Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn

MỤC LỤC
Nội dung
1.MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2.NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
2.2.Thực trạng của vấn đề.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x). Xác định
các yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3.1.1. Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp.
2.3.1.2. Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị.
2.3.1.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao
của các đồ thị.
2.3.2. Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y  f '  x  . Xác định
các yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3.2.1. Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp.
2.3.2.2. Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị.
2.3.2.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao
của các đồ thị.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Trang
2

2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
6
9
12
12
14
15
20
20
20
20

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Theo xu thế đổi mới hiện nay của ngành giáo dục. Trong quá trình dạy
học để đạt được kết quả cao, đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ
chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến
thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Mỗi người thầy, cô cần tự

nghiên cứu kiến thức mới, kĩ năng giải và phương pháp dạy học tích cực để
thích nghi với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia.Ý thức được điều đó, tôi
luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng
tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến
thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán
áp dụng hình thức thi trắc nghiệm. Qua các kì thi THPT Quốc Gia ở các năm
2017 và 2018, kiến thức Toán THPT được xây dựng và yêu cầu phát triển theo
nhiều hướng mới. Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên
mà cả với học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới. Là người
trực tiếp giảng dạy, tôi biết rất nhiều học sinh lo lắng, khó thích nghi trước thay
đổi này. Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay
đổi cách học, cách làm bài quen thuộc của các em. Do hình thức thi trắc nghiệm
môn Toán còn mới nên các tài liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi
trắc nghiệm còn ít, các thầy cô, nhà trường cũng chưa có nhiều kinh nghiệm về
thi trắc nghiệm môn Toán.
Làm thế nào để giảng dạy đạt hiệu quả hơn? Vì vậy tôi đã nghiên cứu xây
dựng các chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho các em trong các kì
thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 và 2019. Trong các chuyên đề xây dựng có
nhiều chuyên đề hay được áp dụng trong kì thi THPT Quốc Gia như: Các bài
toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán về cực trị hình học; Tích phân hàm
ẩn …Tuy nhiên, tôi tâm đắc nhất là chuyên đề sử dụng các kiến thức về bản
chất hàm số lớp 12 để giải các bài toán liên quan đến đồ thị của những hàm số
chưa xác định biểu thức của nó. Chuyên đề này phù hợp với xu hướng đề thi
THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 và đề tham khảo năm 2019 của Bộ Giáo
Dục và đào tạo (dạng chống bấm máy tính). Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin
được trình bày: “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” giúp học
sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán theo hình thức trắc
nghiệm.

1.2 Mục đích nghiên cứu.
Đồ thị hàm ẩn là dạng toán được khai thác từ sách giáo khoa theo hướng
chống bấm máy tính áp dụng đúng bản chất Toán. Đây là hướng khai thác mới
nên ít tài liệu dạy và học; Học sinh lúng túng không có phương pháp giải. Trong
đó đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2016-2017 ; 2017-2018 và đề tham khảo
năm học 2018 - 2019 khai thác có những câu ở mức độ vận dụng cao. Vì vậy

2


phải xây dựng chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn”
là nhiệm vụ cấp thiết để giảng dạy cho học sinh.
Mục đích: Xây dựng các dạng ; nhận dạng ; nêu dạng tổng quát (nếu
có), xây dựng phương pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Đồ thị
hàm ẩn”. Qua đó học sinh có thể giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán
trong các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
+) Học sinh lớp 12A8 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.
+) Các đơn vị kiến thức của chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao kết
hợp các dạng bài có trong đề thi THPT Quốc Gia về đồ thị hàm ẩn.
Trong đề tài này tôi nghiên cứu giải quyết hai vấn đề chính gắn liền với các
đề thi THPT Quốc gia.
Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x). Xác định các yếu tố liên quan
đến đồ thị hàm số đã cho.
Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y  f '  x  . Xác định các yếu tố liên
quan đến đồ thị hàm số đã cho.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là các phương pháp:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết : Dựa trên cơ sở kiến
thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2016 - 2017; 2017

