Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

MỤC LỤC
A.MỞ ĐẦU..................................................................................................... 2
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 2
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 3
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .............................................. 3
I. Cơ sở lí luận ........................................................................................... 3
II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ................................. 4
III. Nội dung, biện pháp thực hiện ........................................................... 4
1. Kiến thức cần nắm .............................................................................. 5
2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong giải các
bài toán hình không gian. ........................................................................... 10
IV. Hiệu quả bước đầu của SKKN........................................................... 19
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..................................................................... 21

1


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Hình học không gian là một môn học tương đối khó có tính hệ thống
tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng. Việc hướng dẫn học sinh giải toán
không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà
còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng
buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy
nghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT.
Trong các đề thi THPT quốc gia gần đây các bài toán hình học không gian
như tính khoảng cách, tính thể tích, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, bài
toán về xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,
giữa hai mặt phẳng trong không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải

được bằng cả phương pháp hình học thuần túy và cả phương pháp tọa độ. Việc
giải các bài toán Hình học bằng phương pháp thông thường sẽ khá phức tạp và
khó khăn cho các em học sinh lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quên kiến
thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình…trong không gian .
Với những bài toán đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanh
chóng, dễ dàng hơn, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì,
phương pháp này không được đề cập nhiều trong sách giáo khoa, học sinh phổ
thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình học
không gian chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia. Tôi đưa ra một sáng kiến nhỏ:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ’’ giúp học sinh với kiến thức của mình có thể hiểu rõ được
phương pháp, giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng này.
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Giúp học sinh giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng bài tập
“Sử dụng tọa độ để giải một số bài tập về hình không gian”.
`

Giúp học sinh vận dụng được lí thuyết vào giải toán, thực hiện tốt nguyên

lí giáo dục “học đi đôi với hành”.

2


Đây là kiến thức không mới nhưng nếu người giáo viên không có sự đầu
tư đúng mức thì hiệu quả thu được sẽ không cao.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp sưu tầm, tham khảo tài liệu có thể phục vụ cho việc tiến hành
nghiên cứu giải pháp.

- Phương pháp trao đổi, lấy ý kiến đối với đồng nghiệp về nội dung giải pháp
rồi rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
- Phương pháp tổng hợp, phân tích và tổng quát hóa để xây dựng giải pháp.
4. Đối tượng và phạm vi áp dụng.
- Giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán.
- Học sinh lớp 12, trường THPT Tống Duy Tân – Vĩnh Lộc – Thanh Hóa.
B. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
I. Cơ sở lí luận:
Vào năm 1637, nhà toán học RénéDescartes đã cho xuất bản cuốn “La
Géométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ đánh dấu
một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai
sinh ra phương pháp tọa độ. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng
ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao
của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học
sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức
nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải quyết một bài toán
gồm:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
 Bước 2: Xây dựng thuật giải
 Bước 3: Thực hiện thuật giải
 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông,
đặc biệt là dạy hình học là giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng
phương pháp tọa độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dung linh hoạt và sáng tạo
các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các công thức có liên quan vào

3

giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các
bước sau:


Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích

hợp, chú ý đến việc chọn vị trí của gốc O , chuyển bài toán đã cho về bài toán
hình học giải tích.


Bước 2: Giải bài toán hình học giải tích nói



Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán

trên.

hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng.
Tuy nhiên trong thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng
vào giải toán thật không đơn giản với học sinh, vì đây là một quá trình nghiên
cứu trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do
vậy thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quên với việc
giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Cách giải bài toán
như vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Vì chất lượng đầu vào thấp nên năng lực của các em còn hạn chế. Với tâm
lý sợ môn toán nhất là môn hình học nên nhiều em bỏ không học hoặc cố học
mà không vào (hổng kiến thức hình học các lớp dưới) hoặc chậm tiếp thu kiến
thức mới. Khi dạy hình học không gian chỉ một bộ phận ít học sinh có thể tiếp

