Ứng dụng bất đẳng thức cô si trong sáng tạo bất đẳng thức

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, ngoài việc giúp học sinh
nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh trong việc khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển
hình, đồng thời biết vận dụng những bài toán đơn giản để giải những bài toán
phức tạp hơn là điều rất cần thiết cho công tác dạy học toán, cũng như công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông.
Trong chương trình Toán THPT thì Bất đẳng thức (BĐT) là phần kiến thức
quan trọng và khó, nhưng lại có vai trò rất lớn trong việc phát triển tư duy logic,
óc sáng tạo của học sinh. Hầu đa trong các kỳ thi, bất đẳng thức là câu vận dụng
cao, thách thức học sinh để có thể lấy điểm 10. Tuy nhiên, nếu chúng ta dạy học
sinh một cách bài bản, rèn luyện kĩ năng phân tích, đặc biệt hóa, khái quát hóa
từ những bài toán đơn giản đã gặp, đặc biệt là việc áp dụng các bất đẳng thức cổ
điển đã học một cách linh hoạt, sáng tạo thì chắc chắn học sinh sẽ giải quyết
được những bài toán phức tạp hơn.
Trong Sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi cũng đã xuất phát từ một bất đẳng
thức quen thuộc và ứng dụng Bất đẳng thức Cô-Si, để từ đó khái quát hóa thành
nhiều bất đẳng thức tổng quát, mà từ đó có thể đưa ra một lớp các bài bất đẳng
thức cụ thể hay gặp trong trường phổ thông. Vì vậy tôi chọn tên Sáng kiến kinh
nghiệm là: “Ứng dụng bất đẳng thức Cô-Si trong sáng tạo bất đẳng thức”. Hy
vọng, với Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi sẽ góp một phần nhỏ trong việc
nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đặc biệt là phần bất đẳng thức trong
trường phổ thông.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích tôi nghiên cứu và viết Sáng kiến kinh nghiệm này là: Tự học, tự
nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, nhằm cải thiện chất
lượng giảng dạy cho học sinh được tốt hơn. Tạo ra nguồn tài liệu phục vụ cho
việc giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và phục vụ cho việc học của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong SKKN này, đối tượng mà tôi hướng đến nghiên cứu là một bất đẳng

thức thông dụng trong trường phổ thông, để từ đó ứng dụng Bất đẳng thức Cô-Si
để khái quát hóa và qua cái nhìn ở nhiều góc độ để đưa ra một số bất đẳng thức
tổng quát và các bài tập cụ thể áp dụng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp mà bản thân tôi sử dụng để nghiên cứu trong SKKN này là
đặc biệt hóa khái quát hóa, từ một bài toán bất đẳng thức thông dụng sau đó ứng
dụng Bất đẳng thức Cô-Si, bản thân đã khái quát thành nhiều bất đẳng thức tổng
quát để từ đó có thể sáng tạo ra được nhiều bất đẳng thức cụ thể.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để nghiên cứu và thực hiện thành công SKKN của mình, bản thân đã dựa
vào một bất đẳng thức cổ điển thông dụng, Bất đẳng thức Cô-Si và một bài toán
chứng minh bất đẳng thức được GS - TSKH Nguyễn Văn Mậu in trong rất nhiều
sách về bất đẳng thức mà Giáo sư là người chủ biên.
1


Bất đẳng thức Cô-Si [1]
Cho các số a1; a2 ;...; an là các số thực không âm. Khi đó ta có BĐT:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1a2 ...an
n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 = a2 = ... = an

Bài toán chứng minh BĐT ban đầu: [1]
Cho a, b, c ≥ 0, m, n ∈ N * .
Chứng minh rằng: a m+ n + b m+n + c m+ n ≥ a mb n + b mc n + c m a n
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Nói đến BĐT là nói đến một vấn đề khó trong trường phổ thông, đa phần
học sinh ngại học BĐT, đặc biệt đối với những học sinh có học lực khá trở

xuống thường có tâm lí lo sợ và chán không muốn học. Trường tôi giảng dạy là
trường THPT Lê Văn Hưu cũng có tình trạng tương tự, Bất đẳng thức chỉ có thể
giảng dạy được ở các lớp mũi nhọn, còn ở các lớp đại trà rất khó để giảng dạy
chuyên đề này một cách đầy đủ.
2.3. Ứng dụng bất đẳng thức Cô-Si trong sáng tạo bất đẳng thức.
Tôi bắt đầu từ Bất đẳng thức thông dụng mà chúng ta thường gặp trong
các tài liệu môn Toán bất đẳng thức trong trường phổ thông:
Bài toán 1. [1]
Cho a, b, c ≥ 0, m, n ∈ N * .
Chứng minh rằng: a m+ n + b m+ n + c m+ n ≥ a mb n + b m c n + c m a n
(1)
Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
ma m+ n + nb m+ n m+ n m+ n m m+n n
≥
a ) . ( b ) = a mb n
(
m+n
m+ n
mb + nc m + n m+ n m+ n m m + n n
≥
b ) .( c ) = b mc n
(
m+n
m+ n
mc + ab m+ n m+ n m+ n m m+ n n
≥
c ) .( a ) = c m a n
(
m+n

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:

a m+ n + b m+ n + c m+ n ≥ a mb n + b mc n + c m a n (đpcm)

Bài tập áp dụng BĐT (1):
Bài tập 1: Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2b + b 2c + c 2 a
≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
Bài tập 2: Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3b + b3c + c 3a
≥ a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
≥ ab3 + bc 3 + ca3

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (2) như sau:
Bài toán 2.
Cho a, b, c ≥ 0, m, n, k ∈ N * .
2


Chứng minh rằng: a m+ n+ k + b m+ n+ k + c m+ n + k ≥ a mb n c k + b mc n a k + c m a nb k . (2)
Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
ma m+ n+ k + nb m+ n+ k + kc m+n + k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n + k n m+ n + k k
≥
a
.( b
.( c
= a mb n c k
(

)
)
)
m+n+k
m + n+ k
mb
+ nc m+ n+ k + ka m+ n+ k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n+ k n m+ n + k k
≥
b
.( c
.( a
= bmc n a k
(
)
)
)
m+n+k
m + n+ k
mc
+ na m+ n+ k + kb m+ n+ k m+ n+ k m+ n+ k m m+ n+ k n m+ n + k k
≥
c
.( a
.( b
= c m a nb k
(
)
)
)
m+n+k

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:

a m+ n + k + b m+ n+ k + c m+n + k ≥ a mb n c k + b mc n a k + c m a nb k (đpcm).

