Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

Trang
01

1.1. Lí do chọn đề tài

01

1.2. Mục đích nghiên cứu

01

1.3. Đối tượng nghiên cứu

02

1.4. Phương pháp nghiên cứu

02

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

03

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

03

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

04

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

05

2.3.1 Mục tiêu của giải pháp
2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
2. 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài Toán cơ bản
2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp
2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng Máy tính cầm tay để
hỗ trợ giải Toán.
Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.
Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn.
Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.
2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”
2.3.2.5GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số .
Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT.
Hướng xử lí 2: Cô lập tham số
Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

05
05

16

đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN

17

3.1. Kết luận

17

3.2. Kiến nghị

17

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học
phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một
vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các
đề thi. Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong
phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có
thể phân loại theo phương pháp giải toán. Do sự đa dạng về dạng toán, phương
pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có
một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu
không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào
việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương
pháp.
Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,
làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà
đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất

phương trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong
các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các
nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá
đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan
(TNKQ). Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình
thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương
pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất
2


phương trình mũ và logarit. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi
muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh bài toán phương
trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng TNKQ.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị
cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như
các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải
nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm ”.
Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, bất
phương trình mũ và logarit của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề
liên quan đến nội dung đề tài

Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản
- Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) .
Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Phương trình logarit cơ bản có dạng log a x = b ( a > 0, a ≠ 1) .
Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b ( hoặc a x < b, a x ≤ b, a x ≥ b )
với a > 0, a ≠ 1 .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit.
- Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log a x > b
( hoặc log a x ≥ b,log a x < b,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1 .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit. [1]
2.1.2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit
- Phương pháp đưa về cùng cơ số
a x = a k ⇔ x = k và log a x = log a k ⇔ x = k ( k > 0 )
- Phương pháp đặt ẩn phụ
Ẩn phụ t = a x hoặc t = log a x
- Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa
Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế
- Phương pháp hàm số
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng. [1]
2.1.3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số
4

- Để giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp
cơ bản sau:
* Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số
Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt là M
và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g ( m ) , ta có:
+ Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ N ≤ g ( m ) ≤ M
+ Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ g ( m ) ≤ M
+ Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm với mọi x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ N
Chú ý: Các dạng bất phương trình còn lại suy luận tương tự.
Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần
xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện
cho tham sô. Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup.
*Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán.
Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1]. Mục 2.1.2 tác giả
tổng hợp từ TLTK [1]. Mục 2.1.3 tác giả tự viết và tổng hợp.

2.1.4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình.
Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên ( x1; x2 ) và phương trình f(x) = 0 vô
nghiệm trên ( x1; x2 ) . Khi đó f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) ”.
Chứng minh:
Giả sử f(x) đổi dấu trên

( x1; x2 ) suy

f ( a) f (b) < 0 . Do f(x) liên tục trên

[

ra tồn tại a, b ∈ ( x1; x2 ) , a < b mà

a; b ] nên f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b):

Trái giả thiết. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Như vậy, nếu biểu thức f(x) liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp x1 < x2 thì
f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) . Do đó để xét dấu f(x) trên ( x1; x2 ) ta chỉ cần thử
một giá trị cụ thể trên ( x1; x2 ) . Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác định được
quy về giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất
phương trình liên quan đến xét dấu của f(x).
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS
nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.

5


Phương trình, bất phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong các đề
thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài
tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
2.2.2. Khó khăn:
Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư
cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì
vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực
để vượt qua.
Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối
lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân
biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài

toán.
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa
thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả
học và giải toán chưa cao.
Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng
nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất
phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp.
Trong trang này: Mục 2.1.4 tác giả tự viết và tổng hợp. Mục 2.2 tác giả tự viết.

2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và
phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan
(TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ- logarit.
2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
2. 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản.
Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ –
logarit cơ bản là rất quan trọng. Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ
bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng
giải toán. Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi
trong đề thi TNKQ.
4

2

Ví dụ 1. Tìm số nghiệm của phương trình 2 x +35 x + 24+
A. 4 .
B. 3 .
C. 2.

x−2

3

= 210 x +50 x+

x−2

.

