bai tap chuong 2 (p1)

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm miền xác định D của các hàm số cho dưới đây. Vẽ D từ đó xét tính chất của
D (tập mở, tập đóng, tập không mở không đóng).
1
a) f ( x, y ) 
x2  y2  1
b) f ( x, y )  1  x 2  1  y 2
c) f ( x, y )  ( x 2  y 2  1) (4  x 2  y 2 )
d) f ( x, y )  ln(  x  y )
y
e) f ( x, y )  arcsin
x
2. Tính giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại giới hạn của các hàm số sau:
x2  y
x 2 (1  cos xy )
lim
lim
h)
a) ( x , y )�(0,0) 2
( x , y )�(0,0)
y2
x  y6

xy
b) ( x, ylim
) �(0,0)
1  3 1  xy
c)
d)

lim

( x , y )�(1,0)

lim

( x , y ) �(0,0)

ln( x  e y )
x y
2

2

xy
x2  y2

x
( x , y ) �(0,0) x  y
x sin y  y sin x
f) ( x , ylim
)�(0,0)
x2  y2
x y
g) ( x , ylim
2
)�( ��
, ) x  xy  y 2
f ( x, y )) và lim(lim f ( x, y )) nếu
3. Tìm lim(lim
x �a y �b

y �b x �a
e)

lim

i)

xy 3
lim
( x , y )�(0,0) x 2  y 6

j)

x2 y2
lim
( x , y )�(0,0) x 2 y 2  ( x  y ) 2

xy 4
k)
( x , y )�(0,0) ( x 2  y 2 ) 2
lim

x2  y2
lim
l)
( x , y )�(0,0) x 2  y 4
sin xy
m) lim
( x , y )�(0,a )
x

lim ( x 2  y 2 ) e ( x  y )
n) ( x , y )�
( �,�)


a)

x2  y 2
f ( x, y )  2
, a  �, b  �
x  y4
b)

x
f ( x, y )  sin
, a  �, b  �
2x  y

c)

f ( x, y ) 

1
xy
tg
, a  0, b  �
xy 1  xy

d)

xy
f ( x, y ) 
, a  �, b  0 
y
1 x
e)
f ( x, y )  log x ( x  y ), a  1, b  0


x y
x y
lim(lim f ( x, y ))  1 và lim(l im f ( x, y ))  1 , trong khi đó
x �0 y �0
y �0 x �0

4. Chứng minh rằng đối với hàm số f ( x, y ) 

không tồn tại.
5. Khảo sát tính liên tục của các hàm sau:
�sin( x3  y 3 )
khi ( x, y ) �(0,0)
� 3
3
a) f ( x, y )  � x  y
�
0
khi ( x, y )  (0,0)
�

�sin( x3  y 3 )

khi ( x, y ) �(0,0)
� 2
2
b) f ( x, y )  � x  y
�
0
khi ( x, y )  (0,0)
�
6. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục trên R2
�x 2  y 2
khi ( x, y ) �(0,0)
�2
2
a) f ( x, y )  �x  y
�
a
khi ( x, y )  (0,0)
�

� x3  y 3
cos 2
khi ( x, y) �(0,0)
�
2
b) f ( x, y )  � x  y
�
a
khi ( x, y )  (0,0)
�

lim

( x , y )�(0,0)

f ( x, y )