Sáng tác bài toán tọa độ trong không gian có mức độ vận dụng cao từ một số mô hình không gian

MỤC LỤC
Mục

Nội Dung

Trang

1

Mục lục

1

2

1.Mở đầu

2

3

1.1 Lý do chọn đề tài

2

4

1.2 Mục đích nghiên cứu

2

5

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

6

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2

7

2.Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2

8

2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề

2

9

2.2 Thực trạng của vấn đề

3

10

2.3. Giải quyết vấn đề

3

11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

12

3. Kết luận, kiến nghị

19

13

3.1 Kết luận

19

14

3.2 Kiến nghị

19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia, các câu hỏi trong bài thi môn Toán được phân
thành 4 mức độ, đó là: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao. Việc
sáng tác các bài toán vận dụng cao không đơn giản khi phải đảm bảo các yêu cầu
về: giới hạn kiến thức trong SGK, phân loại được học sinh đồng thời lời giải không
quá dài, tính toán không quá phức tạp để học sinh có thể giải trong một khoảng thời
gian ngắn. Có rất nhiều cách để sáng tác các bài toán vận dụng cao, có thể từ các
bài toán thực tế, từ một bài toán gốc tự luận hay từ sự đặc biệt hóa, tổng quát hóa...
Để đưa ra một trong những cách sáng tác bài toán vận dụng cao như vậy, tôi
chọn đề tài: “SÁNG TÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÓ
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TỪ MỘT SỐ MÔ HÌNH KHÔNG GIAN”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Để sáng tác các bài toán mức độ vận dụng cao chúng ta thường xuất phát từ
một bài toán gốc, từ đó đề xuất ra các bài toán liên quan. Để định hướng cách giải
cho các bài toán vận dụng cao, chúng ta thường gợi ý cho học sinh tìm cách tư duy
ngược, tìm bài toán gốc từ các bài toán đã cho, giúp học sinh có được phương pháp
tư duy để giải được nhiều bài toán khác nhau.
Từ một giả thiết, tôi xây dựng các mô hình không gian với các điều kiện giải
được, đề xuất một cách tạo lập các bài toán vận dụng cao, giúp giáo viên dần hình
thành được kỹ năng ra đề thi trắc nghiệm môn Toán, đặc biệt là các bài toán vận
dụng cao và giúp học sinh hình thành được một trong những cách tư duy để giải
nhanh các bài toán vận dụng cao.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
2

Từ một giả thiết về đường thẳng và hai mặt cầu, hình thành các tình huống,
mô hình về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, đặt các câu hỏi và
đưa ra hướng giải quyết từ đó tọa độ hóa bài toán để được bài toán trắc nghiệm
mức độ vận dụng cao .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề xuất các câu hỏi và đưa ra hướng giải quyết dựa trên mối liên hệ, tính
chất của các yếu tố trong giả thiết.
Thực nghiệm sư phạm: Cho học sinh khá, giỏi làm các câu hỏi trắc nghiệm để
kiểm tra tính khoa học, hợp lý của câu hỏi vận dụng cao.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..
Với các kiến thức cơ bản về hình học không gian, đặc biệt là các tính chất về
tiếp tuyến, tiếp diện của một mặt cầu
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Phần lớn giáo viên thường gặp khó khăn khi sáng tác các bài toán vận dụng
cao, giáo viên thường copy bài có sẵn trên mạng biến đổi chút ít rồi thay số hoặc
hoặc lấy một bài toán tự luận quen thuộc rồi chuyển thể sang hình hình thức trắc
nghiệm, hầu như không có nhiều sự sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiệm này đề xuất
một hướng để sáng tạo các bài toán vận dụng cao.
2.3. Giải quyết vấn đề.
Thông qua cách khai thác một số mô hình từ giả thiết về đường thẳng và hai
mặt cầu, về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, chúng ta có thể
sáng tác được một lớp các bài toán vận dụng cao về tọa độ trong không gian.
Chúng ta xuất phát từ giả thiết sau:
Trong không gian, cho thẳng d và hai mặt cầu: mặt cầu  S1  có tâm I1 , bán
kính R1 , mặt cầu  S 2  có tâm I 2 , bán kính R2 .
Mô hình 1: Đường thẳng  đồng phẳng với I1I 2 , vuông góc với đường thẳng d
đồng thời tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  .
Hướng giải:
Nhận xét: Khi giải các bài toán trắc nghiệm, đặc biệt là các bài toán mức độ vận

dụng cao chúng ta thường xem xét các yêu tố, mối liên hệ đặc biệt của giả thiết để
đưa ra hướng giải nhanh nhất có thể.

