Kỹ năng sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS giải một số dạng toán ứng dụng của đạo hàm thuộc chương i giải tích 12 cho học viên trung tâm GDNN GDTX

MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Nhiệm vụ, giải pháp nghiên cứu
2. Nội dung của sáng kiên
2.1.Cơ sở lí luận.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
2.3.Các giải pháp được sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1.Hướng dẫn sử dụng máy tính casio fx 570-vn plus
2.3.1.1.Kí hiệu và chức năng các loại phím trên máy tính
2.3.1.2. Các hình thức nhập dữ liệu
2.3.1.3. Một số tính năng của máy tính.
2.3.2. Các dạng toán thường gặp
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp, nhà trường.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

TRANG
1
1
1
1-2
2
2

2
2-3
3-4
4
4-5
5
5-6
6-19
19
20
20
20
21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm trở lại đây việc thi THPT Quốc gia bằng hình thức thi
trắc nghiệm khách quan (trừ môn Ngữ Văn), thì việc sử dụng thành thạo máy
tính cầm tay là một kỹ năng vô cùng quan trọng đối với các em học sinh trong
quá trình làm bài. Đặc biệt với các môn khoa học tự nhiên như Toán; Vật lý;
Hóa và Sinh thì lại càng quan trọng hơn bao giờ hết.
Tuy nhiên, việc vận dụng máy tính cầm tay giải toán của học sinh phần đa
mới chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản là thực hiện phép tính có sẵn như cộng, trừ,
nhân, chia, logarit, giải phương trình bậc hai... Còn việc khai thác và sử dụng
máy tính cầm tay ở mức độ cao hơn như tìm nghiệm của phương trình bất kỳ,
định hướng giải cho một bài toán, nhóm nhân tử chung biểu thức một ẩn, hai ẩn,
lưu kết quả để sử dụng nhiều lần… thì đa phần các em chưa biết khai thác và

vận dụng sáng tạo để sử dụng triệt để các chức năng của máy tính cầm tay.
Khác với học sinh các trường trung học phổ thông thường xuyên được sử
dụng máy tính cầm tay, học viên học tập tại các trung tâm GDNN- GDTX còn
khó khăn hơn rất nhiều. Phần đa các em còn chưa biết đến máy tính cầm tay nên
việc biết cách sử dụng thì gần như các em đều không biết thực hành thế nào.Vì
thế, giáo viên tại các trung tâm trong quá trình giảng dạy vừa phải dạy kiến thức
vừa phải giới thiệu và hướng dẫn học viên sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx
– 570 VN PLUS trong việc giải toán cho chính xác và nhanh hơn.
Trên tinh thần đó, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “ Kỹ năng sử dụng máy
tính CASIO fx – 570VN PLUS giải một số dạng toán ứng dụng của đạo hàm
thuộc chương I Giải tích 12 cho học viên trung tâm GDNN- GDTX ”.
1.2 . Mục đích nghiên cứu:
Qua nghiên cứu vấn đề này, bản thân tôi mong muốn được truyền đạt đến
học viên giải toán tốt hơn khi có sự trợ giúp của máy tính.
- Cung cấp cho các em học viên hệ thống kiến thức cơ bản về cách sử dụng
và những tính năng của máy tính cầm tay CASIO fx – 570VN PLUS nói riêng và
máy tính cầm tay nói chung.
- Khai thác các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN
PLUS trong việc giải và định hướng cách giải cho một số dạng bài toán trong
chương trình Toán THPT hiện hành.
- Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, thì đề tài nghiêm cứu của tôi có
vai trò quan trọng đối với giáo viên, cũng như các em học viên trong quá trình dạy
và học.
- Trong quá trình giải toán bằng sử dụng máy tính các em còn có thể sáng tạo
thêm nhiều phương pháp, nhiều cách giải mới hay hơn bằng máy tính.
- Khơi dậy niềm đam mê Toán học nói riêng và các môn khoa học tự nhiên nói
chung ở các em học viên.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản về cách sử dụng và các tính năng của
máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN PLUS trong giải toán.

- Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx – 570VN PLUS để giải một số dạng
2


toán thuộc chương I phân môn Đại Số & Giải tích 12” chương trình toán THPT.
1.4. Nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu:
Khi thực hiện đề tài này, tôi đã thực hiện các nhiệm vụ, các phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp thống kê xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Mục tiêu hàng đầu của nghành giáo dục nói chung và của nghành GDĐT
Thanh Hóa nói riêng trong những năm gần đây là đổi mới phương pháp dạy học
nâng cao chất lượng giáo dục, nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm
chất như: năng động sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, có ý thức
suy nghĩ tìm phương pháp tối ưu khi giải quyết công việc để thích ứng với nền
sản xuất tự động hóa, hiện đại hóa. Muốn đạt được điều đó, một trong những
việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy và học là tận dụng các phương
tiện hiện đại hỗ trợ vào quá trình dạy và học trong đó có máy tính cầm tay
(MTCT) nói chung và máy tính CASIO nói riêng là một trong những công cụ
được sử dụng nhiều nhất và không thể thiếu trong quá trình dạy và học hiện nay.
Sử dụng máy tính cầm tay để giải toán hầu hết được học viên và giáo viên
sử dụng. Nhưng việc sử dụng máy tính cầm tay giải toán nhanh, chính xác đòi
hỏi học viên phải biết cách sử dụng máy tính thành thạo, phải biết cách giải các
dạng toán đã học, phải có nhiều dạng bài tập đa dạng để luyện giải thì mới đạt
được kết quả cao. Việc hướng dẫn học viên sử dụng MTCT giài toán trung học
phổ thông đã có trong chương trình, cụ thể ở mỗi khối lớp có tiết hướng dẫn sử
dụng máy tính cầm tay để giải toán. Nhưng vì thời gian có giới hạn nên giáo

