Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán
lớp 12. Để hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự không đơn giản. Đặc
biệt khi hàm dưới dấu tính phân không phải là một hàm cụ thể. Trong các dạng
tích phân này ta thường gặp một số dạng: hàm dưới dấu tích phân là hàm
f ( x ) ; f ( t ( x ) ) ; f ' ( x ) ... Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng
hai phương pháp tính tích phân quen thuộc nhưng rất hữu hiệu là đổi biến số và
tích phân từng phần. Tuy nhiên vận dụng hai phương pháp đó như thế nào để có
thể giải quyết tốt được các bài toán tích phân hàm ẩn thực sự gây không ít khó
khăn cho học sinh. Do vậy với bản chất là một dạng toán mới lạ, đòi hỏi sự suy
luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức
đối với học sinh lớp 12.
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định
chọn đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh
lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm ẩn” làm đề tài sáng
kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018 – 2019. Rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được
hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác
một số dạng toán tích phân hàm ẩn trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn
luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng
lực sau:
- Năng lực tư duy quy lạ về quen, năng lực tính toán, năng lực tự học và
giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp tích phân đổi biến số và

tích phân từng phần - Chương III - Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát
triển các năng lực Toán học của học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học phần tích phân hàm ẩn ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó
thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng hai phương pháp tính tích phân quen

1


thuộc trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo
khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và
Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát
triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời
giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết
kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương
thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách
học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm
vụ quan trọng của người giáo viên.
Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa
ra hai phương pháp tính tích phân là đổi biến số và từng phần. Đây là hai
phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập nguyên hàm và

tích phân quen thuộc. Không những vậy một số dạng bài tập tích phân “lạ” –
dạng tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là hàm cụ thể mà là hàm
ẩn thì hai phương pháp này vẫn là công cụ cực kì hữu ích. Vì vậy, tôi nhận thấy
rất cần thiết rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen, giúp học sinh dễ
dàng giải quyết dạng toán này.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có
nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh
là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm,
điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng
rất nhiều đến kết quả học tập của các em.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh
phần tích phân hàm ẩn thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có
khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ
và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán, biết quy lạ về quen. Nhưng
trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá
giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng tích phân khó, lạ.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.
- Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp.

2


b

b

a

a

- Tính chất của nguyên hàm và tích phân, đặc biệt ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt
- Phương pháp đổi biến số.
- Phương pháp tích phân từng phần.
- Công thức lượng giác.
- Đạo hàm các hàm số lượng giác.
2.3.2. Tìm hiểu tích phân hàm ẩn
Tích phân hàm ẩn là tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là
biểu thức cụ thể mà là f ( x ) ; f ( t ( x ) ) ; f ' ( x ) …
1

3

0

0

Ví dụ: I = ∫ f ( 2019 x ) dx , I = ∫ xf ' ( x ) dx …
2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng tích phân hàm ẩn bằng
phương pháp tư duy quy lạ về quen.
Dạng 1: Sử dụng phép đổi biến tích phân
Khi câu tích phân xuất hiện những biểu thức f ( x ) ; f ( t ( x ) ) ở đề bài là dấu hiệu
quan trọng giúp ta nghĩ đến phép đổi biến số.
6

2

0

0

Bài 1: Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = 12. Tính I = ∫ f ( 3x ) dx
A. I = 6

B. I = 36

C. I = 2 .

D. I = 4

Đề chính thức mã 101– BGD – 2017
Phân tích:
- Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải là
biểu thức cụ thể mà là f ( x ) . Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân
là f ( 3x )
- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của f ( 3x ) tuy lạ nhưng lại là một gợi ý để chúng ta
nghĩ đến phép đổi biến số. Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ 0 → 6
còn cận của tích phân cần tính là 0 → 2 . Vậy đặt t = 3x

16
16
f
t
dt
=
(
)
∫
∫ f ( x ) dx = 4

30
30

Hướng dẫn: Đổi biến t = 3x ⇒ I =
Đáp án D
1

2

0

0

Bài 2: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ f ( 2 x ) dx = 2. Tính I = ∫ f ( x ) dx
A.

I =1.

B.

I =3.

C.

I =2.

D.

I =4.