Bài tập áp dụng BĐT (2):
Bài tập 3: Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2bc + b 2ca + c 2 ab
Bài tập 4: Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 + b5 + c 5 ≥ a 3bc + b3ca + c3ab
≥ a 2b 2 c + b 2 c 2 a + c 2 a 2b
Bài tập 5: Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 6 + b 6 + c 6 ≥ a 4bc + b 4ca + c 4 ab
≥ a 3b 2c + b3c 2 a + c 3a 2b
≥ a 2b3c + b 2c 3a + c 2 a 3b

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (3) như sau:
Bài toán 3. [2]
Cho a, b, c > 0, m, n, k ∈ N * .
a m+ n b m + n c m +n
Chứng minh rằng: n + n + n ≥ a m + b m + c m .
b
c
a

(3)

Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
a m+ n

+ a m − nb n ≥ 2a m
n
b

b m+ n
+ b m − n c n ≥ 2b m
n
c

c m+ n
+ c m−n a n ≥ 2c m
n
a

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:
a m + n b m+ n c m + n
+ n + n ≥ 2(a m + b m + c m ) − ( a m− nb n + b m− nc n + c m−n a n )
n
b
c
a
Theo (1) thì: a m + b m + c m ≥ a m−nb n + b m −nc n + c m−n a n

Nên

VT ( 3) ≥ (a m + b m + c m ) + (a m + b m + c m ) − (a m −nb n + b m −n c n + c m −n a n )
≥ a m + bm + cm

Bài tập áp dụng BĐT (3):
Bài tập 6: [3] Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a 5 b5 c5
+ 2 + 2 ≥ a 3 + b3 + c 3
2
b c
a

3


Bài tập 7: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c 5
+ 2 + 2 ≥ a3 + b3 + c3
2
c
a b
Bài tập 8: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c5
+ 3 + 3 ≥ a 2 + b2 + c 2
3
b
c a

Từ bài toán (3) và bài toán (1), ta có thể suy ra BĐT (4) như sau:
Bài toán 4.
Cho a, b, c > 0, m, n > k ∈ N * .
a m+ n b m + n c m +n
Chứng minh rằng: n + n + n ≥ a m−k + b m− k + c m −k .
b
c
a

(4)

Bài tập áp dụng BĐT (4):
Bài tập 9: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c5
+ 2 + 2 ≥ a 2b + b 2c + c 2 a
2
b
c
a
≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
Bài tập 10: [3] Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c 5
+ + ≥ ab + bc + ca
b3 c3 a 3
Bài tập 11: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 7 b7 c 7
+ 3 + 3 ≥ a 3b + b3c + c3a
3
b
c
a
≥ ab3 + bc 3 + ca 3

Từ bài toán (3) và bài toán (2), ta có thể suy ra BĐT (5) như sau:
Bài toán 5.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, q ∈ N * .
a m + n + p + q b m + n+ p + q c m+ n+ p + q
+

+
≥ a mb p c q + b m c p a q + c m a pb q .
Chứng minh rằng:
n
n
n
b
c
a

(5)

Bài tập áp dụng BĐT (5):
Bài tập 12: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c 5
+ + ≥ a 2bc + b 2ca + c 2 ab
b c a
Bài tập 13: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 6 b6 c 6
+ + ≥ a 3bc + b3ca + c3ab
b
c a

Từ bài toán (3), ta có thể suy ra BĐT (6) như sau:
Bài toán 6:
Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * .
Chứng minh rằng:

a m+n + p b m+n+ p c m +n+ p
+ n p + n p ≥ am + bm + cm .

n p
bc
ca
ab

(6)
4


Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:
a m+ n+ p
+ a m − n − p b n c p ≥ 2a m
n p
bc
c m+ n+ p
+ c m− n− p a n b p ≥ 2c m
n p
ab

b m+ n+ p
+ b m− n− p c n a p ≥ 2b m
n p
ca

Cộng các BĐT trên ta được:
a m + n+ p b m + n + p c m+ n+ p
+ n p + n p ≥ 2(a m + b m + c m ) − ( a m− n− pb nc p + b m − n− p c n a p + c m − n − p a nb p )
n p
bc

ca
ab
m
m
m
m −n− p n p
b c + b m − n − p c n a p + c m − n − p a nb p )
Mà theo (1) thì (a + b + c ) ≥ ( a
a m+n+ p b m+ n+ p c m + n+ p
Nên: n p + n p + n p ≥ a m + b m + c m (đpcm)
bc
ca
ab

Bài tập áp dụng BĐT (6):
Bài tập 14: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b5
c5
+ 2 + 2 ≥ a 2 + b2 + c2
2
bc ca ab
Bài tập 15: [3] Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 3 b3 c 3
+ +
≥ a+b+c
bc ca ab
Bài tập 16: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b7

c7
+
+
≥ a 2 + b2 + c2
2 3
2 3
2 3
bc ca ab

Từ bài toán (6) và bài toán (1), ta có thể suy ra BĐT (7) như sau:
Bài toán 7.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, k ∈ N * , m > k .
Chứng minh rằng:

a m+n + p b m+n+ p c m +n+ p
+ n p + n p ≥ a m − k b k + b m −k c k + c m − k a k
n p
bc
ca
ab