-2018 và đề tham khảo năm học 2018 - 2019; đọc tài liệu tham khảo có liên
quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào
bài toán cụ thể.
Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp
định hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A8 năm học 2018-2019.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
*) Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông
cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
học tập cho học sinh ”.
*) Trên cơ sở các đơn vị kiến thức học sinh đã được học trong sách giáo khoa.
a) Dựa vào phép tịnh tiến đồ thị trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.
b) Dựa vào kiến thức của chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài cho một hàm số cụ
thể, tìm các tính chất của hàm số, học sinh có thể bấm máy tính để chọn đáp án,
do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng. Chính vì vậy bộ giáo dục và
đào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải vận
dụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi.

3


Ban đầu khi gặp dạng toán đồ thị hàm ẩn ở mức độ nhận biết thì học sinh
không gặp khó khăn. Khi bài toán yêu cầu mức độ thông hiểu, vận dụng đặc biệt
là mức độ vận dụng cao thì học sinh lúng túng và không có định hướng giải bài
toán một cách chủ động.
Đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2017, 2018 và đề tham khảo năm học

2018-2019 dạng toán đồ thị hàm ẩn được xây dựng nhiều câu và ở các mức độ
khác nhau; Đặc biệt có những câu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, khi đó
học sinh không có phương pháp giải, thậm chí bỏ qua những câu hỏi thuộc dạng
toán này. Đứng trước thực trạng đó trong giảng dạy tôi đặt ra vấn đề cần giải
quyết đó là: Xây dựng các dạng, phân tích và hình thành các phương pháp giải,
rèn luyện kĩ năng, phát huy tính tích cực tự giác của học sinh. Vì vậy tôi xây
dựng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” để ôn luyện cho học
sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x). Xác định các yếu tố liên
quan đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3.1.1. Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp .
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định các yếu tố về hàm số
g  x  f  u  x  .
Cách giải:
+) Bước 1: Tính g '  x   f '  u  x   .u '  x  .
+) Bước 2: Dựa vào đồ thị đã cho xét dấu của hàm số g '  x  . Từ đó lập bảng
biến thiên của hàm số g(x).
+) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Chú ý: Dạng toán này ta có thể giải theo cách đặt ẩn phụ t = u(x).
Dạng 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định các yếu tố về hàm số
n
*
g  x  �
�f  x  �
� n  � , n 2  .
Cách giải:
n 1

+) Bước 1: Tính g '  x   �

�f  x  �
� . f ' x .
+) Bước 2: Dựa vào đồ thị đã cho xét dấu của hàm g '  x  . Từ đó lập bảng biến
thiên của hàm g(x).
+) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới.

2
a) Hàm số g  x   f   x  3x  đồng biến trên khoảng ?

4


A.  �; 2  � 0; � .
�

C. �
��;
�

B.  0;3 .

3  17 � � 3 � � 3  17 �
0; �
��
3;
���
�. D.
�
2 �

2 �
� � 2� �
�

�3  17 � �3 � �3  17
�
;3 ���
; ��
�
� 2 ;0 �
���
�
�.
�
� �2 � � 2
�

2
b) Hàm số g  x   f   x  3x  có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

( x) = ( - 2x + 3) . f �
( - x + 3x) ;
Ta có g�

D. 6.

Lời giải

2

� 3
x
�
2
2 x  3  0
�
�
2 x  3  0
�
� 2
� 3 � 17
g ' x  0 � �
��
 x  3 x  2 � �
x
2
2
�f '   x  3x   0
2
�
�

x


3
x

0
�
x0
�
�
x3
�

( x)
Nhận xét: Các nghiệm của phương trình g�( x) = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g�
qua nghiệm đổi dấu.
Bảng biến thiên
3
x
3  17
3  17
�
�
0
3
2

2

g’(x)

+

0

-

0

+ 0 -

2

0 +

0

-

g(x)
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta có.
a) Chọn đáp án A.
b) Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới. Biết hàm số
g  x  �
�f  x  �
�.
2

a) Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. g(-3) < g(-1).
B. g’(1) = 0.