3


Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường chuyên ĐH KHTN Hà Nội
Phân tích: Sự xuất hiện của f ( 2 x ) là gợi ý quan trọng để ta nghĩ đến phép đổi
biến t = 2 x
1
2
12
Hướng dẫn: Đổi biến t = 2 x ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx =2 ⇒ ∫ f ( x ) dx =1
20
0
0

Đáp án A
1

2

0

0

Bài 3: Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = a. Tính theo a tích phân I = ∫ xf ( x 2 + 1) dx
A. I = 4a .

a
B. I = .
4

a
C. I = .
2

D. I = 2a .

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Hậu Lộc 1 - Thanh Hóa
Phân tích:
- Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải là
biểu thức cụ thể mà là f ( x ) . Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích phân
2
là xf ( x + 1)
2
- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của xf ( x + 1) tuy lạ nhưng lại là một gợi ý để
chúng ta nghĩ đến phép đổi biến số. Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ
0 → 1 còn cận của tích phân cần tính là 0 → 2 . Vậy ta đặt t = x 2 + 1

Hướng dẫn: Đổi biến t = x 2 + 1 ⇒ I = 1 ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = a
0
20
2
Đáp án C
1

1

Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết:
1
2 f x
12

( )
∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 1. Tính I = ∫ x dx
0
1
−2 3 + 1
A. I = 1 .

B. I = 3 .

C. I = 4

D. I = 6 .

Trích đề thi thử lần 3 năm 2018 của trường chuyên ĐH Vinh
Phân tích:
- Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho tích phân có hàm dưới dấu tích phân không phải
là biểu thức cụ thể mà là f ( x ) . Yêu cầu tính tích phân có hàm dưới dấu tích
f ( x)
x
phân là x . Mặt khác mẫu là ( 3 + 1) gây khó khăn cho việc tính tích phân.
3 +1
Vậy để tính được tích phân I cần khử mẫu

4


- Yếu tố quen: giả thiết cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ nên
 f ( x ) = f ( −x )
2
2

là một gợi ý để chúng ta nghĩ đến phép đổi biến số.

f
x
dx
=
2
(
)
∫ f ( x ) dx = 6
∫
 −2

0

Mặt khác cận của tích phân ở giả thiết là từ 0 → 1 và 1 → 2 còn cận của tích phân
cần tính là −2 → 2 . Vậy ta đặt t = − x
Hướng dẫn:
2

2

2

0

1

0

Ta có: ∫ f ( x ) dx = 1; ∫ f ( x ) dx = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 3
x
2 f ( −t )
2 f ( −x )
2 3 f ( x)
f ( x)
Đổi biến: t = − x ⇒ I = ∫ x
dx = ∫ − t
dt = ∫ − x
dx = ∫ x
−2 3 + 1
−2 3
−2 3
−2 3 + 1
+1
+1
2

(3

2

⇒ 2I = ∫

−2

x

+ 1) f ( x )
3x + 1

2

dx = ∫ f ( x ) dx = 6 ⇒ I = 3
−2

Đáp án B
Bài 5: Cho hàm số f ( x ) , f ( − x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn:
2
1
I
=
2 f ( x) + 3 f ( −x) =
.
Tính
∫ f ( x ) dx
4 + x2
−2
A. I = π .
20

C. I = − π .
10

B. I = − π .
20

D. I = π .
10

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
Phân tích: Sự xuất hiện của f ( − x ) nhắc chúng ta đổi biến t = − x
2

2

−2

−2

Hướng dẫn: Đổi biến t = − x . Ta có: I = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx
1
1
x
π
π
⇒ 5I = 2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ f ( − x ) dx = ∫
dx = arctan  ÷ = ⇒ I =
2
2
20
 2  −2 4
−2
−2
−2 4 + x
2

2

2

2

Đáp án A
1 
Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  ;2  và thỏa mãn:
2 
2 f x
( )
1
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3x, ∀x ∈¡ * . Tính I = ∫1 x dx
 x
2

A. I = 5 .
2

B. I = 4ln 2 + 15 .
8

C. I = 3 .
2

D. I = 4ln 2 − 15 .
8

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa
Phân tích:

5

1
- Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho f ( x ) + 2 f  x ÷ = 3x, ∀x ∈¡ * . Yêu cầu tính tích
 
f ( x)
phân có hàm dưới dấu tích phân là
. Cả giả thiết và kết luận của bài toán
x
đều chứa hàm ẩn.

1
- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của f ( x ) , f  ÷ tuy lạ nhưng từ giả thiết ta rút được
x
1
f ( x ) = −2 f  ÷+ 3x lại là một gợi ý quan trọng giúp ta việc đổi biến t = 1
x
 x

Hướng dẫn:
1
1
Đổi biến: t = . Ta có: f ( x ) = −2 f  x ÷+ 3x
x
 
2

⇒I=∫

1

2

f ( x)
dx = ∫
x
1
2

 

x

1
f  ÷
2
9
x
dx = 3x 1 − 2 ∫  dx = − 2 A
x
2
1
2

2

2

Tính

1

−2 f  ÷+ 3x
x

A= ∫
1
2

2

2

2 f ( x)
f ( t ) dt 2 f ( t )
9
3
=
dt
=
dx = I ⇒ 3I = ⇒ I =
∫
∫
2
1 t
1
1
t
x
2
2
2

