(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp KrasnoselskiiMann cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC MAI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019


▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉

✶

▼ð ✤➛✉

✷

✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✺
✶✳✶

✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳

✺
✺
✻

✳ ✾
✳ ✶✵
✳ ✶✵
✳ ✶✶

✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✹
✷✳✶

✷✳✷

✷✳✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✷✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❍ë✐ tö ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❍ë✐ tö ♠↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✸✳✶ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ❉♦✉❣❧❛s✕❘❛❝❤❢♦r❞ ✳
✷✳✸✳✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧✉➙♥ ♣❤✐➯♥ ❏♦❤♥ ✈♦♥
◆❡✉♠❛♥♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✐

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✶✹
✶✺
✶✺
✶✾
✷✵
✷✺
✸✵
✸✵

✳ ✸✷


✐✐

❑➳t ❧✉➟♥

✸✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✻


ỵ
H
R
R+
N
x
A1
I
C[a, b]
d(x, C)
lim supn xn
lim inf n xn
xn x0
xn
x0
(T )

ổ rt tỹ
t số tỹ
t số tỹ ổ
t số tỹ
ợ ồ x
t tỷ ữủ ừ t tỷ A

t tỷ ỗ t
t tử tr [a, b]
tứ tỷ x t ủ C
ợ tr ừ số {xn }
ợ ữợ ừ số {xn }
{xn } ở tử x0
{xn } ở tử x0
t t ở ừ T





t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
tr ổ rt ổ ởt trữớ ủ
r ừ t ỗ ởt tỷ tở rộ
ừ ởt ồ ỳ ổ t ỗ õ {Ci }iI ừ ổ
rt H ổ E ợ I t số t
õ ự ử tr ỹ ữ ỷ ổ ử
t t ỵ ồ
Ci = (Ti ) t t ở ừ ổ Ti ợ
i = 1, 2, . . . , N õ ữỡ ữủ t t t ở
ừ ồ ổ {Ti }N
i=1 ỹ tr ữỡ
ờ ờ t ữ ữỡ ữỡ r
ữỡ s ữỡ rss t
rở ữỡ ợ t q
t t út ữủ sỹ q t ự ừ t ồ tr
ữợ
ữợ sỹ ữợ ừ r ỵ tổ ồ t ữỡ

rsss ổ tr ổ
rt ử t s ừ ử t ừ
tr ởt số ữỡ t ở ừ
ổ tr ổ rt tỹ H tr ỡ s ữỡ
rsss ữỡ ở ữủ tr
tr ữỡ ử t ữ s

ữỡ t t ở ừ ổ tr
ổ rt
ữỡ tr ởt số t t ỡ ừ ổ rt
tỹ H tr ổ ỡ tr





tr ổ rt ũ ởt số t t ợ t t
t ở ởt số ữỡ ờ t t ở ừ
ổ tr ổ rt tỹ H

ữỡ Pữỡ rsss ổ
tr ổ rt
ữỡ tr ữỡ rsss t
ở ổ tr ổ rt r ự
ỵ sỹ ở ở tử ừ ữỡ ũ ởt số
ồ t r ừ ữỡ ởt ự ử ừ ữỡ
rsss ố ợ ữỡ t sr
ụ ữủ tr tr
ữỡ
r q tr ồ t ự t trữớ ồ ồ

ồ ổ ữủ sỹ q t ú ù ở
ừ t ổ tr ỏ t
ợ ố ữủ õ ởt ọ ổ sự ừ
ỳ t sỹ ỳ ỵ
t ồ ố rt ụ ởt ỡ ở ỷ ớ tr
tợ t t t ổ ừ trữớ ồ ồ ồ
õ õ r tr tử
tự ồ qỵ tr tớ ữủ ồ
ừ trữớ
t ỡ trữớ
r P ũ t t ỗ t
tốt t t tr tớ ồ ồ ỡ
ồ ợ ồ ỗ tr ờ
ở t tr q tr ồ t t
trữớ ồ ồ ồ
t ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ t r
ỵ ổ q t ở ú ù t
t õ ỵ s s tr sốt q tr ồ t ụ ữ tỹ
t ữớ ứ q s ỳ ợ ỵ
ố ợ ồ ợ õ ợ t