C. g(2019) < g(2020)
D. g’(3) = 0.
b) Hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
5


C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải

Dựa vào đồ thị, ta có

�
x  a  0  x  a
x0
�
�
�
f  x  0 � �
x  1 ; trong đó x = 1 ( nghiệm kép). f '  x   0 � �
x 1
�
�
x3
x  b  1  b  3
�
�

�
x  a  0  a  1
�
x 1
�
�
Ta có g '  x   2 f '  x  . f  x  ; g '  x   0 � �x  b  1  b  3
�
x0
�
x3
�

Bảng biến thiên
�
x
0
f’
f
+
0
0
g’

a
-

1

0

+

0

-

+

0

b
-

- 0
0

0

+

-

0

+

0

-

0

+

+

�

3
+

g
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta có.
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng  �;0  nên chọn khẳng định A.
b) Hàm số g( x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C.
2.3.1.2. Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị.
Nhận xét:
1. Phép tịnh tiến không làm thay đổi số điểm cực trị của đồ thị hàm số.
2. Số giao điểm của  C  : y  f  x  với Ox bằng số giao điểm của

 C' : y  f  x  m

với Ox ( Với m là tham số, m ��).

3. Số điểm cực trị của hàm số f ( x) bằng A + B với:
+) A là số điểm cực trị của hàm f ( x) .
+) B là số giao điểm của f ( x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với
A ở trên).
4. Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) ( f(x) liên tục trên �).

- Ứng với mỗi điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  x   m sẽ cho ta một điểm cực trị
của đồ thị hàm số y  f  x   m (các điểm cực trị tương ứng đó của hai đồ thị sẽ
trùng nhau hoặc đối xứng nhau qua trục hoành).

6


- Mỗi giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x   m với trục hoành sẽ tạo thành
một điểm cực trị của hàm số y  f  x   m .
Ví dụ 3.
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới. Biết hàm số g  x   f  x   4 .

a) Chọn khẳng định đúng?
A. Hàm số y = g(x) chỉ nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
B. Phương trình g(x) = 3 có bốn nghiệm thực phân biệt.
C. Điểm M ( -1; 0) không thuộc đồ thị hàm số y = g(x).
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
b) Đồ thị hàm số y = g(x) có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Đồ thị hàm số g  x   f  x   4 có được bằng cách
+) Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x) lên trên 4 đơn vị ta được đồ thị hàm số f ( x) + 4.
+) Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f ( x) + 4 qua Ox, ta được
đồ thị của f ( x) + 4 .

Dựa vào đồ thị hàm số g  x   f  x   4 suy ra:
a) Đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số y = g(x) tại bốn điểm phân biệt nên

chọn B.
b) Tọa độ các điểm cực trị là (-1;0), (0; 4), (2; 0). Do đó tổng tung độ các điểm
cực trị bằng 4 nên chọn C.

7


Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị
thực của tham số m để hàm số g  x   f  x   m có 3 điểm cực trị là [1]
y
1
O

x

3

A. m �1 hoặc m �3 .
C. m  1 hoặc m  3 .

B. m �3 hoặc m �1 .
D. 1 �m �3 .
Lời giải

Cách 1:
- Đồ thị hàm số y  f  x   m có được khi ta tịnh tiến (lên trên hoặc xuống dưới)
đồ thị hàm số y  f  x  theo phương trục tung m đơn vị.
- Đồ thị hàm số y  f  x   m gồm hai phần.
Phần 1: Là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của hàm số y  f  x   m
Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hàm số

y  f  x   m qua trục hoành.
Do đồ thị hàm số y  f  x   m đã có hai điểm cực trị nên để đồ thị hàm số
y  f  x   m có ba điểm cực trị, xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: Đồ thị hàm số y  f  x   m có đúng một điểm chung với trục hoành
m  1 .
�
m3
�

� y CD . yCT  0 �  m  1 .  m  3  0 � �

TH2: Đồ thị hàm số y  f  x   m có một điểm cực trị thuộc trục hoành
m  1
�
.
m3
�
Kết hợp cả hai trường hợp ta có m �3 hoặc m �1 là giá trị cần tìm. Chọn A.