2
t

Đáp án C
π
 −π π 

Bài 7: Biết hàm số y = f  x + ÷ là hàm số chẵn trên  ,  và:
2

 2 2
π

π
f ( x ) + f  x + ÷ = sin x + cos x . Tính tích phân I = ∫2 f ( x ) dx
2

0
A. I = 0 .

B. I = 1 .

1

C. I = .
2

D. I = −1 .

Phân tích: Sự xuất hiện của f  x + π ÷ khiến nhiều em học sinh đã đổi biến

2

π
t = x + và gặp khó khăn. Đây chính là cái “bẫy”. Để ý được giả thiết cho
2
π
π
π
−π π
y = f  x + ÷ là hàm số chẵn nên f  x + ÷ = f  − x + ÷ , x ∈  ;  và đổi
2
2
2



 2 2
π
biến hợp lý phải là t = − x +
2
π
Hướng dẫn: Đổi biến t = − x +
2

6


π
2

π
2

π

π

2
2
π
π
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f  − t ÷dt = ∫ f  + t ÷dt ⇒ 2I = ∫ ( sin x + cos x ) dx = 2 ⇒ I = 1
2

2

0
0
0
2

Đáp án B
Bài 8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và

2 f 2x
( ) dx
f ( ln 2 x )
I
=
∫

.
Tính
x
∫ tan x f ( cos x ) dx = 1, ∫ x ln x dx = 1
1
0
e
4

π
4

e2

2

A. I = 1 .

B. I = 2 .

C. I = 3 .

D. I = 4 .

Trích đề thi thử năm 2019 của trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên
2
2
Phân tích: Bài toán xuất hiện khá nhiều hàm ẩn f ( cos x ) , f ( ln x ) tuy nhiên
chính những hàm ẩn này lại giúp ta nghĩ đến việc đổi biến t = cos2 x , u = ln 2 x

Hướng dẫn:
π
4

Xét tích phân A = ∫ tan xf ( cos 2 x ) dx = 1 , đổi biến t = cos2 x
0

π
4

1 f x
( ) dx = 2
1 1 f (t)
1 1 f ( x)
A = ∫ tan xf ( cos 2 x ) dx = ∫
dt = ∫
dx ⇒ ∫
21 t
21 x
x
1
0
2

2

2

f ( ln 2 x )
Xét tích phân B = ∫

dx = 1 , đổi biến t = ln 2 x
x
ln
x
e
e2

4 f x
f ( ln 2 x )
1 4 f ( x)
( ) dx = 2
B = e∫
dx = 1 = ∫
dx ⇒ ∫
x ln x
21 x
x
e
1
e2

2

Xét tích phân I = ∫1

f ( 2x )
dx , đổi biến v = 2 x
x

4

4

I=∫

1
2

4 f ( x)
f ( v)
dv = ∫
dx = 2 + 2 = 4
1
v
x
2

Đáp án D
Một số dạng thường gặp:
b

d

a

c

1. Giả thiết cho tích phân ∫ f ( x ) dx = m. Tính ∫ f ( kx ) dx, k ∈ ¡
d

Phương pháp: Đặt t = kx rồi biến đổi tích phân ∫ f ( kx ) dx theo biến t.
c

b

d

a

c

2. Giả thiết cho tích phân ∫ f ( kx ) dx = m , k ∈ ¡ . Tính ∫ f ( x ) dx.

7


b

Phương pháp: Đặt t = kx rồi biến đổi tích phân ∫ f ( kx ) dx = m theo biến t
a

để suy ra tích phân cần tính.
3. Giả thiết cho α f ( x ) + β f ( − x ) = g ( x ) , ( α , β ∈ ¡ ) trong đó g ( x ) là hàm cụ
b

thể và f ( x ) là hàm số chẵn. Tính ∫ f ( x ) dx .
a

b

Phương pháp: Đặt t = − x rồi biến đổi tích phân ∫ f ( x ) dx theo biến t.
a

b

4. Giả thiết cho α f ( x ) + β f ( u ( x ) ) = g ( x ) , ( α , β ∈ ¡ ) . Tính ∫ f ( x ) dx hoặc
a

b f u ( x)
(
)
∫ v x dx , ( v ( x ) ≠ 0 )
( )
a
b

Phương pháp: Đặt t = u ( x ) rồi biến đổi tích phân ∫ f ( x ) dx hoặc
a

b f u ( x)
(
)
∫ v x dx , ( v ( x ) ≠ 0 ) theo biến t .
( )
a
b1

5. Giả thiết cho hai tích phân dạng: ∫ v1 ( x ) f ( u1 ( x ) ) dx = m1
a1

b
d
d f P ( x)
) dx , Q x ≠ 0
và ∫ v2 ( x ) f ( u2 ( x ) ) dx = m2 . Tính ∫ f ( x ) dx hoặc ∫ (
( ( ) )
Q ( x)
a
c
c
2