D.1 . [2]

Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) được mở rộng từ
phương trình mũ cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác
định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm.
Lời giải
Ta có: Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2

6


 x 4 − 10 x3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0
⇔
⇔ x ∈ { 2;3;4}
x
−
2
≥
0


Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2
⇔ x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 ⇔ x ∈ { 1;2;3;4}

Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn
đến giải sai bài toán. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay
(MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 2. Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình

(

)

3 −1

110 x

>

(

)

3 −1

x 2 −10200

có

bao nhiêu nghiệm nguyên.
A. 180 .
B. 90 .
C. 181 .
D. 91 .
Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) được mở rộng từ
phương trình mũ cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác
định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) và cơ số a để tránh sai lầm.
Lời giải
Trong trang này:Ví dụ 1 được tham khảo từ TLTK số [2] ; Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Ta có: Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0
⇔ x ∈ ( −∞; −60 ) ∪ ( 170; +∞ )
Kết hợp yêu cầu bài toán, bpt có 90 nghiệm nguyên.
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0 ⇔ x ∈ ( −60;170 )

Nguyên nhân là không chú ý cơ số a = 3 − 1∈ ( 0;1) dẫn đến giải sai bài toán.
Ví dụ 3. Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình
ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3) .
A. 7 .
B. 25.
C. 29.
D. 49 . [2]
Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) được mở
rộng từ phương trình logarit cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều
kiện xác định của logarit để tránh sai lầm.

Lời giải
x − 3 > 0
2
⇔ x =5
Ta có: ln( x − 6 x + 7) = ln( x − 3) ⇔  2
x − 6x + 7 = x − 3

7


Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú
ý điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn phương án
sai C, hoặc xử lí không tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D.
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng
không nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của bất phương trình log 1 ( 3 x − 1) ≥ 3 .
2

 1 3
D. x ∈  ;  . [2]
 3 8
Tư duy: Đây là bất phương trình logarit cơ bản : log a u ( x ) ≥ b được mở rộng từ
bất phương trình logarit cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều
kiện xác định của logarit và cơ số để tránh sai lầm.
Lời giải
3x − 1 > 0

 1 3

3
Ta có: log 1 ( 3x − 1) ≥ 3 ⇔ 
 1  ⇔ x ∈ 3; 8


2
3x − 1 ≤  2 ÷
 

3
A. x ≥ .
8

3
B. x ≤ .
8

1 3
C. x ∈  ;  .
3 8

Do đó chọn đáp án D

Trong trang này:Ví dụ 3, ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số [2] .

Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không
chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án
sai.
Bài toán giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm và

loại trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận.
Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví
dụ trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp.
2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp .
Việc học phương pháp và giải toán theo phương pháp là cách học toán rất hiệu
quả. Thông qua việc giải toán theo phương pháp giúp học sinh nắm vững cách
giải toán, tăng khả năng nhận diện phương pháp giải và hoàn thiện hơn tư duy
phương pháp.Từ đó tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh
bài toán TNKQ.
Ví dụ 5. Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
2
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x = .
3

8


A.

82
.
9

B.

80
.
9

C. 9 .

D. 0 .

[3]

Tư duy: Việc xuất hiện log 3 x;log 9 x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới
phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a ∈ { 3;9;27;81} . Tùy kinh nghiệm học
sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán.
Lời giải
t
Đặt: t = log81 x ⇔ x = 81
t = 0,5
2
t
t
t
4
Pt trở thành: ( log 3 81 .log 9 81 .log 27 81 ) t = ⇔ 16t = 1 ⇔ 
3
t = −0,5
1
Khi đó : x = 9 và x = . Do đó chọn đáp án A
9
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn C là phương án sai.
Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit.
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không
nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 6. Cho hàm số f ( x ) = 2 x.7 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?.

2
2
A. f ( x ) < 1 ⇔ x + x log 2 7 < 0.
B. f ( x ) < 1 ⇔ x ln 2 + x ln 7 < 0.
2

2
C. f ( x ) < 1 ⇔ x log 7 2 + x < 0.

D. f ( x ) < 1 ⇔ 1 + x log 2 7 < 0. [3]
Trong trang này:Ví dụ 5, ví dụ 6 được tham khảo từ TLTK số [3].
Tư duy: Đây là bài toán dạng biến đổi bất phương trình bằng phương pháp
logarit hóa .Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai.
Lời giải
Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số a ∈ ( 0;1) hay a > 1 để biến đổi đúng.
Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT,
và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = e > 1 nên không đổi chiều BPT,
và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = 7 > 1 nên không đổi chiều BPT,
và các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT,
nhưng biến đổi sai lầm khi rút gọn x .
Nhận xét
Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không
tìm được cách giải thích. Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương
án sai nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn x > 0 .
Ví dụ 7. Bất phương trình 4 x2 − 2( x +1) ≤ 2 x + 1 − x 2 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] .
2

