CÁC DẠNG BÀI CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 11 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11
Các dạng bài tập chương Dãy số - Cấp số cộng, cấp số nhân
Phương pháp quy nạp toán học
Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học
Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học
Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Dãy số
Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số
Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số
Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải
Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải
Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải
Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Cấp số cộng
Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng
Trắc nghiệm cấp số cộng
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải
Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay


Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải
Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay
Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Cấp số nhân
Dạng 5: Phương pháp giải bài tập Cấp số nhân
Trắc nghiệm cấp số nhân

Dạng 6: Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
Trắc nghiệm điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập trắc nghiệm
60 bài tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân có đáp án chi tiết (phần 1)

Phương pháp quy nạp toán học
Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)=Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥
n0 ,n0 ∈ ¥ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0)
Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0 ,k ∈ ¥, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1).
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2


Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :
Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ ¥.
Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1
⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1.
Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là:

Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là:

Thật vậy:

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1.
Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2
♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức cho đúng với n = 1.
♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là:
1+3+5+⋯+2k-1=k2 (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là:


1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (2)
Thật vậy: VT(2) = 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 =VP(2)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n = 1.

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức:
♦ Với n = 1 ta có đẳng thức cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.
⇒ Đẳng thức cho đúng với n = 1.
♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với =k ≥ 1 , tức là :

Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :

Thật vậy, ta có :

Ta chứng minh:

⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2
⇒ 3 > 1 (luôn đúng)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.


Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số
học và hình học
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có

Lời giải:
Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP
⇒ Đẳng thức cho đúng vớí n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Thật vậy:

⇒ (1) đúng đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1.


Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

Lời giải:
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:
|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I
Lời giải:
Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức cho đúng
Gợi ý:

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức cho đúng.
* Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)
Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1,tức là :
|sin(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2)
Thật vậy:
|sin(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤
k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα|
Vậy đẳng thức cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số

nguyên dương n.


Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7 n+3n-1 luôn chia hết
cho 9
Lời giải:
* Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9
* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9
Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)
Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9
Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º.
Lời giải:
* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º
* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề
cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa
giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1,
hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai
đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+nk-1)180º=(n-2)180º.
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..
Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học
Bài 1: Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong
số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy.
Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau
đây có thể xảy ra?
A. Mạnh thu được 122 mảnh


B. Mạnh thu được 123 mảnh

C. Mạnh thu được 120 mảnh
D. Mạnh thu được 121 mảnh
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do
đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S n = 6n + 1. Ta
chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7
Công thức đúng với n = 1
Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1
Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k
bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay
vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k)
-1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1
Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈ N*. Theo công thức trên chỉ có phương án
D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1
Đáp án D
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng:
A. 48

B. 60

C. 58

D. 10

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Đáp án C

Bài 3: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:


A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1
B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1
C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Hướng dẫn giải. un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Đáp án là D
Bài 4: Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?
A. Đúng
B. Sai
C. Không đúng không sai
D. Vừa đúng vừa sai
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
Bài 5: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n,
có kết luận gì về T(n,x) = xn + 1/xn .
A. T(n,x) là số vô tỉ
B. T(n,x) là số không nguyên
C. T(n,x) là số nguyên
D. Các kết luận trên đều sai


Hiển thị đáp án
Đáp án: C

Ta có

Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên
Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, ta có:
Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1
Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh
T(n+1,x) cũng là số nguyên
Ta có:

Theo giả thuyết quy nạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên
T(n+1,x) là số nguyên
Bài 6: Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:
Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:
A. 6

B. 4

C. 9

D. 12

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Dễ dàng tìm được đáp án n = 6


Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự
nhiên n > p ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n =
k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. k > p

B. k chia hết cho π

C. k = p

D. k < p

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Chọn B.
Bài 8: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n)
đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p
- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng
minh rằng nó cũng đúng với n = k+1
Trong hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng.

B. Chỉ có bước 2 đúng.
D. Cả hai bước đều sai.

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Chọn C.
Bài 9: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8 n+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ ¥" (*)
như sau:
- Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7
- Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra
được 8k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥

Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7.
Chọn D.
Bài 10: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự
nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy
nạp, bắt đầu với n bằng:
A. n = 1

B. n = p

C. n > p

D. n ≥ p

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Chọn B.
Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải
A. Phương pháp giải
Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥
m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m.

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ
chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên
n≥m
B. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... +
n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)
Hướng dẫn giải:
+ Với n = 1 ta có:
Vế trái = 1. 4= 4.
Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4.
=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:
1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)
Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên
1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)
= k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4
= k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2
Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Hướng dẫn giải:
+ Với n = 1:


Vế trái

Vế phải
=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy


Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi u n = 9n − 1. Chứng minh rằng với mọi
số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải:
+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).
+ Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*
Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8.
* Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8.
Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8
=> uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3
(*)
Hướng dẫn giải:
+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7


=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2
+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2 > 2(k+1)+3
* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:
2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3
Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:
* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1)
Vậy (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:


* Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 =

+ (2k+1)2 (thế (2) vào).

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.
Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*)
Hướng dẫn giải:
* Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 5.
* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2 k+1 >
(k+1)2

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:
2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2
⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.


Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Hướng dẫn giải:
* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1)
Suy ra (1) đúng với n= 1.
* Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có:
1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)=

(2)

*Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=
Thật vậy:
1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.


Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n2(n+1) (1)

Hướng dẫn giải:
* Với n = 1:
Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.
Suy ra (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2)
Thật vậy:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2)
= (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm).
Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.
Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3
Hướng dẫn giải:
Đặt un = n3 − n
* Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3.
Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3.


* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k
⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k)
Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n 3 − 3n2 + n chia
hết cho 6.
Hướng dẫn giải:
* Đặt un = 2n3 − 3n2 + n

*Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6.
* Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1
⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2
Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.
Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải:
* Đặt un = 13n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).


Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 .
* Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12
Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.
Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*)
Hướng dẫn giải:
* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 3.
* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:
3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5
* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15
⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2)
Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5
Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) =
Hiển thị đáp án

(1)


*Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của
Suy ra (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) =

(2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.
Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:
H

iển thị đáp án
*Với n = 2:


Vế trái của

, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 2.
* Giả sử (1) đúng với n= k.
Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng
minh:

Thật
có:

vậy

ta

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n ≥ 2 .
Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:
Hiển thị đáp án


* Với n = 1:
Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)= 2√1 = 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n = k; k ≥ 1
Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy:

Vì:
⇔ 2√(k(k+1) ) + 1 < 2(k+1)
⇔ 2√(k2 + k) < 2k+1 ⇔ 4(k2 + k) < (2k + 1)2
⇔ 4k2 + 4k < 4k2 + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với mọi số nguyên
dương k.
Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.
Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:


Hiển thị đáp án

*Với n = 1: Vế trái của

, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1.
*Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số
nguyên dương n.
Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

* Với n = 1: Vế trái của

, vế phải của

.