2

Phương pháp: Đặt t1 = u1 ( x ) ; t2 = u2 ( x ) rồi biến đổi hai tích phân
b1

b2

a1

a2

∫ v1 ( x ) f ( u1 ( x ) ) dx = m1; ∫ v2 ( x ) f ( u2 ( x ) ) dx = m2 theo biến t1; t2 . Đặt: t = P ( x ) để

suy ra tích phân cần tính theo hai tích phân trên.
Dạng 2: Sử dụng tích phân từng phần
Khi câu tích phân xuất hiện đạo hàm của một hàm nào đó dưới dấu tích phân
giúp ta nghĩ đến việc sử dụng công thức tính tích phân từng phần.
3

Bài 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và f ( 3) = 21 , ∫ f ( x ) dx = 9 . Tính tích
0

1

phân I = ∫ x. f ′ ( 3x ) dx .
0

A. I = 6 .

B. I = 9 .

C. I = 12 .

D. I = 15 .

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên
Bái
Phân tích:

8


- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của các hàm ẩn f ( x ) ; f ' ( 3x ) trong đề bài
- Yếu tố quen: Yêu cầu tính tích phân có chứa hàm f ' ( 3x ) lại gợi cho ta nghĩ
đến công thức tích phân từng phần.
1

 f ' ( 3x ) dx = dv

v = f ( 3 x )
⇒
Hướng dẫn: Đặt  x = u

3

du = dx
1

1
11
1
11
Ta có: I = ∫ x. f ′ ( 3x ) dx = x. f ( 3x ) − ∫ f ( 3x ) dx = f ( 3) − ∫ f ( 3x ) dx
3
30
3
30
0
0
1

Mà:

1
13
13
f
3
x

dx
=
f
t
dt
=
f
x
dx
=3
⇒
I
=
(
)
(
)
∫ ( )
∫ x. f ′ ( 3x ) dx = 7 −1 = 6
3 ∫0
3 ∫0
0
0
1

Đáp án A
Bài 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f ( 1) = 0 ,
1
1
1

3
2
x
f
x
dx
=
( )
Tính ∫ x f ' ( x ) dx .
∫
3
0
0
A. −1 .

B. 1 .

C. 3 .

D. −3 .

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Ngô Sỹ Liên - Bắc Giang
Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân cần tính xuất hiện f ' ( x ) và thừa số nhân với
f ' ( x ) chính là x3. Từ đó nhận ra u; v để sử dụng công thức tích phân từng phần.
 f ' ( x ) dx = dv

Hướng dẫn: Đặt 

x = u
3

v = f ( x )

⇒

2
 du = 3x dx

1
1
1
1
⇒ ∫ x3 f ' ( x ) dx = x 3 f ( x ) 0 − 3∫ x 2 f ( x ) dx = f ( 1) − 3. = −1
3
0
0

Đáp án A
1

Bài 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2 . Tính
0

1

I = ∫ f ( x ) dx .
0

A. I = −8.

B. I = 8.

C. I = 12.

D. I = −12.

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng
Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân ở giả thiết xuất hiện f ' ( x ) và thừa số nhân
với f ' ( x ) chính là ( x +1) . Từ đó nhận ra u; v để sử dụng công thức tích phân
từng phần.
v = f ( x )
 f ' ( x ) dx = dv
⇒
Hướng dẫn: Đặt  x + 1 = u

 du = dx

9


1

1

Ta có: ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − I = 10
1

0

0

⇒ I = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − 10 = −8
Đáp án A
π
2

Bài 4: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ sin xf ( x ) dx = f ( 0 ) = 1 . Tính:
0

π
2

I = ∫ cos xf ' ( x ) dx .
0

A. I = 1.

B. I = −1.

C. I = 0.

D. I = 2.

Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân cần tính xuất hiện f ' ( x ) và thừa số nhân với
f ' ( x ) chính là cosx . Từ đó nhận ra u; v để sử dụng công thức tích phân từng
phần.
v = f ( x )
 f ' ( x ) dx = dv
⇒
Hướng dẫn: Đặt cos x = u


 du = − sin xdx
π
2

π
2
0

Ta có: I = cos x f ( x ) + ∫ sin x f ( x ) dx = − f ( 0 ) + 1 = 0
0

Đáp án D
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( 1) = f ( 0 ) = 1 . Biết:
1

x
2019
2019
∫ e  f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b . Tính Q = a + b
0

