Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số trong chương tr

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một là: Trong nhiều năm gần đây, nền giáo dục đang có nhiều thay đổi và
chuyển biến rất mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung môn học, giảm tải chương
trình môn học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi
các tuyển sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học và sắp
tới áp dụng trương trình giáo dục tổng thể...chính sự chuyển biến đó đòi hỏi học
sinh phải thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên cũng phải tự thay đổi
cách dạy cho phù hợp. Để làm được điều đó đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều
thời gian tự trau dồi chuyên môn mới đáp ứng được yêu cầu trong quá trình dạy
học. Giáo viên không chỉ đơn thuần dạy phương pháp cho học sinh mà phải chỉ
ra được những lỗi thường mắc của học sinh khi giải toán. Từ đó học sinh hiểu rõ
nguồn gốc của vấn đề.
Hai là: Môn toán học là môn học vô cùng khó với nhiều học sinh. Trong
thâm tâm các em thường sợ học môn toán bởi các lí do như sau: Một là môn
toán đòi hỏi tư duy cao, học sinh không chỉ nhớ kiến thức đã học mà còn phải
biết vận dụng kiến thức đó một cách thành thạo. Hai là các em cho rằng môn
toán là môn học khô khan, đơn thuần chỉ là các phép tính máy móc với những
con số nên không tạo được hứng thú cho các em khi học. Ba là các em thấy học
toán không có tác dụng nhiều cho học môn khác và không ứng dụng được nhiều
vào cuộc sống. Vì vậy, để nâng cao được chất lượng giáo dục nói chung, giáo
dục môn toán nói riêng trước hết phải làm thông tư tưởng học sinh. Từ đó các
em có thái độ yêu thích môn toán và thấy được vai trò của môn toán với môn
học khác và cuộc sống.
Ba là: Trong các đề thi tốt nghiêp trung học phổ thông quốc gia hiện nay
nội dung hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số chiếm tỉ lệ rất cao do đó
nhu cầu giải quyết các bài toán hàm số là rất thiết yếu với đa số học sinh. Trong
khi đó để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số nói trên một dụng cụ
không thể thiếu là đạo hàm. Phương pháp đạo hàm là một phương pháp rất tốt
để giải quyết hầu hết những bài toán liên quan đến hàm số trong các đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thông quốc gia hiện nay. Ưu điểm của phương pháp này là

rất hiệu quả, dễ sử dụng và phù hợp với nhiều mức độ câu hỏi cũng như phù hợp
với nhiều đối tượng học sinh.
Bốn là: Hiện nay đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán dưới dạng
trắc nghiệm nên chỉ cần một lỗi nhỏ sẽ dẫn đến lựa chọn sai đáp án. Trong khi
đó thực tế khi học sinh áp dụng đạo hàm để giải các bài tập liên quan đến hàm
số thường gặp phải những khó khăn và chính những khó khăn đó nhiều học sinh
không vượt qua được nên rất dễ dẫn đến những sai lầm. Trong quá trình giảng
dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi ứng dụng đạo hàm để
giải các bài toán liên quan đến hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà
chính các em sẽ không tự mình nhận ra được và tự mình khắc phục được nếu
không có sự hướng dẫn của người thầy.
Chính vì những lí do như trên nhằm giúp học sinh nắm trắc các kiến thức
về đạo hàm và tránh được những lỗi thường mắc của học sinh khi sử dụng đạo
1


hàm để giải các bài tập liên quan đến hàm số, từ đó rèn luyện cho học sinh kỹ
năng ứng dụng đạo hàm trong giải toán nên tôi lựa chọn đề tài: "Phân tích
những lỗi thường gặp của học sinh khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán
liên quan đến hàm số trong chương trình lớp 12 trường THPT Quảng Xương
4 " để nghiên cứu. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học
trường THPT Quảng Xương 4 và hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để
sáng kiến được hoàn chỉnh hơn.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Chỉ ra cho học sinh thấy những lỗi thường mắc phải khi sử dụng đạo hàm để
giải các bài toán liên quan đến hàm số. Từ đó giúp học sinh hiểu đúng bản chất
và nguồn gốc của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán ứng dụng đạo hàm.
Từ đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh.
- Đề tài còn là tài liệu để học sinh và đồng nghiệp nghiên cứu và tham khảo.

