Chủ đề 19 tổng hợp dao động điều hòa image marked image marked

CHỦ ĐỀ 19: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vecto quay.
Ta có phương trình x  A cos     là phương trình của hình chiếu
của vecto quay OM lên trục x. Dựa vào dao động điều hòa người ta
đưa ra cách biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một
vecto quay được vẽ tại thời điểm ban đầu. Vecto quay có đặc điểm:
+) Có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.
+) Có độ dài bằng biên độ dao động OM = A.
+) Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là
chiều dương của đường tròn lượng giác).
2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Giả sử ta cần tổng hợp của hai dạo động điều hòa cùng phương, cùng tần số sau:

Đặt mua file Word tại link sau:
/>x1  A1 cos t  1  và x 2  A2 cos t  2  .
 Trong trường hợp A1  A2  A ta dùng công thức lượng giác:
cos a  cos b  2 cos

  2   1  2 
ab
a b

cos
ta được: x1  x2  2 A cos  t  1
 cos 
 .
2 
2
2


 2 

 Trong trường hợp A1  A2 ta có thẻ dùng phương pháp Fre-nen như sau:


+) Vẽ lần lượt hai vecto quay A1 và A2 biểu diễn hai li độ

x1  A1 cos t  1  và x2  A2 cos t  2  tại thời điểm ban đầu.
  
+) Sau đó vẽ vecto A  A1  A2 theo quy tắc hình bình hành. Khi đó

vecto chéo A là vecto quay với tốc độ góc  quanh gốc tọa độ O.


Vì tổng các hình chiếu của hai vecto A1 và A2 lên trục Ox bằng hình


chiếu của vecto A lên trục đó, nên vecto quay A biểu diễn phương
trình dao động điều hòa tổng hợp là x  A cos t    .
Vậy, dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.
Trong trường hợp tổng quát, biên độ và pha ban đầu được tính bằng các công thức sau:

A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 1  2  và tan  

A1 sin 1  A2 sin 2
.
A1 cos 1  A2 cos 2

Từ công thức trên ta thấy rằng biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ thành phần và độ
lệch pha   1  2 .
+) Nếu hai dao động cùng pha: 1   2  k 2  A  Amax  A1  A2 .
+) Nếu hai dao động ngược pha: 1  2    k 2  A  Amin  A1  A2 .
+) Nếu hai dao động vuông pha: 2  1 


2

 k  A  A12  A22 .

 Trong mọi trường hợp giá trị của A thuộc: A1  A2  A  A1  A2 .
3. Tổng hợp nhiều dao động.
Biểu diễn mỗi dao động bằng một vecto quay trong mặt phẳng Oxy, gốc tại O.
Thiết lập phương trình tổng hợp: x  x1  x2  ..  xn .
  

Khi đó A  A1  A2  ...  An . Chiếu phương trình lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có:

 Ax  A1x  A2 x  ....  Anx
suy ra

 Ay  A1 y  A1 y  ....  Any

 Ax  A1 cos 1  A2 cos 2  ....  An cos n
.

 Ay  A1 sin 1  A2 sin 2  ....  An sin n

 A  A2  A2

x
y

Khi đó ta có: 
.
Ay
 tan  
Ax


4. Tổng hợp dao động bằng máy tính CASIO
Để tổng hợp các dao động:

x1  A1 cos t  1  ; x2  A2 cos t  2  ,...., xn  An cos t  n  ta viết

dưới dạng số phức xi  Ai cos t  i   xi  Ai i .
Khi đó x  x1  x2  ..x n  A11  A2 2  ..  An n .
Chú ý: nếu phương trình để ở dạng sin ta phải đưa phương trình về dạng chuẩn x  A cos t    .
Thao tác.
Bước 1: Chuyển sang chế độ radian bằng thao tác

SHIFT MODE 4
(các bạn có thể để ở chế độ độ vẫn được).

Bước 2: Nhấn

MODE 2

để chuyển sang chế độ

CMPLX để nhân chia cộng trừ số phức.

Màn hình hiển thị.


Bước 3: Cộng, trừ các dao động thành phần.

A1 SHIFT    1  A2 SHIFT    2  ....
Sau khi được tổng các dao động ta bấm

SHIFT 2 3  để kết quả về dạng A .





Ví dụ: Tổng hợp 2 dao động x1  5cos  t   và x2  5 3 cos  t   ta nhập:
3
2


5 SHIFT   


3

 5 SHIFT   




2

Sau đó nhấn SHIFT 2 3  ta được kết quả là 5


.
3



Như vậy x  x1  x2  5cos  t   .
3

5. Bài toán nghịch.
Nếu biết một dao động thành phần là x1  A1 cos t  1  và dao động tổng hợp có phương trình là

x  A cos t    thì dao động thành phần là x2  A2 cos t  2  được xác định bởi x2  x  x1 :

 A22  A2  A12  2 AA1 cos   1 

.
A2 2  A  A11 hoặc 
A1 sin   A1 sin 1
tan


2

A cos   A1 cos 1


6. Bài toán khoảng cách trong dao động điều hòa.
Hai chất điểm dao động trên cùng trục tọa độ, chất điểm thứ nhất có phương trình

x1  A1 cos t  1  chất điểm thứ hai có phương trình x2  A2 cos t  2  , hai chất điểm không va
chạm nhau thì khoảng cách giữa chúng là:
d  x1  x2  A cos t   

 A  A11  A2 2 , với A2  A12  A22  2 A1 A2 cos  .
Khi đó:
+) Khoảng cách lớn nhất giữa 2 chất điểm: d max  A .
+) Hai chất điểm gặp nhau: d  0 .
Một số công thức toán và chú ý:
 Định lý sin:

A1
A
A
 2 
sin  sin  sin 

Sử dụng hàm sin khi bài toán cho một cặp cạnh và góc đối nhau là hằng số.
 Định lý hàm cosin: A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 
Sử dụng hàm cosin khi bài toán đã cho 2 cạnh và góc xen giữa.