✹

♥â✐ r✐➯♥❣✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ②➯✉ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱
✤ç♥❣ ❤➔♥❤ ❝ò♥❣ ❡♠ tr➯♥ ❝❤➦♥❣ ✤÷í♥❣ ✈ø❛ q✉❛✳ ▼ët ❧➛♥ ♥ú❛✱ ❡♠ ①✐♥ tr➙♥
trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✷✷ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❍å❝ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ▼❛✐


❈❤÷ì♥❣ ✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ò♥❣ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝
tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✺❪✱ ❬✽❪ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ✤â✳

✶✳✶

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ., . ✈➔ ❝❤✉➞♥
. ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H ✳ ❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ xn
x
♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ✈➔ xn → x ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✤➳♥ x✳

✶✳✶✳✶

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
t❤ü❝ H ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❉➣② {xn } tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐
tö ②➳✉ ✈➲ ♣❤➛♥ tû x ∈ H ✱ ♥➳✉

lim xn , y = x, y ,

n→∞

∀y ∈ H.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✷✳ ❚ø t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✱ s✉② r❛ ♥➳✉ xn → x✱
t❤➻ xn

x✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳
✺




t ổ rt

2

|xn |2 <

l := {xn } R :
n=1

sỷ {en } l2 ữủ en = (0, . . . , 0,
ợ ồ n 1 õ en

tự ss t õ

1

, 0, . . . , 0, . . . ),

tr tự

0 n t ợ ộ y H tứ t


| en , y |2 < y

2

< .

n=1

r limn en , y = 0 tự en
0 en = 1 ợ ồ n 1

0 {en } ổ ở tử

ởt số t t ừ ổ rt tỹ H ữủ tr tr ờ
ữợ

ờ

H ổ rt tỹ õ

(i) x + y

2

x

2

+ 2 x + y, y

(ii) x + y

2

= x

2

+ y

2

+ 2 x, y

(iii) tx + (1 t)y 2 = t x
ồ x, y H

2

+ (1 t) y

x, y H.

ợ ồ x, y H
2

t(1 t) x y

2

ợ ồ t [0, 1]

ồ tr ổ rt
ự ởt ở tử

ờ


P tr tr ổ rt

C ởt t ỗ õ rộ tr
ổ rt tỹ H õ ợ ộ x H tỗ t t tỷ
Pc x C s
x PC x x y
ợ ồ y C.

ự t t d = uC
inf x u õ tỗ t {un } C

s x un d n ứ õ

un um

2

= (x un ) (x um )

2


✼

= 2 x − un

2

≤ 2( x − un

+ 2 x − um
2

+ x − um

un + um
2
2
2
) − 4d → 0,

2

2

−4 x−

❦❤✐ n, m → ∞. ❉♦ ✤â ❞➣② {un } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
t❤ü❝ H ✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ u = lim un ∈ C ✳ ❉♦ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥
n→∞

x − u = d✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ v ∈ C s❛♦ ❝❤♦ x − v = d✳ ❚❛ ❝â
u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2

+ x − v 2) − 4 x −

u+v
2

2

≤ 0.

❙✉② r❛ u = v ✳ ❱➟② tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤➛♥ tû PC x ∈ C s❛♦ ❝❤♦

x − PC x = inf x − u .
u∈C

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ P❤➨♣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ H ♠ët
♣❤➛♥ tû PC x ∈ C ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ ✭✶✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ❝❤✐➳✉ H
❧➯♥ C ✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ✈➼ ❞ö ✈➲ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼✳ ❈❤♦ C = {x ∈ H :

x, u = y} ✈î✐ u = 0✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉

♠➯tr✐❝ ❧➯♥ C ❝❤♦ ❜ð✐

PC (x) = x +

y − x, u
u.
u 2

▼➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ →♥❤ ①↕ PC : H → C
❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✳

❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ →♥❤ ①↕ PC : H → C ❧➔
♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ❝❤✐➳✉ H ❧➯♥ C ❧➔
x − PC x, PC x − y
0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H ✈➔ y ∈ C.