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Đề tài nghiên cứu cách ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán liên quan
đến hàm số (chương I, giải tích lớp 12).
- Đề tài chỉ ra những lỗi thường mắc của học sinh khi sử dụng đạo hàm và cách
khắc phục những lỗi đó.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài như các định
nghĩa, các định lí và các quy tắc làm cơ sở lý thuyết cho quá trình làm đề tài.
2. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Điều tra thực nghiệm từ học sinh và các đồng nghiệp nhằm thu thập
thông tin, bổ sung cho kết quả nghiên cứu để tăng độ tin cậy.
3. Phương pháp thống kê, xử lý số liệu
Các kết quả, số liệu thu được sẽ được thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy
được hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
4. Phương pháp đối chứng.
So sánh chất lượng giáo dục trước khi thực nghiệm đề tài và sau khi thực
nghiệm đề tài. So sánh các đối tượng thực nghiệm đề tài với nhau (lớp 12B và
12I)
5. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Tìm hiểu chắt lọc các thông tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo,
mạng internet

2


B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận về các dạng toán liên quan đến hàm số.
a. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.

* Định nghĩa: [1]
+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
* Định lí xét tính đơn điệu của hàm số: [1]
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K. (Kí hiệu K là khoảng,
đoạn hoặc nửa khoảng)
- Nếu f '(x) > 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
- Nếu f '(x) < 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Nếu f '(x) = 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên K.
* Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến: [3]
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì
tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất
này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính
chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số
không cùng dương trên D.
b. Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.
Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a; b ] (tức là f(x) liên tục trên [a; b ] và f '(x) >
0 với " x Î ( a; b) ) thì với " x1 , x2 Î [a; b ], x1 > x2 Þ f (x1 ) > f (x 2 ) [1].
c. Dạng 3: Bài toán tính đạo hàm của hàm số.
Hàm số hợp y = uα có đạo hàm y/ = α.uα −1.u' (*)[2].
+ công thức (*) chỉ đúng với số mũ α là hằng số.
+ Nếu α không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
d. Dạng 4. Tìm cực trị của hàm số.
* Định lí 1: [1]
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \ { x0} , với h > 0.

+ Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f '(x) < 0 trên khoảng (x0;x0 + h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
+ Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f '(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
3


* Định lí 2: [1]
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 − h; x0 + h) ,
với h > 0. Khi đó:
+ Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
+ Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
e. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
* Định nghĩa: [1]
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu:
 f(x) ≤ M , ∀x∈ D
M = max f(x) ⇔ 
D
∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu:
 f(x) ≥ m , ∀x∈ D
∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m

m= min
f(x) ⇔ 
D

* Chú ý:

- Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) nhưng không ∃x0 ∈ D : f(x0) = m
(hay ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị
nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
- Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà
chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép
đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
f. Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C):
+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ (C) có phương trình:
y = f '(x0).(x - x0) + y0[2].
+ Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình:
y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:
 f(x) = k(x − x1) + y1
(*,*)[3].

 f '(x) = k

* Chú ý:
Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ
(*,*). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn một tiếp tuyến.
2. Những lỗi thường gặp khi giải toán
a. Mắc lỗi trong xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa
về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số.

4


b. Mắc lỗi trong chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn
điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng
biến, nghịch biến.

c. Mắc lỗi trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai
công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
d. Mắc lỗi trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận
dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng (a;b).
e. Mắc lỗi trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
f. Mắc lỗi trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
II. THỰC TRẠNG VỀ ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
Hiện tại sau một số lần thi thử THPT quốc gia đa số học sinh khi gặp các
bài toán về hàm số và áp dụng đạo hàm để giải các bài toán đó các em thường
gặp phải những khó khăn nhất định. Chính những khó khăn đó nhiều học sinh
không vượt qua được nên rất dễ dẫn đến những lỗi và lựa chọn phương án sai,
các lỗi đó thường là:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D.
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ
thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TẠI
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
Trong quá trình thực tế giảng dạy tại trường trung học phổ thông Quảng
Xương 4 tôi nhận thấy các em học sinh cho rằng nội dung hàm số là nội dung dễ
nên các em rất chủ quan khi giải các bài tập hàm số. Chính tâm lí chủ quan đó
nên các em rất hay mắc các lỗi khi giải toán hàm số. Sau đây là tổng hợp các ví

dụ thực tế tôi giảng dạy mà đa số học sinh trường trunh học phổ thông Quảng
Xương 4 thường mắc lỗi khi giải toán.
1. Mắc lỗi khi xét tính đơn điệu của hàm số.
* Ví dụ minh họa 1:
Cho hàm số y = f(x) =

x− 1
. Khoảng đơn điệu của hàm số là:
x+ 1

A. Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
B. Hàm số nghịch biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
5