 Tỉ lệ thức:

a c ac
 
.

b d bd

 Li độ tổng hợp bằng tổng các li độ thành phần: xt  x1t  x2t  ...
 Véc-tơ tổng hợp luôn nằm giữa 2 véc-tơ thành phần, tức nó nhanh pha hơn một dao động thành phần
và chậm pha hơn dao động thành phần còn lại.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
 Dạng 1. Tổng hợp 2 hay nhiều dao động.
Ví dụ 1: [Trích đề thi đại học năm 2013]. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần
lượt là A1  8 cm, A2  15 cm và lệch pha nhau


2

. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ

bằng
A. 7 cm.

B. 11 cm.

C. 17 cm.

D. 23 cm.

Lời giải:
Hai dao động vuông pha 1  2 


2

 A  A12  A22  17 cm. Chọn C.

Ví dụ 2: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ có pha ban đầu lần lượt là


6

và

2
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp của hai dao động trên là
3

A.


.
2

B.

5
.
12

C.

5
.
12

D.


2

.

Lời giải:


2
sin  sin
A1 sin 1  A2 sin 2
6
3  2  3    5 .
Cách 1: Ta có: tan  

A1 cos 1  A2 cos 2 cos   cos 2
12
6
3
Cách 2: CASIO: Chọn A1  A2  1 .
Ta có: x  1


6

 1

2
5
 2
. Chọn B.
3
12

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Trong các
giá trị sau giá trị nào không thể là biên bộ của dao động tổng hợp.
A. 4 cm.

B. 5 cm.

C. 3 cm.
Lời giải:

Ta có: A1  A2  A  A1  A2  2cm  A  8cm . Chọn D.

D. 10 cm.


Ví dụ 4: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dạo động điều hòa cùng phương. Hai dao động này


3 


có phương trình lần lượt là x1  4 cos 10t   cm và x2  3cos 10t 
 cm . Độ lớn vận tốc của vật này
4

4 


ở vị trí cân bằng là
A. 80 cm / s .

B. 100 cm / s .

C. 10 cm / s .

D. 50 cm / s .

Lời giải:
Cách 1: Ta có biên độ dao động tổng hợp: A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 1  2 
Do hai dao động ngược pha nên A  A1  A2
Suy ra A  1cm do đó vmax   A  10cm / s .
Cách 2: x  x1  x2  4


4

 3

3

 1
4
4




Suy ra x  cos 10t   cm  vmax  10cm / s . Chọn C.
4

Ví dụ 5: [Đề thi thử chuyên ĐH Vinh 2017]. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa
cùng phương cùng tần số. Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ dao động A1  4 3 cm, dao động
tổng hợp có biên độ A  4 cm. Dao động thành phần thứ hai sớm pha hơn dao động tổng hợp là


3

. Dao

động thành phần thứ hai có biên độ A2 là
A. 4 3 cm.

B. 6 3 cm.

C. 4 cm.

D. 8 cm.

Lời giải:
Ta có: x1  x  x2  A12  A2  A22  2 AA2 cos


3

 48  16  A22  4 A2  A2  8 cm. Chọn D.

Ví dụ 6: [Trích đề thi đại học năm 2010]. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương,
5 

cùng tần số có phương trình li độ x  3cos   t 
 cm. Biết dao động thư nhất có phương trình li độ
6 




x1  5cos   t   cm. Dao động thứ hai có phương trình li độ là
6



A. x2  8cos   t   cm.
6




B. x2  2 cos   t   cm.
6


5 

C. x2  2 cos   t 
 cm.
6 



5 

D. x2  8cos   t 
 cm.
6 


Lời giải:


5

Cách 1: Ta có: x2  x  x1  3cos   t 
6

5

 3cos   t 
6


5


  5cos   t 
6






  5cos   t  
6



5 


  8cos   t 
 .
6 



Cách 2: CASIO: x2  x  x1  3 

5

5
 5  8
. Chọn C.
6
6
6




Ví dụ 7: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình x1  A1 cos  t   cm;
6

3
2 

x2  3 cos t    . Phương trình dao động tổng hợp là x  cos  t 
 cm. Giá trị của A1 và  là
2
3 


A. A1 

3

;  .
2
6

C. A1  3;  


6

B. A1 

3
5

; 
.
2
6

D. A1  3;  

.

5
.
6

Lời giải:
Ta có: x2  x  x1  A22  A2  A12  2 AA1 cos
3


2

9
3
3 2
3 
5
 A12  A1 

  3
suy ra x2  
. Chọn B.

4
2
2 3
2
6
6





Ví dụ 8: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa x1  A cos 10 t   ; x2  B cos 10 t   .
3
2


Khi x2  0,5 B 3 và đang tăng thì vận tốc của vật bằng 80 cm/s độ lớn thì bằng một nửa giá trị cực đại.
Giá trị của A là
A. 8 3 cm.

B. 16 cm.

C. 16 3 cm.
Lời giải:

Biên độ tổng hợp: 80 
Khi v âm và v 

Ath .10
 Ath  16 cm

2

vmax
A 3
 x  th
(theo chiều âm)
2
2

Tại thời điểm x2  0,5 B 3 kết hợp x1 pha nhanh 120 so với x2 , ta
có giản đồ vecto:
 
 A  Ath  A  Ath .tan 60  16.tan 60  16 3 cm.
Chọn C.