9


Tính a 2 + b 2 . [4]
A. 6

B. 1

C. 2

D. 5

Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức giúp học
sinh liên hệ tới phương pháp hàm số. Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về
phương pháp giải toán.
Lời giải
Bpt ⇔ 22 x + 2 x 2 = 2(
2

x +1)

2

+ ( x + 1) ⇔ f ( 2 x 2 ) ≤ f

f ( t ) = 2t + t đồng biến trên ¡ .

2

( ( x + 1) )

2

với hàm đặc trưng

Bpt ⇔ 2 x 2 ≤ ( x + 1) ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [ a; b ] , a = 1 − 2, b = 1 + 2
Khi đó a 2 + b 2 = 6 . Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán, trong thực tế học sinh
nắm vững cách nhận diện phương pháp sẽ làm rất nhanh.
Ví dụ 8. Cho a là số thực dương thỏa mãn a ≠ 1 và bất phương trình
15
2log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x 2 + 2 x + 15 ) nhận x =
làm một nghiệm. Tìm tập
2
nghiệm của bất phương trình.
19 
 17 

A. S = ( 2;8 )
B. S =  1; ÷
C. S =  −∞; ÷ D. S = ( 2;19 ) .
2
 2

[4]
Trong trang này:Ví dụ 7, ví dụ 8 được tham khảo từ TLTK số [4].
Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến đổi đưa
về cùng cơ số. Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ?.
Lời giải
15

Vì bpt nhận x =
làm một nghiệm nên:
2
299
345
299
345
2log a
> log a
⇔ log a
> log a
⇔ a >1
2
4
2
4
2
2
Khi đó: Bpt ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + 2 x + 15 ) ⇔ 23 x − 23 > x + 2 x + 15 .
2

⇔ x 2 − 21x + 38 < 0 ⇔ x ∈ ( 2;19 )

Do đó chọn đáp án D
Nhận xét
15
của bất
2
phương trình để thu được a > 1 . Một số học sinh sử dụng MTCT cũng cho kết
quả nhanh.

Bài toán nàymột số học sinh gặp khó khăn khi xử lí nghiệm x =

2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán.
10


Việc giúp học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán là thiết thực, nhất là trong
thi TNKQ. Sử dụng MTCT vừa giúp học sinh giảm thời gian tính toán, tăng độ
chính xác vừa giúp học sinh phát triển tư duy thuật toán, khả năng loại trừ và
cả khả năng đọc tình huống. Tuy nhiên không nên cường điệu hóa MTCT hoặc
xem nhẹ việc sử dụng MTCT, cần cho học sinh thấy được sự cần thiết đúng mức
của MTCT để hỗ trợ trong quá trình giải toán.
Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.
Ví dụ 9. Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1
2

A. S = { 2 + 5} B. S = { 2 − 5; 2 + 5}

C. S = { 3}

 3 + 13 
 [3]
 2 


D. S = 

Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng
MTCT là rất khả thi.
Hướng dẫn dùng MTCT

Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT
Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương
án trả lời. Phương án đúng là A
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận là tương
đương nhau. Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh trung bình
trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét điều kiện
xác định cho phương trình và biến đổi sai.
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 9 được tham khảo từ TLTK số [3] .
Ví dụ 10. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x + a x ≥ 6 x + 9 x
đúng với mọi số thực x .Mệnh đề nào sau đây đúng ?.
A. a ∈ ( 10;12]
B. a ∈ ( 16;18]
C. a ∈ ( 14;16] D. a ∈ ( 12;14] [4]
Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT là cách
giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này.
Hướng dẫn dùng MTCT
x
x
x
x
x
x
x
x
Ta có: a ≥ 6 + 9 − 3 ⇔ a ≥ f ( x ) với f ( x ) = 6 + 9 − 3 ( vì có a > 1 )
x
x
x
Bước 1: Nhập hàm số f ( x ) = 6 + 9 − 3 vào MTCT

Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC):
Thay x = 1 ta được f ( 1) = 12 nên a ≥ 12
Thay x =
1

1
 1 
ta được : f 
÷ ≈ 1,029247799 nên
100
100



a100 ≥ 1,029247799 ⇒ a ≥ ( 1,029247799 )

100

≈ 17,8646578

11


Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, học sinh không có hướng giải tự luận cho câu Vận dụng
cao này. Tuy nhiên, khi sử dụng MTCT để khảo sát giá trị thì rất nhiều học sinh
đi đến được đáp án cần chọn. Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cũng cho học
sinh trải nghiệm rất tốt, khi học sinh dùng chức năng TABLE để khảo sát giá trị
f ( x ) trên các khoảng đặc trưng khác nhau và tìm giá trị x hợp lí.

Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau:
Từ thực hành MTCT dự đoán a = 18 , và tiến hành chứng minh bđt:
3x + 18 x ≥ 6 x + 9 x đúng với mọi số thực x .
x
x
x
x
x
x
x
Chứng minh: 3 − 6 + 18 − 9 ≥ 0 ⇔ 3 ( 3 − 1) ( 2 − 1) ≥ 0 (10)
Do (a) đúng với x = 0 và 3x − 1,2 x − 1 cùng dấu với mọi x khác 0 nên (10) đúng
với mọi số thực x .
Như vậy MTCT không chỉ hỗ trợ tích cực trong giải toán TNKQ mà trong một
số tình huống còn định hướng giải toán tự luận.
Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
log 22 x − 2log 2 x + 3m − 2 < 0 có nghiệm thực.
2
A. m < 1
B. m <
C. m < 0
D. m ≤ 1 [3]
3
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 10 được tham khảo từ TLTK số [4] .

Tư duy: Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng
MTCT là có hiệu quả cho học sinh.
Hướng dẫn dùng MTCT
2

Bước 1: Chọn giá trị m = ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x < 0 ⇔ 0 < log 2 x < 2 (1)
3
2
Thử MTCT thấy x = 2 là nghiệm nên m = là một giá trị cần tìm.
3
Khi đó: Đáp án B và C bị loại
Bước 2: Chọn giá trị m = 1 ta có bpt:
2
log 22 x − 2log 2 x + 1 < 0 ⇔ ( log 2 x − 1) < 0
Bpt thu được vô nghiệm nên m = 1 không là giá trị cần tìm.
Khi đó: Đáp án D bị loại.
Bước 2: Đáp án chọn là A
Nhận xét

12


Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ
rệt so với cách làm tự luận. Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m và hình
thành kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án.
Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.
Ví dụ 11. Cho phương trình 4 x +1+ 3− x − 14.2 x+1+ 3− x + 8 − m = 0 . Tìm tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm.
13
A. −41 ≤ m ≤ 32.
B. −12 ≤ m ≤ .
9
C. −41 ≤ m ≤ −32.
D. −12 ≤ m ≤ 1. [4]
Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường THPT

Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 . Việc sử dụng MTCT để giải toán có hiệu
quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số.
Hướng dẫn dùng MTCT
Cô lập tham số ta được: m = f ( x )
Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm
f ( X ) = 4 X +1+ 3− X − 14.2 X +1+ 3− X + 8
4
Chọn: Start: X = −1 , End : X = 3 , Step:
29
Bước 2: Căn cứ bảng giá trị trên MTCT ta thu được: a ≤ m ≤ b.
a ≈ −40,99999983 , b = −32 . Do đó chọn phương án C
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ
rệt so với cách làm tự luận. Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình trên khi
thêm bước ẩn phụ t = x + 1 + 3 − x để đơn giản khi dùng MTCT.
Trong trang này: Kĩ thuật MTCT là của tác giả.Ví dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [3] . Ví
dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [4].

2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”.
Việc giải phương trình f ( x ) = 0 thường đơn giản hơn việc giải các bất phương
trình tương ứng: f ( x ) < 0, f ( x ) ≤ 0, f ( x ) > 0, f ( x ) ≥ 0 . Vì khi giải phương
trình chúng ta có thể giải theo pt hệ quả, giải xong rồi mới kiểm tra các điều
kiện.., trong khi bpt việc biến đổi đòi hỏi chặt chẽ để thu được bpt tương đương.
Nhờ định lí (*), chúng ta chuyển bài toán giải bpt về giải phương trình tương
ứng và kết hợp MTCT (Kn MTCT) để hỗ trợ giải toán.
Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện
theo thuật toán sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của bpt.
Chuyển bpt về dạng: f ( x) ≥ 0 (hoặc dạng tương ứng)
Bước 2: Giải phương trình f ( x) = 0

13


Bước 3: Xét dấu của f ( x) trên tập xác định D dựa vào định lí (*).
Kết luận nghiệm cho bài toán.