viên không thể rèn luyện hết các dạng toán trong sách giáo khoa được. Vì vậy,
giáo viên khi giảng dạy thường lồng ghép sử dụng máy tính vào trong các tiết
dạy của mình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
a,Thuận lợi:
- Bản thân nhận được sự quan tâm giúp đỡ từ ban giám đốc,của tổ chuyên
môn và các đồng nghiệp.
- Hầu hết học viên trong các lớp đều chuyên cần trong học tập
-Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy có một số học viên có khả năng và
muốn học hỏi từ thầy cô và bạn bè.
- Học viên trong trung tâm phần lớn chịu khó nghe giảng, trau rồi kiến thức
cho bản thân.
b, Khó khăn:
- Trung tâm GDNN- GDTX Thường Xuân đầu vào không thi tuyển và cũng
không xét tuyển nên có nhiều học viên còn yếu về học lực, tiếp thu chậm, kiến
thức không đồng đều nên việc lựa chọn phương pháp , kiến thức cung cấp cho
học viên cũng gặp nhiều khó khăn.
3


- Một số học viên ít chịu khó tìm tòi, thụ động trong học tập tuy có nắm được
phương pháp giải toán nhưng lại yếu về kỹ năng tính toán. Khi giải cac bài toán
sẽ cho ra kết quả sai hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành
bài giải.
- Ngoài ra phân phối chương trình còn quá ít giờ luyện tập, không cân đối
với lượng kiến thức mà các em đã được học.
- Đến khoảng 80% học viên không có máy tính cầm tay mà khả năng tự tính
toán bị hạn chế. Bên cạnh đó việc dạy học viên sử dụng máy tính cầm tay tuy đã
đưa vào trong chương trình học ở bậc THPT nhưng số tiết còn ít nên chưa được
giáo viên và học viên quan tâm đúng mức. Số liệu thống kê:

Lớp
Số
Dưới TB
TB trở lên
Khá
Giỏi
HS
30
7
23.33%
23
76.67%
12A
35
8
22.86%
27
77.14%
12B
Những khó khăn kể trên đối với học viên sẽ được tháo gỡ nếu các em biết sử
dụng máy tính cầm tay hỗ trợ mình trong quá trình giải toán, đặc biệt với hình thức
thi trắc nghiệm khách quan. Chỉ cần học viên hiểu được máy tính sẽ giúp mình tìm
được gì từ yêu cầu của bài toán đã cho. Sau đó chuyển tải những điều mình muốn
sang ngôn ngữ của máy tính và yêu cầu máy tính thực thi.
2.3. Các giải pháp được sử dụng để giải quyết vấn đề.
Giới thiệu cơ bản về máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN PLUS

Máy tính cầm tay hỗ trợ cho việc giải toán của học viên có rất nhiều loại,
nhưng thông dụng nhất hiện nay là máy tính CASIO với các phiên bản máy
như: CASIO fx - 570 ES PLUS, CASIO fx - 570 VN PLUS, ….Trong đề tài này,

tôi sử dụng máy tính CASIO fx - 570 VN PLUS để giải toán và định hướng tìm
lời giải cho các bài toán. Bởi đây là dòng máy mà đại đa số các học viên đang sử
dụng trong học tập và đây cũng là dòng máy tính cầm tay có tính năng ưu việt
hơn các dòng máy tính cầm tay phổ thông khác. Tuy nhiên, nếu học viên dùng
các dòng máy khác có chức năng tương đương vẫn thực hiện được các yêu cầu
giải toán của đề tài này như: VINACAL 570ES, CASIO fx-580VN X Ver.2.00
….
4


Tôi xin giới thiệu một số phím chức năng của máy tính CASIO fx – 570VN
PLUS. Đồng thời để cho đơn giản trong trình bày, tôi sẽ gọi máy tính cầm tay
CASIO fx – 570VN PLUS ngắn gọn hơn là máy tính CASIO hoặc máy tính cầm
tay (MTCT) ở trong đề tài này.
2.3.1. Hướng dẫn sử dụng máy tính casio fx 570- VN PLUS
2.3.1.1. Kí hiệu và chức năng các loại phím trên máy tính.
a. Phím chung.
Phím
Chức năng
W
Mở máy.
qC
Tắt máy.
Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc phép
!E$R
toán cần sửa.
123 9
Nhập các chữ số ( Nhập từng số).
Dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của số
.

thập phân.
+pOP
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.
C
Xóa hết.
o
Xóa kí tự vừa nhập
z
Dấu trừ của số âm.
CLR
Xóa mà hình.
b. Phím nhớ.
Phím
Chức năng
J
Gọi số ghi trong ô nhớ.
STO
Gán (Ghi) số vào ô nhớ.
A B C D
Các ô nhớ, mỗi ô nhớ này chỉ ghi được một số riêng.
Riêng ô nhớ M thêm chức năng nhớ M+; M- gán cho.
E F X Y M
m M
c. Phím đặc biệt.
Phím
q
Q
w

()