� y CD . yCT  0 �  m  1 .  m  3  0 � �

Cách 2:
Vì hàm f ( x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f ( x) + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
số giao điểm của đồ thị f ( x) + m với trục hoành là 1.
Để số giao điểm của đồ thị f ( x) + m với trục hoành là 1, ta cần
 vị  m
1.
+) Tịnh tiến đồ thị f ( x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn
Do đó yêu cầu bài toán

�

+) Hoặc tịnh tiến đồ thị f ( x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị  m 3.
Vậy m �1 hoặc m �3. Chọn A.
Trang này ví dụ 4 tác giả tham khảo từ TLTK số 1.

8


Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số
h  x   f  x   2019 có bao nhiêu điểm cực trị ?[1]

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 7.

Lời giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số f ( x) có 2 điểm cực trị có hoành độ là số dương. Suy
ra đồ thị hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị.

Khi đó đồ thị hàm số y  f  x   2019 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không
làm thay đổi số điểm cực trị). Chọn C.
2.3.1.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao của các đồ thị.
Cách giải
- Đặt t = u(x), xác định tương ứng mỗi giá trị t cho bao nhiêu giá trị x.

- Dựa vào đồ thị và yêu cầu bài toán để kết luận.
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  sin x   m có
nghiệm thuộc khoảng  0;   là ? [2]

y
3
2 1 O
1

A.  1;3 .

1

2 x

B.  1;1 .

Đặt t  sin x . Với x � 0;   thì t � 0;1 .

C.  1;3 .

D.  1;1 .

Lời giải

Do đó phương trình f  sin x   m có nghiệm thuộc khoảng  0;   khi và chỉ khi
phương trình f  t   m có nghiệm thuộc nửa khoảng  0;1 .
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m � 1;1 .Chọn D.
Trang này ví dụ 5 tác giả tham khảo từ TLTK số 1; Ví dụ 6 tham khảo từ TLTK số 2.

9


Ví dụ 7. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên � có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f ( f ( x))  1 khẳng định nào sau đây
đúng? [3]
A. m  6.
B. m  7.
C. m  8.
D. m  9.
Lời giải
  1  t1  0

+ Đặt f ( x) t từ đồ thị phương trình f (t ) 1 có 3 nghiệm t1 ; t 2 ; t 3 với  0  t 2  1
2  t  3
3

+ Nên phương trình : f ( x) t1 có 3 nghiệm.

f ( x) t 2 có 3 nghiệm.
f ( x) t 3 có 1 nghiệm.

+ Vậy phương trình: f ( f ( x)) 1 có 7 nghiệm phân biệt nên m 7 . Đáp án B.
Ví dụ 8. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên � và có đồ thị như hình
vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

(

)

2.f 3 - 4 6x - 9x2 = m - 3 có nghiệm. [3]

A. 8 .

B. 10 .

C. 13 .

D. 12 .

Trang này ví dụ 7, ví dụ 8 tác giả tham khảo từ TLTK số 3.

10


Lời giải.
� 2�
0; �
Với x ��
, ta có 0 � 6x - 9x2 = 1- (1- 3x)2 �1 ۳--�0
� 3�
� �

4 6x

9x2

4

۳--�3 3

4 6x

9x2

1.

(

)

2
5;1�
Dựa vào đồ thị đã cho suy ra f 3 - 4 6x - 9x �-�
.
�
� �
�

(

)

2.f 3 - 4 6x - 9x2 = m - 3 có nghiệm � - 5 �

m- 3
�1 � - 7 �m �5
2

Do m �� nên m �{ - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} , có 13 giá trị của
m thỏa mãn đề. Chọn B.

3
2
Ví dụ 9: Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số

A. 5.

x
y

2

 3x  2  x  1

2
x. �
�f  x   f  x  �
�

là [3]

Lời giải
C. 6.