(

)

3
3
Ví dụ 12. Giải bất phương trình: log x + log x + 35 − x > log 3

30
35 − x3

ta

được tập nghiệm là khoảng ( a; b ) . Tính S = a 3 + 2b 2
A. S = 8 .
B. S = 26 .
C. S = 10 .
D. S = 28 . [4]

Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải bpt

(

)

3
3
3
3
thu được: x. 35 − x x + 35 − x > 30 cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời

gian nhiều. Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng
và thích hợp với thi TNKQ.
Lời giải
Bước1: Tập xác định bpt: D = ( 0; +∞ )

(

)

(

)

30
bpt ⇔ log  x x + 3 35 − x 3  > log
⇔ x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 − 30 > 0


3
3
35 − x

(

)

⇔ f ( x ) > 0 , với f ( x ) = x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x3 − 30 trên D = ( 0; +∞ )

(

)

3
3
3
3
Bước 2: Giải phương trình: x. 35 − x x + 35 − x − 30 = 0 .

Đặt : y = 3 35 − x 3 .
Trong trang này: Kĩ thuật giải toán là của tác giả.Ví dụ 12 được tham khảo từ TLTK số [4] .

 xy ( x + y ) = 30  xy ( x + y ) = 30
 xy = 6
⇔
⇔
Ta có hệ pt:  3
3
3
 x + y = 35
( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 35  x + y = 5
x = 2
x = 3
Khi đó: 

hoặc 
y = 3
y = 2
Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình f ( x) = 0 là: x = 3 và x = 2
Bước 3: Lập bảng xét dấu của f ( x) trên D = ( 0; +∞ )
x
f(x)

0

2
3
−
0
+
0
Căn cứ bảng xét dấu, Tập nghiệm của bpt là: ( 2;3)

−

+∞

Do đó chọn đáp án B
Nhận xét

14


Đây là một kĩ thuật giải toán nhanh bpt, rất phù hợp với thi TNKQ. Qua kĩ thuật
này, thực sự học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa pt và bpt.

Từ bài giải, học sinh có thể đọc được tập nghệm của bpt còn lại một cách nhanh
chóng và nhận thấy việc giải bpt thực chất là xét dấu của biểu thức tương ứng
trên tập xác định.
2.3.2.5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số .
Các bài toán chứa tham số trong pt –bpt mũ và logarit có những đặc trưng và
khó khăn riêng. Do đó, việc hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán pt- bpt mũ
và logarit là việc làm cần thiết, nhất là đối với thi TNKQ. Qua việc phân loại và
thực hành giải toán giúp học sinh nắm vững các đặc trưng và có kĩ năng xử lí
các khó khăn khi giải toán. Sau đây là một số hướng xử lí cơ bản:
Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT.
Bài toán xuất hiện với các phương án chọn có dạng đáp số, thay vì giải trực tiếp
chúng ta có thể dùng MTCT để xử lí (Xem 2.3.2.3 GP3 ). Hướng xử lí này sẽ
không thực hiện được nếu bài toán có đáp án dạng gián tiếp.
Hướng xử lí 2: Cô lập tham số
Đây là hướng xử lí cho lớp bài toán có thể độc lập tham số và việc giải toán có
thể quy về khảo sát hàm số. Dạng này xuất hiện rất nhiều trong các đề thi.
Ví dụ 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm của
bất phương trình
A. 7.

log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m ( log 4 x 2 − 7 ) chứa khoảng ( 256;+∞ ) ?.
2

B. 10.

C. 8.

D. 9.

[4]

Tư duy: Bài toán có thể cô lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử
dụng phép ẩn phụ t = log 2 x .
Trong trang này: Kĩ thuật giải toán là của tác giả.Ví dụ 13 được tham khảo từ TLTK số [4]