C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; +¥ ) .
D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ¥ ; - 1) và (- 1; +¥ ) .
+ Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D
Bảng biến thiên:
- ¥
x
y'
y

-1
+

+

+¥

1

+¥

1

- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ ) nên chọn đáp án A
+ Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận
của bài toán. Chú ý rằng: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi
x1, x2 thuộc D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x 1
= - 2 Î D và x2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2)
+ Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D
Bảng biến thiên:
- ¥
x
y'

-1
+

+
+¥

y

1

+¥

1
- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ; - 1) và (- 1; +¥ ) .
Nên đáp án đúng là C
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
* Ví dụ minh họa 2:
Cho hàm số y = f(x) = x − 1+ 4− x2 . Khoảng đơn điệu của hàm số là:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) , nghịch biến trên các khoảng
(- 2; - 2) và ( 2; 2) .

6


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 2; 2) , đồng biến trên các khoảng
(- 2; - 2) và ( 2; 2) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng
( 2; 2) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 2; 2) và đồng biến trên khoảng

( 2; 2) .
+ Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ]
Ta có: y' = 1−
y' = 0 ⇔ 1−

x
4 − x2
x = − 2
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4− x2 = x2 ⇔ 
4− x2
 x = 2

x

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ
nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
-2
2
- 2
2
x
y'
0
+
0
-3
2 2- 1
y
-1

1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) , nghịch biến trên các khoảng
(- 2; - 2) và ( 2; 2) . Nên chọn đáp án A
+ Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên
- 2; - 2 ù
đoạn é
ê
ú
ë
û giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống – 1. Thực ra ở đây - 2
không phải là điểm tới hạn của hàm số.
+ Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = [- 2; 2] . Ta có: y' = 1−
y' = 0 ⇔ 1−

x
4 − x2

x ≥ 0
= 0 ⇔ 4− x2 = x ⇔ 
⇔ x=
2
2
4− x
4− x = x
x

2

2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
-2
2
2
x
y'
+
0
2 2- 1

y

-3

1
7


Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng
( 2; 2) . Nên chọn đáp án đúng là C
 Khi sử dụng định lí để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là
điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Điều ngược lại nói chung là
không đúng.
* Ví dụ minh họa 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- 1
đồng biến trên ¡ .
C. - 3 £ m £ 3
D. - 3 < m < 3

A. - 3 < m < 3 B. - 3 £ m £ 3
+ Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ .
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 , " x Î ¡
ïì a > 0
Û ïí
Û
ïïî D ' < 0

ìïï
3 >0
í 2
Û ïïî m - 3 < 0

3 < m < 3 . Nên chọn đáp án A.

+ Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x2
³ 0 , " x Î ¡ , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0. Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định
trên khoảng (a;b), f '(x) ³ 0 , " x Î (a; b) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm
thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
+ Lời giải đúng là:
ìï a > 0

Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 , " x Î ¡ Û ïíï
ïî D ' £ 0
ìï
3 >0
Û ïí 2
Û ïïî m - 3 £ 0

3£ m£

3 . Vậy đáp án đúng là C.

 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập xét tính đơn
điệu của hàm số là: Kết luận khoảng đơn điệu sai, không chú ý đến các
điểm tới hạn để xét dấu đạo hàm, quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số là
điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần nên ngược lại không đúng.
2. Mắc lỗi khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải lỗi là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm
số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 4:
Trong các bước chứng minh: tanx > x, với " x Î
ở bước nào?
Bước 1: TXĐ: " x Î

æ pö
ç
0; ÷
ç
÷. Hãy chỉ ra sai lầm
ç
è 2÷
ø

æ pö
ç
0; ÷
ç

÷
ç
è 2÷
ø

8


ổ pử

0; ữ
Bc 2: Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2ữ
ứ
1
- 1 = tan 2 x > 0 , " x ẻ
Bc 3: Ta cú: f '(x) =
2
cos x

ng bin trờn khong

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ, suy ra hm s f(x)