✭✶✳✷✮
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H, y ∈ C
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ✭①❡♠ ❬✸❪✮

✈➔ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ t❛ ❝â

ty + (1 − t)PC x ∈ C.


✽

❉♦ ✤â✱ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✱ s✉② r❛

x − PC x

2

2

≤ x − ty − (1 − t)PC x

∀t ∈ (0, 1).

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

x − PC x

2

≤ x − PC x

2

− 2t x − PC x, y − PC x + t2 y − PC x 2 ,

✈î✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✳ ❚ø ✤â✱

x − PC x, PC x − y

−

t
y − PC x
2

2

∀t ∈ (0, 1).

❈❤♦ t → 0+ ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

x − PC x, PC x − y

0.

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû

0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H ✈➔ y ∈ C.

x − PC x, PC x − y

❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ H ✈➔ y ∈ C ✱ t❛ ❝â

x − PC x

2

= x − PC x, x − y + y − PC x
= x − PC x, y − PC x + x − PC x, x − y
≤ x−y

2

+ y − PC x, x − PC x + PC x − y

= x−y

2

+ y − PC x, x − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
❙✉② r❛ PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø H ❧➯♥ C ✳

❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt H ✈➔ PC ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø H ❧➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ H ✱
t❛ ❝â

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✾✳ ✭①❡♠ ❬✸❪✮

PC x − PC y

2

≤ x − y, PC x − PC y .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ ♠å✐ x, y ∈ H ✱ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✱ t❛ ❝â
x − PC x, PC y − PC x ≤ 0,
y − PC y, PC x − PC y ≤ 0.
❈ë♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳






ổ ỡ tr ổ
rt

C ởt t rộ ừ ổ
rt tỹ H

(i) T : C H ữủ ồ L tử st tr C
tỗ t số L > 0 s
T (x) T (y) L x y

x, y C.

(ii) r L [0, 1) t T ữủ ồ L = 1 t T
ữủ ồ ổ
t tỷ ỡ

C ởt t ỗ õ rộ
tr ổ rt tỹ H tỷ A : C H ữủ ồ

(i) ỡ tr C A(x) A(y), x y
0 x, y C
ỡ t tr C ừ t tự tr r
x = y
(ii) ỡ tr C tỗ t ởt ổ (t) ổ
ợ t 0 (0) = 0 tọ t t
A(x) A(y), x y

xy

x, y C;

(t) = t2 số ữỡ t A ữủ ồ t tỷ ỡ
tr C ỡ tr C

(iii) ỡ ữủ tr C ợ số > 0 ỡ
ữủ tr C)
A(x) A(y), x y

A(x) A(y)

2

x, y C.

t tỷ ỡ ữủ tr tr
ỏ ữủ ổ t ỹ tr ỗ t ữ s

tỷ tr A : H 2H ữủ ồ ỡ


u v, x y

0 x, y H, u A(x), v A(y).




tỷ A : H 2H ữủ ồ ỡ ỹ ỗ t
r(A) := {(x, u) H ì H : u Ax}
ừ A ổ ự tỹ sỹ tr ỗ t ừ t ý ởt t tỷ ỡ
tr H

ú ỵ tỷ A ỡ ỹ ợ (x, u)
H ì H u v, x y 0 ợ (y, v) r(A) s r u A(x)
A t tỷ ỡ L tử st tứ C H
NC x õ t tứ C t x C

NC x =

y H : y, x u 0, u C

x C;
ữủ

ỵ

Bx =

Ax + NC x,



xC

,



x
/ C.