Lời giải
Đặt: t = log 2 x . Khi đó: x ∈ ( 256; +∞ ) ⇔ t ∈ ( 8; +∞ )
Bpt trở thành:

t 2 − 6t − 7 < m ( t − 7 ) ⇔ m >

t +1
t 2 − 6t − 7
⇔m>
(*)
t −7
t −7

t +1
nghịch biến trên [ 8;+∞ )
t −7
Suy ra: f ( t ) ≤ 3, ∀t ∈ [ 8; +∞ ) ⇒ f ( t ) < 3, ∀t ∈ ( 8; +∞ )
Do đó m ≥ 3 nên chọn đáp án C
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = log 2 x mà không hạn chế lại cho t và không cô lập tham số để giải toán.
Hàm sô f ( t ) =

15

Ví dụ 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
9 x − 8.3x + 3 = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ( log 3 2;log 3 8 ) .
A. 4
B. 16
C. 5
D. 17 [4]
Tư duy: Bài toán cô lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử dụng
phép ẩn phụ t = 3x .
Lời giải
Đặt: t = 3x . Khi đó: x ∈ ( log 3 2;log 3 8 ) ⇔ t ∈ ( 2;8 ) . Pt trở thành: m = t 2 − 8t + 3 .
2
Hàm sô f ( t ) = t − 8t + 3 trên [ 2;8] có bảng biến thiên:
x
2
4
8
0
f '( x )
3
-9
f ( x)
-13
Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán ⇔ −13 ≤ m < −9
Do đó m có 4 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = 3x mà không hạn chế lại cho t và chỉ đặt điều kiện cho phương trình có hai
nghiệm phân biệt bằng biệt thức ∆ .

Trong trang này: Lời giải toán là của tác giả.Ví dụ 14 được tham khảo từ TLTK số [4]

Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số.
Lớp bài toán này rất đa dạng, việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng điều
kiện cho tham số là một cách dạy – học toán rất hiệu quả. Một mặt giúp học
sinh hình thành kĩ năng xây dựng điều kiện cho các bài toán, mặt khác rèn tư
duy sáng tạo cho học sinh, từ đó giúp học sinh có tố chất giải nhanh TNKQ.
Ví dụ 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
( m + 1) .16 x − 2 ( 2m − 3) .4 x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm thực trái dấu.
A.1
B. 0
C. 2
D. 4
[4]
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn
phụ dạng mũ: t = 2 x .
Lời giải

16


2
Đặt: t = 4 x . Pt trở thành: ( m + 1) t − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0 . (15)
Giả sử : x1 < 0 < x2 ⇔ 0 < t1 < 1 < t2
Yêu cầu bài toán ⇔ pt(15) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2
a ≠ 0

⇔ ∆ > 0, S > 0, P > 0 ⇔ m ∈ ( −4; −1)
( t − 1) ( t − 1) < 0
1

 1
Do đó m có 2 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ
trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây
dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.

Ví dụ 16. Giá trị thực của tham số m để phương
log 32 x − 3log 3 x + 3m − 5 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa
( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 thuộc khoảng nào sau đây?
 5 
A.  − ;0 ÷
 3 

 5
B.  0; ÷
 3

 5 10 
C.  ; ÷
3 3 

trình
mãn

 10 
D.  ;5 ÷ [4]
 3 

Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn

phụ dạng logarit: t = log 3 x .
Lời giải
Đặt: t = log 3 x . Pt trở thành: t 2 − 3t + 3m − 5 = 0 . (16)
Ta có: t = log 3 x ⇔ x = 3t

x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 33 = 27 và x1 + x2 = 3t1 + 3t2 = 3t1 + 33−t1

t
3−t
Khi đó: ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 ⇔ x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) = 63 ⇔ 3 1 + 3 1 = 12

Trong trang này: Giải toán là của tác giả.Ví dụ 15,16 được tham khảo từ TLTK số [4]

Yêu cầu bài toán ⇔ pt(16) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 3t1 + 33−t1 = 12
∆ ≥ 0
t
3−t
⇔ t
. Mà: 3 1 + 3 1 = 12 ⇔ t1 = 1 hoặc t1 = 2 .
3−t1
1
3 + 3 = 12
7
Khi đó ta thu được m = . Do đó chọn đáp án C
3
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ
trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây
dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