3


TH1: Nếu R1  R2  R và  S1  ,  S2 
không có điểm chung thì tiếp tuyến
chung của  S1  ,  S 2  đồng phẳng
với I1I 2 sẽ song song với I1 I 2 hoặc
đi qua trung điểm M của I1I 2 .
+ Nếu d  I1 I 2 thì có vô số tiếp
tuyến thỏa mãn.
+ Nếu d không vuông góc I1I 2 , xét mặt phẳng    qua M và vuông góc với d ,
suy ra tiếp tuyến chung vuông góc với d ( nếu có ) của  S1  ,  S 2  sẽ nằm trên   
<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 1.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x 2  y 2  z 2  x  2 z  1  0 và  S2  : x

2

 y2  z 2  2 y  4z 

19
0
4

và hai điểm A  0; 1;3 , B  2; 2;1 . Số đường thẳng vuông góc với AB , đồng
phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

 S1 

�1
�
1
I1 � ;0; 1� R1  1
R

2
�,
2 ,  S 2  có tâm I 2  0;1; 2  ,
2.
có tâm �2

Ta có R1  R2 và vì

I1I 2 

3
 R1  R2
2
suy ra  S1  ,  S2  không có điểm chung.

4


uuur � 1
�
r
I1I 2  �
 ;1; 1� uuu
AB

  2; 1; 2 
�2
�và
vuông góc với nhau nên có vô số đường
thẳng vuông góc với AB , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và
tiếp xúc với cả  S1  ,  S2  . Chọn đáp án D.
Bài toán 1.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x 2  y 2  z 2  x  2 z  1  0 và  S2  : x

2

 y2  z 2  2 y  4z 

19
0
4

và hai điểm A  1; 2;1 , B  1; 2;3 . Số đường thẳng vuông góc với AB , đồng
phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.1 nhưng ta có:

uuur � 1
�
r
I1I 2  �
 ;1; 1� uuu
�2
�và AB   0;0;2  không vuông góc với nhau .
�1 1 3 �
I1I 2 � M � ; ;  �
.
4
2
2
�
�
Gọi M là trung điểm
Gọi mặt phẳng    qua M và vuông góc với AB , phương trình    : 2 z  3  0 .
Ta có

d  I1 ,     

1
�
2 có 1 đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án B.

Bài toán 1.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x

2

 y  z  x  2z  1  0
2

2

và

 S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z 

19
0
4

và hai điểm A  2; 1;1 , B  1; 2;3 . Số đường thẳng vuông góc với AB , đồng phẳng
với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.
5


Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.2 nhưng ta có:

uuur � 1
�
r
I1I 2  �
 ;1; 1� uuu
AB
  1; 1;2 
�2
�và
không vuông góc với nhau .
15

:
x

y

2
z

0



4
Gọi   qua M và vuông góc với AB , phương trình
.

Ta có

d  I1 ,     

5 6 1
 �
24 2
không có đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án A.

Bài toán 1.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x

2

 y  z  x  2 z  1  0 và
2

2

 S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z 

19
0
4

và hai điểm A  1;1;2  , B  1;2;3 . Số đường thẳng vuông góc với AB , đồng phẳng
với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.3, ta có:

uuur � 1
�
r
I1I 2  �
 ;1; 1� uuu
AB
  2;1;1 không vuông góc với nhau .
�2
�và
Gọi    qua M và vuông góc với AB , phương trình    : 2 x  y  z  0 .

Ta có

d  I1 ,     

1
2 6



1
�
2

có đúng 2 đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.