(7)

Bài tập áp dụng BĐT (7):
Bài tập 17: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b5
c5
+
+

≥ ab + bc + ca
b 2 c c 2 a a 2b
Bài tập 18: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b5 c5
+ +
≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
bc ca ab
Bài tập 19: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b7
c7
+ 2 2 + 2 2 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
2 2
bc
ca
ab

Từ bài toán (6) và bài toán (2), ta có thể suy ra BĐT (8) như sau:
Bài toán 8.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, q, r ∈ N * , m > q + r .
5


Chứng minh rằng:
a m+ n+ p b m+ n+ p c m + n + p
+ n p + n p ≥ a m−q − r b q c r + b m− q −r c q a r + c m−q − r a q b r .
n p
bc
ca
ab

(8)

Bài tập áp dụng BĐT (8):
Bài tập 20: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b7
c7
+ 2 + 2 ≥ a 2bc + b 2ca + c 2 ab
2
bc ca ab
≥ abc(a + b + c)
Bài tập 21: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 2017 b 2017 c 2017
+
+
≥ a 2b 2c 2 ( a 2009 + b 2009 + c 2009 )
bc
ca
ab
≥ abc(a 2012 + b 2012 + c 2012 )
Bài tập 22: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 6154 b 6154 c 6154
+
+
≥ (abc) 2017 ( a + b + c )
bc
ca
ab
1

1
1
Từ (1) nếu ta thay a bởi , b bởi , c bởi , ta được BĐT tổng quát (9) sau:
a
b
c

Bài toán 9.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * .
Chứng minh rằng:

1
a

m+n

+

1
b

m+ n

+

1
c

m+n

≥

1
1
1
+ m n+ m n
a b b c
c a
m n

(9)

Bài tập áp dụng BĐT (9):
Bài tập 23: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
1
1
1
+ 2+ 2≥
+ +
2
a b c
ab bc ca
Bài tập 24: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
1
1
1
+ 5+ 5≥ 3 2+ 3 2+ 3 2
5

a b c
ab bc
ca
1
1
1
≥ 4 + 4 + 4
ab bc ca
Bài tập 25: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
1
1
1
+ 3+ 3≥ 2 + 2 + 2
3
a b c
ab bc ca
1
1
1
Từ (2) nếu ta thay a bởi , b bởi , c bởi , ta được BĐT tổng quát (10) sau:
a
b
c

Bài toán 10.
Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * .
Chứng minh rằng:

1

a

m+ n+ p

+

1
b

m+ n+ p

+

1
c

m+ n + p

≥

1
1
1
+ m n p+ m n p.
p
a bc
b ca
c ab
m n

(10)

Bài tập áp dụng BĐT (10):
Bài tập 26: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
6


1 1 1
1
1
1
+ 4+ 4≥ 2 + 2 + 2
4
a b c
a bc b ca c ab
Bài tập 27: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
1
1
1
+ 5+ 5≥ 2 2 + 2 2 + 2 2
5
a b c
abc bca cab
1
1
1
≥ 3 + 3 + 3
a bc b ca c ab
Bài tập 28: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

1
a

2020

+

1
b

2020

+

1
c

2020

≥

1  1
1
1 
 2017 + 2017 + 2017 ÷
abc  a
b
c


Từ bài toán (3), ta cũng suy ra BĐT (11) như sau:
Bài toán 11.
Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * .
Chứng minh rằng:

bn
cn
an
1
1
1
+
+
≥ m+ m+ m .
m+n
m+ n
m+n
a
b
c
a
b
c

(11)

Bài tập áp dụng BĐT (11):
Bài tập 29: [3] Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b2 c2 a 2 1 1 1
+ +

≥ + +
a 3 b3 c3 a b c
Bài tập 30: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b3 c3 a 3 1 1 1
+ + ≥
+ +
a 5 b5 c 5 a 2 b 2 c 2
Bài tập 31: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b c a
1 1 1
+
+
≥
+ +
a 5 b5 c5 a 4 b 4 c 4

Từ bài toán (4), ta cũng suy ra BĐT (12) như sau:
Bài toán 12.
Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * ; m > p .
Chứng minh rằng:

bn
cn
an
1
1
1
+
+
≥ m− p p + m− p p + m− p p .

m+n
m+ n
m+n
a
b
c
a b
b c
c a

(12)

Bài tập áp dụng BĐT (12):
Bài tập 32: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b c a
1
1
1
+ 3+ 3≥
+ +
3
a b c
ab bc ca
Bài tập 33: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b3 c3 a 3 1
1
1
+ 5+ 5 ≥
+ +
5

a b c
ab bc ca
Bài tập 34: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b c a
1
1
1
+ 5+ 5≥ 3 + 3 + 3
5
a b c
ab bc ca

7


Bài toán 13.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, q ∈ N * ; m > p + q .
Chứng minh rằng:
bn
cn
an
1
1
1
+
+
≥ m− p − q p q + m − p − q p q + m − p −q p q .
m+ n
m+ n
m+ n

a
b
c
a
b c
b
c a
c
a b

(13)

Bài tập áp dụng BĐT (13):
Bài tập 35: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b c a
1
1
1
+ 5+ 5≥ 2 + 2 + 2
5
a b c
a bc b ca c ab
Bài tập 36: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b2 c2 a2
1
1
1
+
+
≥