ỗ
ố 2ữ
ứ

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ố 2ứ

p
2

Bc 4: T " x ẻ (0; ) ị x > 0 ị f (x) > f (0) tanx- x > 0 hay tanx > x, vi
ổ pử
"xẻ ỗ
0; ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2ữ
ứ

A. Bc 1
B. Bc 2
C. Bc 3
D. Bc 4

+ Phõn tớch: Cỏc bc gii trờn cú v ỳng nờn hc sinh rt khú tỡm ra phng
ỏn chn, nhng sai lm õy khỏ tinh vi. Sau khi kt lun f(x) ng bin trờn
khong

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữthỡ vỡ sao t x > 0 ị f(x) > f(0) ?
ỗ
ố 2ữ
ứ
ổ pử

0; ữ
Sai sút õy l 0 ẽ ỗ
ỗ
ữ. Vy ỏp ỏn la chn l D.
ỗ
ữ
ố 2ứ

Nh rng: Nu f(x) ng bin trờn on [a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn
[a; b ] v f '(x)> 0 vi " x ẻ ( a; b) ) thỡ vi " x1 , x2 ẻ [a; b ], x1 > x 2 ị f (x1 ) > f (x 2 )
+ Li gii ỳng l:
ộ pử

0; ữ
Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ờ
ữ.

ờ
ứ
ở 2ữ

Ta cú: f '(x) =

1
- 1 = tan 2 x 0 , " x ẻ
cos 2 x

ộ pử
ờ0; ữ
ữ, du "=" xy ra ch ti
ờ
ứ
ở 2ữ

ộ pử
0; ữ.
x = 0, suy ra hm s f(x) ng bin trờn na khong ờ
ữ
ờ ữ
ứ
ở 2

ổ pử
0; ữ.
T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi " x ẻ ỗ
ỗ
ỗ ữ

ữ
ố
ứ
2

Cỏc em cng hay mc nhng li khi vn dng sai tớnh cht ca cỏc hm
ng bin, nghch bin.
* Vớ d minh ha 5: Trong cỏc bc chng minh: x.ex > -

1
, vi x ẻ (- 1; +Ơ ) .
e

Hóy ch ra sai lm bc no?
Bc 1: TX: x ẻ (- 1; +Ơ )
Bc 2: Xột hm s h(x) = x.ex, vi x ẻ (- 1; +Ơ ) .
Bc 3: Ta cú cỏc hm s f(x) = x, g(x) = ex l cỏc hm ng bin trờn Ă . Suy ra
hm s h(x) = x.ex l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă .
9


Bước 4: Vì h(x) = x.e x là hàm đồng biến nên từ x > - 1 Þ f(x) > f(-1) hay
x.e x > -

1
e

A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3

D. Bước 4
+ Phân tích:
Các bước giải trên có vẻ đúng nên học sinh rất khó tìm ra phương án
chọn. Lời giải trên sai lầm ở bước 3 là sử dụng tính chất: Tích của hai hàm đồng
biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương. Nên chọn C.
+ Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ 0 , " x ³ - 1 , dấu "=" xảy ra
chỉ tại x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [- 1; +¥ ) . Từ x > - 1
Þ f(x) > f(-1) hay x.ex > -

1
.
e

 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập chứng minh
bất đẳng thức là: Không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm
số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến,
nghịch biến.
3. Mắc lỗi khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm.
 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
* Ví dụ minh họa 6:
Đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x là:
A. y' = 2x.(2x +1) x- 1 .
B. y' = x.(2x +1)x- 1 .
é
ù
C. y ' = (2x +1) x . êln(2x +1) + x ú
ê
ë

é
ù
D. y ' = (2x +1) x . êln(2x +1) + 2x ú

2x +1 ú
û

ê
ë

2x +1 ú
û

+ Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có y' = x(2x +1) x- 1 (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- 1 . Nên chọn đáp án A.
+ Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng công thức ( u ) ' = a .u .u ' . Vận dụng như vậy là
sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số.
+ Lời giải đúng là:
a

a- 1

1
, x ¹ 0 (khi đó y > 0) Từ y = (2x+1)x
2
y'
2x
= ln(2x +1) +
Þ ln y = x.ln(2x +1) Þ (ln y ) ' = ( x.ln(2x +1)) ' Þ

y
2x +1

Điều kiện: x > -

é
2x ù Nên chọn đáp án đúng là D.
ú
Þ y ' = (2x +1) x . êln(2x +1) +
ê
2x +1 ú
ë
û

 Mắc lỗi khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.

