Vi phân, đạo hàm cấp cao ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề: Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa của đạo hàm
(đại số 11)
Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số
Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
Dạng 3: Ý nghĩa của đạo hàm
40 bài tập trắc nghiệm Vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm có đáp
án chi tiết
Cách tìm vi phân của hàm số
Đạo hàm cấp cao của hàm số
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa của đạo hàm
Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Cho hàm có y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử Δx là
số gia của x sao cho x + Δx ∈ (a; b)
Tích f '(x)Δx(hay y 'Δx) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x, ứng với số gia
Δx, kí hiệu là df(x) hay dy
Chú ý. Vì dx = Δx nên:
dy = df(x) = f '(x)dx
Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng


Với |Δx| đủ nhỏ, ta có
hay Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f '(x0)Δx
Do đó f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f '(x0)Δx ≈ f(x0) + df(x0)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = sinx – 3cosx. Tính vi phân của hàm số.
Hướng dẫn:
Ta có dy = (sinx – 3cosx)’dx = (cosx + 3sinx)dx

Bài 2: Cho hàm số

. Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:
Ta có

Bài 3: Xét hàm số y =
Hướng dẫn:
Ta có :

Tính vi phân của hàm số đó.


Bài 4: Cho hàm số y = x3 - 5x + 6. Tính vi phân của hàm số đó.
Hướng dẫn:
Ta có
dy =(x3-5x+6)'dx = (3x2-5)dx
Bài 5: Cho hàm số y = 1/(3x3). Tính vi phân của hàm số đó
Hướng dẫn:
Ta có

Bài 6: Cho hàm số

.Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:
Ta có

Bài 7: Cho hàm số

Hướng dẫn:
Ta có

. Tính vi phân của hàm số đó


B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm vi phân của hàm số y = xsinx + cosx
A. dy = xcosxdx
B. dy = xcosx
C. dy = (2sinx + xcosx)dx
D. dy = (sinx+cosx)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Đáp án là A
y’ = sinx + xcosx – sinx = xcosx
do đó dy = xcosxdx
Bài 2: Tìm vi phân của hàm số


Hiển thị đáp án
Đáp án: C

Chọn đáp án C
Bài 3: Cho hàm số f(x) = x2 - x + 2. Tính Δf(1) và df(1)nếu Δx = 0,1
A. Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,2
B. Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,1
C. Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,11
D. Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,1
Hiển thị đáp án

Đáp án: B
Ta có: Δf(1) = f(1+ 0.1) - f(1) = 0.11 và df(1) = f '(1).Δx = 0.1
Đáp án B
Bài 4: Tìm vi phân của hàm số y = (2x+1)5
A. dy = 10(2x+1)4
B. dy = 5(2x+1)4 dx
C. dy = (2x+1)4 dx
D. dy = 10(2x+1)4 dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: dy = f '(x)dx = 5(2x+1)4.2dx = 10(2x+1)4dx
Đáp án A
Bài 5: Tìm vi phân của hàm số y = cos3(1-x)
A. dy = -sin2(1-x)dx
B. dy = 3cos2(1-x).sin(1-x)dx
C. dy = -3cos2(1-x)sin(1-x)dx
D. dy = 3cos2(1-x)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: dy = f '(x)dx = 3cos2(1-x)(cos(1-x))' dx


= -3cos2(1-x)sin(1-x) (1-x)' dx
= 3cos2(1-x)sin(1-x)dx
Đáp án A
Bài 6: Tìm vi phân của hàm số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C
Ta có:

Bài 7: Tính vi phân của hàm số y = sin3(2x+1)
A. dy = 3sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
B. dy = -6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
C. dy = 6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
D. dy = 3sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
Hiển thị đáp án