thu nội dung: vẽ hình, chứng minh các bài toán đơn giản. Đối với học sinh khối
12 việc làm các bài tập hình học không gian lớp 11 lại càng khó khăn, mà các
bài toán liên quan đến hình học không gian như: tính khoảng cách, xác định góc,
tính thể tích khối đa diện…lại gặp nhất nhiều trong các đề thi THPT quốc gia.
Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập dạng này giáo viên đã thay đổi
phương pháp giảng dạy đó là hướng dẫn các em chuyển các bài toán hình học
không gian thuần túy sang cách giải bằng phương pháp tọa độ. Sau khi thay đổi
phương pháp giảng dạy nhận thấy đầu tiên là các em hứng thú hơn trong việc
giải các bài toán liên quan đến hình không gian trong các đề. Hi vọng với sự học
4


hỏi, đổi mới phương pháp giảng dạy giúp cả cô và trò trong việc học và dạy
được tốt hơn trong các năm học tới.
III. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
1. Kiến thức cần nắm:
1.1. Phương pháp:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian: Vì
Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho có
chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ.


Bước 2: Suy ra tọa độ các đỉnh, điểm trên hệ trục vừa ghép.



Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

1.2.Các bài toán về ghép trục tọa độ thường gặp:

Hình lập phương
hoặc hình hộp chữ
nhật
ABCDA����
BCD

z

D
C

B

Chọn hệ trục như hình
vẽ.
* Với hình lập phương:
A�
(0;0;0) ; B�
(a;0;0) ;

A�
�O
�
B
C�
x

y D�
(0; a;0) ; C �
(a; a;0) ;

D�B(a;0; a) ; C (a; a;0) ;
D(0; a; a)
* Với hình hộp chữ
(0;0;0)
nhật: A�
B�
(a;0;0) D�
(0;b;0) ;
C�
(a;b;0) ; B (a;0;c) ;
C ( a;b;c) ; D(0;b;c)

Hình hộp
ABCDA����
B C D có
đáy là hình thoi.

A�

z

O�

B�A
C

O

Gốc tọa độ trùng với
D�+giao

điểm O của hai

y
C�
D

C

đường chéo của hình
thoi ABCD
+ Trục Oz đi qua hai
tâm của hai đáy.

x
5


Hình chóp S . ABCD

S

+) Đáy là hình chữ
nhật, hình vuông.
+) SA  ( ABCD)

B
x

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ

z

A(0;0;0); B( AB ;0;0)

A

C

y
D

C ( AB ; AD ;0)
D(0; AD ;0)
S (0;0; SA )

z

Hình chóp S . ABCD

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ
A(0;0;0); B( AB ;0;0)

S

+) Đáy là hình chữ
nhật, hình vuông.
+) Các cạnh bên
bằng nhau( SO

vuông góc với đáy)

y
D

A
O

B

z

Hình chóp S . ABCD
+) Đáy là hình thoi.

D(0; AD ;0)
S(

C

x

C ( AB ; AD ;0)

AB AD
;
; SO )
2
2

Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ

S

O(0;0;0); B(0; OB ;0)

+) SO vuông góc
với đáy

y

A
D

B
C

x

C ( OC ;0;0)
A( OA ;0;0)
D(0;  OD ;0)
S (0;0; SO )

6


Hình chóp S . ABCD

z

+) Đáy là hình bình
hành.

S

Chọn hệ tọa độ sao cho
A(0;0;0); B(0; AB ;0)
C ( DH ; AB  AH ;0)

+) SA vuông góc
với đáy

B
y

H

A

D( DH ; AH ;0)
S (0;0; SA )

C

D

x
z

Hình chóp S . ABCD

A(0;0;0); B(0; AB ;0)

S

+) Đáy là hình bình
hành.
+) SO vuông góc
với đáy

A

C ( DH ; AB  AH ;0)
D( DH ; AH ;0)

B
y

H

S(

O

Hình chóp S . ABC
có:
+)Đáy là tam giác
vuông hoặc tam

giác đều
+) SA vuông góc
với đáy

C

x D

Chọn hệ trục tọa độ sao
cho:

z

S

A

DH AB  AH
;
; SO )
2
2

A(0;0;0); B(0; AB ;0)