õ B t tỷ ỡ ỹ

sỷ A t tỷ ỡ ỹ õ (t1
n A) ở
tử ỗ t NA (0) tn 0 ợ A1(0) = .
(ii) {Bn } t tỷ ỡ ỹ ở tử ỗ t B A
t tỷ st ỡ ỹ t (A + Bn) ở tử ỗ t A + B
A + B t tỷ ỡ ỹ

ờ (i)

1




t t ở ừ ổ
t t ở

r ử t t t t ở tr ổ rt
tỹ H

C t rộ ừ H T : C C
x C ữủ ồ t ở ừ T T x = x.
ỵ t t ở ừ T (T )
(T ) := x C :

Tx = x .




C ởt t ỗ õ rộ ừ ổ
rt tỹ H T : C H ởt ổ õ
Fix(T ) ởt t ỗ õ tr H
ự sỷ (T ) = rữợ t t r Fix(T ) t õ


t T ổ T tử tr C sỷ {xn } ởt

t ý tr Fix(T ) tọ xn x n {xn } Fix(T )

T xn xn = 0 n 1.
ứ t tử ừ n t ữủ T x x = 0 tự
x Fix(T ) õ Fix(T ) t õ
t t r t ỗ ừ Fix(T ) sỷ Fix(T ) = sỷ
x, y Fix(T ) ợ [0, 1] t z = x + (1 )y õ

Tz z

2

= (T z x) + (1 )(T z y)
= Tz x

2

= Tz Tx
zx

2

2

+ (1 )(T z y)
2

2

(1 ) x y

+ (1 ) (T z T y)

+ (1 ) (z y)

= (z x) + (1 )(z y)

2

2

2

2

(1 ) x y

(1 ) x y

2

2

= 0.

r T z = z õ z Fix(T ) Fix(T ) ởt t ỗ

t t ở ừ ổ ữủ t ữ s
T : C C ổ tứ t ỗ õ rộ C ừ
ổ rt tỹ H õ ợ (T ) =

tỷ



x (T ).



ởt số ữỡ t ở ừ ổ


Pữỡ
ự t ữỡ

xn+1 = n xn + (1 n )T (xn ), x1 C,

n

1.






ự ữủ r {n } ữủ ồ tọ

n (1 n ) =
n=1

t {xn } s ở tử ởt t ở ừ
T T : C C ởt ổ tứ t C ỗ õ
rộ ừ ổ rt H õ ú ỵ r tr trữớ
ủ H ởt ổ rt ổ t ở tử
ổ ở tử r trữớ ủ n = (0, 1) ợ ồ n t
ữỡ tr t ữỡ rss

Pữỡ r
Pữỡ ừ r ữủ t

xn+1 = n u + (1 n )T (xn ),

n

0,



tr õ u, x0 C T ởt ổ tứ t ỗ õ C ừ
ổ rt H C ự n = n , (0, 1)
t {xn } s ở tử ởt t ở ừ
T
P s ự sỹ ở tử ừ {xn }
ởt t ở ừ T tr ổ rt số {n } tọ
s

(C1)

lim n = 0,

n


(C2)

n = +,
n=1

(C3)

|n+1 n |
= 0.
2
n
n+1
lim

ợ t q ừ r s t t n =
trứ

1
n+1


✶✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ✤÷ñ❝ ✤➲ ①✉➜t ❜ð✐ ❙✳ ■s❤✐❦❛✇❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✼✹✳
❱î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ♥➔② t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐



x0 ∈ C,
✭✶✳✼✮
yn = βn xn + (1 − βn )T (xn ),


x
= α u + (1 − α )T (y ), n 1
n+1

n

n

n

tr♦♥❣ ✤â {αn } ✈➔ {βn } ❧➔ ❝→❝ ❞➣② sè t❤ü❝ tr♦♥❣ ✤♦↕♥ [0, 1]✳

❈❤ó þ ✶✳✷✳✸✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ βn = 1 ✈î✐ ♠å✐ n t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣
■s❤✐❦❛✇❛ ✭✶✳✼✮ trð t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥ ✭✶✳✺✮✳


❈❤÷ì♥❣ ✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣
❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕

❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ▼ö❝ ✷✳✶ tr➻♥❤
❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ▼ö❝ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➔ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ s✉② rë♥❣✳ ▼ö❝ ✷✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥
❝ì sð tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✹❪ ✈➔ ❬✻❪✳

✷✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥

▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✕▼❛♥♥✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✱ ①✉➜t ♣❤→t tø x1 ∈
H t❛ ①➨t ❞➣② ❧➦♣ ♥❤÷ s❛✉

xn+1 = (1 − λn )xn + λn T xn

∀n = 1, 2, . . .