B. 4.

� x  1 �0
�
x 0
Hàm số xác định ۹۹��
� �
�f 2 ( x)  f ( x) �0
�

� x �1
�
�f ( x ) 0
�f ( x) �1
�

D. 3.
x �1
x �2

�
�
�
�
� x �1
�x �a �(1;2)
�
�
�x �b �(2; �)

1 x {a, 2, b}.

Do đó đồ thị hàm số cần tìm có tối đa 4 tiệm cận đứng.

 x  1  x  2  x  1  0 � x  1
không là tiệm cận đứng, ở đây vì là hàm
x �1
xf  x  �
�f  x   1�
�

lim y  lim
x �1

x 1

1

đa thức bậc ba nên f x  1  mx 2  nx  p
 

 x  1  x  2  x  1  �,
x�2 xf  x  �
�f  x   1�
�

lim y  lim y  �;lim y  lim
x�a

x�b

x2

x�2

1

ở đây f  x    x  2   rx  s  vì f  x  tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ
x  2 . Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận đứng.
Trang này ví dụ 9 tác giả tham khảo từ TLTK số 3.

11


2.3.2. Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y  f '  x  . Xác định các yếu tố liên
quan đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3.2.1. Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp .
Cách giải:
- Lấy đạo hàm hai vế.
- Lập bảng biến thiên và kết luận.
( x) có đồ thị như hình bên dưới.
Ví dụ 10. Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f �

a) Hàm số y  f (1  2 x  x 2 ) đồng biến trên khoảng dưới đây?
A.  �;1 .
B.  1; � .
C.  0;1 .
D.  1; 2  .
b) Gọi S là tập hợp các cực trị của hàm số y  f (1  2 x  x 2 ) . Tổng các phần tử của
S là?
A. 5.

B.

9
.
4

9
2

C. .

D. .

Lời giải
x 1
�
x 1
�
�
�
2
1  2x  x  1 � �
x0
(1  2 x  x ) ; y '  0 � �
Ta có: y '   2  2 x  f �
�
�
x2
1  2x  x2  2

�
�
2

Nhận xét:
Khi

2  2x  0
�
2  2x  0
�
�
x � 2; � � �
�
�  2  2x  . f '  1  2x  x2   0
�
2
2
f
'
1

2
x

x

0
1 2x  x  1 � 


�

Bảng biến thiên
x
y’

�

0
+

0

1
-

0

�

2
+

0

-

y
Theo bảng biến thiên ta có:

12


a) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 2). Chọn D.
b) Hàm số đạt cực trị tại x = 0, x = 1, x = 2. Chọn A.

 x  . Đồ thị của hàm số y  f �
 x  được
Ví dụ 11. Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f �
cho như hình vẽ bên dưới. Biết rằng f  0   f  3  f  2   f  5  . Tìm giá trị nhỏ nhất
m và giá trị lớn nhất M của f  x  trên đoạn  0;5 ? [1]

A. m  f  0  , M  f  5  .

B. m  f  2  , M  f  0  .

C. m  f  1 , M  f  5  .

D. m  f  2  , M  f  5 .
Lời giải

Ta có bảng biến thiên
x
0
y’
0
f(0)
y

2

0

3
+

5
+
f(5)

f(3)
f(2)

min
f ( x) = f ( 2) và f( 3) >
�
0;5�
�
�
� �

( 2)

Mà: f  0   f  3  f  2   f  5  � f  0   f  5   f  2   f  3  0 � f( 0) <

( 5) .

Chọn D.
Ví dụ 12. Cho hàm số y  f  x  xác định trên � và hàm số y  f '  x  có đồ thị
như hình bên dưới và f '  x   0 với mọi x � �; 3, 4  � 9; � . Đặt
g  x   f  x   mx  5 . Có bao nhiêu giá trị không âm của tham số m để hàm số

g  x  có đúng hai điểm cực trị?[1]

13


A. 4.

B. 7.

C. 8.

D. 9.

Trang này ví dụ 11, ví dụ 12 tác giả tham khảo từ TLTK số 1.