Đáp án: C
Đáp án C
Ta có: dy = f '(x)dx = 6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
Bài 8: Cho hàm số y = f(x) = (x-1) 2. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số
f(x)?
A. dy = 2(x – 1)dx
B. dy = (x-1)2 dx
C. dy = 2(x – 1)
D. dy = (2x – 1)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Chọn A.
Ta có dy = f '(x)dx = 2(x-1)dx
Bài 9: Tìm vi phân của các hàm số y = x3 + 2x2
A. dy = (3x2-4x)dx
B. dy = (3x2+x)dx
C. dy = (3x2+2x)dx
D. dy = (3x2+4x)dx
Hiển thị đáp án

Đáp án: D
Chọn D


dy = (3x2 + 4x)dx
Bài 10: Tìm vi phân của các hàm số

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Chọn D

Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 9x2 + 12x - 5. Vi phân của hàm số là:
A. dy = (3x2-18x+12)dx
B. dy = (-3x2-18x+12)dx
C. dy = -(3x2-18x+12)dx
D. dy = (-3x2+18x-12)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Chọn A
Ta có
dy = (x3-9x2+12x-5)'dx = (3x2-18x+12)dx
Bài 12: Tìm vi phân của các hàm số y = (3x+1)10


A. dy = 10(3x+1)9 dx
B. dy = 30(3x+1)10 dx
C. dy = 9(3x+1)10 dx
D. dy = 30(3x+1)9 dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Chọn D
dy = 30(3x+1)9dx
Bài 13: Tìm vi phân của các hàm số y = sin2x + sin3x
A. dy = (cos2x + 3 sin2x cosx)dx
B. dy = (2cos2x + 3 sin2x cosx)dx
C. dy = (2cos2x + sin2x cosx)dx
D. dy = (cos2x + sin2x cosx)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Chọn B
dy = (2cos2x+ 3sin2xcosx)dx
Bài 14: Tìm vi phân của các hàm số y = tan2x.
A. dy = (1 + tan22x)dx
B. dy = (1 - tan22x)dx


C. dy = 2(1 - tan22x)dx
D. dy = 2(1 + tan22x)dx
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Chọn D
dy = 2(1+tan22x)dx
Bài 15: Tìm vi phân của các hàm số

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Chọn D

Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm
thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x),
tức là:
f ’’(x) = (f’(x))’


Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f(n-1)
(x). Nếu f(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n
của f(x) và được kí hiệu là f(n)(x), tức là:
f(n)(x) = (f(n-1)(x))'
Để tính đạo hàm cấp n:
+ Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng
Ví dụ minh họa

Bài 1: Hàm số

.Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.

Hướng dẫn:
Ta có:

Bài 2: Hàm số y = (x) = cos(2x - π/3) . Phương trình f (4)(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0;
π/2] là:
Hướng dẫn:


Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)3 + 4(x+1)
Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?
Hướng dẫn:

Vì: f '(x) = 15(x+1)2 + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1
Bài 4: Cho hàm số y = sin22x. Tính y(4)(π/6) ?
Hướng dẫn:
Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;
y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64√3
Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’


Hướng dẫn:
Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x
Bài 6: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y(4)(π/4) ?
Hướng dẫn:
Ta có y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x
Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin(π/2) = 16
Bài 7: Cho hàm số y = sin2x. Tính y(n)?
Hướng dẫn:
Ta có

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.


B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = (3/4)x4 - 2x3 - 5x + sinx bằng biểu thức
nào sau đây?
A. 9x2-12x+sinx
B. 9x2-12x-sinx
C. 9x2-6x-sinx
D. 9x2-12x+cosx
Hiển thị đáp án
Đáp án: B

y’ = 3x3 - 6x2 - 5 + cosx. Do đó y” = 9x2 - 12x - sinx. Chọn đáp án B
Bài 2: Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào sau đây?

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
y’ = 2sinxcosx = sin2x


Chọn đáp án D
Bài 3: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/(2x-3) bằng biểu thức nào dưới đây?