B

H

C ( CH ; AH ;0)

y

S (0;0; SA )

x C
Hình chóp S . ABC
có:

z

Chọn hệ trục tọa độ sao
cho:

S

+)Đáy là tam giác
đều cạnh a

A(0;0;0); B (0; a;0)

+) Các cạnh bên
bằng nhau

C(

a 3 a
; ;0)
2 2

S(

a 3 a
; ; SO )
6 2

H
O

A

x

C

B
y

7


Hình chóp S . ABC
có:

S

+)Đáy là tam giác
vuông tại A
+) SA vuông góc
với đáy.

A
C

x

z

Chọn hệ trục tọa sao
cho
A(0;0;0); B(0; AB ;0)

y

C ( AC ;0;0);S(0;0; SA )

B

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có
thể ghép tọa độ vào để giải. Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một
khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa
diện đó và thông thường ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa
diện; trục cao oz là đường cao, sau đó dựng hai tia còn lại. Trong thực hành
giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục sao cho việc tìm tọa độ các
đỉnh của khối đa diện và các điểm liên quan một cách dễ dàng.
1.3. Các dạng toán thường gặp
1.3.1. Độ dài đoạn thẳng:
Khoảng cách giữa hai điểm A( xA ; y A ; z A ) và B( xB ; yB ; zB ) là:
AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A ) 2   zB  z A 

2

1.3.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) :
Ax0  By0  Cz 0  D
Ax  By  Cz  D  0 là: d ( M ,( P)) 
A2  B 2  C 2
1.3.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
r
Cho đường thẳng  đi qua M , có một vectơ chỉ phương u và một điểm
A . Khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng  là:
r uuuu
r
�
u, AM �
�
�
d ( M , ) 
r
u
1.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
r
Cho đường thẳng  đi qua M , có một vectơ chỉ phương u

8


ur
Đường thẳng �
đi qua M �

, có một vectơ chỉ phương u�
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và �là:
r ur uuuuu
r
�
�
�
u , u �MM �
�
d (, �
)
r ur
u �u�
1.3.5. Góc giữa hai đường thẳng:
r
Cho đường thẳng  có một vectơ chỉ phương u ( x; y; z )
ur
 ( x���
; y ;z )
Đường thẳng �có một vectơ chỉ phương u�
Gọi  là góc giữa  và �
. Khi đó :
r ur
u.u�
x.x�
 y. y �
 z. z �
cos   r ur 
(0 � �90o )
2

2
2
2
2
2
)  ( y�
)  ( z�
)
u . u � x  y  z . ( x�
1.3.6.

Góc giữa hai mặt phẳng:
o
Gọi  (0 � �90 ) là góc giữa hai mặt phẳng
( P) : Ax  By  Cz  D  0 và (Q) : A�
x  B�
y  C�
z  D�
 0 .Ta có:
uu
r uu
r
nP .nQ
uu
r uu
r
A. A�
 B.B�
 C.C �
cos   cos(nP , nQ )  uu

r uu
r 
A2  B 2  C 2 . ( A�
) 2  ( B�
) 2  (C �
)2
nP . nQ

1.3.7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
r
Cho đường thẳng  có một vectơ chỉ phương u ( x; y; z )
r
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n  ( A; B; C )
Gọi  là góc giữa  và mặt phẳng (P). Khi đó:
rr
u.n
Ax  By  Cz
sin   r r  2
(0 � �90o )
2
2
2
2
2
x  y  z . A  B C
u.n
1.3.8. Diện tính thiết diện :
Diện tích tam giác ABC : S 

r uuur

1 uuu
AB �AC
2

9


uuu
r uuur
�
AB
Diện tích hình bình hành ABCD : S  �
� , AD �
1.3.9. Thể tích khối đa diện:
uuu
r uuur uuur
�
�

AB
. AA�
Thể tích khối hộp VABCD . A����
BCD
� , AD �
Thể tích tứ diện: VABCD 

1
6

uuu

r uuur uuur
�
�
AB
. AD
� , AC �

1.3.10. Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải các
bài toán hình không gian:
2.1. Các bài toán về hình lăng trụ:
Bài toán 1: (Câu 30 Đề 001- Đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)
B CD)
B C D . Góc giữa hai mặt phẳng ( A��
Cho hình lập phương ABCDA����
D ) bằng:
và ( ABC ��
A. 300

B. 600

C. 450

D. 900

Lời giải:
Gọi cạnh của lập phương là a
(0;0;0) như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho B�
(a;0;0) ; C �

(0; a;0) ; B (0;0; a) ;
Khi đó : A�

C

B

A

D�
(a; a;0) ; A(a;0; a ) ; C (0; a; a) ; D(a; a; a ) .
B�
uuuur
uuuu
r
B  ( a;0;0); A�
C  ( a; a; a)
Ta có: A��
uuuur uuuu
r
A�
� A��
B �A�
C  (0; a 2 ; a 2 )  a 2 (0; 1;1)
x
r
mp ( A��
B CD) có vectơ pháp tuyến n  (0; 1;1)
uuu
r

uuuu
r
 ( a; a;  a )
Tương tự, ta có: AB  ( a;0;0) và AC �
uuu
r uuuu
r
� AB �AC �
 (0; a 2 ; a 2 )  a 2 (0;1;1)
ur
mp ( ABC ��
D ) có vectơ pháp tuyến n�
 (0;1;1)
r ur
B CD)  mp ( ABC ��
D)
Vì n.n�
 0 nên mp ( A��

D
y

C�

D�

10


B CD) và ( ABC ��

D ) bằng 900
Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng ( A��
Đáp án: D
Bài toán 2: ( Câu 46 Đề 101- Đề thi THPT quốc gia 2018)
Cho hình lập phương ABCDA����
B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình
vuông A����
B C D và điểm M là điểm thuộc OI sao cho OM  2 MI (hình vẽ).
D ) và ( MAB ) bằng:
Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC ��
A.

6 85
85

B.

6 13
65

C.

17 13
65

D.

7 85
85

Lời giải:

C

B

Gọi cạnh của lập phương là a
(0;0;0) như
Chọn hệ trục tọa độ sao cho B�

A

(a;0;0) ; C �
(0; a;0) ;
hình vẽ. Khi đó : A�

O

B�

B (0;0; a ) ; D�
(a; a;0) ; A(a;0; a ) ; C (0; a; a) ;
D ( a; a; a ) .

A�

x
a�

�a a

Vì O là tâm hình lập phương nên O � ; ; �
�2 2 2 �

.

I

D
y

C�

D�

�a a �
B C D nên I � ; ;0 �
Vì I là tâm hình vuông A����
�2 2 �
uuuu
r
uuu
r
�a a a �
Vì OM  2 MI nên M � ; ; �
�2 2 6 �
uuuur � a a a � uuuur �a a a �
�
 ; ;  �và MD�
 � ; ; �
Ta có MC �

�2 2 6�
�2 2 6 �
uuuur uuuur � a 2 a 2 � a 2
� MC �
�MD�
�
0; ; �  0;1;3
� 6 2� 6
r
mp ( MC ��
D ) có vectơ pháp tuyến n   0;1;3
uuur uuur � 5a 2 a 2 � a 2
0;
; �  0;5;3
Tương tự : MA �MB  �
6
2� 6
�
11


ur
mp ( MAB) có vectơ pháp tuyến n�
  0;5;3
D ) và ( MAB) , ta có:
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( MC ��
r ur
cos   cos(n, n�
)

0  1.5  3.3
0  1  32 . 0  52  32



7 85
85

Đáp án D
Bài toán 3:(Trích đề thi Đại học sư phạm I – Khối B năm 2001)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1B1C1D1 có AB  a, AD  2a ,
AA1  a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M , gọi K là trung điểm B1M . Đặt
AM  m  0 �m �2a  .Tính thể tích khối tứ diện A1 KID theo a và m , trong đó I
là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:

z

D �Ax, B �Ay và A1 �Az . Khi đó
A(0;0;0), B(0; a;0), C (2 a; a;0)
D(2a;0;0), A1 (0;0; a 2), B1 (0; a; a 2)