TH2: Nếu R1 �R2
a. Xét  S1  ,  S2  rời nhau:

6


+ Gọi điểm M thỏa mãn
uuur
r
R uuuu
MI1  � 1 MI 2
R2
, suy ra tiếp
tuyến chung của  S1  ,  S2 
đồng phẳng với I1I 2 sẽ đi qua
M.
+ Gọi mặt phẳng    qua M và vuông góc với d , suy ra tiếp tuyến chung của
 S1  ,  S2  đồng phẳng với I1I 2 sẽ nằm trên    .
<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì sẽ có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

b. Xét  S1  ,  S 2  cắt nhau: gọi
uuur R uuuu
r
MI1  1 MI 2
R2
điểm M thỏa mãn
và giải tương tự như trên.
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 1.5. Trong không gian
với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I  0; 1;3 , J  2;1;1 , K  1;2;3 , H  2;0;4  . Gọi

 S1  là mặt cầu tâm

I , bán kính R1  2 ,  S 2  là mặt cầu tâm J , bán kính R2  1 . Số
đường thẳng vuông góc với KH , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt
cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Ta có IJ  2 3  R1  R2  3 suy ra  S1  ,  S 2  không có điểm chung.

7


Gọi điểm M thỏa mãn

�
M  4;3; 1
uuu
r
uuur �
MI  �2MJ � � �4 1 5 �
M�; ; �
�
� �3 3 3 �

Gọi    qua M và vuông góc với KH
8
�
�  : x  2 y  z  3  0 � d  I ,       2
6
��
� : 3x  6 y  3 z  7  0 � d I ,   8  2
 
  
�

54
�
.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Mô hình 2: Đường thẳng  đồng phẳng với I1I 2 , cắt đường thẳng d đồng thời
tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  .
Hướng giải:
Để thuận lợi cho việc chuyển sang bài toán trắc nghiệm chúng ta xét một số
trường hợp sau (có thể không cần xét hết các khả năng có thể xảy ra):
TH1: Nếu R1  R2  R và  S1  ,  S2  cắt nhau. Tương tự bài toán trong mô hình 1,
+ Nếu d / / I1I 2 thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu d và I1I 2 chéo nhau, gọi    là mặt phẳng chứa d và song song với I1I 2 :
<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì có đúng 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu

d  I1 ,      R

thì có đúng 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

+ Nếu d và đường thẳng I1I 2 cắt nhau thì có đúng 2 tiếp tuyến thỏa mãn.
Các bài toán trắc nghiệm:

8


Bài toán 2.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:
1
 S1  : x 2  y 2  z 2  x  2 z   0  S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z  4  0
4
và
và hai
điểm A  2;2;5 , B  3;0;7  . Số đường thẳng cắt AB , đồng phẳng với đường thẳng
nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Ta có R1  R2  1 và  S1  ,  S2  cắt nhau.

uuur � 1
r
uuu
r �3
� uuu

�
I1I 2  �
 ;1; 1� AB   1; 2;2  , I1 A  � ;2;6 �� AB / / I1I 2
�2
�,
�2
�
nên không có đường
thẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 2.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:
1
 S1  : x 2  y 2  z 2  x  2 z   0  S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z  4  0
4
và
và hai
điểm A  2; 3;4  , B  1;0;1 . Số đường thẳng cắt AB , đồng phẳng với đường thẳng
nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

d I ,     2  1
Gọi    chứa AB và song song với I1I 2 �    : y  z  1  0 ,  1
nên không có đường thẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.

Bài toán 2.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:
1
 S1  : x 2  y 2  z 2  x  2 z   0  S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z  4  0
4
và
và hai
� 1� � 1�
A �2;0; �
, B�
3;2; �
2
2�
�
�
�
điểm
. Số đường thẳng cắt AB , đồng phẳng với đường thẳng
nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.
9


Hướng dẫn giải:
Ta có AB cắt I1I 2 nên có 2 đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.

