộng thêm nội dung đề tài này cho rất rất nhiều các nội dung khác của môn Toán
như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ đó tạo được niền
đam mê học Toán cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Tuấn Ngọc

24


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương,
Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008;

2)

Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán
12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội;

3)

Các đề minh họa và đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ giáo dục
và đào tạo;

4)Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường, các Sở giáo dục và đào tạo trên
toàn quốc.

25