D. 32 cm.


Ví dụ 9: [Đề thi thử chuyên Quốc Học Huế 2017]. Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa
2 

cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1  A1 cos  2 t 
 cm, x2  A2 cos  2 t  ,
3 

2 

x3  A3 cos  2 t 
 cm. Tại thời điểm t1 các giá trị có li độ là x1  20 cm, x2  80 cm, x3  40 cm.
3 



Tại thời điểm t2  t1 

T
các giá trị li độ x1  20 3 cm, x2  0 cm, x3  40 3 cm. Phương trình của dao
4

động tổng hợp là



A. x  50 cos  2 t   cm.
3




B. x  40 cos  2 t   cm.
3




C. x  40 cos  2 t   cm.
3





D. x  20 cos  2 t   cm.
3

Lời giải:

Li độ tại thời điểm t1 và t2 vuông pha nhau nên ta có
2

2
A


20


20
3
 40cm


 1

2
2
.
 A2  80  0  80cm

2
 A3  402  40 3  80cm










Khi đó: x  x1  x2  x3  40

2
2

 800  80 
 40  . Chọn B.
3
3
3

Ví dụ 10: [Đề thi thử sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 2017]. Dao động của một chất điểm là sự tổng hợp của hai
dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1  2 A cos t  1  và x2  3 A cos t  2  . Tại thời
điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và 2 thì li
độ dao động tổng hợp bằng

15 cm. Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so

với dao động thứ nhất lần lượt là 2 và 1 thì li độ dao động tổng hợp của chất điểm có thể bằng
A. 15 cm.

B. 2 15 cm.

C. 15 cm.
Lời giải:

Gọi x và x là li độ của dao động tổng hợp tại 2 thời điểm t và t 
Tại thời điểm t : ta có x  x1  x2  15 và

x2
 2 .
x1

Suy ra x1   15 , x 2  2 15 .

9 A2  x22
v2
Lại có:

 1  9A 2  60  4A 2  15  A  3 cm.
2
2
v1
4 A  x1

D. 2 21 cm.


Tại thời điểm t  ta có:

v2



v1

 
4A   x  

9A 2  x2

2

2

2

 

 2  81  x1

2

1

 

2


 4 36  x1 




 x1  x2  21  x  x1  x2  2 21 . Chọn D.

Ví dụ 11: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số tương ứng là (1),
(2), (3). Dao động (1) ngược pha và có năng lượng gấp đôi dao động (2). Dao động tổng hợp (13) có năng
lượng là 3W. Dao động tổng hợp (23) có năng lượng W và vuông pha với dao động (1). Dao động tổng hợp
của vật có năng lượng gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 2,7 W.

B. 3,3 W.

C. 2,3 W.

D. 1,7 W.

Lời giải:
Phương pháp giản đồ vecto

E1  2E 2  A1  2 A2
E13  3E 23  A13  3 A23

X

Chuẩn hóa A2  1  A1  2
Từ hình vẽ ta có



3X



2



 X 2  1 2



2

X

1 2
2

Vì X 1  X 23 nên biên độ dao động của dao động tổng hợp của vật này là
2

 1 2 
A  A  A  
 
 2 
2

2
23

2
1

 2

2

2

 1 2 

  2
2
2 
E
E
A




Ta có
2
E23 W A232
 1 2 


 2 

 

2

 1, 7 . Chọn D.

Ví dụ 12: Hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số, biên độ dao động thứ nhất là A1  10 cm. Khi

x1  5 cm thì li độ tổng hợp x  2 cm. Khi x 2  0 , thì x  5 3 cm. Độ lệch pha của dao động của hai
dao động nhỏ hơn  2 . Tính biên độ của dao động tổng hợp
A. 14 cm.

B. 20 cm.

C.
Lời giải:

20
cm.
3

D.

10
cm.
3


Ta luôn có: x  x1  x2 . Khi x 2  0 , thì x  x1  5 3 cm  

A1 3
2



Nghĩa là lúc này vecto A2 hợp với trục hoành một góc  2 và vecto A1 hợp với chiều dương của trục
hoành một góc 5 6 . Vậy x1 sớm pha hơn x 2 là  3 .


A1
thì vecto A1 hợp với chiều dương của trục hoành một góc 2  3 và
2

x 2  x  x1  2   5   3 cm > 0. Lúc này, A2 hợp với chiều dương của trục hoành một góc  3 nên

Khi x1  5 cm  

x 2  A2 cos


3

 3  A2  6 cm.

Biên độ dao động tổng hợp:
A  A12  A22  2 A1 A2 cos 1  2   102  62  2.10.6.cos


3

 14 cm. Chọn A.

Ví dụ 13: Hai chất điểm M và N có cùng khổi lượng, dao động điều hòa cùng tần số góc theo hai đường
thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một
đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình
dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở
thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là
A.

16
.
9

B.

9
.
16

C.
Lời giải:

3
.
4

D.

4
.

3


Khoảng cách giữa M và N là
x  xM  xN  6 cos t  1   8cos t  2 
 A cos t   

Khoảng cách lớn nhất khi MN có phương nằm ngang

 62  82  102  OM luôn vuông góc với ON.
Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng tại

xM  A

2
1

 WdM  WtM  WM 
2 
2


tức OM hợp với Ox góc  4  ON hợp với Ox góc  4 hay
xN  A

2
2

 WdN  WtN 

1
WN
2
2

W
W
m 2 AM2  6 
9
. Chọn D.
 tM  M 
  
2 2
w tN
WN m AN  8  16
Ví dụ 14: [Đề thi thử THPT QG sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017]. Hai chất điểm dao động điều
hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox có phương trình lần
lượt là x1  A1 cos t  1  và x 2  A2 cos t  2  . Giả sử x  x1  x2 và y  x1  x2 . Biết rằng biên độ
dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y. Độ lệch pha giữa x1 và x 2 là  . Giá trị nhỏ nhất của

cos  là
A. 0,5.