TH2: Nếu R1 �R2 và  S1  ,  S 2  cắt nhau:

uuur R uuuu
r
1
MI1 
MI 2
R
2
M
+ Gọi điểm
thỏa mãn
, suy ra tiếp tuyến chung  của  S1  ,  S2  ,
đồng phẳng với I1I 2 sẽ đi qua M .
+ Nếu M �d thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu I1 �d , gọi H là một tiếp điểm của  với  S1 
d�, I I  �I�MH
d�, I I  �0


<*> Nếu
và
1 2

1

1 2

0

thì có đúng 2 tiếp tuyến thỏa

mãn.
<*> Nếu d �I1I 2 thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn.
d�, I I   I�MH

<*> Nếu
thì có đúng 1 tiếp tuyến thỏa mãn.
1 2

1

Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 2.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I  0; 1;3 ,
J  2;1;1 , K  1;2;3 , H  2;1;7 
. Gọi  S1  là mặt cầu tâm I , bán kính R1  4 ,  S 2  là
mặt cầu tâm J , bán kính R2  2 . Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng
phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Ta có

2  R1  R2  IJ  2 3  R1  R2  6

suy ra  S1  ,  S2  cắt nhau.

uuu
r
uuur
MI

2
MJ � M  4;3; 1 .
Gọi điểm M thỏa mãn

10


uuur
x 1 y  2 z  3
KH   3; 1;4  � KH :


� M �KH �
3
1
4
có vô số tiếp tuyến
thỏa mãn. Chọn đáp án D.
Bài toán 2.5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I  0; 1;3 ,
J  2;1;1 , K  1;2;3 , H  3;0; 1
. Gọi  S1  là mặt cầu tâm I , bán kính R1  4 ,  S 2  là
mặt cầu tâm J , bán kính R2  2 . Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng

phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Tương tự Bài toán 2.4 suy ra  S1  ,  S 2  cắt nhau.
uuu
r
uuur
MI

2
MJ � M  4;3; 1 .
Gọi điểm M thỏa mãn
uuur
x 1 y  2 z  3
KH   2; 2; 4  � KH :


� J �KH
1
1
2





MJ 2  R22
2
6
�
cos KH , IJ 
�

�
3
MJ
3
Ta có
có đúng hai tiếp tuyến thỏa mãn.
Chọn đáp án C.
Bài toán 2.6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I  0; 1;3 ,
J  2;1;1 , K  3;2;1 , H  0; 1;1
. Gọi  S1  là mặt cầu tâm I , bán kính R1  4 ,  S 2  là
mặt cầu tâm J , bán kính R2  2 . Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng
phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả  S1  ,  S 2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:
Tương tự Bài toán 2.4 suy ra  S1  ,  S 2  cắt nhau.
uuu
r
uuur
MI

2
MJ � M  4;3; 1 .
Gọi điểm M thỏa mãn

11


�x  3  t
uuur
�
KH   3; 3;0  � KH : �y  2  t � J �KH
�z  1
�





MJ 2  R22
6
6
�
cos KH , IJ 



�
3
MJ
3
Ta có
có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn.
Chọn đáp án B.
Mô hình 3: Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d tiếp xúc với cả  S1  ,  S2  ( hoặc
tiếp xúc với  S1  và cắt  S 2  theo đường tròn có bán kính r hoặc cắt  S1  ,  S 2 
lần lượt theo các đường tròn có bán kính r1 , r2 ).
Hướng giải:
TH1: Nếu R1  R2  R và  S1  ,  S 2  cắt
nhau thì  P  sẽ song song với I1I 2 .
+ Nếu d / / I1I 2 thì:
<*> d  d , I1I 2   R thì không có mặt
phẳng nào thỏa mãn.
<*> d  d , I1I 2   R thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
<*> d  d , I1I 2   R thì có đúng hai mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu d và I1I 2 chéo nhau thì gọi    là mặt phẳng chứa d và song song với I1I 2
<*>

d  I1 ,     �R

thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,      R

thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

12


TH2: Nếu R1  R2  R và  S1  ,  S2  rời
nhau thì  P  sẽ song song với I1I 2 hoặc đi
qua trung điểm M của I1I 2 .
+ Nếu d / / I1I 2 thì giống như TH 1.
+ Nếu M �d :
<*> d  I1, d   R thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
<*> d  I1 , d   R thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
<*> d  I1, d   R thì có đúng hai mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu d và I1I 2 chéo nhau thì gọi    là mặt phẳng chứa d và song song với I1I 2
,    là mặt phẳng chứa d và đi qua M.
<*>