EXP



x
DRG >
Rnd
nCr

Cộng thêm vào ô nhớ M hoặc trừ bớt ra ô nhớ M.
Chức năng
Chuyển sang kênh chữ Vàng.
Chuyển sang kênh chữ Đỏ.
Ấn định ngay từ đầu kiểu, trạng thái, loại hình tính
toán, loại đơn vị đo, dạng số biểu diễn kết quả…cần
dùng.
Mở; đóng ngoặc.
Nhân với lũy thừa nguyên của 10.
Nhập số  .
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây.
Chuyển đơn vị giữa độ, rađian, grad.
Làm tròn giá trị.
Tính tổ hợp chập r của n.
5


Tính chỉnh hợp chập r của n.

nPr

d. Phím hàm.
Phím

Y

Chức năng
Tính các giá trị của sin, côsin, tang khi biết số đo
của một góc, một cung.
Tính số đo của một góc, một cung khi biết giá trị
của sin, côsin, tang.
Lôgarit thập phân, Lôgarit tự nhiên.
Hàm số mũ cơ số e, cơ số 10.
Bình phương, lập phương…,lũy thừa bậc cao
Căn bậc 2, Căn bậc 3, căn bậc n
Số nghịch đảo.
Giai thừa.
Phần trăm.
Giá trị tuyệt đối
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, Đổi phân số ra số
thập phân, hỗ số.
Tính giá trị của hàm số.
Dò nghiệm của phương trình.
Tính đạo hàm của hàm số tại x0.

y

Tính tích phân

|

Chuyển sang dạng a*10n
Đổi tọa độ Decac ra tọa độ cực

jkl
<>?
ghi
ex

10e

dD ^
sS F
u
%
&
e
N
r
SOLVE

Pol (

Re c (

Đổi tọa độ cực ra tọa độ do Decac
Ran #
Nhập số ngẫu nhiên
FACT
Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố.
`

2.3.1.2. Các hình thức nhập dữ liệu
Để nhập dữ liệu (biểu thức chứa biến hay chữ số) từ bàn phím vào màn hình
máy tính có ba hình thức nhập đó là:
- Ấn phím gọi trực tiếp dạng biểu thức (chủ yếu dùng cho các dạng biểu thức đã
được ghi màu trắng trên phím).
- Ấn tổ hợp phím SHIFT và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu thức
được ghi màu nâu ở góc trên bên trái của phím.
- Ấn tổ hợp phím ALPHA và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu thức
được ghi màu đỏ ở góc trên bên phải của phím.
2.3.1.3. Một số tính năng của máy tính
* Phím CALC:
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính
ra giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho
6


phép ta tính một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần
nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.
* Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE:
Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì
màn hình hiển thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta
vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa
mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số
thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa tìm được
nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình
với sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở
6
hai vế (thông thường sai số này rất bé khoảng 10 trở xuống).
* Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức

trong đó các giá trị biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn
tổng thể các giá trị của biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu
của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm một cách tiết kiệm thời gian.
Trải qua các thao tác như sau:
Thao tác bấm máy – Cách giải
Hiển thị trên màn hình CASIO
B1: Định dạng bảng tính cho máy thực hiện
thao tác
- Nhấn SHIFT MODE � 5 1 ( để chọn loại
bảng tính chỉ có một hàm số)
Bước 2: Nhập hàm tính thực hiện các thao
tác sau:
- Nhấn MODE 7 màn hình xuất hiện như
sau:
- Nhập biều thức f ( x) vào màn hình
- Nhấn dấu  máy hỏi Start? (giá trị bắt
đầu của x) ta nhập a.
- Nhấn số a và nhấn dấu  máy hỏi End?
(giá trị kết thúc của x) ta nhập b
- Nhấn số b và nhấn dấu  máy hỏi Step?
+ Bước nhảy thường tính theo công thức:
Step 

End  Start
20

- Nhấn dấu  trên màn hình xuất hiện bảng
sau:
Bước 3: Dựa vào bảng trên để tìm các yêu
cầu của bài toán .

7


2.3.2. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K (K là khoảng hoặc
đoạn hoặc nửa khoảng). Xét tính đơn điệu của hàm số trên K.
a. Cơ sở lý thuyết:
- Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x)  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thì f ( x) đồng biến
trên K.
- Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x )  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thì f ( x) nghịch
biến trên K.
b. Giải pháp:
Cách 1: Dùng đạo hàm
d
 f ( x) 
dx

x x
- Dùng chức năng
để tính f '( x0 ) với x0 �K .
+ Nếu f '( x0 )  0 thì f ( x) không đồng biến trên K.
+ Nếu f '( x0 )  0 thì f ( x) không nghịch biến trên K.
Cách 2: Dùng định nghĩa (Sử dụng chức năng TABLE)
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.
 y = f(x) đồng biến trên K x1, x2 K: x1< x2 f(x1) < f(x2)
f ( x1 )  f ( x2 )
0
x


x
1
2

,x ,x  K (x  x )

1

0

2

1

2

 y = f(x) nghịch biến trên K x1, x2 K: x1< x2 f(x1) > f(x2)
f ( x1 )  f ( x2 )
0
x

x
1
2

,x ,x  K (x  x )
1

2

1

2

Nhận xét: Ta hiểu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K nếu x tăng thì y tăng
(giảm) trên K.
Ví dụ 1: (Trích câu 25 đề thi thử nghiệm lần 2 của bộ năm 2017)
3
2
Hàm số y  x  2 x  x  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
�1 �
� ; 1�
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng �3 �
� 1�
�; �
�
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng � 3 �
�1 �
� ; 1�
C. Hàm số đồng biến trên khoảng �3 �
 1;  �

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Bài giải:
Thao tác thực hành – Cách giải
Hiển thị trên màn hình CASIO
3
2
B1: Nhập biểu thức x  2 x  x  1. Bằng cách

thực hiện các thao tác sau:
8


SHIFT

W

�X
W

ALPHA ) xW 3 >  2 ALPHA )

x 2  ALPHA )  1 > ALPHA )

B2: Thử phương án A
Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá trị
1 �1 �
�� ;1�
2 �3 �và nhấn dấu  được kết quả:

Từ kết quả trên chưa kết luận được tính
đúng, sai của phương án A. Nhưng loại được
C
B3: Thử phương án B
Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá trị
� 1�
0 ���; �

� 3 �và nhấn dấu  được kết quả:

- Từ kết quà này ta loại được phương án B.
B4: Thử phương án D
Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá trị
2 � 1;  �

và nhấn dấu  được kết quả
- Từ kết quả này loại D.
Qua các phép thử trên ta thấy các phương án B, C, D đều sai, vậy đáp án
đúng là A. Chọn đáp án A.
Chú ý: Cách làm trên chỉ tìm phương án sai, không dùng để tìm phương án
đúng. Vì nó đúng với một giá trị thì nó chưa chắc đúng với mọi giá trị.
4
Ví dụ 2: Hỏi hàm số y  2 x  1 đồng biến trên khoảng nào?
1�
�
�;  �
�
2�
A. �

B.  0; �

�1
�
 ; ��
�
�

C. � 2

Thao tác thực hành – Cách giải
B1: Bấm lệnh MODE 7
y  2x4  1
:
Nhập
hàm
số
B2
B3: STAR = -4; END=4; STEP =0.5

D.  �; 0 
Hiển thị trên màn hình máy tính

4  4  0,5 

B4: Nhìn vào bảng chạy của các cột
nhận thấy . Giá trị của x chạy từ
4 � 0

f (x)

thì giá trị của
giảm dần
từ 513 xuống 1. Giá trị của x chạy từ
f (x)

0 đến 4 thì giá trị của
tăng từ 1

đến 513. Như vậy, đối chiếu các đáp
9


án thì chỉ có đáp án D là đúng nhất.
Hàm số đồng biến trên khoảng

 �; 0 

Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x,m) (m là tham số) có đạo hàm trên K
(K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng). Tìm m để hàm số đồng biến
(nghịch biến) trên K.
a. Cơ sở lý thuyết:
- Nếu x0 �K sao cho: f '( x0 )  0 thì f ( x) không nghịch biến trên K.
- Nếu x0 �K sao cho: f '( x0 )  0 thì f ( x) không đồng biến trên K.
b.. Giải pháp:
Cách 1: Dùng đạo hàm
d
 f ( x) 
dx

xx
- Dùng chức năng
để tính f '( x0 , m).
- Dựa vào tính chất trên đề loại những phương án sai.
Cách 2: Dùng định nghĩa (Sử dụng chức năng TABLE)
0

Ví dụ (Đề thi thử nghiệm lần 2 của Bộ GD & ĐT 2018).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

�;  � .
trên 

�;  1 .
A. 

�;  1 .
B. 

1; 1 .
C. 

Thao tác thực hành – Cách giải



y  ln  x 2  1  mx  1

đồng biến

1;  � .
D. 

Hiển thị trên máy tính CASIO



d
ln  X 2  1  MX  1
dx

B1: Nhập biểu thức

x X

lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp các
phím sau:
SHIFT

W

�X ln
W

ALPHA ) x 2  1 ) 

ALPHA M  ALPHA )  1 > ALPHA )

B2: Thử phương án C và D, vì trong hai
phương án này đều chứa m =1.
- Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá
trị

2 � �;  �

Ta nhập 1 vì (

và nhấn dấu  máy hỏi M?

1� 1;1

và

1 � 1;  �

) nhấn tiếp

dấu  được kết quả:
�x  0
�
Từ kết quả trên loại C, D vì với �m  1 thì
f '( x )  3  0
10


Bước 3: Thử phương án B.
- Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá


trị
Ta nhập

2 � �;  �

và nhấn dấu  máy hỏi M?

2 � �;  1

nhấn tiếp dấu  được kết quả:

Từ kết quả có thể phương án B đúng?
Bước 4: Thử phương án A.
- Nhấn phím
máy hỏi X? Ta chọn giá


trị
Ta nhập

2 � �;  �

1� �;  1

Nhận

và nhấn dấu  máy hỏi M?