B. 0,25.

C. -1.

D. 0,6.

Lời giải:

Ta có: Ax2  A12  A22  2 A1 A2 cos   4 AY2 và Ay2  A12  A22  2 A1 A2 cos  .
4 A1 A2 cos   3 Ay2
3 A12  A22 3 2 A1 A2
 2
 cos   .
 .
 0, 6 . Chọn C.
2
2
10 A1 A2
10 A1 A2
5 Ay  2  A1  A2 

Ví dụ 15: [Trích đề thi THPT QG năm 2017]. Cho D1 , D 2 và D3 là ba dao động điều hòa cùng phương,



cùng tần số. Dao động tổng hợp của D1 và D 2 có phương trình là x12  3 3 cos  t   cm. Dao động
2

tổng hợp của D 2 và D3 có phương trình x 23  3cos t  (cm). Dao động D1 ngược pha với dao động D3 .
Biên độ dao động D 2 có giá trị nhỏ nhất là
A. 2,6 cm.

B. 2,7 cm.

C. 3,6 cm.

D. 3,7 cm.

Lời giải:



Ta có: x1  x2  x12  3 3 cos  t   và x 2  x3  x23  3cos t  .
2

Suy ra x1  x3  3 3



2
 30  6  .
2
3

Do dao động D1 ngược pha với dao động D3 nên x 3  kx  x1 
Do đó x 2  3 3



2

 

Suy ra A  3 3
2
2


2

6
2

 k  0
k 1 3

6
2

 k  0
k 1 3
2

6

6 
 6 


cos  27  t 2  9t  t 
  2.3 3.

k 1
6
k 1 
 k 1 


2

3 3
 9  27 27
Vậy A   t   

 A2 
 2, 6 cm
4
4
2
 2
2
2

Dấu bằng xảy ra khi

6
9
1
  k   tm  .Chọn A.
k 1 2
3

Ví dụ 16: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động cùng phương. Phương trình ly độ của các dao
động thành phần và dao động tổng hợp lần lượt là x1  A1 cos t  cm; x2  3cos t    cm; và

x  A cos t   6  cm. Biên độ dao động A1 có giá trị lớn nhất là
A. 9 cm.

B. 6 cm.

C. 8 cm.

D. 12 cm.

Lời giải:
Định lý hàm số sin trong tam giác OAA1 :
A1
3

sin 30 sin   30 

 A1  6sin   30   6  A1max  6 cm.
Chọn B.

Ví dụ 17: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương
trình x1  A1 cos t   3 và x 2  A2 cos t   3 . Dao động tổng hợp có biên độ 4 3 cm. Khi A1 đạt
giá trị cực đại thì A2 có giá trị là
A. 2 cm.

B. 3 cm.

C. 5 cm.
Lời giải:

D. 4 cm.

Độ lệch pha    3    3  2 3 .
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OAA1 :
A
4 3
 1  A1  8sin   8
sin 60 sin 

A1max  8 khi   90  A2  64  48  4 cm.
Chọn D.



Ví dụ 18: Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình x1  A1 cos   t   cm và
6



x 2  6 cos   t   cm. Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình x  A cos  t    cm.
2

Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì
A.    rad.

B.   


3

D.  

C.   0 rad.

rad.


rad.
6

Lời giải:
Cách 1: Ta có: A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 1  2   A2  A12  36  12 A1 cos

2
3

Do đó A2  A12  6 A1  36   A1  3  27  27  Amax  3 3 khi A1  3
2

Khi đó x  3


6

 6 


2

 3 3 



3

. Chọn B.

Cách 2: Dựng giản đồ vec-to như hình bên.
Áp dụng định lí hàm số sin trong OA1 A :
A2



sin    
6




A
sin


3

 A

A2 sin


3




sin    
6






Để A đạt cực tiểu thì sin      1        rad.
6  max
3
3

Chọn B.
Ví dụ 19: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao
2 

động lần lượt là x1  8cos  2 t    và x2  A2 cos  2 
 cm thì phương trình dao động tổng hợp là
3 





x  A cos  2 t   cm. Để năng lượng dao động đạt giá trị cực đại thì biên độ dao động A2 phải có giá trị
2

A.

8
cm.
3

B. 8 3 cm.

C.

16
cm.
3

D. 16 cm.

Lời giải:
Để biên năng lượng dao động là cực đại thì biên độ dao động tổng hợp phải cực đại.
Ta có x  x1  x2  x1  x  x2
 
 A12  A2  A22  2 AA2 cos  
6

(1)

 
Đạo hàm hai vế  0  2 AA  2 A2  2 A cos  
6

3
 

A  0  A2  A cos   
A
6 2
Thay lại biểu thức (1) : 82 

4 2
4 2
 
A2  A22 
A2 cos    A2  8 3 . Chọn B.
3
3
6

Ví dụ 20: [Trích đề thi đại học năm 2014]. Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình
lần lượt là x1  A1 cos t  0,35  cm và x2  A2 cos t  1,57  cm. Dao động tổng hợp của hai dao động
này có phương trình là x  20 cos t    cm. Giá trị cực đại của  A1  A2  gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 40 cm.

B. 20 cm.

C. 25 cm.
Lời giải:

Cách 1: Độ lệch pha giữa dao động 1 và 2 là   0,35   1,57   1,92 rad.