d  I1 ,      R

thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,     �R

thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,      R

thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,     �R

thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

TH3: Nếu R1 �R2
a. Xét  S1  ,  S2  rời nhau:

uuur
r
R1 uuuu
MI1  � MI 2
R2
M
+ Gọi điểm
thỏa mãn
+ Gọi mặt phẳng    qua M và chứa d (biết M �d , TH M �d được giải quyết
trong Mô hình 4).
<*> Nếu

d  I1 ,      R1

thì sẽ có một mặt phẳng thỏa mãn.

13

<*> Nếu
b. Xét  S1  ,  S 2 
như trên.

d  I1 ,     �R1

thì sẽ không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

uuur R uuuu
r
MI1  1 MI 2
R2
cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn
và giải tương tự

( Các bài toán  P  chứa d và tiếp xúc với  S1  và cắt  S 2  theo đường tròn có
bán kính r hoặc cắt  S1  ,  S2  lần lượt theo các đường tròn có bán kính r1 , r2 được
giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 3.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x

2

 y  z  x  2z  1  0
2

2

và

 S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z 

19
0
4

�1
�
A � ;1; 1�
, B  1;2;0 
2
�
�
và hai điểm
. Số mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với cả
 S1  ,  S2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

 S1 

�1
�
1
I1 � ;0; 1� R1  1
R

2
�,
2 ,  S 2  có tâm I 2  0;1; 2  ,
2.
có tâm �2

Ta có R1  R2 và vì

I1I 2 

3
 R1  R2
2
suy ra  S1  ,  S2  không có điểm chung.

r �1
�1 1 3 � uuu
�
M � ; ;  � AB  � ;1;1�
�2
�.
Trung điểm của I1I 2 là �4 2 2 �và

5 1
x 1 y  2 z
d  I1 , AB  


 � M �AB
3 2 nên có 2 mặt phẳng
1
2
2
. Ta có
thỏa mãn. Chọn đáp án C.
AB :

14


Bài toán 3.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

 S1  : x

2

 y  z  x  2z  1  0
2

2

và

 S2  : x 2  y 2  z 2  2 y  4 z 

19
0
4

và hai điểm A  2;1;4  , B  1;3;0  . Số mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với cả
 S1  ,  S2  là:
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Tương tự Bài toán 3.1. Ta có M �AB .
Gọi mặt phẳng    chứa AB và song song với I1I 2 �    : 2 x  y  5  0.
Gọi mặt phẳng    chứa AB và đi qua M �    : 26 x  3 y  8 z  17  0.

4 1
4
1
� , d  I1 ,     
�
5 2
749 2 nên không có mặt phẳng nào thỏa
Ta có
mãn. Chọn đáp án A.
d  I1 ,     

Bài toán 3.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  1;1;2  ,
2
R1 
B  2; 1;3 , C  3;1;4  , D  1;0;1 . Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính
5 ,  S2 
1
R2 
5 . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD và tiếp xúc
là mặt cầu tâm B bán kính
với cả  S1  ,  S 2  .
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S 2  rời nhau.

�
M  3; 3;4 
uuur
uuur �
MA  �2MB � � �5 1 8 �
M � ; ; �
�
�3 3 3 �.
�

M
Gọi điểm
thỏa mãn
Gọi mặt phẳng    qua M và chứa CD

15


2
�
   : 3x  4 z  7  0 � d  A,       R1
�
5
��
2
�
�R1
�  : 2 x  y  3z  5  0 � d  A,     
14
�
.

Suy ra có đúng 1 mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Bài toán 3.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  1;1;2  ,
B  2; 1;3 , C  3;1;4  , D  1;0;1

. Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính R1  4 ,  S2 
là mặt cầu tâm B bán kính R2  2 . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD và tiếp xúc
với cả  S1  ,  S 2  .
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S 2  cắt nhau.
uuur
uuur
MA

2
MB � M  3; 3;4 
Gọi điểm M thỏa mãn
. Gọi mặt phẳng    qua M và
d A,     �4  R1
chứa CD , ta có 
, suy ra không có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp
án A.
Bài toán 3.5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  1;1;2  ,
B  2; 1;3 , C  0;0;6  , D  3;0;3 . Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính R1  2 ,
 S2  là mặt cầu tâm B bán kính R2  4 . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD , tiếp
xúc với  S1  và cắt  S 2  theo một đường tròn có bán kính r  7 .