+
+
a 7 b 7 c 7 a 2 b 2 c b 2 c 2 a c 2 a 2b

Cũng từ (6), (7), (8), ta cũng có các BĐT tổng quát sau:
Bài toán 14.
Cho a, b, c > 0, m, n, p ∈ N * .
Chứng minh rằng:

bnc p
cna p
a nb p
1
1
1
+
+
≥ m+ m+ m.
m+n+ p
m + n+ p
m+n+ p
a
b
c
a
b
c

(14)

Bài toán 15.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, k ∈ N * ; m > k .
Chứng minh rằng:

bnc p
cna p
a nb p
1
1
1
+
+
≥ m− k k + m− k k + m −k k .
m+ n+ p
m+ n+ p
m+n+ p
a
b
c
a b b c
c a

(15)

Bài toán 16.
Cho a, b, c > 0, m, n, p, k , r ∈ N * ; m > k + r .
Chứng minh rằng:
bnc p
c na p
a nb p

1
1
1
+ m + n + p + m + n + p ≥ m −k − r k r + m − k − r k r + m − k − r k r .
m+n + p
a
b
c
a
bc b
ca c
ab

(16)

Bài tập áp dụng BĐT (14), (15), (16):
Bài tập 37: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b 2 c c 2 a a 2b 1 1 1
+ 7 + 7 ≥ 4+ 4+ 4
a7
b
c
a b c
1
1
1
≥ 3 + 3 + 3
ab bc ca
Bài tập 38: Cho a, b, c > 0 . Cho a, b, c ∈ ¡ *+ ; a + b + c ≤ 3 :
b 2 c c 2 a a 2b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4 + 4 + 4
a
b
c
*
Bài tập 39: Cho a, b, c > 0 . Cho a, b, c ∈ ¡ + ; a + b + c = 5 :

Chứng minh rằng: P =

b 2c c 2 a a 2b 243
+ 7 + 7 ≥
a7
b
c
625

Từ BĐT (3) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (17) sau:
Bài toán 17.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N *
8


Chứng minh rằng:

a m+ n

( b + c)

n

+

b m+n

( c + a)

n

+

c m+ n

( a + b)

n

≥

Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

a m−n ( b + c )
2
+
≥ n am
n
4
2
n

a m+ n

( b + c)

n

( a + b)

n

c m−n ( a + b )
2
+
≥ n cm
n
4
2

n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT ( 7 ) ≥

(

2 m
1
n
n
n

a + b m + c m ) − n a m−n ( b + c ) + b m− n ( c + a ) + c m −n ( a + b )
n (
2
4

Ta có:
m−n

b m−n ( c + a )
2
+
≥ n bm
n
4
2

n

c m+ n

(a

(17)

n

b m+ n

( c + a)

1 m
a + bm + cm ) .
n (
2

( b + c)

n

+ b m−n ( c + a ) + c m−n ( a + b )
n

n

)

)=

n

n

n

k =0

k =0

k =0

= a m− n ∑ Cnk b n −k c k +b m−n ∑ Cnk c n− k a k +c m −n ∑ Cnk a n −k b k
n

= ∑ Cnk ( a m−nb n−k c k + b m− nc n −k a k + c m −n a n − k b k )
k =0

Mà theo (2) thì:
a m + b m + c m ≥ a m − nb n − k c k + b m − n c n − k a k + c m − n a n − k b k

Do đó:

2 m
1 n k m
m
m
a
+
b
+
c
−
C a + bm + c m )
(
)
n
n ∑ n (
2
4 k =0
1
1

= 2. n ( a m + b m + c m ) − n .2n. ( a m + b m + c m )
2
4
1
= n ( am + bm + cm )
2

VT ( 7 ) ≥

Bài tập áp dụng BĐT (17):
Bài tập 40: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
Bài tập 41: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a2
b2
c2
1
+
+
≥ ( a + b + c)
b+c c+a a+b 2
Bài tập 42: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a3

b3
c3
1
+
+
≥ ( a2 + b2 + c2 )
b+c c+a a+b 2
Bài tập 43: Cho a, b, c ≥ 0; a + b + c ≥ 4 :
a3
b3
c3
8
+
+
≥
Chứng minh rằng:
b+c c+a a+b 3

9


Bài tập 44: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a3
b3
c3
1
+
+
≥ ( a + b + c)
2

2
2
(b + c) (c + a ) (a + b)
4
Bài tập 45: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b7
c7
1 2
+
+
≥
a + b2 + c2 )
(
5
5
5
(b + c) (c + a) (a + b)
32
Bài tập 46: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b7
c7
1
+
+
≥ ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
3
3
3

(b + c) (c + a ) (a + b) 8

Từ BĐT (6) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (18) sau:
Bài toán 18.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * . Chứng minh rằng:
a m+2 n

( a + b) ( a + c)
n

n

+

b m+2 n

( b + a) ( b + c)
n

Chứng minh.
a

n

+

c m+2 n

( c + a) ( c + b)
n

n

≥

1 m
a + bm + cm ) .
n (
4

(18)

Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

m+2 n

( a + b) ( a + c)
n

n

a m−2 n ( a + b )
+
16n

n

( a + c)

( b + a) ( b + c)

n

n

( c + b) ( c + a)
n

n

1 m
a
4n

n

c m−2 n ( c + b ) ( c + a )
1 m
+
≥
2.
c
16n
4n
n

c m+ 2 n

≥ 2.

b m−2 n ( b + a ) ( b + c )

1 m
+
≥
2.
b
16n
4n
n

b m+ 2 n

n

n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT ( 18 ) ≥ 2.