✭✷✳✶✮

✈î✐ λn ∈ [0, 1]✳ ❑➳t q✉↔ ✈➲ sü ❤ë✐ tö tê♥❣ q✉→t ♥❤➜t ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❘❡✐❝❤
✭✶✾✼✾✮ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t ❋✐①(T ) ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ λn ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦
∞

λn (1 − λn ) = ∞,
n=1

✶✹

✭✷✳✷✮




õ {xn } ở tử t ở ừ T T : C C
ổ ợ C H t ỗ õ rộ
ỹ ở tử ừ ữỡ rsss ổ ú
tr trữớ ủ tờ qt



t ữỡ

r ử t tr ởt t q ừ tr
ữỡ rsss t t ở ừ ổ
T tữỡ ự ợ ổ P t t r ữ s


x (T ) s

0 x (T ),

x P (
x), x x

0 (I P )
x + N(T ) x tr õ (T ) = {
x D; x = T (
x)}
t t ở ừ ổ T : D D D t
ỗ õ ừ ổ rt H.
rở ữỡ rsss t t

xn+1 = (1 n )xn + n (n P xn + (1 n )T xn ),

ợ n 0,



x0 D {n } {n } (0, 1).



ỹ ở tử

t T : D D ổ tr D t
A = I T ởt t tỷ ỡ ỹ tr D ỗ tớ t tỷ
1/2ỡ ữủ I ỗ t ừ ổ
rt tỹ H
ỡ ỳ T ỷ õ tr D t {xn } ở tử
x tr D {xn T xn } ở tử 0 t x t ở
ừ T

ờ t ữủ tr tr õ {an }

số tự ổ tọ
an+1

tr õ

(1 n )an + n n + n ,

n 1.





(a) {n } [0, 1],

n = ;
n=1

(b) lim sup n

0;

n


(c) n 0 (n 1),

n < .
n=1

õ n 0

n .

ờ t ữủ tr tr õ
{n }

số tỹ ổ tọ


n < , n+1

n + n

sỷ {n}

ợ ồ n = 0, 1, . . . .

n=0

õ {n} ở tử
ỹ ở tử ừ ữỡ ữủ tr tr ỵ s

{xn} ổ tự ở tử tợ
t ở ừ ổ T : D D ợ số {n}
{n } tọ
ỵ

+

(i)

n < +



n=0
+

(ii)

n (1 n ) = +

n=0

r {xn} t q tự
lim ||xn+1 xn || = 0.

n+

||xn+1 xn ||
= 0 t {xn } ở tử
ỡ ỳ t n+
lim
n n
tợ ừ t
ự x T t T = nP + (1 n)T ứ ổ tự
n

t õ

||xn+1 x||

(1 n )||xn x|| + n ||Tn xn T x||
||xn x|| + n ||Tn (
x) T x||


✶✼

= ||xn − x¯|| + αn σn ||P (¯
x) − T x¯||.
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✸ ✈➔

∞

αn σn < +∞,
n=0

t❛ ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥
✭✷✳✺✮

l(¯
x) = lim ||xn − x¯||
n→+∞

tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❱➟② ❞➣② {xn } ❜à ❝❤➦♥✳
✣➦t x
¯n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn ✈➔ G = I − T ✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

||xn+1 − x¯n+1 || = αn ||Tσn xn − T xn || = αn σn ||T xn − P xn ||.
▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ G ❧➔ 1/2✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷ñ❝✱ ♥➯♥ t❛ ❝â