nhấn tiếp dấu  được kết quả:

thấy

m  1 � �;  1

với

m  2 � �;  1

và

thì f '( x)  0 nhưng

 �;  1 � �;  1

- Nên chọn đáp án A. Vì nếu A sai thì B cũng
sai.
Vậy đáp án đúng là A.
Nhân xét: Qua hai ví dụ trên ta thấy trong 4 phương án đưa ra chỉ có
một phương án đúng thì phương pháp thử để loại trừ 3 phương án sai là khả thi.
Nhưng nếu trong trường hợp thử mà chỉ loại trừ được một hoặc hai phương án
sai thì sao? Lúc này còn tùy thuộc vào từng dạng hàm số mà ta có thể tìm ra
một vài tính chất của hàm số đó để tìm cách xử lý.
Dạng 2: Cực trị của hàm số.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng (a; b).
và có đạo hàm trên (a; b). Tìm điểm cực trị của hàm số.
a. Cơ sở lý thuyết: Sử dụng qui tắc tìm cực trị.
- Tìm TXĐ
- Tính f’(x). Tìm các giá trị xi ( i =1,2,3…n) mà tại đó f '( xi )  0 hoặc f '( xi )
không xác định.
- Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Nếu giải quyết bài toán theo hướng tự luận thì chúng ta cần phải thực hiện
đầy đủ các bước trong qui tắc trên.
 Đối với bài toán trắc nghiệm thì chúng ta chỉ cần thực hiện hai bước chính
sau:
+ Tính f’(x). Tìm các giá trị xi ( i =1,2,3…n) mà tại đó f '( xi )  0 hoặc
f '( xi ) không xác định.
+ Xét dấu f’(x).
b. Giải pháp bấm máy: Dùng chức năng TABLE để lập ra bảng biến
thiên
11

Bấm MODE 7: STAR = - 4; END = 4; STEP = 0.5
 Chú ý:
- Nếu f '( x0 )  0 và f '( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là
điểm cực đại của hàm số.
- Nếu f '( x0 )  0 và f '( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là
điểm cực tiểu của hàm số.
3
 Ví dụ : Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y   x  3x  4 là?

A. x  1
B. x  1
C. 
Bài giải:
Thao tác bấm máy tính – Cách giải

1; 2 

1; 6
D.  

Hiển thị trên màn hình CASIO

B1: Bấm MODE 7. Nhập hàm
y   x3  3x  4

B2: Nhập các lệnh điểm đầu , cuối và
bước nhảy của bảng.
STAR = - 4; END = 4; STEP = 0.5
B3: Kéo các giá trị trong bảng tại giá trị nào

có thay đổi từ các giá trị giảm sau tăng lên
thì tại đó là cực tiểu.
Đáp án đúng là C
 Chú ý:
Cần nắm vững hai khái niệm điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của đồ
thị hàm số, nếu không sẽ chọn A là sai.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) (với m là tham số) xác định, liên
tục trên khoảng K , và có đạo hàm trên K . Tìm m để hàm số đạt cực đại
(cực tiểu) tại x  x0 , ( x0 �K ) .
a. Cơ sở lý thuyết:
- Bước 1: Tính f '( x, m) và giải phương trình f '( x0 , m)  0 để tìm m.
- Bước 2: Thử lại với giá trị của m vừa tìm được để kiểm tra xem x0 là điểm cực
đại hay là điểm cực tiểu.
- Bước 3: Kết luận
b. Giải pháp: Bấm máy casio
- Dùng chức năng TABLE (MODE 7) để kiểm tra xem điểm nào có sự thay đổi
về độ tăng giảm để kết luận được cực đại hay cực tiểu.
 Chú ý:
- Nếu f '( x0 )  0 và f '( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực
đại của hàm số.
- Nếu f '( x0 )  0 và f '( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực
tiểu của hàm số.
12


 Ví dụ : Xác định giá trị của tham số m để hàm số
x  2?
A. m  1.

B. m  3.

C. m  3; m  1.

Bài giải:
Thao tác bấm máy – Cách giải.
B1: Bấm MODE 7
B2: Thử với đáp án A
m  1 � y 

y

x 2  mx  1
xm
đạt cực đại tại

D. m  1; m  3.
Hiển thị trên màn hình CASIO

x2  x  1
x 1

B2: Nhập các lệnh điểm đầu , cuối và bước
nhảy của bảng.
STAR = - 4; END = 4; STEP = 0.5
B3: Nhìn vào bảng chạy trên màn hình thì
nhận thấy tại x = 2 thì giá trị f(x) vẫn tăng.
Đáp án A loại đồng thời đáp án C cũng loại
B4: Thử với đáp án B
x 2  3x  1
m  3 � y 

x 3

B5: Nhập các lệnh điểm đầu , cuối và bước
nhảy của bảng.
STAR = - 4; END = 4; STEP = 0.5
B6: Nhìn vào bảng chạy trên màn hình thì
nhận thấy tại x = 2 thì giá trị f(x) đã giảm
xuống. Đáp án B là đúng.
Chú ý: Có nhiều học viên không nắm vững thuật toán chỉ thực hiện bước tính
m  3
�
f '(2, m)  0 � �
m  1 (không thử lại) từ đó chọn
f '( x, m) và giải phương trình
�

phương án C thì đó là một sai lầm.
Dạng 3: Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số.

a; b
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn   . Tìm

GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn  a; b  .
a. Cơ sở lý thuyết:
- Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá tri lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn đó.

b. Giải pháp: Dùng chức năng TABLE (Chức năng lập bảng giá trị của
hàm số).
Chú ý:

13


+ Giá trị lớn nhất trong cột f(x) chính là giá tri lớn nhất của hàm số.
+ Giá trị nhỏ nhất trong cột f(x) chính là giá tri nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ 1: (Trích Câu 18 đề thi THPT QG năm 2018)

 bằng
Giá trị lớn nhất của hàm số  
trên đoạn 
A. 50
B. 5
C. 1
D. 122
Bài giải:
Thực hành thao tác- cách giải
Hiển thị trên màn hình CASIO
B1: Định dạng bảng tính cho máy tính thực
hiện:
f x  x4  4 x2  5