1 m
1
n
n
a + b m + c m ) − n (a m− 2 n ( a + b ) ( a + c )
n (
4
16

+b m − 2 n ( b + a )

Mà:

a m−2 n ( a + b )

n

n

( b + c)

( a + c)

n

n

+ c m− 2 n ( c + b )

+ b m−2n ( b + a )

n

n

( c + a)

( b + c)

n

n

)

+ c m −2 n ( c + b )

n

n

n

n

k =0

k =0

k =0

k =0

n

n

n

( c + a)

n

= a m−2 n ∑ Cnk a n −k b k .∑ Cnk a n −k c k + b m −2 n ∑ Cnk b n −k a k .∑ Cnk b n −k c k
+c m −2 n ∑ Cnk c n− k a k .∑ Cnk c n− k b k
k =0

k =0

2

 n

=  ∑ Cnk ÷ ( a m−2 n a 2 n −2 k b k c k + b m −2 nb 2 n− 2 k a k c k + c m −2 n c 2 n −2 k b k a k )
 k =0 
= 4n ( a m − 2 k b k c k + b m −2 k a k c k + c m − 2 k b k a k ) ≤ 4n ( a m + b m + c m )

Từ đó suy ra:
VT ( 18 ) ≥ 2.

1 m
1
1
a + b m + c m ) − n 4n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m )
n (
4
16
4

10

Bài tập áp dụng BĐT (18):
Bài tập 47: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a2
b2
c2
3
+
+
≥
( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) 4
Bài tập 48: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a3
b3
c3
1
+
+
≥ ( a + b + c)
( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) 4
Bài tập 49: Chứng minh rằng, nếu a, b, c ≥ 0; a + b + c = 4 thì:
a4
b4
c4
4
+
+
≥
( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) 3
Bài tập 50: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5

( a + b) ( a + c)
2

2

+

b5

( b + a) ( b + c)
2

2

+

c5

( c + b) ( c + a )
2

2

≥

1
( a + b + c)
16

Bài tập 51: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b5
c5
1
+
+
≥ ( a 3 + b3 + c3 )
( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c) ( c + b) ( c + a) 4

Từ BĐT (18) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (19) sau:
Bài toán 19.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * . Chứng minh rằng:
a m+2 n
b ( b + c)
n

n

+

bm+2n
c ( c + a)
n

n

+

cm+2n

a ( a + b)
n

n

≥

1 m
a + bm + cm ) .
n (
2

Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

a m − 2 nb n ( b + c )
1
+
≥ 2. n a m
n
4
2
n

a m+2 n
bn ( b + c )

n

n

n

c m−2 n a n ( a + b )
1
+
≥ 2. n c m
n
4
2
n

c m+2 n
an ( a + b)

b m−2 nc n ( c + a )
1
+
≥ 2. n b m
n
4
2

b m+2 n
cn ( c + a )

(19)

n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT ( 19 ) ≥ 2.

1 m m m
1
n
n
n
a + b + c ) − n (a m − 2 nb n ( b + c ) + b m − 2 n c n ( c + a ) + c m − 2 n a n ( a + b ) )
n (
2
4

Mà:
a m − 2 nb n ( b + c ) + b m− 2 n c n ( c + a ) + c m −2 n a n ( a + b )
n

=a

m−2 n n

b

n

∑C b
k =0

k
n

n

n −k

c +b
k

m −2 n n

c

n

∑C c
k =0

k n −k
n

a +c
k

n

m−2 n

a

n

n

∑C a
k =0

k
n

n −k

bk



=  ∑ Cnk ÷( a m− 2 nb nb n −k c k + b m−2 n c nc n −k a k + c m −2 n a n a n −k b k )
 k =0 
= 2n ( a m −2 nb 2 n−k c k + b m −2 k c 2 n −k a k + c m−2 k a 2 n −k b k ) ≤ 2n ( a m + b m + c m )
n

Từ đó suy ra:
11


VT ( 19 ) ≥ 2.

1 m
1
1
a + b m + c m ) − n 2n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m )

n (
2
4
2

Bài tập áp dụng BĐT (19):
Bài tập 52: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a3
b3
c3
1
+
+
≥ ( a + b + c)
b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) 2
Bài tập 53: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a4
b4
c4
1
+
+
≥ ( a 2 + b2 + c2 )
b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) 2
1
( ab + bc + ca )
2

≥

Bài tập 54: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b2 ( b + c )

+

2

b5
c2 ( c + a )

2

+

c5
a2 ( a + b)

2

1
( a + b + c)
4

≥

Bài tập 55: Cho a, b, c ∈ ¡ *+ ; a + b + c = 5 . Tìm GTNN của biểu thức:
a4
b4
c4

P=
+
+
b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b)

Từ BĐT (18) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (20) sau:
Bài toán 20.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * . Chứng minh rằng:
a m +3n

( a + b) ( a + c)
2n

n

+

b m + 3n

( b + a) ( b + c)
n

2n

+

c m +3n

( c + a) ( c + b)
2n

Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

a m −3 n ( a + b )
+
64n

2n

a m +3n

( a + b) ( a + c)
2n

n

( a + c)

b m −3 n ( b + a ) ( b + c )
+
64n

2n

c m −3 n ( c + b ) ( c + a )
+
64n

2n

n

b m +3n

( b + a) ( b + c)
n

2n

n

c m+3n

( c + b) ( c + a)
n

2n

n

≥ 2.
≥ 2.
≥ 2.

n

≥

1 m

a + bm + cm ) .
n (
8

(20)

1 m
a
8n

1 m
b
8n

1 m
c
8n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT ( 20 ) ≥ 2.