A. Q = 1.

B. Q = 0.

C. Q = −1.

D. Q = −2.

Phân tích:
- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của cả hai hàm ẩn f ( x ) ; f ' ( x ) trong cùng một tích
phân.
- Yếu tố quen: Sự xuất hiện của f ' ( x ) dưới dấu tích phân ở giả thiết và thừa số
nhân với f ' ( x ) là e x giúp ta nghĩ đến công thức tích phân từng phân quen thuộc.
Hướng dẫn:
1

1

1

x
Ta có: ∫ e  f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b ⇔ ∫ e f ( x ) dx + ∫ e f ' ( x ) dx = ae + b
x

0

 f ' ( x ) dx = dv

Đặt 

e = u
x

0

x

0

v = f ( x )

⇒

x
 du = e dx

10


Khi đó:
1

1

1

0

0

0

1

1

x
x

x
x
x
∫ e f ( x ) dx + ∫ e f ' ( x ) dx = ∫ e f ( x ) dx + e f ( x ) 0 − ∫ e f ( x ) dx = ef ( 1) − f ( 0 )
0

1

⇒ ∫ e x  f ( x ) + f ' ( x ) dx = e −1 ⇒ a = 1; b = −1 ⇒ Q = a 2019 + b 2019 = 0
0

Đáp án B
Bài 6: Cho hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) trên đoạn
4
4 F x
( ) dx = 5
1;4  . Biết F ( 1) = 1; F ( 4 ) = 2 và ∫
. Tính I = ∫ ln ( 2 x + 1) f ( x ) dx
1
1 2 x +1
A. I = 10.

B. I = 3ln3 − 10.

C. I = 3ln3 − 5.

D. I = ln3 − 5.

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa
Phân tích:

- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của hàm ẩn F ( x ) trong giả thiết và hàm ẩn f ( x ) trong
tích phân cần tính.
- Yếu tố quen: Ta có F ' ( x ) = f ( x ) nên sử dụng công thức tích phân từng phần để
biến đổi tích phân ở giả thiết hoặc tích phân cần tính.
Hướng dẫn:
F ( x) = u
 du = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx


⇒
1
Cách1: Đặt  1

 2 x + 1 dx = dv
v = 2 ln ( 2 x + 1)

Khi đó:
4 F x
( ) dx = F x 1 ln 2 x + 1 4 − 4 ln 2 x +1 f x dx = F 4 ln 9 − F 1 ln 3 − I
( )
(
) ∫ (
) ( )
( )
( )
∫ 2 x +1
2
1
1
1

⇒ I = 3ln 3 − 10

2

ln ( 2 x + 1) = u
dx
 du =
2x +1
Cách 2: Đặt  f x dx = dv ⇒ 
 ( )
v = F ( x )
4
4 F x
( ) dx = 3ln3 −10
1
Khi đó: I = ∫ ln ( 2 x + 1) f ( x ) dx = F ( x ) ln ( 2 x + 1) − 2∫
2
1
1 2x +1
1
4

⇒ I = 3ln 3 − 10
Đáp án B
3

Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ xf ' ( x ) e f ( x ) dx = 8, f ( 3) = ln 3 .
0

3

f ( x)
Tính I = ∫ e dx
0

11


A. I = 1.

B. I = 11.

C. I = 8 − ln 3.

D. I = 8 + ln3

Phân tích:
f x
- Yếu tố lạ: Sự xuất hiện của f ' ( x ) ; e ( )

'

- Yếu tố quen:  e f ( x )  = f ' ( x ) .e f ( x ) là gợi ý sử dụng công thức tích phân từng


phần.
Hướng dẫn:
x = u
du = dx
Đặt 

⇒
f ( x)
f ( x)
v = e
 f ' ( x ) e dx = dv
3

3

3

3

0

0

⇒ ∫ xf ' ( x ) e f ( x ) dx = xe f ( x ) − ∫ e f ( x ) dx = 8 ⇒ ∫ e f ( x ) dx = 1
0
0

Đáp án A
Một số dạng thường gặp:
b

d

a

c

1. Giả thiết cho tích phân A = ∫ f ( x ) dx = m. Tính I = ∫ xf ' ( kx ) dx, k ∈ ¡
 f ' ( kx ) dx = dv

Phương pháp: Đặt 

x = u

d

rồi biến đổi tích phân I = ∫ xf ' ( kx ) dx
c

b

d

a

c

2. Giả thiết cho tích phân ∫ xf ' ( kx ) dx = m , k ∈ ¡ . Tính I = ∫ f ( x ) dx.
 f ' ( kx ) dx = dv

Phương pháp: Đặt 

x = u

b

rồi biến đổi tích phân ∫ xf ' ( kx ) dx = m để
a

suy ra tích phân cần tính.
b

b

a

a

3. Giả thiết cho ∫ P ( x ) f ( x ) dx = m . Tính ∫ Q ( x ) f ' ( x ) dx biết Q ' ( x ) = P ( x )
 f ' ( x ) dx = dv  v = f ( x )
⇒
Phương pháp: Đặt Q x = u
rồi biến đổi tích phân
 ( )
 P ( x ) dx = du
b

b

a

a

∫ Q ( x ) f ' ( x ) dx theo tích phân ∫ P ( x ) f ( x ) dx = m
Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai phương pháp tích phân từng phần và đổi
biến