Nhấn

2;3

SHIFT MODE � 5 1

(Chọn loại bảng có 1 hàm số)
B2: Nhập hàm tính bằng cách thực hiện
MODE 7. Nhập hàm số

f  x   x4  4 x2  5

bằng cách bấm lần lượt các phím sau:
ALPHA ) xW 4 >  4 ALPHA ) x 2  5

B3: Nhập các giá trị điểm đầu, điểm cuối và
bước nhảy của bảng
STAR  2; END  3; STEP 

3  (2)
 0.25
20

B4: Dựa vào bảng trên ta thấy giá trị nào
trong bảng lớn nhất thì đó là giá trị lớn nhất
của hàm số. Giá trị nào trong bảng nhỏ nhất
thì đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Như vậy. Đáp án đúng là A
Dạng 4: Đường Tiệm Cận.
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm các đường tiệm cận
của đồ thị hàm số.
a. Cơ sở lý thuyết:
* Định nghĩa đường tiệm cận:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng có dạng

 a;  � ,  �; b  , hoặc  �;  � )

a) Đường thẳng y  y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất
lim f ( x )  y

lim f ( x)  y

0
0
một trong các điều kiện sau thỏa mãn: x��
, x��
.
x

x
0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu nếu ít
b) Đường thẳng
nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim f ( x)  � lim f ( x)  � lim f ( x)  � lim f ( x)  �

x � x0

, x�x
, x �x
, x�x
.
 Tóm lại: để tìm các đường tiệm cận ta phải tính các giới hạn trên.
0

0

0

14

* Thực chất của phép tính giới hạn
- Phép tính

lim f ( x)

x � x0

tương đồng với phép tính giá trị của hàm số f ( x) tại x �x0 .

lim f ( x)

- Phép tính x ��
dương đủ lớn

tương đồng với phép tính giá trị của hàm số f ( x) tại một số

lim f ( x)

- Phép tính x��
tương đồng với phép tính giá trị của hàm số f ( x ) tại một số
âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn.
b. Giải pháp: Dùng thuật toán tính giới hạn bằng máy như sau:
- Nhập biểu thức cần tính giới hạn
- Gán cho biến x một giá trị gần đúng bằng lệnh CALC .
c. Thuật toán chi tiết cho từng trường hợp như sau:
Bước 1: Nhập công thức của hàm số cần tính giới hạn lên màn hình.
Bước 2: Nhấn phím CALC máy hỏi X?. Nhập giá trị của x theo qui ước sau:



- Nếu x � x0 thì ta nhập: x0  0.000001 . Nếu x � x0 thì ta nhập: x0  0.000001
- Nếu x � � thì ta nhập: 999999 . Nếu x � � thì ta nhập: 999999

Bước 3: Nhấn  và đọc kết quả theo qui ước sau:
- Nếu kết quả của phép tính bằng máy là a (hoặc sấp sỉ bằng a) thì kết quả của
giới hạn cần tính là a.

n
- Nếu kết quả của phép tính bằng máy có dạng a.10 (với a  0; n �� ) thì kết
quả của giới hạn cần tính là: �.

n
- Nếu kết quả của phép tính bằng máy có dạng a.10 (với a  0; n �� ) thì kết quả
của giới hạn cần tính là: �.
n

- Nếu kết quả của phép tính bằng máy có dạng a.10 (với n �� ) thì kết quả của
giới hạn cần tính là: 0 .
Chú ý: Nếu máy báo lỗi thì ở bước 2 ta lấy ít chữ số thập phân hơn.
Ví dụ 1: (Trích câu 25 mã đề 124 đề thi THPTQG năm 2018)
y

x4 2
x2  x

Số tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số
A. 2.
B. 0.
C. 3.

D. 1.
Phân tích bài toán:
- Để tìm các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x) chúng ta phải đi
kiểm một trong các giới hạn:
hoặc

lim f ( x )  �

x � x0

lim f ( x)  �

x � x0

hoặc

lim f ( x )  �

x � x0

lim f ( x )  �

hoặc x�x

0

có thỏa mãn hay không ?

f ( x)
- Đối với hàm phân thức hữu tỉ dạng g ( x) thì x0 thường là nghiệm của

phương trình g( x)  0. Từ đây ta có thể bấm máy để xử lí bài toán như sau:

Thao tác bấm máy – Cách giải

Hiển thị trên màn hình CASIO
15


2
B1: Giải phương trình mẫu x  x  0

Thực hiện: Bấm

MODE 5 3

Bấm số 1  1  0  (nhập hệ số a, b, c của
2
phương trình x  x  0. )
B2: Nhập hàm số
+ Tính

x4 2
x2  x

y

x4 2
x2  x

lim

x �1

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập

-1+0.000001. Ấn
x4 2
lim
2
+ Tính x�1 x  x

� lim
x �1

x4 2
 �.
x2  x

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
-1- 0.000001.

Ấn 

� lim
x �1

x4 2
 �.
x2  x

Vậy : x = -1 là một tiệm cận đứng
+ Tính

lim

x �0

x4 2
x2  x .

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
0.000001.
+ Tính

lim

x �0

Ấn 

� lim
x �0

x4 2 1
 .
x2  x
4

x4 2
x2  x .