A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S 2  cắt nhau.

uuur 2 uuur
MA  MB � M  1;5;0 
3
M
Gọi điểm
thỏa mãn
. Gọi mặt phẳng    qua M và
4
d  A,     
�2  R1

:x y z60�


3
CD
chứa
, ta có
, suy ra không có
mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án A.
16


Mô hình 4: Mặt phẳng  P  song song với đường thẳng d tiếp xúc với cả
 S1  ,  S2 

( hoặc tiếp xúc với  S1  và cắt  S 2  theo đường tròn có bán kính r hoặc cắt
 S1  ,  S2  lần lượt theo các đường tròn có bán kính r1 , r2 )
TH1: Nếu R1  R2  R và  S1  ,  S2  cắt nhau thì  P  sẽ song song với I1 I 2 .
+ Nếu d / / I1I 2 thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu d không song song với I1I 2 thì gọi    là mặt phẳng chứa d và song song
với I1I 2 .
<*>

d  I1 ,      R

thì có 1 mặt phẳng thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,     �R

thì có 2 mặt phẳng thỏa mãn.

+ Nếu d và I1I 2 chéo nhau thì gọi    là mặt phẳng chứa d và song song với I1I 2
<*>

d  I1 ,     �R

thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

<*>

d  I1 ,      R

thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

TH: Nếu R1 �R2 :
Xét  S1  ,  S 2  rời nhau:

uuur
r
R uuuu
MI1  � 1 MI 2
R2
+ Gọi điểm M thỏa mãn
+ Gọi đường thẳng  qua M và song song với d �  � P  .
<*> Nếu d  I1 ,    R1 thì sẽ không có mặt phẳng thỏa mãn.
<*> Nếu d  I1 ,    R1 thì sẽ có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

17


<*> Nếu d  I1 ,    R1 thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn.
b. Xét  S1  ,  S2 
như trên.

uuur R uuuu
r
MI1  1 MI 2
R2
cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn
và giải tương tự

( Các bài toán  P  song song d và tiếp xúc với  S1  và cắt  S 2  theo đường tròn
có bán kính r hoặc cắt  S1  ,  S 2  lần lượt theo các đường tròn có bán kính r1 , r2

được giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 4.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu :

 S1  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4  0 và  S2  : x 2  y 2  z 2  6 x  0





A  1;4;0  , B 0;1;  2
và hai điểm
. Số mặt phẳng song song với AB và tiếp xúc
với cả  S1  ,  S 2  là:

A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

 S1 

có tâm I1  1; 2;0  , bán kính R1  3 ,  S 2  có tâm I1  3;0;0  , bán kính R2  3

Ta có R1  R2 và vì 0  I1I 2  2 2  R1  R2 suy ra  S1  ,  S2  cắt nhau.

Gọi mặt phẳng    chứa AB và song song với I1I 2 , ta có
   : x  y  2 z  3  0 � d  I1 ,      3 , suy ra có 1 mặt phẳng thỏa mãn. Chọn
đáp án B.
Bài toán 4.2.

�3 3 1 �
A  1;2; 3 , B � ; ;  �
,
Oxyz
2
2
2
�
�
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
C  1;1;4  , D  5;3;0  . Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính R1  3 ,  S 2  là mặt cầu

18


R2 

3
2 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với CD đồng thời tiếp

tâm B bán kính
xúc với cả  S1  ,  S 2  .
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S2  cắt nhau.
uuur
uuur
MA

2
MB � M  2;1;2 
Gọi điểm M thỏa mãn
. Gọi  qua M và song song với
x  2 y 1 z  2
�:


CD
2
1
2 , ta có d  A,    3 2  R1  3 , suy ra có 2 mặt
phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Bài toán 4.3.