17


- Việc rèn luyện và thực hành giải Toán đã giúp học sinh tự tin và có cơ sở
phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ. Từ đó nâng cao dần năng lực giải
Toán nói chung và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit nói riêng.
Thể hiện ở việc học sinh các lớp tôi dạy có nhiều học sinh đã vượt qua được
những câu hỏi khó về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các kì
thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cũng như các kì thi THPT Quốc gia năm 2017.
- Việc xây dựng các giải pháp, các dấu hiệu cũng như sáng tạo các kĩ thuật giải
Toán không những giúp học sinh học Toán sáng tạo, kích thích tư duy, sự say mê
học Toán mà còn định hướng cách học cho học sinh ở những nội dung khác của
Toán học phổ thông. Điều này góp phần rất lớn vào phong trào học tập của học
sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt là nhóm học sinh chất lượng cao,
chinh phục điểm cao ở các kì thi, qua đó giúp nhà trường từng bước cải thiện và
nâng dần công tác học sinh mũi nhọn.
- Nội dung SKKN cũng đã được trình bày ở Tổ chuyên môn đến các đồng
nghiệp và được các đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học ở trường THPT
Hoằng Hóa 3. Qua thực tiễn nhiều năm đã nhận thấy tính hiệu quả cao của
SKKN này cũng như đã tạo ra một cách dạy, một cách tiếp cận độc đáo đến một
nội dung Toán học. Nó như là bài mẫu để giáo viên có thể áp dụng cho các nội
dung khác cũng như tạo nên một phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh.
- SKKN này cũng giúp ích bản thân rất nhiều, đặc biệt là khi trực tiếp giảng dạy
học sinh. Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, học sinh đội tuyển học sinh
giỏi trong thực tế đã giúp bản thân rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ đó
sáng tạo ra các kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực sự tư duy và
sáng tạo.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1. KẾT LUẬN
Muốn thành công trong công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo
viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững các
kiến thức cơ bản, phải tổng hợp các kinh nghiệm áp dụng vào bài giảng. SKKN
này đã chỉ ra được các dạng toán, các dấu hiệu đặc trưng cũng như các kĩ thuật
giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức
của học sinh. Trong quá trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh con
đường tìm ra kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư duy sáng tạo của học sinh, tạo
hứng thú trong học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó.
Trong thực tế vận dụng SKKN không những giúp học sinh trong việc định hướng
18


giải toán với một nội dung cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằng
việc “ tư duy phương pháp ” và kĩ năng giải nhanh phương trình, bất phương
trình mũ và logarit là rất tốt và có kết quả. Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sáng
tạo để trang bị cho mình những quy trình và lượng kiến thức mới.
Nội dung kiến thức của SKKN là nội dung được học sinh tiếp cận nửa sau
của lớp 12, do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả
năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần
sự linh hoạt lựa chọn phương pháp hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh
thường không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức
“ỳ” tư duy vẫn còn lớn). Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên
cần tạo ra cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng
giải toán .Điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình
và cách giải toán linh hoạt đối với các bài toán.
Khả năng ứng dụng thực tiễn giảng dạy ở nhà trường của SKNN là rất
cao, hầu như giáo viên nào, lớp học nào đều có thể áp dụng vào giảng dạy hiệu
quả. SKKN này cũng có thể mở rộng ra lớp bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất cũng như tư duy phương pháp cho các nội dung khác của Toán học.
3.2. KIẾN NGHỊ
Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩ
rằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học. Không nên
dạy học sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinh
những quy trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tư
duy tìm ra con đường giải toán.
SKKN đã tiếp cận đến một vấn đề khó và phổ dụng trong việc dạy học
sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy ở trường THPT Hoằng Hóa 3 nhiều năm
đã cho thấy hiệu quả rõ rệt. Vì vậy, các giáo viên khác có thể áp dụng và sáng
tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà mình giảng dạy.
Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm
những ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này.
Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và
áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.
Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến,
phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

19


Lê Văn Lâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********
[1]. Sách giáo khoa Giải Tích 12 – Trần Văn Hạo(tổng chủ biên )
– Vũ Tuấn(chủ biên) – NXB Giáo Dục.
[2]. Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 của các Sở Giáo
Dục và Đào Tạo.
20


[3]. Đề thi THPT Quốc Gia và các đề Minh họa, Tham khảo của Bộ
Giáo Dục và Đào Tạo.
[4]. Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 của các trường THPT
trong cả nước.
[5]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn: />- Nguồn: />
21