Lời giải

 x  f �
 x  m ; g�
 x  0 � f �
 x  m  0 � f �
 x   m . Để hàm số
Ta có g �
y  g  x  có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g �
 x   0 có hai
m �5
�
. Khi đó m � 0;1; 2;3; 4;5;10;11;12 .
10 �m  13
�

nghiệm bội lẻ phân biệt � �

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn D.

2.3.2.2. Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị .
 x  m   n. Tìm các yếu tố về hàm
Nhận dạng: Cho trước đồ thị hàm số y  f �
số y = f(x) ?
Cách giải:
Tịnh tiến theo trục Ox và theo trục Oy. Chuyển đồ thị y  f �
 x  m   n về
 x .
đồ thị y  f �
Dựa vào đồ thị của y  f �
 x  và yêu cầu bài toán để kết luận.
 x  trên �. Biết rằng
Ví dụ 13. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là hàm số f �
 x  2   2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f  x  nghịch
hàm số y  f �
biến trên khoảng nào?[1]
y

2

-2

x

2

O

1

3

-1

A.  �; 2  .

B.  1;1 .

�3 5 �

C. � ; �.
�2 2 �
Lời giải

D.  2; � .

14


Từ đồ thị hàm số f '( x- 2) + 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm
số f '( x- 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Trang này ví dụ 13 tác giả tham khảo từ TLTK số 1.
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x- 2) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm

số

f '( x)

(tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-1

1

O

x
3

-3

( 1;1) . Chọn B.
Từ đồ thị hàm số f '( x) , ta thấy f '( x) < 0 khi x �2.3.2.3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao của các đồ thị .
Cách giải:
- Lấy đạo hàm hai vế.
- Xét sự tương giao của các đồ thị và xét dấu hàm số theo yêu cầu bài toán.
- Kết luận.
Ghi nhớ: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên tập D; có đồ thị
lần lượt là  C  và  C ' ; a, b �D và a < b.
+) Nếu đồ thị ( C) nằm ở “phía trên” đồ thị ( C’) với mọi x � a; b  khi và chỉ
khi f  x   g  x  với mọi x � a; b  .
+) Nếu đồ thị ( C) nằm ở “phía dưới” đồ thị ( C’) với mọi x � a; b  khi và chỉ
khi f  x   g  x  với mọi x � a; b  .
 x  như hình vẽ.
Ví dụ 14. Hàm số y  f  x  có đồ thị y  f �

15


1
3

3
4

3
2

Xét hàm số g  x   f  x   x3  x 2  x  2019 . Trong các mệnh đề dưới đây:
g  x   g  1
(II) xmin
� 3;1

(I) g  0   g  1
(III) Hàm số g  x  nghịch biến trên  3; 1
Số mệnh đề đúng là:[1]
A. 2.

B. 1.

g  x   max  g  3 ; g  1 
(IV) xmax
� 3;1

C. 3.

D. 4.

Trang này ví dụ 14 tác giả tham khảo từ TLTK số 1.

Lời giải
3
3�
2
 x  f �
 x  �
Ta có g �
�x  x  �

�

2

2�

 x  ta vẽ thêm đồ thị hàm số
Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số f �
3
3
y  x2  x  .
2
2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có
3
2

3
2

3
2

3
2

 x   x 2  x  , khi x � 1;1 thì f �
 x   x 2  x  . Do
Khi x � 3; 1 thì f �

đó ta có bảng biến thiên của hàm số y  g  x  trên đoạn  3;1 như sau .
x
-3
-1
1
g’(x)
0
+
g(-3)
g(1)
g(x)
16


g(-1)
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Vì trên  0;1 hàm số g  x  đồng biến nên g  0   g  1 , do đó (I) đúng.
Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy  3; 1 hàm g  x  nghịch biến nên

min g  x   g  1 , do đó (II), (III) đúng; dễ thấy rằng max g  x   max  g  3 ; g  1  .
 3;1

 3; 1

Chọn D.
Ví dụ 15. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên �.
( x) như hình vẽ bên dưới.
Đồ thị hàm số y = f �

2

a) Hàm số g( x) = 2 f ( x) + x đạt cực tiểu tại điểm.
A. x = - 1.
B. x = 0.
C. x = 1.
2
b) Hàm số g( x) = 2 f ( x) + x nghịch biến trên khoảng.
A.  �; 1 .
B.  1;0  .
C.  0; 2  .
c) Chọn khẳng định đúng?

g  x   g  0 .
A. min
 1;1

g  x   g  1 .
C. min
 1;1

D. x = 2.
D.  2; � .

g  x   g  0 .
B. max
 1;1
g  x  g  a
D. max
 1;1

 0  a  1 .

Lời giải
Ta có g�
( x) = 2 f �
( x) + 2x; g�
( x) = 0 � f �
( x) =- x. Suy ra số nghiệm của phương

( x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
trình g�
thẳng y = - x.

f�
( x)

và đường

17


Dựa vào đồ thị ta suy ra

x
g’(x)

�

�
x =- 1
�

�
x=0
g�
.
( x) = 0 � �
�
x
=
1
�
�
x=2
�

-1
0

+

-

Bảng biến thiên

0
0

+

1
0 +

2
0

�

+

g(x)
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( - �;- 1) ta thấy
( x) nằm phía trên đường y = - x nên g�
( x) mang dấu +.
đồ thị hàm f �
a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g( x) đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn B.
b) Chọn B.
c) Chọn A.
( x) như hình bên dưới và
Ví dụ 16. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f �
f( - 2) = ( 2) = 0.

2

f ( 3- x) �
Hàm số g( x) = �
�
� nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?[1]
A. ( - 2;2) .
B. ( 1;2) .
C. ( 2;5) .
D. ( 5;+�) .

Lời giải
( x) , suy ra bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau
Dựa vào đồ thị hàm số y = f �
�
�
x
-2
1
2
y’
+
0
0 +
0
0
0
y
y(1)

�

�

Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) �0, " x ��.
( x) =- 2 f �
( 3- x) . f ( 3- x) .
Ta có g�
Xét

�f �

( 3- x) < 0 �
- 2 < 3- x < 1 �
�2 < x < 5.
g�
��
��
( x) < 0 � f �
( 3- x) . f ( 3- x) > 0 � �
�
�
�
�x < 1
3- x > 2
�f ( 3- x) < 0
�
�

Suy ra hàm số g( x) nghịch biến trên các khoảng ( - �;1) , ( 2;5) . Chọn C.

 x  và
Ví dụ 17 . Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f �

y  g�
 x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường cong đậm hơn là đồ

18


3�
2 x  �đồng biến trên

 x  . Hàm số h  x   f  x  4   g �
thị của hàm số y  g �
�
�

2�

khoảng nào dưới đây? [2]
� 31 �

A. �5; �.
� 5�

�9
�

31

�
�

� 25 �

�
�
C. � ; ��.
5

B. � ;3 �.
4

�

D. �6; �.
� 4 �

�

Lời giải
Cách 1.

 x  tại A  a;10  , a � 8;10  . Khi đó
Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f �
�f '  x  4   10, khi 3  x  4  a
�f '  x  4   10, khi  1  x  a  4  6
�
�
�� � 3�
ta có � � 3 �
.
3
3
25
2 x  ��5, khi 0 �2 x   11 �g ' �
2 x  ��5, khi �x �
�g ' �
2
4
4
� � 2�

� � 2�

Trang này ví dụ 16 tác giả tham khảo từ TLTK số 1;Ví dụ 17 tham khảo từ TLTK số 2.