A2  A12  A22  2 A1 A2 cos1,92  202  A12  A22  0, 64 A1. A2
 400   A1  A2   2, 68 A1 A2  A1 A2
2

 A  A2 
 1

2

 400

2, 68

Theo bất đẳng thức cosi 2 A1 A2  A12  A22  4 A1 A2   A1  A2 

 A  A2 
4 1

2

2, 68

 400

  A1  A2 

2

  A1  A2   34,8   A1  A2 max  35 . Chọn D.
Cách 2:

A
A
A2  A1

A
20
 2  1 

sin1, 22 sin  sin 
sin1, 22 sin   sin 

2

D. 35 cm.


 A2  A1 

20
 sin   sin  
sin1, 22

 A2  A1 

40    
  
.cos
 sin

sin1, 22 
2
2 



40.sin 0,96
 
 
cos
 34,89 cos
sin1, 22
2
2

  

Khi  cos
  1   A2  A1  max  34,89 .
2  max

Chọn D.
Ví dụ 21: [Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2017]. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số, nhưng vuông pha nhau, có biên độ tương ứng là A1 và A2 . Biết dao động tổng
hợp có phương trình x  16 cos t (cm) và lệch pha so với dao động thứ nhất một góc 1 . Thay đổi biên
độ của hai dao động, trong đó biên độ của dao động thứ hai tăng lên

15 lần (nhưng vẫn giữ nguyên pha

của hai dao động thành phần) khi đó dao động tổng hợp có biên độ không đổi nhưng lệch pha so với dao
động thứ nhất một góc  2 , với 1   2 
A. 4 cm.

B. 13 cm.


2

. Giá trị ban đầu của biên độ A2 là:
C. 9 cm.
Lời giải:

Cách 1:

1   2 



2

 tan 1.tan  2  1

A2 15 A2
2
.
 1  A1 A1 '  15  A2 
A1 A1

 

  A1  . A1
2

2

 15  A2 

4

Mặt khác A12  A22  A12  15 A22  162 .
Do đó:

16

2

 A22  . 162  15 A22   15A 42  A2  4

Chọn A.
Cách 2: Vẽ trên cùng hệ trục ta có:

A22  15A 22  16  A2  4 .
Chọn A.
 Dạng 2: Bài toán khoảng cách hai dao động cùng tần số.

D. 6 cm.


Ví dụ 22: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một hệ trục tọa độ Ox theo phương trình lần lượt là



x1  4 3 cos  2 t   cm và x2  8cos  2 t    cm. Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình
6


dao động là
A. 4 cm.

B. 4 3 cm.

C. 8cm.

D. 4 13 cm.

Lời giải:
Ta có: d  x1  x2  4 3


 8    4 13  0, 2425 .
6

Do đó d max  4 13 . Chọn D.

Ví dụ 23: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai trục Ox và Oy vuông góc nhau (O là vị trí cân bằng



chung của hai điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là x  2 cos  5 t   cm và
2



y  4 cos  5 t   cm. Tính tỉ số giữ khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất của hai chất điểm trong quá trình
6


dao động
A. 0,6.

B. 0,4.

C. 0.

D. 0,75.

Lời giải:
Khoảng cách giữa hai chất điểm



d  x 2  y 2  10  2 cos 10 t     8cos 10 t    10  2 13 cos 10 t   
3



d min
10  2 13

 0, 4 . Chọn B.
d max
10  2 13

Ví dụ 24: Hai chất điểm M và N, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề
nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc
tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N lần lượt là A1 và A2

 A1  A2 

. Biên độ dao động tổng

hợp của hai chất điểm là 7 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương
Ox là

97 cm. Độ lệch pha của hai dao động là 2 3 . Giá trị A1 và A2 lần lượt là

A. 10 cm và 3 cm.

B. 10 cm và 8 cm.

C. 8 cm và 3 cm.
Lời giải:

2
2
2
 A  A1  A2  2 A1 A2 cos 
Áp dụng các công thức:  2
2
2
 B  A1  A2  2 A1 A2 cos 

D. 8 cm và 6 cm.


2


2
2
49  A1  A2  2 A1 A2 cos 3
 A  8cm
 1
. Chọn C.

2

A

3
cm
2
2

2
97  A  A  2 A A cos
1
2
1 2

3

Ví dụ 25: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang, dọc theo hai
đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox Biên độ của con lắc một là A1  2 cm con lắc
hai là A2  4 cm. Con lắc hai dao động nhanh hơn con lắc một và trong quá trình dao động khoảng cách
lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox là 2 3 cm. Khi động năng của con lắc một cực tiểu thì động năng
con lắc thứ 2 bằng
A. 1 4 giá trị cực đại.

B. 3 4 giá trị cực đại.

C. 2 3 giá trị cực đại.

D. 1 2 giá trị cực đại.
Lời giải:

Giả sử PT dao động của con lắc 1 là: x1  2 cos t  .
Phương trình của con lắc 2 là: x2  4 cos t      0  (vì con lắc 2 nhanh pha hơn con lắc 1).
Khi đó d max  A12  A22  2 A1 A2 cos   4  20  16 cos   2 3
 cos  

1

  .
2
3



1  0  2  3
Khi động năng của con lắc 1 cực tiểu vật ở biên suy ra: 
.
      4
2
 1
3



2
 x2  4 cos 3  2
Wd 2
v22
3
x
Do đó 
. Suy ra
 2  1     . Chọn B.
W
v2max
4
 A
 x  4 cos 4  2
2

3
Ví dụ 26: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai đường thẳng song song với trục Ox có
phương trình x1  A1 cos t  1  và x2  A2 cos t  2  . Biết rằng giá trị lớn nhất của tổng li độ dao
động của hai vật bằng hai lần khoảng cách cực đại giữa hai vật theo phương Ox và độ lệch pha của dao
động 1 so với dao động 2 nhỏ hơn 90°. Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x 2 gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 36,87°.