Khi câu tích phân xuất hiện đạo hàm của một hàm nào đó dưới dấu tích phân và
những biểu thức f ' ( x ) ; f ( t ( x ) ) ở giả thiết là dấu hiệu giúp ta nghĩ đến việc
dùng cả hai phương pháp đổi biến số và tính tích phân từng phần.

12


Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn có đạo hàm liên tục trên ¡ , f ( 0 ) = 0 và
π

π
f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈¡ . Tính ∫2 xf ' ( x ) dx
2

0
A. π .
4

C. − π .
4

B. 1 .
4

D. − 1 .
4

Trích đề thi thử lần 3 năm 2018 của trường chuyên ĐH Vinh
Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân cần tính xuất hiện f ' ( x ) và thừa số nhân với
f ' ( x ) chính là x . Từ đó nhận ra u; v để sử dụng công thức tích phân từng phần.

π

Mặt khác giả thiết cho f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈¡ là gợi ý để ta sử
2

dụng phương pháp đổi biến số.
π

π

π
v = f ( x )
 f ' ( x ) dx = dv
⇒
⇒ ∫2 xf ' ( x ) dx = xf ( x ) 2 − ∫2 f ( x ) dx .
Hướng dẫn: Đặt  x = u
0

 du = dx
0
0

π

π

2
2
Đổi biến: t = π − x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫
2

0
0

π
2

π
2

π

2
π
π
f  − t ÷dt = ∫ f  − x ÷dx
2 
2

0

π
2

π

π
2
π
1
1

⇒ 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f  − x ÷dx = ∫ sin x.cos xdx = cos 2 x 02 = −
4
4
2

0
0
0
0

Lại có:

π
f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( 0 ) +
2

π
2

π
f  − 0 ÷ = 0 ⇒
2


π
f  ÷ = 0 .
2

π
2

Suy ra: ∫ xf ' ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = 0 −  − 1 ÷= 1
4 4
0

π
2
0



0



Đáp án B
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2  .
3
2
2 ( x − 3x ) f ' ( x )
2 x −4 x
f
0
=
1
, ∀x ∈ 0;2 . Tính ∫
dx
Biết ( ) và f ( x ) . f ( 2 − x ) = e
f ( x)
0

2

A. − 14 .
3

B. − 32 .
5

C. − 16 .
5

D. − 16 .
3

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa
Phân tích: Sự xuất hiện của f ' ( x ) ; f ( 2 − x ) nhắc chúng ta sử dụng cả công thức
tích phân từng phần và phép đổi biến số.

13


 f '( x )
dx = dv v = ln f ( x )

⇒
f
x
Hướng dẫn: Đặt  ( )
2
3

2
du = ( 3x − 6 x ) dx
 x − 3x = u

2

Ta có: ∫

(x

3

0

2
− 3x 2 ) f ' ( x )
dx = −3∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = −3J .
f ( x)
0

Đổi biến: t = 2 − x
0

⇒ J = ∫ ( 2 − t ) − 2 ( 2 − t )  ln f ( 2 − t ) d ( 2 − t )


2
2

0

2

= ∫ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x )  ln f ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx
2

2

0

32
⇒ 2 J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) f ( x ) dx = ∫ ( x 2 − 2 x ) ( 2 x 2 − 4 x ) dx =
15
2

2

0

0

2

Suy ra: ∫

(x

3

0

− 3x 2 ) f ' ( x )
16
dx = −
f ( x)
5

Đáp án C
π

2
sin 2019 x
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) =
. Tính I = ∫ xf ' ( x ) dx
2019
2019
cos x + sin x
0

B. I = π
2

A. I = 0

C. I = 3π
4

D. I = π
4

Phân tích: Sự xuất hiện của f ' ( x ) là một gợi ý để ta sử dụng công thức tích
sin 2019 x
phân từng phần. Tuy nhiên y = f ( x ) =
cũng gợi cho ta tư duy
cos2019 x + sin 2019 x
để sử dụng tích phân liên kết thông qua phép đổi biến số.
v = f ( x )
 f ' ( x ) dx = dv
⇒
Hướng dẫn: Đặt  x = u

du = dx
π
2

π
2

Ta có: I = ∫ xf ' ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = π − J
2
π
2
0