1 m
1
2n
n
m
m
m −3 n
a
+

b
+
c
−
(
a
a
+
b
a
+
c
(
)
(
)
(
)
8n
64n

+ b m −3 n ( b + a )

n

( b + c)

2n

+ c m −3 n ( c + b )

n

( c + a)

2n

)

Mà:

12


a m −3 n ( a + b )

( a + c)

2n

n

= a m −3 n ( a + b )

n

( a + b) ( a + c)
n

n

3

=a

m −3 n

 n k  n− k k 2 n −k k
n m −3 k 2 k k
 ∑ Cn ÷ ( a b ) a c = 8 a b c
 k =0 

Tương tự ta có:

b m −3 n ( b + c )

2n

( b + a)

n

= b m−3n ( b + c )

n

( b + c) ( b + a)
n

n

3

 n k  n−k k 2 n− k k
n m −3 k 2 k k
=b
 ∑ Cn ÷ ( b c ) b a = 8 b c a
 k =0 
2n
n
n
n
n
c m −3 n ( c + a ) ( c + b ) = c m −3 n ( c + a ) ( c + a ) ( c + b )
m −3 n

3

=c

m −3 n

Do đó:

 n k  n −k k 2 n −k k
n m −3k 2 k k
 ∑ Cn ÷ ( c a ) c b = 8 c a b
 k =0 

a m −3 n ( a + b )

2n

( a + c)

n

+ b m −3n ( b + a )

n

( b + c)

2n

= 8 n ( a m − 3 k b 2 k c k + b m −3 k c 2 k a k + c m −3 k a 2 k b k )

+ c m −3 n ( c + b )

n

( c + a)

2n

Mà theo BĐT (2) thì:

(a

m −3 k

b 2 k c k + b m −3 k c 2 k a k + c m −3 k a 2 k b k ) ≤ ( a m + b m + c m )

Từ đó suy ra:
VT ( 18 ) ≥ 2.

1 m
1
1
a + b m + c m ) − n 8n ( a m + b m + c m ) = n ( a m + b m + c m )
n (
8
64
8

Bài tập áp dụng BĐT (20):
Bài tập 56: [3] Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a4

b4

+

( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c)
2

2

+

c4

( c + b) ( c + a)

2

1
( a + b + c)
8

≥

Bài tập 57: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5

b5

+

( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c)
2

2

+

c5

( c + b) ( c + a)

2

1 2
a + b2 + c2 )
(
8

≥

Bài tập 58: Chứng minh rằng, nếu a, b, c ≥ 0; a + b + c = 5 thì:
a5

b5

+

( a + b) ( a + c) ( b + a) ( b + c)
2

2

+

c5

( c + b) ( c + a)

2

25

24

≥

Bài tập 59: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7

( a + b) ( a + c)
4

2

+

b7

( b + a) ( b + c)
2

4

+

c7

( c + b) ( c + a )
2

4

≥

1
( a + b + c)
64

Từ trên ta cũng có thể đưa ra hai BĐT sau:
Bài toán 21.
Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * . Chứng minh rằng:
a m +3n
b2n ( b + c )

n

+

b m +3n
c 2n ( c + a )

n

+

c m +3n
a 2n ( a + b )

n

≥

1 m
a + bm + cm ) .
n (
2

(21)

Bài toán 22.
13


Cho a, b, c > 0, m, n ∈ N * . Chứng minh rằng:
a m +3n
bn ( b + c )

+

2n

b m +3n
cn ( c + a )

2n

c m +3n

+

an ( a + b)

2n

≥

1 m
a + bm + cm ) .
n (
4

(22)

Bài tập áp dụng BĐT (21, 22):
Bài tập 60: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a4
b4
c4
1
+ 2
+ 2
≥ ( a + b + c)
2
b ( b + c) c ( c + a) a ( a + b) 2
Bài tập 61: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a5
b5
c5
1
+
+
≥ ( a 2 + b2 + c2 )

2
2
2
4
b ( b + c)
c( c + a)
a ( a + b)

Bài toán 23.
Cho a, b, c > 0; n ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p ∈ ¡ * . Chứng minh rằng:
a m+ n

( b + pc )

+

n

b m+ n

( c + pa )

n

+

c m+n

( a + pb )

n

≥

1

( 1+ p)

n

(a

m

+ bm + cm )

(23)

Chứng minh.
Áp dụng Cô-Si ta có:
a m+ n

( b + pc )

a m− n ( b + pc )

+

n

2

≥

( 1+ p)
(1+ p)
n
b m− n ( c + pa )
b m+ n
2
+
≥
bm ;
n
2n
n
( c + pa )
(1+ p)
(1+ p)
n

2n

n

am
c m+n

( a + pb )

n

+

c m− n ( a + pb )

( 1+ p)

n

2n

≥

2

(1+ p)

n

cm

Cộng các BĐT trên ta được:
VT ( 23) ≥

2

( 1+ p)

n

(a

m

+ bm + cm ) −

1

( 1+ p)

2n

 a m− n ( b + pc ) n + b m − n ( c + pa ) n + c m − n ( a + pb ) n 



n

m− n
m− n
k n−k k k
Mà: a ( b + pc ) = a ∑ Cn b p c
n

k =0

n

b m− n ( c + pa ) = b m− n ∑ Cnk c n− k p k a k

n

n

c m− n ( a + pb ) = c m− n ∑ Cnk a n− k p k b k
n

k =0

k =0

Nên:
 a m−n ( b + pc ) n + b m −n ( c + pa ) n + c m −n ( a + pb ) n 


n

= ∑C p ( a
k =0

k
n

= (1+ p)

k

n

VT ( 23) ≥

=

1

(1+ p)

n

(a

m−n n− k k

c +b

b

+b +c

m

m

2

(1+ p)

(a

m

n

(a

m

m

m − n n −k

c

a +c
k

m −n

a

n −k

n

) ≤∑ C

k
n

p k ( a m + bm + c m )

(a

m

+ bm + cm )

k =0

)

+ bm + cm ) −

b

k

1

( 1+ p)

2n

(1+ p)

n

+ bm + cm )