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
Ấn 

� lim
x �0

x4 2 1
 .
x2  x
4

-0.000001.
Khi đó: x = 0 không phải tiệm cận đứng
Như vậy: đáp án đúng là D
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
x 1
y
mx 2  1 có hai tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. m  0.
16


D. m  0.
C. m  0.
Phân tích bài toán:
- Để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x) chúng ta phải đi
lim f ( x)  y

lim f ( x)  y

0
0
kiểm một trong các giới hạn: x��
hoặc x��
có thỏa mãn hay
không ?
Từ đây ta có thể bấm máy để xử lí bài toán như sau:
Thao tác bấm máy – Cách giải
Hiển thị trên màn hình CASIO
x 1
y
mx 2  1
B1: Nhập hàm số
B2: Thử đáp án B

+ Tính

lim

x ��

x 1

mx 2  1

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
9999999. Nhấn  máy hỏi M? ta nhập -1
ta thấy màn hình xuất hiện kết quả.
Điều này ta khẳng định đáp án B là sai

B3: Thử đáp án C
+ Tính

lim

x ��

x 1

mx 2  1

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
9999999. Nhấn  máy hỏi M? ta nhập 0 ta
thấy màn hình xuất hiện kết quả.
Điều này ta khẳng định đáp án C là sai
B4: Thử đáp án D
+ Tính

lim

x ��

x 1

mx 2  1

Nhấn CALC máy hỏi X? ta nhập
9999999. Nhấn  máy hỏi M? ta nhập 1 ta
thấy màn hình xuất hiện kết quả.
Như vậy: đáp án đúng là D vì tại đây ta

�x  999999
x 1
lim
1
�
2
x ��
m

1
mx

1
�
có được với
thì

Dạng 5: Sự tương giao giữa hai đồ thị.
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C 1) và y = g(x) có đồ thị (C2).
Tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2).
a. Cơ sở lý thuyết:
- Phương trình hoành độ giao điểm f ( x)  g ( x) (*)
17


C
C
- Số nghiệm của (*) là số giao điểm của  1  và  2  .

- Nghiệm của (*) là hoành độ điểm của  C1  và  C2  .

0 
- Tọa độ giao điểm là  0
, với x0 . là hoành độ giao điểm
b. Giải pháp:
- Nhập biểu thức f ( x)  g ( x) vào màn hình.

M x ; f (x )

- Dùng chức năng SOLVE và gán x  x0 để dò tìm hoành độ giao điểm.
c. Các bước bấm máy như sau:
- Nhập biểu thức f ( x)  g ( x)
- Nhấn SHIFT CALC và nhập giá trị x
-Nhấn dấu 
Chú ý: Nếu kết quả L-R= 0 thì x0 là nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x)  0 .
 Ví dụ : (Trích Câu 7 Đề thi thử nghiệm lần 1 của Bộ GD và ĐT)
3
Biết rằng đường thẳng y  2 x  2 cắt đồ thị hàm số. y  x  x  2 tại điểm duy

nhất; kí hiệu  0 0  là tọa độ điểm đó. Tìm y0 .
A. y0  4.
B. y0  0.
C. y0  2.
D. y0  1.
Bài giải:
Thao tác thực hành- Cách giải
Hiển thị trên máy tính CASIO
3
B1: Nhập biểu thức x  3x  2  2 x  2
x ;y

B2: Nhấn

SHIFT CALC máy hỏi Solve for X.

ta nhập một giá trị tùy ý và nhấn dấu  màn
hình xuất hiện:
Như vậy : x = 0 là nghiệm của phương trình.
B3: Tìm giá trị của y bằng cách
- Nhấn AC và nhập biểu thức: 2 x  2
- Nhấn phím
máy hỏi X? nhập x  0
nhấn dấu  được kết quả như sau:
- Suy ra y0  2. Vậy chọn C.
 Ví dụ 2: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y  x  1 và đường cong
2x  4
x  1 . Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là.
5
5
x .
x .
2
2
A.
B. x  1.
C. x  2.
D.
y

Bài giải:

- Cơ sở lý thuyết:
18


2x  4
 x 1
- Hoành độ của M, N là nghiệm của phương trình: x  1
x  xN
xI  M
2
- Hoành độ điểm I được xác định bởi công thức:

*Thuật toán:

2x  4
 x 1
- Dùng chức năng SOLVE để tìm các nghiệm phương trình x  1

- Lưu các nghiệm vào ô nhớ A, B trên máy tính.
A B
- Gọi A và B, tính 2 (là kết quả cần tìm)

Thao tác thực hành- Cách giải
B1: Tìm hoành độ các điểm M, N
-

Hiển thị trên máy tính CASIO

2x  4
 x 1

Nhập biểu thức x  1

Nhấn dấu

 ( để lưu lại biểu thức

2x  4
 x 1
x 1
trên màn hình)
- Nhấn SHIFT CALC máy hỏi Solve for X. ta

nhập một giá trị cho biến x
(chẳng hạn là 2, không nên nhập số 1 máy sẽ
báo lỗi) và nhấn dấu  màn hình xuất hiện:
SHIFT RCL

 

- Nhấn lần lượt các phím
( lưu nghiệm x = 3.449489743 vào biến A).
Khi đó trên màn hình máy tính xuất hiện như
sau:
- Bấm phím

 để

tìm lại biểu thức

2x  4

 x 1
x 1
đã nhập trước đó và mở đóng
2x  4
 x 1
móc biểu thức x  1
lại (di chuyển con

trỏ về cuối dòng như hình dưới)
W
- Nhấn phím W nhập biểu thức X  A vào

mẫu số của biểu thức trên màn hình xuất
hiện:
- Nhấn SHIFT CALC máy hỏi A? Nhấn dấu
 máy hỏi tiếp Solve for X, ta nhấn tiếp dấu
 màn hình xuất hiện:

19


SHIFT RCL o,,,

- Nhấn lần lượt các phím
( lưu nghiệm x = -1.449489743 vào biến B).
Khi đó trên màn hình máy tính xuất hiện như
sau:
Bước 2: Tính hoành độ điểm I
W
ALPHA ()  ALPHA o,,, � 2

- Nhấn AC W
nhấn dấu  được kết quả:

Vậy chọn đáp án B.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Để đánh giá tính khả thi của sáng kiến kinh nghiệm, tác giả chọn hai lớp
giảng dạy:
+ Lớp 12A (sĩ số 20) chọn làm lớp thực nghiệm – áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm vào giảng dạy.
+ Lớp 12B (sĩ số 23) chọn làm lớp đối chứng - giảng dạy theo phương pháp
truyền thống (tự các em nghiên cứu máy tính khi giải toán).
Cả hai lớp này đều theo ban cơ bản và có chất lượng học tập đồng đều nhau.
Sau khi giảng dạy xong, tác giả tiến hành kiểm tra chất lượng bằng cách
Sau khi tiến hành kiểm tra, chấm bài tác giả thu được kết quả như sau:
Lớp Số
Dưới TB
TB trở
Khá
Giỏi
HS
lên
30 2
6.66%
20
66.67%
8 26.67
12A
%

12B

35

6

17.14%

29

82.86%

Từ kết quả trên tác giả rút ra một số ưu điểm, khuyết điểm trong quá trình
thực hiện đề tài nghiên cứu:
a) Ưu điểm
- Học viên rất thích thú với phương pháp giải toán có sự hỗ trợ của MTCT
- Kết quả bài giải có sự trợ giúp của máy tính tỷ lệ giải đúng cao hơn so với
học viên giải bằng tay thông thường.
- Tốc độ hoàn thành bài toán được tăng lên đáng kể.
- Tâm lý làm bài của học viên khá tự tin chủ động.
b) Khuyết điểm
- Nếu học viên chưa có kỹ năng sử dụng MTCT thì việc thực hiện các phép
toán sẽ gặp nhiều sai lầm và chậm.
- Đa số học viên chưa có thói quen chuyển hóa bài toán sang ngôn ngữ máy tính.
- Chỉ có 50% số học viên có máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính
có chức năng tương đương). Nên việc triển khai dạy trên lớp có nhiều khó khăn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
20

- Sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính có chức năng
tương đương) vào việc dạy và học bộ môn Toán nói riêng và các môn học khác
nói chung là một trong những biện pháp tích cực và hết sức cần thiết đối với việc
giải toán của học viên nhằm kiểm tra kết quả đã thực hiện, và so sánh các kết quả
với nhau để từ đó tìm ra cách giải đúng hơn, hoàn thiện hơn cho bài toán.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã cung cấp cho các em học viên hệ thống kiến
thức cơ bản về cách sử dụng và những tính năng của máy tính cầm tay CASIO
FX-570VN PLUS nói riêng và máy tính cầm tay nói chung.
- Khai thác các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay CASIO FX-570VN
trong việc giải và định hướng cách giải cho một số dạng bài toán trong chương trình
Toán THPT hiện hành.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
- Tùy theo sự hứng thú của học viên mà giáo viên có thể tổ chức ngoại
khóa để mở rộng và giúp học viên có sự nhận thức phong phú hơn đối với các
dạng bài tập có thể giải được, tìm được dựa vào MTCT.
- Việc sử dụng MTCT để giải toán trong học viên còn mang tính tự phát,
chưa có tính đồng đều nên chưa phát huy hết khả năng của học viên. Tác giả
mong muốn quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp tăng cường trao đổi kinh nghiệm,
sự sẽ chia các cách giải hay, sáng tạo để trao đổi kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau
cùng tiến bộ
- Kiến nghị Sở GD&ĐT Thanh Hóa sẽ tiếp tục tổ chức kỳ thi giải toán bằng
máy tính cầm tay Casio. Bởi vì theo tác giả đây là một kỳ thi hết sức hữu ích, nó
tạo cho các em một sân chơi trí tuệ lành mạnh, các em học viên có điều kiện
giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau. Kỳ thi là một sự trải nghiệm thú vị đối
với các em học viên trên con đường chinh phục đỉnh cao tri thức nhân loại trong
thời đại công nghệ thông tin.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Lê Thị Thanh

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hướng dẫn học sinh 12 sử dụng máy tính casio giải toán trắc nghiệm giải
tích 12 của Nguyễn Văn kỷ.
2. Sáng kiến kinh nghiệm “Dùng máy tính bỏ túi làm các bài toán trắc
nghiệm ” của Nguyễn Văn Sang.
3. Giải toán bằng Casio (YouTube online) của Lê Nam.
4. Đề thi minh họa THPT Quốc gia năm 2017, 2018 môn toán của Bộ
GD&ĐT.
5. Công phá kỹ thuật casio của Nguyễn Ngọc Nam, Ngọc Huyền LB
6. Công phá đề minh họa THPT Quốc gia năm 2017,2018 môn toán của Bộ
GD&ĐT bằng máy tính casio (You Tube online) – Bí kíp Thế Lực

22