0

Đổi biến t =
π
2

0

π
− x , ta được:
2
π
2

sin x
cos 2019 x
π
dx
=
dx = K ⇒ J = K =
∫
2019
2019
2019
2019
x + sin x
x + sin x
4
0 cos
0 cos
π π π
⇒I= − =
2 4 4
J=∫

2019

Đáp án D

14


Một số dạng thường gặp:
1. Giả thiết cho f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên D thỏa mãn
α

f ( x ) + f ( α − x ) = g ( x ) ;α > 0 và f ( 0 ) = a . Tính I = ∫ xf ' ( x ) dx
0

α
 f ' ( x ) dx = dv
Phương pháp: Đặt  x = u
rồi biến đổi tích phân I = ∫ xf ' ( x ) dx
0


Tiếp tục biến đổi tích phân trên bằng cách đặt t = α − x để suy ra kết quả.
2. Giả thiết cho f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên D thỏa mãn
α
f '( x )
dx
f ( x ) . f ( α − x ) = g ( x ) ;α > 0 và f ( 0 ) = a . Tính I = ∫ t ( x )
f ( x)
0
 f '( x )
α

dx = dv
f '( x )

I
=
f
x
Phương pháp: Đặt  ( )
rồi biến đổi tích phân
∫ t ( x ) f x dx
( )
0
u = t ( x )


Tiếp tục biến đổi tích phân trên bằng cách đặt t = α − x để suy ra kết quả.
2.3.4. Hệ thống bài tập tích phân hàm ẩn giúp học sinh rèn luyện.
2017

1

0

0

Bài 1: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn: ∫ f ( x ) dx = 1. Tính I = ∫ f ( 2017 x ) dx
A. I = 1
2017

B. I = 0

C. I = 2017

D. I = 1

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Hậu Lộc 1 - Thanh Hóa
Bài 2: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  0;1 và thỏa mãn:
1

1

0

0

mf ( x ) + nf ( 1 − x ) = g ( x ) ; m, n ∈¡ * và ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1 . Tính m + n

A. m + n = 0

B. m + n = 1

2

C. m + n = 1

2

4

1

1

Bài 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = 2. Tính I = ∫
A. I = 1

B. I = 1
2

C. I = 4

D. m + n = 2

f ( x)
x

dx

D. I = 2

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
(đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Phan Bội Châu - Nghệ An)

15


Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 0;1 và thỏa mãn:
1

2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x . Tính I = ∫ f ( x ) dx

0

A. I = 2
3

B. I = 1
6

C. I = 2

D. I = 2
5

15

Trích đề thi thử lần 1 năm 2019 của trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa
 π
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên 0; 4  , thỏa mãn:


π

π

π

π
f  ÷ = 3 , ∫4 f ( x ) dx = 1 và ∫4 sin x tan x f ( x )  dx = 2 . Tính I = ∫4 sin xf ' ( x ) dx



4
0
0 cos x
0
B. I = 2 + 3 2
2

A. I = 4

C. I = 1 + 3 2
2

D. I = 6

Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ −π ;π ] , thỏa mãn:
π
π
f ( x)
∫ f ( x ) dx = 2019 . Tính I = ∫ 2019 x + 1 dx
0
−π
B. B. I = 1
2019

A. I = 0

C. I = 2019

D. I = 4038

Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện:
2 f ' x + 2
( ) − f ( x ) + 2  dx
f ( 1) = 1; f ( 2 ) = 4 . Tính I = ∫ 
÷
x
x2 
1
A. I = 1 + ln 4

C. I = ln 2 − 1
2

B. I = 4 − ln 2

D. I = 1 + ln 4
2

Bài 8: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên  −4;4  biết:
0

2

4

−2

1

0

∫ f ( − x ) dx = 2 và ∫ f ( −2 x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .
A. I = −6

B. I = −10

C. I = 10

D. I = 6

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa
Bài 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 0;1 và thỏa mãn:
1

2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x 2 . Tính I = ∫ f ( x ) dx
0

A. I = π
20

C. I = π

B. I = π
16

6

2

5

1

2

D. I = π
4

Bài 10: Cho ∫ f ( x 2 + 1) x dx = 2. Khi đó I = ∫ f ( x)dx bằng
A. 1

B. 2

C. 4

D. −1

16


Trích đề thi thử năm 2019 của Sở Giáo Dục Hà Nội năm 2019
Bài 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ thỏa mãn:
π
3

f ( x2 )
f ( x)
dx bằng:
2
∫

∫ tan xf (cos x)dx = ∫ x dx = 6 . Khi đó 1 x
0
1
2
8

A. 10

2

3

B. 7

C. 4

D. 6

Bài 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  2;3 và:
3

3

∫ ( x − 2 ) f ' ( x ) dx = a ; f ( 3) = b . Tính I = ∫ f ( x ) dx theo a ; b
2
2
A. I = −a − b