10


Các em hay mắc phải lỗi ở dạng này là áp dụng công thức
( u ) ' = a .ua- 1.u ' , a Î ¡ , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công
thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
* Ví dụ minh họa 7:
a

Cho hàm số y = 3 x2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
tại điểm có hoành độ x = - 1 là.
A. y =- 2 x + 1
3

3

B. y = 2 x + 1
3

3

C. y =- 2 x + 5
3

D. y = 2 x + 5

3

3

3

+ Một số học sinh trình bày như sau:
2

2

-

Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1) 2 =1 . Ta có y = x 3 suy ra y ' = x
3

1
3

1
2
1
2
2
2
2 - 16 2
2ù
6 =
(- 1) 3 = (- 1) 6 = é
(
1)
.1 = .
ú
ë
û
3
3
3ê
3
3
2
2
5
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x +1) +1 hay y = x + .
3
3
3

y '(-1) =

Nên chọn đáp án D.
+ Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số
1

mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết (- 1)- 3 là không đúng.
+ Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1)2 = 1 .
2x

2

Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y 2 = 3
3 x
Þ y '(-1) = -

2
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =-

2
2
1
(x +1) +1 hay y =- x + .
3
3
3

Nên đáp án đúng là A.
 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập liên quan tới
công thức đạo hàm là: Vận dụng công thức đạo hàm không đúng Các em
a
a- 1
hay mắc lỗi ở dạng này là áp dụng công thức ( u ) ' = a .u .u ' , a Î ¡ ,
nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúng
khi u nhận giá trị dương.
4. Mắc lỗi khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.
 Khi sử dụng định lí 2 để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng
đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Điều ngược lại nói
chung là không đúng.
* Ví dụ minh họa 8:
11


Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
đạt cực đại tại x = 0 ?
A. m =Æ
B.
C.
D.
m> 0

m< 0

m =0

+ Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.

ìï f '(0) = 0
ìï 4m.0 = 0
Û ïí
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïíï
ïïî 12m.0 < 0
ïî f ''(0) < 0

hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Nên chọn A
+ Phân tích:
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
+¥
- ¥
0
x
0
y'
+
0
y
- ¥
- ¥

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0. Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
ìï f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0

ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x 0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x 0) =
0. Lí do là điều kiện f ''(x 0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch
biến trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó:
ïìï f '(x) > f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 - h; x 0 )
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số.
í
ïïî f '(x) < f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 ; x 0 + h )

+ Lời giải đúng là:
Xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
- Với m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
- Với m > 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x 0
là điểm cực tiểu của hàm số.
- Với m < 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x 0
là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 Û m < 0.
Nên đáp án đúng là C.
Ví dụ minh họa 9:
Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
12


A. m =Æ
B.
C.
m> 0
m< 0
+ Một số học sinh trình bày như sau:

f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.

D.

ìï f '(0) = 0
Û
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: ïíï
ïî f ''(0) > 0

m =0

ïìï 4.03 +3m.0 2 = 0
í
ïï 12m.02 + 6m.0 > 0
î

hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Nên chọn A
+ Phân tích:
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1
y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x

0

- ¥

y'

-

0

+¥

y

+¥

+

+¥

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
+ Lời giải đúng là:
Xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
- Với m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
+¥
- ¥
0
x
0
y'
+
y

+¥

+¥

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
3m
- Với m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = .
4

Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc
chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
- Với m < 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m), y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = -

3m
. Lập bảng
4

biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm
số không có cực trị tại x = 0.
Kết luận: Với m =0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
13


Nờn chn ỏp ỏn ỳng l: D
Kt lun: Cỏc li thng gp ca hc sinh khi gii bi tp liờn quan ti
cc tr ca hm s l: Khi s dng nh lớ 2 xỏc nh cc tr ca hm
s cỏc em cng quờn rng ú ch l iu kin ch khụng phi l iu

kin cn, ngc li núi chung l khụng ỳng.
5. Mc li khi gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s.
Cỏc em thng mc li khi khụng nm vng nh ngha giỏ tr ln nht
(GTLN) v giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s trờn mt min D.
* Vớ d minh ha 10:
2
Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = cos x +