D1

A1

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho

B1

A

I

B
y

C1

x

D
C

�m a a 2 �
a a 2
C1 (2a; a; a 2); D1 (2a;0; a 2); I ( a; ;
); M ( m;0;0); K � ; ;
�
2 2
�2 2 2 �
uuuu
r �m a a 2 �uuu
r � a a 2 �uuuu
r
;
A
I

a

;
;

;
A
D
Ta có: A1 K  � ; ; 
�1 �
� 1  (2a;0;  a 2)
2
2
2
2
2
�
�
�
�
uuuu
r uuu
r �a 2 2
�
2
�
A1 D, A1I �

;0;
a
Suy ra: �
�

�
�
2
�
�
Vậy VA KID
1

uuuu
r uuu
r uuuu
r a2 2
1�
 �
A1 D, A1I �
. A1 K 
(2a  m) (đvtt)
�
6
24

Khi đó, max V 

a3 2
, đạt được khi m  0
12

M

A

12


2.2. Các bài toán về hình chóp tam giác:
Bài toán 1: ( Đề 132 thi thử lần 5 THPT Chuyên Thái Bình năm 2019)
Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam
giác ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAC là tam giác cân. Tính
khoảng cách h từ A đến mặt phẳng ( SBC ) ?
A. h 

3a
7

B. h 

3a
2

C. h 

3a
7

D. h 

2a
7

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

z

O �A , C �Oy, S �Oz như hình vẽ. Khi đó:
A(0;0;0); C (0; a;0); B(

a 3 a
; ;0)
2 2

S

A H

Vì SAC cân đỉnh A nên SA  AC  a
� S (0;0; a)
uur �a 3 a
r
� uuu
Ta có: SB  � ; ; a �và SC  (0; a;  a)
�2 2
�
uur uuu
r
a2
�
�
��
SB, SC � 

1; 3; 3
2



x

C

y

B



r
mp ( SBC ) có vectơ pháp tuyến n  (1; 3; 3) nên có phương trình là:
x  3 y  3z  3a  0

Vậy h  d  A,( SBC )  

 3a
12  ( 3) 2  ( 3) 2



21a
7

Đáp án: D

Bài toán 2: ( Câu 30 - Đề 001 Sở giáo dục và Đào tạo Quãng Bình năm 2019)
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a , gọi M là trung điểm của SC . Tính
cosin của góc  là góc giữa đương thẳng BM và mp ( ABC ) ?

13


A. cos  

7
14

B. cos  

2 7
7

21
7

C. cos  

D. cos  

5
7

Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

O �A , C �Oy, S �Oz như hình vẽ. Khi đó:
A(0;0;0); C (0; a;0); B(

a
a 3 a
; ;0); S (0;0;2 a) ; M (0; ; a )
2
2 2
z

uuuu
r � 3a
�

;0; a �
Ta có: BM  �
� 2
�

S

r
mp ( ABC ) có vectơ pháp tuyến n  (0;0;1)
uuuu
rr
BM .n
a
2 7
sin   uuuu


r r 
Từ đó ta có:
7
3a 2
BM . n
 a2
4

C

A H

x

y

B

2

�2 7 �
21
� cos   1  sin 2   1  �
�
�7 � 7
Đáp án: C
Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011)
Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B , BA  BC  2a . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy.

Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt
AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 60o . Tính thể
tích khối chóp S .BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN
theo a .