||¯
xn+1 − x¯||2 = ||xn − x¯ − αn Gxn ||2
= ||xn − x¯||2 − 2 xn − x¯, Gxn − G¯
x + αn2 ||Gxn ||2
= ||xn − x¯||2 − αn (1 − αn )||Gxn ||2 .
❱➻ ❞➣② {xn } ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ sè M > 0 s❛♦ ❝❤♦

||T xn − P xn ||

∀n ∈ N

M

✈➔ t❛ ✤÷ñ❝

αn (1 − αn )||Gn (xn )||2

||xn − x¯||2 − ||¯
xn+1 − x¯||2
= ||xn − x¯||2 − ||¯
xn+1 − xn+1 + xn+1 − x¯||2
||xn − x¯||2 − ||xn+1 − x¯||2
− 2 x¯n+1 − xn+1 , xn+1 − x¯
||xn − x¯||2 − ||xn+1 − x¯||2 + 2M αn σn .

❚ø ✤➙② s✉② r❛

∞

∞
2

αn (1 − αn )||Gxn ||

2

||x0 − x¯|| + 2M

n=0

αn σn < +∞.
n=0

∞

❱➻

αn (1 − αn ) = +∞, t❛ s✉② r❛
n=0

lim inf ||Gxn || = lim inf ||xn − Tn || = 0.
n→+∞

n→+∞


✶✽

▼➦t ❦❤→❝ ✈î✐ ♠å✐ n t❛ ❝â

T xn+1 − xn+1 = T xn+1 − Tσn xn + (1 − αn )(Tσn xn − xn )
♥➯♥

||xn+1 − Tn+1 || = ||T xn+1 − T xn + T xn − Tσn xn + (1 − αn )(Tσn xn − xn )||
||xn+1 − xn || + ||T xn − Tσn xn || + (1 − αn )||Tσn xn − xn ||
||Tσn xn − xn || + ||T xn − Tσn xn ||
||xn − T xn || + 2M σn .
❉♦

σn < +∞✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✸ t❛ ❝â ❞➣② {xn − T xn } ❤ë✐ tö ✈➔ ✈➻ ✈➟②
n

lim ||xn − T xn || = 0.

n→+∞

❱➻ ❞➣② {xn } ❜à ❝❤➦♥✱ s✉② r❛ tç♥ t↕✐ ✤✐➸♠ tö ②➳✉ x
¯✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝â ❞➣② ❝♦♥ {xnk }
❝õ❛ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x
¯. ❱➻ →♥❤ ①↕ T ❧➔ ♥û❛ ✤â♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â x¯ ∈ ❋✐①T ✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻

||xn+1 − xn || = αn ||Tσn xn − xn ||

αn σn ||P xn − T xn || + αn ||xn − T xn ||,

♥➯♥ ❞➣② (xn ) t✐➺♠ ❝➟♥ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

lim ||xn+1 − xn || = 0.

n→+∞

P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ x
¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✸✮✳ ❚❤➟t ✈➟②
tø ✭✷✳✹✮ t❛ ❝â

xn+1 − xn = αn (σn (P xn − xn ) + (1 − σn )(T xn − xn )),
♥❣❤➽❛ ❧➔

1
(xn − xn+1 ) =
α n σn

(I − P ) +

1 − σn
(I − T ) xn .
σn

✭✷✳✻✮

1 − σn
(I − T ) ❤ë✐ tö tî✐ N❋✐①(T ) ❝ô♥❣
σn
1 − σn
t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✹ t❤➻ (I − P ) +
(I − T ) ❤ë✐ tö tî✐ (I − P ) + N❋✐①(T ) .