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có:

Đáp án A
Bài 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới
đây?
A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x
B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x


C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x
D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Ta có: y = (1/2)(cos3x+cosx)cos3x = (1/4)(cos6x+1+cos4x+cos2x)
Khi đó y ’’ = - cos2x - 4cos4x – 9cos6x
Đáp án B
Bài 5: Đạo hàm cấp 2016 của hàm số y = sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. cosx
B. sinx
C. –sinx
D. –cosx
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Đáp án B

Ta có :
Vậy đạo hàm cấp 2016 của hàm số đã cho là : sinx
Bài 6: Cho hàm số f(x) = x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016. Giá trị f(2016)
(x) bằng:
A. 2016!


B. 2015!
C. 2014!
D. 0
Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Đáp án D
Do số mũ cao nhất trong đa thức x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016 là 2015
nên f(2016)(x) = 0

Bài 7: Hàm số

có đạo hàm cấp hai là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Chọn D.
Ta có

Bài 8: Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:
A. y ''' = 12(x2+1)


B. y ''' = 24(x2+1)
C. y ''' = 24(5x2+3)
D. y ''' = -12(x2+1)
Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Chọn C.
Ta có y = x6+3x4+3x2+1; y' = 6x5+12x3+6x
y '' = 30x4+36x2+6; y ''' = 120x3+72x = 24x(5x2+3)
Bài 9: Hàm số

có đạo hàm cấp hai bằng:

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Chọn C
Ta có

Bài 10: Hàm số

có đạo hàm cấp 5 bằng:


Hiển thị đáp án

Đáp án: A
Chọn A.
Ta có

Bài 11: Hàm số

có đạo hàm cấp 5 bằng:

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Chọn A.
Ta có:


Bài 12: Hàm số

có đạo hàm cấp 2 bằng:

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Chọn C.

Bài 13: Hàm số y = (2x+5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng:


A. y ''' = 80(2x+5)5
B. y ''' = 480(2x+5)2
C. y ''' = -480(2x+5)2
D. y ''' = -80(2x+5)3
Hiển thị đáp án

Đáp án: B
Chọn B.
Ta có: y' = 5(2x+5)4.2 = 10(2x+5)4; y'' = 80(2x+5)3; y ''' = 480(2x+5)2.
Bài 14: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng:

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Chọn D
Ta có:

Bài 15: Bài 15: Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai.

Hiển thị đáp án


Đáp án: D
Chọn D
Ta có:

Dạng 3: Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa của đạo hàm
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ví dụ minh họa
Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s(t) tại
thời điểm to là v(to) = s’(to)
Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm to là : I(to) = Q’(to).
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f ''(x) là gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Nếu tồn tại, f '(xo ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M o(xo;
f(xo)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là Mo
y - yo = f '(xo)(x - xo)
Bài 1: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là
gia tốc trọng trường. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s
Hướng dẫn:
Ta có vận tốc của chuyển động: v = (s)’ = gt
Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s
Bài 2: Xét chuyển động có phương trình
s(t) = Asin(ωt + φ)

(A, ω, φ là những hằng số).

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động
Hướng dẫn:
Ta có gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:
a(t) = s '' (t) = (Aω cos(ωt + φ) )' = -Aω2 sin(ωt + φ)
Bài 3: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = (1/3)t 3 - t2 + 5t,
trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là
bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Gia tốc của chuyển động khi t là :
a(t) = (s(t)) '' = (t2-2t+5)' = 2t-2
Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là : a(4) = 6 m/s2


Bài 4: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là
gia tốc trọng trường.Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t

(t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,2s) là:
Hướng dẫn:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v(t) = (s(t))' = gt
Tại t = 3: v = 29,4 m/s
Tại t + Δt = 3,2s: v = 31,36 m/s

Khi đó vận tốc trung bình là:
Bài 5: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = 2t 3+5t+2, trong đó
t tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 là
Hướng dẫn:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v(t) = (s(t))' = 6t2 + 5
v(3) = 59 m/s
Bài 6: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = t 3-3t2-9t+2, trong
đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
Hướng dẫn:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v(t) = (s(t))' = 3t2 - 6t - 9