S

Lời giải:

z

Đặt SA  z  0 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O �B như hình vẽ. Khi đó:
A(2a;0;0); B(0;0;0), C (0;2a;0)

x

N

A
M

y
C

14

B

M (a;0;0), S (2a;0; z ), N ( a; a;0)
r
Vectơ pháp tuyến của ( SBC ) là: n  ( z;0;2a )
ur
 (0;0;1)
Mặt phẳng ( ABC ) có vectơ pháp tuyến n�

Vì góc giữa hai ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600 nên ta tìm được z  2a 3
� S (2a;0;2a 3)
Suy ra VS . BCNM  a 3

uuu
r uuu
r uur
�
�
AB
,
SN
.SA 2 39
�
�
d
(
AB
,
SN
)



a
uuu
r uuu
r
3 và
13
�
�
AB, SN �
�

2.3. Các bài toán về hình chóp tứ giác:
Bài toán 1: ( Câu 43 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2017)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SC tạo mặt phẳng ( SAB ) một góc bằng 300 . Tính thể tích V
của khối chóp đã cho:
6a 3
A.V 
3

2a 3
B. V 
3

2a 3
C. V 
3

D.V  2a 3

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A �O, B �Ax, D �Ay, S �Az (như hình vẽ)
Khi đó: A(0;0;0), B( a;0;0), D(0; a;0), C (a; a;0)
uuu
r
S
(0;0;
c
)
c

0
Giả sử:
với
. Ta có: SC  (a; a; c)

z

S

Mặt phẳng đáy là mặt phẳng (Oxy ) nên có phương

A

trình: z  0

r
mp ( SAB ) có vectơ pháp tuyến : n  (0;1;0)
Gọi  là góc giữa SC và mặt phẳng ( SAB )
uuu

rr
SC.n
a
1

r r 
Theo đề ta có sin   uuu
2a 2  c 2 2
SC . n

y

xB

15


� c  2a
� S (0;0; 2a) và d ( S ,( ABCD))  2a
1
2 3
Vậy VS . ABCD  d ( S ,( ABCD)).S ABCD 
a
3
3
Đáp án: B
Bài toán 2: ( Câu 29 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2018)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật AB  a, BC  2a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách giữa đường thẳng AC
và SB bằng:

6a
2
Lời giải:
A.

B.

2a
3

C.

a
2

D.

a
3

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A �O, B �Ax, D �Ay, S �Az (như hình vẽ)
Khi đó: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C (a;2a;0), S (0;0; a)
uuur
z
Ta có: AC  (a;2a;0)
uur
SB  ( a;0; a )
uuu
r
AB  (a;0;0)

uuu
r uuur uur
� 2a 3 ;
AC
,
SB
Và AB. �
�
�
uuur uur
4
4
4
2
�
AC , SB �
�
� 4a  a  4a  3a

S

A

y

xB

Vậy, khoảng cách giữa đường thẳng AC và SB bằng:
uuu
r uuur uur

AB. �
AC , SB �
�
� 2a
d (AC,SB) 

uuur uur
(đvđd)
3
�
�
AC
,
SB
�
�
Đáp án: B
Bài toán 3: ( Câu 34- Đề 001 đề thi minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)

16


0
ˆ
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD=60
, SA  a và

SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD)
bằng:
A.

21a
7

B.

15a
7

21a
3

C.

D.

15a
3

Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD

S

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có: BD 2  AB 2  AD 2  2 AB. AD.cos600  a 2

z

� BD  a

A

Và: AC 2  AB 2  BC 2  2 AB.BC.cos1200  3a 2
� AC  3a

B

Khi đó: O(0;0;0); A(

y
O

3a
3a
a
a
;0;0); C (
;0;0);D(0; ;0); B(0;  ;0) ;
2
2
2
2

x

3a
;0; a)
2

S (

uuu
r � 3a a
uuu
r
�
Suy ra: SC  ( 3a;0;  a) và SD  � ; ;  a �
�2 2
�
uuu
r uuu
r �a 2 3a 2 3a 2 � a 2
�
SC , SD �
�
� �2 ; 2 ; 2 � 2 1; 3; 3
�
�
r
Mặt phẳng ( SCD) có vectơ pháp tuyến n  (1; 3; 3) nên có phương trình:



x  3 y  3z 

Vậy,

d ( B,( SCD)) 

a
3a
 3. 
2
2
1 3  3



3a
0
2



21a
7

Đáp án: A

17


Nhận xét: Đối với bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa
hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay bài toán về tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…khi giải bằng phương pháp cổ
điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất là dựng hình( trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn
đòi hỏi học sinh phải nắm vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩ
khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương pháp tiếp
cận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có công thức, do đó còn lại là

yêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính toán cơ bản để áp dụng
được công thức đã cho.
2.4. Bài tập rèn luyện:
Bài 1: ( Câu 17 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
Cho hình lăng trụ đứng ABC . A���
B C có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AC  2, BC  1 , AA�
B�
)?
và mp ( BCC �
 1. Tính góc giữa AB�
A. 450