ổ
1
1 ử
ữ
+ 2ỗ
cosx +
- 1
ỗ
ữ
2
ỗ
ữ .
ố
cos x
cosx ứ

A. min f (x) =- 1

B. min f (x) =- 2

C. min f (x) =- 3

D. min f (x) =- 4

+ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
t t = cosx +

1
1
ị cos 2 x +
= t2 - 2.
cosx
cos 2 x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă
Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1. Nờn chn ỏp ỏn: D
+ Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng. Giỏ tr nh
nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă .
Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx +

1
= - 1.
cosx

f(x) m , x D
x0 D : f(x0 ) = m

in f(x)
Nh rng, s m= mD
+ Li gii ỳng l:

ỹ

1
ùỡ p
ù
, vi x ẻ D = Ă \ ớù + kp , k ẻ Â ý
ùỵ
cosx
ù
ợù 2
1
1
ị t = cosx +
= cosx +
2 . Du "=" xy ra khi v ch khi cosx = 1
cosx
cosx

t t = cosx +

Khi ú: cos 2 x +

1
= t2 - 2.
2
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3.
Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ):
- Ơ

t

g '(t) g(t) +Ơ

2

-1

-2
-

0

+

+Ơ

+
+Ơ

14


-3

5

g(t) = - 3
f(x) = min
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m= min
t≥2
D

1
=- 2 Û cosx =- 1
cosx
Û x =p+k 2p , k Î ¢ . Nên chọn đáp án đúng là: C
 Như vậy: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập liên quan tới
tìm GTLN và GTNN của hàm số là: Các em thường mắc lỗi khi không
nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của hàm số trên một miền D. Hay khi đặt ẩn phụ thì không tìm đúng điều
kiện tương đương của ẩn phụ.

Đạt được khi t = - 2 Û cosx +

6. Mắc lỗi khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
* Ví dụ minh họa 11:
Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
y =4
y =4
A. y =- 9x - 5
B. é
C. y = 9x + 5
D. é
ê
ê
ê
ëy = 9x + 5

ê
ëy =- 9x - 5

+ Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x. Ta có điểm A(-1;4) Î đồ thị (C). Suy ra phương trình
tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y =- 9(x +1) + 4 Û y =- 9x - 5 . Nên chon A.
+ Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp
điểm) tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua
A mà không nhận A làm tiếp điểm.
+ Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4) và có hệ số góc k là:
y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
ìï - x3 + 3x 2 = k (x +1) + 4
ìï x3 - 3x - 2 = 0
éx = 2, k = 0
ï
ï
ê
Û
Û
í
í
2
ê
ïï
ïï k =- 3x 2 + 6x
k
=3
x
+
6

x
ëx =- 1, k =- 9
î
î

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y = 4 và y = -9x -5. Nên đáp án đúng là D.
 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập viết phương
trình tiếp tuyến của hàm số là: Chưa phân biệt được tiếp tuyến tại một
điểm hay tiếp tuyến đi qua một điểm( vì đi qua một điểm có thể có nhiều
hơn một tiếp tuyến)
* Bài tập tương tự:
15


Bi tp 1: Tỡm khong n iu ca cỏc hm s sau: y =

2x + 3
2- x

A. Hm s ng bin trờn (- Ơ ; 2) ẩ (2; +Ơ )
B. Hm s nghch bin trờn (- Ơ ; 2) ẩ (2; +Ơ )
C. Hm s ng bin trờn tng khong (- Ơ ; 2) v (2; +Ơ ) .
D. Hm s nghch bin trờn tng khong (- Ơ ; 2) v (2; +Ơ ) .
Bi tp 2: Xỏc nh m hm s sau khụng cú cc tr: y =
A.

-

B.

3
C.

m> 3

m<-

x 2 + 2mx - 3
x- m

D.

3

m<-

3; m > 3

Bi tp 3: Tỡm o hm ca hm s sau: y = (7 - x) 3 x + 5
A. y' =
C. y' =

- (4x + 8)
3. ( x + 5)
3

- (4x + 8)
3

(x + 5)

2

2

.

B. y' =

4x + 8
3. ( x + 5) 2
3

.

4x + 8

.