3
� 3�
2 x  � 0 khi �x  6 .
 x  f �
 x  4  2g�
Do đó h�
�
�

2�

4

Đối chiếu với các đáp án ta chọn B.
� 3�
2 x  �.
 x  f �
 x  4  2 g�
Cách 2. Ta có h�
�
�

2�

25
�9 �

 x  4  7 , f '  x  4   f '  3   10 ;
Dựa vào đồ thị, x �� ;3 �, ta có
�4

3  2x 

4

�

3 9
� 3�
2 x  � f '  8   5 .
 , do đó g ' �
2 2
� 2�

� 3�
�9 �
2 x  � 0, x �� ;3 �.
 x  f �
 x  4  2g �
Suy ra h�
�
2�

�

�9
�

�4

�

�
�

Do đó hàm số đồng biến trên � ;3 �.
4
4
3
2
Ví dụ 18. Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r , (với m, n, p, q, r �R ). Hàm

 x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
số y  f �

y

1 O

5 3
4

x

19

Tập nghiệm của phương trình f  x   r có số phần tử là[2]
A. 4 .
B. 3 .
C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

 x   4mx3  3nx 2  2 px  q  1
Ta có f �
 x  ta thấy phương trình f �
 x   0 có ba nghiệm đơn là 1 ,
Dựa vào đồ thị y  f �
5
 x   m  x  1  4 x  5  x  3 và m �0 .
, 3 . Do đó f �
4

 x   4mx3  13mx 2  2mx  15m  2  .
Hay f �
Từ  1 và  2  suy ra n  

13
m , p  m và q  15m .
3

Khi đó phương trình f  x   r � mx 4  nx 3  px 2  qx  0 �
� 13
�
m �x 4  x3  x 2  15 x � 0

3
�
�
Trang này ví dụ 18 tác giả tham khảo TLTK số 2.

� 3 x 4  13x 3  3x 2  45 x  0 � x  3 x  5   x  3

2

x0
�
�
5
x
0 � �
3
�
�
x3
�

Với x = 3 là nghiệm kép.
5
�3

�
�
Vậy tập nghiệm của phương trình f  x   r là S  � ;0;3�. Chọn B.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

- Trong năm học 2018- 2019 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương
đương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A8.
Đề số 1 : Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Đề số 2 : Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Tỉ lệ điểm
Lớp

Sĩ
số

Trước khi áp dụng
Sau khi áp dụng
SKKN
SKKN
Giỏi Khá
TB Yếu
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A8
38
2% 20% 58% 20% 30%
40% 30% 0%
- Sau khi được học chuyên đề học sinh đã chủ động tích cực, tự tin khi
gặp dạng bài toán này.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20

3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng toán và qua thực
nghiệm tôi nhận thấy : Học sinh đã tự tin hơn khi giải dạng toán đồ thị hàm ẩn.
Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” từng bài
toán cụ thể học sinh đã có hướng đi rõ ràng và thành thạo. Học sinh hứng thú
học tập dạng toán đồ thị hàm ẩn. Trên lớp cũng như làm bài tập về nhà học sinh
đã tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập khi giải dạng toán đồ thị hàm ẩn.
Qua hai đề kiểm tra ở trên ta nhận thấy kết quả học tập của học sinh đã
tiến bộ rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nâng cao. Trong các lần thi
kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia của trường THPT Yên Định 1 nói riêng
và các trường trong cả nước nói chung hầu hết các học sinh được học đề tài này
đều thực hiện tốt dạng đồ thị hàm ẩn. Điều đó thể hiện tính hiệu quả của đề tài.
3.2. Kiến nghị.
Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá
trình tham khảo các đề thi chính thức: THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 ;
Các đề minh họa của các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng.
Trong quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải dạng toán đồ thị
hàm ẩn. Bản thân tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho
học sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho
người học. Do đó tôi xây dựng đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị
hàm ẩn” cho học sinh lớp 12. Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận
dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Tôi mong đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” được các
đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi nhận và được giới thiệu
rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự
thay đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Lê Thị Thủy

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].Tài liệu trong nhóm diễn đàn giáo viên Toán.
[2]. Các đề thi minh họa, các đề tham khảo thi THPT Quốc Gia các năm 2017,
2018, 2019 và các đề thi chính thức của bộ giáo dục và đào tạo trong kì thiTHPT
Quốc Gia các năm 2017 và 2018.
[3]. Đề thi thử theo cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia ở các năm 2017, 2018,2019
của các trường trong cả nước.

22