Bài tập áp dụng BĐT 23:
14

Bài tập 62: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a2
b2
c2
1
+
+
≥ ( a + b + c)
( b + 2c ) ( c + 2a ) ( a + 2b ) 3
Bài tập 63: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a5
b5
c5
1
+
+
≥ ( a 3 + b3 + c 3 )
2
2
2
( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 16

Bài tập 64: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 5 . Tìm GTNN của P.
P=

a5

( b + 4c )

3

+

b5

( c + 4a )

3

+

c5

( a + 4b )

3

Bài tập 65: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a4

( b − 3c )

2

+

b4

( c − 3a )

2

+

c4

( a − 3b )

2

≥

1 2
a + b2 + c2 )
(
4

Bài tập 66: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a3

( b − 5c )

2

+

b3

( c − 5a )

2

+

c3

( a − 5b )

2

≥

1
( a + b + c)
16

Bài tập 67: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
1  1
1 1
 2 + 2+ 2÷
( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 64  a b c 
Bài tập 68: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
1
1
1
11 1 1
+
+

≥  + + ÷
( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 4  a b c 
Bài tập 69: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a2
b2
c2
1 1 1 1
+
+
≥  2+ 2+ 2÷
4
4
4
( b − 3c ) ( c − 3a ) ( a − 3b ) 16  a b c 
a

3

b

+

3

c

+

3

≥

Một cách tương tự ta có thể chứng minh được bất đẳng thức (24) sau:
Bài toán 24.
Cho a, b, c > 0; n ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p, q ∈ ¡ * . Chứng minh rằng:
a m+ n

( pb + qc )

n

+

b m+ n

( pc + qa )

n

+

c m+ n

( pa + qb )

n

≥

1

( p + q)

n

(a

m

+ bm + cm ) .

(24)

Bài tập áp dụng BĐT 24:
Bài tập 70: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
a3

( 2b + 3c )

2

+

b3

( 2c + 3a )

2

+

c3

( 2a + 3b )

2

≥

1
( a + b + c)
25

Bài tập 71: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì: ( m = −1; n = 4; p = 2; q = −3)
a3

( 2b − 3c )

4

+

b3

( 2c − 3a )

4

+

c3

( 2a − 3b )

4

 1 1 1
≥ + + ÷
a b c

Bài tập 72: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì: ( m = −3; n = 4; p = 3; q = 5 )
15


a

( 3b + 5c )

+

4

b

( 3c + 5a )

+

4

c

( 3a + 5b )

4

≥

1  1 1 1
 + + ÷
642  a 3 b3 c 3 

Bài tập 73: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì: ( m = −2; n = 2; p = 2; q = −3)
1

( 2b − 3c )

+

2

1

( 2c − 3a )

+

2

1

( 2a − 3b )

2

 1 1 1
≥ 2 + 2 + 2 ÷
a b c 

Bài tập 74: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì: ( m = −3; n = 2; p = 3; q = −1)
1
a ( 3b − 1c )

2

+

1
b ( 3c − 1a )

2

+

1
c ( 3a − 1b )

2

1 1 1 1 

≥  3+ 3 + 3÷
4 a b c 

Từ bài toán 24 gợi ý cho ta có thể suy ra BĐT tổng quát sau:
Bài toán 25.
Cho a, b, c > 0; n, t ∈ N * ; m ∈ ¢ * ; p, q, r , s ∈ ¡ * . Chứng minh rằng:
a m + n +t

( pa + qb ) ( ra + sc )
≥

n

t

1

(a

( p + q) ( r + s)
n

t

+
m

b m + n +t

( pb + qc ) ( rb + sa )

n

+b +c
m

m

t

+

c m + n +t

( pc + qa ) ( rc + sb )
n

t

≥

)

(25)

Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

a m− n −t ( pa + qb )

( ra + sc ) ≥

2
+
am
n
t
2n
2t
n
t
( pa + qb ) ( ra + sc )
( p + q) ( r + s)
( p + q) ( r + s)
n
t
b m− n −t ( pb + qc ) ( rb + sa )
b m+ n+t
2
+
≥
bm
n
t
2n
2t
n
t
( pb + qc ) ( rb + sa )
( p + q) ( r + s)
( p + q) ( r + s)
n

t
c m− n−t ( pc + qa ) ( rc + sb )
c m + n +t
2
+
≥
cm
n
t
2n
2t
n
t
( pc + qa ) ( rc + sb )
( p + q) ( r + s)
( p + q) ( r + s)
a m + n +t

n

t

Từ trên suy ra:
2

VT ( 25 ) ≥

(a

m

1

+ bm + cm ) −

t

a m− n−t ( pa + qb ) ( ra + sc ) +
n

( p + q) ( r + s)
( p + q) ( r + s)
n
t
n
t
+ b m− n−t ( pb + qc ) ( rb + sa ) + c m− n −t ( pc + qa ) ( rc + sb ) )
n

2n

2t

t

Mà:
a m− n−t ( pa + qb )

n

n

t

k =0

i =0

( ra + sc ) = a m−n−t ∑ Cnk p n−k q k a n−k b k .∑ Cti r t −i s i at −i ci
t

n

t

= ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( a m− k −i b k c i )
k =0

b m− n−t ( pb + qc )

n

( rb + sa )

t

i =0

n

t

= b m− n −t ∑ Cnk p n− k q k b n −k c k .∑ Cti r t −i s ibt −i a i
k =0

i =0

n

t

k =0

i =0

= ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( b m− k −i c k a i )

16


c m− n −t ( pc + qa )

n

( rc + sb )

n

t

= c m−n −t ∑ Cnk p n−k q k c n −k a k .∑ Cti r t −i s i c t −ib i

t

k =0

i =0

n

t

k =0

i =0

= ∑ Cnk p n −k q k ∑ Cti r t −i s i ( c m− k −i a k bi )