B. I = b − a

C. I = a − b

D. I = a + b

Trích đề thi thử lần 3 năm 2019 của trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh
Hóa
Bài 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  −1;1 và:
1

f ( − x ) + 2019 f ( x ) = e x , ∀x ∈  −1;1 . Tính I = ∫ f ( x ) dx
−1

A. I = e −1
e2
2

B. I = 0

C. I = e2 −1
2020e

D. I = e2 −1
2019e

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Nho Quan – Ninh Bình
Bài 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và:
2
4
 x
∫ f ( x ) dx = 4 ; f ( 2 ) = 16 . Tính ∫ xf '  ÷dx

0
2
0

A. 144

B. 12

C. 28

D. 112

Trích đề thi thử năm 2019 của Sở GD Bắc Ninh
Bài 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và a > 0 . Giả sử ∀x ∈  0; a  ta có:
2
1
dx
f ( x ) > 0 và f ( x ) . f ( a − x ) = 1 . Tính ∫
0 1+ f ( x )
A. a
3

B. a
2

C. 2a

D. a ln ( 1 + a )

Bài 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn:

2

f ( 0 ) = 3; f ( x ) + f ( 2 − x ) = x 2 − 2 x + 2, ∀x ∈¡ . Tính ∫ xf ' ( x ) dx
0

A. − 4
3

B. 2
3

C. 5
3

D. − 10
3

Trích đề thi thử lần 3 năm 2019 của trường chuyên ĐH Vinh

17


Bài 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn:
3
8
8 f x
( )
2
∫ f x + 1 + x dx = 2019 và ∫ 2 dx = 1 . Tính ∫ f ( x ) dx
x

0
4
4

)

(

A. I = 2019

B. I = 2020

C. I = 4022

D. I = 4038

Trích đề thi thử lần 3 năm 2019 của trường THPT Kinh Môn 2 – Hải Dương
Bài 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn:
1

5 f ( x ) − 7 f ( 1 − x ) = 3 ( x 2 − 2 x ) , ∀x ∈¡ . Biết rằng tích phân I = ∫ xf ' ( x ) dx = −
0

a
b

a
Trong đó − là phân số tối giản. Tính T = 8a − 3b
b

A. T = 1

B. T = 0

C. T = 16

D. T = −16

Trích đề thi thử năm 2019 của Sở Giáo Dục tỉnh Kiên Giang
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Thông qua việc đưa ra các một lớp các bài toán tích phân hàm ẩn đồng thời
nêu các dạng bài tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ và biết cách áp dụng vào
những bài toán cụ thể tôi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính
nhanh và độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D3
và 12D4 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài
ngắn hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như
sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Lớp

Số HS
thực
nghiệm

12D3
12D4

Điểm dưới 5

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

43

5

11,63
%

19

44,19%

16

37,21%

3

6,98%

43

8

18,61
%

20

46,51%

14

32,56%

1

2,32%

Kết quả kiểm tra lần 2
Lớp

Số HS

Điểm dưới 5

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

18


thực
nghiệm

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12D3

43

0

0

10

23,26%

23

53,49%

10

23,25%

12D4

43

0

0

14

32,56,
%

21

48,84%

8

18,6%

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Trên đây là một vài điều tôi đã làm và nhận thấy có kết quả rõ rệt. Không
những giúp cho các em nắm vững kiến thức cơ bản mà còn giúp các em có thói
quen tư duy quy lạ về quen những kiến thức đã học một cách linh hoạt đặc biệt
giúp học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm
THPT quốc gia hiện nay. Tuy nhiên không có công thức nào vạn năng theo
nghĩa có thể áp dụng cho mọi bài toán. Song cách làm trên đã mang lại cho tôi
cũng như học sinh những kết quả nhất định, giúp học sinh cảm thấy yêu quý
Toán tích phân hàm ẩn đồng thời chúng tôi cũng thu được nhiều điều bổ ích
phục vụ tốt hơn cho quá trình dạy Toán trắc nghiệm.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tôi
nghiên cứu vẫn còn những hạn chế, chắc chắn không tránh khỏi những sai sót,
rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.

Qua đây tôi xin có một số đề xuất như sau:
Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi các
phương pháp, công thức, thủ thuật giải nhanh những bài Toán trắc nghiệm nhằm
đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Tôi hy vọng rằng những vấn đề đã được trình bày trong sáng kiến này có
thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đang giảng dạy ở lớp 12 ở
các trường phổ thông và dạy bồi dưỡng ôn thi Toán trắc nghiệm.
Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Nguyễn Thị Lan Hương

19


20