�3 3 1 �
A  1;2; 3 , B � ; ;  �
,
Oxyz

2
2
2
�
�
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
C  0;1; 1 , D  1; 1;1
. Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính R1  3 ,  S 2  là mặt cầu
R2 

3
2 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với CD đồng thời tiếp

tâm B bán kính
xúc với cả  S1  ,  S 2  .
A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S 2  cắt nhau. Tương tự Bài toán 4.2
�:

x  2 y 1 z  2



1
2
2 , ta có

Gọi  qua M và song song với CD
74
d  A,   
 R1  3
3
, suy ra không có mặt phẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 4.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  1;1;2  ,
B  2; 1;3 , C  2; 1; 1 , D  5;2;0 

. Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính R1  2 ,
 S2  là mặt cầu tâm B bán kính R2  4 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với
CD , tiếp xúc với  S1  và cắt  S 2  theo một đường tròn có bán kính r  7 .

19


A. 0.

B.1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có  S1  ,  S 2  cắt nhau.

uuur 2 uuur
MA  MB � M  1;5;0 
3
M
Gọi điểm
thỏa mãn
. Gọi  qua M và song song với
x 1 y  5 z
2 2090
�:


d  A,   
 R1  2
3
3
1 , ta có
19
CD
, suy ra có 2 mặt
phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
2.4 .Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên một số đối tượng là
học sinh khá, giỏi ở các lớp trường THPT Đào Duy Từ. Trong đó kiểm tra bằng
hình thức trắc nghiệm với 15 câu trắc nghiệm trong thời gian làm bài 45 phút. Kết
quả thu được như sau:
Lớp

12A4

12A6

Sĩ số
học
sinh
khá,
giỏi
35
25

Số câu đúng < 6
Số lượng

%

3
8

8.6
32

6 �Số câu
đúng<10
Số lượng
%
22
12

62.5
48

Số câu đúng �10
Số lượng

%

10
5

28.9
20

Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạt
chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình sáng tạo
về việc ra đề thi trắc nghiệm và hướng dẫn học sinh khá, giỏi làm các câu hỏi vận
dụng cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Đào Duy Từ. Tôi đã thu
được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh nắm vững một số kỹ năng
giải toán vận dụng cao mà còn giúp các em hình thành được tư duy linh hoạt, sáng
tạo, phản ứng nhanh với các tình huống, phát hiện nhanh các trường hợp được đặc
biệt hóa trong đề bài. Ngoài ra, học sinh còn tự phát hiện, tìm tòi để tự sáng tạo các
bài toán vận dụng cao từ các bài toán gốc cũng như các mô hình không gian, đồng
thời giúp các em phân tích được các phương án gây nhiễu trong đề thi trắc nghiệm,

20


đặc biệt là các câu vận dụng cao. Trên cơ sở đó, các em tự tin hơn trong khi học và

đạt kết quả cao khi làm bài thi trắc nghiệm môn Toán.
3.2. Kiến nghị và đề xuất.
- Cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi về kỹ năng sáng tác các bài toán mức độ
vận dụng cao cho toàn thể cán bộ giáo viên, đặc biệt là các giáo viên cốt cán.
- Học sinh khá, giỏi cần được học tập cách phân tích, tư duy các bài toán vận dụng
cao, dần hình thành tư duy phân tích bản chất, phản ứng nhanh và đặc biệt là có thể
tự sáng tạo nâng các bài toán có mức độ vận dụng cao.
- Qua việc nghiên cứu vấn đề này tôi hy vọng các đồng nghiệp có thể đóng góp, bổ
sung, hoàn thiện, mở rộng, cải tiến các phương pháp sáng tạo, để sáng tác các bài
toán mức độ vận dụng cao nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ
thông.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Việt Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008.
2. Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008.
3. Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao – Văn Như Cương ( chủ biên) - Nhà xuất bản
21

Giáo dục, 2008.
4. Sách bài tập Hình học 12 Nâng cao - Văn Như Cương ( chủ biên) - Nhà xuất bản
Giáo dục, 2008.
5. Một số tài liệu tham khảo trên mạng internet.

22