B. 53,14°.

C. 87,32°
Lời giải:

Ý tưởng dựa vào kết quả của bài toán tổng hợp dao động
Tổng hai li độ x  x1  x2  xmax  A12  A22  2 A1 A2 cos 

D. 44,15°.


Khoảng cách giữa hai vật d max  x1  x2 max  A12  A22  2 A1 A2 cos 
Từ giả thuyết bài toán, ta có:
A12  A22  2 A1 A2 cos   2 A12  A22  2 A1 A2 cos 

Biến đổi toán học ta thu được

3 A12  A22
mặt khác A12  A22  2 A1 A2
cos  
10 A1 A2
(cos  ) min 

3
 max  53,13 . Chọn B.
5

Ví dụ 27: ba chất điểm M 1 , M 2 và M 3 dao động điều hòa trên ba trục tọa
độ song song với nhau đều nhau những khoảng a  2 cm với vị trí cân
bằng lần lượt O1 , O2 và O3 nằm trên cùng đường thẳng vuông góc với ba
trục tọa độ. Trong quá trình dao động ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng.
Biết phương trình dao động của M 1 và M 2 lần lượt là x1  3cos 2 t (cm)



và x2  1,5cos  2 t   cm. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M 1 và
3


M 3 gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 6,56 cm.

B. 5,20 cm.

C. 5,57 cm.

D. 5,00 cm.

Lời giải:
Vì ba chất điểm luôn thẳng hàng nên: x1  x2  2x 2
 x3  2 x2  x1  3

2
2 

 3cos  2 t 
 cm.
3
3 


Khoảng cách đại số của M 1 và M 3 theo phương Ox là:
5

x13  x3  x1  3 3 cos  2 
6



 cm


 x13max  3 3

  M 1M 3 max 

 2a   x
2

2
13max

 43  6,56 . Chọn A.

Ví dụ 28: Hai chất điểm A và B dao động trên hai trục của hệ trục tọa độ Oxy (O là vị trí cân bằng của 2





vật) với phương trình lần lượt là: x A  4 cos 10 t   cm và xB  4 cos 10 t   cm. Khoảng cách lớn
6
3


nhất giữa A và B là
A. 5,86 cm.

B. 5,26 cm.

C. 5,46 cm.

D. 5,66 cm.


Lời giải:
Khoảng cách giữa hai chất điểm





d  x A2  xB2  4 cos 2 10 t    cos 2 10 t  
6
3




y

Để d là lớn nhất thì y phải lớn nhất, biến đổi toán học ta thu được
1 
  1
2 
y  1  c  20 t     20 t 

2 

3  2
3 

Sử dụng công thức cộng lượng giác
y  1

3
3
sin  20 t   ymax  1 
2
2

Vậy d max  4 ymax  4 1 

3
 5, 46 . Chọn C.
2

Ví dụ 29: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các
vật lần lượt là: x1  3cos  5 t   3 và x2  cos  5 t   6  (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng
thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần?
A. 3 lần.

B. 2 lần.

C. 6 lần.

D. 5 lần.

Lời giải:



Ta có x  x2  x1  3 cos  5 t  
2

Khi gặp nhau x  0 (VTCB). Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng 2 lần.
T

2
T
 0, 4 s  t  1s  2T 
5
2


  
 x  3 cos  2   0



Ta thấy t  0  
 Thời điểm ban đầu là 1 lần.
v   3.5 sin     0



 2 
Sau khoảng thời gian t  T 2 thì vật về đúng vị trí cân bằng theo chiều âm  thời điểm cuối là 1 lần.
Trong khoảng thời gian 1 s đầu tiên thì 2 vật gặp nhau: 1  2.2  1  6 lần. Chọn C.

Ví dụ 30: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song nhau, cùng mọt vị trí cân
bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó với các phương trình li độ



 5
 5
lần lượt là x1  3cos  t   cm và x1  3 3 cos  t   cm. Thời gian lần đầu tiên kể từ thời điểm
3
6
 3
 3
t  0 hai vật có khoảng cách lớn nhất là:


A. 0,3 s.

B. 0,4 s.

C. 0,5 s.

D. 0,6 s.

Lời giải:
Khoảng cách giữa hai vật d  x1  x2
+) Chuyển máy tính sang số phức MODE 2
+) Nhập số liệu 360  3 330
+) Xuất ra kết quả SHIFL 2 3 =

 5


Ta thu được d  3 cos  t    cm
 3

3
3
 5

Khoảng cách d lớn nhất  cos  t     1  k 
5
5
 3

Hai vật gặp nhau lần đầu tiên ứng với k  2  t  0, 6 s. Chọn D.

Ví dụ 31: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox (O là vị trí cân bằng của chúng),
coi trong quá trinh dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của chúng





lần lượt là x1  4 cos   t   cm và x2  8cos   t   cm. Hai chất điểm cách nhau 6 cm ở thời điểm lần
6
2


thứ 2020 kể từ lúc t = 0 là
A. 1008,5 s.

B. 1007,5 s.

C. 1009,5 s.

D. 1006,5 s.

Lời giải:
T

2





 0,5 s; x  x1  x2  8cos   t    4 cos   t  
2
6




x  8


2

 4



2
2 

 4 3   x  4 3 cos   t 
 cm
6
3
3 


Hai chất điểm cách nhau 6 cm thì x  6 cm. Để tìm các thời điểm để x  6 cm ta dùng đường tròn
lượng giác.

Thời điểm lần 1, lần 2, lần 3 và lần 4 lần lượt là: t1 , t2 , t3 và t4 với t4 
Ta xét





2020
 504 dư 4  t  504T  t4  504.2  1,5  1009,5 . Chọn C.
4



1,5



 1,5


Ví dụ 32: Điểm sáng A đặt trên trục chính của một thấu kính, cách
thấu kính 10 cm. Chọn trục tọa độ Ox vuông góc với trục chính, gốc
O nằm trên trục chính của thấu kính. Cho A dao động điều hòa theo
phương của trục Ox. Biết phương trình dao động của A là x và ảnh A
là x của nó qua thấu kính được biểu diễn như hình vẽ. Thời điểm lần
thứ 2018 mà khoảng cách giữa vật sáng và ảnh của nó khi điểm sáng
A dao động là 5 5 cm có giá trị gần bằng giá trị nào sau đây nhất?
A. 504,6 s.