Do đó:

a m−n −t ( pa + qb )
n

= ∑C p

n−k

≤ ( p + q)

n

k =0

k
n

n

( ra + sc )

+ b m− n−t ( pb + qc )

t

n

( rb + sa )

t

+ c m− n−t ( pc + qa )

n

( rc + sb )

t

=

t

q .∑ Cti r t −i s i  a m − k −i b k c i + b m −k −i c k a i + c m −k −i a k bi  ≤
k

i =0

( r + s)

t

(a

m

+ bm + cm )

Vậy:
2

VT ( 25 ) ≥
=

( p + q) ( r + s)
n

1

( p + q) ( r + s)
n

t

(a

m

t

(a

m

+ bm + cm ) −

1

( p + q) ( r + s)
n

( p + q) ( r + s)
2n

2t

t

(a

m

+ bm + cm )

+ bm + c m )

Bài tập áp dụng BĐT 25:
Bài tập 75: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:

( m = 2; n = 1; t = 2; p = 2; q = 1; r = 3; s = 2 )

a5

( 2a + b ) ( 3a + 2c )

2

+

b5

( 2b + c ) ( 3b + 2a )

2

+

c5

( 2c + a ) ( 3c + 2b )

2

≥

1 2
a + b2 + c 2 )
(
75

Bài tập 76: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:

( m = 1; n = 2; t = 2; p = 1; q = 2; r = 1; s = −2 )

a5

( a + 2b ) ( a − 2c )
2

2

+

b5

( b + 2c ) ( b − 2a )
2

2

+

c5

( c + 2a ) ( c − 2b )
2

2

≥

1
( a + b + c)
9

Bài tập 77: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:

( m = 1; n = 1; t = 1; p = 3; q = 2; r = 5; s = 1)

a3
b3
c3
1
+
+
≥ ( a + b + c)
( 3a + 2b ) ( 5a + c ) ( 3b + 2c ) ( 5b + a ) ( 3c + 2a ) ( 5c + b ) 30
Bài tập 78: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
( m = −2; n = 2; t = 1; p = 2; q = 3; r = 1; s = 2 )
a

b

+

c

+

( 2a + 3b ) ( a + 2c ) ( 2b + 3c ) ( b + 2a ) ( 2c + 3a ) ( c + 2b )
2

2

2

≥

1  1 1 1
 + + ÷
75  a 2 b 2 c 2 

Bài tập 79: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:

( m = −4; n = 2; t = 1; p = 2; q = 1; r = 1; s = 1)

1
a ( 2a + b )

( a + c)

+

1
b ( 2b + c )

2

( b + a)

+

1

≥

1 1 1 1
 + + ÷
18  a 4 b 4 c 4 

c ( 2c + a ) ( c + b )
Bài tập 80: Chứng minh rằng, nếu a, b, c > 0 thì:
( m = −4; n = 1; t = 1; p = 2; q = 1; r = 1; s = 1)
2

2

17


1

1
1
1 1 1 1 
+ 2
+ 2
≥  4+ 4+ 4÷
a ( 2a + b ) ( a + c ) b ( 2b + c ) ( b + a ) c ( 2c + a ) ( c + b ) 6  a b c 
2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Như đã nói ở trên, bất đẳng thức không chỉ khó đối với học sinh mà còn là
vấn đề khó đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông,
trong quá trình làm SKKN này, tôi có điều kiện áp dụng trong việc giảng dạy về
BĐT cho học sinh trong các buổi học bồi dưỡng. Một tín hiệu đáng mừng là với
cách dạy phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc khái quát hóa từ các bất
đẳng thức cơ bản thường gặp để đưa ra các bất đẳng thức mới lạ hơn, nhưng
cách thức giải vẫn như bài toán cũ. Đặc biệt khi tôi dạy BĐT trong SKKN của
tôi, học sinh rất hào hứng đón nhận và bước đầu hình thành ở học sinh được khả
năng tư duy sáng tạo.
Với tôi, SKKN này là một tài liệu mà tôi dùng làm tư liệu phục vụ cho công
tác giảng dạy của tôi.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi cũng đã được các thành viên trong tổ chuyên
môn lấy làm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong khuôn khổ, phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ đưa ra được
một lượng kiến thức như ở trên, vẫn còn một số bất đẳng thức đã được khái quát
mà tôi chưa có điều kiện đưa vào SKKN này. Tôi hy vọng, SKKN của tôi sẽ có
ích trong việc tự học, phát triển tư duy sáng tạo của các em học sinh và là tài

liệu hữu ích cho các thầy cô giáo giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông.
3.2. Kiến nghị.
Hàng năm, Sở GD & ĐT Thanh Hóa phát động phong trào viết SKKN
trong cán bộ, giáo viên phổ thông, rất nhiều SKKN được xếp giải cấp ngành,
nhưng cũng chỉ là nghe như vậy, các SKKN chưa được phổ biến rộng rãi. Vì vậy
tôi kiến nghị, các SKKN đạt giải nên đóng thành tập san và phân về các trường
phổ thông để SKKN được áp dụng trong thực tiễn dạy và học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bất đẳng thức cổ điển.
Tác giả: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn, nhà XB Đại học Quốc gia
Hà Nội năm 2013.
[2]. Bất đẳng thức định lý và áp dụng.
Tác giả: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, nhà XB Giáo dục năm 2005.
18


[3]. Bất đẳng thức và những lời giải hay.
Tác giả: Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, nhà XB Hà Nội năm
2009.

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Tôi xin cam đoan nội dung trong
SKKN trên là do tôi tự nghiên cứu và
đánh máy, không sao chép từ tài liệu
khác. Tôi xin chịu trách nhiệm trước
lời cam đoan của mình.
Thanh Hóa, tháng 5 năm 2019
Người viết SKKN

Phạm Đình Huệ

19