B. 900

C. 300

D. 600

Bài 2:( Câu 43 Đề 001 đề thi thử THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội năm 2019)
Cho hình lăng trụ đứng ABC . A���
B C có đáy ABC là tam giác vuông tại
B�
)
A, BC  2a, AB  a 3 . Tính khoảng cách từ A đến mp ( BCC �
A.

a 7
3

B.

a 3
2

C.

a 5
2

D.

a 21
7

Bài 3: (Câu 11 Đề 061 thi thử THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần 3 năm 2019)
Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a
, cạnh bên . SA  a 5 . khoảng cách giữa BD và SC là:
A.

a 15
5

B.

a 30
5

C.

a 15
6

D.

a 30
6

Bài 4: : ( Câu 34 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
với AB  BC  a, AD  2a , SA vuông góc với đáy và SA  a . Tính theo a
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD ?
A.

a 6
6

B.

a 6
2

C.

a 6
3

D.

a 3

3
18


IV. Hiệu quả bước đầu của sáng kiến kinh nghiệm:
3. 1. Thời gian áp dụng:
Với đề tài nghiên cứu này, tôi đã áp dụng đối với học sinh lớp 12 năm học
2017-2018 và hiện tại tôi đang tiếp tục áp dụng đối với các lớp 12B , 12E năm
học 2018-2019. Sau khi học nội dung này và sau các bài kiểm tra, tác giả nhận
thấy hầu hết học sinh đều đạt mục tiêu bài học đề ra.
3.2. Hiệu quả đạt được.
a. Học sinh bước đầu đã có được phương pháp tiếp cận lời giải các bài
toán một cách khoa học, biết quy lạ về quen, đặc biệt một số em có tư chất tốt đã
biết phát hiện và đề xuất những ý tưởng mới.
b. Tạo sự hứng thú đối với học sinh khi tiếp cận với các bài toán hình
học không gian có trong các đề thi thử THPT trên toàn quốc.
c. SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy
Tân sử dụng trong dạy học các lớp khối 12, tác giả đã nhận được phản hồi tốt từ
các thầy cô. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian là một phương
pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh chuẩn bị thi THPT
Quốc gia, đặc biệt là các kỳ thi gần đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện
kỳ thi “ Ba chung”. Nên bản thân tôi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này.
2. Đề xuất, khuyến nghị.
Với thời gian ngắn, trình độ bản thân có hạn, chắc chắn đề tài của tôi còn có
nhiều hạn chế. Với tâm huyết và tấm lòng của mình, tôi muốn đóng góp cho
công việc dạy học một số giải pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Vì tác dụng tích cực trong việc ôn thi cho các em học sinh lớp 12 nên kính

mong hội đồng khoa học và quý thầy (cô) góp ý bổ sung để giải pháp tôi

19


đưa ra ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy
học ở trường THPT.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

LÊ THỊ TÍNH

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2. Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản, Nhà xuất
bản Giáo dục, 2007.
3. Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, Nhà
xuất bản Giáo dục, 2007 .
4. Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008.
5. Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, Nhà

xuất bản Giáo dục, 2009 .
6. Lê Hồng Đức( Chủ biên), Các phương pháp giải Hình học không gian bằng
phép tọa độ hóa, Nhà xuát bản Hà Nội, 2005.
7. Đề thi thử Kì thi THPT Quốc gia năm 2017- 2018 và 2018 - 2019 của các
trường trên toàn quốc. (tham khảo qua trang www.thusuc.page.tl).

21