B. 506,8 s.

C. 506,4 s.

D. 504,4 s.

Lời giải:
Từ đồ thị ta được: ảnh nhỏ hơn vật và cùng tính chất với vật  TKHT; k = 2
Áp dụng k  f  d   f hay 2  f  d   f  f  20 cm  d  

df
 20 cm
d f

 Khoảng cách vật và ảnh: d  d  d   10 cm




 x A  10 cos  t  2  cm



Từ đồ thị ta cũng viết được: 
 x  20 cos  t    cm


 A
2

Phương trình khoảng cách ảnh và vật trên phương Ox:

x  x A  x A  10 cos t   2  cm

 Khoảng cách trực tiếp giữa vật và ảnh:
X  x 2  d 2 hay X 2  x 2  100
Khi X  5 5 cm  x  5 cm
Thời gian qua lần thứ 2018 thỏa t  504T  t2 (thời gian lần thứ 2 tính từ lúc t = 0)
Hay t  504T 

T T
  504, 2 s. Chọn D.
4 6

 Dạng 3. Bài toán 2 dao động không cùng tần số.
Ví dụ 33: Các điểm sáng M (màu đỏ) và N (màu lục) dao động điều hòa cùng biên độ trên trục Ox quanh
gốc tọa độ O. Chu kì dao động của M gấp 3 lần của N. Ban đầu M và N cùng xuất phát từ gốc tọa độ,
chuyển động cùng chiều. Khi gặp nhau lần đầu tiên, M đã đi được 10 cm. Quãng đường N đi được trong

thời gian trên là





A. 20 2  10 cm.

B. 50

3 cm.





C. 30 3  10 cm.
Lời giải:

D. 30 cm.


TM  3TN   N  3M : N quay nhanh hơn M
Lần đầu tiên M, N gặp nhau khi chúng đang chuyển động ngược
chiều nhau tại cùng vị trí 10 cm (hình vẽ)
Ta có:  M   N    4 M     M 
 10 


4

A
 A  10 2
2

 S N  A   A  10   20 2  10 . Chọn A.

Ví dụ 34: Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo. Các lò xo có cùng độ cứng k, chiều dài tự nhiên
là 32 cm. Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m. Ban đầu, A và B được giữ ở vị trí sao cho
lò xo gắn với A bị dãn 8 cm còn lò xo gắn với B bị nén 8 cm. Đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều
hòa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn
nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là

A. 64 cm và 48 cm.

B. 80 cm và 48 cm.

C. 80 cm và 55 cm.

D. 64 cm và 55 cm.

Lời giải:

A 

k
k
; B 
  A  2B  2
m

4m

Phương trình dao động của vật A và B lần lượt là: x A  8cos  2t    ; xB  8cos t   
Trong quá trình dao động AI  32  x A , BI  32  xB  AB  64   xB  x A   64  d
Với d  xB  x A  8 cos t     cos  2t      8  cos 2t  cos t   8  2 cos 2 t  1  cos  t 
Đặt a  cos t  d  8  2a 2  a  1 với a   1,1

da   32a  8  0  a  1 4 . Xét bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên: 9  d  16  9  64  AB  16  64  55  AB  80 . Chọn C.
Ví dụ 35: Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động là:

x1  A1 cos 1t    cm; x2  A2 cos 2t    cm ( với A1  A2 ; 1  2 và 0     2 ). Tại thời điểm ban


đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a 3 . Tại thời điểm t  t hai điểm sáng cách nhau 2a, đồng
thời chúng vuông pha nhau. Đến thời điểm t  2t thì điểm sáng 1 trở lại vị trí ban đầu lần đầu tiên và khi
đó hai điểm sáng cách nhau 3 3a . Tỉ số 1 2 bằng
A. 3,5.

B. 2,5.

C. 4,0.

D. 3,0.

Lời giải:
Với giả thiết sau khoảng thời gian 2t dao động 1 quay trở về vị trí ban đầu:
+) TH1: 2t  T khi đó 1 đi đúng 1 vòng. Từ hình dưới dễ thấy 1  2  1 2  1 .
+) TH2: 2t  T  1t đối xứng với 12 t qua trục hoàng  1t  biên

0

Do 1t   2 t   2 t  vtcb  1t  2 t  2a  A1

1  2   a 3
t0
 t
Kết hợp với  0
 2 2 t 12 t  3 3a
 O 1t  3a    30 
0

1 1 90  60


 2,5 . Chọn B.
2  2
60

Ví dụ 36: Hai điểm sáng M và N dao động điều hòa cùng biên độ trên trục Ox, tại thời điểm ban đầu hai
chất điểm cùng đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Chu kì dao động của M gấp 5 lần chu kì dao động
của N. Khi hai chất điểm đi ngang nhau lần thứ nhất thì M đã đi được 10 cm. Quãng đường đi được của N
trong khoảng thời gian đó là
A. 25 cm.

B. 50 cm.

C. 40 cm.
Lời giải:

Ta có  N  5M
Phương trình dao động của hai chất điểm




 xM  A cos  M t  2 



 xM  xN




 x  A cos 5 t 
 M

 N
2


D. 30 cm.


 


 cos  M t     5M t  
2 

2





t


5

t

 k 2
M
M

2
2

k

t 


6M 3M
 t      5 t     k 2
 M

 M 2

2

Hai chất điểm gặp nhau lần thứ nhất ứng với k  0  t 

  M t 


, ứng với góc quét trên đường tròn
6M


6

Từ hình vẽ ta thấy rằng S 
Vật N ứng góc quét 5 

A
 10  A  20 cm
2

5
 S N  1,5 A  30 cm. Chọn D
6

Ví dụ 37: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quanh vị trí cân bằng chung gốc tọa độ O, với
biên độ dao động bằng nhau. Chu kỳ của hai dao động là 1,5 s và 1,2 s. Thời điểm ban đầu, được chọn lúc
hai chất diểm đồng thời có mặt tại biên dương. Từ sau thời điểm ban đầu, trong 15 s đầu tiên, số lần hai
chất điểm gặp nhau khi đang chuyển động cùng chiều là
A. 0 lần.