σn
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❤❛② n ❜ð✐ nk q✉❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ ❦❤✐ k → ∞
1
||xn+1 − xn || → 0 ✈➔ (I − P ) + NF ix(T ) ✤â♥❣ ②➳✉✱ t❛ s✉② r❛
✈➔
αn σn
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✹ t❤➻ ❞➣② t♦→♥ tû

0 ∈ (I − P )¯
x + N❋✐①(T ) x¯.




r x
t ớ ự tỗ t ổ q
ởt tử tứ ợ sỷ x tử ừ
{xn } t s ự x = x. ứ

||xn x ||2 = ||xn x||2 + ||
x x ||2 + 2 xn x, x x ,



t t r ợ ừ { xn x
, x x } tỗ t 0
x
tử ừ {xn } ợ

l(x ) = l(

x) + ||
x x ||2 .
trỏ ừ x x
t ụ õ

l(
x) = l(x ) + ||
x x ||2 .
s r x = x
õ ự
t q t t ữủ r r t ở tử
t t q ừ rsss

D t ỗ õ rộ
ừ ổ rt H sỷ P, T : D D ổ
tọ F ix(T ) = t {xn} ữ tr t
{n } {n } số tỹ tr (0, 1) tọ
ỵ



+

n < +



n=0

n

lim

xn+1 xn
= 0
n n

õ õ s
{xn} ở tử tợ t ở ừ T
{xn} t q tự n
lim xn+1 xn


= 0

Pữỡ rsss s rở

r ử t t ữỡ t rsss s
rở ừ tr




ữ ử trữợ sỹ ở tử ừ ữỡ
rsss ổ ú tr trữớ ủ tờ qt
tỗ t ởt số t sỹ ở tử ừ ữỡ
rsss ởt tr õ


xn+1 := n xn + n T xn + n u,

tr õ T : H C ổ C H rộ õ ỗ
{n } {n } {n } [0, 1] ữủ ồ s n + n + n = 1 u
tỷ trữợ tr C
tts ự sỹ ở tử ừ

xn+1 := (1 n )xn + n (T xn + en ),



x1 H,

ồ ữỡ t rsss ợ en s số
ừ T xn tts ự sỹ ở tử ừ {xn } ợ tt
(T ) rộ n (0, 1) tọ t


n ||en || < .
n=1



ở tử

r ử t t {xn+1 } ữủ ổ tự

xn+1 := n xn + n T xn + rn ,

x1 H, n 1,

ỗ tớ tr sỹ ở tử ừ ữỡ

K ởt t ỗ õ rộ ừ
ổ rt tỹ H T : H K ổ tt
(T ) rộ t {xn } H tr õ rn tỡ
ữ sỷ {n} {n} [0, 1] tọ n + n 1 ợ ồ n 1
tọ s
ỵ



n n = ;

(a)
n=1


||rn || < ;

(b)
n=1





(1 n n ) < .

(c)

n=1

õ {xn} ở tử t ở ừ
T
ự ự ỵ ỗ ữợ
ữợ ự tỗ t ợ limn ||xn x || ợ t ý

x (T ) t ồ x (T ) õ tứ t ổ
ừ T t õ
||xn+1 x || = ||n (xn x ) + n (T xn x ) + rn (1 n n )x ||
n ||xn x || + n ||T xn x || + ||rn (1 n n )x ||
(n + n )||xn x || + ||rn (1 n n )x ||
(n + n )||xn x || + (1 n n )||rn x ||
+ (n + n )||rn ||
||xn x || + (1 n n )M + ||rn ||,
ợ M > 0 tỗ t t (b) ử ờ
(b) (c) ừ ỵ t s r lim ||xn x || tỗ t r {xn }
n



ữợ ự lim inf ||xn T xn || = 0. ỷ ử ờ t õ
n

ợ t ý x (T ) t


||xn+1 x ||2 = ||n (xn x ) + n (T xn x ) + rn (1 n n )x ||2
||n (xn x ) + n (T xn x )||2
+ 2 rn (1 n n )x , xn+1 x

= n (n + n )||xn x ||2
+ n (n + n )||T xn x ||2 n n ||xn T xn ||2
+ 2 rn (1 n n )x , xn+1 x
(n + n )2 ||xn x ||2 n n ||xn T xn ||2
+ 2 rn (1 n n )x , xn+1 x
||xn x ||2 n n ||xn T xn ||2
+ 2 rn (1 n n )x , xn+1 x
= ||xn x ||2 n n ||xn T xn ||2