D. y' = 3. 3 (x + 5) .

Bi tp 4: Giỏ tr m thuc khong no trong cỏc khong sau hm s
ổ 2ử
y = x3 - mx 2 +ỗ
m- ữ
ỗ
ữx + 5 t cc tiu ti x = 1?
ỗ
ố

ứ
3ữ

A.

(2; 5)

B.

C.

( 5; 6)

D.

( 6; 7)

(2 2;3)

(a - 1)x 3
+ ax 2 +( 3a - 2) x ng bin trờn Ă
3
A. 1 Ê a Ê 2
B. a Ê 1
C. a 2
D. 1 < a < 2
2
2
2
ộ pự

0; ỳ:
Bi tp 6: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s sau trờn on ờ
ờ 2ỷ
ỳ
ở

Bi tp 5: Xỏc nh a hm s: y =

y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
ộ
A. ờMaxf(x) = 9
ờ
ởminf(x) = 5

ộ
B. ờMaxf(x) = 8
ờ
ởminf(x) = 5

ộ
C. ờMaxf(x) = 9
ờ
ởminf(x) = 7

ộ
D. ờMaxf(x) = 9
ờ
ởminf(x) = 8

Bi tp 7: Cho hm s y = (x + 1) 2 (2 - x) , cú th (C). Phng trỡnh tip

tuyn ca th (C) i qua im M(2;0) l:
y =0
y =0
A. y =- 9x +18
B. ộ
C. y = 9x +18
D. ộ
ờ
ờ
ờ
ờ
ởy =- 9x +18

ởy =- 9x - 18

Bi tp 8: Vi x > 0 thỡ giỏ tr nh nht ca hm s y = ex +
A. 0

B. 1

C. 2

x2
- x + cosx l:
2

D. 3

16

Bài tập 9: Cho hàm số y =

1 3
x - (m - 1)x 2 +( m - 3) x + 2 (m là tham số). Xác
3

định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + 2 tại ba điểm phân biệt.
A. m Î (0; 1 ) È (3; +¥ )
3

1
3

C. m Î (- ¥ ; 0) È (0; )

B. m Î (- ¥ ; 0) È (0; 1 ) È (3; +¥ )
3

D. m Î (- ¥ ;0) È (3; +¥ )

Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
x 2 - 2 x = m( x - 1) có 4 nghiệm thực phân biệt
A.

m>0

B. m ³ 0

C.

m< 0

D. m £ 0

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT
ĐỘNG GIÁO DỤC Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
1. Tác dụng của SKKN đến chất lượng giảng dạy và giáo dục bản thân:
Qua quá trình áp dụng sáng kiến vào thực tế dạy học tôi rút ra được một
số phương pháp dạy học hiệu quả cho bản thân như sau:
a. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản
chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
b. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: Phương pháp giải toán.
c. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử
dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết
hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
d. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

17


- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: Nhận
biết - thông hiểu - vận dụng sau đó phân tích - tổng hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
e. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học phù hợp.
Tức là giáo viên phải tích cực tìm ra phương pháp sao cho phù hợp với
từng đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc
phải khi giải các bài toán. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
f. Giáo viên phải phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả
mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
2. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến đồng nghiệp:
SKKN là tài liệu để các đồng nghiệp trong trường tham khảo và nghiên
cứu từ đó định hình được phương pháp dạy học của bản thân.
SKKN là tài liệu ban đầu để các đồng nghiệp trong trường tham khảo
nghiên cứu sâu hơn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia.
3. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến bản thân học sinh:
Giúp học sinh có thêm phương pháp học hiệu quả để giải các bài toán
hàm số trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia.
Giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện kĩ năng phân
tích tìm lời giải và kĩ năng trình bày bài toán.
Góp phần bổ sung, nâng cao kiến thức cho học sinh.
Giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài toán khó cũng như công việc khó
trong cuộc sống, hình thành ở các em tính kiên trì sáng tạo trong công việc.

* Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục trong nhà trường
Nâng cao chất lượng giáo dục môn toán của nhà trường.
Góp phần nâng cao chất lượng thi THPT quốc gia môn toán nói riêng và
chất lượng giáo dục nhà trường nói chung. Điều đó thể hiện rõ qua kết quả khảo
sát sau khi áp dụng SKKN vào dạy học như sau:
Áp dụng với khối 12 gồm lớp 12B là lớp theo khối A,B và lớp 12I là lớp
theo khối C. Cả hai lớp có 73 học sinh (Đề bài hình thức trắc nghiệm 4 mã đề
gồm 50 câu, thời gian làm bài 90 phút). Sau khi chấm bài và tổng hợp, tôi thu
được kết quả như sau:
Từ
6,5
Từ 3,5 đến Từ 5 đến
Từ 8 trở
Điểm
Dưới 3,5
đến dưới
dưới 5
dưới 6,5
lên
Sĩ số
8
Năm/Lớp
SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
24.
12B 41
0

0
0
0
10
15 36.6 16 39.0
4
20182019
43.
12I
32
0
0
2
6.3 14
11 34.4 5 15.6
7
18


32.
9
* Qua kết quả khảo sát phân tích bảng số liệu cho thấy:

Tổng

12

73

0

0

2

2.7

24

26

35.6

21

28.8

So sánh các mức điểm tổng thể hai lớp: Số học sinh đạt điểm dưới 5
không nhiều có 2 học sinh (chiếm 2.7%) và là học sinh lớp 12I. Đồng thời số
học sinh đạt điểm trên 8 khá cao có 21 học sinh (chiếm 28.8%). Đặc biệt số học
sinh đạt điểm khá giỏi nhiều có 47 học sinh (chiếm 64.4%). Như vậy kết quả
giáo dục được nâng lên rõ rệt. Nguyên nhân có kết quả trên là: Giáo viên có
phương pháp thực nghiệm đề tài rất bài bản nên học sinh dễ hiểu và nắm rõ bản
chất của vấn đề.
So sánh chất lượng hai lớp với nhau: Chất lượng học sinh lớp 12B cao
hơn chất lượng học sinh lớp 12I. Kết quả này phản ánh đúng thực tế lớp 12B là
lớp theo khối A,B còn lớp 12I theo khối C cụ thể: Số học sinh khá giỏi lớp 12B
là 31 học sinh (chiếm 75.6%) không có học sinh yếu kém. Số học sinh khá giỏi
lớp 12I là 15 học sinh (chiếm 46.8%) và có 2 học sinh yếu kém. Tuy nhiên so
sánh với kết quả khảo sát đầu năm chất lượng đại trà của hai lớp được nâng lên

rõ rệt. Điều này thể hiên sáng kiến phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
C. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Trong cuộc sống con người phải biết học những sai lầm và những thiếu
sót của mình. Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp
thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt
tư duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học
sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và
các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái
nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời,
qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp
giải toán cho riêng mình. Người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí
thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói
chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là
một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán. Hơn nữa, những bài
toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp
hơn từ đó học sinh sẽ có phương án lựa chọ chính xác hơn.
Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối
khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường
quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa,
định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách
giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và
thậm chí mang tính hàn lâm.
19


Ở trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 đề tài có thể áp dụng để:
+ Cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp

phần nâng cao chất lượng dạy và học.
+ Giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng
như những kiến thức liên quan đã được học.
+ Giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải
những sai lầm thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học
trường Trung học phổ thông Quảng Xương 4, của Hội đồng khoa học Sở Giáo
dục và Đào tạo Thanh Hóa để sáng kiến được hoàn thiện hơn.
II. KIẾN NGHỊ
Để nâng cao chất lượng môn toán trong các trường phổ thông đề nghị
phòng giáo dục phổ thông nên tổ chức nhiều hơn các buổi sinh hoạt chuyên môn
cho các Giáo viên dạy toán trong Tỉnh trao đổi tìm ra những nội dung khó dạy
và những nội dung khó tiếp thu của học sinh. Tổ chức bằng cách cho từng
trường nghiên cứu những mảng kiến thức cụ thể để đưa ra những kinh nghiệm
khi dạy nội dung đó thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường.
Đề nghị chuyên môn nhà trường bổ xung, mua nhiều sách tham khảo
trong thư viện để giáo viên nghiên cứu và học sinh mượn học tập.
Kiến nghị với các đồng nghiệp trong trường cần làm tốt hơn nữa công tác
xã hội hóa giáo dục để lôi cuốn học sinh đến trường đến lớp.

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Quảng Xương, ngày 22 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Tác giả

Phạm Văn Tình

20