B. 2 lần.

C. 22 lần.

D. 24 lần.

Lời giải:
Gốc thời gian chọn ở biên dương: 1  2  0 rad.

T1  1,5 s  1  4 3 rad s ; T2  1, 2  2  5 3 rad s .
Đk gặp nhau cùng chiều: 1t  1   2t  2   n 2  4 3.t  5 3.t  n 2

 tC  6n  15 s  n  2,5 

n 1
t  6s

n2
6  12 s

Đk gặp nhau ngược chiều: 4 3.t  5 3.t  m2  t N 
Khi t  6 s  m

2
m  15s  m  22,5 *
3

6
 9 nguyên và thỏa mãn (*)  tại biên (loại).
23

Khi t  12 s  m

12
 18 nguyên và thỏa mãn (*)  tại biên (loại).
23

 Trong 15 s đầu tiên, không có lần nào hai chất điểm gặp nhau khi đang chuyển động cùng chiều.
Chọn A.
Ví dụ 38: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quanh vị trí cân bằng chung gốc tọa độ O, với


biên độ dao động bằng nhau. Chu kỳ của dao động là 0,5 s và 0,4 s. Thời điểm ban đầu, t = 0, được chọn
lúc hai chất điểm đồng thời đi ngang qua O theo chiều dương. Tính từ sau thời điểm ban đầu, thời điểm mà
2 chất điểm gặp nhau lần đầu tiên tại O khi đang chuyển động cùng chiều với nhau là
A. 0,5 s.

B. 1,0 s.

C. 2 s.

D. 2,5 s.

Lời giải:

T1  0,5s  1  4 rad s ; T2  0, 4 s  2  5 rad s .
Gốc thời gian đi qua VTCB O theo chiều dương: 1  2    2 rad.
Bài này thuộc chú ý 2, gặp nhau cùng chiều tại vị trí có điều kiện tại O.
Ban đầu từ VTCB O theo chiều dương đến VTCB O cùng chiều lần đầu tiên thì CĐ 1 và CĐ 2 quay được
nguyên lần đường tròn: 1t  n.2

2t   n  k  2 ( k là số vòng 2 quay hơn 1)
Chia 2 vế của 2 phương trình trên:

1
n
4
n
n

 
k 
2 n  k
5 nk
4

Lần đầu tiên  k  1  n  4  t 

4.2
 2 s.
4

Chọn C.

Ví dụ 39: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quanh vị trí cân bằng chung gốc tọa độ O, với
biên độ dao động bằng nhau. Chu kỳ của hai dao động là 0,5 s và 0,4 s. Thời điểm ban đầu, được chọn lúc
hai chất điểm đồng thời đi ngang qua O theo chiều dương. Tính từ sau thời điểm ban đầu, thời điểm mà 2
chất điểm gặp nhau tại vị trí cân bằng O lần đầu tiên là
A. 0,25 s.

B. 0,5 s.

C. 1 s.

D. 1,25 s.

Lời giải:

T1  0,5 s  1  4 rad s ; T2  0, 4 s  2  5 rad s .
Gốc thời gian đi qua VTCB O theo chiều dương: 1  2    2 rad.
Ban đầu từ VTCB O theo chiều dương đến VTCB O cùng hoặc ngược chiều lần đầu tiên thì CĐ 1 và CĐ 2
quay được nguyên nửa lần hoặc nguyên lần đường tròn:

1t  m
2t   m  k   (k là số vòng 2 quay hơn 1)
Chia 2 vế của 2 phương trình trên:
Lần đầu k  1 và m  4  t 

1
n
4
m
m

 
k 
2 n  k
5 mk
4

4
 1 s. Chọn C.
4


Ví dụ 40: Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo
ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân
bằng, đồng thời cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao
động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với
nhau. Cho gia tốc trọng trường bằng 10 m s 2 . Gọi t là khoảng thời gian
ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song với nhau.
Giá trị t gần giá trị nào sau đây nhất?
A. 2,36 s.

B. 8,12 s.

C. 0,45 s.

D. 7,20 s.
Lời giải:

1 

10
10
 3,51; 2 
 3,95
0,81
0, 64

Khi hai dây treo song song với nhau 1   2 chúng đang gặp nhau
về li độ góc.
Thời điểm ban đầu hai vật cùng VTCB chiều dương. Lần đầu tiên
gặp nhau:
Clđ 1 nhanh hơn nên quay trước, tại M 1 , đã quay được góc 1t .
Clđ 2 chậm hơn nên ở dưới M 2 , đã quay được góc 2t .
Từ đường tròn dễ thấy:

1t  2t    t


3,51  3,95

 0, 421s . Chọn C.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chuyển động củamột vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các
phương trình là : x1  4 cos 10t   4  cm; x2  3cos 10t  3 4  cm. Xác định vị trí tại đó động năng
bằng 2 lần thế năng.
A. 2 2 cm.

B. 4 3 cm.

C. 

5 3
cm.
3

D. 3 3 cm.

Câu 2: Một vật tham gia đồng hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là





x1  2sin 10t   cm; và x2  cos 10t   cm (t đo bằng giây). Xác định vận tốc cực đại của vật.
3
6


A. 5 cm/s.

B. 20 cm/s.

C. 10 3 cm/s.

D. 10 cm/s.