bai tap chuong 2 (p2)

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (tt)
1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm sau:
e)
a) f ( x, y ) = x 3 y + arctg ( x + y )
b) f ( x, y ) = e

sin

x
y

 xy
,( x, y ) ≠ (0,0)

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
0
,( x, y ) = (0,0)


c) f ( x, y ) = x y
d) f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 )

f) f ( x, y, z ) =

1
x2 + y 2 + z 2
z

 y
g) f ( x, y , z ) =  ÷
x

2. Tìm f ( x, y ) hàm, nếu biêt rằng: ∂f ( x, y) = x 2 − y, ∂f ( x, y ) = y 2 − x.
∂x
∂y
3. Tìm f x' ( x,1) nếu f ( x, y ) = x + ( y − 1)arcsin
4. Tính vi phân của các hàm sau:
a) f ( x, y ) = e xy
b) f ( x, y ) = ln( y + x 2 + y 2 )

x
.
y

x
c) f ( x, y ) = ln(cos )
y
d) f ( x, y ) = ( xy ) z

'
'
5. Cho f ( x, y ) = xy .Tính f x (0,0), f y (0,0) . Hàm f ( x, y ) có khả vi tại điểm(0,0) ?

tại điểm (1,1) ?
6. Khảo sát tính khả vi của hàm
 x2−+1y 2

, ( x, y ) ≠ (0,0)
f ( x, y ) =  e
0
, ( x, y ) = (0,0)
tại điểm (0,0).

7. Chứng minh rằng hàm f ( x, y ) =

xy liên tục tại (0,0), có cả 2 đạo hàm riêng

f x' (0,0), f y' (0,0) nhưng không khả vi tại (0,0).
8. Chứng minh rằng
1
 2 2
( x +y )sin 2 2 , ( x, y ) ≠ (0,0)
x +y
f ( x, y ) = 
0
, ( x, y ) = (0,0)



'
'
có các đạo hàm riêng f x ( x, y ), f y ( x, y ) trong lân cận điểm (0,0) và các đạo hàm

riêng này gián đoạn tại điểm (0,0), tuy nhiên f ( x, y ) vẫn khả vi tại (0,0).
9. Tính gần đúng các giá tri sau nhờ vi phân cấp 1
a)

(4,05) 2 + (3,07) 2

b) (2,01)3,03 biết ln2=0,69

π
π

= 0,87;
= 0,017
6
180
10. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a) f ( x, y ) = x y → d 2 f = ?
c) sin 28o cos61o biết cos

b) f ( x, y, z ) = xy + yz + xz → d 2 f = ?
c) f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 4ln x − 2ln y → d 2 f (1,1) = ?

∂3 f
d) f ( x, y ) = x ln xy → 2
∂x ∂y
∂6 f
e) f ( x, y ) = x sin y + y sin x → 3 3 (0,0)
∂x ∂y
3

3

 2 xy
∂2 f
∂2 f
 2 2 , ( x, y ) ≠ (0,0)
, →
(0,0), 2 (0,0)
f) f ( x, y ) =  x +y
∂
x

∂
y
∂x
0
,
(
x
,
y
)
=
(0,0)

11. Đạo hàm và vi phân của hàm hợp
v
a) f (u , v) = u , u = ln x, v = sin x →

df
=?
dx

vw
df
, u = e x , v = ln x, w = x 2 − 1 → (1) = ?
u
dx
1 3
df
∂f
x

y
=? =?
c) f ( x, y ) = ln(e + y ), y = x + x →
3
dx
∂x
y
∂f
∂f
2
2
2
=?
=?
d) f (u , v) = u ln v, u = , v = x + y →
x
∂x
∂y
b) f (u , v, w) =

e) f (u , v ) = u 2 v − v 2u , u = x sin y , v = y sin x → df = ?
12. Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn
dy
d2y
a) x + y = e x − y →
=? 2 =?
dx
dx
dy
d2y

b) x − y + arctgy = 0 →
=? 2 =?
dx
dx
c) x 2 + 2 xy + y 2 − 4 x + 2 y − 2 = 0, y (1) = 1 → y ' (1) = ? y "(1) = ?


d) z ln( x + z ) −

xy
∂z
∂z
=0→ =?
=?
z
∂x
∂y

z

e) xz − e y + x3 + y 3 = 0 → dz = ?
f) x + y + z = e z → d 2 z = ?